分段函数单调性及其应用

分段函数单调性及其应用

基本理论

函数⎩⎨⎧>≤=a x x f a x x f x f ),(,),()(2

1在R 上单调递增，则)(x f 满足两个条件： （1） )(1x f 在],(a -∞上单调递增，)(2x f 在),(+∞a 上单调递增；

（2） ).()(21a f a f ≤

数学应用

1.(直接应用）已知⎩⎨⎧≥<+-=1,

log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是________________.

变式拓展：1.1若函数x a x x x f 2)(+-=在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.

1.2已知函数.,1)(2

R a a x x x f ∈+-+=求)(x f 得最小值.

2（从反方向角度考查）

设⎩⎨⎧>-≤+-=,

1,1,1,)(2x ax x ax x x f 若存在2121,,x x R x x ≠∈，使得)()(21x f x f =成立，求实数a 的取值范围.

3（从数列问题函数化角度考查） 设数列)(7,

,7,4)2(*N n n a n n n a a n ∈⎩⎨

⎧<+≥++-=是递增数列，则实数a 的取值范围是_______________.

4.（从“间断点”处回归函数考查）

已知函数)(0,)3()4(,0),1()(22222R a x a x a a x x a k x k x f ∈⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=.若对任意的非零实数1x ，都存在唯一的非零实数2x ，使得)()(21x f x f =成立，求实数k 的取值范围.