高中数学常见的知识类比
高二数学选修课件时类比推理
的联系和相似的性质，如对数运算法则、指数方程的解法等。
03
三角函数与反三角函数的类比
三角函数和反三角函数是数学中的重要内容，它们之间有着相似的性质
和图像特征，如周期性、振幅、相位等概念。
03 类比推理在解题中应用举 例
选择题中应用
题目类型识别
通过类比推理，识别题目类型，从而 选择相应的解题方法。例如，对于与 已知题目类似的题目，可以借鉴已知 题目的解题思路和方法。
误区三
机械类比。将不同领域的对象进 行简单的机械类比，忽略它们之 间的内在联系和逻辑关系，导致 推理结果不合理。避免方法：在 类比时注重逻辑性和内在联系， 确保类比的逻辑性和科学性。
拓展延伸：类比推理在其他学科中应用
物理学中的应用
化学中的应用
通过类比已知物理现象和规律，发现新的 物理现象和规律；借助类比推理解决复杂 的物理问题。
判断
在识别出相似关系后，需要进一步判断这种相似关系是否足 以支持类比推理的结论。这需要对相似关系的本质和程度进 行深入分析，以确定类比推理的可行性和可靠性。
相似性与差异性分析
相似性分析
在类比推理中，相似性分析是关键步骤之一。它涉及对两个或多个对象的共同特征和属性进行比较和 归纳，以确定它们之间的相似程度。相似性分析有助于我们找到对象之间的内在联系和规律。
误区警示及避免方法
误区一
过度泛化。将不同领域的对象进 行类比时，容易忽略它们之间的 本质差异，导致错误的推理结果 。避免方法：在类比前深入分析 对象的本质属性和特征，确保类 比的合理性。
误区二
忽视细节。在类比过程中，容易 忽略一些重要的细节差异，导致 推理结果不准确。避免方法：在 类比时关注细节，特别是那些可 能对推理结果产生重要影响的细 节。
类比法在高中数学教学中的应用
类比法在高中数学教学中的应用
在数学概念的教学中，类比法可以帮助学生更好地理解和把握数学概念。
在教学平行
线与垂直线的概念时，可以引导学生观察生活中的平行线和垂直线的特征，如铁轨、街道、建筑物等，通过对比这些具体实例，帮助学生理解什么是平行线和垂直线。
类似地，在教
学集合概念时，可以将集合视为一个盒子，其中包含着不同的元素，通过比较具体的盒子
和元素的关系，帮助学生理解集合的概念和性质。
在解决数学问题的过程中，类比法可以引导学生从已有的知识和经验中寻找类似的思
路和方法。
在解决关于比例的问题时，可以引导学生回忆生活中常见的比例问题，如图案
的放大和缩小、物体的比例模型等，通过找到这些类似问题的思路和方法，帮助学生解决
当前的数学问题。
类似地，在解决方程的问题时，可以将问题转化为生活中的实际情境，
并通过类比来引导学生使用相应的方程求解问题。
在数学公式和定理的教学中，类比法也可以起到很好的辅助作用。
在教学勾股定理时，可以带领学生观察生活中的直角三角形，如楼房的角、梯子的角等，通过比较直角三角形
的边关系，引导学生理解和记忆勾股定理。
类似地，在教学二次函数的顶点公式时，可以
将抛物线的图像与生活中的物体抛射的轨迹进行类比，通过观察和比较，帮助学生理解公
式的含义和应用。
类比法在高中数学教学中具有重要的应用价值。
它可以帮助学生更好地理解和掌握抽
象的数学知识，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
在高
中数学教学中，教师应充分发挥类比法的优势，创造性地设计和运用各种类比教学资源，
以提高学生的学习效果和成绩。
高中数学教学中类比推理的运用探究
高中数学教学中类比推理的运用探究一、引言类比推理是数学思维的重要部分，也是认知过程中重要的思维方向之一。
在高中数学教学中，类比推理对于学生的数学思维能力的培养起着重要的作用。
类比推理是指将两个不同的事物进行比较，从而发现其相似之处，并抽象出一个普遍规律，从而推广到其他不同的事物中去。
例如，研究一元二次方程ax²+bx+c=0的解，可以通过比较它与已知的形如y=kx²的二次函数找到它们的相似之处，推断出a、b、c的取值对方程的根的情况产生了什么影响。
这种类比推理能够让学生将已知的解决方案应用到新的问题中去，从而提高解决问题的能力。
1. 帮助理解公式在数学学习中，一些公式的推导显得非常复杂，而利用类比推理的方法可以为学生提供简单易懂的解释和理解。
比如，在初中时学过求两点之间的距离公式d=sqrt((x2-x1)²+(y2-y1)²)，学生能够利用类比推理的方法，将该公式的思想普及到三维空间的平面上，实际上就是一个简单的勾股定理。
2. 帮助理解函数的性质函数是数学学习中比较重要的概念之一，而函数的性质也是学生需要理解和掌握的内容之一。
利用类比推理的方法可以帮助学生从不同的角度来理解函数的性质。
比如，我们可以将函数看做是输入输出的一个系统，像一台自动售货机一样，输入一定数量的钱，机器会输出一定数量的商品，而函数也遵循同样的逻辑，输入一定数量的自变量，函数会输出一定数量的因变量，这样的比喻会让学生更加直观地理解函数的定义和性质。
3. 帮助解决实际问题类比推理也可以帮助学生解决实际问题。
实际问题中同样存在着相似之处，利用类比推理方法可以将已有的解决方案应用到新的问题中去。
例如，我们需要在平面上修建一个三角形的花坛，可以类比已有的四边形花坛的建设方法，利用相似三角形的性质，解决出新的问题。
三、类比推理的运用技巧与注意事项1. 找到相似之处类比推理最重要的环节就是寻找两个事物之间的相似之处。
类比推理在高中数学中的应用
类比推理在高中数学中的应用类比推理是一种推理方法，通过对已知事物与未知事物的相似之处进行比较，从而推断出未知事物的性质和特征。
在高中数学中，类比推理有着广泛的应用，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
下面我将为大家介绍一些在高中数学中的类比推理应用。
一、类比推理在几何中的应用在几何学中，类比推理可以帮助我们推理和证明图形的性质和关系。
我们可以通过观察三角形、四边形等各种图形的特点和性质，找出它们之间的共性，并应用到解题中。
1. 类比推理做题示例：已知正方形ABCD的边长为a，点E是AC的中点，连接DE交BC于F，请推导出△DEF 和□BCFE的性质。
解析：根据正方形的性质，我们知道正方形的对角线相等，即AC=BD=√2a。
因为E是AC的中点，所以AE=EC=a/2。
根据类比推理，我们可以推知ED=AE=a/2。
又因为三角形DEF的两边DE和EF相等，所以DEF是一个等腰三角形。
根据类比推理，我们可以推知正方形BCFE也是一个等腰四边形。
二、类比推理在代数中的应用在代数中，类比推理可以帮助我们推断和解决各种代数问题。
我们可以通过观察一些已知的方程和等式的模式，推导出其他的方程和等式。
2. 类比推理做题示例：已知a^2 + b^2 = 25，c^2 + d^2 = 20，请推导出(a + b)^2和(c + d)^2的值。
解析：将(a + b)^2展开得到 a^2 + 2ab + b^2。
根据已知条件a^2 + b^2 = 25，我们可以将其代入到(a + b)^2中，得到：(a + b)^2 = 25 + 2ab。
3. 类比推理做题示例：已知某班级男生的身高服从正态分布，均值为170cm，标准差为5cm。
如果我们随机选择一个男生，他的身高超过175cm的概率是多少？解析：根据正态分布的性质，我们知道约68%的数据位于均值的一个标准差范围内。
所以，身高超过175cm的男生概率为：(100% - 68%)/2 = 16%。
类比相关知识点总结高中
类比相关知识点总结高中一、生物学中的类比生物学中的类比是指生物体的某些部分或器官在不同的生命层次（如不同物种、不同系统等）中，具有相似的结构、生理功能与发育、遗传关系等多个方面的相似之处。
类比是生物学中常见的现象，可以帮助我们更好地理解生物体的结构和功能。
比如，我们可以通过对比不同物种的眼睛结构，来更好地理解眼睛在不同物种中的功能和意义。
此外，类比也可以帮助我们发现并理解一些新的生物现象，促进科学研究和技术创新。
二、物理学中的类比物理学中的类比是指在物理现象中，找到两个或多个相似之处，并借助相似之处进行推理和研究。
类比在物理学中有着重要的意义，可以帮助我们更好地理解物理规律和原理。
比如，通过对比水流和电流的运动规律，我们可以更好地理解电流的流动规律；通过对比橡胶与金属的弹性形变，我们可以更好地理解材料的力学性质。
物理学中的类比也常常被用于解决复杂的物理问题，促进新的物理理论和技术的发展。
三、数学中的类比数学中的类比是指通过对比两个或多个数学问题的相似之处，来理解和解决数学问题。
类比在数学学习中有着重要的作用，可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识。
比如，通过对比不同形状的图形的面积和周长，我们可以更好地理解面积和周长的计算公式；通过对比不同方程式的解法，我们可以更好地理解方程的求解方法。
数学中的类比也常常被用于发展新的数学理论和方法，促进数学研究和应用。
综上所述，类比是一种重要的思维工具，可以帮助我们更好地理解知识点、解决问题和发展创新思维。
在高中学习中，我们可以通过对不同学科的知识点进行类比，来加深对知识点的理解，拓展我们的思维，提高学习的效果。
希望本篇文章对读者们有所帮助，欢迎大家交流讨论。
类比推理在高中数学教学中的应用
类比推理在高中数学教学中的应用一、类比推理概述类比推理是指通过已知事物的相似性来推断未知事物的性质和关系的一种思维方式。
在类比推理中，我们将已知的两个事物之间的关系应用到另外两个事物之间，以此来推断未知的事物之间的关系。
类比推理是我们在日常生活和学习中经常使用的一种思维方式，它能够帮助我们理解和解决新问题，促进我们的思维能力和创造力的提高。
二、类比推理在数学题中的应用在数学教学中，我们经常可以看到一些与类比推理密切相关的题目。
已知a:b=c:d，求a和b的比值。
在这个例子中，我们需要通过已知的a与b的比值和c与d的比值之间的关系来推断a和b的实际值。
又如，如果我们知道两个三角形的三条边的比例相等，我们可以推断这两个三角形是相似的。
这些都是类比推理在数学题中的应用，它们帮助我们理解和解决数学问题，提高我们的数学思维能力。
三、类比推理对学生思维能力的提升作用类比推理能够帮助学生培养抽象思维能力和逻辑推理能力，从而提升他们的思维能力。
当学生在解决数学问题时，通过类比推理的方式，他们需要将已知的数学知识和方法应用到新的问题中去，这样可以促进他们的思维灵活性和创造性。
类比推理也需要学生进行横向思维和跨学科的思维，这有助于培养他们的综合性思维能力。
四、类比推理对数学学习的促进作用通过类比推理，学生可以更好地理解和应用数学知识，从而促进他们的数学学习。
类比推理可以帮助学生将数学知识内化为自己的思维工具，而不仅仅局限于记忆和操纵。
这样，学生将更加深入地理解数学知识的本质和应用，而不仅仅局限于求解题目。
类比推理还可以激发学生的学习兴趣和动力，提高他们的学习效率和学习质量。
五、实际教学中的应用策略在实际的数学教学中，教师可以采取一些策略来促进类比推理在学生中的应用。
教师可以通过课堂讨论和案例分析，引导学生运用类比推理来解决实际数学问题，从而帮助他们培养类比推理的思维方式。
教师可以设计一些类比推理的练习题，让学生在实践中体会类比推理的重要性和应用方法。
谈高中数学教学中类比推理的作用及其运用
谈高中数学教学中类比推理的作用及其运用【摘要】在高中数学教学中，类比推理是一种重要的思维方式。
本文首先从引言部分谈到了高中数学教学中类比推理的重要性，接着在正文中分别阐述了类比推理在高中数学教学中的作用、运用案例、实践方法、培养学生能力和评估效果等方面。
通过对这些内容的详细讨论，可以更好地理解类比推理在数学教学中的实际应用和重要性。
结论部分总结了高中数学教学中类比推理的意义，强调了其对学生思维发展和数学学习的促进作用。
通过本文的阐述，读者可以更深入地了解到类比推理在高中数学教学中的作用及其重要性。
【关键词】关键词: 高中数学教学, 类比推理, 作用, 运用案例, 实践方法, 培养学生能力, 评估效果, 意义1. 引言1.1 高中数学教学中类比推理的重要性在高中数学教学中，类比推理是一种非常重要的教学方法。
通过类比推理，我们可以将抽象的数学概念与现实生活中的具体情境相联系，让学生更好地理解数学知识的实际应用。
类比推理还可以帮助学生培养逻辑思维能力、创造性思维能力和解决问题的能力。
在高中数学教学中，类比推理可以帮助学生建立起数学知识体系之间的联系，促进知识的迁移和整合。
通过将数学知识与实际生活中的问题相联系，学生可以更深入地理解数学知识的本质和意义，提高数学学习的效果。
类比推理还能激发学生的学习兴趣。
通过引入生动有趣的类比案例，可以吸引学生的注意力，激发他们对数学学习的热情。
类比推理也可以帮助学生更好地理解抽象难懂的数学概念，提高学习效率。
2. 正文2.1 类比推理在高中数学教学中的作用类比推理在高中数学教学中起着非常重要的作用。
通过类比推理，学生可以将已经掌握的知识和技能应用到新的问题中。
这样可以帮助学生更好地理解和解决复杂的数学问题。
类比推理可以帮助学生发现问题之间的联系和规律，从而提高他们的问题解决能力和创造力。
这对于培养学生的数学思维和逻辑推理能力非常重要。
通过类比推理，学生可以更好地理解抽象概念和理论，从而加深对数学知识的理解和记忆。
高中数学类比推理专题
1．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则．类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为i a （4,3,2,1=i ），此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为i h （4,3,2,1=i ），若k a a a a ====43214321，则kS h h h h 24324321=+++．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为i S （4,3,2,1=i ），此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为i H （4,3,2,1=i ），若K S S S S ====43214321，则4321432H H H H +++等于（ ）A ．2V KB ．2V KC ．3V KD ．3V K3．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ）A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．传递性推理4．我们知道，在边长为a a ，类比上述结论，在边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值（ ）A 5．平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是（ ）A ．三棱柱B ．三棱台C ．三棱锥D ．正方体6．平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）A ．3aB ．4aC ．3D ．4a 7．天文学家经研究认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有生命，进而认为火星上也有生命存在”，这是什么推理（ ）A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．反证法8．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是（ ）A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.联想推理9．下列推理是归纳推理的是（ ）Ａ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a ＞|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由13,11-==n a a n ，求出321,,S S S 猜想出数列的前n 项和S n 的表达式Ｃ．由圆222r y x =+的面积π2r ，猜想出椭圆12222=+b y a x 的面积π=S ab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇10．下列正确的是（ ）A ．类比推理是由特殊到一般的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．归纳推理是由个别到一般的推理D ．合情推理可以作为证明的步骤11．①由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab)c ＝a(bc)”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312．下面几种推理中是演绎推理．．．．的序号为（ ） A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ．13．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点14．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体A BCD -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ）A ．14B ．18C ．116D ．12715．已知结论:“在正ABC ∆中，BC 中点为D ，若ABC ∆内一点G 到各边的距离都相等,则2=GDAG ”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则=OM AO （ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．416．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；②由“若数列{}n a 为等差数列，则有15515211076a a a a a a +++=+++ 成立”类比 “若数列{}n b 为等比数列，则有151********b b b b b b ⋅⋅=⋅⋅ 成立”，则得出的两个结论A. 只有①正确B. 只有②正确C. 都正确D. 都不正确17．在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ）A ．1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:818．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形19．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）A. 归纳推理B. 类比推理C. 演绎推理D.以上都不是20．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2S l ”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r ＝3V S”； 乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，则其外接圆半径r ＝”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r ＝3”．这两位同学类比得出的结论( ) A ．两人都对 B ．甲错、乙对C ．甲对、乙错D ．两人都错21．求“方程345x x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程x xx x 1133+=+的解为 ． 22．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________．23．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有n n a a a a a a -+++=+++192121)19(*∈<N n n ，且成立．类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若19=b ，则存在的类似等式为________________________．24．半径为r 的圆的面积2()s r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则2()'2r r ππ=①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+?上的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．25．已知圆的方程是222r y x =+，则经过圆上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+类比上述性质，可以得到椭圆12222=+b y a x 类似的性质为________．26．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r________________________ 27．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4841281612S S S S S S S ,-,-,-成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ,则4T , ， ，1612T T 成等比数列．28．在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=b ，BC=a ，斜边AB 上的高为h ，则有结论h 2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论： ．29．已知边长分别为a 、b 、c 的三角形ABC 面积为S ，内切圆O 半径为r ，连接OA 、OB 、OC ，则三角形OAB 、OBC 、OAC 的面积分别为cr 21、ar 21、br 21，由br ar cr S 212121++=得cb a S r ++=2，类比得四面体的体积为V ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ,则内切球的半径R=_________________30．已知点),(),,(2121x x a x B a x A 是函数(1)x y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222x x x x a a a ++>成立．运用类比思想方法可知，若点)sin ,(),sin ,(2211x x B x x A 是函数)),0((sin π∈=x x y 的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．31．如图(1)有面积关系：PA B PAB S S ''∆∆＝PA PB PA PB''⋅⋅，则图(2)有体积关系：P A B C P ABC V V '''--＝________.32．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有222b a c +=．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMN O -，如果用321,,S S S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是 ．33．已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h =，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 ．34．在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空间中：（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是 ；（2）到已知平面相等的点的轨迹是 .35．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ；类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ ．36．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，且通项为1(1)2n S d a n n =+-⋅．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则 ．37．对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为（-1，2），解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：解：由02>++c bx ax 的解集为（-1，2），得0)()(2>+-+-c x b x a 的解集为（-2，1），即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为（-2，1）参考上述解法，若关于x 的不等式0<++++c x b x a x k 的解集为（-1， 31-） （21，1），则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为________________ 38．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．39．已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．40．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：_____________________．42．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ．”猜想关于球的相应命题为“半径为R 的球内接六面体中以 的体积为最大，最大值为 ”43．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径CS r 2=．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=______________________。
类比推理在高中数学中的应用
类比推理在高中数学中的应用类比推理是一种基于相似性的推理方法，通过比较两个事物之间的相似性和差异性来得出结论。
在高中数学中，类比推理被广泛应用于解决各种数学问题和证明定理。
本文将以几个具体的例子来探讨类比推理在高中数学中的应用。
我们来看一道典型的类比推理题目：已知：a/b=c/d要求：证明(ad-bc)/bd=0解题分析：在这道题中，我们需要通过类比推理来证明(ad-bc)/bd=0。
我们根据已知条件a/b=c/d，可以得出a×d=b×c。
然后，我们将要证明的式子进行化简：(ad-bc)/bd=(ad-bc)/(a×d)=(a×d-b×c)/(a×d)。
根据已知条件a×d=b×c，我们可以得出(a×d-b×c)=0。
所以，(ad-bc)/bd=0。
通过类比推理，我们成功证明了(ad-bc)/bd=0。
另一个常见的应用是在几何证明中。
证明平行线的性质或者证明几何图形的相似性时，类比推理可以帮助我们建立起一些必要的关系，从而证明所要求的结论。
证明两条平行线被一组交叉线分割后，内部对应角相等，利用类比推理可以很直观地得出结论。
在数列求和、等式变形、不等式推导等问题中，类比推理也发挥着重要的作用。
通过发现数列中的规律或者利用已知的数学等式和不等式来推导新的结论，都离不开对事物之间的相似性和差异性的比较和推理。
类比推理在高中数学中的应用可以帮助我们更加深入地理解概念和定理，发现问题的规律，推导结论，并且在解决数学问题和证明定理时起到了重要的作用。
通过对事物之间的相似性和差异性的比较和推理，我们可以更加灵活地运用数学知识，解决各种数学问题。
类比推理在高中数学中也存在一些局限性。
由于类比推理是基于相似性的推理方法，当事物之间的相似性不足以支撑所需的结论时，类比推理就很难得出正确的结论。
在应用类比推理时，我们需要对事物之间的相似性和差异性做出合理的判断，并且需要结合其他推理方法来综合考虑问题，从而得出正确的结论。
浅谈高中数学教学中的类比
问题 ２可仿 问题 １ 用 ’ 利
＝ ，亦可
新 知 ，得到 结论 ，给 出证 明 ． 这 种类 比的方法 可 以广泛地 运 用 ，又 如 ，平 面 向 量 到 空 间 向量 的 类 比 ，如 平 面 向量 中“ 若
Ｏ Ｐ＝２ Ａ＋ Ｏ ０ Ｂ Ｂ，且 ＋． ，贝 ／：１ ０ ｔ Ｐ、 Ａ、 Ｂ三
、
Ｑｘ，） （ ｙ 是
的中点 ， ．Ｏ ‘ Ｑ上 ．
Ｖ Ｂ、 Ｖ Ｃ两两垂 直 ，则是 否有 ：
２ ８
福建 中学数 学
２１ ００年第 ２期
ｓ 口 ： Ｂ平 面 Ａ Ｃ，垂 足为 ，连 结 Ｈ Ｂ
Ａ ，Ｂ ，Ｃ ，延长 Ａ 交 Ｂ Ｈ Ｈ Ｈ Ｈ Ｃ于 Ｄ ．
＝
（）解方程｛ ｚ ｚ ２ ２＋ ＝，
）
ｌ ｆ ２
ｚ＋ Ｚ Ｘ ＝ Ｘ．
ｆ＋７ Ｙ ２ ｘ～ ｘ２
（
．
ｚ
：
ＢＣｚ
Ｃ
分析 观察每个式子 中都有一未知数为一次
＝
２ ＤＨ ・ ＤＡ － ＢＣ ＝ Ｓ
－
。 Ｓ Ｃ，
『 ’ 二
项 ，整理 得 ｚ ：
由此及彼 的类比 、 想 ， 拓宽视 野、 联 能 启迪思 维 ． 在
；ｋ ｌ Ｖ ， —
即得所 求 的轨迹 方程 为 Ｙ＝～１ ． ＿
由于点 Ｑ只能在 圆内部 ， 所求 的轨迹 为直 故
线 ： Ｙ＝一 ｘ 已知 圆 的部分 ． １ 在
．
问 题 １ 设 （ ， Ｙ），
Ｘ ＝ —
。
ｓ Ｃ Ｓ ｃ— Ｃ， ｓ Ｂ Ｓ Ｂ— Ｃ，
１一 ｖ
， 察形式类 比联 想到正切 观
高中数学中的类比推理问题
类比推理问题—高考命题新亮点类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。
类比不仅是一种富有创造性的方法，而且更能体现数学的美感。
（一）不同知识点之间的类比数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。
它不仅可以在知识复习中使用，也可以在新知识的学习中进行。
1、立体几何中的类比推理【例1】若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N 2，则三角形面积之比为：若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为：。
【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想（证明略）评注本题主要考查由平面到空间的类比。
要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。
【例2】在中有余弦定理：拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。
【分析】根据类比猜想得出其中为侧面为与所成的二面角的平面角。
证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，同乘以，得即评注本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。
【例3】在平面几何中有“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，那么在立体几何中有什么结论呢？解析“正三角形”类比到空间“正四面体”，“任一点到三边距离之和”类比到空间为“任一点到四个面的距离之和”，于是猜想的结论为：正四面体内任一点到其各面距离之和为定值。
图1如图1，设边长为的正三角形内任一点到其三边的距离分别为、、，将分割成三个小三角形，则有，即距离之和为正三形的高（定值）图2类似地，如图2,设棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离分别为、、、，将正四面体分割成以为顶点，以四个面为底面的小三棱锥，则有，于是所以为定值【例4】在平面几何中，有勾股定理：设的两边、互相垂直，则。
论高中数学必修(1)中的类比思想
论高中数学必修（1）中的类比思想数学中的类比思想是由某事物已有的性质，以类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质，是数学逻辑思考的重要思维方法。
教科书中强调类比思想，尽最大可能展示了这一常用的逻辑思考方法，以使学生体会数学探索活动的基本规律，逐步学会借助数学符号和逻辑关系进行数学推理和探究，推求新的事实和论证猜想，从而发展学生认识事物的“数”“形”属性和规律、处理相应的逻辑关系的悟性和潜能。
它可使学生养成逻辑思维的习惯，能够有条理地、符合逻辑地进行思考、推理、表达与交流，能够利用数学内容的内在联系，使不同的数学内容相互沟通，学会数学中思考问题的方式，提高对数学的整体认识，同时提高数学思维能力、培养理性精神。
那么，教材在哪些地方运用了类比思想呢？我们老师又该如何处理教材，从而培养学生的类比思想呢？首先，教材在介绍集合间的基本关系时，教科书第6页的思考是这样写到：“实数有相等关系，大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等。
类比实数间的关系，你会想到集合之间的什么关系？”教材的意图是启发学生类比熟悉的两个实数之间的关系，联想两个集合之间的关系，从而达到培养学生的类比思想的目的。
当然，老师在教学时应抓住机会让学生充分思考和积极探索，并鼓励他们说出自己的想法。
在学生类比并对两个集合之间的关系产生了某些想法后，老师再通过分析教科书中的三个具体例子的共同特点，给出集合之间的包含关系。
这样，我们就让学生在高中阶段第一次体会了类比这一人们学习新知识的基本思维方法。
其次，教科书中第6页，又与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，引导学生得到了“AB，且BAA=B”。
再次，教科书中第9页，给出的“思考”是这样的：我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？考查下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？（1）A=﹛1，3，5﹜，B=﹛2，4，6﹜，C=﹛1，2，3，4，5，6﹜；（2）A=﹛x︱x是有理数﹜，B=﹛x︱x是无理数﹜，C=﹛x︱x是实数﹜。
高中数学中常用的类比推理
高中数学中常用的类比推理《新课程标准数学科高考考试大纲》在选修1-2中，明确要求“能利用归纳和类比等进行简单的推理”。
类比是一种思维形式，是根据两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，进而推得它们在另一属性上相同或相似的一种推理方法。
类比是人们对客观事物思维的能动反映，它为科学假设和猜想提供思维模式，因此，类比成为人们发现真理的动力。
物理学家开普勒说过：“我珍爱类比胜于一切，它是我可信赖的主人，它了解自然的所有秘密……”类比推理的形式如下：对象A具有属性a，b，c，d；对象B具有属性a，b，c；所以对象B具有属性d.这里的A，B可以是不同领域的两种事物，只要有某种类似。
由此可知，类比是逻辑推理方法中最富于创造性的一种方法，因为类比法不必像归纳法那样局限于同类事物，更不像演绎法那样受到一般原理的制约。
下面就高中数学类比推理的几种类型举例说明。
一、函数与方程型例1.（2001年上海高考题）已知两个圆x2+y2=1①与x2+（y-3）2=1②，则由①减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即得一个更一般的命题，而已知命题是所推广命题的一个特例，推广的命题为。
解：由对称性知，两圆半径相等，而圆心位置不同时才有对称轴方程，所以可填：已知两圆（x-a）2+（y-b）2=R2和（x-c）2+（y-d）2=R2（a≠c或b≠d），则此两方程相减可得这两个圆的对称轴方程。
二、等差数列与等比数列型请看下表：■等差数列和等比数列的内容有明显的类似性，它们的对应命题之间存在着有趣的对应规律：等差数列各公式中的加、减、乘、除，正好分别对应着等比数列中的乘、除、乘方、开方。
例 2.（选修1-2）在等差数列{an}中，若a10=0，则有：a1+a2+…+an=a1+a2+…a19-n（n解：在等差数列{an}中，由a10=0得，a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0所以，a1+a2+…+a19=19a10=0即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1又a1=-a19，a2=-a18，…，a19-n=-an+1a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n相应地，在等比数列{bn}中，由b9=1得，b1・b17=b2・b16=…=bn・b18-n=bn+1・b17-n=b29=1所以，b1・b2…b17=b917=1类比等差数列有b1・b2…bn=■・b16…bn+1=■・■…■=b1・b2…b17-n例3.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}：bn=（a1+a2+…+a2n+1）/（2n+1）也是等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{an}是等比数列，则数列{bn}：bn= 也是等比数列。
高中数学总结归纳 高考新题型--类比题
高考新题型--类比题类比型试题能考查学生的数学学习能力、应用能力、探究能力、创新能力，它像一朵耀眼的奇葩频频出现在高考中，现采撷几类与大家共享.１.与已知概念类比例１定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5．那么18a 的值为 ，这个数列前n 项和n S 的计算公式为．分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法.解：∵{}n a 是等和数列，12a =，公和是5，23a =∴，则3423a a ==L ，，知23n a =，212()n a n *-=∈N ．183a =∴，数列{}n a 形如：232323L L ，，，，，，．5()251()22n n n S n n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，∴为奇数．评述：这是一道新情境题型，关键要吃透定义，对于n 为奇数时，15512(1)2222n n S S n n -=+=-+=-． 2．与已知数学方法类比例2设()f x =，利用推导等差数列前n 项和的方法――倒序相加法，求(5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++L L 的值为 ．解：本题类比数学方法，即利用倒序相加法，通过合情猜想即可解决．由()(1)f x f x +-=．设(5)(4)(0)(5)(6)S f f f f f =-+-+++++L L ， 又(6)(5)(0)(4)(5)S f f f f f =+++++-+-L L ， 212[(5)(6)]2S f f =-+=∴，32S =∴．3．与已知结论类比例3 函数()y f x =的图象与直线x a x b ==，及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[]a b ，上的面积，已知函数sin y x =在π0n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为2()n n *∈N ，则（1）函数sin3y x =在2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为 ；（2）函数sin(3π)1y x =-+在π4π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为 ． 解析：（1）令3n =，则sin3y x =在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为23，又∵sin3y x =在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积相等，所以sin3y x =在2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为43； （2）由sin(3π)1y x =-+，设33πx ϕ=-，sin31y ϕ=+∴．又π4π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵， []303πϕ∈，∴，[0π]ϕ∈，∴．由（1）sin3y ϕ=在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为23，sin31y ϕ=+∴在[0π]，上的面积为1233324233S S S S S ++=⨯+=+， 3421(π0)π3S S =⨯--=-∵， sin(3π)1y x =-+∴在π4π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为2π3+．。
探析类比推理在高中数学解题中的应用
探析类比推理在高中数学解题中的应用类比推理是一种常见的思维方式，它可以帮助我们理解和解决各种问题。
在高中数学中，类比推理也被广泛应用，在解决一些难题时尤为重要。
本文将从定义，分析和应用三个方面，探析类比推理在高中数学解题中的应用。
一、定义什么是类比推理？类比推理是通过比较两个相似的事物之间的共同点来得出结论。
在类比推理中，我们常常用“像……一样”、“与……相似”等词语来形容两个事物的相似之处，从而推出结论。
例如，下面这个例子：苹果：果皮=橙子：果皮这个类比推理中，我们发现苹果和橙子都有果皮这个特征，因此它们在这个特征上是相似的，我们可以得出结论，橙子的果皮与苹果的果皮是类似的。
二、分析在高中数学中，类比推理是一种重要的思考方式。
因为数学中有很多概念、定理和公式，很多时候我们需要通过类比推理来理解这些数学概念，发现它们之间的相似之处，并将它们应用到解决具体问题中。
下面是一些常见的数学类比推理：1.同类项的加减法在高中数学的代数中，我们经常需要对多项式进行加减运算。
在进行同类项加减时，我们可以通过类比推理找到它们之间的相似之处，从而得出准确的结果。
例如：7x+5y+3z+2x-4y+6z我们可以按照同类项加减的法则，把它们按“x项”、“y项”和“z项”分别合并，得到：2.等比数列求和在高中数学中，等比数列是一个很重要的概念，可以用来解决很多实际问题。
如果我们需要求一个等比数列的前n项和，则可以通过类比推理来得出通项公式，然后代入求和公式，求出准确的结果。
例如：1，2，4，8，16……这是一个以2为公比的等比数列，第n项可以表示为2^(n-1)。
我们可以通过类比推理来发现，从第一项到第n项，每一项都是前一项乘以2，因此它们之间的关系可以表示为：a_n=a_(n-1)*2按照等比数列的通项公式，我们可以将它表示为：由此得出通项公式为：a_n=2^(n-1)。
代入求和公式：S_n=a_1*(1-r^n)/(1-r)，得到前n项和为：S_n=2^n-1。
类比推理在高中数学教学中的应用
类比推理在高中数学教学中的应用类比推理是一种自然语言推理方法，对于高中数学教学有着广泛的应用。
通过类比推理，可以将已知的数学问题与相似的问题进行比较，从而得出新的结论，扩大数学知识面，提高数学思维能力。
一、利用类比法解决无理数问题在高中数学中，无理数的计算一般用近似值进行，如π ≈ 3.14，根号二≈ 1.41。
但这种计算方法在一些问题中不够精确。
为了解决这一问题，可以采用类比法。
例如，求根号二的值，可采用设x = 1.414，求x² - 2 = 0的正根。
套用求解二次方程公式得x = 1.41421356…，近似等于根号二。
利用类比法可使学生更好地理解无理数的概念，提高精度计算的能力。
在高中几何中，有很多难题需要借助类比法得以解决。
例如，求正方体的体积。
可以用一个边长为a的正方形作差，把正方体分解成多个部分，其中顶角为右侧三角体积为a³/6，中间是梯形体积为a³/3，最下面是底面积为a²的矩形体积为a³/2。
总体积为a³/6 + a³/3 + a³/2 = a³通过这种类比方式，不仅可以深入理解几何知识，还能加强学生的空间想象能力。
在统计学中，对于复合概率问题，由于其复杂度高，往往需要借助类比法进行分解求解。
例如：有两个盒子，一个盒子里有4个红球和2个白球，另一个盒子里有1个红球和4个白球，现从两个盒子中分别取出一个球，求是两个球颜色都相同的概率。
此类问题可以采用列出概率分析表，分别列出所有可能的颜色组合以及其概率，以找到共同点，然后把它们值相加。
依照这样的推理方式解决复合概率问题，可以提高学生的问题分解与解决能力。
在高中数学教学中，类比推理方法的应用可以帮助学生更好地理解数学知识，从而提高数学思维能力。
只要有正确的思维方法，加上适合的练习，可以让每个学生都能轻松掌握数学知识，取得好成绩。
高中数学类比推理
类比推理
【知识点的认识】
1．类比推理：根据两个（或两类）对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理形式．
2．类比推理的形式：
3．特点：类比推理是一种主观的不充分的似真推理，要确认猜想的正确性，需经过严格的逻辑论证．一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，则类比得出的命题就越可靠．
【解题技巧点拨】
类比推理的步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
例：请用类比推理完成下表：
解：本题由已知前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；
②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；
③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；
④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；
⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．【命题方向】
一般以选择题、填空题的形式出现，是高考的重要内容．常见题型有：
（1）升级类比：平面到空间的类比；
（2）同级类比：圆锥曲线之间的类比；
（3）运算类比：等差与等比的类比．。
高考数学中的类比推理
高考数学中的类比推理
高考数学中的类比推理
类比推理是指在一定的科学原理下形成的相关抽象与实际思维。
它是一种以旧熟来维护新变化的逻辑思维方式，通过熟悉的例子用新的情境想象而得出未知的结论。
在高考数学中，使用类比推理的一个常见的场景是就同一个问题，采取不同的方式来进行推理。
这种推理方式比较有效，可以帮助我们理解问题的知识点，做出正确的结果。
类比推理也被用来帮助我们解决问题，进行模型转换，优化问题求解等等。
当
考生在解答高考数学中的题目时，一定要结合已有的基础知识来对问题采取类比推理的思维方式，可以灵活运用自己熟悉的问题来推导出新的问题，做出准确的判断。
此外，高中数学课程中的类比推理也可以通过掌握各种技巧来提高效率，比如
说从实例入手推出一般情况，把实例问题转化为一般问题，这样就可以��助考生更好地理解题意，把握大量知识点。
类比推理在解题中，很多概念是互为联系的，考生也可以分析和理解不同的概念之间的关系，找出相互的联系，从而得出正确的结果。
总之，在高考数学中，考生需要善于使用类比推理来更好地理解题目，帮助他
们把握大量的知识，做出准确的结论并有效地解决问题。
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专题高中数学常见的知识类比一、⑴类比的定义：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．⑵类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；⑶一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。
如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；⑷在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。
⑶类比推理的特点：①类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果；②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性；③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．二、常见的几种类比：代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，实数与向量.数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式）.等式→不等式，等差数列→等比数列等等。
几何方面：平面（二维）→立体（三维），线段→面，面积→体积，平面角→二面角.解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线(1) a=b?a+c=b+c;(1) a＞b?a+c＞b+c;(2) a=b? ac=bc; (2) a＞b? ac＞bc;(3) a=b?a2=b2;等等。
(3) a＞b?a2＞b2;等等【3】实数系与向量系的类比：实数系向量系实数0、单位1数a的相反数－a实数a的绝对值| a | 零向量0→、单位向量e→向量a→的相反向量－a→向量a→的模|a→|运算规律：①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(ab)c＝a(bc)③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2(a±b)2＝a2±2ab＋b2⑦| a·b |＝| a |·| b | 运算规律：①交换律：a→＋b→＝b→＋a→②结合律：(a→＋b→)＋c→＝a→＋(b→＋c→)(a→·b→)c→≠a→(b→·c→)（乘法不满足）③分配律：a→·(b→＋c→)＝a→·b→＋a→·c→④不满足消去律：若a→·b→＝a→·c→，那么b→与c→不一定相等.⑤若a→·b→＝0，那么不一定a→＝0→或b→＝0→.⑥公式：(a→＋b→)·(a→－b→)＝a→2－b→2(a→±b→)2＝a→2±2a→·b→＋b→2⑦|a→·b→|≤|a→|·|b→||| a |－| b ||≤| a±b |≤| a |＋| b | ||a→|－|b→||≤|a→±b→|≤|a→|＋|b→| 【4】利用平面向量的性质类比空间向量的性质【5】平面几何与立体几何的类比：【6】试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积引申：试通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R ”，猜测关于球的相应命题为_______________________ 【7】三角形与四面体的性质类比：【8】直角三角形与直角四面体的类比：【9】等差数列与等比数列的类比：【10】椭圆与双曲线的类比：点弦P 1P 2的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1. P 1P 2的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 椭圆的焦点△PF 1F 2的旁切圆圆心M 的轨迹是过长轴的端点且垂直于长轴的直线.双曲线的焦点△PF 1F 2的内切圆圆心M 的轨迹是过实轴的端点且垂直于实轴的直线.AB 是椭圆的长轴，O 是椭圆的中心，F 1，F 2是椭圆的的焦点，直线AC ，BD 是椭圆过A 、B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PF 1·PF 2＝PC ·PDC AF 1F 2BPDAB 是双曲线的实轴，O 是双曲线的中心，F 1，F 2是双曲线的的焦点，直线AC ，BD 是双曲线过A 、B 的切线，P 是双曲线上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PF 1·PF 2＝PC ·PD三、类比练习题： （一）选择题：1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是 ·························································································· （ ） ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A. ①B. ①②C. ①②③D. ③试题类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是①②③①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等解答：解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质； 由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质； 由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质； 或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，PFF 2PF 1F 2M故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．都是恰当的 故答案为：①②③2.三角形面积公式为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积公式为 ································································· （ ） ＝13abcB. V ＝13ShD. V ＝13(ab ＋bc ＋ca )h （h 为四面体的高）3.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形的面积公式为S 扇＝·································································································· （ ）A. r 22B. l 22D. 不可类比（二）填空题：4.由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 .解析:等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.答案：各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等5.在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ”；斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面． 解答：解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：S BCD 2=S ABC 2+S ACD 2+S ADB 2．6.从装有n ＋1个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球（0＜m ≤n ，m 、n ∈N *），共有C m n ＋1种取法，在这C m n ＋1种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，一类是取出的m 个球中有一个1黑球，所以共有C 01C m n ＋C 11C m －1n ＝C m n ＋1种，即有等式：C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1成立. 试根据上述思想化简下列式子：C m n ＋C 1k C m －1n ＋C 2k C m －2n ＋…＋C k k C m －k n＝ .7.在圆中有结论:如图,“AB 是圆O 的直径,直线AC ,BD 是圆O 过A、B 的切线，P 是圆O 上任意一点,CD 是过P 的切线，则有2PO PC PD =⋅”. 类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴，O 是椭圆的中心，F 1，F 2是椭圆的的焦点，直线AC ，BD 是椭圆过A 、B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P的切线，则有 .”8.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24，类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ；【a 38】（三）解答题：9.△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2EF ·EF cos ∠DFE ，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，.S △A1C1C 2=S △BB1A12+S 四边形BCC1B12-2S △BB1A1?S 四边形BCC1B1?cosθ10.在Rt △ABC 中，若∠C ＝90?，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.四、历年高考的类比题目：1.（04广东）由图⑴有面积关系：S △P A ?B ?S △P AB ＝P A ?·PB ?P A ·PB ，则由⑵有体积关系: V △P A ?B ?V △P AB ＝ .图(2)C ＇A ＇PABC图(1)Ｂ＇A ＇PAB2.（02上海）如下图⑴，若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2，与点N 1、N 2，则S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2；若从O 点所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR ，分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，如图⑵，则类比的结论为 .3.（2000上海，第12题）在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n （n ＜19，n ∈N )成立.类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式成立.4、在平面上,设h a ,h b ,h c 是三角形ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P 到相应三边的距离分别为p a ,p b ,p c ,我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论.1a b c da b c dp p p p h h h h +++=5、(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-1=++ccb b a a h p h p h p OMNN 1N 2 M 2M 1PQRP 1P 2 Q 2 R 2 Q 1R 1O图⑴图⑵。