2006中科院量子力学试题乙B试题+答案
2006中科院普通物理(乙)试题
中国科学院2006年研究生入学考试试题试题名称：普通物理(乙)一、选择题（共60分）：(1) 地球在一年(按365天计算)内自转多少角度：A. 728πB. 730πC. 732πD. 734π(2) 质点沿周向运动，且速率随时间均匀增大，其加速度a 与速度V 之间的夹角随时间A. 增大B. 减小C. 不变D. 既有增大的过程，也有减小的过程(3) 考虑到地面建筑随地球运动，有人就争论楼房的运动速率大小问题，请选择正确的说法：①速率不变；②白天大于晚上；③晚上大于白天A. ①B. ①③C. ①②D. ③(4) 一乒乓球以入射角θ与乒乓球桌发生碰撞，弹起时与桌面的出射角大小还是θ，这是什么原因：A. 动量守恒原理B. 机械能守恒定律C. 动能定理D. 牛顿第三定律(5) 水平面上有意直径为R 的圆孔，在同一平面上有物体以0.6倍光速远离此孔，如图所示，则站在此物体上观察，圆孔的数学描述为： Ryx O V 图R 0.8R RR1A B C D(6) 地球上北半球的重力方向指向：①球心；②球心偏北方向；③球心偏南方向A. ①B. ①②C. ③D. ①③(7) 陀螺仪是利用了普通物理中的什么原理：A. 动量守恒原理;B.角动量守恒原理;C. 电磁作用原理;D. 以上原理都有。
(8) 某电荷Q 分成 q 和(Q-q)两部分，并将两部分离开一定距离，则它们之间的库仑力为最大时的条件是A. q ＝Q/2 ;B. q ＝Q/4;C. q ＝Q/8;D. q ＝Q/16。
(9) 若将电介质插入电容器两极板之间，则A. 电容减小；B.电容增加；C. 电容不变；D. 如何变化不能肯定。
(10) 有一圆形线圈在均匀磁场中作下列几种运动，哪种情况在线圈中会产生感应电流。
A. 线圈沿磁场方向平移;B. 线圈沿垂直于磁场方向平移；C. 线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行;D. 线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。
量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
量子力学真题和答案解析
量子力学真题和答案解析是物理学中的一个重要分支，研究微观领域的宇宙现象和微观粒子的行为规律。
具有复杂的数学理论基础，因此在学习和研究过程中常常会遇到各种难题和问题。
为了更好地理解和应用，解析真题和答案是非常重要的一步。
首先，解析真题前，我们需要了解一些基本概念和原理。
描述了微观粒子的行为，其中最基本的概念是量子态和波函数。
量子态描述了粒子的所有性质，而波函数则是的核心数学工具，用于描述粒子的状态和演化规律。
在研究真题时，我们需要仔细分析题目中给出的信息和条件。
通常，题目会给出一些实验或者观测结果，然后要求利用所学知识来推断和解释这些结果。
这就需要我们从题目中提取关键信息，并应用的原理进行分析。
解析真题时，我们可以采用逐步推导的方法。
首先，根据题目中给定的信息，我们可以确定所研究系统的量子态。
然后，根据波函数的演化规律，我们可以利用薛定谔方程或者时间演化算符来推导出系统的时间演化。
最后，我们可以根据所给条件和结果来验证和解释我们的推导和计算结果。
在解析真题时，我们还需要注意一些常见的问题和误区。
首先，是一种概率性理论，因此我们无法准确预测每一次实验的结果。
我们只能给出在大量重复实验中的平均结果。
其次，波函数的坍缩现象是的核心特征之一。
在测量时，波函数会坍缩到某一特定的量子态，从而给出确定的结果。
最后，量子纠缠是中的一个重要现象。
它描述了在某些情况下，两个或多个微观粒子之间存在着密切的关联，无论它们之间的距离有多远。
总结一下，解析真题和答案是学习和研究的重要一步。
我们需要了解的基本概念和原理，并且可以采用逐步推导的方法来分析和解决问题。
我们还需要注意中的一些常见问题和误区，以便更好地理解和应用的原理和概念。
通过解析真题和答案，我们可以提高对的理解，并且能够更好地应用于实际问题和研究中。
量子力学经典题目及解答
2 2
(J1取 号 J2 下 ) 上 ，取 号
o
a
ψΙ = ⋯ 由波函数有限性要求，ψΙΙΙ = 0,(x < 0, x > a)⋯ (2)
ψ (1)式改写为 ′′(x) + (1)式
∂ψ ∂ψ E =E , = ψ⋯ (2) 定 ：ℏ 态 i ψ ∂t ∂t iℏ ∂ψ* ∂ψ* E * * 取 共 ： iℏ 复 轭 =E , ψ = ψ ⋯ ) (3 ∂t ∂t −iℏ ∴ 态 率 度 布 随 间 化 即 定 几 密 分 不 时 变 ， ： ∂w ∂ψ* ∂ψ E * E =ψ +ψ* =ψ ψ +ψ* ψ = 0 ∂t ∂t ∂t −iℏ iℏ ∂w 由1 ( )， iJ = − ∇ = 0， ∂t ∴ iJ与 间 关 即 为 t无 的 矢 。 ∇ 时 无 ， J 与 关 常 量 ∂t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
µ e s4
2n 2ℏ 2
试由驻波条件求粒子能量的可能值。 试由驻波条件求粒子能量的可能值。 λx h nh 解：驻波条件 1
p2 3.粒子被限制在长宽高分别为 1 3.粒子被限制在长宽高分别为 a , a2, a3 的箱中动， 的箱中动， E = 2µ
a1 = n1
2
， px = ∴
λx
=
2a1
3
a
2x 2x 2A 5 a5 = A2[ (a − x) + ∫ dx] = x = 3*4 3*4 3*4*5 0 30 0 0 30 30 ∴A = 5 , A = 5 a a
2
4
中科院-中科大2006年量子力学甲A2
故 x Ae
i 2 m x
,
f t Be
t i t V t dt 0
。 。
若取 V (t ) V0 cos t ，那么 f t Be 于是得到 x, t Ne i
2 m x
V i t 0 sin t
e
V i t 0 sin t
Nei k t (t ) 。
外场 V (t ) 的作用仅是给平面波提供一个受时间调制的相角： 1 t t V t dt 。 0
中国科学院研究生院 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学（甲）A 卷
考生须知：
1. 2. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
ˆA ˆ ˆ2 和 B ˆ ˆ A ˆA ˆ 1 ，B ˆ 2 0 ， AA ˆA ˆ 满足下列关系： A 一、（共 30 分）两个线性算符 A 2 ˆ B ˆ； 1) 求证 B ˆ 和B ˆ 表象中 A ˆ 的表达式。 2) 求在 B
0, 0 x a, 0 y a 。加上 四、（共 30 分）粒子在二维无限深方势阱中运动， V 其它 , 微扰 H xy 后，求基态和第一激发态能级的一级微扰修正。
量子力学经典题目及解答
8 a1
a2
a3
2 a1
a2
a3
第一章
补充：1.设 1 af1(x)ei(x和t) 2 bf2 (x)ei分(x别t表) 示
微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态 1 2
时的相对几率分布。a，b为复常数， f1, f2为实函数。 解： 2 1 2 2 af1ei( xt) 2 bf2ei( xt) 2
n1
x
2
， px
h
x
n1h , 2a1
同理， py n2h / 2a2, pz n3h / 2a3 n1, n2, n3 1, 2,3
E
p2
2
1
2
(
px2
py2
pz2 )
h2
2
(
n1 2a1
)2
( n2 2a2
)2
( n3 2a3
)2
E h2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ] 2 2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ]
1
hv kT
1 c2
v T
d
c1v3dv ec2v/T 1
c1v3dv c2v /T
c1 c2
Tv2dv
----R-J公式
2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式 En
解： 角动量量子化条件，
es2 r2
Ln
v2
r
rnv
(向心力)
(1) （2）
r * (2) :
es2
(v2
)
(1)
(
的两组超越方程，经图解法求出束缚态的 后, k，可由(15)
得 2.8出分对子应间的的能范级德瓦E。n耳斯力所产生的势能可以近似的表示为
量子力学(甲)A卷真题2006年
量子力学(甲)A卷真题2006年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、(总题数：1，分数：30.00)两个线性算符和满足下列关系：（分数：30.00）(1).求证[*]；（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：。
)解析：(2).求在[*]表象中[*]和[*]的表达式。
（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设，则能得到λ2-λ=0，所以λ=1，0。
因此有。
设，因为，所以以a22，a21：0。
又，所以a11=0。
因此推得。
)解析：二、(总题数：1，分数：30.00)1.粒子在一维势场 V(x) =A|x|n (-∞＜x（分数：30.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(利用测不准关系，对△x取极小：。
)解析：三、(总题数：1，分数：30.00)λ，又设体系处于某一束缚定态，其能量和本征函数分别记为E n 和ψn(r) 。
（分数：30.00）(1).证明费尔曼-海尔曼定理：[*]；（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：(2).利用费曼-海尔曼定理，求氢原子各束缚态的平均动能(提示：氢原子能级公式为[*]) 。
（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由上题定理，。
量子物理试题及答案
量子物理试题及答案1. 请解释普朗克常数在量子力学中的作用。
答案：普朗克常数是量子力学中一个基本常数，它标志着能量与频率之间的联系。
在量子力学中，普朗克常数用于描述粒子的能量量子化，即粒子的能量只能以普朗克常数的整数倍进行变化。
2. 描述海森堡不确定性原理。
答案：海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
具体来说，粒子的位置不确定性与动量不确定性的乘积至少等于普朗克常数除以2π。
3. 什么是波函数坍缩？答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当进行测量时，系统从一个不确定的量子态（波函数描述的状态）转变为一个确定的经典态的过程。
4. 简述薛定谔的猫思想实验。
答案：薛定谔的猫是一个思想实验，用来说明量子力学中的超位置原理。
在这个实验中，一只猫被放置在一个封闭的盒子里，盒子内还有一个装有毒气的瓶子和一个放射性原子。
如果原子衰变，毒气瓶就会打开，猫就会被毒死。
在没有观察之前，猫处于既死又活的超位置状态。
只有当观察者打开盒子时，猫的状态才会坍缩为一个确定的状态。
5. 什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中的一种现象，指的是两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，使得即使它们相隔很远，一个粒子的状态也会立即影响到另一个粒子的状态。
6. 解释泡利不相容原理。
答案：泡利不相容原理指出，在同一个原子内，两个电子不能具有相同的四个量子数（主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数）。
这个原理解释了原子的电子排布和元素周期表的结构。
7. 描述量子隧穿效应。
答案：量子隧穿效应是指粒子能够穿越一个在经典物理学中不可能穿越的势垒。
这种现象是由于量子力学中的波函数具有非零的概率在势垒的另一侧存在，即使粒子的能量低于势垒的高度。
8. 什么是量子比特？答案：量子比特，又称为量子位，是量子计算中的基本信息单位。
与经典比特不同，量子比特可以处于0和1的叠加态，这使得量子计算机能够同时处理大量信息。
9. 简述狄拉克方程。
量子力学练习题答案
一、 简答题 1． 简述光电效应中经典物理学无法解释的实验现象。 答：光电效应中经典物理学无法解释的实验现象有： （1）对入射光存在截止频率ν0 ，小于该频率的入射光没有光电子逸出；（2） 逸出的光电子的能量只与入射光的频率ν 有关，入射光的强度无关；（3） 截止频率只与材料有关而与光强无关；（4）入射光的强度只影响逸出的光 电子的数量；（5）无论多弱的光，只要其频率大于截止频率，一照射到金 属表面，就有光电子逸出。 2． 简述 Planck 的光量子假设。 答：Planck 的光量子假设为，对于一定的频率为ν 的辐射，物体吸收或发 射的能量只能以 hν 为单位来进行。 3． 写出 Einstein 光电方程，并阐述 Einstein 对光电效应的量子解释。 答：Einstein 光电方程为 hν = 1 mv2 + W 。
⎤ ⎥ ⎦
16． 简述粒子动量与位置的不确定关系。
答：若要想精确地知道粒子的动量值，就无法得知粒子的具体位置；要想
精确地知道粒子的位置，就无法得知粒子的具体动量值，位置分布的均方
差和动量分布的均方差受到下面关系的制约
Δx ⋅ Δp ≥ = 2
17． 简述量子力学的态叠加原理。
答：量子力学的态叠加原理是指如果ψ1 、ψ 2 、ψ 3 ……均是体系的可能状态，
Wmk =| am (t) |2
∫ ∫ 其中
am
(t)
=
1 i=
t 0
eiωmkτ
H
′
mk
dτ
，
H
′
mk
=
ϕm* Hl ′(t)ϕkdτ ，ωmk = (Em − Ek ) / =
二、 证明题 1． 证明黑体辐射的辐射本领 E(ν ,T ) 与 E(λ,T ) 之间的关系。 证明：黑体的辐射本领是指辐射体单位面积在单位时间辐射出来的、单位 频率间隔内的能量，用 E(ν ,T ) 表示。由于ν = c / λ ，所以黑体的辐射本领也 可以表示成 E(λ,T ) 。由定义得单位面积、单位时间内辐射的能量为
量子力学统考真题答案解析
量子力学统考真题答案解析近年来，量子力学成为物理学领域研究的热点，其在现代科技中的应用也越发广泛。
因此，掌握量子力学相关知识成为了很多学生的目标。
本文将对一些量子力学统考真题的答案进行解析，帮助读者更好地理解这一领域的知识。
真题一：在泊松括号的定义中，以下哪个性质是正确的？A. 反对称性B. 可加性C. 分配律D. 结合律答案解析：泊松括号的正确性质是反对称性，即对于量子力学中的两个算符A和B，其泊松括号满足{A, B} = -{B, A}。
可加性、分配律和结合律均不是泊松括号的性质。
真题二：以下哪个选项是描述薛定谔方程解的最准确的描述？A. 波函数是一种物理量B. 波函数是一种运动学参数C. 波函数描述了粒子的运动状态D. 波函数描述了粒子的位置答案解析：准确描述薛定谔方程解的选项是C，即波函数描述了粒子的运动状态。
量子力学中的波函数是对粒子运动状态的描述，可以通过求解薛定谔方程得到。
真题三：以下哪个选项是正确的？对于一个哈密顿量H，若其本征态满足ψ = Cψ，其中C为常数，则A. H是没有本征值的。
B. ψ是H的本征态。
C. ψ是H的本征值。
D. ψ不是H的本征态。
答案解析：本题要求判断给定情况下的哈密顿量H与其本征态之间的关系。
根据题目中给出的条件，可以得出结论：ψ是H的本征态。
因为薛定谔方程的解包含了波函数和能量本征值，ψ满足薛定谔方程，因此可以认为ψ是H的本征态。
真题四：以下哪个量是角动量算符的一个本征值？A. 平动动量B. 能量C. 电荷D. 波长答案解析：角动量算符的一个本征值是角动量，选项A的平动动量与角动量概念不同，选项B的能量与角动量没有直接关系，选项C的电荷也与角动量无关，只有选项D的波长与角动量有一定关系，因此答案选D。
通过以上对量子力学统考真题的答案解析，希望可以帮助读者更好地理解量子力学知识。
量子力学是一门复杂而且深奥的学科，需要持续的学习和思考。
只有通过理论的学习和实践的应用，我们才能真正掌握量子力学的精髓，为科学技术的发展做出贡献。
中科院量子力学历年详解(phileas)
v v vi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17
1.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 详解 2.1 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
2.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 四川大学量子力学入学试题 A.1 2010 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 2009 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 2010 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 2009 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2006中科院量子力学试题甲B试题+答案
参考答案：2006 量子力学（甲）B
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三、（共 30 分）一个质量为 m 的粒子被限制在 0 x a 的一维无穷深势阱中。初始时 8 x x (1 cos ) sin 刻其归一化波函数为 ( x, 0) ，求 5a a a 1) t 0 时粒子的状态波函数； 2) 在 t 0 与 t 0 时在势阱的左半部发现粒子的概率是多少？ 解： 2 2n2 n 1, 2,3, ， 1) 因为能级 En 2ma 2 2 n x sin , (0 x a ) 本征波函数： n ( x) a ， a 0, ( x 0, x a ) 4 1 所以 t 0 时 ( x, 0) 1 ( x) 2 ( x) 。 t 0 时粒子的状态波函数为 5 5
由 Virial 定理
ˆ 2 T ˆ E ，所以 2 V n
1 ˆ 2 n m 。 p 2
2 12
ˆ2 x
因此
1 n , m 2
x p
xˆ
2
ˆ x ˆ p
1 n , 2 m 1 m n , 2
所以可在 0, 2 内找到实数 n 使 n cos n
n n
n sin n 。于是有： ˆ iB ˆ使 ˆ A ˆ i ei 。因此若定义厄米算符 H U n n n n n n
n
ห้องสมุดไป่ตู้
ˆ ˆ eiH ˆ ，则必有 U H 为幺正算符。 n n n
( x, t )
。 x 2 t 2 2 t x cos exp i sin exp i 2 2 a a 2ma ma a 2 1 16 2 ， 2) W 0 ( x, 0) dx 0 2 15 a 2 1 16 3 2 t 2 W t ( x, t ) dx cos 。 0 2 15 2ma 2 V 四、（共 30 分） 粒子在一维无限深方势阱中运动， 受到微扰 H 0 (a | 2 x a |) 的作用。 a 求第 n 个能级的一级近似，并分析所得结果的适用条件。 解： 2 2 n2 (0) n 1, 2,3, ， 零级能量 En 2ma 2 2 n x sin , (0 x a) (0) 波函数 n ( x) a 。 a 0, ( x 0, x a) 1 1 1n (1) (0)* (0) 能量的一级修正为 En n ( x) H n ( x)dx V0 。 n 2 2 2 一级近似下体系能量的近似值为 1 1 1n n 2 2 2 (0) (1) En En En V0 , n 1, 2,3, 。 2 2 n 2ma 2 2 H 适用条件： 0 mn 0 1 ， En Em
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准关系估算基
En Em xnm
n
2
2 2
nLeabharlann ˆ n E n , H ˆ m E m ， En 与 Em 是能量本征值， 其中 为系统质量， 满足 H n m
五、一质量为 的粒子被势场 V (r ) V0 e
r a
(V0 a 0) 所散射，用一级玻恩近似计算微
分散射截面。
试题名称：1990 年 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 (1) 光电效应实验指出：当光照射到金属上， a) 只有当光频率大于一定值 0 时，才有光电子发射出； b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关； c) 只要光的频率大于 0 ，光子立即产生。 试述： a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何 在？ b) 用爱因斯坦假说正确解释上述实验结果。 (2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定律描述？ (3) 1 和 2 为体系本征态，任一态为 c1 1 c2 2 。如果 1 0 ，试问： a) 如 1 和 2 是经典波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ b) 如 1 和 2 是几率波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ (4) 如何知道电子存在自旋？ ˆ 二、一维谐振子的哈密顿量 H ˆ2 1 p m 2 x 2 ，基态波函数 2m 2 2 x2 2 m ( x) , e 。 设振子处于基态。 （1997 年（实验型Ⅰ）第五题） (1) 求 x 和 p ； (2) 写出本征能量 E ，并说明它反映微观粒子什么特征？
量子力学习题答案9页word
2.1 如图所示右设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中其解分别为（1）粒子从左向右运动右边只有透射波无反射波，所以为零由波函数的连续性得得解得由概率流密度公式入射反射系数透射系数（2）粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零同理可得两个方程解反射系数透射系数（二）的情形令,不变此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其解分别为由在右边波函数的有界性得为零（1）粒子从左向右运动得得解得入射反射系数透射系数(2) 粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程由于全部透射过去，所以反射系数 透射系数2.2如图所示在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为总透射系数2.3以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1）左 中 0 a x时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得∴∴ 相应的因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得所以波函数（2） ∞∞左 中 右0 x显然时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得当，为任意整数，则当，为任意整数，则综合得∴当时，，波函数归一化后当时，，波函数归一化后2.4如图所示左中0 a 显然其中其解为由在右边波函数的有界性得为零∴再由连续性条件，即由得则得得除以得再由公式 ,注意到令,其中，不同n对应不同曲线, 图中只画出了在的取值范围之内的部分65n=0只能取限定的离散的几个值，则E 也取限定的离散的几个值，对每个E ，确定归一化条件得2.5则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为令则上式可化成令则只有当有解2.6由 和已知条件可得第三章3.1能量本征值方程为即分离变量法，令则有令则同理令则式中能级简并度为3.2角动量算符在极坐标系下则由能量本征值方程令其解为由周期性得归一化条件则3.4由能量本征值方程令当令 此时 满足的方程为时时只考虑时令其解分别为由波函数有界性得由波函数连续性得再由公式,注意到令,其中 ， 不同n 对应不同曲线,图中只画出了在的取值范围之内的部分65只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，对每个E，确定归一化条件得 1 可求得3.5同理方差算符则由测不准关系代入，验证该式是成立的第四章4.1在动量表象中，则代入得令得则归一化后的4.5本征方程的矩阵形式上式存在非零解的条件是即解得当再由得当，同样第六章6.3解：在z S ˆ 表象，nS ˆ的矩阵元为 其相应的久期方程为 即所以nS ˆ的本征值为2±。
量子力学考试试题(附答案)
量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。
4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。
量子力学答案
量子力学习题及解答 第一章量子理论基础1. 1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 比，即m T=b并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式hc如果令x=，则上述方程为kT以及这里的 本题关注的是入取何值时， 由此可求得相应的入的值，记作 处的取值是否小于零，如果小于零,v dv8 hv 33~cv vdvhve kTc ,vd ,1 -dv , 1(1) (2) (3)dvd v ()v ()8 hc 5 的物理意义是黑体内波长介于入与入 取得极大值，因此，就得要求m 。
但要注意的是， 那么前面求得的1 hc 11 +d 入之间的辐射能量密度。
对入的一阶导数为零， 还需要验证 对入的二阶导数在 m m 就是要求的，具体如下：hc~6~1hce kT1hc kT hc 1讦丁kT5(11 ehc肓)hc kTm 与温度T 成反（常量）；5（1 这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解： 个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得： 样则有X) X但经过验证，此解是平庸的；另外的一 e x=0, x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这mThc xk把x以及三个物理常量代入到上式便知m T 2.9 103 4 5m K这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1. 2在0K附近，钠的价电子能量约为解根据德布罗意波粒二象性的关系,E=hv,e c 2),那么2p如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积, 6即0.51 10 eV，因此利用非相对论性的电子的能量一一动量关系式，这样，便有P_h_H Ehc1.24 102 0.51 106 730.71 10 9m0.71 nm在这里，利用了以及最后，对hc2 e C2E作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动31. 3氦原子的动能是E -kT （k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波2长。
量子力学(乙)B卷真题2006年
量子力学(乙)B卷真题2006年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、(总题数：1，分数：30.00)1.粒子以能量E E＜V0，求透射系数。
（分数：30.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(定态薛定谔方程为，设粒子从势垒左方向右入射，其解为其中。
由波函数ψ(x) 及其一阶导数在x=0，x=a处连续条件，可得。
由此得到透射系数。
)解析：二、(总题数：1，分数：30.00)粒子在一维对称无限深方势阱中运动。
设t=0时，粒子所处状态为，n个能量本征态。
求t＞0时的以下量：（分数：30.00）(1).概率密度|ψ(x,t) |2；（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(。
)解析：(2).能量的可取值以及相应的概率。
（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(能量取值为E1的概率为，E2。
)解析：三、(总题数：1，分数：30.00)（分数：30.00）(1).求轨道角动量z分量[*]和自旋角动量z分量[*]的平均值；（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(的可取值为，0；相应的概率为。
平均值为。
的可取值为；相应的概率为。
平均值为。
)解析：(2).求总磁矩[*]的z分量的平均值。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
(完整word版)量子力学所有简答题答案(2)
简答题1 •什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：光照射到某些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。
这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。
或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变化。
这类光变致电的现象被人们统称为光电效应。
光电效应规律如下：1.每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率（或称截止频率），即照射光的频率不能低于某一临界值。
当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。
2.光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。
3.光电效应的瞬时性。
实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光子的产生都几乎是瞬时的。
4•入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。
爱因斯坦认为：（1）电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
（2）所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
（3）光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成：1 2h A -mv2这就是爱因斯坦光电效应方程。
其中，h是普朗克常数；f是入射光子的2频率。
2. 写出德布罗意假设和德布罗意公式。
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。
h德布罗意公式：E h P k3. 简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。
几率波满足的条件。
波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。
因为它能根据现在的状态预知未来的状态。
波函数满足归一化条件。
4. 以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
量子力学例题与解答
《量子力学》复习例题与题解一、基本概念1. 波粒二象性微观粒子具有波粒二象性，即微观粒子既有波动性—弥漫性，又有粒子性—不可 分割性，德波罗意关系式是两者的统一： k p E==,ω 关系式的左边体现粒子性；右边体现波动性。
2. 测不准关系描述微观粒子体系的力学量算符一般是不可对易的，也就是说，这两个力学量不能同时测准，他们的不确定度可用测不准关系来描述：222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A ≥∆∆ 3. 本征方程如下方程：n n n Q Q ψψ=ˆ（其中n Q 为常数）称为力学量算符Q ˆ的本证方程，n Q 为 力学量算符Q ˆ的相应于本征态nψ的本征值。
4. 简并度一个本征值相应于多个本征态的情形称为简并情形，本征态的个数称为相应于该本征值的简并度。
5. 全同性原理全同微观粒子体系，当两个粒子交换坐标时，波函数要末不变号，要末变号，即概率分布不变。
6．.波函数微观粒子体系的态必须用具有统计意义的波函数),(t x ψ来描述，2),(t x ψ为概率密度，即在t 时刻，x附近单位体积内找到微观粒子的概率 7. 归一化常数为了让波函数),(t x ψ表示绝对的概率幅，),(t xψ必须归一化，即1),(2=⎰τψd t x A ，其中的A 即为归一化常数8. 力学量完全测量集合完全确定一微观粒子体系的状态所需要的力学量测量集合，这些力学量必须满足：他们是可测量；它们必须互相独立；与他们相应的力学量算符必须两两对易 9. 微扰理论当'ˆˆˆ0H H H +=，且>><<<<0ˆ'ˆH H ，零级近似的本征方程)0()0()0(0ˆnn n E H ψψ=可以 严格求解时，可用微扰理论来处理，即在零级近似)0()0(,k k E ψ的基础上，根据需要 的精度逐步进行一级、二级或高级修正。
10. 玻色子与费密子自旋量子数s 为整数的微观粒子称为玻色子；自旋量子数s 为半整数的微观粒子称为费米子；前者对波函数有对称性的要求；后者对波函数有反对称性的要求，受泡里原理的约束。
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参考答案：2006 量子力学（乙ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱＢ
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1 1 ( x)e i1t 2 ( x)e i2t 。 2 1 2 1. 概率密度为 ( x, t ) 12 ( x) 22 ( x) 21 ( x)2 ( x) cos (1 2 )t 。 2 1 1 2. 能量取值为 E1 的概率为 ， E2 的概率为 。 2 2 1 2 R21 (r )Y11 ( , ) 。 三、（共 30 分）设氢原子所处状态为 (r , , , sz ) 3 R21 (r )Y10 ( , ) 2 ˆ 和自旋角动量 z 分量 s ˆz 的平均值； 1) 求轨道角动量 z 分量 L z e ˆ e ˆ ˆ L S 的 z 分量的平均值。 2) 求总磁矩 M 2 1 0 1 3 解： R21Y11 1 2 R21Y10 1 2 ，其中 1 2 , 1 2 。 2 2 0 1 ˆ 的可取值为 , 0 ；相应的概率为 1 , 3 。平均值为 。 1. L z 4 4 4 1 3 ˆz 的可取值为 , ；相应的概率为 , 。平均值为 。 s 2 2 4 4 4 e e e ˆ ˆ s ˆz ，平均值为 2. M 。 L z z 8 2
k 2 k 2 sh2 k a 4k 2 k 2
2
4 k 2 k 2
.
二、（共 30 分）粒子在一维对称无限深方势阱（ 所处状态为 ( x, t 0)
a a x ）中运动。设 t 0 时粒子 2 2
1 1 ( x) 2 ( x) ，其中 n ( x) 为系统第 n 个能量本征态。求 2
1 , , ； 2 1 4 0, 0 , , 。 2
将 t 0 时的波函数按 | i 展开得 | (0) 波函数为
1 | 3 | 4 。因此， t 0 时, 2
1 i 1 3i , , exp J t , , exp J t ， 2 4 2 4 满足归一化条件。 测到粒子 2 的自旋沿 z 轴负方向的概率为 2 2 J t W ( s2 z , t ) , (t ) , (t ) cos 2 ( )。 2 2 | (t )
所以
x p
1 m 2
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J 2 , 4 J E2 2 , 4 J E3 2 , 4 3J 2 E4 , 4 E1
1 1,1 , ； 2 1, 1 , ； 3 1, 0
中国科学院研究生院 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 参考答案：量子力学（乙）Ｂ卷
考生须知：
1. 2. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
V 0, 0 x a 一、（共 30 分）粒子以能量 E 入射方势垒。V ( x) 0 。设能量 E V0 ， x 0, x a 0, 求透射系数 T 。 2 d 2 V x x E x ， 解：定态薛定谔方程为 2 2m dx 设粒子从势垒左边向右入射，其解为： exp ikx B exp ikx , x 0, x C1 exp ik x C2 exp ik x , 0 x a, D exp ikx , x a, 2m V0 E 2mE 其中 k 2 。由波函数 x 及其一阶导数在 x 0, x a 处连 , k 2 续条件，可得 2i k k D exp ika k; 2 1 k k sh k a 2 2ik k ch k a 由此得到透射系数： j k 2 k 2 D T 透＝ D m j入 m
t 0 时波函数为
( x, t )
四、（共 30 分）对于一维谐振子的基态，求坐标和动量的不确定度的乘积 x p 。 ˆ2 ˆ p ˆ p ˆ 0 。谐振子动能 T 解：谐振子定态为宇称本征态， x ，势能 2m 1 ˆ V ˆ 。因此， V ( x) m 2 x 2 。根据维里定理有 T 2 1 1 ˆ T ˆ V ˆ 2 T ˆ 2 V ˆ ，即 m 2 x ˆ 2 p ˆ 2 。 E H m 2
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1 1 m 。 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ JS 五、（共 30 分） 两个自旋为 非全同粒子， 自旋间相互作用为 H 其中 S1 和 S 2 1 S2 ， 2 分别为粒子 1 和粒子 2 的自旋算符。设 t 0 时粒子１的自旋沿 z 轴正方向，粒子 2 的自旋沿 z 轴负方向。求 t 0 时，测到粒子 2 的自旋仍处于 z 轴负方向的概率。 J ˆs ˆ s ˆ 。 ˆ2 s ˆ2 s ˆ 2 ，其中 s ˆ Js 解： H s 1 s2 1 2 1 2 2 本征解为：
t 0 时的以下量： 1) 概率密度 | ( x, t ) |2 ； 2) 能量的可取值及相应的概率。 解：定态薛定谔方程的解为： 2 2 2 x 1 , 1 ( x)= cos ； E1 2 2ma a a
E2 4 E1 2 ,
2 ( x)=
2 2 x 。 sin a a