逆矩阵

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第三章矩阵的逆

唯一性：是可逆矩阵，的逆矩阵唯一. 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一是可逆矩阵的逆矩阵唯一证明：证明：设B、C都是的逆矩阵，则都是A的逆矩阵、都是的逆矩阵，
AB = BA = E ,
AC = CA = E
⇒ B = EB = (CA) B = C ( AB) = CE = C.
逆矩阵的求法二：逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
A11 ∗ A12 A = M A1n A21 A22 M A2 n L L M L An1 An 2 , M Ann
(1)
A
−1
1 ∗ = A , A
其中 A * 为A的伴随矩阵。的伴随矩阵。的伴随矩阵
2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
a = 0, 2a + c = 1, b = −1, 2b + d = 0, ⇒ ⇒ c = 1, − a = 0, d = 2. − b = 1,
又因为
BA AB 2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
0 A 例：设n阶矩阵及s阶矩阵都可逆，求阶矩阵A及阶矩阵都可逆，阶矩阵B都可逆阶矩阵 . B O X 11 X 12 解：设所求逆矩阵为 , X 21 X 22
∴ A 存在
−1
A
−1
A∗ = A
0 0 0 0 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 1⋅ 3⋅ 4⋅ 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1⋅ 2⋅ 4⋅ 5 0 0 5! 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 5 0 0 0 0 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4

高等代数3-3矩阵的逆

... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2

大学线性代数：矩阵的逆

* 1 ⎛ d − b⎞ A ⎜ ⎟ = . A = ⎜ ⎟ | A| ad − bc ⎝ − c a ⎠
−1
例
⎛ 1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 求 A = ⎜ 1 2 − 3 ⎟ 的逆矩阵. ⎜0 1 1 ⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1
解
| A |=
1 2 −3 0 1 1
= 3 ≠ 0.
1 −3 1+ 2 1+1 = −1, A = ( − 1 ) = 5 , A11= ( −1) 1 1 12 0 1 1 −1 1+ 3 1 2 2 +1 = 1, A13 = ( −1) A21= ( −1) 1 1 = −2, 0 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ L 1 / an ⎟ ⎠ L L L 0 0 L
试验证 A =
−1
0 ⎛ 1 / a1 ⎜ 1 / a2 ⎜ 0 ⎜ L L ⎜ ⎜ 0 0 ⎝
证Q
⎛ a1 0 ⎜ ⎜ 0 a2 ⎜L L ⎜ ⎜0 0 ⎝
L 0 ⎞⎛ 1 / a1 0 ⎟⎜ L 0 ⎟⎜ 0 1 / a2 L L ⎟⎜ L L ⎜ ⎟ ⎟ L a n ⎠⎜ 0 ⎝ 0
⎛ −2 1 ⎞ ⎟ ⎜ = ⎜ 10 − 4⎟. ⎜ − 10 4 ⎟ ⎝ ⎠
例设A是n阶可逆矩阵，B是n × m矩阵，则矩阵方程 AX = B有惟一解。
−1 可令矩阵 X = A B 解：由于A可逆，A 存在， 0
-1
则 AX 0 = A( A B) = ( AA )B =
设X 1也是方程的解，则有 A X 1 = B
L 0 ⎞ ⎛1 0 L 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ L 0 ⎟ ⎜0 1 L 0⎟ =⎜ ⎟ L L L L L L⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ L 1 / an ⎠ ⎝ 0 0 L 1 ⎟ ⎠

逆矩阵的知识点总结

逆矩阵的知识点总结一、逆矩阵的基本概念1.1 矩阵的逆在矩阵理论中，矩阵的逆是一个重要的概念。

如果存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B相乘得到单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。

换句话说，如果AB=I，那么B就是A的逆矩阵。

1.2 逆矩阵的存在性并非所有的矩阵都有逆矩阵。

只有当矩阵是可逆的时候，才会存在逆矩阵。

一个矩阵是可逆的，当且仅当它是一个方阵且其行列式不为0。

1.3 逆矩阵的求解要求解矩阵的逆，可以使用多种方法。

其中最常用的方法是高斯-约当法求解逆矩阵。

这一方法通过行变换和列变换来将矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。

1.4 逆矩阵与解的关系在线性代数中，矩阵的逆与线性方程组的解密切相关。

如果一个矩阵是可逆的，那么它所代表的线性方程组一定有唯一解，反之亦然。

二、逆矩阵的性质2.1 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵有逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。

这是因为如果存在两个不同的矩阵B和C，使得AB=I且AC=I，那么由矩阵乘法的结合律可得B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C，即B=C。

2.2 逆矩阵的乘法逆矩阵有一个重要的性质，即两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆的，并且其逆矩阵等于这两个矩阵的逆的乘积的逆。

换句话说，如果A和B都是可逆的矩阵，那么(AB)-1=B-1A-1。

2.3 逆矩阵与转置矩阵的关系矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

在逆矩阵的情况下，有一个重要的性质，即一个矩阵的逆与其转置的逆是相等的，即(A-1)T=(AT)-1。

2.4 逆矩阵与幂的关系矩阵的逆与幂有着密切的关系。

如果一个矩阵A是可逆的，那么其幂A^n也是可逆的，并且(A^n)-1=(A-1)^n。

2.5 逆矩阵与伴随矩阵的关系在矩阵理论中，有一个与逆矩阵密切相关的概念，即伴随矩阵。

伴随矩阵是一个矩阵的行列式和代数余子式构成的矩阵。

与逆矩阵的关系在于，如果一个矩阵A是可逆的，那么它的伴随矩阵乘以矩阵A的行列式就等于单位矩阵。

线性代数-逆矩阵

=
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 −0 7 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
6
1 0 0
0 3 0
0 −1
0 6
1 0 0−1 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3
0 6 0 0 0 = 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
证明由A2 − A − 2E = 0,
A−1
得A(A − E ) = 2E ⇒ A A − E = E
2 ⇒ A A − E = 1 ⇒ A ≠ 0, 故A可逆.
2
∴ A−1 = 1 (A − E ).
2
又由A2 − A − 2E = 0
⇒ (A + 2E )(A − 3E ) + 4E = 0
1 5 − 11
123 1 2 3
解
A = 2 1 2= 0 −3 −4
133 0 1 0
12 3 = 0 − 3 − 4 = − 3 − 4 = 4≠ 0, 所以A可逆.
01 0 1 0
A11
=
1 3
2 = −3, 3
A12
=
−
2 1
2 = −4, 3
A13
=
2 1
1 = 5, 3
同理可求得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3.
1 1
−1 1
1 1 0X1
−1 1
1 4 0 = 0
2 −1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1

高等数学逆矩阵

2 3 −1 不可逆. 由于 | B | = − 1 − 3 不可逆 5 = 0, 故B不可逆 1 5 − 11 a b 例4: 求的逆矩阵( 的逆矩阵 ad – bc ≠ 0 ). c d 用伴随矩阵的方法求A逆阵逆阵. 解: 用伴随矩阵的方法求逆阵 a b , | A | = ad – bc 0. 则A可逆且可逆且 ≠ 设 A= c d A11 = d, A21 = –b, A∗ = A11 A21 = d − b . A A − c a A12 = –c, A22 = a . 12 22 1 ∗ 1 d − b −1 A = 则 A = − c . a | A| ad − bc
§2.3 逆矩阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 在数的运算中当数 a ≠ 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1. 1 −1 = 的倒数, 或称a的逆的逆(元为a 的倒数或称的逆元). 其中 a a 在矩阵的运算中, 单位阵E相当于数的乘法运算中在矩阵的运算中单位阵相当于数的乘法运算中那么, 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A 的1, 那么对于矩阵如果存在一个矩阵 -1, 使得 AA-1 = A-1A = E, 则矩阵A称为可逆矩阵称为可逆矩阵, 逆阵. 则矩阵称为可逆矩阵称A-1为A逆阵逆阵定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 定义对于阶方阵如果存在一个阶方阵 AB = BA = E 使得则称矩阵A是可逆的并称矩阵B为的逆矩阵的逆是可逆的, 的逆矩阵. 则称矩阵是可逆的并称矩阵为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A 矩阵记作 -1.
下列矩阵A,B是否可逆若可逆求其逆矩阵是否可逆? 例3: 下列矩阵是否可逆若可逆, 求其逆矩阵. 3 − 1 1 2 3 2 A = 2 1 2 , B = − 1 − 3 5 . 1 3 3 1 5 − 11 解: 1 2 3 1 2 3 −3 −4 | A |= 2 1 2 = 0 − 3 − 4 = 1 0 = 4 ≠ 0 1 3 3 0 1 0 所以, 可逆可逆. 所以 A可逆由于 A11 = 1 2 = −3, A12 = − 2 2 = −4, A13 = 2 1 = 5, 1 3 1 3 3 3 同理可得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3. 所以, 所以 A21 A31 A 1 1− 3 3 1 ∗ 1 11 A −1 = A = A12 A22 A32 = − 4 0 4 . 4 5 − 1 − 3 | A| | A|A 13 A23 A33

线性代数-逆矩阵

10 2
可逆,由(2.3.3)式,
X (2E A)1 B (2E A) * B | 2E A |
1 3
0 3 0
2 2 1
11 2 2 1 1 3 0 3 3 1 0 3 1 1
2.3.2 正交矩阵前面所讨论的矩阵都是在任意给定的
一个数域P上进行的,本段将介绍一种在实
其中
A
2
1
0 ,
X y ,
b 1.
，
1 1 0
z
1
由于
111
| A | 2 1 0 1 0,
110
从而A可逆,应用（2.3.5）式,有
x 1 1 1 1 2
y 2 1 0 1
z
1
1
0
1
0 1 1 2 2
0 1 2 1 3 ,
§2.3 逆矩阵 2.3.1 逆矩阵上一节我们定义了矩阵的加法、减法
和乘法,那么对于矩阵是否也能定义除法呢?回答是否定的.但是我们可以换个角度去考虑这个问题.
在代数运算中,如果数a≠0,其倒数a-1 可由等式
a a 1 a 1 a 1
来刻画.在矩阵的乘法运算中,对于任意n阶方阵A,都有
例2.3.2 设方阵A满足A2+3A-2E=O,证明 A+E可逆，并求(A+E)-1.
证由A2+3A-2E=O,有
(A E)(A 2E) 4E O,
即 (A E)(A 2E) 4E,
于是
1
(A E)( (A 2E)) E.
，
4
，根据定理2.3.2的推论,矩阵A+E可逆,且
( A E)1 1 ( A 2E) 4
例2.3.1 求方阵

逆矩阵

A
1 2 3 4
2, A11 4, A12 3, A21 2, A11 1
2 1 4 2 1 A 1 , A 3 3 1 2 2
§3
解法二
逆矩阵
a b 设 B 是A的逆矩阵, c d
(1)矩阵A的两个多项式φ(A) 和f (A)是可换的,即 φ(A) f (A) = f (A) φ(A) , (2)如果A =P∧P-1,则Ak =P∧kP-1,从而φ(A) = Pφ(∧)P-1,
§3
( ) a0 E a1
逆矩阵
am m n 1m am n m
所以A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆阵记为A-1,即 AA-1=A-1A=E
§3
例
逆矩阵
1 A 1 2 2 , B 1 4 2 1 1 , 2
1 0 1 0 AB , BA 0 1 0 1
2 A1 1 2 1 , B 1 1 2 1 1 4 2
2 m
§3
逆矩阵
例设方阵A满足方程A2 - A -2E=0,证明A, A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵. 解 (1) 可得 A2 - A -2E=0 A(A - E)=2E
1 A ( A E ) E, 2 因此A可逆。
§3
(2)
逆矩阵
A2 - A -2E=0
可得(A+ 2E)(A -3E)+4E =0
(3)如果∧=diag (λ1, λ2 , ∙ ∙ ∙ λn )为对角矩阵,则∧k=diag (λ1k, λ2k , ∙ ∙ ∙ λnk),

逆矩阵概念

逆矩阵概念逆矩阵概念矩阵是线性代数中的一种基本数学工具，它可以用来描述线性方程组和线性变换等问题。

在实际应用中，我们常常需要求解矩阵的逆，以便解决一些实际问题。

逆矩阵是指对于一个n×n的可逆矩阵A，存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则B称为A的逆矩阵，记作A^-1。

1. 可逆矩阵在定义逆矩阵之前，我们需要先了解可逆矩阵的概念。

一个n×n的方阵A称为可逆矩阵，当且仅当其行列式不为0（det(A)≠0）。

如果行列式等于0，则称该矩阵为奇异矩阵。

只有可逆矩阵才有可能存在逆矩阵。

2. 逆矩阵的求解方法2.1 初等行变换法初等行变换法是求解逆矩阵最常用的方法之一。

首先将原始方程组增广为一个增广矩阵[A|I]，然后通过一系列初等行变换将其变换为[ I | B ]的形式，其中B就是矩阵A的逆矩阵。

初等行变换包括三种操作：交换任意两行、用非零常数乘以某一行、将某一行加上另一行的若干倍。

2.2 列主元法列主元法也是求解逆矩阵的一种方法。

它首先通过高斯消元法将原始方程组化为一个上三角矩阵，然后再通过回带法求解出逆矩阵。

这种方法的优势在于稳定性较高，但计算量较大。

2.3 求伴随矩阵求伴随矩阵也是一种求解逆矩阵的方法。

伴随矩阵是指将原始矩阵A的每个元素替换为其代数余子式所构成的矩阵A*，然后对其进行转置得到的矩阵，即A^-1=1/det(A)×A*^T。

这种方法虽然计算量较小，但需要计算大量代数余子式。

3. 逆矩阵存在条件3.1 方阵可逆只有方阵才有可能存在逆矩阵。

对于非方阵而言，则不存在逆矩阵的概念。

3.2 行列式不为0对于一个n×n的方阵A，如果其行列式det(A)≠0，则称其为可逆矩阵。

只有可逆矩阵才有可能存在逆矩阵。

3.3 线性无关对于一个n×n的方阵A，如果其列向量线性无关，则称其为满秩矩阵。

只有满秩矩阵才有可能存在逆矩阵。

第7讲矩阵的逆

变换化为单位矩阵（矩阵是满秩）
A 0
四逆矩阵的性质
(1) 若A可逆， (A1)1A
AA1=I
(2) 若A可逆，数l0，则(lA )1l1·A1
证明 lA• l1A1 ll1 • AA1 I 所以: (lA )1l1A1
(3) 若A可逆，则 (AT )1(A1)T
证明 AT(A1)T (A1A)T ITI，
所以 (AT )1(A1)T
(4)若A、B为同阶可逆矩阵，则 (AB )1B 1A1
证明 (AB)(B1A1) A(BB1)A1 AIA1AA1I
所以: (AB )1B 1A1 推论: (ABC)1C 1B 1A1
注意逆矩阵顺序，和转置相
(ABCD)1D-1 C 1B 1A1
似
(A1A2A3…An )1(An) 1(An-1) 1….(A1) 1
1 1 1
13 20 31
3 1 5 2
2 1 10 4 10 4
矩阵方程
AX B XA B AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1C B1
练习：解矩阵方程 X XA B 其中
1 0 1
A
2 3
1 2
03
B
1 3
2 4
1 1
解： X XA B
有 XE XA B
(I-A)-1=I+A+A2+...+Ak-1
证明 (I A)(I A A2 ... Ak1) I A A2 ... Ak1 A A2 ... Ak I Ak I
所以 I-A 可逆,且
(I A)1 I A A2 ... Ak1
矩阵可逆的充要条件
A矩阵可逆
A矩阵可经有限次初等行

2.3逆矩阵

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§2.3 逆矩阵
Th2. 若矩阵A可逆,则| A | 0.
证 : A可逆 AA1 E
A A1 E 1 A 0
Th3. 若 | A | 0,则A可逆,且A1 1 A* | A|
其中A为A的伴随矩阵.
证： AA A A A E A A A A E AA
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§2.3 逆矩阵
作业
习题二（P44）
6(1)(4)、11、12（1,3）
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求逆矩阵.
证 : AA E 2E A A E E
2
A可逆 ,且 A1 1 A E .
2
A 2EA 3E 4E
A
2E
1 4
A
3
E
E
A 2E可逆, 且 A 2E 1 1 A 3E
4
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§2.3 逆矩阵
三. 逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
4 3 5 3
1 6 4
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§2.3 逆矩阵
例4. X
2 1
1
2 1 2
3 0 1
1 0
1 1
0 , 求X 0
X BA1
1 4 3
A1
1
5 3
1 6 4
X 1 0
1 1
00
1 1 1
4 5 6
3 0

逆矩阵

（2）将单位矩阵的第 i 行（列）乘以一个数 k ，得下列初等矩阵：
1
E (i(k
))
1 k 1
i列
i行
．
1
若用 E(i(k)) 去左乘一个矩阵 Amn ，其结果就是对矩阵 Amn 施行一次第 i 行乘以数 k 的初等行变换．
1.3 初等矩阵
（3）将单位矩阵的第 j 行（列）的 k 倍加到第 i 行（列），得到下列初等矩阵：
证明因为 AB(B1A1) A(BB1)A1 AEA1 AA1 E ， (B1 A1) AB B1( A1A)B BEB1 BB1 E ，故 ( AB)1 B1A1 ．
1.2 逆矩阵的性质
性质 4 若 A 是可逆矩阵，则 Am 也可逆，且 ( Am )1 ( A1)m ；
证明因为 Am ( A1)m ( AA1)m Em E ， ( A1)m Am ( A1A)m E m E ，故 ( Am )1 ( A1)m ．
1.4 利用初等变换求矩阵的逆
定理4 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积．
证明充分性是显然的，因为初等矩阵是可逆的，根据逆矩阵的性质，所以 A 也可逆．必要性：由定理 3 可知，存在初等矩阵 P1 ，，Ps ，使得 Ps P1A E ．所以有 A (Ps P1)1 E P11 Ps1 ．其中 P11 ，，Ps1 仍然是初等矩阵．
因 Ps P1A E ，Ps P1E A1 ，所以，也可用初等列变换求矩阵的逆，即
1.3 初等矩阵
（1）互换单位矩阵的两行（两列），得下列初等矩阵
1 E(i ，j)
0 1
1
i列
1
1 0
j列
i行． j行 1

第5讲矩阵的逆(PPT)

第五讲逆矩阵
一逆矩阵的定义二逆矩阵的求法三矩阵可逆的充要条件四逆矩阵的性质
一逆矩阵的定义
在实数的运算中，当实数a 0时，有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵 A，如果存在一个矩阵B
推论:
所以: (AB )1B 1A1 (ABC)1C 1B 1A1 (ABCD)1D-1 C 1B 1A1
注意顺序，和转置相似
(A1A2A3…An )1(An) 1(An-1) 1….(A1) 1
5 若A可逆,则有 A1 1
A
证明 AA1 E
A A1 1
因此 A1 A 1 .
例设A为三阶矩阵且|A|＝2，则
使得
AB BA E,
则矩阵 B称为A的可逆矩阵或逆阵.
实数a的倒数性质 aa1 a1a 1
定义对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1. 说明若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 例1 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
2E
1A
4
3E
E
A
2E
1
故A 2E可逆. 且 A 2E 1 1 A 3E
4
练习：若n阶矩阵满足
A2 2A 3E 0
A是否可逆？若可逆，求A的逆。
解：由等式可得，
A（A+2E ) E 3
A1 A+2E (3)
二逆矩阵的求法（待定系数法）

逆矩阵知识点总结

逆矩阵知识点总结1. 逆矩阵的定义在矩阵理论中，逆矩阵是指对于一个给定的n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=In，其中In是n阶单位矩阵，则称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^-1。

如果矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A是可逆的或非奇异的；如果矩阵A不存在逆矩阵，则称矩阵A是奇异的或不可逆的。

2. 逆矩阵的性质（1）若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的。

证明：设B1和B2均为矩阵A的逆矩阵，则AB1=BA=B2。

因此，AB1=AB2，由矩阵乘法的消去律可知B1=B2。

（2）若矩阵A和矩阵B均为可逆矩阵，则矩阵AB的逆矩阵为B^-1A^-1。

证明：首先，计算(AB)(B^-1A^-1)和(B^-1A^-1)(AB)，得到(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AIA^-1=AA^-1=In和(B^-1A^-1)(AB)=B^-1(AA^-1)B=B^-1IB=B^-1B=In。

因此，矩阵AB的逆矩阵为B^-1A^-1。

（3）若矩阵A可逆，则矩阵A^-1也是可逆矩阵，并且(A^-1)^-1=A。

证明：由矩阵A的定义可知，存在矩阵A^-1使得AA^-1=In。

因此，(A^-1)^-1A^-1A=(A^-1)^-1=InA^-1=A^-1。

由此可知，矩阵A^-1的逆矩阵是矩阵A本身。

（4）对角矩阵D的逆矩阵是其对角线上每个非零元素的倒数构成的对角矩阵。

证明：设D是一个n阶对角矩阵，其对角线上的元素为d1, d2, ..., dn，且di≠0(i=1,2,...,n)。

那么D的逆矩阵为D^-1=diag(1/d1, 1/d2, ..., 1/dn)。

因为DD^-1=diag(d1, d2, ...,dn)×diag(1/d1, 1/d2, ..., 1/dn)=diag(d1×1/d1, d2×1/d2, ..., dn×1/dn)=diag(1, 1, ..., 1)=In。

逆矩阵的定义性质及应用

逆矩阵的定义性质及应用逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它表示一个矩阵在某种运算下的逆元。

在具体描述逆矩阵的定义、性质和应用之前，我们先介绍一下矩阵的逆。

1. 逆矩阵的定义：给定一个n ×n的方阵A，如果存在一个n ×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵，则B称为A的逆矩阵，记作A^{-1}。

2. 逆矩阵的性质：（1）若A的逆矩阵存在，则逆矩阵唯一。

（2）若A与B均为可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且(AB)^{-1} =B^{-1}A^{-1}。

（3）若A为可逆矩阵，则A的转置矩阵A^T也是可逆矩阵，并且(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T。

（4）若A为可逆矩阵，则A ≠0，其中A 表示A的行列式。

逆矩阵具有以上性质，这些性质保证了逆矩阵的存在唯一性，并且在矩阵乘法、转置矩阵以及行列式等方面具有良好的运算性质。

3. 逆矩阵的应用：（1）求解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，如果A为可逆矩阵，则可以通过左乘A^{-1}求解出x的值，即x=A^{-1}b。

这种方法也被称为矩阵的逆运算法，适用于方程个数与变量个数相等的情况。

（2）矩阵的分块法：在矩阵计算中，常常会遇到大型矩阵的操作，为了简化计算，可以将大矩阵分成几个小块，然后根据逆矩阵的性质进行计算，再利用转置矩阵的性质将结果组合起来，使得计算更加高效。

（3）线性变换的逆运算：在线性代数中，矩阵可以表示线性变换，在某些应用中，需要对某个线性变换进行逆运算，即求出它的逆变换。

如果这个线性变换的矩阵是可逆的，则可以通过求逆矩阵来得到逆变换，这对于图像处理、信号处理等方面有着广泛应用。

（4）计算矩阵的伴随矩阵：在矩阵的运算中，经常需要计算伴随矩阵，将一个矩阵乘以它的伴随矩阵可以得到一个特殊的对角线矩阵，这个特殊的对角线矩阵可以帮助我们求解特征值、特征向量以及矩阵的幂等问题等，伴随矩阵的计算就离不开逆矩阵的应用。

逆矩阵三个公式

逆矩阵三个公式逆矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在求解线性方程组、计算矩阵的行列式、求解线性变换等问题中都有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍逆矩阵的三个公式，并通过实例展示其应用。

一、逆矩阵的定义逆矩阵是指对于一个给定的方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。

如果一个矩阵存在逆矩阵，则称之为可逆矩阵或非奇异矩阵，反之则称为奇异矩阵。

二、逆矩阵的计算公式1. 克拉默法则克拉默法则是求解线性方程组的一种方法，它可以通过逆矩阵的概念来推导。

对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·adj(A)，其中det(A)为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。

2. 初等变换法通过初等变换法，我们可以将方阵A通过一系列初等行变换或初等列变换转化为单位矩阵I，此时我们所做的变换操作在另一个矩阵上执行，得到的矩阵即为A的逆矩阵。

具体而言，设A经过一系列初等行变换得到I，则对应的初等行变换矩阵记为E1，同理，设A经过一系列初等列变换得到I，则对应的初等列变换矩阵记为E2，则A的逆矩阵为A^-1=E1·E2。

3. 公式法对于一个2阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·[d -b;-c a]，其中a、b、c、d分别为A的元素。

对于一个3阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·[A11 A12 A13;A21 A22 A23;A31 A32 A33]的转置矩阵，其中Aij为A的代数余子式。

三、逆矩阵的应用实例为了更好地理解逆矩阵的应用，我们以线性方程组的求解为例进行说明。

考虑一个线性方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 2我们可以将其表示为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。

我们可以通过求解逆矩阵来解得未知数向量x。

第二章§3 逆矩阵

注意排列
伴随矩阵，简称伴随阵，伴随矩阵，简称伴随阵，记作 A 有结论: 对于 A∗ 有结论 A∗ A = AA∗ = A E
A = A
∗ n −1
(教材教材P48 例4) 教材
3.2 矩阵可逆的条件
定理 2.2
为可逆阵，且如果 A 为可逆阵，则有
−1
给出求A 给出求 -1的方法
矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A ≠ 0 ,
∗
a22 L a2 n 0 A21 L MAn1 = M M An 2 L ann n 2 0 L A a 22
a12 L a1n A 0 L 0 A 的各元素的代数余子式 Aij
A L M
0 M 0 L A 称为方阵A的称为方阵的
−1
= A
−1
Proof Go on
当 A ≠0
可定义 A0 = E，A- k=(A-1)k k ∈ N ，
3.3 可逆矩阵的性质
Note： 1、若 A 可逆，则 AB = AC 、
−1 −1
⇒
B=C
−1
2、 A、B 可逆，A+B 未必可逆；即使 A+B 、可逆，未必可逆；可逆，可逆，一般
Q A = 2 ≠ 0, ∴ A 可逆
解:
A11 = 1，A12 = 0，A13 = −1， A21 = −2，A22 = 2，A23 = 2
A31 = 1，A32 = −2，A33 = 1
1 −2 1 ∗ 1 −1 A = 0 2 ∴ A = A 2 −1 2
3 2 1 1 ( A∗ )−1 = 1 A = 1 1 1 1 2 A 1 0 1 −2

2.3逆矩阵

⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 2 0 ⎟ , 其伴随矩阵为 A* , 则思考题2: 设 ⎜ 3 4 5⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 0⎞ ( A* )−1 = ＿＿＿＿＿＿ . 1 ⎜ ⎟ 2 2 0⎟ 10 ⎜ ⎜ 3 4 5⎟ ⎝ ⎠
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
思考题3: 已知 A, B, A+B 都为可逆矩阵, 证明
−1
.
此外, 当 n 阶矩阵A 可逆时, 可定义 A 的
( A)− k = ( A−1 )k , 同时规定 A0 =E ; 负整数次方幂:
于是当 A ≠ 0, k , l 为整数时
Ak Al = Ak + l , ( Ak ) l = Ak l .
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
⎛ 1 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 3 −2 1 ⎟ 的逆矩阵 . 例: 求 ⎜ 1 −1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 −1
两边右乘 A−1 ⇒ ( A−1 − E ) B = 6 E , ⇒ B = 6( A −1 − E ) −1
⎡⎛ 2 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎤ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 6 0 0⎞ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ = 6 ⎜ 0 3 0 ⎟ = ⎜ 0 2 0 ⎟ = 6 ⎢⎜ 0 4 0 ⎟ − ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎢⎜ 0 0 7 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝
3 −2 ⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 而 ⎜ 2 2 1 ⎟ 可逆 , 且 ⎜ 2 2 1 ⎟ = ⎜ − 3/ 2 − 3 5/ 2⎟ , ⎜ 3 4 3⎟ ⎜ 1 ⎜ 3 4 3⎟ 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 − 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 故 ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 3 / 2 − 3 5 / 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 7 / 2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ 1 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝

逆矩阵概念

逆矩阵概念引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。

矩阵的逆矩阵是一个特殊的矩阵，具有重要的数学性质和应用价值。

本文将全面、详细、完整地探讨逆矩阵的概念、定义、性质以及计算方法，并介绍逆矩阵在解线性方程组、求解线性变换、计算矩阵的幂等等方面的应用。

逆矩阵的定义逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵，同时B与A的乘积也等于单位矩阵。

用数学符号表示为：A * B = B * A = I，其中I表示单位矩阵。

逆矩阵的存在性一个矩阵A存在逆矩阵的条件是A是一个可逆矩阵。

可逆矩阵是指行列式值不为0的矩阵。

如果一个矩阵A的行列式值为0，则称该矩阵为奇异矩阵，不具有逆矩阵。

对于一个可逆矩阵A，其逆矩阵是唯一的。

逆矩阵的性质逆矩阵具有以下重要的性质：1.若A是一个可逆矩阵，则A的逆矩阵也是可逆矩阵。

2.若A和B都是可逆矩阵，则A * B的逆矩阵等于B的逆矩阵与A的逆矩阵的乘积，即(A * B)的逆矩阵 = B的逆矩阵 * A的逆矩阵。

3.若A是一个可逆矩阵，则(A的逆矩阵)的逆矩阵等于A本身，即(A的逆矩阵)的逆矩阵 = A。

4.若A是一个可逆矩阵，则(A的转置矩阵)的逆矩阵等于(A的逆矩阵)的转置矩阵，即(A的转置矩阵)的逆矩阵 = (A的逆矩阵)的转置矩阵。

逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法有多种，下面介绍两种常用的方法：伴随矩阵法和初等行变换法。

伴随矩阵法对于一个n阶可逆矩阵A，其逆矩阵可以通过伴随矩阵法计算得到。

伴随矩阵的定义是：将A的每个元素的代数余子式按原矩阵的行列位置交换得到的矩阵的转置矩阵。

然后，将伴随矩阵的每个元素除以矩阵A的行列式值，即可得到逆矩阵。

初等行变换法对于一个n阶可逆矩阵A，可以通过初等行变换将A转化为单位矩阵I。

在进行初等行变换的同时对单位矩阵I进行相同的变换，最终得到的矩阵就是A的逆矩阵。

逆矩阵的应用逆矩阵在数学、物理、计算机科学等领域有广泛的应用。

逆矩阵_精品文档

逆矩阵前言在线性代数中，矩阵是一个重要的数学概念，可以应用于多个领域，如线性方程组的求解、图像处理、机器学习等。

逆矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它在解决线性方程组、计算矩阵幂等数学问题中具有不可替代的作用。

本文将介绍逆矩阵的定义、性质、求解方法等内容。

什么是逆矩阵？在线性代数中，一个 n×n 矩阵 A 的逆矩阵（Inverse Matrix），记作 A^(-1)，是一个与 A 相乘后得到单位矩阵 I 相等的矩阵。

即 A * A^(-1) = I。

其中，单位矩阵 I 是一个对角线上全为 1 其他位置为 0 的 n×n 矩阵。

逆矩阵的存在性是由逆矩阵定理保证的。

逆矩阵的性质逆矩阵具有以下几个性质：1.如果一个矩阵 A 的逆矩阵存在，那么 A 的逆矩阵是唯一的。

2.如果一个矩阵 A 的逆矩阵存在，那么矩阵 A 必须是一个方阵（n×n的矩阵）。

3.如果两个矩阵 A 和 B 都是可逆的，则其乘积 AB 也是可逆的，并且(AB)^(-1) = B(-1)A(-1)。

4.如果一个矩阵 A 可逆，则它的逆矩阵的逆矩阵是 A 本身，即 (A(-1))(-1)= A。

如何求解逆矩阵？如果一个矩阵 A 是可逆的，则可以通过高斯消元法求解其逆矩阵。

以下是求解逆矩阵的步骤：1.给定一个 n×n 的矩阵 A。

2.构造一个增广矩阵 [A | I]，其中 I 是一个 n×n 的单位矩阵。

3.利用高斯消元法将矩阵 A 转化为行最简形矩阵。

4.如果矩阵 A 的行最简形矩阵是单位矩阵 I，则矩阵 A 是可逆的，逆矩阵为得到的行最简形矩阵的右半部分。

5.如果矩阵 A 的行最简形矩阵不是单位矩阵，则矩阵 A 不可逆。

逆矩阵的应用逆矩阵在许多学科中都有广泛的应用，特别是在线性代数和相关领域。

以下是逆矩阵的一些应用：1.解线性方程组：逆矩阵可以用于求解线性方程组的解。

通过求解线性方程组的逆矩阵，我们可以得到方程组的唯一解。

逆矩阵

第三章 矩阵的逆

高等代数3-3矩阵的逆

大学线性代数：矩阵的逆

逆矩阵的知识点总结

线性代数-逆矩阵

高等数学逆矩阵

线性代数-逆矩阵

逆矩阵

逆矩阵概念

第7讲 矩阵的逆

2.3逆矩阵

逆 矩 阵

第5讲 矩阵的逆(PPT)

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逆矩阵三个公式

第二章§3 逆矩阵

2.3逆矩阵

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第7讲矩阵的逆

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