微分方程数值解法

《微分方程数值解法》

【摘要】自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、Runge —Kutta 方法、Adams 预估校正法以及勒让德谱方法等，通过具体的算例，结合MA TLAB 求解画图，初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。同时，通过对各种方法的误差分析，让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。 【关键词】 常微分方程 数值解法 MA TLAB 误差分析

引言

在我国高校，《微分方程数值解法》作为对数学基础知识要求较高且应用非常广泛的一门课程，不仅

在数学专业，其他的理工科专业的本科及研究生教育中开设这门课程．近四十年来，《微分方程数值解法》不论在理论上还是在方法上都获得了很大的发展．同时，由于微分方程是描述物理、化学和生物现象的数学模型基础，且它的一些最新应用已经扩展到经济、金融预测、图像处理及其他领域 在实际应用中，通过相应的微分方程模型解决具体问题，采用数值方法求得方程的近似解，使具体问题迎刃而解。

2 欧拉法和改进的欧拉法

2.1 欧拉法

2.1.1 欧拉法介绍

首先，我们考虑如下的一阶常微分方程初值问题 ⎩⎨⎧==00

)()

,('y x y y x f y

（2--1）

事实上，对于更复杂的常微分方程组或者高阶常微分方程，只需要将x 看做向量，（2--1）就成了一个一阶常微分方程组，而高阶常微分方程也可以通过降阶化成一个一阶常微分方程组。

欧拉方法是解常微分方程初值问题最简单最古老的一种数值方法，其基本思路就是把（2--1）中的导数项'y 用差商逼近，从而将一个微分方程转化为一个代数方程，以便求解。

设在[]b a ,中取等距节点h ，因为在节点n x 点上，由（2--1）可得：

))(()(',n n n x y x f x y =，

（2--2）

又由差商的定义可得：

h

x y x y x y n n n )

()(('1-≈+）

（2--3） 所以有 ))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+ （2--4）

用)(k x y 的近似值k y )1,(+=n n k 代入（2--4），则有计算1+n y 的欧拉公式

))(,(1n n n n x y x hf y y +=+ （2--5）

2.1.2欧拉法误差分析

从欧拉公式中可以看出，右端的n y 都是近似的，所以用它计算出来的

1

+n y 会有累计误

差，累计误差比较复杂，为简化分析，我们考虑局部截断误差，即认为n y 是精确的前提下来估计11)(++-n n y x y ，记为1+n ε，泰勒展开有

)()()(''2

)(')()(132

1++<<+++=n n n n n x x h O y h x hy x y x y ξξ

（2--6）

联立（2--5），（2--6）即得1+n ε=)(''2

2

ξy h +)(3h O =)(2h O ，根据数值算法精度的定义，

如果一个数值方法的局部截断误差1+n ε=)(1+p h O 则称这个算法具有P 阶精度，所以，欧拉方法具有一阶精度或者称欧拉方法为一阶方法。 2.2 改进的欧拉方法

2.2.1 改进的欧拉法介绍

用数值积分离散化问题（1），两边做积分有： dx x y x f x y x y n n

x x n n ⎰

+=-+1

))(,()()(1

（2--7）

对右端积分使用梯形积分公式可得：

[]))(,())(,(2

))(,(111

+++≈

⎰

+n n n n x x x y x f x y x f h

dx x y x f n n

（2--8）

同欧拉方法，用)(k x y 的近似值k y )1,(+=n n k 代入（2--7），联立（2--8）得到改进的欧拉方法计算公式： ),(),((2

111+++++=n n n n n n y x f y x f h

y y （2--9）

一般来说，如果求解1+n y 时，算法右端不包含1+n y ，称为显性计算公式，如果包含，则求解时还需要解方程，这种称为隐式计算公式。显然公式（2--9）是一个隐式计算公式，事实上，改进的欧拉方法是用欧拉方法先求一个预测值1+n y ，再用这个预测值来计算1+n y ，即：

⎪⎩

⎪

⎨⎧++=+=++++)

,(),((2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f h

y y y x hf y y （2--10）

2.2.2改进的欧拉法误差分析

同欧拉法误差分析类似，用泰勒展开容易知道改进的欧拉方法具有二阶精度，证明略。 2.3 算例

2.3.1（一阶常微分方程）

求解初值问题

⎪⎩

⎪

⎨⎧∈-==]

1,0[21)0('

x y

x y y y

解析：在MATLAB 中求解这个方程

y=dsolve('Dy=y-2*x/y','y(0)=1','x') 得y =(2*x+1)^(1/2)

它的解析解为x y 21+=，下面我们分别用欧拉方法和改进的欧拉方法来求其数值解。 欧拉方法：创建M 文件euler1.m,内容如下： function [x,y]=euler1(fun,x0,xfinal,y0,n) if nargin<5,n=50; end

h=(xfinal-x0)/n; x(1)=x0;y(1)=y0;