初中数学动态几何问题

MC NC

EC CD

(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)

中考数学专题 动态几何问题

第一部分真题精讲

【例1】如图，在梯形 ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10,梯形的高为4 •动 点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动•设运动的时间为t (秒)•

(1 )当MN I AB 时，求t 的值；

(2)试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形.

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析 动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说， 都有一个由动转静的瞬间，

就

本题而言，M , N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和 这些动态的条件密切相关的条件

DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。 由此，从这些条件出发，列出方程，

自然得出结果。 【解析】

解：(1 )由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则 四边形

ABED 是平行四边形.

••• AB II DE , AB II MN • ••• DE II MN •

(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将

MN 放在三角形

内，将动态问题转化成平行时候的静态问题)

25 8 △MNC为等腰三角形.

••• t 1 •解得t 50 .

10 3 5 17

【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是

MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题

当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解

【解析】

（2）分三种情况讨论：

①当MN NC时，如图②作NF BC交BC于F ,则有MC 2FC即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）

DF4

sin C—

CD5

C

3

•cos

5，

3t

•102t 2 —

5

解得t

8

②当MN MC时，如图③，过M作MH CD于H . 贝U CN 2CH ,

•••t 2 10 2t 3.

5

•t 60.

17

③当MC CN时,

则10 2t t .

10

3

综上所述，当t

【例2】在△ABC中，/ACB=45 o .点D (与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接

AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF .

(1)如果AB=AC .如图①，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，

并证明你的结论.

(2)如果AB #AC,如图②，且点D在线段BC上运动.(1 )中结论是否成立，为什么？

(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC = 4.2 ,

BC 3, CD= x，求线段CP的长.(用含x的式子表示)

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。

由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递, 就可以得解。

【解析】：

(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：AB=AC , /ACB=45 o ,「.Z ABC=45 o .

由正方形ADEF 得AD=AF ,T/DAF= ZBAC =90 o,

•••ZDAB= /FAC,「.A)AB 也zEAC , •••厶CF= /ABD .

•••ZBCF= ZACB+ /ACF= 90 o .即CF丄BD .

【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑

一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找一

样求解。

(2) CF 丄BD . (1)中结论成立.

理由是：过点 A 作AG 丄AC 交BC 于点G ,「.AC=AG 可证：△ GAD 也/CAF

•••厶CF= ZAGD=45 o

ZBCF= ZACB+ ZACF= 90 o . 即 CF 丄 BD

【思路分析3】这一问有点棘手，D 在BC 之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位置是不 一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X 还是4-X 。分类讨论之后利

用相似三角形的比例关系即可求出

CP.

(3)过点 A 作AQ 丄BC 交CB 的延长线于点 Q , ①点D 在线段BC 上运动时,

【例3】已知如图，在梯形ABCD 中，AD // BC , AD 2, BC 4,点M 是AD 的中点,

△ MBC 是等边三角形.

(1) 求证：梯形 ABCD 是等腰梯形；

易证△AQD s/DCP , •

CP CD

,

• CP x

DQ AQ

4x4

2

x CP

x .

4

②点

D 在线段BC 延长线上运动时，

过A 作AG AC 交CB 延长线于点

G ,则

AGD

ACF

△AQD S /DCP , • CP CD

,

• CP x

DQ AQ

4 x

4

2

x

CP

x .

4

■//BCA=45 o ，可求出 AQ= CQ=4 . • DQ=4-x , ■//BCA=45 o ，可求出 AQ= CQ=4 , • DQ=4+x