复数代数形式的乘除运算(公开课)

2i 3
2
原式
3 i i
2i 2 3
5
1 3i i 2 1 3i
i i
共轭复数 （ i 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
2、(2013年高考福建卷)已知复数z的共轭复数 z 1 2i
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
探求
探究1：
新知
设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
思考： 复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R， 则 z 1· z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开， z 1· z2等于什么？
ac bd bc ad 2 2 i (c di 0). 2 2 c d c d
分母实数化
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以
分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).
变式训练 计算： 1 3i 1 2i
解：
1 3i 1 3i 1 2i 原式 1 2i 1 2i 1 2i
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
复数的除法法则
a bi (a bi ) (c di ) c di
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i 2 2 c d (c di)(c di)
探求
新知
2
1.复数的乘法法则：
(a bi )(c di ) ac adi bci bdi
ac adi bci bd
（ac bd ) (bc ad )i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 i 换成－1，然后实、虚部分别合并.
32 (4i ) 2 9 (16) 25
2 (1 i ) （2）
1 2i i 1 2i 1 2i
2
我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算 , 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
探求
新知
3.共轭复数：
设 z1＝a＋bi，z2＝a－bi.当两个复数的实部相 等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共 轭复数．虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共 轭虚数．
课堂
小结
1、复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？
2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数
之间有什么性质？
3、复数除法的运算法则是什么？
布置
作业
1、课本P112页 习题3.2A组 2、《导与练》P50—51页
巩固
求 a , b 的值.
提升
2 若 3 2i 是关于 x 的方程 x ax b 0(a, b R) 的一个根，
2
= (11 2i )(2 i ) = 22 11i 4i 2i = 20 15i
2
复数的乘法与多项式的乘法是类似的.
例题
讲解
互为相反数
2 (1 i ) （2）
例3.计算： （1）(3 4i)(3 4i) 解： 相等 （1） (3 4i)(3 4i)
变式训练
计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的值．
解：设 S＝1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010， 则 iS＝i＋2i2＋…＋2010i2010＋2011i2011， ∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2010－2011i2011 1－i2011 ＝ －2011i2011 1－i 1－i4502i3 ＝ －2011(i2)1005i 1－ i ＝2012i. 2012i 2012i1＋i ∴S＝ ＝ ＝－1006＋1006i. 2 1－i
复数 z＝a＋bi 的共轭复数记作 z, 记 z a bi
探求
探究3： 若z
新知
a bi ，z a bi 是共轭复数，那么
2 2
（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
（3）z z 与 z , z 有何关系？
（2）z z 是一个怎样的数 ？
y
结论：
（1）关于实轴对称 （2） z z a 2 b2
普通高中课程标准实验教科书-人教版A版-选修2—2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
授课人：陈小燕
授课班级：高二（13）班
温故
夯基
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
（1）加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i （2）减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i
方法总结： 1、先写成分式形式 2、然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以 分母的共轭复数) 3、化简成代数形式就得结果.
5 5i 1 i 5
考点突破
复数的乘除法
1、计算
(1)( 3 2i ) 3 2i
解：
原式


2
1 i 2 i (2) i
2
A
）
C. 1 i
2
D. 1 i
【思路点拨】 z z z z
i的运算性质及应用
5、计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010. 【思路点拨】 解答本题可利用等比数列求和公式化简
i1－i2010 i[1－i21005] 【解】 法一： 原式＝ ＝ 1－i 1－ i i· 1＋1 2i1＋i ＝ ＝ 2 1－i ＝－1＋i.
D
）
1 3i z 是z的共轭复数，则 z 的模 3、已知复数 z ， 3 i 等于（ C ）
A.4 B.2 C.1
1 D. 4
共轭复数
z 是复数 z 4、（2013年高考安徽卷）设 i 是虚数单位，
的共轭复数，若 z z i 2 2 z 则 z 等于（ A. 1 i B.1 i
2
探求
新知
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C ，有 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 z 2· z1 z 1· z2＝_____ z 1· ( z 2· z3) (z1· z2)· z3＝_______ z1z2＋z1z3 z1(z2＋z3)＝________
例题
讲解
例1：计算
即：乘积的结果是一个实数
z1
x
O
z2
（3） z z z z
2
2
探求
探究4：
新知
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， z1 ? 则 ＝_______________________ ． z2
例题
例4.计算
讲解
(1 2i) (3 4i)
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0 ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N) ∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋ …＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010) ＝i－1＋0＝－1＋i. 【思维总结】 等差、等比数列的求和公式在复 数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋ in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
思考：能否利用in的周期性化简？
知识拓展提升
探究： -i i4＝____ i -1 i3＝____; 1 ． i1＝____; i2＝___;
i， i5＝___
-1 ，i7＝____ -i ，i8＝_____ i6＝____ 1 ．
虚数单位i的周期性： (1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)． (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． 注意：n也可以推广到整数集．
解：
3 2i 是方程 x ax b 0 的根
2
3 2i a 3 2i b 0
2
5 3a b 12 2a i 0
5 3a b 0 a 6 12 2a 0 b 13
1 2 i i
解： 2 原式 2i i
21 2i 3 i
原式
3 i 6i 2i
3 i 6i 2
5 5i
2
1 2i
Fra Baidu bibliotek题
讲解
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i).
解:原式= (3 4i 6i 8i )(2 i )