初中数学动态几何问题
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究初中数学动态几何问题是初中数学教学中的重要内容，也是学生比较难掌握的知识点之一。
动态几何问题涉及到几何图形的运动和变化，需要学生具有一定的几何直觉和数学思维能力。
对于这一知识点的教学难点及措施研究显得尤为重要。
一、教学难点分析1. 几何图形的变化理解难度大动态几何问题涉及到几何图形的变化，对学生要求具有一定的空间想象能力和几何直觉。
许多学生对于几何图形的变化理解难度较大，在实际操作中很难准确地把握图形的运动和变化规律，容易产生混淆和错误。
2. 数学思维能力欠缺动态几何问题需要学生具有一定的数学思维能力，能够通过分析、推理和计算来解决问题。
许多学生数学思维能力欠缺，对于动态几何问题的解题方法和思路理解不清楚，导致在解题过程中无法形成正确的思维链条。
3. 计算方法不够灵活动态几何问题中经常需要进行一些几何计算，如长度、面积等。
许多学生在计算方法上不够灵活，往往死记硬背，缺乏较强的计算能力和技巧，导致在解题过程中准确度不高，结果不确定。
二、教学对策探讨1. 强化几何图形的变化理解针对学生对几何图形变化理解难度大的问题，教师可以通过引导学生观察几何图形的变化规律，可以借助动画、视频等多媒体手段进行展示，以帮助学生直观地理解几何图形的变化规律，从而提高他们的空间想象能力。
2. 提高数学思维能力为了提高学生的数学思维能力，教师可以采用启发式教学法，通过提出问题、引导讨论等方式，激发学生的求解欲望，帮助学生形成正确的解题思路和方法。
鼓励学生多进行数学推理和分析，培养他们的数学思维能力。
3. 提升计算方法的灵活性针对学生计算方法不够灵活的问题，教师可以引导学生掌握多种计算方法，并结合实际问题进行训练，培养学生的计算能力和灵活性。
通过讲解解题技巧和方法，帮助学生养成正确的计算习惯，提高计算的准确性和效率。
三、教学实施建议1. 结合具体情境引出问题在教学中，教师可以通过引入一些生活中的具体情境，如物体的运动、建筑的变换等，引出动态几何问题，让学生在实际情境中感受问题的意义和价值，增加他们对问题的兴趣和求解欲望。
2020年初中数学竞赛讲义：第27讲-动态几何问题透视
2020年初中数学竞赛讲义：第27讲-动态几何问题透视春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来．动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是：1．动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．2．动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．3．以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”．【例题求解】【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是．思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和3，但该路线与直线l所围成的面积不只是两个扇形面积之和．【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A 移到点B时，A′B′的中点的位置( )A．在平分AB的某直线上移动B．在垂直AB的某直线上移动C．在AmB上移动D．保持固定不移动思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P 从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题：(1)当x=3时，y的值是多少?(2)就下列各种情形：①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．求y与x之间的函数关系式．(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下y与x 的关系．思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m ／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2 (秒)．(1)当t为何值时，线段EF与BC平行?(2)设1<t<2，当t为何值时，EF与半圆相切?(3)当1≤t<2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于tAP是否为一定的方程；对于(3)，点P的位置是否发生变化，只需看PC值．注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．【例5】⊙O1与⊙O2相交于A、B两点；如图(1)，连结O2O1并延长交⊙O1于P点，连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连结C O2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD=α．(1)求：CD的长(用含R、α的式子表示)；(2)试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；(3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)的动点，连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′，请你探究∠C′AD′是否等于α? C′D′与P′O l的位置关系如何?并说明理由．思路点拨对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P点虽为OO l上的一个动点，但⊙O1、⊙O2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来．学力训练1．如图，ΔABC中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=60°，将ΔABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处，则AC边扫过的图形的面积是cm (π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字)．2．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，将ΔABC绕点B旋转至ΔA'BC'的位置，且使A、B、C'三点在同一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是 cm ．3．一块等边三角形的木板，边长为l ，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束走过的路径长度为( )A ．23πB ．34πC ．4D ．232π+4．把ΔABC 沿AB 边平移到ΔA'B'C'的位置，它们的重叠部分的面积是ΔABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( )A ．12-B ．22C ．1D ．215．如图，正三角形ABC 的边长为63厘米，⊙O 的半径为r 厘米，当圆心O 从点A 出发，沿着线路AB —BC —CA 运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的运动而移动．(1)若r=3厘米，求⊙O 首次与BC 边相切时AO 的长；(2)在O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r的取值范围及相应的切点个数；(3)设O在整个移动过程中，在ΔABC内部，⊙O未经过的部分的面积为S，在S>0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围．6．已知：如图，⊙O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA，过点C作CD⊥AB于D．设CB 的长为x，CD的长为y．(1)求y关于x的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求y的值；(2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与⊙O有几种位置关系，并求出不同位置时y的取值范围；(3)在点B运动的过程中，如果过B作BE⊥AC于E，那么以BE 为直径的圆与⊙O能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE的长．7．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=x，ON= (y>x≥0)，ΔAOM的面积为S，若cosα、OA是方程0-z+z的两个根．2522=(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离；(2)求证：AN2=ON·MN；(3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．8．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t ，使线段PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．9．已知：如图①，E 、F 、G 、H 按照AE=CG ，BF=DH ，BF ＝nAE(n 是正整数)的关系，分别在两邻边长a 、na 的矩形ABCD 各边上运动． 设AE=x ，四边形EFGH 的面积为S ．(1)当n=l 、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使?(2)当n=3时，如图④，求S 与x 之间的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)，探索S 随x 增大而变化的规律；猜想四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使ABCD S S 矩形21 ； (3)当n=k (k ≥1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由．10．如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位／秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位／秒的速度沿y轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作⊙O1．(1)若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切?(3)如图2，若E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA⊥x轴于A点，连结AF交⊙O1于点P，试问PA·FA的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．参考答案。
七上数学动态几何问题举例_赖启茂
七上数学动态几何问题举例赖启茂（福建省武平县城郊中学，364300）动态几何问题涉及的知识点多，有一定的复杂性，能考察学生的数学阅读能力，分析问题和解决问题的能力，此类问题成为每年中考的热点．七上教材就让学生接触动态几何问题，作为启蒙，让他们初步感知，用运动和变化的眼光去观察和思考问题，在变中找出不变的量，从中渗透数形结合、分类讨论、方程函数等数学思想，最终树立运动观点和整体观点．一、动点问题1．单动点例1在数轴上，点A表示的数为－10，点P从A点出发向右运动，运动时间为t秒．（1）若点P的速度为每秒1个单位，则t 为何值时，到达原点？（2）若点P的速度为每秒2个单位，则t 为何值时，到达原点？（3）若点P的速度为每秒2个单位，则t 为何值时，原点为线段AP的中点？解（1）依题意，得t=10，所以，当t=10秒时，点P到达原点．（2）依题意，得2t=10，解得t=5．所以，当t=5秒时，点P到达原点．（3）依题意，得2t=20，解得t=10．所以，当t=10秒时，原点为线段AP的中点．2．双动点例2如图2，线段AB=10，点P从点A 出发，以1个单位/秒的速度沿AB向终点B运动，同时，点Q从点B出发，以3个单位/秒的速度在AB上连续往返运动，当P到达B时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为x 秒．（1）当x=3时，求线段PQ的长；（2）当P、Q两点第一次重合时，求线段BQ的长；（3）是否存在x，使Q为线段AP的中点？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．教学分析本题实际是路程问题中的相遇问题和追及问题．第（3）小题应抓住点Q是动线段AP的中点这个不变量，鉴于点Q在AB 上往返运动，需进行分类讨论．解（1）如图2，AP=1ˑ3=3，BQ=3ˑ3=9，所以PQ=（3+9）－10=2．（2）如图3，依题意得，x+3x=10，解得x=2.5，BQ=3x=7.5．（3）存在，有三种情况①当3x＜10时，如图4．依题意，得x=2（10－3x），解得，x=207．当10＜3x＜20时，如图5，·72·第5期初中数学教与学依题意，得x =2（3x －10），解得，x =4．③当20＜3x ＜30时，如图6依题意，得x =2（30－3x ），解得，x =607．综上所述，当Q 为线段AP 的中点时，x 的值分别为207秒、4秒或607秒．二、动线1．单线动例3∠BOA =90ʎ，射线OC 从射线OA开始绕O 点以5ʎ/分钟的速度逆时针旋转，运动时间为x 分钟．（1）当x 为何值时，射线OC 平分∠BOA ；（2）当x 为何值时，∠BO C =13∠BOA．教学分析应充分利用学具（如笔，当成射线），让学生自己动手操作，按题意旋转，在“动”中求“静”，利用特殊位置中角与角之间的关系列出方程．解（1）如图7，依题意，∠AOC =12∠BOA ，得5x =45，解得x =9．当x =9分钟时，射线OC 平分∠BOA．（2）分两种情况讨论．①如图8，射线OC 未过射线OB ，因为∠BOC =13∠BOA．所以∠AOC =23∠BOA．得5x =60，x =12．②如图9，射线OC 过了射线OB．依题意，因为∠BOC =13∠BOA ，所以∠AOC =43∠BOA ，得5x =43ˑ90ʎ，即x =24．综上所述，当x =12分钟或24分钟时，∠BOC =13∠BOA．2．双线动例4如图10，∠AOB =120ʎ，射线OC 、OD 分别从OA 、OB 同时开始，绕点O 逆时针旋转，旋转速度分别为20ʎ/分钟，5ʎ/分钟．设旋转的时间为t 分钟（0≤t ≤15）（1）当t 为何值时，射线OC 与OD 重合？（2）当t 为何值时，∠COD =90ʎ？（3）当t 为何值时，射线OB 、OC 、OD 中的某一条是另外两条射线夹角的角平分线？教学分析本题的两条射线运动，可类比两个动点的问题，转化为行程问题中的追及问题，并且特别应让学生利用学具动手操作，直观感知动线问题，画出图形，找出等量关系，列出方程．解（1）依题意，得20t －5t =120，解得t =8．ʑ当t =8分钟时，射线OC 与OD 重合．（2）分两种情况讨论．①当OC 未超过OD 时，如图11．依题意，得（120+5t ）－20t =90，解得t =2．②当DC 超过OD 时，如图12．·82·初中数学教与学2019年依题意，得20t －（120+5t ）=90，解得t =14．综上所述，当t =2分钟或14分钟时，∠COD =90ʎ．（3）分三种情况讨论①当OB 平分∠COD 时，如图13．依题意，得5t =120－20t ，解得t =4.8．②当OC 平分∠BOD 时，如图14．依题意，得5t =2（20t －120），解得t =487．③当OD 平分∠COB 时，如图15．依题意，得20t －120=2ˑ5t ，解得t =12．综上所述，满足题意的t =4.8分钟、487分钟或12分钟．三、动角例5如图16，将一副三角尺的直角顶点重合在O 处．将∠COD 绕O 点顺时针旋转，在旋转过程中，（1）猜想∠AOD 与∠BOC 有何数量关系，并说明理由；（2）猜想∠AOC 与∠BOD 有何数量关系，并说明理由．教学分析应让学生利用三角板演示动态过程，注意观察哪些是变量，哪些是不变量．解（1）猜想∠AOD =∠BOC．理由如下：如图16，ȵ∠1+∠2=90ʎ，∠2+∠3=90ʎ．ʑ∠1=∠3．（2）即∠AOD =∠BOC．猜想∠AOC +∠BOD =180ʎ．理由如下：如图17，ȵ∠AOC +∠BOD +∠AOB +∠COD =360ʎ，∠AOB =90ʎ，∠COD =90ʎ．ʑ∠AOC +∠BOD =180ʎ－90ʎ－90ʎ=180ʎ．总之，为了使学生尽快熟悉动态几何问题，让学生亲自动手操作是关键，学生在“做数学”中不断积累数学活动经验．教师应针对学生在动手操作中存在的问题予以指导，特别是指导学生在多种情况时恰当地分类．动态几何问题对初中学生而言是难点，但是只要教师有意识、有计划地引领学生逐次递进地思考不同类型的动态几何问题，经过初中三年的摸爬滚打，学生的动态思维能力一定会越来越强，一定能为后续学习打下坚实的基础．参考文献［1］杨仲鉴．初中数学活页练习［M ］．福州：福建少年儿童出版社，2018．［2］杨道林．初中数学动点问题解析与思路探讨［J ］．中学数学月刊，2016，9．·92·第5期初中数学教与学。
中考几何-动态试题解法(解析版)
中考几何动态试题解法专题知识点概述一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题有图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题有点动、线动、面动三大类。
3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。
4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，属于初中数学难点，综合性强，只有完全掌握才能拿高分。
二、动点与函数图象问题常见的四种类型1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
四、动点问题常见的四种类型解题思路1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系。
浅析初中数学动态几何问题的教学策略
浅析初中数学动态几何问题的教学策略摘要：数学动态几何问题是对学生是否全面、灵活掌握知识点的综合考察，是近年来中考的热点及难点。
但因为动态几何题目变量多，在几何图形的运动中，伴随着出现图形的位置、数量关系的“变”与“不变”性，不少学生对之有着极大的畏难情绪，导致中考失分。
因此中考数学动态问题的研究更具有实际意义。
关键词：初中数学动态几何题教学策略一、变式教学下的“减负高效”课堂动态几何题的解题，有时候需要变化的思想，这也是初中数学教学的精髓部分，笔者认为通过变式教学，有利于帮助学生开阔眼界、拓宽思路、提高应变能力，防止思维定势的负面影响。
例1：在平面直角坐标系中有一点A（4,2）在X轴上找一点B，使得为等腰三角形，请写出点B的坐标。
设计意图：通过一个比较简单的等腰三角形的要的数学动态作为切入点，使所有学生明白数学动态的思想并不深奥，只要针对三种情况画出相应的图形，解答起来并不困难。
切入点比较低，调动所有学生的学习兴趣。
变式1：若在X轴上有一点P（6,0），请在平面直角坐标系中在再找一个点Q，使四边形AOPQ为平行四边形，写出点Q的坐标。
变式2：若点P(6,0)，请在平面直角坐标系中再找一点Q，写出使A,O,P,Q 为顶点的平行四边形的点Q的坐标。
设计意图：通过两个变式将对等腰三角形的分类讨论延伸到平行四边形第四个顶点的讨论，进一步让学生明确不同的对象，不同的条件下的分类讨论方法，同时也培养不同情况下的画图并正确解答的能力。
变式3：在坐标轴上是否存在一点C，使得为直角三角形？若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由。
设计意图：通过变式把数学动态的对象变成直角三角形，通过对不同的角为直角的讨论得到不同的情况。
讨论的范围也从母题的x轴扩展到坐标轴。
同时注意数学动态不重复不遗漏的原则。
变4：过点A做轴，垂足为D，在直角坐标系中找一点E，使得与相似。
设计意图：通过变式把数学动态的对象变成相似三角形，本题情况比较多也比较复杂，如果学生能过顺利的解答，那么对于数学动态在不同的对象，不同的范围内的理解将更加的深刻。
初中数学动态几何定值问题(word版+详解答案)
动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。
在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ． ①写出旋转角α的度数； ②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB＝2，求线段PA +PF 的最小值．（结果保留根号） 【举一反三】如图（1），已知∠=90MON ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PAC ABOPS S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，ABy BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。
初中数学全等三角形中的动态问题(知识点例题解析)
初中数学全等三角形中的动态问题（知识点+例题解析）初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
解决动点问题常见的答题思路是：1.注意分类讨论；2.仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3.利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______秒时，△DEB与△BCA全等．【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明：∠A＝∠BCD；(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【例2】（2020·惠州市月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC ＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为_____．【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D 点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在cm s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它线段AB上以1/们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的cm s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若运动速度为x/不存在，请说明理由．【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【例3】（2020·惠州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等．【习题精练】=，BC6=，线段PQ=AB，1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC10点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2cm/s的速度运动，问>，才能使△ABC≌△QPA全等．P点运动___________秒时(t0)2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB =12，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，且AC =4m ，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动_______分钟后△CAP 与△PQB 全等．3．（2020·常州市月考）如图， ADC 中．∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ．AD ⊥AC ，AB ＝PQ ，P 、Q 两点分别在AC 、AD 上运动，当AQ ＝_____时，△ABC 才能和△APQ 全等．4.（2020·江西新余期末）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q 为顶点的三角形与△ABC全等．7.（2020·四川青羊期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）当t为多少时，△ABD的面积为12cm2？（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．8．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点A 、B 两点的坐标分别A （m ，0），B（0，n ），且|m -n -3|=0，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）求OA 、OB 的长；（2）连接PB ，若△POB 的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ?若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．9.（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，AF ＝10cm ，AC ＝14cm ，动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：AF ＝AM ；（2）当t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等；（3）求证：在运动过程中，不管t 取何值，都有2AED DGC S S =△△．10.（2020·江苏工业园区期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E 分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．＝3S△BQC，则a＝；（1）当t＝2时，S△AQF（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．11.（2019·江苏期末）如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3cm /s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm /s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s )．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．图①图②12.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC cm =，15BC cm =，点M 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F 设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为________．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？14.（2019·福建省惠安期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有满足条件的t值．15.（2020·无锡市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q 的运动速度为_____厘米/秒，△BPD与△CQP全等.16.（2020·广东龙岗期末）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N 作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．17.（2020·青岛市黄岛区月考）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/m s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/m s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．图1备用图（1）试求∠ACB 的度数；（2）当点D 在射线AM 上运动时满足ADB S ：2BEC S = ：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（3）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．参考答案及解析初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
浅谈初中数学中的动态几何问题
三、动态几何问题的课堂教学
在日常教学中，总有部分学生感到几何难学， 在日常教学中，总有部分学生感到几何难学，老师也感 到几何难教。 到几何难教。“难”的原因之一就是图形关系复杂，变化多 的原因之一就是图形关系复杂， 样。而原先在几何教学中往往是以静态的居多，静态的亦已 而原先在几何教学中往往是以静态的居多， 如此，何况动态！几何难教、难学问题凸现。 如此，何况动态！几何难教、难学问题凸现。
二、动态几何的几点认识
动态几何问题，即随着图形中的某些元素的运动变化， 动态几何问题，即随着图形中的某些元素的运动变化， 导致问题的结论或者改变或者保持不变的几何问题。它是命 导致问题的结论或者改变或者保持不变的几何问题。 题的一种构造方法，同时也展示了一种数学的创造过程， 题的一种构造方法，同时也展示了一种数学的创造过程， 反 映了几何本身的实质。 映了几何本身的实质。 动态几何问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景， 动态几何问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景， 渗透运动变化的观点，通过点、 形的运动，图形的平移、 渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、 翻折、 翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置 关系看作是在变化的、相互依存的状态之中， 关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变 化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。 化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。对学 生分析问题的能力，对图形的想象能力， 生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维
能力的培养和提高有着积极的促进作用。 能力的培养和提高有着积极的促进作用。 动态几何问题， 动态几何问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合 题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型 它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身， 新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注， 新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时 也得到了命题者的青睐，动态几何问题， 也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的 中考数学试卷中。但这类试题却对学生提出了较高的要求， 中考数学试卷中。但这类试题却对学生提出了较高的要求， 不少学生感到困惑。 不少学生感到困惑。
初中数学动点问题解题技巧
动点问题解题技巧以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题。
动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻。
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目，注重对几何图形运动变化能力的考查。
解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。
从数学思想的层面上讲需要具备以下思想：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、函数思想、方程思想。
常见的动点问题一、数轴上的动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。
为了便于对这类问题的分析，先明确以下3个问题：1.数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。
即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。
2.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。
即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。
3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
初中数学压轴题--动态几何证明及实验题
动态几何证明及实验题所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查．动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。
解这类题目要“以静制动〞，即把动态问题，变为静态问题来解。
解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系〔如等量关系、变量关系〕、图形位置关系〔如图形的特殊状态、图形间的特殊关系〕等进行研究考察．抓住变化中的“不变量〞，以不变应万变．实验操作【要点导航】通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索——理解题意、实验操作是根本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.【典例精析】例1 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图1；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B '，得R t △AB 'E ，如图2；第三步：沿EB '线折叠得折痕EF ，使A 点落在EC 的延长线上，如图3．利用展开图4探究： 〔1〕△AEF 是什么三角形？证明你的结论；〔2〕对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由．【思路分析】1．图形翻折后能重叠局部的图形全等，所以∠BEA =∠AEB '=∠FEC ，它们都是60°角，所以△AEF 是等边三角形．2．由操作可知AF >AD 时，不能完整折出这种三角形．当图3中的点F 、D 重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为2︰3．解〔1〕△AEF 是等边三角形．由折叠过程可得：60BEA AEF FEC ∠=∠=∠=︒．因为BC ∥AD ，所以60AFE FEC ∠=∠=︒．所以△AEF 是等边三角形．图1图2图3图4〔2〕不一定．当矩形的长恰好等于等边△AEF 的边AF 时，即矩形的宽∶长＝AB ∶AF ＝2:3时正好能折出．如果设矩形的长为A ，宽为B ，可知当a b 23≤时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当a b a ＜＜23时，按此法无法折出完整的等边三角形． 〖方法点睛〗要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的根本性质求解．例2 ：在△ABC 中，∠BAC =90°，M 为BC 中点．操作：将三角板的90°角的顶点与点M 重合，并绕着点M 旋转，角的两边分别与边AB 、AC 相交于点E 、F ．〔1〕探究1：线段BE 、EF 、FC 是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想．〔2〕探究2：假设改变为：“角的两边分别与边AB 、直线AC 相交于点E 、F ．〞其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想． 〖思路分析〗1．由点M 是BC 中点，所以构造绕点M 旋转180°重合的全等三角形，将线段BE 、EF 、FC 移到同一个三角形中．2．当角的两边分别与边AB 、直线AC 相交于点E 、F 时，构造和证明的方法不变．证明〔1〕线段BE 、EF 、FC 可以构成直角三角形．如图1，延长EM 到G ，使得EM =M G ，联结GC 、FG ．因为M 为BC 中点，所以BM =CM ，又因为∠EMB =∠GMC ，EM =M G ，所以△EMB ≌△GMC ，所以BE =GC ，EM =MG ，∠B =∠MCG ．因为FM 垂直平分EG ，所以FE =FG ．又因为∠BAC =90°，所以∠B +∠ACB =90°，所以∠MCG +∠ACBFCG =90°，所以222FG FC GC =+，所以22FC BE =+〔2〕如图2，当点F 在CA 的延长线上时，延长EM 到G ，联结GC 、FG ．因为M 为BC 中点，所以BM =CM ，又因为∠=∠GMC ，EM =EG ，所以△EMB ≌△GMC ，所以BE =GC ，EM =∠B =∠MCG ．因为FM 垂直平分EG ，所以FE =FG ∠BAC =90°，所以∠B +∠ACB =90°，所以∠MCG +∠ACB =90M即∠FCG =90°，所以222FG FC GC =+，所以222EF FC BE =+．如图3，当点F 在AC 的延长线上时，同理可证222EF FC BE =+．〖方法点睛〗线段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定理．假设能将所要求线段移动到同一条直线上，那么线段之间是和差关系的可能性较大，假设能将所要求线段移动后能构成三角形，那么线段之间满足勾股定理的可能性较大．【星级训练】第 天 ，年 月 日1. ★★★如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上〔点E 与点A 、B 不重合〕，过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．〔1〕操作：由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；〔2〕连结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；〔3〕如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．2. ★★★操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ． 探究：设A 、P 两点间的距离为x ．〔1〕当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； 〔2〕当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；〔3〕当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．〔图5、图6、图7的GF D ACBD ACB供试验操作用形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用〕3. ★★★在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．〔1〕在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；〔2〕当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；〔3〕当三角尺在〔2〕的根底上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置〔点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合〕时，〔2〕中的猜想是否仍然成立？〔不用说明理由〕4. ★★如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：〔1〕由图观察易知A 〔0，2〕关于直线l 的对称点A '的坐标为〔2，0〕，请在图中分别标明B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标：B ' 、C ' ；归纳与发现：〔2〕结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐DACB图5DACB图6DACB图7图3图1标平面内任一点P (a ,b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 〔不必证明〕； 运用与拓广：〔3〕两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．探索性问题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：〔1〕条件探索型问题；〔2〕结论探索型问题；〔3〕探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．条件探索【要点导航】“探索〞是人类认识客观世界过程中最生动、最活泼的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索〞题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题14( 附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题14（附答案）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、C（2，﹣3），抛物线与x轴的另一交点为点E，点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，点M为抛物线对称轴上一点，当四边形MBEP恰好是平行四边形时，求点P的坐标；（3）若点P在第四象限，连结P A、PE及AE，当t为何值时，△P AE的面积最大？最大面积是多少？（4）是否存在点P，使△P AE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝1120S△ABC，求m的值；（3）K 是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H ，使B 、C 、K 、H 为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H 的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6cm ，动点P 从点C 出发以1cm /s 的速度沿CA 匀速运动，同时动点Q 从点A 出发以2cm /s 的速度沿AB 匀速运动，当点P 到达点A 时，点P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t （s ）（1）当t ＝3时，线段PQ 的长为 cm ；（2）是否存在某一时刻t ，使点B 在线段PQ 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，以PC 为边，往CB 方向作正方形CPMN ，设四边形CPMN 与Rt △ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC .（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 是直线BC 上方抛物线上的点，若PCB BCO ∠=∠，求出P 点的到y 轴的距离.5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣6（a ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，且OB ＝3OA ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ． （1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点D 的坐标；（2）如图2，直线y ＝12x -+n 与抛物线交于G ，H 两点，直线AH ，AG 分别交y 轴负半轴于M ，N 两点，求OM+ON 的值；（3）如图1，点P 在线段DE 上，作等腰△BPQ ，使得PB ＝PQ ，且点Q 落在直线CD 上，若满足条件的点Q 有且只有一个，求点P 的坐标．6．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和点C ，抛物线23y ax x c =-+经过,A C 两点，并且与x 轴交于另一点B .点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点,A C 重合)，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE .设点D 的横坐标为m .(1)求抛物线的解析式;(2)当ECD EDC ∠=∠时，求出此时m 的值;(3)点D 在运动的过程中，EBF △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.7．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．（1）①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有 ；②若矩形ABCD 是“完美四边形”，且AB ＝4，则BC ＝ ；（2）如图1，“完美四边形”ABCD 内接于⊙O ，AC 与BD 相交于点P ，且对角线AC 为直径，AP ＝1，PC ＝5，求另一条对角线BD 的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD 的四个顶点A （﹣3，0）、C （2，0），B 在第三象限，D 在第一象限，AC 与BD 交于点O ，直线BD 的斜率为3，且四边形ABCD 的面积为153，若二次函数y ＝ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a 的值．8．如图，抛物线与x 轴相交于点 (3, 0)A -、点 (1, 0)B ，与 y 轴交于点(0, 3)C ，点 D 是抛物线上一动点， 联结 O D 交线段 AC 于点 E ．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求 ACB ∠的正切值；（3）当AOE ∆与ABC ∆相似时，求点 D 的坐标．9．如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．10．如图，批物线2y ax bx c =++经过点()2,0A -，B 两点，对称轴为1x =，与y 轴交于点()0,6C ，点P 是抛物线上一个动点，设点P 的横坐标为()14m m <<.连接BC .（1）求抛物线的函数解析式；（2）当BCP ∆的面积等于92时，求点P 的坐标； 11．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0）和B 点，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，点P在该抛物线上滑动且满足S△P AB＝8，请求出此时P点的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣45x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图a，已知抛物线y=－12x2+bx+c经过点A(4，0) 、C(0，2)，与x轴的另一个交点为B．（1）求出抛物线的解析式.（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC 的形状.并证明你的结论.（3）如图a,在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由.14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣32（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，这条抛物线的顶点为D．（1）求点D的坐标．（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E．当CE＝2AB时，求点D的坐标．（3）这条抛物线与直线y＝﹣x相交，其中一个交点的横坐标为﹣1．过点P（m，0）作x轴的垂线，交这条抛物线于点M，交直线y＝﹣x于点N，且点M在点N的下方．当线段MN的长度随m的增大而增大时，求m的取值范围．（4）点Q在这条抛物线上运动，若在这条抛物线上只存在两个点Q，满足S△ABQ＝3S△ABC，直接写出a的取值范围．15．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm.点P、Q是BC边上两个动点(点Q在点P右边)，PQ＝2cm，点P从点C出发，沿CB向右运动，运动时间为t秒.5s后点Q到达点B，点P、Q停止运动，过点Q作QD⊥BC交AB于点D，连接AP，设△ACP 与△BQD的面积和为S(cm²)，S与t的函数图像如图2所示.(1)图1中BC＝cm，点P运动的速度为cm/s；(2)t为何值时，面积和S最小，并求出最小值；(3)连接PD，以点P为圆心线段PD的长为半径作⊙P，当⊙P与ABC的边相切时，求t的值.16．已知抛物线C1：y＝ax2﹣4ax﹣5的开口向上．（1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标；（2）试说明抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；（3）将抛物线C1沿（2）所求的两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，①写出抛物线C2的表达式；②当抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．17．如图1，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，作等腰直角三角形ABC，使∠BAC ＝90°，将△ABC沿着射线AB平移得到△A′B′C′，当点A′与点B重合时停止运动．设平移距离为m，△A′B′C′与△ABO重合部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示．（其中0≤m≤255m2555时，函数的解析式不同）（1）填空：a＝；（2）求直线AB的解析式；（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t 的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x 轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N 的坐标．（3）过点A 的直线与抛物线交于点F ，当tan ∠FAC ＝12时，求点F 的坐标． （4）过点D 作直线AC 的垂线，交AC 于点H ，交y 轴于点K ，连接CN ，△AHK 沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK 与四边形DGNC 产生重叠，设重叠面积为S ，移动时间为t （0≤t≤5），请直接写出S 与t 的函数关系式． 20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，15AC =，20BC =.动点P 以每秒5个单位长度的速度从点A 出发，沿A C B →→的方向向终点C 运动.点P 关于点C 的对称点为D ，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，以PD 、PQ 为边作PDEQ ，设点P 的运动时间为()t s .（1）当点P 在AC 上运动时，用含t 的代数式表示PQ 的长.（2）当PDEQ 为菱形时，求t 的值.（3）设PDEQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式.（4）作点E 关于直线PQ 的对称点E '，当点E '落在ABC ∆内部时，直接写出t 的取值范围.21．如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q是对称轴上一动点，当OQ+BQ最小时，求点Q的坐标．（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．22．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h)2-4(a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．24．如图，矩形ABCD的两边长AB＝16cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x（秒），设△BPQ的面积为ycm2．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当△BPQ面积有最大值时，求x的值．25．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D 在AB 边上，EF 在BC 边上，点G 在AC 边上，设EF ＝x ，矩形DEFG 的面积为y ．（1）求出y 与x 之间的函数关系式；（2）直接写出自变量x 的取值范围_______；（3）若DG ＝2DE ，则矩形DEFG 的面积为_______．27．如图，已知抛物线23y x mx =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标． （3）点M 是抛物线在第一象限内图像上的任意一点，求当∆BCM 的面积最大时点M 的坐标.28．已知：如图.在△ABC 中.AB =AC =5cm ，BC =6cm .点P 由B 出发，沿BC 方向匀速运动.速度为1cm /s .同时，点Q 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动.速度为1cm /s ，过点P 作PM ⊥BC 交AB 于点M ，过点Q 作QN ⊥BC ，垂足为点N ，连接MQ ，若设运动时间为t (s )(0<t <3)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，点M 是边AB 中点?（2）设四边形PNQM 的面积为y (cm 2)，求出y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形PNQM :S △ABC =4:9?若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t ，使四边形PNQM 为正方形?若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.29．如图1，已知抛物线y ＝﹣x 2+2x +c 与x 轴交于A 、B 两点，其中点A （﹣1，0），抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）如图2，直线l 是抛物线的对称轴，点P 是直线l 上一动点，是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（2）如图3，连接BC ，点M 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，当△MBC 的面积最大时，求△MBC 的面积的最大值；点N 是线段BC 上的一点，求MN +22BN 的最小值．30．如图在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y ax bx =+与x 轴交于点()10,0A ，点()1,2B 是抛物线上点，点M 为射线OB 上点(不含,O B 两点)，且MH x ⊥轴于点H .(1)求直线OB 及抛物线解析式;(2)如图,过点M 作//MC x 轴,且与抛物线交于,C D 两点(D 位于C 左边),若MC MH =,点Q 为直线BC 上方的抛物线上点,求OBQC 面积的最大值，并求出此时点Q 的坐标;参考答案1．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（4，5）；（3）当t＝32时，S有最大值278；（4）存在，理由，点P的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）【解析】【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，故点E（3，0），即可求解；（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝3，故t＝4，则点P（4，5）；（3）△P AE的面积S＝12PH×OE＝32（t﹣3﹣t2+2t+3）＝32（﹣t2+3t），即可求解；（4）分∠PEA＝90°、∠P AE＝90°两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，故点E（3，0），抛物线表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝4，故t＝4，则点P（4，5）；（3）过点C作y轴的平行线交AE于点H，由点A、E的坐标得直线AE的表达式为：y＝x﹣3，设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），△P AE 的面积S ＝12PH ×OE ＝32（t ﹣3﹣t 2+2t +3）＝32（﹣t 2+3t ）， 当t ＝32时，S 有最大值278； （4）直线AE 表达式中的k 值为1，则与之垂直的直线表达式中的k 为﹣1．①当∠PEA ＝90°时，直线PE 的表达式为：y ＝﹣x +b ，经点E 的坐标代入并解得：直线PE 的表达式为：y ＝﹣x +3…②，联立①②并解得：x ＝﹣2或3（舍去3），故点P （﹣2，5）；②当∠P AE ＝90°时，同理可得：点P （1，﹣4）；综上，点P 的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．2．（1）y ＝﹣14x 2+32x +4；（2）m 1＝4或m 2＝223；（3）点H 坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．【解析】【分析】（1）结合A （﹣2，0），B （8，0）由两点式可得抛物线解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣8），求出点C 坐标，代入即可求出抛物线解析式；（2）点P 在抛物线上，可设P （m ，﹣14m 2+32m +4），结合C 点坐标可得直线PC 的解析式，已知直线与对称轴交点E 的坐标，DE 长可知，根据S △ABC ＝12×AB ×OC 求出其面积，由题中条件可知△CDP 的面积，由三角形面积公式可得m 的值；（3）分类讨论，①若BC 为边，∠CBK ＝90°时，将BC 绕点B 逆时针旋转90°得到BC '，根据AAS 证明△BCO ≌△BC 'E ，依据全等的性质可得点B 点C 的坐标，求出直线BC 的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点K 横坐标，由矩形的性质可知x C ﹣x B ＝x H ﹣x K ，C B K H y y y y -=-，结合点B 、C 、D 点坐标可得H 点坐标.②若BC 为边，∠BCK ＝90°时，同理可求：直线CK的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，同理可得H 点坐标；③若BC为对角线，由B点C点坐标可得BC的中点坐标及BC的长，点K在抛物线上，设设点K（x，﹣14x2+32x+4），利用勾股定理可求出x的值，选择符合题意的，求出点K坐标后结合KH的中点坐标可知H点坐标，综上所述，点H的坐标有3种情况. 【详解】（1）∵A（﹣2，0），B（8，0）∴OA＝2，OB＝8，∵OC＝2OA，∴OC＝4，∴点C（0，4）∵设y＝a（x+2）（x﹣8）经过点C，∴4＝﹣16a，∴a＝﹣14，∴抛物线解析式为：y＝﹣14（x+2）（x﹣8）＝﹣14x2+32x+4；（2）如图1，由题意：点D（3，0），∴OD＝3，设P（m，﹣14m2+32m+4），（m＞0，﹣14m2+32m+4＞0）∵C（0，4），∴直线PC的解析式可表示为：y＝（﹣14m+32）x+4，设直线PC与对称轴的交点为E，则点E（3，﹣34m+172），∴DE＝﹣34m+172，∵S△ABC＝12×AB×OC，∴S△ABC＝12×10×4＝20，∵S△CDP＝1120S△ABC，∴12×（﹣34m+172）×m＝1120×20，∴m1＝4或m2＝223；（3）若BC为边，∠CBK＝90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'，∴BC＝BC'，∠CBC'＝90°，∴∠CBO+∠C'＝90°，∠CBO+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBC'，且BC＝BC'，∠BEC'＝∠BOC＝90°，∴△BCO≌△BC'E（AAS）∴BE＝OC＝4，OB＝EC'＝8，∴点C'（4，﹣8），且B（8，0）∴直线BC'解析式为：y＝2x﹣16，∴2x﹣16＝﹣14x2+32x+4，∴x1＝﹣10，x2＝8，∴点K（﹣10，﹣36），∵x C﹣x B＝x H﹣x K，∴0﹣8＝x H﹣（﹣10），∴x H ＝﹣18，∵C B K H y y y y -=-，∴y H ＝﹣32，∴点H （﹣18，﹣32），若BC 为边，∠BCK ＝90°时，同理可求：直线CK 的解析式为：y ＝2x +4，∴2x +4＝﹣14x 2+32x +4， ∴x 1＝﹣2，x 2＝0，∴点K 坐标（﹣2，0）∵C B K H x x x x -=-，∴0﹣8＝﹣2﹣x H ，∴x H ＝﹣6，∵C B K H y y y y -=-，∴y H ＝﹣4，∴点H （6，﹣4），若BC 为对角线，∵B 、C 、K 、H 为顶点的四边形成为矩形，∴BC ＝KH ，BC 与KH 互相平分，∵B （8，0），C （0，4）∴BC 中点坐标（4，2），BC设点K （x ，﹣14x 2+32x +4）∴（x ﹣4）2+（﹣14x 2+32x +4﹣2）2＝（2， ∴x （x ﹣2）2（x ﹣8）＝0，∴x 1＝0，x 2＝2，x 3＝8，∴K （2，6），且KH 的中点坐标（4，2），∴点H （6，﹣2）综上所述：点H 坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．【点睛】本题考查了抛物线的综合，熟练掌握抛物线解析式的求法及利用矩形的性质求满足条件的抛物线上的点坐标是解题的关键.3．（1）3；（2）存在，理由见解析, t ＝（12﹣s ；（3）S ＝t 2（0＜t ≤3）或S ＝﹣t 2+12t ﹣18（3＜t ≤6）【解析】【分析】（1）由题意得：当t ＝3时，PC ＝3＝12AC ，AQ ＝＝12AB ，即P 、Q 分别为AC 、AB 的中点，得出PQ 为△ABC 的中位线，得出PQ ＝12BC ＝3即可； （2）由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）分两种情况，由正方形面积公式和三角形面积公式，即可得出答案．【详解】（1）∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，∴AB ＝，当t ＝3时，PC ＝3＝12AC ，AQ ＝＝12AB ， 即P 、Q 分别为AC 、AB 的中点，∴PQ 为△ABC 的中位线，∴PQ ＝12BC ＝3（cm ）； 故答案为：3；（2）存在．理由如下：连接BP ．如图1，在Rt △ACB 中，∵AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，∴AB ＝，若点B 在线段PQ 的垂直平分线上，则BP ＝BQ ，∵AQ t ，CP ＝t ，∴BQ ＝t ，∵PB 2＝62+t 2，∴（62﹣2t ）2＝62+t 2，整理得：t 2﹣24t +36＝0，解得：t ＝12﹣63或t ＝12+63（舍去），∴t ＝（12﹣63）s 时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上．（3）分两种情况：①当0＜t ≤3时，如图2：S ＝正方形CPMN 的面积＝t 2；②当3＜t ≤6时，如图3：∵PC ＝t ，AC ＝6，∴AP ＝6﹣t∵∠C ＝∠APM ＝∠M ＝90°，∠A ＝∠EFM ＝45°，∴△APE ∽△FME ∽△ACB ，并且都是等腰直角三角形∴PE ＝AP ＝6﹣t ，∴EM ＝FM ＝t ﹣（6﹣t ）＝2t ﹣6，∴S ＝S 正方形CPMN ﹣S Rt △EFM ＝t 2﹣12（2t ﹣6）2＝﹣t 2+12t ﹣18； 综上所述，S 关于t 的函数关系式为：S ＝t 2（0＜t ≤3）或S ＝﹣t 2+12t ﹣18（3＜t ≤6）．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形中的动点问题，根据题意，分类讨论，求出二次函数解析式，是解题的关键.4．（1）224233y x x =-++（2）存在，()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）118【解析】【分析】（1）将点A （-1，0），B （3，0）代入y=ax 2+bx+2即可；（2）由题得，()3,0B ，()0,2C ，设()1,N n ，(),M x y ，按照分类讨论的方法得到符合条件的值；（3）过点B 作BH 平行于y 轴交PC 的延长线与H 点，过点H 作HN 垂直y 轴于N ，先利用平行线的性质、等量代换等求证HC HB =、HB OB ⊥，Rt HCN ∆利用勾股定理求出H 坐标，写出直线CP 的函数表达式，求出一次函数与二次函数的交点P 的坐标，即可得到答案.【详解】（1）解：（1）将点()1,0A -，()3,0B 代入22y ax bx =++， 可得23a =-，43b =， ∴224233y x x =-++； （2）存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，由题得，()3,0B ，()0,2C ，设()1,N n ，(),M x y ，①四边形CMNB 是平行四边形时，1322x +=，∴2x =-， ∴102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ②四边形CNBM 时平行四边形时，3122x +=，∴2x =， ∴()2,2M ；③四边形CNNB 时平行四边形时，1322x +=，∴4x =， ∴104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上所述：()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）过点B 作BH 平行于y 轴交PC 的延长线与H 点.∵BH OC∴OCB HBC ∠=∠又OCB BCP ∠=∠∴PCB HBC ∠=∠∴HC HB =又OC OB∴HB OB ⊥故可设()3,H m ，即HB HC m ==过点H 作HN 垂直y 轴于N在Rt HCN ∆中，则()22232m m =+-解得134m = ∴133,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线CP 的解析式为y kx b =+得21334b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩得512k =，2b = ∴5212y x =+故2245223312x x x -++=+ 解得10x =（舍去），2118x = 即点P 到y 轴的距离是118 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的性质，灵活运用勾股定理求边长，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．5．（1）y ＝12（x ﹣2）2﹣8，D （2，﹣8）（2）9;（3）P （2，8﹣） 【解析】【分析】（1）由OB=3OA 可设A （-t ，0），B （3t ，0），代入抛物线解析式即得到关于a 、t 的二元方程，解方程求出a 即求得抛物线解析式，配方即得到顶点D 的坐标．（2）由（1）求得t=2可知点A （-2，0），设G （x 1，12x 12-2x 1-6），H （x 2，12x 22-2x 2-6），把直线y=−12x+n 与抛物线解析式联立方程组，消去y 后整理得关于x 的一元二次方程，x 1、x 2即为方程的解，根据韦达定理求得x 1+x 2=3．设直线AG 解析式为y=kx+b ，把点A 、G 坐标代入求出b 的值即为点N 纵坐标，进而得到用x 1表示的ON 的值，同理可求得用x 2表示的OM 的值，相加再把x 1+x 2代入即求得OM+ON 的值．（3）以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P ，由于满足PB=PQ （即点Q 在⊙P 上）且点Q 在直线CD 上的点Q 有且只有一个，即⊙P 与直线CD 只有一个公共点，所以直线CD 与⊙P 相切于点Q ．由（1）得点C 、D 坐标可知直线CD 与DE 夹角为45°，△PDQ 为等腰直角三角形，PD=⎷ 2PQ=⎷ 2PB ．设点P 纵坐标为p ，用p 表示PB 和PD 的长并列得方程即可求p 的值．由于点P 在线段DE 上，故p 的值为负数，舍去正数解．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣6与x 轴交于A ，B 两点，OB ＝3OA∴设A （﹣t ，0），B （3t ，0）（t ＞0）∴2246091260at at at at ⎧+-=⎨--=⎩ 解得：122a t ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝12x 2﹣2x ﹣6＝12（x ﹣2）2﹣8 ∴顶点D 的坐标为（2，﹣8）（2）∵t ＝2∴A （﹣2，0）设抛物线上的点G （x 1，12x 12﹣2x 1﹣6），H （x 2，12x 22﹣2x 2﹣6） ∵直线y ＝12x -+n 与抛物线交于G ，H 两点 ∴2121262y x n y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ 整理得：x 2﹣3x ﹣12﹣2n ＝0 ∴x 1+x 2＝3设直线AG 解析式为y ＝kx+b ，即N （0，b ）（b ＜0） ∴21112k b 0 1kx b x 2x 6 2-+=⎧⎪⎨+=--⎪⎩①② ①×x 1得：﹣2kx 1+bx 1＝0 ③②×2得：2kx 1+2b ＝x 12﹣4x 1﹣12 ④③+④得：（x 1+2）b ＝（x 1+2）（x 1﹣6）∵点G 与A 不重合，即x 1+2≠0∴b ＝x 1﹣6即ON ＝﹣b ＝6﹣x 1同理可得：OM ＝6﹣x 2∴OM+ON ＝6﹣x 2+6﹣x 1＝12﹣（x 1+x 2）＝12﹣3＝9（3）如图，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，以点P 为圆心、PB 为半径作圆∵PB＝PQ∴点Q在⊙P上∵有且只有一个点Q在⊙P上又在直线CD上∴⊙P与直线CD相切于点Q∴PQ⊥CD由（1）得：B（6，0），C（0，﹣6），D（2，﹣8）∴CF＝2，DF＝﹣6﹣（﹣8）＝2，即CF＝DF∴∠CDF＝45°∴△DPQ为等腰直角三角形∴PD2PQ∴PD2＝2PQ2＝2PB2设P（2，p）（﹣8≤p≤0）∴PD＝p+8，PB2＝（6﹣2）2+p2＝16+p2∴（p+8）2＝16+p2解得：p1＝8﹣6，p2＝6（舍去）∴点P坐标为（2，8﹣6）【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，圆的定义，切线的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理．第（2）题的解题关键是设点G、H的坐标，求直线AG、AH解析式，即得到OM、ON的表示，联立直线GH与抛物线解析式得到点G、H横坐标的关系并代入求OM+ON，计算量较大．第（3）题的解题关键是由PB=PQ联想到圆，再由有且只有一个满足条件的Q 联想到相切，体现数形结合的过程．6．(1) 234y x x =--；(2)当ECD EDC ∠=∠时，4m =-(3)存在. 1.5m =时，BEF 的周长最小.【解析】【分析】(1)易求(),)40 04(A C -，，，根据待定系数法，即可得到答案； (2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H ，易得：点()()2,34, ,4D m m m E m m ---，进而可知：,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =，根据ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，列出方程，即可求解；(3)易证：BFE △的周长=BF FE BE BF AF BE AB BE ++=++=+，可知：当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小，进而可求出BEF 的周长最小时，m 的值.【详解】(1)在4y x =-中，当0x =时，4y =-；当0y =时，4x =，40())0,( 4A C ∴-，，.把()()4,0,0,4A C -代入23y ax x c =-+中， 得： 161204a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式是234y x x =--；(2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H .4OA OC ==，45OAC OCA ∴∠=∠=︒，45HEC HCE ∴∠=∠=︒.点()()2,34, ,4D m m m E m m ---， ,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =，∴当ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，2 4m m =-+，解得：10m =(舍去)，242m =-.∴当ECD EDC ∠=∠时，42m =-；(3)存在.在抛物线234y x x =--中，当0y =时，2340x x --=，解得121,4x x =-=， ∴点B 坐标为()1,0-.45FAE FEA ∠=∠=︒，EF AF ∴=.设BFE △的周长为l ，则l BF FE BE BF AF BE AB BE =++=++=+，AB 的值不变，∴当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小.当BE AC ⊥时，45EBA BAE ∠=∠=︒，BE AE ∴=，2.5BF AF ∴==，1.5m ∴=时，BEF 的周长最小.【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合问题，把动点E 的坐标用未知数m 表示出来，是解题的关键，体现了数形结合的思想方法.7．（1）①菱形、正方形；②43或43；（2）BD＝26；（3）a的值为-6-3或6-3．【解析】【分析】（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断．②矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°．由于AB边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算．（2）过O点作OH垂直BD，连接OD，由∠DPC=60°可求得OH，在Rt△ODH中勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD=2DH．（3）由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为y=3x，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y=a（x+3）（x-2），把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，所以用韦达定理得到x B+x D和x B•x D进而得到用a表示的（x B-x D）2．又由四边形面积可求得x B-x D=6，即得到关于a的方程并解方程求得a．【详解】（1）①∵菱形、正方形的对角线互相垂直，∴菱形、正方形不是“美丽四边形”．故答案为：菱形、正方形．②设矩形ABCD对角线相交于点O∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵矩形ABCD是“美丽四边形”，∴AC、BD夹角为60°，i）如图1，若AB＝4为较短的边，则∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形∴∠OAB＝60°∴Rt △ABC 中，tan ∠OAB ＝3BC AB=， ∴BC ＝3AB ＝43， ii ）如图2，若AB ＝4为较长的边，则∠BOC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴OCB ＝60°，∴Rt △ABC 中，tan ∠OCB ＝AB BC ＝3， ∴BC ＝3＝433． （2）过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接OD∴∠OHP ＝∠OHD ＝90°，BH ＝DH ＝12BD ， ∵AP ＝1，PC ＝5∴⊙O 直径AC ＝AP+PC ＝6∴OA ＝OC ＝OD ＝3∴OP ＝OA ﹣AP ＝3﹣1＝2∵四边形ABCD 是“美丽四边形”∴∠OPH ＝60°，∴Rt △OPH 中，sin ∠OPH ＝OH 3OP =，∴OH＝3op ＝3， ∴Rt △ODH 中，DH ＝22OD OH -＝223(3)-＝6，∴BD ＝2DH ＝26．（3）过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于点N∴∠BMO ＝∠DNO ＝90°∵直线BD 3∴直线BD 解析式为y 3，∵二次函数的图象过点A （﹣3，0）、C （2，0），即与x 轴交点为A 、C∴用交点式设二次函数解析式为y ＝a （x+3）（x ﹣2） ∵(3)(2)3y a x x y x =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， 整理得：ax 2+（a 3x ﹣6a ＝0， ∴x B +x D 3a -x B •x D ＝﹣6 ∴（x B ﹣x D ）2＝（x B +x D ）2﹣4x B •x D 3a -）2+24 ∵S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝12AC•BM+12AC•DN ＝12AC （BM+DN ）＝12AC （y D ﹣y B ）＝12AC 3D 3B ）＝53（x B ﹣x D ）． 53（x B ﹣x D ）＝3∴x B ﹣x D ＝6，∴）2+24＝36，解得：a 1＝611--，a 2＝611-∴a 611 【点睛】本题考查了新定义的理解和性质应用，菱形、正方形的性质，矩形的性质，特殊三角函数的应用，垂径定理，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．8．（1）223y x x =--+,(1,4)-；（2）2；（3）点D 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或(【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；（2）如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，构造等腰直角△ABH 和直角△BCH ，利用勾股定理和两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求得答案； （3）如图2，过点D 作DK ⊥x 轴于点K ，构造直角△DOK ，设D （x ，−x 2−2x ＋3），则K （x ，0）．并由题意知点D 位于第二象限．由于∠BAC 是公共角，所以当△AOE 与△ABC 相似时，有2种情况：①∠AOD ＝∠ABC ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ABC ＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 的坐标．②∠AOD ＝∠ACB ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ACB ＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 的坐标．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠抛物线2y ax bx c =++过点(3,0),(1,0),(0,3)A B C -9303a b ca b cc-+=⎧⎪∴++=⎨⎪=⎩解得123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴这条抛物线的解析式为223y x x=--+顶点坐标为(1,4)-（2）解：过点B作BH AC⊥，垂足为H90,3AOC OA OC︒∠===45,32OAC OCA AC︒∴∠=∠==90BHA︒∠=90HAB HBA︒∴∠+∠=45HAB HBA︒∴∠=∠=在Rt AHB∆中，222,4AH BH AB AB+==22AH BH∴==32222CH∴==90BHC︒∠=22tan22BHACBCH∴∠===（3）解：过点D作DK x⊥轴，垂足为K设()2,23D x x x --+，则(,0)K x ，并由题意可得点D 在第二象限 223,DK x x OK x ∴=--+=- BAC ∠是公共角∴当AOE ∆与ABC ∆相似时存在以下两种可能①AOD ABC ∠=∠tan tan 3AOD ABC ∴∠=∠=2233x x x--+∴=- 解得1113x -=，2113x += 1133133,22D ⎛⎫-∴ ⎪ ⎪⎝⎭②AOD ACB ∠=∠tan tan 2AOD ACB ∴∠=∠=2232x x x--+∴=- 解得13x =-23x =（舍去）(3,23)D ∴综上所述：当AOE ∆与ABC ∆相似时，点D 的坐标为1133133,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,23-【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1）或P（-1，）或P（-1，6）或P（-1，5 3）；（3）当a=-32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638，此时，点E坐标为（-32，154）．【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y 轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【详解】。
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究1. 引言1.1 背景介绍初中数学动态几何问题是数学教学中的一个重要内容，涉及到学生在空间和时间上的思维能力和几何图形变化的认识。
在教学实践中，往往存在着一些难点和问题，如学生对动态几何问题的理解不深，解题方法不够灵活等。
深入研究动态几何问题的教学难点及措施，对于提高学生的数学学习效果具有重要的意义。
背景介绍是这一研究的起点，主要介绍了动态几何问题在初中数学教学中的地位和作用。
通过对动态几何问题的特点和特性进行分析，我们可以更好地把握教学中的重点和难点，从而为教师们提供更好的指导和支持。
了解动态几何问题的教学困难和挑战，有助于我们找到更有效的教学方法和策略，提高学生的数学学习兴趣和能力。
本文将围绕着初中数学动态几何问题的教学难点及措施展开研究，旨在为教师们在教学实践中提供一些启示和借鉴。
1.2 研究意义数统计等。
【研究意义】动态几何在初中数学教学中起着重要的作用，能够帮助学生更好地理解几何概念，并培养他们的空间想象能力和逻辑推理能力。
动态几何问题的教学难点也是不可避免的，如何有效地解决这些难点，提高教学效果，是本文研究的重点。
通过对初中数学动态几何问题的教学特点、难点分析和教学措施建议的研究，可以为教师提供更好的教学指导，帮助学生更好地掌握动态几何知识。
本文还将通过案例分析和评估方法的探讨，进一步完善教学策略，提高教学效果。
通过对初中数学动态几何问题的深入研究，不仅可以促进教学改革和教学方法的创新，还可以为学生的数学学习提供更有效的帮助，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
【2000字】2. 正文2.1 初中数学动态几何问题的特点1. 动态性：动态几何问题是指在平面内或立体空间内，一些几何对象在运动中的性质和规律。
这种问题要求学生能够通过观察几何图形在运动过程中的变化，把握图形的运动规律，从而解决问题。
2. 几何性：动态几何问题强调几何图形的性质和变化，要求学生善于观察、分析和推理，从几何图形的角度解决问题，培养学生的几何思维能力。
初中数学经典动点问题
动点问题的几何题应该怎么答?动态几何问题解法指要以运动中的几何图形为载体构建的综合题称动态几何问题，其已成为各地市中考压轴题的首选题型。
由于这种能把三角、平几、函数、方程等集于一身的题型灵活性强、难度较大，广大考生均感棘手。
今析解两例，望对同学们有所启迪。
动态几何问题解法指要：1. 考虑运动全貌，善于“动”中捕“静”，并能以“静”制“动”。
对运动全过程的深刻把握，有助于抓住运动中的某些关键时刻（静止），同时便于站在更高角度鸟瞰全局，不致以偏概全。
2. 善于“数形结合”。
以数折形，精确；以形论数，直观。
例1. 已知：如图所示，等边三角形ABC 中，AB ＝2，点P 是AB 边上的任意一点（点P 可以与点A 重合，但不与点B 重合），过点P 作PE⊥BC，垂足为E ；过点E 作EF⊥AC，垂足为F ；过点F 作FQ⊥AB，垂足为Q ，设。
（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合；（3）当线段PE 、FQ 相交时，写出线段PE 、EF 、FQ 所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）。
分析：考虑运动全貌，明了运动变化趋势，找到关键点，可以知晓如下情况：（参见图2）图21. P 与B 重合时（假设能重合），E 、B 重合，F 为AC 中点，41=AQ （见图中四点）；P 与A 重合时，E 为BC 中点，83AQ 41＝，=CF （见图中1111Q F E P 、、、四点）；P 在线段BA 上由B 至A 运动时，E 从0E 向1E 运动，F 从0F 向1F 运动，Q 从0Q 向1Q 运动，即P 、Q 互相靠近；于是，EP 、FQ ＝直线的交点经历由△ABC 外到AB 边上到△ABC 内的过程；2. 如图1所示为运动过程的一个情形，借助三角函数容易由BP→BE→EC→CF→AF→AQ 完成过渡，找到y 与x 关系；图13. P 、B 重合，P 、Q 重合，P 、A 重合是三个关键时刻，是分情况讨论的基础。
初中数学讲解动态问题教案
教案：初中数学动态几何问题讲解教学目标：1. 理解动态几何问题的基本概念和特点；2. 学会分析和解决动态几何问题的方法；3. 能够运用动态几何问题的解题策略解决实际问题。
教学内容：1. 动态几何问题的定义和特点；2. 动态几何问题的分类及解题方法；3. 动态几何问题的实际应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾静态几何问题的解决方法，如勾股定理、相似三角形的性质等；2. 提问：静态几何问题与动态几何问题有什么区别？二、讲解动态几何问题的基本概念和特点（10分钟）1. 解释动态几何问题的定义：随着图形某一元素的运动变化，导致问题的结论或变或不变的几何题；2. 强调动态几何问题的特点：运动变化、条件变化、结论变化；3. 举例说明动态几何问题的常见形式，如动点问题、动线问题、动形问题等。
三、讲解动态几何问题的分类及解题方法（10分钟）1. 分类介绍动态几何问题的类型及解题方法：a) 动点问题：利用坐标系、参数方程等方法解决；b) 动线问题：利用直线方程、圆的方程等方法解决；c) 动形问题：利用几何图形的性质、相似三角形等方法解决；2. 引导学生理解解题方法的选择依据：问题的类型、条件的特点、结论的要求等。
四、动态几何问题的实际应用讲解（10分钟）1. 举例讲解动态几何问题在实际中的应用，如物理中的运动问题、工程中的设计问题等；2. 引导学生学会将实际问题转化为动态几何问题，运用解题方法进行求解。
五、课堂练习与讲解（10分钟）1. 布置练习题，让学生独立解决；2. 选取学生的解答进行讲解，分析解题过程中的优点和不足；3. 针对学生的疑惑进行解答，巩固所学知识。
六、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课所讲的内容，强调动态几何问题的解题方法及实际应用；2. 布置作业：解决一道动态几何问题，要求运用所学解题方法并写出解题过程。
教学反思：本节课通过讲解动态几何问题的基本概念、分类和解题方法，使学生掌握了解决动态几何问题的基本思路。
初中几何动点最值问题难题集锦
初中几何动点最值问题难题集锦初中几何动点最值问题是初中数学中的一道难题类型。
动点最值问题考察动点在几何形状内运动时，某一量的最大值或最小值的求解方法。
下面是一些初中几何动点最值问题的难题集锦。
1.【问题描述】在一个矩形ABCD中，点P动态地沿着矩形的边移动，求线段AP的最长长度。
【解答】假设矩形ABCD的边长为a和b（a<b），点P动态地沿着矩形的边移动。
我们可以观察到，当点P处于矩形的顶点A或D时，线段AP的长度为a；当点P处于矩形的顶点B或C时，线段AP的长度为b。
因此，线段AP的最长长度为b。
2.【问题描述】在一个圆形O内，点P动态地沿着圆的周长移动，求线段OP的最长长度。
【解答】设圆的半径为r，点P动态地沿着圆的周长移动。
根据三角形的性质，可以知道线段OP的长度最长时，点P应该位于圆的周长上的与点O相对的点，即直径上的点。
因此，线段OP的最长长度为2r。
3.【问题描述】在一个正方形ABCD内，点P动态地沿着正方形的边移动，求线段BP的最长长度。
【解答】设正方形ABCD的边长为a，点P动态地沿着正方形的边移动。
由于线段BP的长度等于点P距离B点的距离，所以线段BP的最长长度为正方形的对角线长度，即√2a。
4.【问题描述】在一个等腰直角三角形ABC中，点P动态地沿着三角形的边移动，求线段AP的最长长度。
【解答】设等腰直角三角形ABC的等腰边长为a，点P动态地沿着三角形的边移动。
可以观察到，当点P处于顶点B或C 时，线段AP的长度为a；当点P处于顶点A时，线段AP的长度为0。
因此，线段AP的最长长度为a。
5.【问题描述】在一个梯形ABCD中，点P动态地沿着梯形的边移动，求线段CP的最长长度。
【解答】设梯形ABCD的上底长为a，下底长为b（a>b），点P动态地沿着梯形的边移动。
可以观察到，当点P处于梯形的底端点C或顶端点D时，线段CP的长度为0；当点P处于梯形的上底端点A时，线段CP的长度为ab。
初中数学一元二次方程的应用题型分类——动态几何问题3(附答案)
11．Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每 秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动，到达点 C 停止运动．设运动时间为 t 秒
（1）如图 1，过点 P 作 PD⊥AC，交 AB 于 D，若△ PBC 与△ PAD 的面积和是△ ABC
4．在平面直角坐标系 x O y 中，过原点 O 及点 A(0，2) 、C（6，0）作矩形 OABC，
∠AOC 的平分线交 AB 于点 D 点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线
OD 方向移动；同时点 Q 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动 设
移动时间为 t 秒，当 t 为
2．在△ ABC 中,∠B=90°,AB=8,BC=6.点 P 从点 B 沿 BA 向 A 以 1 cm/s 向 A 移动,到 A 后停止;同时,点 Q 从 B 沿 BC→CA 以 1 cm/s 移动到终点 A,_______秒后,△ PBQ 的面积 为 16.
3．如图，将边长为 12 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ ABC 沿着 AD 方 向平移，得到△ A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为 32 时，它移动的距离 AA′等 于．
时，△ PQB;ax+b 图像与 x 轴有 2 个交点，A(x1,0)，B(x2,0)；且 0< x1<1； 1< x2<2,那么（1）a 的取值范围是___________；b 的取值范围是________；则（2）
初中数学北师大版九年级下册中考专题动态几何
6
F' 2 2 G
4
2
小结
模型一：动点到定点定长模型
模型二
模型三
课后思考题
同学们再见！
折叠得到△EB’F ，连接B’D，则B’D的 最小值是 10 1
.
= 动点到定点的距离 定长
DE 12 32 10
A
3
D
1
B'
E
1
B'
B ' D DE B ' E 10 1
BF
3
C
变式3：在平行四边形ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4， CD＝3 3 ，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将 △AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接 MC， 则 A'C 长度的最小值是 5 。
设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2， S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；
若不存在，请说明理由；
6
DH 2 3 DF ' 2 3 2
H
SABF '最小
1 2
AB
DF '
1 2
6 (2
3 2)
6 36
1 S1 2 6 3 3 3
Smax S1 S2 3 3 (6 3 6) 6 3 3
点 C 落在点 P 处。
6
(1)点 P 到边 AB 距离的最小值是 5
。
A
= 动点到定点的距离 定长
sin A BC 8 4 AB 10 5
FH 4 4 16 55
P'H FH FP' 16 2 6
5
5
变式： △ABP的面积的最小值是 6
名校-中考初中数学-动态几何问题解题技巧
[名校]中考初中数学-动态几何问题解题技巧
动态几何问题的基本策略是动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性，动静互化：“静”只是“动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静"的关系. 抓住变化中的不变，以不变应万变。
这类问题与函数相结合时，注意使用分类讨论的思想，运用方程的思想.数形结合的思想.转化的思想等。
比如会考查相似三角形的性质与判定、旋转的性质及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、旋转的性质及三角函数是解题的关键．还会考查圆周角的性质，垂径定理以及圆的动点问题。
全等三角形动态问题
全等三角形动态问题在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的知识点，而其中的动态问题更是让许多同学感到头疼。
今天，咱们就来好好探讨一下全等三角形的动态问题，争取把这个难题给攻克了。
首先，咱们得明白啥是全等三角形的动态问题。
简单来说，就是在一个几何图形中，三角形的某些顶点或者边在按照一定的规律运动，然后让我们去研究在这个运动过程中三角形全等的情况。
比如说，有一个三角形 ABC，其中点 A 沿着一条直线匀速移动，然后问在移动过程中，是否存在某个时刻，使得三角形 ABC 和另一个给定的三角形 A'B'C'全等。
解决这类问题，关键在于抓住全等三角形的判定条件。
咱们都知道，全等三角形的判定条件有“SSS”（三边对应相等）、“SAS”（两边及其夹角对应相等）、“ASA”（两角及其夹边对应相等）、“AAS”（两角及其中一角的对边对应相等）和“HL”（直角三角形的斜边和一条直角边对应相等）。
那在动态问题中，怎么运用这些判定条件呢？这就需要我们仔细观察图形的运动过程，找出那些不变的量和变化的量。
举个例子，假设在一个矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，以 BE 为斜边作一个直角三角形 BEF，其中∠F ＝ 90°，BF ＝ EF。
当点 E 从 A 点运动到 D 点时，问三角形 BEF 和哪个三角形全等。
咱们来分析一下，在这个过程中，因为 BF ＝ EF，所以这是一个等腰直角三角形。
而矩形的对边是相等的，所以 AB ＝ DC。
如果我们连接 CE，那么就会发现三角形 BAE 和三角形 DCE 有可能全等。
当点 E 运动到使得 BE ＝ CE 时，因为 AB ＝ DC，AE ＝ DE（矩形对边相等，E 是 AD 中点），根据“SSS”判定条件，就可以得出三角形 BAE ≌三角形 DCE。
再来看一个例子，在三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ BC，D 是AB 边上的一点，E 是 BC 边上的一个动点，连接 DE，将三角形 BDE沿着 DE 翻折，得到三角形 B'DE。
苏科版初中数学九年级上册第一单元1.4 第3课时 动态几何问题
第3课时动态几何问题知识点1三角形中的动点问题1.[教材“问题6”变式]如图1-4-7,在Rt△ABC中,AC=50 m,BC=40 m,∠C=90°,点P从点A 开始沿AC边向点C以2 m/s的速度匀速移动,同时,另一点Q由点C开始以3 m/s的速度沿着射线CB匀速移动,当△PCQ的面积等于300 m2时,移动时间为()图1-4-7A.5 sB.20 sC.5 s或20 sD.不确定2.如图1-4-8,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16 cm,AD为BC边上的高,动点P从点A出发,沿A→D的方向以√2cm/s的速度向点D运动,四边形PDFE为矩形,其中点E在AC上,点F在BC上.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动的时间为t s,则t=时,S1=2S2.图1-4-83.如图1-4-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,AB=10 cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,沿边AC,CB向点C,B移动,它们的速度都是1 cm/s,经过几秒,P,Q两点相距2√10cm?求出此时△PCQ的面积.图1-4-9知识点2矩形中的动点问题4.如图1-4-10,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,点E从点A出发,沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动,同时,点F从点B出发,沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动,当点F到达点C时,两点同时停止移动.经过几秒,△EBF的面积为5 cm2?图1-4-105.如图1-4-11,A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=6 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度沿AB边向点B移动,到达点B后停止移动;点Q以2 cm/s的速度沿CD边向点D移动,到达点D后停止移动.(1)经过几秒,四边形PBCQ的面积为33 cm2?(2)经过几秒,点P和点Q的距离是10 cm?图1-4-116.[2019·宿迁三模]如图1-4-12,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点B出发沿边BC,CD以2 cm/s的速度向终点D运动;同时,点Q从点C出发沿边CD,DA以1 cm/s的速度向终点A运动(P,Q两点中,只要有一点到达终点,则两点均停止运动).(1)哪一点先到达终点?运动停止时,另一点离终点还有多远?(2)在运动过程中,△APQ的面积能否等于22 cm2?若能,求出运动时间;若不能,请说明理由.图1-4-127.如图1-4-13所示,在平面直角坐标系中,四边形OACB为矩形,OA=3 cm,点C的坐标为(3,6),点P,Q分别从点O,A同时出发,点P从点O沿OA向点A以1 cm/s的速度运动,点Q从点A沿AC向点C以2 cm/s的速度运动.(1)经过多长时间,△P AQ的面积为2 cm2?(2)△P AQ的面积能否为3 cm2?(3)经过多长时间,P,Q两点之间的距离为√17cm?图1-4-138.如图1-4-14,在边长为12 cm的等边三角形ABC中,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1 cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动.若点P,Q分别从点A,B同时出发,其中任意一点到达终点后,两点同时停止移动.(1)经过6 s,BP=cm,BQ=cm;(2)经过几秒,△BPQ是直角三角形?(3)经过几秒,△BPQ的面积为10√3cm2?图1-4-14教师详解详析第3课时 动态几何问题1.C [解析] 设移动时间为t s .由题意知AP=2t ,CQ=3t ,所以PC=50-2t.因为12PC ·CQ=300,所以12(50-2t )·3t=300,解得t 1=20,t 2=5,所以当移动时间为20 s 或5 s 时,△PCQ 的面积为300 m 2.故选C .2.6 [解析] 因为在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=16 cm,AD 为BC 边上的高,所以AD=BD=CD=8√2 cm .又因为AP=√2t cm, 所以S 1=12AP ·BD=12×√2t×8√2=8t (cm 2),PD=(8√2-√2t )cm .易知∠P AE=∠PEA=45°,所以PE=AP=√2t cm,所以S 2=PD ·PE=(8√2-√2t )·√2t cm 2.因为S 1=2S 2,所以8t=2(8√2-√2t )·√2t ,解得t 1=6,t 2=0(舍去).故答案是6.3.解:设经过x s,P ,Q 两点相距2√10 cm .由题意,得(8-x )2+x 2=(2√10)2, 解得x 1=2,x 2=6.当x=2时,S △PCQ =12×(8-2)×2=6(cm 2); 当x=6时,S △PCQ =12×(8-6)×6=6(cm 2).答:经过2 s 或6 s,P ,Q 两点相距2√10 cm,此时△PCQ 的面积为6 cm 2. 4.解:设经过t s,△EBF 的面积为5 cm 2,则12×2t×(6-t )=5,整理,得t 2-6t+5=0,解得t 1=1,t 2=5. 因为0<t ≤4, 所以t=5舍去.答:经过1 s,△EBF 的面积为5 cm 2.5.解:(1)设经过x s,四边形PBCQ 的面积为33 cm 2.由题意,得PB=(16-3x )cm,QC=2x cm .由梯形的面积公式,得12(16-3x+2x )×6=33,解得x=5. 答:经过5 s,四边形PBCQ 的面积为33 cm 2.(2)设经过t s,点P 和点Q 的距离是10 cm . 如图,过点Q 作QE ⊥AB ,垂足为E , 则QE=AD=6 cm,PQ=10 cm . 因为P A=3t cm,CQ=BE=2t cm, 所以PE=|AB-AP-BE|=|16-5t|cm . 由勾股定理,得(16-5t )2+62=102,解得t 1=4.8,t 2=1.6.答:经过4.8 s 或1.6 s,点P 和点Q 的距离是10 cm . 6.解:(1)点P 从点B 运动到点D 所需的时间为(12+6)÷2=9(s),点Q 从点C 运动到点A 所需的时间为(6+12)÷1=18(s). 因为9<18,所以点P 先到达终点,此时点Q 离终点还有(6+12)-1×9=9(cm). (2)在运动过程中,△APQ 的面积能等于22 cm 2.在点P 从点B 运动到点C 的过程中,设点P 运动a s 时,△APQ 的面积等于22 cm 2, 则12×6-2a ×62-(12-2a )a 2-(6-a )·122=22,此方程无解;在点P 从点C 运动到点D 的过程中,设点P 运动(b+6)s 时,△APQ 的面积等于22 cm 2, 则12(12-b )(6-2b )=22, 解得b 1=1,b 2=14(舍去), b+6=1+6=7.故运动时间为7 s 时,△APQ 的面积等于22 cm 2.7.[解析] (1)设经过x s,△P AQ 的面积为2 cm 2,列出方程解答即可.(2)设经过y s,△P AQ 的面积为3 cm 2,通过列出方程解答,可知此方程无实数根,即△P AQ 的面积不能为3 cm 2.(3)设经过t s,P ,Q 两点之间的距离为√17 cm,利用勾股定理列方程解答. 解:(1)设经过x s,△P AQ 的面积为2 cm 2.由题意,得1(3-x)·2x=2,2解得x1=1,x2=2.所以经过1 s或2 s,△P AQ的面积为2 cm2.(2)设经过y s,△P AQ的面积为3 cm2.(3-y)·2y=3,由题意,得12即y2-3y+3=0,在此方程中b2-4ac=(-3)2-4×1×3=-3<0,所以此方程没有实数根,所以△P AQ的面积不能为3 cm2.(3)设经过t s,P,Q两点之间的距离为√17cm,则AP=(3-t)cm,AQ=2t cm.由勾股定理,得(3-t)2+(2t)2=(√17)2,(不符合题意,舍去).解得t1=2,t2=-45所以经过2 s,P,Q两点之间的距离为√17cm.8.解:(1)612(2)设经过x s,△BPQ是直角三角形.因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC=12 cm,∠A=∠B=∠C=60°.由题意,知BP=(12-x)cm,BQ=2x cm.①若∠PQB=90°,则∠BPQ=30°,所以BP=2BQ,即12-x=2×2x,.解得x=125②若∠QPB=90°,则∠PQB=30°,所以BQ=2BP,即2x=2(12-x),解得x=6.s或6 s,△BPQ是直角三角形.故经过125(3)设经过y s,△BPQ的面积为10√3cm2.如图,过点Q作QD⊥AB于点D,则∠QDB=90°.BQ=y cm.因为∠B=60°,所以∠DQB=30°,所以DB=12在Rt△DBQ中,由勾股定理,得DQ=√3y cm,=10√3,所以(12-a)·√3a2解得y1=10,y2=2.因为若y=10,则2y=2×10=20>12,不合题意,故舍去,所以y=2.答:经过2 s,△BPQ的面积为10√3cm2.。
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MC NCEC CD(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)中考数学专题 动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形 ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10,梯形的高为4 •动 点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动•设运动的时间为t (秒)•(1 )当MN I AB 时，求t 的值；(2)试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析 动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说， 都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M , N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。
但是我们发现，和 这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。
由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】解：(1 )由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则 四边形ABED 是平行四边形.••• AB II DE , AB II MN • ••• DE II MN •(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题)25 8 △MNC为等腰三角形.••• t 1 •解得t 50 .10 3 5 17【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。
在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。
具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：①当MN NC时，如图②作NF BC交BC于F ,则有MC 2FC即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）DF4sin C—CD5C3•cos5，3t•102t 2 —5解得t8②当MN MC时，如图③，过M作MH CD于H . 贝U CN 2CH ,•••t 2 10 2t 3.5•t 60.17③当MC CN时,则10 2t t .103综上所述，当t【例2】在△ABC中，/ACB=45 o .点D (与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF .(1)如果AB=AC .如图①，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.(2)如果AB #AC,如图②，且点D在线段BC上运动.(1 )中结论是否成立，为什么？(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC = 4.2 ,BC 3, CD= x，求线段CP的长.(用含x的式子表示)【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。
由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递, 就可以得解。
【解析】：(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：AB=AC , /ACB=45 o ,「.Z ABC=45 o .由正方形ADEF 得AD=AF ,T/DAF= ZBAC =90 o,•••ZDAB= /FAC,「.A)AB 也zEAC , •••厶CF= /ABD .•••ZBCF= ZACB+ /ACF= 90 o .即CF丄BD .【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找一样求解。
(2) CF 丄BD . (1)中结论成立.理由是：过点 A 作AG 丄AC 交BC 于点G ,「.AC=AG 可证：△ GAD 也/CAF•••厶CF= ZAGD=45 oZBCF= ZACB+ ZACF= 90 o . 即 CF 丄 BD【思路分析3】这一问有点棘手，D 在BC 之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位置是不 一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X 还是4-X 。
分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.(3)过点 A 作AQ 丄BC 交CB 的延长线于点 Q , ①点D 在线段BC 上运动时,【例3】已知如图，在梯形ABCD 中，AD // BC , AD 2, BC 4,点M 是AD 的中点,△ MBC 是等边三角形.(1) 求证：梯形 ABCD 是等腰梯形；易证△AQD s/DCP , •CP CD,• CP xDQ AQ4x42x CPx .4②点D 在线段BC 延长线上运动时，过A 作AG AC 交CB 延长线于点G ,则AGDACF△AQD S /DCP , • CP CD,• CP xDQ AQ4 x42xCPx .4■//BCA=45 o ，可求出 AQ= CQ=4 . • DQ=4-x , ■//BCA=45 o ，可求出 AQ= CQ=4 , • DQ=4+x(2) 动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且/ MPQ 60保持不变.设PC x, MQ y,求y与x的函数关系式；(3) 在(2)中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由. M【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。
第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。
第二问和例1 一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。
题目给定/MPQ=60 。
这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来•因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系•怎么证相似三角形呢？当然是利用角度咯•于是就有了思路•【解析】(1)证明：••• △ MBC是等边三角形•••MB MC,Z MBC / MCB 60•••M是AD中点•AM MD•/ AD // BC•••/AMB / MBC 60 ,/ DMC / MCB 60 •••△ AMB DMC•AB DC•梯形ABCD是等腰梯形.Z MPQ 60•••/ BMP Z BPM Z BPM Z QPC 120（这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩）• Z BMP Z QPC • △ BMP CQP •竺 CQ "BM BP• y -x 2 x 4 4 (设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。
由第二问所得的二次函数，很 轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时Y 有最小值。
接下来就变成了 “给定PC=2，求APQC 形状”的问题了。
由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解。
(3)解： △ PQC 为直角三角形1 2••• y - x 234•••当y 取最小值时，x PC 2• P 是 BC 的中点，MP BC ,而 Z MPQ 60 , • Z CPQ 30 , •Z PQC 90以上三类题目都是动点问题， 这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件， 例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。
如果没有特殊条件，那么就需要研(2)解：在等边△ MBC 中，MB MCBC 4,/ MBC / MCB 60 ,••• PC x , MQy ••BP 4 x , QC 4 y究在动点移动中哪些条件是保持不变的。
当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢？接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG,CG .(1)直接写出线段EG与CG的数量关系；(2)将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G ,连接EG , CG , 你在(1 )中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.(3)将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1 )中的结论是否仍然成立？(不要求证明)DC C【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。
从旋转45。
到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。
第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。
第二问将△ BEF旋转45。
之后，很多考生就想不到思路了。
事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。
连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE ,我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G 点做AD,EF的垂线。
于是两个全等的三角形出现了。
（1）CG EG（2）（ 1 ）中结论没有发生变化，即CG EG .证明：连接AG，过G点作MN AD于M，与EF的延长线交于N点.在DAG与DCG中，•/ AD CD, ADG CDG , DG DG ,••• DAG 也DCG .二AG CG .在DMG与FNG中，•/ DGM FGN , FG DG , MDG NFG ,•DMG 也FNG .•MG NG在矩形AENM中，AM EN在Rt AMG 与Rt ENG 中，•/ AM EN , MG NG ,•- AMG 也ENG .• AG EG .•EG CGDC【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。
但是我们不应该止步于此。
将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△ BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。
建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G 点是FD的中点。
可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF 这一条件将全等过渡。
要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。
（3）（ 1 ）中的结论仍然成立.C【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE 交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B'处.BE(1 )当---- =1 时，CF= cm ,CEBE(2)当=2 时，求sin /DAB '的值;CEBE（3 ）当——=x时（点C与点E不重合），请写出厶ABE翻折后与正方形ABCD公共CE部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）【思路分析】 动态问题未必只有点的平移， 图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。