1.3 空间几何体的表面积与体积导学案

§1.3 空间几何体的表面积与体积 导学案（3课时）

【使用说明及学法指导】

1.先精读一遍教材P23—P23，用红色笔进行勾画，找出柱、锥、台体的表面积、体积的计算公式并识记；再针对导学案二次阅读并回答；

2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑.

【学习目标】

1.通过学习掌握柱、锥、台、球表面积、体积的计算公式并会灵活运用，会求简单组合体的表面积和体积.

2.通过对柱、锥、台表面积和体积的公式的探究学习,体会观察、类比、归纳的推理方法.

3.通过从量的角度认识几何体的过程，培养学生的空间想象能力和思维能力.

【重点难点】

1. 重点：求圆柱、圆锥、圆台的侧面积，求柱体、锥体、台体、球的表面积与体积；

2. 难点：柱体、锥体、台体的侧面展开图及这三类几何体之间关系的理解.

【预习自学】

1. 多面体的表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.

2. 探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（右图），你觉得它们展开图与其表面积有什么关系吗？

结论： 正方体、长方体是 围成的多面体，其表面积就是 ，也就是展开图的面积.

新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其 . 试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？

探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积 问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？

新知2：（1）设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于 ，即

（2）设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于 ，即S= . 试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢？）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？

（3）设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等于 ，即S= .

反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？

※ 典型例题

例1 已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积.

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20,盆底直径为15,底部渗水圆孔直径

为,盆壁长15.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14,结果精确到1毫升)?

探究3：主体、锥体与台体的体积

初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式（为底面面积，为高），是否柱体的体积

都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？

新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)

柱体体积公式为： （为底面积，为高）； 锥体体积公式为： （为底面积，为高）；

台体体积公式为： （，分别为上、下底面面积，为高）.

补充：柱体的高是指 的距离；锥体的高是 的距离；台体的高是指 的距离. 反思：思考下列问题

⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？

⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？

※ 典型例题

例 3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重5.8，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14)？

正四棱锥

正四棱台 正六棱柱

探究4：球的体积和表面积

球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：

球的体积公式：V=

；球的表面积公式：S= ，其中，为球的半径.

显然，球的体积和表面积的大小只与半径有关.

※典型例题

例4 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证：

（1）球的体积等于圆柱体积的；

（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.

【课后练习与能力提升】（课上与课后完成）

1. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )

A．32 B．16＋16 2 C．48 D．16＋32 2

第1 题第2题第3题

2. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（）

A. B. C. D.

3. 如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（）

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

4. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（）

A. cm3

B.cm3

C.2 000 cm3

D.4 000 cm3

第4题第5题第6题

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________．

6. 一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）

A.1

B.

C.

D.

7. 右图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )

A．4π B.

15π

4

C．5π D.

17π

4

8. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.

（1）求该几何体的体积V；

（2）求该几何体的侧面积S.

9. 如图，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积.

10. 如图，一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积．