线性代数》1-2全排列及其逆序数(精)
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
1-2 全排列及其逆序数
左
3 2 32 8/2=4 4 1 31 21 41 因此，计算排列的逆序数时，对每个元素只需考虑它 与左边(或右边)的元素所构成的逆序.
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右 32 31 21 41
排列的逆序数
对于排列中的一个元素，左边比它大的数的个数， 叫做该元素的逆序数 . 排列的逆序数 = 排列中各个元素的逆序数之和. 定义 4 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 说明 一个排列不是奇排列就是偶排列.
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作业
计算以下排列的逆序数，并判断奇偶性
①1 3 4 2 6 5 ;
②2 4 … (2n) (2n-1) (2n-3) … 1
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思考题
分别用两种方法求排列 163பைடு நூலகம்2487 的逆序数.
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思考题解答
方法 1 求出每个元素的逆序数, 并相加
t 0 011 3 2 01 8
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例 1 求排列 32514 的逆序数，并说明它的奇偶性.
分析 3： 排在首位, 逆序数为 0; 2： 前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为 1; 5： 前面没有比 5 大的数, 其逆序数为 0; 1： 前面比 1 大的数有 3 个, 故逆序数为 3; 4： 前面比 4 大的数有 1 个, 故逆序数为 1. 解 3 2 5 1 4
解
n 1 (1) nn 1n 2 3 2 1 n2 nn 1 t n 1 n 2 2 1 0 2 当 n 4k , 4k 1 (kN) 时，为偶排列, 当 n 4k 2, 4k 3 (kN) 时，为奇排列.
线性代数ppt课件
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解： 1 3 … （2n-1） 2 4 … 2k… （2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是：四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数？
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨：历史上少见的通才，被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上，他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上，莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 （对角线法则或沙路法则 ）
§1-2 全排列及其逆序数
1,2,3 ；1,3,2 ； 2,1,3 ； 2,3,1 ；3,1,2 ； 3,2,1
（2）逆序：在一个排列里，如果某一个较大的数排在某一 个 较小的数前面，则称这两个数码构成一个逆序； 例3 ：5 阶排列 4,3,5,2,1 中 4,3 、4,2 、4,1 及 3,2 、 3,1
5,2 、5,1 、2,1 等均构成反序，且共8 个反序；
（3）逆序数：在一个排列 i1 , i2 , , in 里，出现的逆序 总个数称为这个排列的逆序数；并记作 i1 , i2 , , in 例4 ：例 3 中 5 阶排列 4,3,5,2,1 中，逆序数为 8 即： 4,3,5,2,1 8
逆序数的计算：在一个排列 i1 , i2 , , in 里，先看有多少
特别，称 1,2, , n 为这
例1 ：1,2,3,4,5 ； 5,4,3,2,1 ； 3,2,1,5,4 ； 3,4,5,1,2 等等，均为 1,2,3,4,5 这5 个数码的不同排列； 结论： n 个数码 1,2, , n 的所有排列共 n! 个。
例2： 3个数码的不同排列共 3! 6 个，分别为
4,7,5,1,3,6,2 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
3 5 3 0 11 0 13
（4）奇偶排列：若 i1 , i2 , , in 是奇数，则称 排列 i1 , i2 , , in 为奇排列； 排列 i1 , i2 , , in 为偶排列； 例6： 3 阶排列中 若 i1 , i2 , , in 是偶数，则称
个数排在 1 的前面，设有 m1 个，即有 m1 个数与1 构成反序； 将 1 划去；再看有多少个数排在 2 的前面，设有 m2 个，将 2 划去；‥ ‥ ‥ ，如此下去，设有 mn1 个数排在 n 1 的 前面，将 n 1 划去，最后只剩下数 n ，即 mn 0 则 i1 , i2 , , in m1 m2 mn1 mn 例5 ：7 阶排列 4,7,5,1,3,6,2 中，
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
线性代数1-2
t 0
4 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k 21 k 1k 1 k k2, 2
p1 p2 pn t p1 p2 pn
1
a1 p1 a2 p2 anpn
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和; 3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
a11
a12 a1n
a11a22 ann .
0 a22 a2 n
解
0 0 ann 展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 anpn .
pn n, pn1 n 1, pn 3 n 3, p2 2, p1 1,
分析
所以不为零的项只有 a11a22 ann . a11 a12 a1n
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解:
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t 0 1 0 0 1 3 4 4 5
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321 n2 2 0 1
对应于
1t a11a22a33a44 x 3 ,
1
t 1243
1_2排列、逆序与对换
1.2.1 排列与逆序定义1.2.1由自然数1，2，······，n 组成的一个有序数组称为一个n 元排列.例如：1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是数1，2，3，4，5的一个排列.问题：n 个数的不同排列有个.n !标准排列(自然排列).按数的大小次序，由小到大的排列称为定义n 阶排列1234…n 称为n 阶自然序排列.计算排列的逆序数的方法：分别计算出排在1,2,…,n-1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2,…,n-1,n这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数例1 求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;3 2 5 1 401031于是排列32514的逆序数为(32514)01031τ=++++.5=5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例2 计算下列排列的逆序数()2179863541解453689712544310010(217986354)τ=18=54+0100134+++++++()()()212321n n n−−L 解()()(12321)n n n τ−−L ()()12321n n n−−L 0=000000考虑，在1，2，3 的全排列中有个偶排列：有个奇排列：123，231，312 132，213，32133一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半.定义1.2.4把一个排列中的任意两个数交换位置，而其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换.将相邻的两个数对换，称为相邻对换.ml b b a a L L 11例如b a ml b b a a a L L 11a b nm l c c b b a a L L L 111n m l c c a b b b a a L L L 111b a a 2.对换定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为m l b b ab a a L L 11对换与a bml b b ba a a L L 11除外，其它元素的逆序数不改变.b ,a ba a b 的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1 ,当时，b a <当时，b a >经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.a b 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为nm l c bc b ab a a L L L 111现来对换与a .b 次相邻对换m nm l c c b b ab a a L L L 111次相邻对换1+m n m l c c a b b b a a L L L 111,111n m l c bc b ab a a L L L ∴次相邻对换12+m ,111nm l c ac b bb a a L L L 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.nm l c c b b b a a a L L L 111ab2!n q p ==定理任意一个n 阶排列都可以经过一系列对换变成自然序排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.证明用数学归纳证明当n=1时，结论显然成立.假设结论对n-1阶排列成立,现证对n 阶排列也成立..,,,21阶排列是任一设n j j j n L ,n j n =若.1,,,121阶排列个是一则−−n j j j n L 由假设知，121,,,−n j j j L 可经过一系列对换变成自然序排列，从而nn j j j j ,,,,121−L 可经过一系列对换变成自然序排列.),,,n n j n n j 则先作对换（若≠n n n n j j j j j j j j ′′′′−−,,,,,,,,121121L L 变成使这就归结为上面的情形，结论成立.所以任意一个n 阶排列都可以经过一系列对换变成自然序排列.由于自然序排列是偶排列，由定理1可知，对换一个改变排列奇偶性，所以将一奇排列变成自然序排列推论需要作奇数次对换，而将一偶排列变成自然序排列则需要作偶数次对换,证毕.任意两个n 阶排列都可以经过一系列对换互变，而且若这两个排列的奇偶性相同，则所作的则所作的对换次数是奇数.对换次数是偶数；若这两个排列的奇偶性相反，小结1.排列,逆序数，奇排列,偶排列,对换的定义.2.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．思考题证明在全部阶排列中,奇偶排列各占一半. n ()2≥n 思考题解答证设在全部阶排列中有个奇排列, 个偶排列,现来证.n s t t s =将个奇排列的前两个数对换,则这个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以s s .t s ≤若将个偶排列的前两个数对换,则这个偶排列全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有t t .s t ≤故必有.t s =作业：P251（1）（5）2（1）（2）3（2）4（1）56 （1）（3）。
1-2排列及其逆序数
p1 p2 p3.......... pn , p N , i 1, 2, , n . 定义⒈⒉ 若在排列 p1 p2 ...... pn 中,某两数不是自然顺序
（４）标准排列是偶排列。
定义⒈⒋ 例： 定理⒈⒈
对换：将排列中某两数位置对调，其余数不动。
6372451 对 换 一 次 1372456 偶排列 奇排列
排列经一次对换，奇偶性改变。
推论 （１）：奇（偶）排列调为奇（偶）排列， 须作偶数次对换，奇偶性相同。 （２）：奇（偶）排列调为偶（奇）排列， 须作奇数次对换，奇偶性不同。 （３）：奇（偶）排列调为标准排列， 须作奇（偶）数次对换，标准排列是偶排列。
例1.2，求排列数的逆序数
(1)６３７２４５１ (2)１３７２４５６
(3) 1 2 3 …(n-1)n(2n)(2n-1)…(n+1) 解：(1) 排列 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 6 3 7 2 4 5 1 τi 0 1 0 3 2 2 6
(6372451) i 14
i
排列的一般记法：
(即前数>后数),则称这两数构成一个逆序。 排列 p1 p2 ..... pn 的逆序总数称为逆序数。 记作：
( p1 p2 p3..... pn)
记 逆序数求法：
i 是pi 前比pi 大的数的个数，则 ( p1 p2 ... pn ) 2 3 ... n (1 0)
1 i 0 0 1 2 (n 1) (n 1)n 2 i 1
线性代数1-2
al a bb1
bm
对换 a 与 b
a1
al b ab1
bm
除a,b外，其它元素的逆序数不改变. 逆序数加1或减1，奇偶性改变.
2)
一般情形
对换a与b
a1 al a b1 bm b b c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn
a1
al bb1
bm ac1
cn ,
m 次相邻对换 a 1
若将t 个偶排列的前两个数对换, 则这t 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s . 故必有 s t .
本节小结
1. n元排列 2. 逆序 3. 逆序数 4. 奇偶排列 5. 对换 结论1 任一排列经过一次对换奇偶性改变. 结论2 全部n元排列中,奇偶排列各占一半.
t 18
例2 讨论排列 n n 1 n 2 解
nn 1n 2321
n1 n2
321的奇偶性.
t n 1 n 2 2 1 n n 1 , 2 当n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
例3 选择i和j,使1i25j4869成为奇排列、偶排列.
1
4.对换
n元排列中, 任意对调两个元素的位置,其余元素 不动,这种变换叫做对换．
奇 偶
25143
偶
25413
奇
这些排列的
奇偶性呢？
2 1 6 排列经过一次对换必改变奇偶性. 证明 1) 特殊情形：相邻对换 设排列为 a1
2.逆序
n元排列中,若较大的元素排在较小的元素 前面，称为一个逆序. 比如 3 2 5 1 4
3.逆序数
排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
线性代数1.2全排列与逆序数
的奇偶性， .
而标准排列是
0 )，因此知推论成立
推论2：n元排列中（n>1,n！个排列）奇排列偶排列 各占一半。
计算排列的逆序数的方
法 :
设 p 1 p 2 p n 为 n 个自然数的一个排列，
考虑元素 p i ( i 1、、 n )， 2 p i 前面的元素有 t i 个，
如果比 p i大的且排在
就是说 pi 这个元素的逆序数为t i .
全体元素的逆序数 即是这个排列的逆序数 之和 . t t1 t 2 t n
n 个不同元素的所有排列
的种数，通常用
Pn 表示 .
Pn n ( n 1) 3 2 1 n!
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中， 3排在首位，逆序数为 0； 2前面比2大的数有一个（3），故逆序数为1； 5是最大数，逆序数为 0； 1前面比1大的数有三个（3、2、5）,故逆序数为3； 4前面比4大的数有一个（5），故逆序数为1； 于是这个排列的逆序数为 ( 32514 ) 0 1 0 3 1 5 .
解
n 1 n ( n 1 )( n 2 ) 321 n 2
t ( n 1) ( n 2 ) 2 1
n( n 1) 2
,
当 n 4k ,
4 k 1时为偶排列，
4 k 3时为奇排列 .
ti ,
i1
n
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的 奇偶性.
(1 ) 217986354 ;
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 1 0 0 1 3 4 4 5
t ( 217986354 )
§1.2__全排列、逆序数
全排列、逆序数§1.2 全排列、逆序数猜测四阶行列式展开项不只是对角线展开项。
还含有其他项。
行列式展开后有正、负项，为什么二、三阶展开项中主对角是正项、副对角是负号？如何确定每项前的正、负号？121.2.1、全排列及其逆序数同的排法？，共有几种不个不同的元素排成一列把n 问题定义1.2.1把个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.n n 个不同的元素的所有排列的种数，这里 用表示.n n P 例如1233⋅⋅=P .6=n P n =)1(−⋅n )2(−⋅n 123⋅⋅⋅⋅L !.n =同理3在一个排列 中，若数则称这两个数组成一个逆序.()n s t i i i i i L L L 21s t i i >例如 排列32514 中，定义1.2.2 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序定义1.2.3 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514 中，223 2 5 1 41故此排列的逆序数为2 +1 +2 =5.4排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.56例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.()2179863541解45368971210345401=N 18=此排列为偶排列.10345401++＋＋＋＋＋7()()()321212L −−n n n 解12+++L (),21−=n n 当时为偶排列；14,4+=k k n 当时为奇排列.34,24++=k k n ()1N −=n ()2−+n ()()32121L −−n n n 1−n 2−n8()()()()()()k k k k k k 132322212123+−−−L 解22)12(1)12(31k k k k t =×−+=−+++=L 当为偶数时，排列为偶排列，k 当为奇数时，排列为奇排列.k ()()()()()kk k k k k 132********+−−−L ↓−12k ↓0↓−32k ↓0↓−52k L ↓19 1.2.2、对换的定义定义1.2.4在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．ml b b b a a a L L 11例如b a m l b b a b a a L L 11a b n m l c c b b a a L L L 111nm l c c a b b b a a L L L 111b a a101.2.3、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1.2.11.2.11.2.1 一个排列中的任意两个元素对换， 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明（思路：先看简单情形：相邻对换，再证一般对换�由相邻对换变化而来由相邻对换变化而来））设排列为m l b b ab a a L L 11对换 与a b m l b b ba a a L L 11除 外，其它元素的逆序数不改变.b ,a ab ba 例：12排列为0－偶数，对换后21排列为1－奇数11当 时，b a >a b 的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1 ,经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.a b 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为nm l c bc b ab a a L L L 111当时，b a <现来对换与a .b12次相邻对换m n m l c c b b ab a a L L L 111次相邻对换1+m n m l c c a b b b a a L L L 111,111n m l c bc b ab a a L L L ∴次相邻对换12+m ,111nm l c ac b bb a a L L L 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.nm l c c b b b a a a L L L 111ab推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数..证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.13142 排列具有奇偶性.1 n 1 n 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n! .n! .n !.n 1.2.4、小结3 对换改变排列的奇偶性.。
【VIP专享】1-2全排列及其逆序数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例2 计算下列排列的逆序数.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
2 nn 1 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
32514 01 031
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
1-2 全排列及其逆序数
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
例 计算下列排列的逆序数.
1
解
217986354
2 1 7 9 8 6 3 5 4
（由后向前求每个数的逆序数.）
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
2 nn 1n 2321
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
2. 逆序、逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义
例如
在一个排列 i1i2 it is in 中，若数 it i s 则称这两个数组成一个逆序. 排列32514 中， 逆序
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个互不 相同的三位数？ 解
3种放法
设
2种放法
是一个三位数字，
1种放法
百位上可以从1 2 3三个数字中任选一个，所以有3种放法 十位上只能从剩下的两个数字中任选一个，所以有2种放法 而个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法 共有 3 2 1 6 种放法. 这6个不同的3位数是
3 2 5 1 4 逆序 逆序 定义 一个排列i1i2…in中所有逆序的总数称为此 排列的逆序数.记作 t (i1i2…in)或简记为t
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的 数字个数之和. 例4 解 求排列32514的逆序数.
在排列32514中,
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1
解
n1 nn 1n 2321
t n 1 n 2 2 1
线性代数1-2
思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因 而是偶排列.
计算排列的逆序数的方法
设 p1p2 … pn 是 1, 2, …, n 这 n 个自然数的任一排列，并 规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1大的数排在 p1前面，记为 t1 ； 再看有多少个比 p2大的数排在 p2前面，记为 t2 ； …… 最后看有多少个比 pn大的数排在 pn前面，记为 tn ；
2. 若排列的x1x2…xn逆序数为I，求排列xn xn-1…x1 的逆序数.
答 案
继续
1. (1)9
(2)1 3 (2n 1) n2
2. ( xn xn1
x1 )
n(n 1) I . 2
详解
10
思考练习（排列的逆序数详解）
方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t), 则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序， 且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列
发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：
若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)
若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
一般情形
设排列 …ji1…isk… (3) 经j,k对换变成 …k i1…is j… (4) 易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：
例6
( 31)
(42)
(43)
342114231243 1234
5 2 1 0
结论： ①对换改变排列的奇偶性. ②任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一
计算机网络实验基础知识1-2 全排列及其逆序数
于是排列32514的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 7986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
i1 前面比i1 大的数码个数； i1 i 2 i n
向前看大 向后看小
③ i1 后面比i1 小的数码个数 i2 后面比i2 小的数码个数
in 后面比in 小的数码个数； i1 i 2 in
向后看小 向前看大
例1 求排列32514的逆序数.
解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1 1 63 5 2 4 8 7 t 03121010 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数. t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2 nn 1n 2321
解 n1
nn1n 2321 n 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k ,4k 1时为偶排列；
从后面向前看大
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
从前面向前看大
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2,
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元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
第二节
第一章
全排列及其逆序数
一、概念的引入 二、全排列及其逆序数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法
1种放法
共有 3 2 1 6 种放法.
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
作业
P26 1 (1),(3)； 2 (3), (5);
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
32514 01 031 于是排列32514的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2 321
解 n1
nn 1n 2 321 n 2
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法
方法1
分别计算出排在1,2, ,n 1,n前面比它大的数 码之和即分别算出 1,2, ,n 1,n 这 n个元素
的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.