立体几何中距离问题

已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面
ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，
求点B到平面GEF的距离。
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
练习7：
在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角
形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ，
M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面
CMN的距离. (1)证明：AC SB;
uuur
ArP ?
b
r
n?
rr
A
n是与 a都, b垂直的向量
r n
P
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
uuur r
直线到平面的距离：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
uuur r
d
|
AP r
n
|
n
uuur
r
其中 AP为斜向量， 为n 法向量。
A
P
r
n
d
O
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(1) 求B1到面A1BE的距离； z
Cy
B
三、平面到平面的距离
uuur r
d
|
AP r
n
|
n
A
r n
P
d O
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
z
D1
A1
D
A
x
C1
B1
Cy
B
四、异面uu直ur 线r的距离
d | APr n | a
n
DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示
则D1
(0,
0,1),
B(1,1,
0),
A1
(1,
0,1),
E
(0,
1 2
,1)
z
uuuur A1E
1,
1 2
,
0
,
uuuur
D1B 1,1, 1
设n
则
r n
r
(uuAxuu1,uuEuuyrr,z)0是, 与A1xE, D121
练习4：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,
∠ACB=900,AA1= 2 ,
求B1到平面A1BC的距离。C1 z
A1
B1
C
A
B
x
y
练习5：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
AC=BC=AB=1, AA1= 2
z
求B1到平面A1BC的距离。 C1
A1
B1
C
xA M
B y
练习6：
立体几何中的向量方法 ------距离问题
向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )则
a b (a1b1, a2 b2 , a3 b3);
a (a1, a2, a3), ( R); a b a1b1 a2b2 a3b3;
a // b a1 b1, a2 b2 , a3 b3; ( R); a b a1b1 a2b2 a3b3 0;
即zy
2x, 2x,
取x＝1，得平面A1BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
D1 A1
uuuur
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
E
C1 B1
uuuur r
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n r n
2 3
A
x
Cy
B
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，
答案： (3,-3,-2)
二、平面的法向量定义
如果表示非零向量 n的有向线段所 在直线垂直于平面α，那么称向量 n垂直 于平面α ，记作 n⊥α ．此时，我们把向 量 叫n 做平面α的法向量．
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
一、求点到平面的距离
P
一般方法：
d
|
AP n | r
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。
z
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习2：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
二、直线到平面的距离
uuur r
l
d
|
AP n | r
n
A
uuur
r
其中 AP为斜向量， n为法向量。
Pr
n d O
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
在空间直角坐标系中， 已知A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2 ), 则 | AB | AB AB
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 ;
一、直线的方向向量定义
直线L上的向量 e以及与向量 共e 线 的向量叫直线L的方向向量.
e
L
e
• 例：直线L过点P(-2,3,1),Q(1,0,-1)，则 直线L的一个方向向量为______
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
练习3:
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求直线DA1和AC间的距离。
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
夹角、
cos a,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
;
|a||b|
a12 a22 a32 b12 b22 b32
Βιβλιοθήκη Baidua b a1b1 a2b2 a3b3;
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
空间两点间的距离公式、
Sz
(2)求二面角N CM B的大小；
(3)求 点B到 平 面CMN的 距 离.
N
C
O
y
B
A
M
x
2)uAu1uEur =(-1,12
uuur
r
,0),A1B=(0,1,-1)设n
(
x,
y,
z)为面A1BE的法向量，
则
r uuuur
n r
uAu1uEr
0,
x 1 y 0, 2
z
n A1B 0, y z 0,