复数代数形式的乘除运算(公开课)
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复数代数形式的乘除运算公开课导学案
课堂教学导学案 1.掌握复数代数形式乘、除法运算法则，熟练地进行复数的乘、除法运算；了解共轭复数的定义及性质；进一步提高复数代数形式的四则运算的能力。
2.学生通过“回顾－探究－巩固－小结”的过程中了解复数代数形式的四则
运算法则。
3.通过对实数的乘除法运算法则及运算律推广到复数的乘除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰的认识，同时培养学生的科学思维方法。
一、自主学习(基础知识）：
一、复习引入
1. 已知两复数12,()z a bi z c di a b c R =+=+∈、、，那么
（1）加法法则：
（2）减法法则：
即：两个复数相加（减）就是类比多项式加（减）法，按i 进行合并同类项 2. =±2
)(b a
=-+)(b a b a ）（
二、探究新知
根据以前所学知识，完成下题
()()?a bx c dx ++=
类比多项式乘法，尝试完成下题
()()?a bi c di ++=
归纳出复数乘法法则：
三、例题讲解
例1.计算：
（1）i i ）（+2 （2）
)3(2-1i i +）（ （3）(12)(34)(2)i i i -+-+
变式练习：计算(2)(32)(13)i i i ----+
例2.计算：（1）(34)(34)i i +- （2）2
(1)i +
观察：34i +和34i -有什么关系？那这样的两个复数有怎样的名称呢？
探究：类比实数除法运算，试探求复数除法法则？
复数除法定义：
复数的除法法则：。
复数代数形式的乘除运算 课件
(2)写出 z ，把 z 与 z 代入直接运算． (3)等式左边做乘法，根据复数相等求 x，y 的值． 【自主解答】 (1)(1＋i)(－1－i)( 3＋i)(1＋ 3i) ＝－(1＋i)(1＋i)(－ 3i2＋i)(1＋ 3i) ＝－i(1＋i)2(1－ 3i)(1＋ 3i) ＝－i(2i)[12－( 3i)2] ＝8.
1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复 数的代数形式． 2．常用公式 (1)1i ＝－i；(2)11＋－ii＝i；(3)11－ ＋ii＝－i.
in的周期性及应用
计算 i1＋i2＋i3＋…＋i2 012. 【思路探究】 本题中需求多个 in 和的值，求解时可考 虑利用等比数列求和公式及 in 的周期性化简；也可利用 in＋in ＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)化简．
复数代数形式的乘除运算
加复数的乘法及其运算律
【问题导思】 1．设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多 项式相乘，应如何规定两复数相乘？
【提示】 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只 要在所得的结果中把 i2 换成－1，并且把实部与虚部分别合并 即可．即 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd) ＋(bc＋ad)i.
【自主解答】 法一： 原式＝i1－1－i2i012＝i[1－1－i2i1 006]＝i11－－i1＝0.
法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0， ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)， ∴i1＋i2＋i3＋…＋i2012， ＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＝0.
公开课复数的乘除法运算[人教版选修22]精品PPT课件
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解（ 1）2 （1 3） 2
22
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 2）（ ） 2（1 3） 2
22
解
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 3 ） 32
解 （ 1 3） （ 2 1 3）
22
22
（ 13）1 （ 3） 1
22
22
小结： 2 （ ，） 2
31 ， ） （ 31
(a+bi)(c-di) =
(c+di)(c-di)
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
=
ac+bd c2+d2
+
bc-ad c2+d2
i
(c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help 为方便学习与使用课件内容，课件可以在下载后自由编辑
0i1 i2 i 1
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足
(c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi 记作
c+di
a+bi (a+bi)(c-di)
c+di
复数代数形式的乘除运算公开课
一、复习：
1.复数的加减法法则
若z1 a bi, z2 c di(a, b, c, d R)则z1 z2 ? z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
ac bd bc ad (a bi) (c di) 2 2 2 2 i(c di 0). c d c d
探求
新知
设z1 a bi, z2 c di(a, b, c, d R, c di 0)
z1 a bi 则 ___________________ z2 c di
2.多项式的乘法法则
两个多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多 项式的每一项, 再把所得的积相加.
2
(a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
3 4
1
1
2
3
4
2
(a+b)(c+d) = ac +ad+bc +bd
3 4
1
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2
3
4
二、问题探究
若两个复数分别为 z1 a bi, z2 c di (a, b, c, d R), 你能否类比多项式的乘 法 法则计算z1 z2 （a bi)(c di) ?
26
29
25
2
7
2i
7 2i
49 4
那么复数的除法又应怎样进行呢? 注意到, 实数的除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y 都是实数, a bi . 记为：(a bi ) (c di )或 c di
1.复数的加减法法则
若z1 a bi, z2 c di(a, b, c, d R)则z1 z2 ? z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
ac bd bc ad (a bi) (c di) 2 2 2 2 i(c di 0). c d c d
探求
新知
设z1 a bi, z2 c di(a, b, c, d R, c di 0)
z1 a bi 则 ___________________ z2 c di
2.多项式的乘法法则
两个多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多 项式的每一项, 再把所得的积相加.
2
(a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
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1
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(a+b)(c+d) = ac +ad+bc +bd
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二、问题探究
若两个复数分别为 z1 a bi, z2 c di (a, b, c, d R), 你能否类比多项式的乘 法 法则计算z1 z2 （a bi)(c di) ?
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7 2i
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那么复数的除法又应怎样进行呢? 注意到, 实数的除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y 都是实数, a bi . 记为：(a bi ) (c di )或 c di
复数代数形式的乘除运算 课件
也就是说,“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的
必要不充分条件.
2.如何理解共轭复数?
剖析:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,这是判断一个数是否为实
数的一个法则.
(2)几何特征:两个共轭复数的对应点关于实轴对称;
代数特征:两个共轭复数的虚部互为相反数,实部相等.
(3)一个重要性质.
两个共轭复数z, 的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的
复数集中不一定成立.如:
(1)当z∈R时,|z|2=z2;当z∈C时,|z|2∈R而z2∈C,所以|z|2=z2不一定
成立,
但是|z|2=z·.
(2)当z1,z2∈R时, 12 + 22 = 0⇔z1=0,且z2=0;
当z1,z2∈C时, 12 + 22 = 0
1 = 0, 且z2=0,但z1=0,z2=0⇒ 12 + 22 = 0.
+
+
1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则?
剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除
法法则一致.
(2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复
数集中仍成立.
(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.
温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在
∴B=z1·z1 + z2 · z2 = ( + bi)( − bi) + ( c +
di)·(c-di)=a2+b2+c2+d2,
∴B∈R.
又A = z1 ·z2 + z2 ·z1 = z1 ·z2 + z2 ·z1
复数代数形式的乘除运算 课件
点评：在复数范围内解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0，a，b，c∈R)，将根设为 m＋ni，再利用复数相等 的充要条件解决问题．
题型4 利用in的周期性求解
例4 i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________(用 a＋bi的形式表示，a，b∈R)．
分析：利用 i 的周期性化简求和． 解析：i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i. 答案：4－4i 点评：熟记 i 的周期性，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．记住以 下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②11－ ＋ii＝－i， 11＋ －ii＝i；③1i ＝－i.
解析：(1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴b2＋＋cb＝＝00，. 得 b＝－2，c＝2. ∴b，c 的值为 b＝－2，c＝2. (2)∵方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程左边，得 (1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立． ∴1－i 是方程的根．
点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如 z z ＝|z|2＝| z |2，z∈R⇔z＝ z 等．
(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数 的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实 数问题求解．
题型3 复数范围内解方程问题 例3 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为
实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根．
基础 梳理
例：i＋2 的共轭复数是( )
A．2＋i
B．2－i
C．－2＋i
D．－2－i
答案：B
题型4 利用in的周期性求解
例4 i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________(用 a＋bi的形式表示，a，b∈R)．
分析：利用 i 的周期性化简求和． 解析：i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i. 答案：4－4i 点评：熟记 i 的周期性，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．记住以 下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②11－ ＋ii＝－i， 11＋ －ii＝i；③1i ＝－i.
解析：(1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴b2＋＋cb＝＝00，. 得 b＝－2，c＝2. ∴b，c 的值为 b＝－2，c＝2. (2)∵方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程左边，得 (1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立． ∴1－i 是方程的根．
点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如 z z ＝|z|2＝| z |2，z∈R⇔z＝ z 等．
(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数 的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实 数问题求解．
题型3 复数范围内解方程问题 例3 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为
实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根．
基础 梳理
例：i＋2 的共轭复数是( )
A．2＋i
B．2－i
C．－2＋i
D．－2－i
答案：B
高中数学复数代数形式的乘除运算优秀课件
(3)什么是共轭复数？ zz ? zza2b2 共轭复数 z和z 对应的点有怎样的位置关系？
关于实轴对称
(4)复数的除法法那么，需要记式子吗 ？运用时可通过分母实数__化____法推导 得到，推导分几个步骤？
1.先把除式写成分式的形式
2.分子分母同乘以分母的共轭复数， 进行分母实数化
3.化简结果写成a+bi形式
25
1 2i 55
总结步骤
1、先把除式写成分式的形式 2、分子分母同乘以分母的共轭复数，进 行分母实数化 3、化简结果写成a+bi形式
练习: 1.计算
〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕
2 P60 3题
2i(2i) (1i)(1i)
（ 1i） (2i)
( 12 i) ( 1-i)
答案-：2 4i 55
类比 ( 32)( 31) ( 31)( 31) 2、分母有理化
2、分母实数化 (abi)(cdi)
3 32 32
(cdi)(cdi)
31
1 3 2
(acbcd )2 (db2 cad )i
1 3 3、结果中的根式分开写 3、写成a+bi acbdbcadi
22
c2 d2 c2 d2
复数的除法法那么
例1 z1=1-2i, z2=3+4i, z3=-2+i，求：
①z1 z2=
11-2i
③(z1 z2) z3=
-20+15i
②z2 z1 =
11-2i
④z1( z2 z3)=
-20+15i
⑤z1( z2+ z3)=
11+3i⑥z1 z2 ຫໍສະໝຸດ z1z3=11+3i
关于实轴对称
(4)复数的除法法那么，需要记式子吗 ？运用时可通过分母实数__化____法推导 得到，推导分几个步骤？
1.先把除式写成分式的形式
2.分子分母同乘以分母的共轭复数， 进行分母实数化
3.化简结果写成a+bi形式
25
1 2i 55
总结步骤
1、先把除式写成分式的形式 2、分子分母同乘以分母的共轭复数，进 行分母实数化 3、化简结果写成a+bi形式
练习: 1.计算
〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕
2 P60 3题
2i(2i) (1i)(1i)
（ 1i） (2i)
( 12 i) ( 1-i)
答案-：2 4i 55
类比 ( 32)( 31) ( 31)( 31) 2、分母有理化
2、分母实数化 (abi)(cdi)
3 32 32
(cdi)(cdi)
31
1 3 2
(acbcd )2 (db2 cad )i
1 3 3、结果中的根式分开写 3、写成a+bi acbdbcadi
22
c2 d2 c2 d2
复数的除法法那么
例1 z1=1-2i, z2=3+4i, z3=-2+i，求：
①z1 z2=
11-2i
③(z1 z2) z3=
-20+15i
②z2 z1 =
11-2i
④z1( z2 z3)=
-20+15i
⑤z1( z2+ z3)=
11+3i⑥z1 z2 ຫໍສະໝຸດ z1z3=11+3i
复数代数形式的乘除运算 课件
复数代数形式的乘除运算
知识点一 复数的乘法及其运算律
思考 怎样进行复数的乘法运算？
答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成 －1，并且把实部与虚部分别合并即可.
1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i .
跟踪训练1 在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i为虚数单位，b是实数)表示 的点在第四象限，则b的取值范围是_(_－__∞__，__－__12_)___.
解析 (1＋bi)(2＋i)＝2＋i＋2bi－b＝2－b＋(2b＋1)i，
由题意知22－ b＋b>1<00，， 解得 b<－12.
类型二 复数代数形式的除法运算
例1 (1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y＝_2_i_. 解析 ∵xi－y＝－1＋i，
∴－y＝－1， x＝1，
得xy＝ ＝11， .
则(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.
(2)已知复数 z1＝(12－32i)(1＋i)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1·z2 是实数，则 z2＝__4_＋__2_i__. 解析 z1＝(12－32i)(1＋i)＝2－i. 设z2＝a＋2i，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4， ∴z2＝4＋2i.
知识点三 复数的除法法则
1＋ 3 1＋ 33＋ 2 思考 类比根式除法的分母有理化，比如3－ 2＝3－ 23＋ 2，你能 写出复数的除法法则吗？ 答 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则zz12＝ac＋＋dbii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i.
知识点一 复数的乘法及其运算律
思考 怎样进行复数的乘法运算？
答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成 －1，并且把实部与虚部分别合并即可.
1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i .
跟踪训练1 在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i为虚数单位，b是实数)表示 的点在第四象限，则b的取值范围是_(_－__∞__，__－__12_)___.
解析 (1＋bi)(2＋i)＝2＋i＋2bi－b＝2－b＋(2b＋1)i，
由题意知22－ b＋b>1<00，， 解得 b<－12.
类型二 复数代数形式的除法运算
例1 (1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y＝_2_i_. 解析 ∵xi－y＝－1＋i，
∴－y＝－1， x＝1，
得xy＝ ＝11， .
则(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.
(2)已知复数 z1＝(12－32i)(1＋i)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1·z2 是实数，则 z2＝__4_＋__2_i__. 解析 z1＝(12－32i)(1＋i)＝2－i. 设z2＝a＋2i，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4， ∴z2＝4＋2i.
知识点三 复数的除法法则
1＋ 3 1＋ 33＋ 2 思考 类比根式除法的分母有理化，比如3－ 2＝3－ 23＋ 2，你能 写出复数的除法法则吗？ 答 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则zz12＝ac＋＋dbii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i.
复数代数形式的乘除运算公开课ppt课件
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
解二：原式=32 -4i2
=9+16 =25
=25
3(1 2i)(3 4i)(1+2i)
解：原式 =
12
2i 2
(3
4i)
=5(3 4i)
课前预习 (预习具体内容) 一、自主学习
复习1：计算
1(1 4i)+(7 2i) 2(5 2i)+(1 4i) (2 3i)
解：原式=8 2i
复习2：
解：原式= 4+2i (2 3i)
=2+5i
计算：(a b)2 _a_2___2_a_b___b2
(3a 2b)(3a 2b) _9_a_2___4_b_2___
__a_c____b_d______a_d____c__bi
提出问题2：怎么理解复数的乘法法则？ 活动成果： 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式__相__乘__。
只有在所得的结果中把 i2 换成__-_1__,并且把实部与虚部
分别__合__并___即可。
课堂探究
练习1：计算
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
=25
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算， 也满足其在实数集上的运算律.
课堂探究
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
解二：原式=32 -4i2
=9+16 =25
=25
3(1 2i)(3 4i)(1+2i)
解：原式 =
12
2i 2
(3
4i)
=5(3 4i)
课前预习 (预习具体内容) 一、自主学习
复习1：计算
1(1 4i)+(7 2i) 2(5 2i)+(1 4i) (2 3i)
解：原式=8 2i
复习2：
解：原式= 4+2i (2 3i)
=2+5i
计算：(a b)2 _a_2___2_a_b___b2
(3a 2b)(3a 2b) _9_a_2___4_b_2___
__a_c____b_d______a_d____c__bi
提出问题2：怎么理解复数的乘法法则？ 活动成果： 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式__相__乘__。
只有在所得的结果中把 i2 换成__-_1__,并且把实部与虚部
分别__合__并___即可。
课堂探究
练习1：计算
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
=25
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算， 也满足其在实数集上的运算律.
课堂探究
复数代数形式的乘除运算优秀课件
．
z 的实
3 + 4i
动手试试
1 (1) （2011年四川理2）复数 −i + = i
1 + 2i ，则复数 z = (2)（2011年江西理1）若 z = i
1.复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意 运算法则和方法，在乘法运算中注意把 i 2 换成－1，在除 法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.
2.(2011年全国大纲理1)复数 z 则 z z − z −1 = ．
．
= 1 + i， 为 z 的共轭复数， z
3.(2011年广东理1)设复数 z满足 (1 + i ) z = 2，则
z=
．
1 + ai 4.(2011年安徽理1)复数 为纯虚数，则实数 a = 2−i
5.(2011年江苏3)设复数 z 满足 i ( z + 1) = −3 + 2i ,则 部是 ．
例1:计算 (1) (1 + 2i )(3 − 4i ) (3) (1 + i ) 2 (2) (1 − 2i)(3 + 4i)(−2 + i ) (4) (2 − i ) 2
动手算算，你发现了什么？ 动手算算，你发现了什么？ (1) (3 + 4i )(3 − 4i ) (2) i1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i 7 , i 8
探究1 探究1:复数除法的定义 满足 (c + di)( x + yi ) = (a + bi) 的复数 x + yi ( x, y ∈ R) 叫复数 a + bi 除以复数 c + di 的商.
( 记作： a + bi ) ÷ (c + di ) 或
高中数学选修复数代数形式的乘除运算公开课一等奖课件省赛课获奖课件
则
1
2
=
+i
+i
=
+
2 +
2
+
-
2 +
2 i.
预习交流 3
5-5i
=
1+2i
计算:
答案:-1-3i
.
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
3.2.2
问题导学
复数代数形式的乘除运算
当堂检测
一
二
课前预习导学
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
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KETANG HEZUO TANSUO
三
复数乘除运算法则的理解:
(1)复数的乘法可以把 i 看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要
把 i2 化为-1,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式,再把
分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯
轭复数用表示.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
3.2.2
目标导航
复数代数形式的乘除运算
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预习引导
预习交流 2
(1)互为共轭的两个复数,在复平面内对应的点有何关系?
提示:设复数 z=a+bi(a,b∈R),在复平面内对应的点为 Z(a,b);
(2)|z|2=||2=z =a2+b2;
(3)=z⇔z∈R,=-z(z≠0)⇔z 为纯虚数.
1
2
=
+i
+i
=
+
2 +
2
+
-
2 +
2 i.
预习交流 3
5-5i
=
1+2i
计算:
答案:-1-3i
.
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三
复数乘除运算法则的理解:
(1)复数的乘法可以把 i 看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要
把 i2 化为-1,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式,再把
分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯
轭复数用表示.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
3.2.2
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复数代数形式的乘除运算
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预习交流 2
(1)互为共轭的两个复数,在复平面内对应的点有何关系?
提示:设复数 z=a+bi(a,b∈R),在复平面内对应的点为 Z(a,b);
(2)|z|2=||2=z =a2+b2;
(3)=z⇔z∈R,=-z(z≠0)⇔z 为纯虚数.
复数代数形式的乘除运算 同步课件
②
由①②联立，解得ab＝ ＝4535， ，
或ab＝ ＝－ －4535， .
所以 z ＝45－35i，或 z ＝－45＋35i.
小结 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数 法，化解了问题的难点．
例2 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭 复数 z . 解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则 z ＝a－bi且|z|＝ a2＋b2＝1，即a2＋b2＝1.
①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而
(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.
问题2 如何理解复数的乘除法运算法则？
答 复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则 进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数 的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母 与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则 只需同时乘以i)．
例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2；
(3)(11＋ －ii)6＋
2＋ 3－
3i 2i.
解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1i2]6＋
2＋ 3i 3＋ 32＋ 22
2i
＝i6＋
6＋2i＋3i－ 5
复数代数形式的乘除运算
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i .
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
复数代数形式的乘除运算公开课
（1）加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i （2）减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
1.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
普通高中课程标准实验教科书-人教版A版-选修2—2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
学习目标
1、掌握复数的乘法法则，能熟练的进行复数 的乘法运算。 重点 2、理解共轭复数的意义。 3、掌握复数的除法法则，能熟练的进行复数 的除法运算。
重点 难点
温故
夯基
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算 , 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
探求
新知
3.共轭复数：
设 z1＝a＋bi，z2＝a－bi.当两个复数的实部相 等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共 轭复数．虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共 轭虚数．
复数 z＝a＋bi 的共轭复数记作 z, 记 z a bi
a 2abi b 2 2 a b 2abi
2 2
(a bi) (a b ) 2abi
2 2 2
（3） (1 i) 2i;
2
1 1 i i; i; i 1 i
1 i i. 1 i
(6)一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
复数代数形式的乘除运算课件
(a bi) (c di) a bi (c di) 0)
c di
(a bi)(c di)
(c di)(c di)
ac adi bci bdi2
c2 d 2i2
(ac bd) (bc ad)i
c2 d2
ac bd bc ad c2 d2 c2 d2 i
22 11i 4i 2
20 15i
共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，
这两个复数叫做互为共轭复数。复数z的共轭复数
记作 z
1、已知复数z 3 5i,则z _3___5_i_
2、已知z1 1 7i与z2 1 ai互为共轭复数， 则a __7__
复数的除法法则：
进行复数除法运算时， 通常先把(a bi) (c di)
写成 a bi 的形式， 再把分子与分母都乘以分母
c di
的共轭复数c di(复数实数化)， 然后化简。
知识应用
❖ 计算
（1） 1 i 1i
解 : 1 i 1 i
(1 i)(1 i) (1 i)(1 i) 1 i i i2
两个复数相乘， 类似于两个多项式相乘， 只要在所得i2 的结果中 把i 2换成 1并且把实部与虚部分别合并即可。
探究：复数的乘法是否满足交换律、结合律 以及乘法对加法的分配律？
对于任意z1, z2, z3 c, 有 z1 z2 z2 z1, (z1 z2) z3 z1 (z2 z3), z1(z 2 z3) z1 z 2 z1 z3
知识应用
计算：
(1) (3 4i)(3 4i) (2) (1 2i)(3 4i)(2 i)
解 : (3 4i)(3 4i) 解 : (1 2i)(3 4i)(2 i)
复数代数形式的乘除运算 课件
例4 求8－6i的平方根. 解 设8－6i的平方根为x＋yi(x，y∈R)，则(x＋yi)2＝8－6i， 即(x2－y2)＋2xyi＝8－6i， 由复数相等的充要条件，得2x2x－y＝y2－＝68，， 解得xy＝ ＝3－，1 或xy＝ ＝－ 1，3，
则8－6i的平方根为3－i或－3＋i.
2.分解因式 由于a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，则很多在实数集内不能分解的因式在复数 集内可分解因式. 例5 分解因式：(1)x2＋2xy＋y2＋z2；
思考 写出下列各题的计算结果. (1)(a±b)2＝ a2±2ab＋b2 ； (2)(3a＋2b)(3a－2b)＝ 9a2－4b2 ； (3)(3a＋2b)(－a－3b)＝ －3a2－11ab－6b2 .
知识点二 共轭复数 如果两个复数满足 实部相等，虚部互为相反数 时，称这两个复数为共 轭复数， z 的共轭复数用 z 表示.即 z＝a＋bi，则 z ＝a－bi . 思考 判断. (1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( × ) (2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( × ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( √ ) (4)在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.( √ )
知识点三 复数的除法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则zz12＝ac＋＋db
i a＋b i＝c＋d
ic－d ic－d
i ac＋bd bc－ad i＝c2＋d 2＋c2＋d 2i.
思考 写出下列各题的计算结果. (1)1i ＝ －i .
1＋i (2)1－i＝
i
.
(3)11－ ＋ii＝－i .
(2)11－ ＋ii6＋
2＋ 3－
3i 2i.
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思考：能否利用in的周期性化简？
知识拓展提升
探究： -i i4＝____ i -1 i3＝____; 1 ． i1＝____; i2＝___;
i， i5＝___
-1 ，i7＝____ -i ，i8＝_____ i6＝____ 1 ．
虚数单位i的周期性： (1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)． (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． 注意：n也可以推广到整数集．
ac bd bc ad 2 2 i (c di 0). 2 2 c d c d
分母实数化
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以
分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).
变式训练 计算： 1 3i 1 2i
解：
1 3i 1 3i 1 2i 原式 1 2i 1 2i 1 2i
32 (4i ) 2 9 (16) 25
2 (1 i ) （2）
1 2i i 1 2i 1 2i
2
我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算 , 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
探求
新知
3.共轭复数：
设 z1＝a＋bi，z2＝a－bi.当两个复数的实部相 等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共 轭复数．虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共 轭虚数．
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
探求
探究1：
新知
设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
思考： 复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R， 则 z 1· z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开， z 1· z2等于什么？
变式训练
计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的值．
解：设 S＝1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010， 则 iS＝i＋2i2＋…＋2010i2010＋2011i2011， ∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2010－2011i2011 1－i2011 ＝ －2011i2011 1－i 1－i4502i3 ＝ －2011(i2)1005i 1－ i ＝2012i. 2012i 2012i1＋i ∴S＝ ＝ ＝－1006＋1006i. 2 1－i
探求
新知
2
1.复数的乘法法则：
(a bi )(c di ) ac adi bci bdi
ac adi bci bd
（ac bd ) (bc ad )i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 i 换成－1，然后实、虚部分别合并.
1 2 i i
解： 2 原式 2i i
21 2i 3 i
原式
3 i 6i 2i
3 i 6i 2
5 5i
2
1 2i
例题
讲解
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i).
解:原式= (3 4i 6i 8i )(2 i )
复数 z＝a＋bi 的共轭复数记作 z, 记 z a bi
探求
探究3： 若z
新知
a bi ，z a bi 是共轭复数，那么
2 2
（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
（3）z z 与 z , z 有何关系？
（2）z z 是一个怎样的数 ？
y
结论：
（1）关于实轴对称 （2） z z a 2 b2
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3.2.2 复数代数形式的乘除运算
授课人：陈小燕
授课班级：高二（13）班
温故
夯基
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
（1）加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i （2）减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i
方法总结： 1、先写成分式形式 2、然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以 分母的共轭复数) 3、化简成代数形式就得结果.
5 5i 1 i 5
考点突破
复数的乘除法
1、计算
(1)( 3 2i ) 3 2i
解：
原式
2
1 i 2 i (2) i
课堂
小结
1、复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？
2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数
之间有什么性质？
3、复数除法的运算法则是什么？
布置
作业
1、课本P112页 习题3.2A组 2、《导与练》P50—51页
巩固
求 a , b 的值.
提升
2 若 3 2i 是关于 x 的方程 x ax b 0(a, b R) 的一个根，
2i 3
2
原式
3 i i
2i 2 3
5
1 3i i 2 1 3i
i i
共轭复数 （ i 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
2、(2013年高考福建卷)已知复数z的共轭复数 z 1 2i
2
A
）
C. 1 i
2
D. 1 i
【思路点拨】 z z z z
i的运算性质及应用
5、计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010. 【思路点拨】 解答本题可利用等比数列求和公式化简
i1－i2010 i[1－i21005] 【解】 法一： 原式＝ ＝ 1－i 1－ i i· 1＋1 2i1＋i ＝ ＝ 2 1－i ＝－1＋i.
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
复数的除法法则
a bi (a bi ) (c di ) c di
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i 2 2 c 2i 是方程 x ax b 0 的根
2
3 2i a 3 2i b 0
2
5 3a b 12 2a i 0
5 3a b 0 a 6 12 2a 0 b 13
法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0 ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N) ∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋ …＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010) ＝i－1＋0＝－1＋i. 【思维总结】 等差、等比数列的求和公式在复 数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋ in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
D
）
1 3i z 是z的共轭复数，则 z 的模 3、已知复数 z ， 3 i 等于（ C ）
A.4 B.2 C.1
1 D. 4
共轭复数
z 是复数 z 4、（2013年高考安徽卷）设 i 是虚数单位，
的共轭复数，若 z z i 2 2 z 则 z 等于（ A. 1 i B.1 i
2
= (11 2i )(2 i ) = 22 11i 4i 2i = 20 15i
2
复数的乘法与多项式的乘法是类似的.
例题
讲解
互为相反数
2 (1 i ) （2）
例3.计算： （1）(3 4i)(3 4i) 解： 相等 （1） (3 4i)(3 4i)
即：乘积的结果是一个实数
z1
x
O
z2
（3） z z z z
2
2
探求
探究4：
新知
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， z1 ? 则 ＝_______________________ ． z2
例题
例4.计算
讲解
(1 2i) (3 4i)
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
2
探求
新知
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C ，有 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 z 2· z1 z 1· z2＝_____ z 1· ( z 2· z3) (z1· z2)· z3＝_______ z1z2＋z1z3 z1(z2＋z3)＝________
例题
讲解
例1：计算