2006中科院量子力学试题乙B试题+答案
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1 1 m 。 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ JS 五、（共 30 分） 两个自旋为 非全同粒子， 自旋间相互作用为 H 其中 S1 和 S 2 1 S2 ， 2 分别为粒子 1 和粒子 2 的自旋算符。设 t 0 时粒子１的自旋沿 z 轴正方向，粒子 2 的自旋Biblioteka Baidu z 轴负方向。求 t 0 时，测到粒子 2 的自旋仍处于 z 轴负方向的概率。 J ˆs ˆ s ˆ 。 ˆ2 s ˆ2 s ˆ 2 ，其中 s ˆ Js 解： H s 1 s2 1 2 1 2 2 本征解为：
1 , , ； 2 1 4 0, 0 , , 。 2
将 t 0 时的波函数按 | i 展开得 | (0) 波函数为
1 | 3 | 4 。因此， t 0 时, 2
1 i 1 3i , , exp J t , , exp J t ， 2 4 2 4 满足归一化条件。 测到粒子 2 的自旋沿 z 轴负方向的概率为 2 2 J t W ( s2 z , t ) , (t ) , (t ) cos 2 ( )。 2 2 | (t )
t 0 时波函数为
( x, t )
四、（共 30 分）对于一维谐振子的基态，求坐标和动量的不确定度的乘积 x p 。 ˆ2 ˆ p ˆ p ˆ 0 。谐振子动能 T 解：谐振子定态为宇称本征态， x ，势能 2m 1 ˆ V ˆ 。因此， V ( x) m 2 x 2 。根据维里定理有 T 2 1 1 ˆ T ˆ V ˆ 2 T ˆ 2 V ˆ ，即 m 2 x ˆ 2 p ˆ 2 。 E H m 2
参考答案：2006 量子力学（乙）Ｂ
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k 2 k 2 sh2 k a 4k 2 k 2
2
4 k 2 k 2
.
二、（共 30 分）粒子在一维对称无限深方势阱（ 所处状态为 ( x, t 0)
a a x ）中运动。设 t 0 时粒子 2 2
1 1 ( x) 2 ( x) ，其中 n ( x) 为系统第 n 个能量本征态。求 2
所以
x p
1 m 2
参考答案：2006 量子力学（乙）Ｂ
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J 2 , 4 J E2 2 , 4 J E3 2 , 4 3J 2 E4 , 4 E1
1 1,1 , ； 2 1, 1 , ； 3 1, 0
t 0 时的以下量： 1) 概率密度 | ( x, t ) |2 ； 2) 能量的可取值及相应的概率。 解：定态薛定谔方程的解为： 2 2 2 x 1 , 1 ( x)= cos ； E1 2 2ma a a
E2 4 E1 2 ,
2 ( x)=
2 2 x 。 sin a a
中国科学院研究生院 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 参考答案：量子力学（乙）Ｂ卷
考生须知：
1. 2. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
V 0, 0 x a 一、（共 30 分）粒子以能量 E 入射方势垒。V ( x) 0 。设能量 E V0 ， x 0, x a 0, 求透射系数 T 。 2 d 2 V x x E x ， 解：定态薛定谔方程为 2 2m dx 设粒子从势垒左边向右入射，其解为： exp ikx B exp ikx , x 0, x C1 exp ik x C2 exp ik x , 0 x a, D exp ikx , x a, 2m V0 E 2mE 其中 k 2 。由波函数 x 及其一阶导数在 x 0, x a 处连 , k 2 续条件，可得 2i k k D exp ika k; 2 1 k k sh k a 2 2ik k ch k a 由此得到透射系数： j k 2 k 2 D T 透＝ D m j入 m
参考答案：2006 量子力学（乙）Ｂ
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1 1 ( x)e i1t 2 ( x)e i2t 。 2 1 2 1. 概率密度为 ( x, t ) 12 ( x) 22 ( x) 21 ( x)2 ( x) cos (1 2 )t 。 2 1 1 2. 能量取值为 E1 的概率为 ， E2 的概率为 。 2 2 1 2 R21 (r )Y11 ( , ) 。 三、（共 30 分）设氢原子所处状态为 (r , , , sz ) 3 R21 (r )Y10 ( , ) 2 ˆ 和自旋角动量 z 分量 s ˆz 的平均值； 1) 求轨道角动量 z 分量 L z e ˆ e ˆ ˆ L S 的 z 分量的平均值。 2) 求总磁矩 M 2 1 0 1 3 解： R21Y11 1 2 R21Y10 1 2 ，其中 1 2 , 1 2 。 2 2 0 1 ˆ 的可取值为 , 0 ；相应的概率为 1 , 3 。平均值为 。 1. L z 4 4 4 1 3 ˆz 的可取值为 , ；相应的概率为 , 。平均值为 。 s 2 2 4 4 4 e e e ˆ ˆ s ˆz ，平均值为 2. M 。 L z z 8 2
1 , , ； 2 1 4 0, 0 , , 。 2
将 t 0 时的波函数按 | i 展开得 | (0) 波函数为
1 | 3 | 4 。因此， t 0 时, 2
1 i 1 3i , , exp J t , , exp J t ， 2 4 2 4 满足归一化条件。 测到粒子 2 的自旋沿 z 轴负方向的概率为 2 2 J t W ( s2 z , t ) , (t ) , (t ) cos 2 ( )。 2 2 | (t )
t 0 时波函数为
( x, t )
四、（共 30 分）对于一维谐振子的基态，求坐标和动量的不确定度的乘积 x p 。 ˆ2 ˆ p ˆ p ˆ 0 。谐振子动能 T 解：谐振子定态为宇称本征态， x ，势能 2m 1 ˆ V ˆ 。因此， V ( x) m 2 x 2 。根据维里定理有 T 2 1 1 ˆ T ˆ V ˆ 2 T ˆ 2 V ˆ ，即 m 2 x ˆ 2 p ˆ 2 。 E H m 2
参考答案：2006 量子力学（乙）Ｂ
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k 2 k 2 sh2 k a 4k 2 k 2
2
4 k 2 k 2
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二、（共 30 分）粒子在一维对称无限深方势阱（ 所处状态为 ( x, t 0)
a a x ）中运动。设 t 0 时粒子 2 2
1 1 ( x) 2 ( x) ，其中 n ( x) 为系统第 n 个能量本征态。求 2
所以
x p
1 m 2
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J 2 , 4 J E2 2 , 4 J E3 2 , 4 3J 2 E4 , 4 E1
1 1,1 , ； 2 1, 1 , ； 3 1, 0
t 0 时的以下量： 1) 概率密度 | ( x, t ) |2 ； 2) 能量的可取值及相应的概率。 解：定态薛定谔方程的解为： 2 2 2 x 1 , 1 ( x)= cos ； E1 2 2ma a a
E2 4 E1 2 ,
2 ( x)=
2 2 x 。 sin a a
中国科学院研究生院 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 参考答案：量子力学（乙）Ｂ卷
考生须知：
1. 2. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
V 0, 0 x a 一、（共 30 分）粒子以能量 E 入射方势垒。V ( x) 0 。设能量 E V0 ， x 0, x a 0, 求透射系数 T 。 2 d 2 V x x E x ， 解：定态薛定谔方程为 2 2m dx 设粒子从势垒左边向右入射，其解为： exp ikx B exp ikx , x 0, x C1 exp ik x C2 exp ik x , 0 x a, D exp ikx , x a, 2m V0 E 2mE 其中 k 2 。由波函数 x 及其一阶导数在 x 0, x a 处连 , k 2 续条件，可得 2i k k D exp ika k; 2 1 k k sh k a 2 2ik k ch k a 由此得到透射系数： j k 2 k 2 D T 透＝ D m j入 m
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1 1 ( x)e i1t 2 ( x)e i2t 。 2 1 2 1. 概率密度为 ( x, t ) 12 ( x) 22 ( x) 21 ( x)2 ( x) cos (1 2 )t 。 2 1 1 2. 能量取值为 E1 的概率为 ， E2 的概率为 。 2 2 1 2 R21 (r )Y11 ( , ) 。 三、（共 30 分）设氢原子所处状态为 (r , , , sz ) 3 R21 (r )Y10 ( , ) 2 ˆ 和自旋角动量 z 分量 s ˆz 的平均值； 1) 求轨道角动量 z 分量 L z e ˆ e ˆ ˆ L S 的 z 分量的平均值。 2) 求总磁矩 M 2 1 0 1 3 解： R21Y11 1 2 R21Y10 1 2 ，其中 1 2 , 1 2 。 2 2 0 1 ˆ 的可取值为 , 0 ；相应的概率为 1 , 3 。平均值为 。 1. L z 4 4 4 1 3 ˆz 的可取值为 , ；相应的概率为 , 。平均值为 。 s 2 2 4 4 4 e e e ˆ ˆ s ˆz ，平均值为 2. M 。 L z z 8 2