一元二次方程的解法(二)配方法(基础)

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解一元二次方程五种方法

解一元二次方程五种方法

解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法解一元二次方程是初中数学中的基础知识,也是高中数学中的重要内容,掌握多种解法对于提高数学能力和解题能力有着重要作用。

下面介绍五种解一元二次方程的方法。

方法一:配方法(也称为配方根公式)配方法是一种常见的解一元二次方程的方法,它的步骤如下:1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项分离出完全平方项;2. 将方程化为完全平方形式,即形如(x + a) = b;3. 对方程两边取平方根,得到x的两个解:x = -a ± b。

方法二:公式法公式法是解一元二次方程的常用方法之一,它的公式为:x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a其中a、b、c分别为一次项系数、二次项系数和常数项。

方法三:图像法图像法是一种直观的解题方法,它的步骤如下:1. 将方程化为标准形式:ax+bx+c=0;2. 将方程左侧变形为y=ax+bx+c的二次函数的图像;3. 通过观察二次函数的图像,得到x的解。

方法四:因式分解法如果一元二次方程的左侧可以因式分解,那么可以使用因式分解法解题。

例如:x+5x+6=0,可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。

因此,x的解为x=-2或x=-3。

方法五:完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法,它的步骤如下:1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项计算出Δ=b-4ac;2. 如果Δ是完全平方数,那么方程的解为x=(-b±√Δ)/2a。

以上是解一元二次方程的五种方法,希望对大家有所帮助。

掌握多种解题方法可以提高数学思维和解题能力,也可以在考试中提高解题速度和准确性。

解一元二次方程的三种基本方法

解一元二次方程的三种基本方法

解一元二次方程的三种基本方法解一元二次方程的三种基本方法一元二次方程是数学中的基础概念之一,它的解法有很多种。

在这里,我们将介绍三种基本的解法。

一、配方法(1)将方程写成“完全平方”的形式。

例如,对于方程x²+6x–16=0,将右边的常数项移到左边,变为x²+6x=16,然后再将6x一分为二,得到x²+3x+3x=16,继续变形,即可让其成为完全平方。

(2)设定新的变量,使其成为一个完全平方。

例如,对于x²+6x–16=0,令y=x+3,代入原方程,得到y²–9+6y–16=0,简化后得到y²+6y–25=0,再将其变形成完全平方,可得(y+3)²=34,解得y= ± √34–3,代入y=x+3得到x=-3±√34。

二、公式法在公式法中,我们将方程ax²+bx+c=0写成:x=[–b±√(b²–4ac)]/2a,即可求得方程的两个根。

例如,对于方程x²+6x–16=0,可将a=1,b=6,c=–16带入公式中,计算得到x=-3±√34。

三、图像法对于一元二次方程y=ax²+b x+c,我们可以将其用一条二次函数的图像表示出来,相交坐标轴的两个点就是其解。

例如,对于方程x²+6x–16=0,我们可以作出相应的二次函数的图像,其中一条相交坐标轴的边界为x=-4和x=–2,因此可以解得方程的两个根为x=-4和x=-2。

总结以上三种方法都可以用来解一元二次方程。

配方法被广泛地应用于题目的解答中,因为它在操作方式上比较简单,尤其是在遇到较为复杂的方程式时有很好的实际应用。

公式法是一种少有的利用抽象公式的方法,尤其是在解有较大常数的一元二次方程时,可以简化计算。

图像法则不太常用,但在一些情况下,例如探究关于两个变量的函数的等高线时,它是非常实用的。

一元二次方程配方法解法

一元二次方程配方法解法

一元二次方程配方法解法一元二次方程是数学中非常常见的一种方程形式,它的一般形式为:ax^2 + bx + c = 0,其中a、b、c为常数,且a ≠ 0。

解一元二次方程的方法有很多种,其中一种常用的方法是配方法。

配方法,顾名思义,就是通过对方程进行适当的配方,使得方程变得更容易解。

下面我们就来详细介绍一下一元二次方程配方法的解法。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0,我们需要通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。

具体步骤如下:1. 首先,我们可以通过移项将方程变为ax^2 + bx = -c。

2. 接下来,我们需要找到一个常数k,使得左边的二次项与k的平方的差为常数项。

也就是说,我们要找到一个k,使得ax^2 + bx + k^2 = (x + k)^2。

3. 为了实现上述目标,我们可以将方程的左边同时加上k^2,并且在右边也加上k^2,即ax^2 + bx + k^2 = -c + k^2。

4. 现在,我们得到了一个完全平方的形式,即(ax + k)^2 = -c + k^2。

这个方程更容易解了。

5. 最后,我们可以对方程两边开平方根,得到ax + k = ±√(-c+ k^2)。

6. 继续移项,得到ax = -k ± √(-c + k^2)。

7. 最后,我们将x表示出来,即x = (-k ± √(-c + k^2)) / a,这就是一元二次方程的解。

通过配方法,我们将一元二次方程转化为了一个完全平方的形式,从而更容易求解。

需要注意的是,配方法并不是一种通用的解法,它只适用于某些特定的方程。

在实际应用中,我们需要根据具体情况选择最合适的解法。

除了配方法,解一元二次方程还有其他常用的方法,如因式分解法、求根公式法等。

这些方法各有特点,我们在实际应用中可以根据具体情况选择最合适的方法。

总结起来,一元二次方程配方法是解决一元二次方程的一种常用方法。

通过对方程进行适当的配方,将其转化为一个完全平方的形式,从而更容易求解。

一元二次方程配方法解法

一元二次方程配方法解法

一元二次方程配方法解法一元二次方程是高中数学中的重要内容,也是数学竞赛中常见的题型。

在解一元二次方程时,我们可以采用配方法解法,这种方法可以将一元二次方程转化为完全平方形式,从而更容易求解。

一、什么是一元二次方程一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程,其中a、b、c为已知常数,x为未知数。

其中,a≠0,且a、b、c都是实数。

二、配方法解法1.将一元二次方程的左右两边同时乘以a,得到ax²+bx+c=0。

2.将方程的左右两边同时加上b²/4a²,得到ax²+bx+b²/4a²+c=b²/4a²。

3.将方程的左边化为完全平方形式,即(a·x+b/2a)²=b²/4a²-c。

4.对方程的左右两边同时开平方根,得到a·x+b/2a=±√(b²-4ac)/2a。

5.将方程的左右两边同时减去b/2a,得到x=(-b±√(b²-4ac))/2a。

三、例题解析1.解方程x²+6x+5=0。

将方程的左右两边同时乘以1,得到1·x²+6x+5=0。

然后,将方程的左右两边同时加上(6/2)²/1²=9,得到1·x²+6x+9+5=9。

接着,将方程的左边化为完全平方形式,即(x+3)²=4。

对方程的左右两边同时开平方根,得到x=-3±2。

因此,方程的解为x=-1或x=-5。

2.解方程2x²-5x+2=0。

将方程的左右两边同时乘以2,得到2·2x²-5x+2·2=0。

然后,将方程的左右两边同时加上(5/4)²/2²=25/16,得到2·2x²-5x+25/16+2·2=25/16。

一元二次方程的解法(二)配方法—巩固练习

一元二次方程的解法(二)配方法—巩固练习

一元二次方程的解法(二)配方法—巩固练习【基础练习】 一、选择题1.用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时,原方程可变形为( ) A .(x +2)2=1 B .(x +2)2=7 C .(x +2)2=13 D .(x +2)2=19 2.下列各式是完全平方式的是( )A .277x x ++B .244m m --C .211216n n ++ D .222y x -+ 3.若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 的值是( )A .3B .-3C .3±D .以上都不对 4.用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形,结果是( )A .(a-2)2+1 B .(a+2)2-1 C .(a+2)2+1 D .(a-2)2-1 5.把方程x 2+3=4x 配方,得( )A .(x-2)2=7 B .(x+2)2=21 C .(x-2)2=1 D .(x+2)2=26.用配方法解方程x 2+4x=10的根为( ) A .2±10 B .-2±14 C .-2+10 D .2-10二、填空题 7.(1)x 2+4x+ =(x+ )2;(2)x 2-6x+ =(x- )2;(3)x 2+8x+ =(x+ )2. 8.用配方法将方程x 2-6x+7=0化为(x +m )2=n 的形式为 .9.若226x x m ++是一个完全平方式,则m 的值是________.10.求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11.当x= 时,代数式﹣x 2﹣2x 有最大值,其最大值为 . 12.已知a 2+b 2-10a-6b+34=0,则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程 (1)(2)221233x x +=14.已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0,求a+b 的值.15.已知a ,b ,c 是△ABC 的三边,且2226810500a b c a b c ++---+=.(1)求a ,b ,c 的值; (2)判断三角形的形状.【提高练习】 一、选择题1.一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为( )A .(x ﹣3)2=14B .(x ﹣3)2=4C .(x +3)2=14D .(x +3)2=4 2.用配方法解下列方程时,配方有错误的是( )A .22990x x --=化为2(1)100x -=B .22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .2890x x ++=化为2(4)25x +=D .23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3.把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成(x+n )2=m 的形式时,m+n 的值为( )A .8B .6C .3D .2 4.不论x 、y 为何实数,代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A .总小于2B .总不小于7C .为任何实数D .不能为负数 5.已知,则的值等于( )A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6.若t 是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △>MC. △<MD. 大小关系不能确定 二、填空题 7.(1)x 2-43x+ =( )2; (2)x 2+px+ =( )2. 8.把代数式x 2﹣4x ﹣5化为(x ﹣m )2+k 的形式,其中m ,k 为常数, 则4m+k= .9.已知4x 2-ax+1可变为(2x-b )2的形式,则ab=_______.10.将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成(x+a )2=b 的形式为____ ___,•所以方程的根为_________.11.把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________;若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式,则a=_________. 12.已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程.(1)解方程:x 2﹣2x=4. (2)解方程:x 2﹣6x ﹣4=0.14.分解因式44x +.15.当x ,y 取何值时,多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值,并求出最小值.【基础答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B .【解析】x 2+4x=3,x 2+4x +4=7,(x +2)2=7. 2.【答案】C ;【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.3.【答案】C ; 【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 2=9,解得m=3±; 4.【答案】A ;【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=(a-2)2+1 ; 5.【答案】C ;【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3,x 2-4x+22=-3+22,(x-2)2=1. 6.【答案】B ;【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22,x=-2±14.二、填空题 7.【答案】(1)4;2; (2)9;3; (3)16;4. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方. 8.【答案】(x ﹣3)2=2.【解析】移项,得x 2﹣6x=﹣7,在方程两边加上一次项系数一半的平方得,x 2﹣6x +9=﹣7+9, (x ﹣3)2=2. 9.【答案】±3; 【解析】2239m ==.∴ 3m =±. 10.【答案】-338;【解析】∵2x 2-7x+2=2(x 2-72x )+2=2(x-74)2-338≥-338,∴最小值为-338, 11.【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣(x 2+2x )=﹣(x 2+2x+1﹣1)=﹣(x+1)2+1,∴x=﹣1时,代数式﹣x 2﹣2x 有最大值,其最大值为1; 故答案为:﹣1,1. 【解析】 -3x 2+5x+1=-3(x-56)2+3712≤3712,• ∴最大值为3712. 12.【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴(a-5)2+(b-3)2=0,解得a=5,b=3, ∴=4.三、解答题13.【答案与解析】 (1)x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5 x-2=5± x 1=2+5x 2=2-5 (2)221233x x +=226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x +=1744x +=±132x =22x =- 14.【答案与解析】解:∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0,∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0, ∴(a ﹣2)2+(b+3)2=0, ∴a ﹣2=0,b+3=0, ∴a=2,b=﹣3, ∴a+b=2﹣3=﹣1.15.【答案与解析】(1)由2226810500a b c a b c ++---+=,得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=又2(3)0a -≥,2(4)0b -≥,2(5)0c -≥, ∴ 30a -=,40b -=,50c -=,∴ 3a =,4b =,5c =.(2)∵ 222345+= 即222a b c +=,∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形.【提高答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A .【解析】x 2﹣6x ﹣5=0,x 2﹣6x=5,x 2﹣6x +9=5+9,(x ﹣3)2=14,故选:A . 2.【答案】C ;【解析】选项C :2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=.3.【答案】D ;【解析】 x 2﹣6x=﹣4,∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9,即得(x ﹣3)2=5,∴ n=﹣3,m=5,∴ m+n=5﹣3=2.故选D .4.【答案】D ; 【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥.5.【答案】A ;【解析】原方程化简为:(x 2+y 2)2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4,-2不符题意舍去.故选A. 6.【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题7.【答案】(1)49;23x -; (2)24p ;2p x +.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8.【答案】﹣1;【解析】x 2﹣4x ﹣5=x 2﹣4x+4﹣4﹣5=(x ﹣2)2﹣9, ∴ m=2,k=﹣9,∴ 4m+k=4×2﹣9=﹣1.故答案为﹣1.9.【答案】4;【解析】4x 2-ax+1=(2x-b)2化为4x 2-ax+1=4x 2-4bx+b 2, 所以241a bb =-⎧⎨=⎩- 解得41a b =⎧⎨=⎩或41a b =-⎧⎨=-⎩所以4ab =.10.【答案】(x-1)2=5;15± .【解析】方程两边都加上1的平方得(x-1)2=5,解得x=15±.11.【答案】;2或6.【解析】3x 2-2x-3=0化成;即2(-)232aa =-,a=2或6.12.【答案】5; 【解析】原式三、解答题13.【答案与解析】 解:(1)配方x 2﹣2x +1=4+1 ∴(x ﹣1)2=5 ∴x=1±∴x 1=1+,x 2=1﹣.(2015•大连)解方程:x 2﹣6x ﹣4=0.(2)解:移项得x 2﹣6x=4, 配方得x 2﹣6x +9=4+9, 即(x ﹣3)2=13, 开方得x ﹣3=±, ∴x 1=3+,x 2=3﹣. 14. 【答案与解析】4222224()22222x x x x +=++-g g g g22222(2)(2)(22)(22)x x x x x x =+-=++-+.15. 【答案与解析】解:x 2+4x+4y 2﹣4y+1=x 2+4x+4+4y 2﹣4y+1﹣4 =(x+2)2+(2y ﹣1)2﹣4,又∵(x+2)2+(2y ﹣1)2的最小值是0, ∴x 2+4x+4y 2﹣4y+1的最小值为﹣4.∴当x=﹣2,y=时有最小值为﹣4.。

一元二次方程的解法——配方法

一元二次方程的解法——配方法
(二)
自组
主内
预交
习流
(8’)
一、复习提问:
问题1:一元二次方程的一般形式是什么?
问题2:具有什么结构特征的一元二次方程能用直接开平方法解?
二、自主学习:
1、用直接开平方法解方程:①(x-2)²=5②x2-4x+4=5
2、思考:怎样解方程:x2-4x-1=0





10'
(三)
分合
配作
任探
务究
(10’)
A.(a-2)2+1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2+1 D.(a-2)2-1
5、若a2+2a+b2-6b+10=0,则a=,b=。
6、证明:代数式x2+4x+ 5的值不小于1.
7、用配方法解下列方程:(1)x2-3x-1=0(2)y2+ y-2=0
(六)
知构
识建
归网
纳络
课堂小结(会思考、会总结,才会有收获哦!)
一、填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1) =()2(2) =()2
(3) =()2(4) =()2
(5) =()2
二、分析讨论:①等式左边的多项式中二次项的系数都是;
②等式左边所填的常数(或式)都有什么特点:;
三、现在你会解方程:x2-4x-1=0吗?
四、知识点归纳:
我们把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做





15’
(四)
展拓
示展
质提
疑升
(15’)

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础)【学习目标】1.了解配方法的概念,会用配方法解一元二次方程;2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤;3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,进一步体会转化的思想方法,并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程:(1)配方法解一元二次方程:将一元二次方程配成的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式:.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤:①把原方程化为的形式;②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解.要点诠释:(1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方;(2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.(3)配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±.知识点二、配方法的应用1.用于比较大小:在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小.2.用于求待定字母的值:配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3.用于求最值:“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值.4.用于证明:“配方法”在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.要点诠释:“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好.【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程首先把方程的二次项系数化为1,移项,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解.【答案与解析】解:2x 2+3x ﹣1=0x 2+x 2+) x+x 1= 【点评】一般地,用先配方,再开平方的方法解一元二次方程,应按以下步骤进行:(1)把形如ax 2+bx+c=0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1;(2)把常数项移到方程的右边;(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”,配方得形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程;(4)用直接开平方的方法解此题.举一反三:【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0; (2)x 2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2.两边都加4,得x 2-4x+4=2+4.利用完全平方公式,就得到形如(x+m)2=n 的方程,即有(x-2)2=6.解这个方程,得x-2=或x-2=-. 于是,原方程的根为x=2+或x=2-. (2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8.两边都加“一次项系数一半的平方”=32,得 x 2+6x+32=-8+32, ∴ (x+3)2=1.用直接开平方法,得x+3=±1,∴ x=-2或x=-4.类型二、配方法在代数中的应用2.若代数式221078M a b a =+-+,2251N a b a =+++,则M N -的值( )A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数【答案】B ;【解析】(作差法)22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>.故选B.【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项、配成完全平方,使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号:388499关联的位置名称(播放点名称):配方法与代数式的最值—例4】【答案与解析】解:﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8(x 2﹣x )﹣5=﹣8[x 2﹣x+()2]﹣5+8×()2=﹣8(x ﹣)2﹣,∵(x ﹣)2≥0,∴﹣8(x ﹣)2≤0,∴﹣8(x ﹣)2﹣<0,即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0.【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后,再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值.举一反三:【高清ID 号:388499关联的位置名称(播放点名称):配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=(x+4)2+1∵(x+4)2≥0,∴当(x+4)2=0时,代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4.已知223730216b a a b -+-+=,求4a b -的值. 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ,可配成两个完全平方式. 【答案与解析】将原式进行配方,得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴ 302a -=且104b -=, ∴ 32a =,14b =.∴ 3312222a -=-=-=-. 【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式,进而求出a .b 的值.。

9年级上册数学一元二次方程

9年级上册数学一元二次方程

九年级上册数学一元二次方程一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一个只含有一个未知数(通常表示为x),且未知数的最高次数为2的方程。

其标准形式为:ax^2 + bx + c = 0,其中a、b、c是常数,且a≠0。

二、一元二次方程的解法配方法:通过配方将方程转化为(x+b)^2=d的形式,然后直接开平方求解。

公式法:根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac,当Δ≥0时,方程有2个实根。

根为x=(-b±√Δ)/2a。

因式分解法:将方程左边化为两个因式的乘积,右边化为0,然后分别令每个因式等于0求解。

三、一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac。

根据判别式的不同取值,一元二次方程的根的情况分为以下三种:当Δ>0时,方程有两个不相等的实根。

当Δ=0时,方程有两个相等的实根(重根)。

当Δ<0时,方程没有实根(称为虚根),但有共轭复数根。

四、一元二次方程的根与系数的关根的和:x1+x2=-b/a。

根的积:x1*x2=c/a。

根的平方和:x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(b^2-2ac)/a^2。

的立方:x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2+x2^2-x1*x2)=-b^3/a^3+c^3/a^3=(c^3-b^3)/a^3。

五、一元二次方程的应用一元二次方程在日常生活和生产实践中有着广泛的应用,如计算几何图形的面积、解决商品利润问题等。

解决这类问题时,需要将实际问题转化为数学模型,即建立一元二次方程,然后求解得到实际问题的答案六、配方法解一元二次方程将一元二次方程化为(x+b)^2=d的形式,然后直接开平方求解。

这种方法适用于所有形式的一元二次方程,但在使用时需要注意运算的准确性。

七、公式法解一元二次方程根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac,当Δ≥0时,使用公式法可以直接求解出方程的实根。

此方法简洁明了,但需要注意判别式的计算以及实根的存在性。

一元二次方程的解法配方法详解

一元二次方程的解法配方法详解

一元二次方程的解法配方法详解一元二次方程是高中数学中重要的内容之一,掌握其解法方法对于学习数学和解决实际问题都具有重要意义。

本文将详细介绍一元二次方程的解法配方法,帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

一、基本概念和性质在解一元二次方程之前,我们首先需要了解其基本概念和性质。

一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0,其中a、b、c为已知系数,x为未知数。

方程中的二次项、一次项和常数项分别代表函数曲线的平移、伸缩和抬升等特征。

二、解法配方法之求根公式对于一元二次方程,我们可以通过求根公式来求解。

求根公式的形式为x=(-b±√(b²-4ac))/(2a),其中±表示两个解,分别对应方程的两个根。

在使用求根公式时,我们需要先计算出判别式D=b²-4ac的值,判别式的正负与方程的根的情况相关。

三、解法配方法之因式分解除了求根公式外,我们还可以运用因式分解的方法来解一元二次方程。

通过将方程进行因式分解,将其转化为简便形式,即可更容易找到解的值。

因式分解的关键在于将二次方程表示为两个一次因式相乘的形式,即(ax+b)(cx+d)=0。

然后,利用乘法公式,将方程展开求解。

四、解法配方法之配方法在解一元二次方程时,有时候无法直接使用求根公式或因式分解的方法。

此时,我们可以借助配方法来求解。

配方法的核心思想是将方程转化为平方差或完全平方的形式。

通过添加适当的常数项,并结合平方差公式或完全平方公式,从而将方程进行变形,进而求解。

五、实例演练为了更好地理解一元二次方程的解法配方法,我们将通过几个实例演练来加深对该知识点的理解。

根据具体的实例,我们将使用求根公式、因式分解以及配方法等不同的解法配方法,展示其在不同情境下的应用效果。

六、总结一元二次方程的解法配方法是高中数学中的重要内容,通过本文的介绍,我们可以了解到求根公式、因式分解和配方法等不同的解法,以及其在实际问题中的应用。

一元二次方程配方法解法

一元二次方程配方法解法

一元二次方程配方法解法一元二次方程是高中数学中的重要内容,解法有多种。

其中,配方法是一种常用的解法。

本文将详细介绍一元二次方程配方法的解法步骤和注意事项。

一、一元二次方程的一般形式我们先来回顾一下一元二次方程的一般形式:ax + bx + c = 0其中,a、b、c均为常数,且a ≠ 0。

二、配方法的解法步骤下面,我们来介绍一元二次方程配方法的解法步骤:步骤一:将方程化为标准形式将一元二次方程的通项式化为标准形式,即将常数项移到等号右侧,得到:ax + bx = -c步骤二:用(b/2a)消去二次项将方程左侧的一次项除以a,并将其平方,即:(b/2a) = b/4a然后,将(b/2a)代入方程左侧中的二次项,即:ax + 2abx/4a + b/4a = -c化简得:(ax + b/2a) = b - 4ac / 4a步骤三:化简并求解将方程左侧开方,得到:ax + b/2a = ±√(b - 4ac) / 2a移项并化简,得到:x = (-b ±√(b - 4ac)) / 2a至此,我们就得到了一元二次方程配方法的解法。

下面,我们来看一下注意事项。

三、注意事项1.当b - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根。

2.当b - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根。

3.当b - 4ac < 0时,方程有两个共轭复数根。

4.在应用配方法时,要注意系数a不能为零,否则方程不再是二次方程。

5.在计算过程中,要避免出现小数,尽量使用根式化简。

四、总结本文介绍了一元二次方程配方法的解法步骤和注意事项。

配方法是一种简单有效的解法,掌握了配方法,可以更加轻松地解决一元二次方程的问题。

学生版一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)

学生版一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)【学习目标】1.了解配方法的概念,会用配方法解一元二次方程; 2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤;3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,进一步体会转化的思想方法,并增强数学应用意识和能力。

【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1.配方法解一元二次方程: (1)配方法解一元二次方程: 将一元二次方程配成的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式:.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤: ①把原方程化为的形式;②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解. 要点诠释:(1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方; (2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.(3)配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±.知识点二、配方法的应用1.用于比较大小:在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小. 2.用于求待定字母的值:配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3.用于求最值:“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值. 4.用于证明:“配方法”在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用. 要点诠释:“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好. 【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. (石景山区期末)用配方法解方程:2x 2﹣12x ﹣2=0.举一反三:【变式】 用配方法解方程 (1)(2)20x px q ++=类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0.举一反三:【变式】试用配方法证明:代数式223x x -+的值不小于238.3. (宜兴市校级月考)若把代数式x 2+2bx+4化为(x ﹣m )2+k 的形式,其中m ,k 为常数,则k ﹣m 的最大值是 .举一反三: 【变式】(1)的最小值是 ;(2)的最大值是 .4. 分解因式:42221x x ax a +++-.一元二次方程的解法(二)配方法—巩固练习(提高)【巩固练习】 一、选择题1. (新疆)一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为( )A .(x ﹣3)2=14B .(x ﹣3)2=4C .(x +3)2=14D .(x +3)2=4 2.用配方法解下列方程时,配方有错误的是( )A .22990x x --=化为2(1)100x -= B .22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .2890x x ++=化为2(4)25x +=D .23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3.(河北模拟)把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成(x+n )2=m 的形式时,m+n 的值为( )A .8B .6C .3D .2 4.不论x 、y 为何实数,代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A .总小于2B .总不小于7C .为任何实数D .不能为负数 5.已知,则的值等于( )A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6.若t 是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △>MC. △<MD. 大小关系不能确定二、填空题 7.(1)x 2-43x+ =( )2; (2)x 2+px+ =( )2. 8.(忻州校级模拟)把代数式x 2﹣4x ﹣5化为(x ﹣m )2+k 的形式,其中m ,k 为常数, 则4m+k= .9.已知4x 2-ax+1可变为(2x-b )2的形式,则ab=_______.10.将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成(x+a )2=b 的形式为____ ___,•所以方程的根为_________.11.把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________;若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式,则a=_________. 12.已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程. (1)(安徽)解方程:x 2﹣2x=4. (2)(2015•大连)解方程:x 2﹣6x ﹣4=0.x .14.分解因式4415.(龙泉驿区校级月考)当x,y取何值时,多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值,并求出最小值.。

一元二次方程组的解法

一元二次方程组的解法

一元二次方程组的解法在数学中,一元二次方程组是指由两个一元二次方程组成的方程组。

一元二次方程组的解法可以通过多种方法实现,下面将介绍几种常见的解法。

一、图解法通过图像来解一元二次方程组是一种直观的方法。

首先,将每个方程都转换为二维坐标系上的直线或曲线,然后找出它们的交点,这个交点就是方程组的解。

例如,考虑以下一元二次方程组:方程1:y = x^2 - 4x + 4方程2:y = -x^2 + 2x + 1我们可以将这两个方程绘制在同一个坐标系上,通过观察它们的交点来求解方程组。

在图中,我们可以看到两个方程的图像相交于点(2,1),因此方程组的解为x=2,y=1。

二、代入法代入法是一种常用的解一元二次方程组的方法。

该方法的思想是将其中一个方程的变量表示为另一个方程的变量的函数,然后代入另一个方程,得到一个只含有一个变量的一元二次方程,从而求解该方程。

例如,考虑以下一元二次方程组:方程1:x^2 + y^2 = 10方程2:x + y = 5我们可以将方程2中的y表示为x的函数:y = 5 - x,然后将其代入方程1得到x^2 + (5 - x)^2 = 10。

将该方程化简后得到2x^2 - 10x + 15 = 0,进一步求解该方程可得到x的解,再将x的解代入方程2中求得对应的y的值,即可得到方程组的解。

三、消元法消元法是一种通过相加或相减来消去一个变量的方法。

该方法的思想是通过对方程进行线性组合,消去方程组中的一个变量,从而得到只含有一个变量的一元二次方程。

例如,考虑以下一元二次方程组:方程1:x^2 + 2xy + y^2 = 10方程2:x - y = 1我们可以通过将方程1的两边减去方程2的两边来消去变量y,得到x^2 + (2x - 1)^2 = 10。

将该方程化简后,我们可以得到一个只含有一个变量的一元二次方程,从而可以求解得到x的解,再将x的解代入方程2中求得对应的y的值,即可得到方程组的解。

一元二次方程的基本概念与常见求解方法

一元二次方程的基本概念与常见求解方法

一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2,最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠,a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项.(1)要判断一个方程是否是一元二次方程,必须符合以下四个标准:一元二次方程是整式方程,即方程的两边都是关于未知数的整式.一元二次方程是一元方程,即方程中只含有一个未知数.一元二次方程是二次方程,也就是方程中未知数的最高次数是2.一元二次方程最高次数的项系数不为0.(2)任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠. 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠.当0a ≠时,方程是一元二次方程;当00a b =≠且时,方程是一元一次方程. (3)关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数.ax 2 为二次项,其系数为a ;bx 为一次项,其系数为b ;c 为常数项.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠, 的一元二次方程. (2)配方法:解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程,运用配方法解一元二次方程的一般步骤是:① 二次项系数化为1.② 常数项右移.③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方).④ 化成 (x +m )2 = n 的形式.⑤ 若0n ≥,直接开平方得出方程的解。

(3)公式法:设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠,其根的判别式为:2124b ac x x ∆=-,, 是方程的两根,则:1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-; 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根.运用公式法解一元二次方程的一般步骤是:① 把方程化为一般形式.② 确定 a 、b 、c 的值.③ 计算24b ac -的值.④ 若 240b ac -≥,则代入公式求方程的根.⑤ 若240b ac -<,则方程无实数根.(4)因式分解法:适用于方程一边是零,另一边是一个易于分解的多项式.因式分解法的一般步骤:① 将方程化为一元二次方程的一般形式;② 把方程的左边分解为两个一次因式的积;③ 令每一个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解. 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法,公式法,配方法,因式分解法.在具体解题时,应当根据题目的特点选择适当的解法.(1)直接开平方法:用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程,能利用平方根的意义得到方程的解.(2)配方法:配方法是解一元二次方程的基本方法,而公式是由配方法演绎得到的.把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数,0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ,这种转化方法就是配方,之后再用直接开平方法就可得到方程的解.(3)公式法:适用于任何形式的一元二次方程,但必须先将方程化为一般形式,并计算 24b ac -的值.(4)因式分解法:适用于右边为 0(或可化为 0),而左边易分解为两个一次因式积的方程,缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便,它是一种最常用的方法.【例 1】(1) 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程,求 a 、b 的值.(2) 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根,则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2(3) 已知 43x =,则2421x x x ++的值是 .(4) 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时,(.n x = ( n 为自然数)【例 2】(1) 用直接开平方法解方程:2269(5) 2x x x -+=-. (2) 用配方法解方程:22310x x ++=.(3) 用分解因式法解方程:2()2136x x -=-. (4) 用公式法解方程:161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】(1) 解关于 x 的方程: 21 213()()0m x m x m -+-+-=. (2) 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=. 【例 4】(1)如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根,则该公共根为 .(2)若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根,求a 的值例 5】(1) 解方程:22132(10)|2|x x ---+=.(2) 解方程:221|4|x x +-=.练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解,转化的方法有因式分解法(因式定理)、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根(或遗根).3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形(如方程两边平方), 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】(1) 解方程:43225122560x x x x --++=.(2)解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=.(3)解方程 321010x x ++++=【例 7】(1)解方程:(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ;(2)解方程: x x x x x x +-=------2221120102910451069. (3)解方程:222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+.【例 8】(1)解方程:()()222323322x x x x x =+-++--. (2)解方程:22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭. (3)方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 .【例 9】(12=.(2)解方程 266 0x x --+=.【例 10】(1)已知 2x =,求.(2)无理方程 221518x x -=-的解是 。

一元二次方程的解法(配方法)

一元二次方程的解法(配方法)

通海中学初二数学导学案班级______授课时间________执笔人:初二备课组审核人: 邵玲备课内容: 22.2.2一元二次方程的解法(第二课时)(配方法)一、教学目标::1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.2、掌握配方法。

会把一元二次方程2ax+bx+c=0(a≠0)配方成为a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程,求出方程的解.二、重点、难点:1、重点:会把一元二次方程2ax+bx+c=0(a≠0)配方成为a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程,求出方程的解.2、难点:配方的过程三、学习过程:(一)、自学指导通过自学课本P32.思考后请同学们完成:例:解方程2x+x6-16=0解:总结:___________________________________________________叫做配方法。

配方法是为了_________,把_________________________________________。

(二)、师生互动例:解方程:(1)2x-x8+1=0;(2)2x2+1=3x;(3)3x2-6x+4=0。

(三)、练习:(1)、x 2+10x+9=0; (2)、x 2-x-47=0(3)、3x 2+6x-4=0; (4)、4x 2-6x-3=0;(5)、x 2+4x-9=2x-11; (6)、x(x+4)=8x+12.(四)、归纳小结掌握配方法的步骤:1、_______________________________________2、_________________________________________________________3、_________________________________________________________4、__________________________________________________________5、_____________________________________________________6、_____________________________________________________。

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一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础)【学习目标】1.了解配方法的概念,会用配方法解一元二次方程;2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤;3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,进一步体会转化的思想方法,并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程:(1)配方法解一元二次方程:将一元二次方程配成的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式:.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤:①把原方程化为的形式;②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解.要点诠释:(1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方;(2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.(3)配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±.知识点二、配方法的应用1.用于比较大小:在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小.2.用于求待定字母的值:配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3.用于求最值:“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值.4.用于证明:“配方法”在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.要点诠释:“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好.【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程:2x2+3x﹣1=0.【思路点拨】首先把方程的二次项系数化为1,移项,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解.【答案与解析】解:2x2+3x﹣1=0x2+x2+)x+x1=【点评】一般地,用先配方,再开平方的方法解一元二次方程,应按以下步骤进行:(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1;(2)把常数项移到方程的右边;(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”,配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;(4)用直接开平方的方法解此题.举一反三:【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0; (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2.两边都加4,得x2-4x+4=2+4.利用完全平方公式,就得到形如(x+m)2=n的方程,即有(x-2)2=6.解这个方程,得x-2=或x-2=-.于是,原方程的根为x=2+或x=2-.(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8.两边都加“一次项系数一半的平方”=32,得 x2+6x+32=-8+32,∴ (x+3)2=1.用直接开平方法,得x+3=±1,∴ x=-2或x=-4.类型二、配方法在代数中的应用2.若代数式221078M a b a =+-+,2251N a b a =+++,则M N -的值( )A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数【答案】B ;【解析】(作差法)22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++ 2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>.故选B.【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项、配成完全平方,使此差大于零而比较出大小.3.用配方法证明:二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0. 【答案与解析】 解:﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8(x 2﹣x )﹣5=﹣8[x 2﹣x+()2]﹣5+8×()2=﹣8(x ﹣)2﹣,∵(x ﹣)2≥0,∴﹣8(x ﹣)2≤0,∴﹣8(x ﹣)2﹣<0,即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0.【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后,再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值.举一反三:【高清ID 号:388499关联的位置名称(播放点名称):配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=(x+4)2+1∵(x+4)2≥0,∴当(x+4)2=0时,代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4.已知223730216b a a b -+-+=,求4a b -的值. 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ,可配成两个完全平方式. 【答案与解析】将原式进行配方,得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴ 302a -=且104b -=, ∴ 32a =,14b =.∴ 3312222a -=-=-=-. 【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式,进而求出a .b 的值.一元二次方程的解法(二)配方法—巩固练习(基础)【巩固练习】一、选择题1. (2015•滨州)用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10=0时,下列变形正确的为( )A .(x+3)2=1B .(x ﹣3)2=1C .(x+3)2=19D .(x ﹣3)2=192.下列各式是完全平方式的是( )A .277x x ++B .244m m --C .211216n n ++ D .222y x -+ 3.若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 的值是( )A .3B .-3C .3±D .以上都不对4.用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形,结果是( )A .(a-2)2+1B .(a+2)2-1C .(a+2)2+1D .(a-2)2-15.把方程x 2+3=4x 配方,得( )A .(x-2)2=7B .(x+2)2=21C .(x-2)2=1D .(x+2)2=26.用配方法解方程x 2+4x=10的根为( )A .2.-2..二、填空题7.(1)x 2+4x+ =(x+ )2;(2)x 2-6x+ =(x- )2;(3)x 2+8x+ =(x+ )2.8.若223(2)1x mx x ++=--,那么m =________.9.若226x x m ++是一个完全平方式,则m 的值是________.10.求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11.(2014•资阳二模)当x= 时,代数式﹣x 2﹣2x 有最大值,其最大值为 . 12.已知a 2+b 2-10a-6b+34=0,则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程(1) (2)221233x x +=14. (2014秋•西城区校级期中)已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0,求a+b 的值.15.已知a ,b ,c 是△ABC 的三边,且2226810500a b c a b c ++---+=.(1)求a ,b ,c 的值;(2)判断三角形的形状.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ;【解析】方程移项得:x 2﹣6x=10,配方得:x 2﹣6x+9=19,即(x ﹣3)2=19,故选D .2.【答案】C ; 【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 3.【答案】C ;【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 2=9,解得m=3±;4.【答案】A ;【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=(a-2)2+1 ;5.【答案】C ;【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3,x 2-4x+22=-3+22,(x-2)2=1.6.【答案】B ;【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22,x=-214二、填空题7.【答案】(1)4;2; (2)9;3; (3)16;4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8.【答案】-4;【解析】22343x mx x x ++=-+,∴ 4m =-.9.【答案】±3;【解析】2239m ==.∴ 3m =±.10.【答案】-338;【解析】∵2x 2-7x+2=2(x 2-72x )+2=2(x-74)2-338≥-338,∴最小值为-338, 11.【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣(x 2+2x )=﹣(x 2+2x+1﹣1)=﹣(x+1)2+1,∴x=﹣1时,代数式﹣x 2﹣2x 有最大值,其最大值为1;故答案为:﹣1,1.【解析】 -3x 2+5x+1=-3(x-56)2+3712≤3712,• ∴最大值为3712. 12.【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴(a-5)2+(b-3)2=0,解得a=5,b=3,∴=4.三、解答题13.【答案与解析】(1)x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=5 x 1=5x 2=5(2) 221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x += 1744x +=± 132x = 22x =-14.【答案与解析】解:∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0,∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0,∴(a ﹣2)2+(b+3)2=0,∴a ﹣2=0,b+3=0,∴a=2,b=﹣3,∴a+b=2﹣3=﹣1.15.【答案与解析】(1)由2226810500a b c a b c ++---+=,得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= 又2(3)0a -≥,2(4)0b -≥,2(5)0c -≥,∴ 30a -=,40b -=,50c -=,∴ 3a =,4b =,5c =.(2)∵ 222345+= 即222a b c +=,∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形.。

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