电磁场理论课件 3-3 磁多极矩 (1)

和A 不是直接观察意义的物理量。但是，在量子力学
中，势 和 A 具有可观测的物理效应。1959年，阿哈罗
诺夫(Aharonov)和玻姆(Bohm)提出这一新的效应（以下
简称A-B效应），并被随后的实验所证明实。
下图为电学双缝衍射实验装置。
d
c1
θ c2
y
L
一束以电子枪发射出来的电子经双缝分为两束， 分别经过路径c1,c2到达荧光屏上，两束电子有一定的 相位差，在屏上可得到 干涉花纹。若在双缝后面放置 一个细长螺线管 ，管上加一定电压，以阻止电子进 入螺线管，电子只能在管外区域行进。
(m
)
R R3
R R3
=0,
(R 0)
B(1)
0 4
(m )
R R3
在电流分布以外的空间中，磁场应可以用标势描述，
因此再把上式化为磁标势的梯度形式。m为常矢量。
B(1)
0 4
(m )
R R3
(m
R R3
)
m
(
R R3
)
(m
)
R R3
(m
)
R R3
B (1)
0 4
(m
R R3
)
B(1) 0m(1)
展开式的第三项：
A(2) (x) 0 J (x) 1 xx : 1 dV
4 V
2!
R
将会是更高级的磁矩激发的矢量势。因为比 较复杂，一般不去讨论。
综上所述：小区域电流分布所激发的磁场， 其矢势可看作一系列在原点的磁多极子对场点激 发的矢势的迭加。
3、小区域内电流分布在外磁场中的能量
设外磁场 Be 的矢势为Ae , J x 在外磁
§3 磁多极矩 Magnetic multipole moment
本节研究空间局部范围内的电流分布所激 发的磁场在远处的展开式。与电多极矩对 应，引入磁多极概念，并讨论这种电流分 布在外磁场中的能量问题。
1、 矢势的多级展开
给定电流分布激发的磁场矢势为
A(x) 0 J (x' )dV '
4 r
F W (m Be ) m ( Be ) (m )Be
(m )Be
由于产生外场的电流一般都不出 现在磁矩m所在的区域内
Be 0
磁偶极子所受的力矩为
L
W
mBe
cos
mBe
sin
计及力矩的方向，得 L m B
比较
电偶极子
磁偶极子
相互作用能 W p Ee 0
W m Be 0
受力
Idl ' JdV '
m I x' J (x ')dV ' 2
P
x
对于一个小线圈，设它所围的面元为△S
1 x' dl ' ?S
O x dl
2
特例：圆面积 S=R2
m IS
2．磁偶极矩的场和磁标势
由A(1)可算出磁偶极矩的磁场
B(1)
A
0 4
(m
R R3
)
0 4
(
R R3
)m
R
R2
R
1 1 (x ) 1 1 (xx : ) 1
rR
R2
R
A(x) 0
4
J (x' )[ 1 x' 1 1
R
R 2!
i, j
xi'
x
' j
2 xix j
1 ]dV ' R
第一项
A(0) (x) 0 J (x' )dV '
4 R
由恒定电流的连续性，可把电流分为 许多闭合的流管，则
W IBe (0) S dS m Be (0)
m是电流线圈 的磁偶极矩。
A W
W m Be (0)
dW W dx W dy W dz=W dl
x
y
z
dW dA=F dl
磁偶极子在外磁场中所受的力是
( f g) f ( g) ( f )g g ( f ) (g ) f
如果电流分布于小区 域V内，而场点x又比较远， 可以把A(x)作多极展开。
取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式
1 1 (x ) 1 1 (x )2 1
r r x0
r x0 2
r x0
1 (x ) 1 1 (x )2 1
ห้องสมุดไป่ตู้
R
R2
R
1 (x ) 1 1 (xx : ) 1
(x' R)dl ' 1 [(x' R)dl ' (dl ' R)x' ] 1 (x' dl ' ) R
2
2
A(1)
0 4 R3
I 2
(x' dl ' ) R
则有 得磁矩
A(1)
0 4 R3
I 2
(x' dl ' ) R
m I x' dl ' 电流线圈的磁矩
2
(1) m
mR
4 R3
磁偶极势形式上和电偶极势相似。
一个小电流线圈可看作由一对正负磁荷组成
的磁偶极子,磁偶极矩 m IS由决定。
一个任意电流线圈可以看作由它所 围的一个曲面S上许多小电流线圈组 合而成,因此它的总磁偶极矩为
m I S dS
电流分布区域以外的空间用磁标势m来描述磁场
A(1) (x)表示把整个电流系的磁矩集中在原点时， 一个磁矩对场点所激发的矢势。作为一级近似结果。
F p Ee
力矩
L pE
F m Be
L mB
§3.4 阿哈罗诺夫—玻姆效应 Aharonov-Bohm effects
在经典电动力学中，场的基本物理量是电场强度
E
和磁感应强度
B，势 和 A是为了数学上的方便而
引入的辅助量， 和 A不是唯一确定的。为对应一个磁
场，可以有无穷多的矢势 A ，所以在经典意义上说，
A(1) 0I x' 1 dl ' 0I x' R dl '
4
R
4
R3
在被积式中，R/R3为固定 矢量，与积分变量无关。
A(1) 0I
4
x' 1 dl ' 0I
R
4
x'
R R3
dl
'
x为' 线圈上各点的坐标，因此
dx' dl
利用全微分绕闭合回路的线积分等于零
0 d[(x' R)x'] (x' R)dl ' (dl ' R)x'
J (x' )dV ' Idl I dl 0
I为在该流管内 流过的电流。
A(0) 0
A(x) 0 J (x')[ 1 x' 1
4
R
R
1
2!
i, j
xi'
x
' j
2 xix j
1 ]dV ' R
第二项为 A(1) 0 J (x' )x' 1 dV '
4
R
先就一个闭合线圈情形计算上式。 若线圈电流为I，有
场中的相互作用能量为
W J AedV
载电流I 的线圈在外磁场中的能量为
W I L Ae dl I S Be dS Ie
e为外磁场对 线圈L的磁通量
取坐标系原点在线圈所在区域内适当点上。若区域线度远小于磁场 发生显著变化的线度，则可以把Be(x) 在原点领域上展开
Be (x) Be (0) x Be (0)