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集合与常用逻辑用语不等式试题一含答案

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高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.集合的元素个数是（）．A．59B．31C．30D．29【答案】C【解析】由2n－1＜60，得n＜，又∵n∈N*，∴满足不等式n＜的正整数一共有30个．即集合M中一共有30个元素，可列为1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1，a30=59，n=30的等差数列．集合M中一共有30个元素。

【考点】集合问题2.已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{1，3，5}D．{3，5，6}【答案】A【解析】所求是两个集合的公共元素组成的集合，所以．【考点】集合的运算3.（本题满分12分）计算：（1）集合集合求和（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由集合的运算性质可得；（2）利用对数与指数的运算性质，以及公式化简可得试题解析：（1）（2）【考点】1．集合的运算性质；2．对数与指数的运算性质4.（本题满分12分）已知全集，，，（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】（1）首先求解集合A中函数的定义域得到集合A，A,B两集合的交集是由两集合的相同元素构成的集合，A,B并集是由两集合的所有元素构成的集合；（2）由已知得两集合的子集关系，从而得到两集合边界值的大小关系，解不等式求解的取值范围．试题解析：（1）（2）∵∴∴得∴实数的取值范围为【考点】1．集合的交并集运算；2．集合的子集关系5.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，．【答案】-1【解析】由两集合相等可得【考点】集合相等与集合元素特征6.满足的集合A的个数是_______个．【答案】7【解析】符合条件的集合A可以为，，，，，，，共7个．【考点】集合间的关系．7.设全集集合则．【答案】【解析】集合M表示的是直线除去点（2，3）的所有点；集合P表示的是不在直线上的所有点，显然表示的是平面内除去点（2，3）的所有点，故．【考点】集合运算．8.（本小题满分14分）已知集合，．（1）求：，；（2）已知，若，求实数的取值集合【答案】（1）;（2）．【解析】（1）画数轴先求,再求．（2）画数轴分析可得关于关于的不等式,从而可求得的范围．试题解析：解：（1）（2）【考点】集合的运算．9.在①；②；③；④上述四个关系中，错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】，所以①错；，所以②错；③④正确．【考点】1．元素与集合的关系；2．集合与集合的关系．10.已知集合，，则A．或B．C．D．【答案】B【解析】由交集的定义可知，，故选B．【考点】集合的运算及表示．【易错点睛】本题主要考查集合的运算与集合的表示方法，属容易题．集合A中的代表元素用的字母为，集合B中的代表元素用的字母为，学生会误认为是两个不同类型的集合，选D，即对两个集合均为数集的含义不清楚导致错误．11.设全集是实数集.，.（1）当时，求和；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，求出集合，然后将代入就交集和并集即可；（2）若分和求出的取值范围，周求并集即可试题解析：（1）根据题意，由于，当时，，而，所以，，（2），若，则，若，则，，综上，【考点】集合的运算，子集12.（10分）已知，。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语专项训练题(带答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语专项训练题(带答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语专项训练题单选题1、设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．4答案：B分析：由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 求解二次不等式x 2−4≤0可得：A ={x|−2≤x ≤2}，求解一次不等式2x +a ≤0可得：B ={x|x ≤−a 2}. 由于A ∩B ={x|−2≤x ≤1}，故：−a 2=1，解得：a =−2. 故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2] 答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13].故选：C3、设全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={−1,0,1,2}, B ={−3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )=（ ）A ．{−3,3}B ．{0,2}C ．{−1,1}D ．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.4、下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0答案：D分析：对于①，计算判别式或配方进行判断；对于②，当x2＝2时，只能得到x为±√2，由此可判断；对于③，方程x2＋1＝0无实数解；对于④，作差可判断.解：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x＝±√2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.故选：D小提示：此题考查特称命题和全称命题真假的判断，特称命题要为真，只要有1个成立即可，全称命题要为假，只要有1个不成立即可，属于基础题.5、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.6、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A7、集合A={x|x<−1或x≥3}，B={x|ax+1≤0}若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−13,1)B．[−13,1]C．(−∞,−1)∪[0,+∞)D．[−13,0)∪(0,1)答案：A分析：根据B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围．解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+1⩽0无解，此时a=0，满足题意．②当B≠∅时，即ax+1⩽0有解，当a>0时，可得x⩽−1a，要使B⊆A，则需要{a>0−1a<−1，解得0<a<1．当a<0时，可得x⩾−1a，要使B⊆A，则需要{a<0−1a⩾3，解得−13⩽a<0，综上，实数a的取值范围是[−13,1)．故选：A．小提示：易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅.8、已知集合满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3}，则集合A可以是（）A．{3}B．{1,3}C．{2,3}D．{1,2}答案：D分析：由题可得集合A可以是{1,2}，{1,2,3}.∵{1,2}⊆A⊆{1,2,3}，∴集合A可以是{1,2}，{1,2,3}.故选：D.多选题9、下列存在量词命题中真命题是（）A．∃x∈R,x≤0B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数C．∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数D．∃x0∈Z,1<5x0<3答案：ABC分析：结合例子，逐项判断即可得解.对于A，∃x=0∈R，使得x≤0，故A为真命题.对于B，整数1既不是合数，也不是素数，故B为真命题；对于C，若x=π，则x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，故C为真命题.对于D，∵1<5x0<3,∴15<x0<35，∴∃x0∈Z,1<5x0<3为假命题.故选：ABC.10、对任意实数a、b、c，给出下列命题，其中真命题是（）A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件C．“a<5”是“a<3”的必要条件D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件答案：CD分析：利用特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A、B选项的正误；利用必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用充要条件的定义可判断D选项的正误.对于A，因为“a=b”时ac=bc成立，ac=bc且c=0时，a=b不一定成立，所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A错；对于B，a=−1，b=−2，a>b时，a2<b2；a=−2，b=1，a2>b2时，a<b.所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错；对于C，因为“a<3”时一定有“a<5”成立，所以“a<3”是“a<5”的必要条件，C正确；对于D“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，D正确.故选：CD.小提示：本题考查充分条件、必要条件的判断，考查了充分条件和必要条件定义的应用，考查推理能力，属于基础题.11、非空集合A具有下列性质：①若x，y∈A，则xy∈A；②若x，y∈A，则x+y∈A.下列选项正确的是（）A．−1∉A B．20202021∉AC．若x，y∈A，则xy∈A D．若x，y∈A，则x−y∉A答案：AC分析：若−1∈A，利用条件可得当x=−1∈A，y=0∈A时，不满足xy∈A，可判断A，利用条件可得若x≠0且x∈A，进而得2020∈A，2021∈A，可判断B，利用题设可得若x，y∈A，则xy∈A，x−y=1∈A可判断CD.对于A，若−1∈A，则−1−1=1∈A，此时−1+1=0∈A，而当x=−1∈A，y=0∈A时，−1显然无意义，不满足xy∈A，所以−1∉A，故A正确；对于B，若x≠0且x∈A，则1=xx∈A，所以2=1+1∈A，3=2+1∈A，以此类推，得对任意的n∈N∗，有n∈A，所以2020∈A，2021∈A，所以20202021∈A，故B错误；对于C，若x，y∈A，则x≠0且y≠0，又1∈A，所以1y ∈A，所以xy=x1y=∈A，故C正确；对于D，取x=2，y=1，则x−y=1∈A，故D错误.故选：AC.填空题12、设集合A={1,2,a}，B={2,3}.若B⊆A，则a=_______.答案：3分析：由题意可知集合B是集合A的子集，进而求出答案.由B⊆A知集合B是集合A的子集，所以3∈A⇒a=3，所以答案是：3.13、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k= 0，1，2，3，4；给出下列四个结论:①2015∈[0]；②−3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a−b∈[0]”.其中，正确结论的个数．．是_______.答案：3分析：根据2015被5除的余数为0，可判断①；将−3=−5+2，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断③；令a=5n1+m1，b=5n2+m2，根据“类”的定理可证明④的真假.①由2015÷5=403，所以2015∈[0]，故①正确；②由−3=5×(−1)+2，所以−3∉[3]，故②错误；③整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，故③正确；④假设a=5n1+m1，b=5n2+m2，a−b=5(n1−n2)+m1−m2，a，b要是同类.则m1=m2，即m1−m2=0，所以a−b∈[0]，反之若a−b∈[0]，即m1−m2=0，所以m1=m2，则a，b是同类，④正确；所以答案是：3小提示：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理，属中档题.14、设P为非空实数集满足：对任意给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集.①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；③若集合P1、P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P；其中正确结论的序号是________答案：②④解析：①取x=y=2判断；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P判断；③举例P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}判断；④由x、y可以相同判断；①当x=y=2，x+y=4∉P，所以集合P不是幸运集，故错误；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P，则x+y=2(k1+k2)∈A,x−y=2(k1−k2)∈A,xy=2k1⋅k2∈A，所以集合P是幸运集，故正确；③如集合P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}为幸运集，但P1∪P2不为幸运集，如x=2,y=3时，x+y=5∉P1∪P2，故错误；④因为集合P为幸运集，则x−y∈P，当x=y时，x−y=0，一定有0∈P，故正确；所以答案是：②④小提示：关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P”，灵活运用举例法.解答题15、已知集合A={x|x=m+√6n,其中m,n∈Q}．(1)试分别判断x1=−√6，x2=√2−√3+√2+√3与集合A的关系；(2)若x1，x2∈A，则x1x2是否一定为集合A的元素？请说明你的理由．答案：(1)x1∈A，x2∈A(2)x1x2∈A，理由见解析分析：（1）将x1，x2化简，并判断是否可以化为m+√6n，m,n∈Q的形式即可判断关系.（2）由题设，令x1=m1+√6n1，x2=m2+√6n2，进而判断是否有x1x2=m+√6n，m,n∈Q的形式即可判断.(1)x1=−√6=0+√6×(−1)∈A，即m=0,n=−1符合；x2=√(√3−1)22+√(√3+1)22=√6=0+√6×1∈A，即m=0,n=1符合.(2)x1x2∈A．理由如下：由x1，x2∈A知：存在m1，m2，n1，n2∈Q，使得x1=m1+√6n1，x2=m2+√6n2，∴x1x2=(m1+√6n1)(m2+√6n2)=(m1m2+6n1n2)+√6(m1n2+m2n1)，其中m1m2+6n1n2，m1n2+ m2n1∈Q，∴x1x2∈A.。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练(带答案)

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练(带答案)

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练单选题1、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m−56,m∈Z}，x=m−56=6m−56=6(m−1)+16，对于集合N={x|x=n2−13,n∈Z}，x=n2−13=3n−26=3(n−1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n−1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m−1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m−1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M⊆N=P.故选：B.3、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.4、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|〉3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、已知集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（）A．x1x2∈A B．x2x3∈BC．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A答案：ABC分析：本题首先可根据题意得出A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，然后依次对x1x2、x2x3、x1+x2、x1+x2+x3进行判断，即可得出结果.因为集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以x1x2∈A，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以x2x3∈B，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，D错误，故选：ABC.11、已知命题p:∃x∈R,ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．-2B．-1C．0D．3答案：BCD分析：根据给定条件求出p为真命题的a的取值范围即可判断作答，当a=0时，x=−1，p为真命题，则a=0，当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥−1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥−1.故选：BCD12、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．13、已知集合P={1,2},Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（）A．−2B．−1C．1D．0答案：ABD分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.因为P∪Q=P，所以Q⊆P.由ax+2=0得ax=−2，当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；当a≠0时，x=−2a ，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.综合得a=0或a=−2或a=−1.故选：ABD小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.填空题14、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).15、若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝∅，则m的取值范围是__．答案：m＞﹣4．解析：根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.解：A∩R+＝∅知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝∅，则Δ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①若A≠∅，则Δ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于0，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4，所以答案是：m＞﹣4．小提示：易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A=∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.16、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−3解答题17、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A ，所以4−2a +a 2−19=0，即a 2−2a −15=0，解得a =−3或a =5．当a =−3时，A ={x |x 2+3x −10=0}={−5,2}，A ∩B ={2}，符合题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，A ∩B ={2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为−3．（2）因为A ={x |x 2−ax +a 2−19=0}，B ={2,3}，C ={x |x 2+2x −8=0}={−4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C =∅，所以3∈A ，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].。

命题热点自测1 集合、常用逻辑用语、不等式

命题热点自测1 集合、常用逻辑用语、不等式

命题热点自测(一) 集合、常用逻辑用语、不等式一、选择题1．(2021·北京师范大学天津附属中学月考)已知全集U ＝{x ∈N |0<x <6}，A ＝{3,4,5}，B ＝{2,3}，则B ∪(∁U A )＝( )A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{2,3}D ．{2}A [由题知，∁U A ＝{1,2}，故B ∪(∁U A )＝{1,2,3}．故选A ．] 2．命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定形式是( ) A ．∀x ≥1，x 2<1 B ．∃x ≥1，x 2<1C ．∀x <1，x 2<1D ．∃x <1，x 2<1B [命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定形式是：∃x ≥1，x 2<1.故选B ．] 3．(2021·安徽省阜阳第一中学月考)已知a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由a >1得，a 是正数，因此1a <11＝1，充分性成立；反之，取a ＝－1，适合1a <1，但不适合a >1，所以必要性不成立．]4．(2021·山东省实验中学高三月考)在下列选项中，能正确表示集合A ＝{－3,0,3}和B ＝{x |x 2－3x ＝0}关系的是( )A ．A ＝B B ．A ⊇BC ．A ⊆BD ．A ∩B ＝∅B [因为B ＝{x |x 2－3x ＝0}＝{0,3}，A ＝{－3,0,3}，所以A ⊇B ．故选B ．] 5．(2021·河北石家庄二中高三月考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，当3x ＋4y 取得最小值时，x ＋4y 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [因为正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，所以1y ＋3x ＝5， 所以3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋9＋4＋12y x ≥15⎝⎛⎭⎪⎫13＋23x y ·12y x ＝5， 当且仅当3x y ＝12yx ，即x ＝2y 时取等号， 因为x ＋3y ＝5xy ，所以解得x ＝1，y ＝12， 所以当x ＝1，y ＝12时，3x ＋4y 取得最小值， 所以x ＋4y ＝1＋4×12＝3.故选B ．]6．(多选)“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0对∀x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．0<a <1B ．0<a <2C ．0<a <12D ．a >0BD [由题意得：Δ＝(－2a )2－4a <0⇒0<a <1， ∴所选的正确选项是0<a <1的必要不充分条件， ∴0<a <1应是正确选项的一个真子集．故选BD ．]7．(多选)(2021·南京市第十三中学高三月考)设A ＝{x | x 2－8x ＋12＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值可以是( )A ．0B ．16C ．12D ．2ABC [由题意，A ＝{2,6}，因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ， 若a ＝0，则B ＝∅，满足题意；若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，因为B ⊆A ，所以1a ＝2或1a ＝6，则a ＝12或a ＝16.综上，实数a 的值是a ＝0或a ＝12或a ＝16.故选ABC ．]8．(多选)(2021·山东省实验中学高三月考)若a >b >1，c <0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －1a >b －1bB ．a －1a <b －1a C ．ln(a －b )>0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c <⎝ ⎛⎭⎪⎫b a cAD [对于A ，因为a >b >1，所以1a <1b ，所以－1a >－1b ，所以a －1a >b －1b ，故A 正确；对于B ，因为a >b >1，所以a －1a >b －1a ，故B 错误；对于C ，因为a >b >1，a －b >0，当a －b ＝1e 时，ln(a －b )＝ln 1e ＝－1<0，故C 错误；对于D ，因为a >b >1，则0<b a <1，a b >1，又c <0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c>1，故D正确．故选AD ．]二、填空题9．(2021·山东省实验中学高三月考)命题“∃x ∈(－1，2)，2x 2＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．(－8，0] [若命题“∃x ∈(－1，2)，2x 2＋a ＝0”是真命题， 则2x 2＋a ＝0在x ∈(－1，2)有解， 所以a ＝－2x 2在x ∈(－1，2)有解． 因为x ∈(－1，2)，所以－2x 2∈(－8，0]， 所以a ∈(－8，0].]10．(2021·江苏如皋高三开学考试)若∀x ∈(0，＋∞)，4x 2＋1x ≥m ，则实数m 的取值范围为________．(－∞，4] [∀x ∈(0，＋∞)，4x 2＋1x ≥m ，则m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2＋1x min ， 由基本不等式可得4x 2＋1x ＝4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ，即x ＝12时，等号成立，所以m ≤4，因此实数m 的取值范围是(－∞，4].]11．(2021·重庆一中月考)学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．只参加球类一项比赛的有________人．8 [不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有x 人，结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有10－x 人，只参加田径比赛的有7－x 人，故10＋2＋7－x ＋3＋x ＋10－x ＝30，解得x ＝2， 从而只参加球类一项比赛的有8人．]12．(2021·江苏泰州模拟)“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图1)的两直角边长分别为a 和b ，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长”，公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图2和图3所示的解答，则图1中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为________，当内接正方形的面积为1时，则图3中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为________．图1图2图3ab2[设内接正方形的边长为x，则图2的面积为ab，图3的面积为(a a＋b＋b) x，，故内接正方因为图2和图3的面积相等，则有ab＝(a＋b)x，解得x＝aba＋b形的边长为ab.因为内接正方形的面积为1，所以内接正方形的边长x＝1，则a＋b有a＋b＝ab，利用基本不等式可得，a＋b＝ab≥2ab，故ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab－2≥2，故图3中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为2.]三、解答题13．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x2－2mx＋m2－1≤0}．(1)命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；(2)若∀x∈A，x2＋m≥4＋3x恒成立，求实数m的取值范围．[解](1)解不等式x2－2mx＋m2－1≤0，即(x－m)2≤1，解得m－1≤x≤m＋1，所以B ＝{x |m －1≤x ≤m ＋1}． 由于p 是q 的必要非充分条件，则B A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，m ＋1≤2，解得0≤m ≤1，因此，实数m 的取值范围是[0，1]. (2)由∀x ∈A ，都有x 2＋m ≥4＋3x ， 得m ≥－x 2＋3x ＋4，x ∈[－1，2]，令y ＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254，x ∈[－1，2]，当x ＝32时，y 取最大值为254，所以，m ≥254. 因此，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫254，＋∞.14．(2021·佛山市第二中学月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx －a ＋2.(1)若关于x 的不等式ax 2＋bx －a ＋2>0的解集是{x |－1<x <3}，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝2，a >0，解关于x 的不等式ax 2＋bx －a ＋2>0.[解] (1)因为关于x 的不等式ax 2＋bx －a ＋2>0的解集是{x |－1<x <3}， 所以－1和3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－ba ，－1×3＝2－aa ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，所以a ＝－1，b ＝2.(2)当b ＝2时，ax 2＋bx －a ＋2>0，即ax 2＋2x －a ＋2>0， 可化为(x ＋1)(ax －a ＋2)>0， 因为a >0，所以(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a >0，所以方程(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a ＝0的两根为－1和a －2a ，当－1<a －2a ，即a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >a －2a ， 当－1＝a －2a ，即a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}， 当－1>a －2a ，即0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a －2a 或x >－1. 综上所述：当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a －2a 或x >－1， 当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}， 当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >a －2a .。

数学课件第一章必刷小题1集合常用逻辑用语不等式

数学课件第一章必刷小题1集合常用逻辑用语不等式
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3.(2022·百师联盟联考)命题“∀x>0，cos x>－12x2＋1”的否定是
A.∀x>0，cos x≤－12x2＋1
B.∀x≤0，cos x>－12x2＋1
√C.∃x>0，cos x≤－12x2＋1
D.∃x≤0，cos x≤－12x2＋1
D，构造函数
f(x)＝lnx
x，其中
0<x<e，则
f′(x)＝1－xl2n
x .
当0<x<e时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0，e)上单调递增，因为0<a<b<1，
则 f(a)<f(b)，即lnaa<lnbb，可得 ab<ba，所以，a＋ab<b＋ba，D 正确.
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10.以下命题中是真命题的是 A.∃x∈R，使ex<x＋1成立 B.∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数
√C.“a，b∈R，a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件 √D.“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件
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5.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为 x－1<x<31
，则ab的值为
√
因为关于 x 的一元二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13
，

专题1 集合与常用逻辑用语、不等式-数学

专题1 集合与常用逻辑用语、不等式-数学

第1讲 集合与常用逻辑用语1．(2016·课标全国乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3答案 D解析 由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32， 得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x <3＝⎝⎛⎭⎫32，3，故选D. 2．(2016·北京)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 3．(2016·浙江)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 答案 D解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合．1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.热点一 集合的关系及运算 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．例1 (1)已知集合A ＝{x |x －1x ＋2<0}，B ＝{y |y ＝sin n π2，n ∈Z }，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <1}B ．{－1,0,1}C ．{－1,0}D ．{0,1}(2)若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________． 答案 (1)C (2)②④解析 (1)因为A ＝{x |x －1x ＋2<0}＝{x |－2<x <1}，B ＝{y |y ＝sin n π2，n ∈Z }＝{0，－1,1}，所以A ∩B＝{－1,0}．(2)①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，但是{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，所以①错；②④都满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故③错．所以答案为②④.思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1 (1)已知集合A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg x }，则(∁R A )∩B 为( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)设集合M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112D.512答案 (1)C (2)C解析 (1)因为A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]， B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)． 所以(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)． 故答案为C.(2)由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14， ⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1， 可得M ＝⎣⎡⎦⎤0，34，N ＝⎣⎡⎦⎤23，1. 所以M ∩N ＝⎣⎡⎦⎤0，34∩⎣⎡⎦⎤23，1＝⎣⎡⎦⎤23，34. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.故选C.热点二 四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件． 例2 (1)下列命题：①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ⊂β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x <log 3x 成立；③“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题． 其中正确的命题序号是________．(2)已知ξ服从正态分布N (1，σ2)，a ∈R ，则“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23的展开式的常数项为3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充要条件 答案 (1)① (2)A解析 (1)①当α⊥β时，n ⊂β可以是平面内任意一直线，所以得不到m ∥n ，当m ∥n 时，m ⊥α，所以n ⊥α，从而α⊥β，故“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件．所以①正确．②log 2x ＝lg xlg2，log 3x ＝lg x lg3，因为lg2<lg3，所以1lg2>1lg3，当x ∈(0,1)时，lg x lg2<lg xlg3，即log 2x <log 3x 恒成立，所以②错误．③中原命题的逆命题为：若a <b ，则am 2<bm 2，显然当m 2＝0时不正确，所以③错误．所以答案应填①. (2)由P (ξ>a )＝0.5，知a ＝1.∵二项式⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 3(ax )3－k ⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝a 3－k C k 3x 3－3k，令3－3k ＝0，得k ＝1，∴其常数项为a 2C 13＝3a 2＝3，解得a ＝±1，∴“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A.思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 跟踪演练2 (1)下列四个结论中正确的个数是( )①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”； ③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0. A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 (1)A (2)A解析 (1)对于①，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2，故“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，∵tan x＝1推出的是x ＝π4＋k π，k ∈Z .所以③错误．对于④，log 32≠－log 23，所以④错误．②正确．故选A. (2)由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0， 所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.热点三 逻辑联结词、量词1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．例3 (1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假D ．“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－2或a ＝1 B ．a ≤－2或1≤a ≤2 C ．a >1D ．－2≤a ≤1答案 (1)C (2)C解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sin C >sin B .故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ⇏ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题，故选C.(2)命题p 为真时a ≤1；“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即(綈p )真且q 真，即a >1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 跟踪演练3 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为假(2)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________． 答案 (1)B (2)0解析 (1)由于三角函数y ＝sin x 的有界性：－1≤sin x 0≤1，所以p 假；对于q ，构造函数y ＝x －sin x ，求导得y ′＝1－cos x ，又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以y ′>0，y 为单调递增函数，有y >0恒成立，即∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x >sin x ， 所以q 真．判断可知，B 正确．(2)令f (x )＝tan x ＋1，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数，故f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，∵∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1，故m ≤(tan x ＋1)min ，∴m ≤0，故实数m 的最大值为0.1．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于( ) A ．{x |－1≤x <1} B ．{x |x >－1} C ．{x |x <1}D ．{x |x ≥1}押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇． 答案 C解析 M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，∴∁R N ＝{x |x ≤－1}， ∴M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}，故选C.2．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“Ω集合”．给出下列4个集合： ①M ＝{(x ，y )|y ＝1x }；②M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}； ③M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }； ④M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }．其中是“Ω集合”的所有序号为( ) A ．②③ B ．③④ C ．①②④D ．①③④押题依据 以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口． 答案 A解析 对于①，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则x 1x 2＋1x 1·1x 2＝0，即(x 1x 2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M ，且存在(x 2，y 2)∈M ，则x 1x 2＋y 1y 2＝1×x 2＋0×y 2＝x 2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．故选A.3．设υ∈R ，则“υ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋υ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念． 答案 A解析 当υ＝0时，f (x )＝cos(x ＋υ)＝cos x 为偶函数成立；但当f (x )＝cos(x ＋υ)为偶函数时，υ＝k π，k ∈Z ，所以υ＝0时，必要条件不成立．故选A. 4．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )①函数y ＝sin2x ＋cos2x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π8； ②a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ＝{x |a 1x ＋b 1>0}，B ＝{x |a 2x ＋b 2>0}，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“A ＝B ”的必要不充分条件；③若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题；④命题∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题． 答案 C解析 ①y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因此递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π8； ②充分性不成立，如a 1＝1，b 1＝1，a 2＝－1＝b 2，满足a 1a 2＝b 1b 2，但A ＝{x |x ＋1>0}＝(－1，＋∞)，B ＝{x |－x －1>0}＝(－∞，－1)，A ≠B ； 必要性成立：A ＝B ⇒a 1a 2>0⇒－b 1a 1＝－b 2a 2⇒a 1a 2＝b 1b 2；③p ∨q 为真命题时，p ，q 不一定全真，因此p ∧q 不一定为真命题；④命题∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定应为∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0.所以①②为真，选C.A 组 专题通关1．已知集合A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1}答案 A解析 A ＝{x |x >－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}， 所以有(∁R A )∩B ＝{－2，－1}，故选A.2．已知集合M ＝{x |log 2x <3}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }，则M ∩N 等于( ) A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7} 答案 D解析 由M 中不等式变形得：log 2x <3＝log 28， 即0<x <8，∴M ＝{x |0<x <8}， ∵N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }， ∴M ∩N ＝{1,3,5,7}，故选D.3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．12 D ．13 答案 D解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13，应选D. 4．已知集合M ＝{x |y ＝lg 1－xx}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋3}，则(∁R M )∩N 等于( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x >1} C ．{x |x ≥2} D ．{x |1<x <2} 答案 C解析 由1－x x >0得0<x <1，故M ＝{x |0<x <1}，∁R M ＝{x |x ≤0或x ≥1}，y ＝(x ＋1)2＋2≥2， 故N ＝{y |y ≥2}，则(∁R M )∩N ＝{x |x ≥2}．5．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分又非必要条件答案 C解析 由命题甲ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，可知a ＝0时，原式＝1>0恒成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a <0， 解得0<a <1，所以0≤a <1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C.6．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．7．已知命题p ：2xx －1<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1] B ．[－3，－1] C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－3]答案 C解析 由p ：2xx －1<1，得x ＋1x －1<0，－1<x <1，而p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q ，q ⇏p ，所以－a ≥1，a ≤－1.故选C.8．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”； ②“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充要条件； ③若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题；④对于命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.上面四个命题中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④答案 C解析 对于命题：若p ，则q ，其逆否命题是若綈q ，则綈p ，故①对；答案从A ，C 中选；②x ＝1时x 2－4x ＋3＝0成立，所以“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充分条件，当x 2－4x ＋3＝0时x ＝1或x ＝3，所以“x ＝1”不是“x 2－4x ＋3＝0”的必要条件；所以“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充分不必要条件．故②错，故选C.9．已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则集合M ∩N ＝________.答案 (－1,2)解析 由不等式的解法，可得M ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，由交集的计算方法可得，M ∩N ＝{x |－1<x <2}．10．已知集合A ＝{x |－1<x ≤5}，B ＝{x |m －5<x ≤2m ＋3}，且A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,4]解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m －5≤－1，2m ＋3≥5，解得1≤m ≤4.故应填[1,4]． 11．“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的______________．(空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 答案 充分不必要条件解析 f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增⇒f ′(x )＝a －sin x ≥0在R 上恒成立⇒a ≥(sin x )max ＝1，所以“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件．12．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因为由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．B 组 能力提高13．下列说法中，不正确的是( )A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若am 2<bm 2，则a <b ”为真命题B ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋x －2≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件答案 C解析 A 正确，因为此时m 2>0；B 正确，特称命题的否定就是全称命题；C 不正确，因为命题“p 或q ”为真命题，那么p ，q 有一个真，p 或q 就是真命题；D 项，小集合是大集合的充分不必要条件．故选C.14．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2]D ．[－1,1]答案 A解析 ∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假命题， 得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1.故选A.15．下列选项错误的是( )A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件C ．若“命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”，则“綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0”D ．若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题答案 D解析 对于若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题，∴D 选项错误．故选D.16．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a <0，若3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫1，53∪(9,25]解析 ∵集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a <0， 得(ax －5)(x 2－a )<0，当a ＝0时，显然不成立，当a >0时，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －5a ()x －a (x ＋a )<0， 若a <5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <3<5a ，a ≥1，解得1≤a <53； 若a >5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 5a <3<a ，a ≤5，解得9<a ≤25，当a <0时，不符合条件，综上，答案为⎣⎡⎭⎫1，53∪(9,25]． 17．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集是②④.。

完整版)集合与常用逻辑用语测试题及详解

完整版)集合与常用逻辑用语测试题及详解

完整版)集合与常用逻辑用语测试题及详解本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1.（文）（2011·巢湖市质检）设U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则下列结论中正确的是（）。

A。

A⊆BB。

A∩B={2}C。

A∪B={1,2,3,4,5}D。

A∩(∁U B)={1}答案：C解析：由集合的定义可知，XXX表示A是B的子集，即A中的每个元素都在B中出现。

显然，A不是B的子集，排除A选项。

XXX表示A和B的交集，即A和B中都出现的元素构成的集合。

根据A和B的定义可知，它们的交集为{2,3}，因此排除B选项。

A∪B表示A和B的并集，即A和B中所有元素构成的集合。

根据A和B的定义可知，它们的并集为{1,2,3,4,5}，因此选C。

A∩(∁U B)表示A和B的补集的交集，即除去B中所有元素后，A中剩余的元素构成的集合。

根据A和B的定义可知，它们的补集分别为{4,5}和{1}，因此A∩(∁U B)={1}，排除D选项。

2.（2011·安徽百校联考）已知集合M={-1,0,1}，N={x|x=ab，a，b∈M且a≠b}，则集合M与集合N的关系是（）。

A。

M=NB。

MNC。

NMD。

M∩N=∅答案：C解析：根据集合N的定义可知，N中的元素是由M中的元素相乘得到的，其中a≠b。

因此，当a=-1时，b为0或1，x 为-1或0；当a=0时，x为0；当a=1时，b为-1或0，x为-1或0.综上所述，N={-1,0}，因此M和N的关系是NM。

3.（2011·福州期末）已知p：|x|<2；q：x^2-x-2<0，则綈p是綈q的（）。

A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充要条件D。

历年(2019-2023)高考数学真题分类(集合、常用逻辑用语与不等式)练习(附答案)

历年(2019-2023)高考数学真题分类(集合、常用逻辑用语与不等式)练习(附答案)

[答案解析]因为
1 ，所以

|
2
C. |3

16
|0

16 ；因为
4 ，所以
}.所以 ∩
|
A.
1 ,2
|0
B. 1 ,2

1|
1 ，得 1
2 ，所以 ∩
9. [2022 北京，4 分]已知全集
1 ，则∁
A.
2,1
16
|3
| |
1|
(B)
[答案解析]由|
历年（2019-2023）高考数学真题分类（集合、常用逻辑用语与不等式）练习
考点： 集合
一、选择题
2 , 1 ,0,1,2 ，
1. [2023 新高考卷Ⅰ，5 分]已知集合
6
A.
0 ，则 ∩

(C)
2 , 1 ,0,1
B. 0 ,1,2
2
C.
|
[答案解析]解法一因为
∩
|

6
0
1 ,3 ,
1 ,2,4 ，则
C. 1 ,2,4
D. 1 ,2,4,5
1 ,2,4 ，所以∁
3 ,5 ,又
1 ,3 ，
1 ,3,5 .故选A .
4. [2023 全国卷甲，5 分]设全集
∪
0 .当
(A)
A. 1 ,3,5
|
2
1 ,0,1 ，满足 ⊆ .所以
3. [2023 天津，5 分]已知集合
2 ，故选A .
2 ,4,6 ，则 ∪
B. 1 ,2
C. 2 ,4,6
[答案解析]由集合并集的定义，得 ∪
7. [2022 新高考卷Ⅰ，5 分]若集合

集合、常用逻辑用语与不等式-高一数学必修一(满分训练卷)

集合、常用逻辑用语与不等式-高一数学必修一(满分训练卷)

集合、常用逻辑用语与不等式（满分训练卷）考试时间：120分钟试卷总分：150分班级姓名：一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合2{|280}A x x x =--<，{2B =，3，4，5}，则(A B = )A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4}2.若指数函数()()1xf x m =-是R 上的单调减函数，则m 的取值范围是A.2m < B.2m > C.12m << D.01m <<3.已知集合{}2|20A x N x x =∈-≤，{}|12B x x =-≤≤，则A B 的子集个数为A.3B.4C.7D.84.已知:11p m x m -<<+，()():260q x x --<，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A ．35m <<B ．35m ≤≤C ．5m >或3m <D ．5m >或3m ≤5.设0a >，0b >，若21a b +=，则21a b+的最小值为A ．B ．8C ．9D ．106.已知不等式组x 2−4x +3<0x 2−6x +8<0的解集是关于x 的不等式x 2−3x +a <0解集的子集，则实数a 的取值范围是( )A.a <0B.a ≤0C.a ≤2D.a <27．已知0x >，0y >，且22x y +=，则321x y+的最小值为()A ．24B ．25C ．26D ．278.已知集合A ={x |-3≤x ≤-2}，集合B ={x |m -1≤x ≤2m +1}，且A ∪B =A ，则实数m 的取值范围是（）A.-4≤m ≤32-B.-4<m <32-C.m ≤32-D.m ≥32-二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．若集合2{|P x y x ==，}x R ∈，集合2{|T y y x ==，}x R ∈，则()A ．0P∈B ．1T-∉C ．P T =∅D ．P T=10.已知全集U =R ，集合{}|27A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，则使U A B ⊆ð成立的实数m 的取值范围可以是（）A.{}|610m m <≤ B.{}|22m m -<<C.1|22m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D.{}|58m m <≤11.下列命题中真命题的是( )A.若a >b ，则a 2>b 2B.若ac 2>bc 2，则a >b >0C.若a <b <0，则a 2>ab >b 2D.若a <b <0，则1a >1b 12.设a >1，b >1且ab −(a +b)=1，那么( )A.a +b 有最小值2+22B.a +2b 有最小值7C.ab 有最大值1+2D.ab 有最小值3+22三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“0x ∃∈R ，使20mx －（m ＋3）x 0＋m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为__________．14.不等式2x−1x≥3的解集为______.15．若14a <<，24b -<<，则2a b -的取值范围是．16．正数a ，b 满足191a b+=，若不等式2414a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围.四、解答题：（本题共6小题，共70分。

集合、常用逻辑用语 不等式

集合、常用逻辑用语 不等式

质量检测(一)测试内容：集合、常用逻辑用语不等式(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012年福州市高三第一学期期末质量检查)已知集合A＝{x|x>3}，B＝{x|2<x<4}，那么集合A∩B等于( ) A．{x|x>3} B．{x|2<x<3}C．{x|3<x<4} D．{x|x<4}解析：A∩B＝{x|x>3}∩{x|2<x<4}＝{x|3<x<4}，故选C.答案：C2．(2012年合肥第一次质检)集合A＝{－1,0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{4} B．{4，－1}C．{4,5} D．{－1,0}解析：本题主要考查集合的运算与韦恩图．由图可知阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A，因为B＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，因此(∁U B)∩A＝{4，－1}，选B.本题为容易题．答案：B3．(2012年河北省衡水中学期末检测)若集合A＝{0，m2}，B＝{1,2}，则“m ＝1”是“A∪B＝{0,1,2}”的( ) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：当m＝1时，m2＝1，A＝{0,1}，A∪B＝{0,1,2}，若A∪B＝{0,1,2}，则m2＝1或m2＝2，m＝±1或m＝±2，故选B.答案：B4．若a<b<0，则下列不等式中不一定成立的是( )>1b>1b>－b D．|a|>－b解析：∵1a－1b＝b－aab>0，∴A一定成立；∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴－a>－b，即C一定成立；|a|＝－a；∴|a|>－b⇔－a>－b，成立，∴D成立；当a＝－2，b＝－1时，1a－b＝1－2＋1＝－1＝1b，所以B不一定成立，故选B.答案：B5．设A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知A ＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B等于( ) A．[0,1]∪(2，＋∞)B．[0,1]∪[2，＋∞)C．[0,1] D．[0,2]解析：∵A＝[0,2]，B＝(1，＋∞)，∴A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}＝[0,1]∪(2，＋∞)．故选A.答案：A6．(2012年厦门模拟)设命题p：若a>b，则1a<1b，q：若1ab<0，则ab<0.给出以下3个复合命题，①p∧q；②p∨q；③綈p∧綈q.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：p 为假命题，q 为真命题，所以只有②正确，故选B. 答案：B 7．在算式“4△＋1□＝30□×△”的两个□、△中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小．则这两个正整数构成的数对(□，△)应为( )A ．(4,14)B ．(6,6)C ．(3,18)D ．(5,10)解析：题中的算式可以变形为“4×□＋1×△＝30”．设x ＝□，y ＝△，则4x ＋y ＝＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝5，y ＝10时取等号，所求的数对为(5,10)．故选D.答案：D8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是 ( )>12 ＋1b≤1≥2D ．a 2＋b 2≥8解析：a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤2，ab ≤4 ∴1ab ≥14，故C 错，A 错． 1a ＋1b＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错．(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2) ∴a 2＋b 2≥8，故选D. 答案：D9．(2012年广东番禺模拟)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[e,4]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]解析：若p 真，则a ≥e；若q 真，则16－4a ≥0⇒a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e,4]．故选A.答案：A10．(2012年辽宁)设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55解析：可行域如图所示：由⎩⎨⎧y ＝15，x ＋y ＝20得A (5,15)，A 点为最优解，∴z max ＝2×5＋3×15＝55，故选D. 答案：D11．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．[－2,2)解析：当a ＝2时，不等式－4<0恒成立；当a ≠2时， 由⎩⎨⎧a －2<0Δ＝4a －22＋4×4a －2<0，解得－2<a <2，∴符合要求的a 的取值范围是(－2,2]，故选C. 答案：C 12．设A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．－2≤b ≤2B ．－2≤b <2C ．－2<b <2D ．b ≤2解析：A ＝{x |－1<x <1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1<x <b ＋1}， 若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件， 则有－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1， 所以－2<b <2，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题p ：∀x ∈R ，f (x )≥m ，则命题p 的否定綈p 是______． 答案：∃x ∈R ，f (x )<m14．(2012年安徽)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析：①作出可行域，如图中阴影部分；②作出零线x －y ＝0并平移，判断A ，B 点坐标； ③由⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3解得A (1,1)，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，x ＝0解得B (0,3)，∴(x －y )max ＝1－1＝0，(x －y )min ＝0－3＝－3，∴x －y ∈[－3,0]．答案：[－3,0]15．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的________条件．解析：∵p ：x <－3或x >1，∴綈p ：－3≤x ≤1. ∵q ：2<x <3，∴綈q ：x ≤2或x ≥3，则綈p ⇒綈q . 答案：充分不必要16．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是______________．解析：若p 真，则∀x ∈[1,2]，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x min ≥a ，∴a ≤12；若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)(a ＋4)≥0，∴a ≤－4或a ≥－2，∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．设全集U＝R，函数y＝log2(6－x－x2)的定义域为A，函数y＝1x2－x－12的定义域为B.(1)求集合A与B；(2)求A∩B，(∁U A)∪B.解：(1)函数y＝log2(6－x－x2)要有意义需满足6－x－x2>0，解得－3<x<2，∴A＝{x|－3<x<2}．函数y＝1x2－x－12要有意义需满足x2－x－12>0，解得x<－3或x>4，∴B＝{x|x<－3或x>4}．(2)A∩B＝Ø，∁U A＝{x|x≤－3或x≥2}，∴(∁U A)∪B＝{x|x≤－3或x≥2}．18．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A 与B的差集，记作A－B.据此回答下列问题：(1)若A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，求A－B；(2)在下列各图中用阴影表示集合A－B；(3)若集合A＝{x|0<ax－1≤5}，集合B＝{x|－12<x≤2}，有A－B＝Ø，求实数a的取值范围．解：(1)根据题意知A－B＝{1,2}．(2)(3)A ＝{x |0＜ax －1≤5}，则1＜ax ≤6， 当a ＝0时，A ＝Ø，此时A －B ＝Ø，符合题意； 当a >0时，A ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，6a ，若A －B ＝Ø，则6a ≤2，即a ≥3；当a <0时，A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫6a ，1a ，若A －B ＝Ø，则6a >－12，即a <－12.综上所述：实数a 的取值范围是a <－12或a ≥3或a ＝0. 19．(1)求函数y ＝2xx 2＋1在x >0时的最大值；(2)已知x ＋y ＋xy ＝2，且x >0，y >0，求x ＋y 的最小值． 解：(1)因为x >0，所以y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x， 而x ＋1x ≥2，故0<1x ＋1x ≤12，则0<2x ＋1x≤1，当且仅当x ＝1x即x ＝1时，y 的最大值为1.(2)由xy ＝2－(x ＋y )及xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22得 2－(x ＋y )≤x ＋y 24，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0.解得x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3. 因为x >0，y >0，所以x ＋y ≥23－2， 当且仅当x ＝y 且x ＋y ＋xy ＝2，即x ＝y ＝3－1时，x ＋y 的最小值为23－2.20．(2013届湖北省黄冈中学高三11月月考)已知p ：f (x )＝1－x3，且|f (a )|<2；q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，且A ≠Ø.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解：若|f (a )|＝|1－a3|<2成立，则－6<1－a <6， 即当－5<a <7时p 是真命题；若A ≠Ø，则方程x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0有实数根， 由Δ＝(a ＋2)2－4≥0，解得a ≤－4，或a ≥0， 即当a ≤－4，若a ≥0时q 是真命题；由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假， p 真q 假时，⎩⎨⎧－5<a <7－4<a <0，∴－4<a <0.p 假q 真时，⎩⎨⎧a ≤－5或a ≥7a ≤－4或a ≥0，∴a ≤－5或a ≥7.故知所求a 的取值范围是(－∞，－5]∪(－4,0)∪[7，＋∞)．21．某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如下表所示：超过160千度，消耗煤不得超过150吨，问怎样安排甲、乙这两种产品的生产数量，才能使每天所得的产值最大解：设甲、乙两种产品每天分别生产x 吨和y 吨，则每天所得的产值为z ＝7x ＋10y 万元．依题意，得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋8y ≤160，3x ＋5y ≤150，5x ＋2y ≤200，x ≥0，y ≥0.(※)由⎩⎨⎧ 2x ＋8y ＝160，3x ＋5y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2007，y ＝907.由⎩⎨⎧5x ＋2y ＝200，3x ＋5y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝70019，y ＝15019.设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2007，907，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫70019，15019，则不等式组(※)所表示的平面区域是五边形的边界及其内部(如图中阴影部分)．令z ＝0，得7x ＋10y ＝0，即y ＝－710x .作直线l 0：y ＝－710x .由图可知把l 0平移至过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫70019，15019时，即x ＝70019，y ＝15019时，z 取得最大值6 40019. 答：每天生产甲产品70019吨、乙产品15019吨时，能获得最大的产值6 40019万元． 22．某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即x 10，0<x ≤10)，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z倍．(1)设y ＝ax ，其中a 是满足13≤a <1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值；(2)若y ＝23x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围． 解：(1)由题意知某商店定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10元，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10元，npz 元， 因而npz ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10·n ⎝⎛⎭⎪⎫1－y 10， ∴z ＝1100(10＋x )(10－y )，在y ＝ax 的条件下， z ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －51－a a 2＋100＋251－a 2a ， 由于13≤a <1，则0<51－a a ≤10，要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x ＝51－aa .(2)由z ＝1100(10＋x )⎝⎛⎭⎪⎫10－23x >1，解得0<x <5.。

最近高考专题 集合、常用逻辑用语、不等式(选填压轴题)(全国通用版)

最近高考专题 集合、常用逻辑用语、不等式(选填压轴题)(全国通用版)

专题01 集合、常用逻辑用语、不等式 （选填压轴题）一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义A B *＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若{1,2}A =，22{|()(2)0}B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则()C S 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【答案】B 【详解】因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =， 由20x ax，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-a >易知0， -a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -< 220x ax ++=无实根， 若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<或0a <<()2C B =，不符合题意.所以{S =-，故3C S .故选：B.2．（2021·上海浦东新·上外浦东附中高一月考）向量集合(){},,,S a a x y x y ==∈R ，对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题： ①若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A ⋃也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A ⋂也是“C 类集”． 其中正确的命题有（ ） A ．①② B ．①③④C ．②③D ．①②④【答案】D 【详解】①若S 为“C 类集”，则对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，对于集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数），可得对于任意,M μαμβ∈，以及任意()0,1λ∈都有()+1M λμαλμβ-∈，故正确；②若S 为“C 类集”，则对于任意1α，1S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()111S λαλβ+-∈， 若T 为“C 类集”，则对于任意2α，2T β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()221T λαλβ+-∈，可得对于任意1212,M M ααββ+∈+∈，以及任意()0,1λ∈，都有()()()12121M λααλββ++-+∈，故正确； ③若1A 为“C 类集”，则对于任意1α，11A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1111A λαλβ+-∈， 若2A 为“C 类集”，则对于任意2α，22A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()2221A λαλβ+-∈， 设12M A A =，M 为12,A A 中元素的合并而得，且不重复，不符合“C 类集”的定义，故错误；④若1A 为“C 类集”，则对于任意1α，11A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1111A λαλβ+-∈， 若2A 为“C 类集”，则对于任意2α，22A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()2221A λαλβ+-∈， 设12M A A =，M 为12,A A 中元素的公共部分，且不为空集，符合“C 类集”的定义，故正确；故选：D.3．（2021·河南南阳中学高一月考）在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误， 而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈， 则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确. 由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⋃⋃⋃⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈， 故[][][][]0123c ∈⋃⋃⋃，所以[][][][]0123Z ⊆⋃⋃⋃， 故[][][][]0123Z ⋃⋃⋃=，故③正确. 故选：C.4．（2021·全国高一专题练习）对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和.给定集合{2,3,4,5}S =，定义集合(){},T f A A S A =⊆≠∅，则集合T 的元素的个数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B 【详解】当集合A 为单元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,5，此时()f A 可取2,3,4,5；当集合A 为双元素集时，可取{}{}{}{}{}{}2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，此时()f A 可取5,6,7,8,9； 当集合A 为三元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，此时()f A 可取9,10,11,12， 当集合A 为四元素集时，可取{}2,3,4,5，此时()f A 可取14，综上可知()f A 可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14，共12个值，所以T 的元素个数为12， 故选：B.5．（2021·全国）非空集合A 具有下列性质：①若x 、y A ∈，则xA y∈；②若x 、y A ∈，则x y A +∈，下列判断一定成立的是（ ） （1）1A -∉；（2）20202021A ∈；（3）若x 、y A ∈，则xy A ∈；（4）若x 、y A ∈，则x y A -∉. A ．（1）（3）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】C 【详解】 由①可知0A ∉.对于（1），若1A -∈，对任意的x A ∈，0x ≠，则1xx A -=∈-， 所以，()0x x A =+-∈，这与0A ∉矛盾，（1）正确； 对于（2），若0x ≠且x A ∈，则1xA x=∈，211A ∴=+∈，321A =+∈， 依此类推可得知，n N *∀∈，n A ∈，2020A ∴∈，2021A ∈，20202021A ∴∈，（2）正确； 对于（3），若x 、yA ，则0x ≠且0y ≠，由（2）可知，1A ∈，则1A y∈，所以，1x xy A y=∈，（3）正确； 对于（4），由（2）得，1,2A ∈，取 2,1x y ==，则1x y A -=∈，所以（4）错误. 故选：C.6．（2021·北京市陈经纶中学高一月考）设集合S ，T ，S N *⊆，T N *⊆，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈②对于任意,x y T ∈，若x y <，则yS x∈；下列命题正确的是（ ） A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S T 有4个元素【答案】A 【详解】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .7．（2021·上海高一期中）已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉，M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是 A ．11 B ．12 C ．15 D ．16【答案】A 【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个， 且2,4不能同时出现，同时出现共有4个， 所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A.8．（2021·全国高一专题练习）已知集合U =R ，2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，则图中阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2【答案】C 【详解】图中阴影部分表示的集合为()U C B A ⋂．∵2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，∴[]2,1,0,1,2A =--，()(),00,2B =-∞⋃，∴(){}0,2U C B A ⋂=．故选C ．9．（2021·全国）已知集合{}*115M x N x =∈≤≤，集合1A ，2A ，3A 满足. ①每个集合都恰有5个元素 ②1A 2A 3A M =集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为(1,2,3)i X i =，则1X 2+X +3X 的值不可能为 A ．37 B ．39C ．48D ．57【答案】A 【详解】分析：求出集合M={x ∈N*|1≤x ≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A 1，A 2，A 3，排除选项B 、C 、D ，由此能求出结果．详解：由题意集合M={x ∈N*|1≤x ≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}， 当A 1={1，4，5，6，7}，A 2={3，12，13，14，15}，A 3={2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3=8+18+13=39，故排除B 选项；当A 1={1，4，5，6，15}，A 2={2，7，8，9，14}，A 3={3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3=16+16+16=48，故排除C 选项；当A 1={1，2，3，4，15}，A 2={5，6，7，8，14}，A 3={9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3=16+19+22=57，故排除D 选项． ∴X 1+X 2+X 3的值不可能为37． 故选A ．10．（2021·全国高一专题练习）对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算“※”，法则如下：当m 、n 都是正奇数时，m ※n =m n +；当m 、n 不全为正奇数时，m ※n =mn .则在此定义下，集合{}**(,)|16,,M a b a b a N b N ※==∈∈中的元素个数是A ．7B ．11C ．13D ．14【答案】C 【详解】试题分析：从定义出发，抓住m 、n 的奇偶性对16实行分拆是解决本题的关键，当m 、n 同奇时，根据m ※n m n =+将16分拆两个同奇数的和，有1153135117997115133151+=+=+=+=+=+=+=+，共有8对；当m 、n 不全为奇数时，根据m ※n mn =将16分拆两个不全为奇数的积，再算其组数即可，此时有116284482161⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，共5对.∴共有8513+=个，故选C.11．（2021·全国高一专题练习）集合()*{,,|S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是 A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉【答案】B 【详解】试题分析：从集合S 的定义，(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈可知,,,x y z w 满足不等关系x y z <<且x z w <<，或x y z <<且w x y <<，或y z x <<且z w x <<，或z x y <<且z w x <<，这样可能有x y z w <<<或w x y z<<<或y z w x <<<或z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈，选B ．12．（2021·江苏高一专题练习）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素.例如：A R =，运算“⊕”为普通乘法；存在1R ∈，使得对任意a R ∈，都有11=a a a ⨯=⨯，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A R =，运算“⊕”为普通减法；②{}|,m n m n A A A m n m N n N **⨯⨯=⨯∈∈表示阶矩阵，，运算“⊕”为矩阵加法；③{}|A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集. 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①② B ．①③C ．①②③D ．②③【答案】D 【详解】 试题分析：①若，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②A ={|m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，}，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为两个集合的交集，其单位元素为集合，故答案为D.13．（2021·浙江省桐庐中学）已知0a >，函若数()32249ax x f a x x =+-+在[]2,1--总有()86f x a ≥+且[]1,1,74x ax m ∀∈-+≤，则m 取值范围是（ ）A ．[6，+∞)B ．[)14,+∞C ．[12，+∞)D ．(6，12]【答案】B 【详解】()86f x a ≥+在[]2,1--上恒成立即()3260124a x x x +--≥+在[]2,1--上恒成立，故()()211260x a x x x ⎡⎤+-++-≥⎣⎦在[]2,1--上恒成立， 当1x =-时，()()211260x a x x x ⎡⎤+-++-=⎣⎦， 当21x -≤<-时，10x +<，故()21260a x x x -++-≤，所以2621xa x x -≤-+在[)2,1--上恒成立，令()()()2223622711353x x g x x x x x x x--===-+-+-+--，令3t x =-，则45t <≤，而7y t t=+在(]4,5为增函数，故2373245t t <+≤，所以()37735435x x <-+-≤-，故()10873g x ≤<， 所以()g x 在[)2,1--的最小值为107，故1007a <≤.因为[]1,1,74x ax m ∀∈-+≤恒成立，故7474m a m a ⎧≥+⎪⎨≥-+⎪⎩对于任意1007a <≤恒成立，所以146m m ≥⎧⎨≥⎩即14m ≥.故选：B.14．（2021·河南高三月考（理））已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点M在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．13B ．12CD【答案】C 【详解】由题意知，()1,0F c -，()2,0F c ，直线l 为x a =-，设直线1MF ，2MF 的倾斜角分别为α，β， 由椭圆的对称性，不妨设M 为第二象限的点，即(),M a t -，()0t >，则tan t c aα=-，tan t c a β-=+.12F MF βα∠=-，()12222222tan tan 222tan tan 1tan tan 21t tct c c cc a c a F MF t b t b b b t c a t βαβααβ---+-∴∠=-====≤==++-+-当且仅当2b t t=，即t b =时取等号，又12tan F MF ∠得最大值为tan 60c b =︒=c ∴=，即2223c c a =-，整理得c a =C故选：C.15．（2021·全国高三模拟预测）已知0x y >>，*n N ∈，则下列结论正确的是（ ） A．sinyx<B．221x y xy +-+的最小值为12 C ．1122n n n nx y nx y x y---≥⋅- D．(y x x y xy ⋅≥【答案】C 【详解】记(0,1)y t x =∈有tan t t >，则sin t =>，易知1x =时有sin y x >A 错误；2222311124333x x y xy y x ⎛⎛⎫+-+=-+-+≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等号，所以最小值为13，B 错误；记(0,1)y t x=∈，则1122n n n n x y nx y x y ---≥⋅-等价于1122(1)0n n t t n t -+-+-≥， 记1122()(1)nn f t ttn t -+=-+-，则112211()22n n n n f t n t t +--+=-'+， ∴()()3221()1104n nf t n t t +-"=--≥，即()f t '单调递增，有()(1)0f t f '<'=，∴()f t 单调递减，则有()(1)0f t f >=，不等式得证，C 正确； 取2x =，1y =，有2(y x x y xy ⋅=<=D 错误．故选：C16．（2021·南京市第十三中学）已知21()ln (0)2f x a x x a =+>若对于任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．[)1,+∞C ．(]3,3-D ．[)1,2e【答案】B 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数，所以()()200,0ag x x x a x'=+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：B17．（2021·全国高三专题练习（文））若实数,a b 满足()()221ln 2ln 1a b a b-≥+-，则a b +=（ ）A B C ．2D 【答案】C 【详解】证明不等式ln 1x x ≥+， 令()ln 1g x x x =--，()11g x x'=-， 故()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=，故ln 1x x ≥+证明成立；又因为2211a b +-≥21a b -，且仅当a =1b 时成立 又因为()()221ln ln 2ln a aa b b b-≥=- 故与题意联立，得()()221ln ln 2ln a aa b b b-==- 令t =2a b ，故有1ln t t -=，解得1t =时成立，综上联立：2a b=1与a =1b解得a ，b 故选：C.18．（2021·银川三沙源上游学校高二月考（理））在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC ∆的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣【答案】C 【详解】解：在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又(0,)2A π∈，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A Cc C C C C ++====+， 因为ABC 为锐角三角形，所以02C <<π，2B AC ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221212222b c b c t t bc c b t t ⎛⎫ ⎪+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 由对勾函数单调性知12y t t =+在35⎛ ⎝⎭上单调递减，在53⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，当t =时，y =35t =时，4315y =；当53t =时，5915y =；所以5915y ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈，即222b c bc +的取值范围是5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：C.19．（2021·北京昌平·临川学校高三期末）已知函数221()4()ln x f x k x k x -=++，[)2,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为（ ） A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】 由题设，2121()4()1f x k x k x '=-++⋅-且x ∈(0,)+∞，令1t x=∈(0,)+∞， 要使()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行， ∴若22()()4()1g t f x t k t k'==-++-，121211t t x x =≠=，∴在(0,)+∞上总存在()g t m =有两个解分别为1t 、2t ，而()g t 的对称轴22()t k k=+，故12121224()x x t t k x x k ++==+，而21212()4x x x x +<，∴121212244()x x k x x k x x +=+>+，整理得1212x x k k+>+，[)2,k ∈+∞上2[3,)k k+∈+∞， ∴1213x x +>即可.故选：B 二、多选题20．（2021·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）对任意,A B R ⊆，定义{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂.例如，若{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则{1,4}A B ⊕=，下列命题中为真命题的是（ ） A ．若,A B R ⊆且A B B ⊕=，则A =∅ B ．若,A B R ⊆且A B ⊕=∅，则A B = C ．若,A B R ⊆且A B A ⊕⊆，则A B ⊆ D ．若,A B R ⊆，则()()R RA B A B ⊕=⊕【答案】ABD 【详解】根据定义()()R R A B A B A B ⎡⎤⊕=⋂⋂⎣⎦⎡⎤⎣⎦.对于A ：若A B B ⊕=,则()A B B =R ,()R A B ⋂=∅,()()R R A B B B A ⋂=⇒⊆,()R B A B A =⋂∅⇒⊆,∴A =∅,故A 正确;对于B ：若A B ⊕=∅,则()R A B =∅,()R A B ⋂=∅,A B A A B ⋂=⇒⊆,A B B B A ⋂=⇒⊆,∴A B =,故B 正确;对于C ：若 A B A ⊕⊆,则A B A ⊕⊆,()R A B A ⋂⊆,则B A ⊆.故C 错; 对于D ：左边()()()R RRA B A B AB ⊕=,右边()(){}()()()RRRR RRA B A B A A B AB B =⎡⎤⎡⎤⊕=⋂⎣⎣⎦⎦⋂所以左=右.故D 正确.故选：ABD.21．（2021·福建高三模拟预测）两个集合A 和B 之间若存在一一对应关系，则称A 和B 等势，记为AB ．例如：若A 为正整数集，B 为正偶数集，则AB ，因为可构造一一映射()2x Af x x ∈=．下列说法中正确的是（ ） A ．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同 B ．对三个无限集合A 、B 、C ，若A B ，B C ，则A CC ．正整数集与正实数集等势D ．在空间直角坐标系中，若A 表示球面：2222x y z z ++=上所有点的集合，B 表示平面xOy 上所有点的集合，则AB【答案】ABD 【详解】对于A 选项，设有限集合{}12,,,n A a a a =，{}12,,,m B b b b =，充分性：若AB ，则两个集合A 和B 之间若存在一一对应关系，则对任意的()1,2,,i a i n A =∈，存在i b B ∈，使得i a 与i b 对应，故m n =，充分性成立.必要性：若m n =，即集合A 、B 的元素个数相等， 可构造映射f ，使得()()1,2,,i i b f a i n ==，故AB ，必要性成立，A 对；对于B 选项，对三个无限集合A 、B 、C ， 若AB ，对任意的a A ∈，存在唯一的b B ∈，使得a 与b 对应，又因为B C ，则存在唯一的c C ∈，使得b 与c 对应，故对任意的a A ∈，存在唯一的c C ∈，使得a 与c 对应，故A C ，B 对； 对于C 选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：假设正整数集N *与正实数集R +等势，则存在N *与R +的一个一一对应ϕ，将与N *中n 对应的元素()n ϕ记为n r ，则R +中的元素可以排成一列：1r 、2r 、、n r 、，显然R +中至少有一个单位长度的区间不包含1r ，不妨设此区间为[]11,2I =，将[]1,2三等分，则41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦、5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦中至少有一个区间不含2r ，以2I 表示此区间，将2I 三等分，其左、右两个区间至少有一个不含3r ，记为3I ， 依此类推，可得一列闭区间n I 满足： （i ）123I I I ⊃⊃⊃，且n I 的长度趋于0；（ii ）n n r I ∉，1n =、2、3、.所以，1n n I ∞=≠∅，但对任意的m N *∈，1m n n r I ∞=∉，换言之，1n n I ∞=不在R +中，这是不可能的，这一矛盾说明，N *与R +不等势，C 错； 对于D 选项，如下图所示：球面方程为()22211x y z ++-=，球面与z 轴的正半轴交于点()0,0,2E ，对于球面上任意一点F （不与点E 重合），设直线EF 交平面xOy 于点C ， 则球面上的点F （不与点E 重合）与平面xOy 内的点C 能建立一一对应关系， 假定在平面xOy 上有一理想的点称之为无穷远点，它与点E 对应，这样A B ，D 对.故选：ABD.22．（2021·山东德州·高二期末）我们把有限集合A 中的元素个数用()card A 来表示，并规定()card 0∅=，例如{}1,2,3A =，则()card 3A =.现在，我们定义()()()()()()()()card card ,card card *card card ,card card A B A B A B B A A B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，已知集合{}220x A x e x =+-=，()(){}2ln 10B x x ax x aex =--+=，且*1A B =，则实数a 不可能在以下哪个范围内（ ） A ．21,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】BCD 【详解】对于集合A ，由220x e x +-=，可得22x e x =-，作出函数x y e =与函数22y x =-的图象如下图所示：所以，函数x y e =与函数22y x =-的图象有两个公共点，故()card 2A =. 因为()()card card 1A B A B *=-=，所以，()card 1B =或3.对于集合B ，由()()2ln 10x ax x aex --+=，显然0x >，由ln 0x ax -=，可得ln xa x=，由210x aex -+=，可得11a x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()ln xf x x=，()11g x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象共有1个或3个交点， ()21ln xf x x -'=，当0x e <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当x e >时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，()()max 1f x f e e==，且当1x >时，()0f x >.()2221111x g x e x ex -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，当01x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，()()min 21g x g e==， 作出直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象，如下图所示：由图象可知，当0a ≤、1a e =或2a e=时，直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象共有1个公共点.故选：BCD.23．（2021·江苏省天一中学）设1e ，2e 为单位向量，满足1222e e -≤，12a e e =+，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（ ）A ．1920B ．2029C ．2829D ．1【答案】CD 【详解】设单位向量1e ，2e 的夹角为α，由1222e e -≤，两边平方得54cos 2α-≤，解得3cos 14α≤≤，又12a e e =+，123b e e =+，212||()2a e e ∴=+=||106cos b =+且44cos a b α=+⋅cos 22cos b ba a θ∴==+⋅⋅=244cos cos 53cos αθα+∴=+，令2cos t θ=，则844cos 4353cos 353cos t ααα+==-++ 3cos 14α≤≤，2953cos 84α∴≤+≤，81323,53cos 387α⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦所以84283,1353cos 29α⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，即2cos θ的取值范围为28,129⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：CD24．（2021·大名县第一中学高二月考）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线22|:1|C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）A ．图形关于y 轴对称B ．曲线C 恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）C ．曲线CD ．曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3 【答案】ABD 【详解】对于A ，将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当0x =时，代入可得21y =，解得1y =±，即曲线经过点(0,1),(0,1)-，当0x >时，方程变换为2210y xy x -+-=，由224(1)0x x ∆=--≥，解得x ⎛∈ ⎝⎦，所以x 只能去整数1， 当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0),(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0),(1,1)--，故曲线一共经过6个整点，故B 正确；对于C ，当0x >时，由221x y xy +=+可得222212x y x y xy ++-=≤，（当x y =时取等号），222x y ∴+≤，C 上y C 上任意一点，故C 错误；对于D ，如图所示，在x 轴上图形的面积大于矩形ABCD 的面积：1122S =⨯=，x 轴下方的面积大于等腰三角形ABE 的面积：212112S =⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故D 正确；故选：ABD三、双空题25．（2021·全国高二单元测试）等差数列{}n a 中15141024a a a a ++=+，且513a a =，则5a =______；若集合{}*122nn n N a a a λ∈<+++∣中有2个元素，则实数λ的取值范围是______.【答案】12 9(2,)4【详解】空1：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为15141024a a a a ++=+，且513a a =，所以有：11111114139244432a a d a d a d a a d a d ++++=++=⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，因此51444212a a d =+=+⨯=； 空2：由（1）知：112211(1)4(1)2322n na n n d n n n n n a a a =+-⋅=+-⋅=++++由122nn a a a λ<++⇒+122nna a a λ+++<，设212322nn nna a a n nb ++++==， 222111(1)3(1)34222n n n n n n n n n n b b n ++++++--+-==+-， 显然当1n =时，21b b >，当2,n n N *≥∈时，110n n n n b b b b ++<⇒-<，因此从第2项起，数列是递减数列， 12345972,,,244b b b b ====，所以数列{}n b 的最大项为252b =，因为{}*122nn n N a a a λ∈<+++∣中有2个元素，所以不等式 12()2nna a a λ+++<*只有两个不同正整数根，而数列{}n b 的最大项为252b =，因此2n =一定是不等式()*的解， 因此一定有：924λ<<.故答案为：9(2,)426．（2021·全国）设,A B 是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩ ,01x Bn x B ∉⎧=⎨∈⎩，①若A B ⊆.则对任意x R ∈，(1)m n -=______； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则,A B 的关系为______． 【答案】0B R AC =【详解】解：①∵A ⊆B ．则x ∉A 时，m=0，m （1-n ）=0． x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m=n=1，m （1-n ）=0． 综上可得：m （1-n ）=0．②对任意x ∈R ，m+n=1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ，B 的关系为A=∁R B ． 故答案为0，A=∁R B ．27．（2021·海淀·北京市八一中学）已知a b c ，，是ABC ∆的三边长，关于x 的方程21122x c a +-=的解集中只有一个元素，方程322cx b a +=的根为0x =，则ABC ∆的形状为________；若a b ，为关于230x mx m +-=的两个实数根，则实数m 的值_________． 【答案】等边三角形 12- 【详解】关于x 的方程211022x c a +-=的解集中只有一个元素,12()02b c a ∴∆=--=,即2a b c +=，方程322cx b a +=的根为0x =，∴a b =， ∴a b c ==，故三角形为等边三角形.a b ，为关于230x mx m +-=的两个实数根,,3a b m ab m ∴+=-=-,即2120m m +=， 解得12=-m故答案为：等边三角形；-12四、填空题28．（2021·上海桃浦中学高一月考）已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________. 【答案】{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7. 【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C =，,B C ∴中所有元素之和为121055++⋅⋅⋅+=； 若C 中仅有一个元素，设{}C a =，则55a a =-，解得：552a =，不合题意； 若C 中有且仅有两个元素，设{}(),C a b a b =<，则()55ab a b =-+， 当6a =，7b =时，()55ab a b =-+，{}6,7C ∴=；若C 中有且仅有三个元素，设{}(),,C a b c a b c =<<，则()55abc a b c =-++； 当1a =，4b =，10c =时，()55abc a b c =-++，{}1,4,10C ∴= 若C 中有且仅有四个元素，设{}(),,,C a b c d a b c d =<<<， 则()55abcd a b c d =-+++，当1a =，2b =，3c =，7d =时，()55abcd a b c d =-+++，{}1,2,3,7C ∴=； 若C 中有且仅有五个元素，若{}1,2,3,4,5C =，此时1234512055⨯⨯⨯⨯=>，∴C 中最多能有四个元素；综上所述：{}6,7C =或{}1,4,10或{}1,2,3,7. 故答案为：{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.29．（2021·山东高考真题）集合M ，N ，S 都是非空集合，现规定如下运算：M N S =()()(){|x x M N N S S M ∈⋃且}x MNS ∉．假设集合{}A x a x b =<<，{}B x c x d =<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足：（1）0ab <，0cd <；0ef <；（2）b a dc f e -=-=-；（3）b ad c fe +<+<+．计算A B C =____________________________________．【答案】{|x c x e <≤或}b x d ≤< 【详解】a b c d +<+，得a c d b -<-；a b c d -=-，得a c b d -=-；∴b d d b -<-，b d <；同理d f <，∴b d f <<．由(1)(3)可得0a c e b d f <<<<<<．∴{}A B x c x b ⋂=<<，{}B C x e x d ⋂=<<，{}C A x e x b ⋂=<<．A B C ={|x c x e <≤或}b x d ≤<．故答案为：{|x c x e <≤或}b x d ≤<30．（2021·上海市实验学校高三月考）已知集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】由集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，得(ax －5)(x 2－a )<0， 当a ＝0时，得20x >，显然不满足题意， 当a >0时，原不等式可化为(50x x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，5a，则解得x <5x a<，所以只需满足5355aa<⎨⎪≤⎪⎩，解得513a ≤<；5a >，则解得x <5x a<<所以只需满足535a ⎧<<⎪⎨⎪⎩9<a ≤25，当a <0时，当0x >时，(ax －5)(x 2－a )<0恒成立，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围是(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭．31．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集S 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{}2的“积数”为2，{}2,3的“积数”为6，1111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭的“积数”为1!n ，则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为___________. 【答案】1010 【详解】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集{}123,,,,n A a a a a =，积数和12(1)(1)(1) 1.n n S a a a =+++-当1n =时，11111n S a a S =+-==，成立； 假设(1)n k k =≥时，12(1)(1)(1)1k k S a a a =+++-当1n k =+时，()11111k k k k k k k k S S a S a S S a ++++=++⋅=++⋅12112(1)(1)(1)1(1)(1)(1)k k k a a a a a a a +=+++-++++ 121(1)(1)(1)(1)1k k a a a a +=++++-综上可得，N *∀∈，12(1)(1)(1) 1.n n S a a a =+++- 则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为： 1111345202211111123420212342021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-=⨯⨯⨯⨯- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2022110102=-= 故答案为：1010.32．（2021·长宁·上海市延安中学高三月考）已知函数()24222x a x x f x x x -⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x f x =，则实数a 的取值范围是______．【答案】04a ≤<【详解】解：设函数()24,2x g x x x+=≥的值域为A ，函数()2,2x a h x x -=<的值域为B ， 因为对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x fx =， 则A B ⊆，且B 中若有元素与A 中元素对应，则只有一个.当[)12,x ∈+∞时，()244x g x x x x+==+， 因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立， 所以[)4,A =+∞，当()2,2x ∈-∞时，()2,2x a h x x -=< ①当2a ≥时，()2,2a x h x x -=<，此时()22,a B -=+∞， 224a -∴<，解得24a ≤<，②当2a <时，()2,2,2a x x a x a h x a x --⎧<=⎨≤<⎩， 此时()h x 在(),a -∞上是减函数，取值范围是()1,+∞，()h x 在[),2a 上是增函数，取值范围是)21,2a -⎡⎣，224a -∴≤，解得02a ≤<，综合得04a ≤<.故答案为：04a ≤<33．（2021·湖南岳阳楼·岳阳一中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且点D 满足2CD DA =，BD =1cos 4ABC ∠=，则2c a +的最大值为____________.【详解】解：由题意得,BD BA AD BD BC CD =+=+， 所以322BD BA BC CD AD =+++,因为2CD DA =，所以32BD BA BC =+， 两边平方得，222944BD BA BC BA BC =++⋅， 所以221844cos c a BA BC ABC =++⋅∠， 得22184c a ac =++， 所以218(2)3c a ac =+-，即2318(2)22c a a c =+-⋅⋅， 因为2222c a ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2a c =时取等号， 所以22332(2)182222c a c a a c +⎛⎫+-=⋅⋅≤ ⎪⎝⎭， 令2c a t +=，则223188t t -≤，因为0t >，所以得0t <≤所以当且仅当2a c =时， 2c a +。

高三数学一轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数综合测试(一)

高三数学一轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数综合测试(一)

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数阶段质量评估（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）1．已知全集U ＝R ，集合2{|1}M x x =<，2{|0}N x x x =-<，则集合M ，N 的关系用韦恩（Venn ）图可以表示为 （ ）2．已知函数①()ln f x x =；②cos ()xf x e =；③()xf x e =；④()cos f x x =．其中对于()f x 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在定义域内的唯一一个自变量2x ，使得12()()1f x f x •=成立的函数是（ ）A ．①②④B ．②③C ．③D ．④3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）A ()sin f x x = B.()1f x x =-+ C.()1()2x xf x a a -=+ D.2()ln 2x f x x -=+ 4．下列结论①命题“0,2>-∈∀x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∃x x R x ”；②当),1(+∞∈x 时，函数221,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方；③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0. ④若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为12m ≥.其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 4 5．命题“x R ∀∈，2240x x -+≤”的否定为 ( )A ．x R ∀∈，2240x x -+≥ B ．2,240x R x x ∀∉-+≤C ．x R ∃∈,2240x x -+>D ．x R ∃∉,2240x x -+>6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．4x y -B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=7．函数2()ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（e ，3）C ．（2，e ）D ．(e,+∞)8．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a =-对称。

集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式单元测试答

集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式单元测试答

高一数学必修一第一、二章测试题一、单选题(每小题5分，共40分)1．若集合A ＝{x ∈N |x ≤ 2 020 }，a ＝22 ，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A 分析选D.因为A ＝{x ∈N |x ≤ 2 020 }，所以A 中元素全是整数，因为a ＝22 ，所以a ∉A .2．设全集为R ，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |y ＝x －2 }，则A ∩(R B )＝( ) A ．{1，2} B ．{1} C ．{1，3} D ．{1，2，3}分析选B.因为B ＝{x |x ≥2}，所以R B ＝{x |x ＜2}，且A ＝{1，2，3}， 所以A ∩(R B )＝{1}．3．已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x x －1>0 ，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2<x <0}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．R分析选A.因为集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}＝{x |－2<x <1}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1>0 ＝{x |x <0或x >1}，所以A ∩B ＝{x |－2<x <0}． 4．设a ＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋1，b ＝－4，则实数a ，b 的大小关系( ) A ．a ＜b B ．a ＞b C ．a ＝b D ．与x ，y 取值有关分析选B.a －b ＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋5＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋3＞0，所以a ＞b . 5．已知t ＞0，则函数y ＝2t 2－t ＋2t的最小值为( )A ．－2B ．12C ．3D ．2分析选C.因为t ＞0，则函数y ＝2t 2－t ＋2t ＝2t ＋2t－1≥22t ·2t－1＝3，当且仅当t ＝1时取等号．所以函数y ＝2t 2－t ＋2t的最小值为3.6．若不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0的解集为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．0≤k ≤1B ．0<k ≤1C ．k <0或k >1D ．k ≤0或k ≥1分析选A.由于不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0的解集为R ，分以下两种情况讨论：①当k ＝0时，则有8≥0，合乎题意；②当k ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧k >0Δ＝36k 2－4k （k ＋8）＝32k （k －1）≤0 ， 解得0<k ≤1.综上所述，0≤k ≤1.7.某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等．假设今明两年该物品的价格分别为p 1，p 2（p 1≠p 2），则这两种方案中平均价格比较低的是（ ） A ．甲B ．乙C ．甲、乙一样D ．无法确定解：甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等． 设甲每年购买的数量x ；乙每年购买的金额y ． 因为今明两年该物品的价格分别为p 1，p 2（p 1≠p 2）， 则甲的平均价格甲＝＝，①乙的平均价格乙＝＝，②两式作商可得＝＞＝1，故乙的平均价格比较低，故选：B ．8．某公司从2018年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：项目 计算方法基础工资 2018年1万元，以后每年逐增10%住房补贴 按工龄计算：400元×工龄 医疗费每年1 600元固定不变若该公司某职工在2020年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2020年底这位职工的工龄至少是( )A ．2年B ．3年C ．4年D ．5年分析选C.设这位职工工龄至少为x 年，则400x ＋1 600>10 000·(1＋10%)2×25%， 即400x ＋1 600>3 025，即x >3.562 5，所以至少为4年．二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，则33a b >C ．若0a b >>，0m >，则b m ba m a+>+ D ．若15a -<<，23b <<，则43a b -<-<分析选BCD : 取0c，代入验证A,有00>，错误，故A 不正确；对于B ：记()3f x x =，则()f x 为增函数，所以a b >时有()()f a f b >，故B 正确； 对于C ：记()(0,0)b xf x a b x a x+=>>≥+，易证()f x 为增函数，所以0m >时有()()0f m f >，即b m ba m a+>+成立，故C 正确； 对于D ：23,32b b <<∴-<-<-,又有15a -<<，利用同向不等式相加，有：43a b -<-<，故D正确.故选：BCD10．下列不等式不一定正确的是( ) A ．|x ＋1x |≥2B ．x 2＋y 2xy ≥2C ．x 2＋y 22>xyD ．|x ＋y |2≥|xy |分析选BCD.因为x 与1x 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x | ≥2，A 正确； 当x ，y 异号时，B 不正确；当x ＝y 时，x 2＋y 22＝xy ，C 不正确；当x ＝1，y ＝－1时，D 不正确． 10．有以下说法，其中正确的为( )A ．“x ，y 为无理数”是“xy 为无理数”的充分条件B ．“若x ∈A ∩B ”则“x ∈A ”的否定是“若x ∈A ∩B ”则“x ∉∈A ”C ．“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件D ．“x >1”是“1x<1”的充分不必要条件分析选CD.对于A ，2 是无理数，但2 ×2 ＝2是有理数，故A 不正确；对于B ，“若x ∈A ∩B ”则“x ∈A ”是全称量词命题，它的否定是“∃x ∈A ∩B ”则“x ∉∈A ”，故B 不正确；对于C ，x ＝3⇒x 2－2x －3＝0，反之不成立，因此“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件，故C 正确；对于D ，1x<1⇒x >1或x <0，因此“x >1”是“1x<1”的充分不必要条件，故D 正确．12．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7分析选CD.设y ＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴为x ＝3的抛物线，如图所示．关于x 的一元二次不等式x2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤012－6×1＋a ＞0 ，解得5＜a ≤8，又a ∈Z ，所以a 的取值是6，7，8. 三、填空题(每小题5分，共20分)13．命题∀x ∈R ，∃n ∈N ，2n>x 2的否定为________．分析存在量词命题的否定是全称量词命题，所以该命题的否定为 答案：∃x ∈R ， ∀n ∈N ，2n≤x2 14．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为____________．分析:由(x －m )2＞3(x －m )，得(x －m )(x －m －3)＞0，解得x ＞m ＋3或x ＜m . 所以p ：x ＞m ＋3或x ＜m .由x 2＋3x －4＜0，解得－4＜x ＜1，即q ：－4＜x ＜1. 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以q ⇒p ，p ⇒q ， 所以{x |－4<x <1}{x |x >m ＋3或x <m }．结合数轴可知m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.答案：m ≤－7或m ≥1 15．已知不等式axx －1<1的解集为{x |x <1或x >2}，则a ＝______.分析由(1)101a x x -+<-，即[](1)1(1)0a x x -+-<，由不等式的解与方程的关系，(1)210a -⨯+=所以，a ＝1216．已知正实数a ，b 满足ab －b ＋1＝0，则1a ＋4b 的最小值是________，此时b ＝________．分析由ab －b ＋1＝0可得a ＝b －1b ，由a ＝b －1b>0，得b >1， 所以1a ＋4b ＝b b －1 ＋4b ＝1b －1 ＋4(b －1)＋5，因为1b －1 ＋4(b －1)≥4，所以1a ＋4b ≥9，当且仅当a ＝13 ，b ＝32 时等号成立．答案：9 32四、解答题(共70分)17．(10分)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |a －1＜x ＜2a ＋3}． (1)若a ＝－1，求(R A )∩B ；(2)在①A ∪B ＝A ，②A ∩B ＝B ，③(R A )∩B ＝∅，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)分析(1)全集为R ，集合A ＝{x|x 2－2x －3＞0}＝{x|x ＜－1或x ＞3}，所以R A ＝{x|－1≤x ≤3}； 又a ＝－1时，集合B ＝{x|a －1＜x ＜2a ＋3}＝{x|－2＜x ＜1}，所以(R A)∩B ＝{x|－1≤x ＜1}．(2)选择①A ∪B ＝A 作为已知条件．(选择②，③的解法同①)因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ， 又由A ＝{x|x ＜－1或x ＞3}得当B ＝∅时a －1≥2a ＋3，解得a ≤－4；当B ≠∅时⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜2a ＋32a ＋3≤－1 或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜2a ＋3a －1≥3 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－4a ≤－2 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－4a ≥4，所以－4＜a ≤－2或a ≥4.综上，可得a 的取值范围为a ≤－2或a ≥4. 18．(12分)解关于x 的不等式x 2－(3m ＋1)x ＋2m 2＋2m <0.分析:x 2－(3m ＋1)x ＋2m 2＋2m<0，即x 2－(3m ＋1)x ＋2m(m ＋1)＝(x －2m)(x －m －1)＜0， 令(x －2m)(x －m －1)＝0，解得x ＝2m 或x ＝m ＋1， 当2m ＞m ＋1，即m ＞1时，解集为{x|m ＋1<x<2m}， 当2m ＜m ＋1，即m ＜1时，解集为{x|2m<x<m ＋1}， 当m ＝1时，解集为∅.综上所述，当m ＝1时，解集为∅；当m>1时，解集为{x|m ＋1<x<2m}；当m<1时，解集为{x|2m<x<m ＋1}． 19．(12分)(1) 若x>3，求y ＝4x ＋2＋13x -的最小值． (2)已知0,0a b >>，且1a b +=，4141M a b =++求M 的最大值．解(1)因为x>3，所以x －3＞0.又因为y ＝4(x －3)＋1x －3 ＋1414(3)14183x x ≥-⨯=- 当且仅当14(3)3x x -=-，即132x -=时，72x =等号成立，故y 的最小值是18. （2）2(4141)4()22(41)(41)4()2(41)(41)8()423M a b a b a b a b a b a b =+++=+++++≤++++++=++=，当4a+1＝4b+1时取等号，此时a=b=12∴M 的最大值是3 20．(12分)已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2－2x ＋a ＝0”；命题q ：“∀x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2＋ax －8≤0” 若p,q 至少有一个为假命题，求实数a 的取值范围．分析命题p ：“∃x ∈R ，x 2－2x ＋a ＝0”为假命题，可得方程x 2－2x ＋a ＝0无实数解，即有Δ＝4－4a ＜0，解得a ＞1；命题q ：“∀x ∈{x|1≤x ≤2}，x 2＋ax －8≤0”为真命题，可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －8≤04＋2a －8≤0 ，解得a ≤2，命题q 为假a ≥2.综上可得，a 的取值范围是a ＞1. 21．(12分)()1已知x ，y 都是正数.求证：()()()2233338.x y x y x y x y +++≥()2已知a ，b ，c 为正数，且满足1a b c ++=．证明：164149a b c++≥．21．（1）证明：由基本不等式可知()()()(()(22332x y x yxy xy +++≥⋅⋅()23388xy xy x y =⋅=，（当且仅当x y =时取得等号）. （2）∵1a b c ++=，∴()16411641a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭16416421b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21≥+21168449=+++= 当且仅当47a =，27b =，17c =时，上式等号成立． 22．(12分)第一机床厂投资A 生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该厂通过引进先进技术，在A 生产线的投资减少了x (x >0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1＋0.005x )倍．现将在A 生产线少投资的x 万元全部投入B 生产线，且每万元创造的利润为1.5(a －0.013x )万元，其中a >0. (1)若技术改进后A 生产线的利润不低于原来A 生产线的利润，求x 的取值范围； (2)若B 生产线的利润始终不高于技术改进后A 生产线的利润，求a 的最大值． 分析(1)由题意得1.5(1＋0.005x)(500－x)≥1.5×500，整理得x 2－300x ≤0， 解得0≤x ≤300，又x ＞0，故0＜x ≤300.(2)由题意知，B 生产线的利润为 1.5(a －0.013x)x 万元，技术改进后，A 生产线的利润为 1.5(1＋0.005x)(500－x)万元，则1.5(a －0.013x)x ≤1.5(1＋0.005x)(500－x)恒成立，又x ＞0， 所以a ≤x 125 ＋500x ＋1.5恒成立．又x 125 ＋500x ＋1.5≥2x 125·500x＋1.5＝5.5， 当且仅当x 125 ＝500x ，即x ＝250时，等号成立，又a>0，所以0＜a ≤5.5，所以a 的最大值为5.5.。

高一数学第一次月考卷01(新高考地区,集合与逻辑+不等式)(全解全析)

高一数学第一次月考卷01(新高考地区,集合与逻辑+不等式)(全解全析)

2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式。

5．难度系数：0.65。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =Z ，集合A =x ∈Z x ≤-3或x >3 ，B =0,3 ，则∁U A ∩B =()A.1,2B.1,2,3C.0,1,3D.1,2【答案】D【详解】由已知可得∁U A =-2,-1,0,1,2,3 ，又B =0,3 ，∴∁U A ∩B =1,2 ．故选：D .2.在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b =ab +2a +b ，则满足x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值范围是()A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)【答案】B【详解】根据给出在R 上定义运算x ⊙(x -2)=x (x -2)+2x +(x -2)=x 2+x -2=(x +2)(x -1)，由x ⊙(x -2)<0得(x +2)(x -1)<0，解之得-2<x <1，故该不等式的解集是(-2,1)．故选：B3.若两个正实数x ,y 满足4x +y =xy ，且存在这样的x ,y 使不等式x +y4<m 2+3m 有解，则实数m 的取值范围是()A.-1,4B.-4,1C.-∞,-4 ∪1,+∞D.-∞,-3 ∪0,+∞【答案】C【详解】由4x +y =xy ，x ,y >0，可得4y +1x=1，所以x +y 4=x +y 4 ⋅4y +1x=2+4xy +y 4x≥2+24x y ⋅y 4x =4，当且仅当4x y =y 4x，即y =4x =8时等号成立．所以m 2+3m >4,m 2+3m -4=m +4 m -1 >0，解得m <-4或m >1，所以实数m 的取值范围是-∞,-4 ∪1,+∞ ．故选：C ．4.对于∀x ∈R ，用x 表示不大于x 的最大整数，例如：π =3，-2.1 =-3，则“x >y ”是“x >y ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当x >y 时，如x =3.2，y =3.1，不能得到x >y ，由x >y ，则x >y ≥y ，又x ≥x ，所以一定能得到x >y ，所以“x >y ”是“x >y ”成立的充分不必要条件.故选：A .5.已知全集为U ，集合M ，N 满足M ÜN ÜU ，则下列运算结果为U 的是( )．A.M ∪NB.∁U N ∪∁U MC.M ∪∁U ND.N ∪∁U M【答案】D 【详解】如图，因为M ÜN ÜU ，所以M ∪N =N ≠U ，故A 错误；因为∁U N ∪∁U M =∁U M ∩N =∁U M ≠U ，故B 错误；因为M ÜN ÜU ，所以M ∪∁U N ≠U ，故C 错误；因为M ÜN ÜU ，所以N ∪∁U M =U ，故D 正确.故选：D6.关于x 的一元二次方程x 2+x +m =0有实数解的一个必要不充分条件的是()A.m <12B.m ≤14C.m <-12D.m <14【答案】A【详解】因为一元二次方程x 2+x +m =0有实根，所以Δ=1-4m ≥0，解得m ≤14.又-∞,14 是-∞,12的真子集，所以“-∞,12 ”是“-∞,14”的必要不充分条件.故选：A7.不等式ax +1x +b >1的解集为x x <-1 或x >4 ，则x +abx -1≥0的解集为()A.x -6≤x <-14B.x -1≤x <1C.x -6≤x ≤-14D.x -14≤x ≤1 【答案】A 【详解】不等式ax +1x +b>1可转化为a -1 x -b +1 x +b >0，其解集为x x <-1 或x >4 ，所以a >1，且方程ax -x -b +1 x +b =0的两个根为x 1=-1，x 2=4，则-a +1-b +1=04+b =0或4a -4-b +1=0-1+b =0 ，解得a =6b =-4 或a =1b =1 (舍去)，即有x +6-4x -1≥0，即x +6 -4x -1 ≥0-4x -1≠0 ，解得-6≤x <-14.所以不等式的解集为x -6≤x <-14.故选：A .8.已知x +y =1x +4y+8(x ,y >0)，则x +y 的最小值为()A.53B.9C.4+26D.10【答案】B【详解】x +y =1x +4y +8⇒x +y -8=1x +4y，两边同时乘以“x +y ”得：(x +y -8)(x +y )=1x +4y(x +y )，所以(x +y -8)(x +y )=1x +4y(x +y )=5+y x +4xy ≥9，当且仅当y =2x 时等号成立，令t =x +y ，所以(t -8)⋅t ≥9，解得t ≤-1或t ≥9，因为x +y >0，所以x +y ≥9，即(x +y )min =9，故选：B .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下面命题正确的是()A.若x ,y ∈R 且x +y >2，则x ，y 至少有一个大于1B.“任意x <1，则x ²<1”的否定是“存在x <1，则x 2≥1”C.设x ,y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是x ²+y ²≥4的必要而不充分条件D.设a ,b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件【答案】ABD【详解】对于A ，假设x ,y 都不大于1，即x ≤1，y ≤1，则x +y ≤2与已知矛盾，假设是错的，原命题为真命题，A 正确；对于B ，“任意x <1，则x 2<1”的否定为“存在x <1，则x 2≥1”，B 正确；对于C ，x ≥2则x 2≥4，y ≥2则y 2≥4，x 2+y 2≥8，则x 2+y 2≥4成立，满足充分性，C 错误；对于D ，当a ≠0时，ab 可能为零，当ab ≠0时，a 一定不等于零，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，D 正确.故选：ABD .10.若a >b >0，则下列不等式成立的是()A.b a >abB.ab >b 2C.b a <b +1a +1D.a +1b>b +1a 【答案】BCD【解析】对A ，若a >b >0，则a 2>b 2，两边同时除以ab ，所以a b>ba ，A 错误；对B ，由a >b >0可得ab >b 2，B 正确；对C ，因为a (b +1)-b (a +1)=a -b >0，所以a (b +1)>b (a +1)>0，即b +1a +1>ba，C 正确；对D ，由a >b >0可得，1b >1a >0，所以a +1b>b +1a ，D 正确．故选：BCD .11.已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为M ，则下列说法正确的是()A.若M =∅，则a <0且b 2-4ac ≤0B.若a a =b b =c c，则关于x 的不等式a x 2+b x +c>0的解集也为M C.若M ={x |-1<x <2}，则关于x 的不等式a (x 2+1)+b (x -1)+c <2ax 的解集为N ={x |x <0,或x >3}D.若M ={x |x ≠x 0,x 0为常数}，且a <b ，则a +3b +4cb -a的最小值为5+25【答案】ACD【详解】A 选项，若M =∅，即一元二次不等式ax 2+bx +c >0无解，则一元二次不等式ax 2+bx +c ≤0恒成立，∴a <0且b 2-4ac ≤0，故A 正确；B 选项，令a a =b b =c c=t (t ≠0)，则a =a t 、b =b t 、c =ct ，∴a x 2+b x +c >0可化为1t(ax 2+bx +c )>0，当t <0时，1t(ax 2+bx +c )>0可化为ax 2+bx +c <0，其解集不等于M ，故B 错误；C 选项，若M ={x |-1<x <2}，则a <0，且-1和2是一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根，∴-1+2=-b a ，且-1×2=ca，∴b =-a ，c =-2a ，∴关于x 的不等式a (x 2+1)+b (x -1)+c <2ax 可化为a (x 2+1)-a (x -1)-2a <2ax ，可化为a (x 2-3x )<0，∵a <0，∴x 2-3x >0，解得x <0或x >3，即不等式a (x 2+1)+b (x -1)+c <2ax 的解集为N ={x |x <0,或x >3}，故C 正确；D 选项，∵M ={x |x ≠x 0,x 0为常数}，∴a>0且b2-4ac=0，∴a+3b+4cb-a =a+3b+b2ab-a，∵b>a>0，∴b-a>0，令b-a=t>0，则b=a+t，∴a+3b+b2ab-a=a+3(a+t)+(a+t)2at=5at+ta+5≥25a t⋅t a+5=25+5，当且仅当t=5a，则b=(1+5)a,c=3+5a2，且a为正数时，等号成立，所以a+3b+4cb-a的最小值为5+25，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则4a-2b的取值范围为.【答案】-2,10【详解】解：设4a-2b=x a+b+y a-b=x+ya+x-yb，所以x+y=4x-y=-2，解得x=1y=3，因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则-3≤3a-b≤6，因此，-2≤4a-2b≤10.故答案为：-2,10.13.已知关于x的不等式组-x2+4x+5<02x2+5x<-2x+5k的解集中存在整数解且只有一个整数解，则k的取值范围为.【答案】-6,2∪3,4【详解】由x2-4x-5=x-5x+1>0，得x<-1或x>5，所以2x2+2k+5x+5k=2x+5x+k<0的解集与{x∣x<-1或x>5}的交集中存在整数解，且只有一个整数解.当k<52时，2x2+2k+5x+5k<0的解集为x-52<x<-k，此时-2<-k≤6，即-6≤k<2，满足要求；当k=52时，2x2+2k+5x+5k<0的解集为∅，此时不满足题设；当k>52时，2x2+2k+5x+5k<0的解集为x-k<x<-52，此时-4≤-k<-3，即3<k≤4，满足要求.综上，k的取值范围为-6,2∪3,4.故答案为：-6,2∪3,414.定义集合P={x|a≤x≤b}的“长度”是b-a，其中a，b∈R．已如集合M={x m≤x≤m+12，N={x n-35≤x≤n，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是；若m =65，集合M ∪N 的“长度”大于35，则n 的取值范围是.【答案】110/0.185,1710 ∪95,2【详解】集合M ={x m ≤x ≤m +12，N ={x n -35≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，由m ≥1m +12≤2 ，可得1≤m ≤32，由n -35≥1n ≤2，可得85≤n ≤2．要使M ∩N 的“长度”最小，只有当m 取最小值、n 取最大或m 取最大、n 取最小时才成立.当m =1，n =2，M ∩N =x 75≤x ≤32 ，“长度”为32-75=110，当m =32，n =85，M ∩N =x 32≤x ≤85 ，“长度”为85-32=110，故集合M ∩N 的“长度”的最小值是110；若m =65，M =x 65≤x ≤1710，要使集合M ∪N 的“长度”大于35，故n -35<1710-35或n >65+35,即n <1710或n >95,又85≤n ≤2，故n ∈85,1710 ∪95,2.故答案为：110；85,1710 ∪95,2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分)已知集合A ={x |-2≤x -1≤5}、集合B ={x |m +1≤x ≤2m -1}(m ∈R ).(1)若A ∩B =∅，求实数m 的取值范围；(2)设命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B ，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【详解】(1)由题意可知A ={x |-2≤x -1≤5}={x |-1≤x ≤6}，又A ∩B =∅，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，m +1≤2m -1，m +1>6或2m -1<-1，解得m >5，综上所述，实数m 的取值范围为-∞,2 ∪5,+∞ ；............................6分(2)∵命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A 的真子集，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，m +1≤2m -1m +1≥-12m -1≤6(等号不能同时成立)，解得2≤m ≤72，综上所述，实数m 的取值范围为-∞,72.............................13分16.(15分)甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在A 、B 、C 、D 四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知A 、B 的底面积均为x 2，高分别为x 、y ;C 、D 的底面积均为y 2，高分别为x 、y (其中x ≠y ).在未能确定x 与y 大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案(即指出甲取哪两个容器可以获胜)，并说明此方案必胜的理由.【详解】设A，B，C，D的体积分别为V A，V B，V C，V D，则V A=x3,V B=x2y,V C=xy2,V D=y3，甲从A，B，C，D中任选2个，有AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种可能，............................4分当x>y时，则x3>x2y>xy2>y3，即V A>V B>V C>V D，则V A+V B>V C+V D，V A+V C>V B+V D，即甲取BD,CD均不能够稳操胜券；..........................7分当x<y时，则y3>y2x>yx2>x3，即V D>V C>V B>V A，则V D+V C>V B+V A，V D+V B>V C+V A，即甲取AC,AB均不能够稳操胜券；............................10分若甲先取AD，则V A+V D-V B+V C=x3+y3-xy2+x2y=(x-y)2(x+y)>0，即V A+V D>V B+V C，即甲先取AD能够稳操胜券，选BC不能够稳操胜券；综上所述：甲必胜的方案：甲选AD.............................15分17.(15分)已知实数a、b满足：9a2+b2+4ab=10.(1)求ab和3a+b的最大值；(2)求9a2+b2的最小值和最大值.【详解】(1)∵9a2+b2+4ab=10，∴9a2+b2=10-4ab，∵9a2+b2≥6ab，∴10-4ab≥6ab，∴ab≤1，当且仅当a=33、b=3或a=-33、b=-3时等号成立，∴ab的最大值为1，∵9a2+b2+4ab=10，∴(3a+b)2-10=2ab，∵2ab=23×3a×b≤23×3a+b22=(3a+b)26，∴(3a+b)2-10≤(3a+b)26，∴(3a+b)2≤12，∴3a+b≤23，当且仅当a=33、b=3时等号成立，∴3a+b的最大值为23；............7分(2)∵9a2+b2+4ab=10，∴ab=10-9a2-b24，∵9a2+b2≥6ab，∴9a2+b2≥6×10-9a2-b24，即9a2+b2≥6，当且仅当a=33、b=3或a=-33、b=-3时等号成立，∴9a2+b2的最小值为6，又9a2+b2≥-6ab，∴9a2+b2≥-6×10-9a2-b24，即9a2+b2≤30，当且仅当a=153、b=-15或a=-153、b=15时等号成立，∴9a2+b2的最大值为30.............................15分18.(17分)已知函数y=m+1x2-m-1x+m-1．(1)若不等式m+1x2-m-1x+m-1<1的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式m+1x2-2mx+m-1≥0；(3)若不等式m+1x2-m-1x+m-1≥0对一切x∈x-12≤x≤12恒成立，求m的取值范围．【详解】(1)由题意，当m +1=0,即m =-1时,2x -2<1,解集不为R ,不合题意;当m +1≠0,即m ≠-1时,(m +1)x 2-(m -1)x +m -2<0的解集为R ,∴m +1<0Δ=(m -1)2-4(m +1)(m -2)<0 ，即m <-13m 2-2m -9>0故m <-1时,m <1-273.综上，m <1-273.............................6分(2)由题意得,在(m +1)x 2-2mx +m -1≥0,即[(m +1)x -(m -1)](x -1)≥0,当m +1=0,即m =-1时,解集为x x ≥1 ;当m +1>0,即m >-1时,x -m -1m +1(x -1)≥0,即m -1m +1=1-2m +1<1，解集为x x ≤m -1m +1或x ≥1 ；当m +1<0,即m <-1时,x -m -1m +1(x -1)≤0,∵m -1m +1=1-2m +1>1,∴解集为x 1≤x ≤m -1m +1.综上，当m <-1时,解集为x 1≤x ≤m -1m +1;当m =-1时,解集为x x ≥1 ;当m >-1时,解集为x x ≤m -1m +1或x ≥1 .............................11分(3)由题意，(m +1)x 2-(m -1)x +m -1≥0,即m x 2-x +1 ≥-x 2-x +1,∵x 2-x +1>0恒成立,∴m ≥-x 2-x +1x 2-x +1=-1+2(1-x )x 2-x +1,设1-x =t ,则12≤t ≤32,x =1-t∴1-x x 2-x +1=t (1-t )2-(1-t )+1=t t 2-t +1=1t +1t -1,∵t +1t ≥2,当且仅当t =1时取等号,∴1-x x 2-x +1≤1,当且仅当x =0时取等号,∴当x =0时,-x 2-x +1x 2-x +1max=1,∴m ≥1，∴m 的取值范围为1,+∞ ...........................17分19.(17分)已知S n =1,2,⋯,n n ≥3 ，A =a 1,a 2,⋯,a k k ≥2 是S n 的子集，定义集合A *=a i -a j a i ,a j ∈A 且a i >a j ，若A *∪n =S n ，则称集合A 是S n 的恰当子集．用X 表示有限集合X 的元素个数．(1)若n =5，A =1,2,3,5 ，求A *并判断集合A 是否为S 5的恰当子集；(2)已知A =1,a ,b ,7 a <b 是S 7的恰当子集，求a ，b 的值并说明理由；(3)若存在A 是S n 的恰当子集，并且A =5，求n 的最大值．【解析】(1)若n =5，有S 5=1,2,3,4,5 ，由A =1,2,3,5 ，则A *=1,2,3,4 ，满足A *∪5 =S 5，集合A 是S 5的恰当子集；-------------------------3分(2)A =1,a ,b ,7 a <b 是S 7的恰当子集，则A *=1,2,3,4,5,6 ，7-1=6∈A *，由5∈A *则7-a =5或b -1=5，7-a =5时，a =2，此时b =5，A =1,2,5,7 ，满足题意；b -1=5时，b =6，此时a =3，A =1,3,6,7 ，满足题意；a =2，b =5或a =3，b =6.-------------------8分(3)若存在A 是S n 的恰当子集，并且A =5，当n =10时，A =1,2,3,7,10 ，有A *=1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，满足A *∪10 =S 10，所以A =1,2,3,7,10 是S 10的恰当子集，---------------------11分当n =11时，若存在A 是S 11的恰当子集，并且A =5，则需满足A *=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，由10∈A *，则有1∈A 且11∈A ；由9∈A *，则有2∈A 或10∈A ，-----------------------13分2∈A 时，设A =1,2,a ,b ,11 3≤a <b ≤10 ，经检验没有这样的a ,b 满足A *=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ；当10∈A 时，设A =1,a ,b ,10,11 2≤a <b ≤9 ，经检验没有这样的a ,b 满足A *=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，----------------------------16分因此不存在A 是S 11的恰当子集，并且A =5，所以存在A 是S n 的恰当子集，并且A =5的n 的最大值为10.-------------17分。

集合与常用逻辑用语(含答案)

集合与常用逻辑用语(含答案)

集合与常用逻辑用语一．选择题（共9小题）1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，2}2．集合P＝{﹣1，0，1}，Q＝{y|y＝cos x，x∈R}，则P∩Q＝（）A．P B．Q C．{﹣1，1}D．[0，1]3．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤24．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是（）A．1B．3C．4D．85．设全集为R，集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，则∁R（A∪B）等于（）A．{x|0≤0＜1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤﹣1}D．{x|x＞﹣1}6．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+x＝0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．7．已知P＝{|＝（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q＝{|＝（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝（）A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}8．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A ∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n9．定义A⊗B＝{z|z＝xy+，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（）A．3B．9C．18D．27二．填空题（共5小题）10．若集合A＝{x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有个元素．11．设集合A＝{5，log2（a+3）}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝．12．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝．13．设全集I＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{2，|a+1|}，∁I A＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M 的所有子集是．14．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝．三．解答题（共6小题）15．一个无重复数字的五位数，如果满足万位和百位上的数字都比千位上的数字小，百位和个位上的数字都比十位上的数字小，则这个五位数称为“倒W型数”，问：一共有多少个倒W型数？16．已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）＝﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）＝x2﹣4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y＝f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．17．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁U B）＝{1，3，5，7}，求集合B．18．已知集合A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，分别求适合下列条件的a的值．（1）9∈（A∩B）；（2）{9}＝A∩B．19．对于集合M、N，定义M⊖N＝{x|x∈M且x∉N}，M⨁N＝（M⊖N）∪（N⊖M），设A＝{y|4y+9≥0}，B＝{y|y＝﹣x+1，x＞1}，求A⨁B．20．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a＝3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．。

集合与常用逻辑用语,不等式测试题

集合与常用逻辑用语,不等式测试题

《集合、逻辑、不等式》测试(满分150分)姓名 得分一、选择题：每小题5分.1．已知全集U 和集合A ，B 如图所示，则(∁U A )∩B ( )A ．{5,6}B ．{3,5,6}C ．{3}D ．{0,4,5,6,7,8}2．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．13．已知M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－14.设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2，或a ≥4}C ．{a |a ≤0，或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}5．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．186．已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则p 的否定形式为( )A ．∃x 0∈R ，x 0<sin x 0B ．∀x ∈R ，x ≤sin xC ． ∃x 0∈R ，x 0≤sin x 0D ．∀x ∈R ，x <sin x 7.已知关于x 的不等式x 2−ax −b <0的解集是{x ∣2<x <3},则a +b 的值是( )A.−11B.11C.−1D.18.已知a,b ∈R ,则“a +b <0”是“a ∣a ∣+b ∣b ∣<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二．多选题(每题5分)9.下列关系中正确的为（） （1）{}；00∈（2）Ø⊆{0}；（3）{0,1}⊆{（0,1）}；（4）{（a,b ）}={(b,a)}；（5）{a,b}={b,a}.A. （1）（2）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（5）10.下列命题中假命题是( )A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数三．填空题（每题5分）13.已知集合{0，-1，a2}={0,a,b}，则a2021+b2021的值为（）14.已知函数f(x)=x2−2x+3a,g(x)=2x−1,若对任意x1∈[0,3],总存在x2∈[2,3],使得∣f(x1)∣≤g(x2)成立,则实数a的值为__________.15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|mx=1},若B⊆A，则m的取值个数为（）16．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．四．解答题17．（10分）设全集U＝R，A＝{x|2512xx+<-}，B＝{x|x2－5x≤0，且x≠5}．求(1)∁U(A∪B)；(2)(∁U A)∩(∁U B)．18．（12分）已知集合A={x|-2<x ≤5},(1)若B ⊆A,B={x|m+1≤x ≤2m-1},求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B,B={x|m-6≤x ≤2m-1},求实数m 的取值范围.19．（12分）已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．.（12分） 20.12 0,0, 24,..1x y x y x y >>+=++若求的最小值21.（12分）解不等式12x2－ax＞a2（a∈R）.。

集合与常用逻辑用语习题带答案

集合与常用逻辑用语习题带答案

1**个人辅导中心（数学辅导）内部专用同步习题高三一轮复习专用1．1 集合的概念及其运算(1) 例1．选择题：(1)不能形成集合的是( ) (A)大于2的全体实数 (B)不等式3x －5＜6的所有解(C)方程y=3x+1所对应的直线上的所有点 (D)x 轴附近的所有点(2)设集合 ，则下列关系中正确的是( ) (A)x A(B)x A(C){x}∈A (D){x} A(3)设集合 ，则( ) (A)M=N (B)M N (C)M N(D)M ∩N=例2．已知集合 ，试求集合A 的所有子集．例3．已知A={x ｜－2＜x ＜5}，B={x ｜m+1≤x ≤2m －1}，B ≠ ，且B A ，求m 的取值范围．例4*．已知集合A={x ｜－1≤x ≤a}，B={y ｜y=3x －2，x ∈A}，C={z ｜z=x2，x ∈A}，若C B ，求实数a 的取值范围．1．2 集合的概念及其运算(2) 例1．(1)设全集U={a ，b ，c ，d ，e}．集合M={a ，b ，c}，集合N={b ，d ，e}，那么( UM)∩( UN)是( ) (A) (B){d}(C){a ，c} (D){b ，e}(2)全集U={a ，b ，c ，d ，e}，集合M={c ，d ，e}，N={a ，b ，e}，则集合｛a ，b}可表示为( ) (A)M ∩N (B)( UM)∩N (C)M ∩( UN)(D)( UM)∩( UN)例2．如图，U 是全集，M 、P 、S 为U 的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为( )(A)(M ∩P)∩S (B)(M ∩P)∪S (C)(M ∩P)∩( US)(D)(M ∩P)∪( US)例3．(1)设A={x ｜x2－2x －3=0}，B={x ｜ax=1}，若A ∪B=A ，则实数a 的取值集合为____； (2)已知集合M={x ｜x －a=0}，N={x ｜ax －1=0}，若M ∩N=M ，则实数a 的取值集合为____． 例4．定义集合A －B={x ｜x ∈A ，且x B}．(1)若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}则N －M 等于( ) (A)M (B)N (C)｛1，4，5 } (D){6}(2)设M 、P 为两个非空集合，则M －(M －P)等于( ) (A)P (B)M ∩P (C)M ∪P (D)M例5．全集S={1，3，x3+3x2+2x}，A={1，|2x －1|}.如果 sA={0}，则这样的实数x 是否存在?若存在，求出x ；若不存在，请说明理由．1．3 简单的逻辑联结词例1．用“p 或q ”、“p 且q ”或“非p ”填空， ①命题“矩形的对角线互相垂直平分”是________形式2②命题“Q 是____形式③命题“1≥2”是____形式． 其中真命题的序号为____． 例2．给出下列命题：①“若k ＞0，则关于x2+2x －k=0的方程有实根”的逆命题； ②“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题； ③“若A ∪B=B ，则A B ”的逆否命题；④命题p ：“x ，y ∈R ，若x2+y2=0，则x ，y 全为0”的非命题 其中真命题的序号是____．例3．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，则( ) (A)命题p 是假命题(B)命题q 是假命题(C)命题p 与命题q 真值相同(D)命题p 与命题“非q ”真值相同例4．(1)命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则 p 是( ) (A)有些三角形不是等腰三角形 (B)有些三角形可能是等腰三角形 (C)所有三角形不是等腰三角形 (D)所有三角形是等腰三角形 (2)已知命题p ： x ∈R ，sinx ≤1，则( ) (A) p ： x ∈R ，sinx ≥1 (B) p ： x ∈R ，sinx ≥1 (C) p ： x ∈R ，sinx ＞1(D) p ： x ∈R ，sinx ＞11．4 充分条件、必要条件与命题的四种形式 例1．设集合 “a=1”是“A ∩B ≠ ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分又不必要条件例2．(1)条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴的截距的2倍”；条件q ：“直线l 的斜率是－2”，则p 是q 的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (2)“ ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的( ) (A)充分必要条件(B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件例3．下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是①p ：m ＜－2，或m ＞6；q ：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点 ② ；q ：y=f(x)是偶函数③p ：cos α=cos β； q ：tan α=tan β ④p ：A ∩B=A ； q ： UB UA (A)①②(B)②③(C)③④(D)①④例4．已知 p 是q 的充分不必要条件，则p 是 q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件第一章 集合与常用逻辑用语 1．1 集合的概念及其运算(1)例1分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“∈”与“ ”以及x 与{x}的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换．解：(1)选D ．“附近”不具有确定性．(2)选D ．(3)选B ．方法一： 故排除(A)、(C)，又 ，故排除(D)． 方法二：集合M 的元素 集合N 的元素．而2k ＋1为奇数，k ＋2为全体整数，因此M N ． 小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集3合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化．例2分析：本题是用{x ｜x ∈P}形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素x ∈N ．解：由题意可知(6－x)是8的正约数，所以(6－x)可以是1，2，4，8；可以的x 为2，4，5，即A={2，4，5}．∴A 的所有子集为 ，{2}，{4}，{5}，{2，4}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}．小结：一方面，用{x ｜x ∈P}形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；另一方面，含n(n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是： 个．例3分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题． 解：由题设知 ， 解之得，2≤m ＜3．小结：(1)要善于利用数轴解集合问题．(2)此类题常见错误是：遗漏“等号”或多“等号”，可通过验证“等号”问题避免犯错．(3)若去掉条件“B ≠ ”，则不要漏掉 A 的情况．例4*分析：要首先明确集合B 、C 的意义，并将其化简，再利用C B 建立关于a 的不等式． 解：∵A ＝[－1，a]， ∴B={y ｜y=3x －2，x ∈A}， B=[－5，3a －2](1)当－1≤a ＜0时，由C B ，得a2≤1≤3a －2无解； (2)当0≤a ＜1时，1≤3a －2，得a=1； (3)当a ≥1时，a2≤3a －2得1≤a ≤2 综上所述，实数a 的取值范围是[1，2]．小结：准确理解集合B 和C 的含义(分别表示函数y=3x －2，y=x2的值域，其中定义域为A)是解本题的关键．分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点．若结合图象分析，结果更易直观理解． 1．2 集合的概念及其运算(2)例1分析：注意本题含有求补、求交两种运算．求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律． 解：(1)方法一：∵ UM={b ，c}， UN={a ，c} ∴( UM)∩( UN)= ，答案选A 方法二：( UM)∩( UN)= U(M ∪N)= ∴答案选A方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化． ∴答案选A(2)同理可得答案选B小结：交、并、补有如下运算法则U(A ∩B)=( UA)∪( UB)；A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C)U(A ∪B)=( UA)∩( UB)；A ∪(B ∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C)例2分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断．解：∵阴影中任一元素x 有x ∈M ，且x ∈P ，但x S ，∴x ∈ US ．由交集、并集、补集的意义． ∴x ∈(M ∩P)∩( US)答案选D ．小结：灵活进行图形语言、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力．例3解：(1)由已知，集合A={－1，3}，∵A ∪B=A 得B A ∴分B= 和 两种情况． 当B ＝ 时，解得a=0； 当 时，解得a 的取值 综上可知a 的取值集合为 (2)由已知， ∵M ∩N=M M N 当N= 时，解得a=0；M={0} 即M ∩N ≠M ∴a=0舍去 当 时，解得综上可知a 的取值集合为{1，－1}．小结：(Ⅰ)要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(A ∩B) A ，(A ∩B) B ；(A ∪B) A ，(A ∪B) B ；A ∩ U A= ，A ∪ UA=U ；A ∩B=A A B ，A ∪B=B A B 等．(Ⅱ)要注意 是任何集合的子集．但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用．例4解：(1)方法一：由已知，得N －M={x ｜x ∈N ，且x M}={6}，∴选D 方法二：依已知画出图示 ∴选D ．(2)方法一：M －P 即为M 中除去M ∩P 的元素组成的集合，故M －(M －P)则为M 中除去不为M ∩P 的元素的集合，所以选B ．方法二：由图示可知M=(M ∩P)∪(M －P) 选B ．4方法三：计算(1)中N －(N －M)={2，3}，比较选项知选B ．小结：此题目的检测学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能力．事实证明，虽然这类问题内容新颖，又灵活多样，但其涉及的数学知识显得相对简单和基础，要勇于尝试解题．例5*解：假设这样的x 存在，∵ SA={0}，∴0∈S ，且｜2x －1｜∈S ．易知x3＋3x2＋2x ＝0，且｜2x －1｜=3， 解之得，x=－1．当x=－1时，S={1，3，0}，A={1，3}，符合题设条件．∴存在实数x=－1满足 S A={0}． 1．3 简单的逻辑联结词例1分析：逻辑联结词“或”“且”“非”可类比集合的“并”“交”“补”的关系． 解：①p 且q ②非p ③p 或q 真命题的序号为②③．小结：(1)逻辑联结词“或”“且”“非”可类比集合的“并”“交”“补”的关系A ∪B={x ｜x ∈A 或x ∈B}； A ∩B={x ｜x ∈A 且x ∈B}SA={x ｜x ∈S 且x A}(2)逻辑联结词“或”的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，另一是“可兼有”．数学书籍中一般采用后一种解释．即“或此或彼或兼”三种情形．注意“可兼有”并不意味“一定兼有”．例2分析：(1)四种命题的相互关系如下(2)命题的非命题即为命题的否定形式，不等于否命题．解：首先写出相应命题：①若关于x 的方程x2＋2x －k=0有实根，则k ＞0 ②若a ≤b ，则2a ≤2b －1； ③若A B ，则A ∪B ≠B ．④x ，y ∈R ，若x2＋y2=0，则x ，y 不全为0 分别判断知①若关于x 的方程x2＋2x －k=0有实根，则k ＞－1，故命题为假； ②取 ，命题不成立；③由互为逆否命题同真同假，故③可直接判断原命题，知命题为真；④由实数性质知，命题不成立．综上知真命题序号为③．小结：(1)互为逆否命题同真同假，故③可直接判断原命题，此种等价性常被认为是反证法理论基础，尽管此说法不完全对．(2)“若p 则q ”形式命题它的否定形式不等于否命题．否定形式是对命题结论的否定；否命题是将命题题设、结论分别否定．(3)一些基本逻辑关系式可类比集合运算律： ① (p ∨q)=( p)∧( q)…… U(A ∪B)=( UA)∩( UB) ② (p ∧q)=( p)∨( q) …… U (A ∩B)＝( UA)∪( UB)(其中“p ∨q ”表示“p 或q ”，“p ∧q ”表示“p 且q ”)． 例3分析：要分清命题的构成，准确了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．解：∵p 或q 为真，∴p 或q 中至少有一个为真． 又∵“p 且q ”为假，∴p 、q 中一真一假． 综上可知，答案为(D)．例4分析：存在性命题的否定命题与全称性命题的否定命题互为相反非命题．解：(1)命题p ：“存在x ∈A 使P(x)成立”， p 为：“对任意x ∈A ，有P(x)不成立”． 故命题p ：“有些三角形是等腰三角形”， 则 p 是“所有三角形不是等腰三角形”； 答案选C(2)命题p ：“任意x ∈A 使P(x)成立”， p 为：“存在x ∈A ，有P(x)不成立”．故命题p ： x ∈R ，sinx ≤1，则 p 为： x ∈R ，sinx ＞1； 答案选C1．4 充分条件、必要条件与命题的四种形式 例1分析：解此类题首先确定命题的前件与后件，可利用划出主谓宾的方法，即：“条件M ‖是条件N 的××条件．”得出M 是条件．即为命题前件、N 为后件，再分别判别． 解：“a=1”是条件，“A ∩B ≠ ”是结论． 由题意得A={x ｜－1＜x ＜1}，B={x ｜1－a ＜x ＜a ＋1}． (1)验证充分性由a ＝1得A={x ｜－1＜x ＜1}，B={x ｜0＜x ＜2}． 则A ∩B={x ｜0＜x ＜1}≠ 成立，即充分性成立． (2)验证必要性A ∩B ≠ ，取 满足，但是a ≠1，所以必要性不成立．5综合得“a=1”是：A ∩B ≠ 的充分非必要条件， 所以 答案选A ．例2分析：以几何素材为载体，考查充要条件，要注意几何问题中的特殊位置关系及其相对应的数量关系．解：(Ⅰ)条件p 中的截距为零时，斜率可以为任意值，故答案选B ；(Ⅱ)当 时，两直线斜率乘积为－1，从而可得两直线垂直；当m=－2时，两直线一条斜率为0，一条斜率不存在，但两直线仍然垂直．因此 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件． 故答案选B ；小结：解析几何中要注意一些特殊情况的数量关系问题．如截距相等要注意为0的特殊情况，对于两条直线垂直的充要条件分为①k1，k2都存在时，k1•k2=－1；②k1，k2中有一个不存在，另一个为零．类似情况，不要忽略，要注意积累．例3分析：本题以充要条件知识为载体，考查一元二次不等式知识、偶函数、集合及简单的三角知识． 解：①中：q 成立．则△=m2－4(m ＋3)＞0，解得m ＜－2，或m ＞6．可知①满足条件；②中：p 变形为f(－x)=f(x)．可知是y=f(x)是偶函数；反之，y=f(x)是偶函数时，f(x)可以为0．如y=x2(x ∈R)是偶函数，但是 不存在，即p 为q 的充分不必要条件；③中：p ：cos α=cos β不能推出q 成立．如： ∴p 成立，而q 不成立；反之q 成立不能推出p 成立．如： ∴q 成立，而p 不成立； ④中：p 成立，则A B ，q 成立； 同样，q 成立，则A B ，即p 成立 所以，p 是q 的充要条件． 所以答案选D小结：充要条件的判断，首先要理解条件和结论，其次掌握三种条件的定义及判别方法，同时要注意不同知识点的应用与渗透．例4分析：可以利用四种命题关系判断 解：依题意 p q ，且q p ，由联系四种命题可知“ p q ”为原命题真， ∴ q p 也为真(逆否命题)． 同理p q ．∴p 是 q 的必要不充分条件． 所以答案选B ．小结：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．。

专题01集合与常用逻辑用语、不等式

专题01集合与常用逻辑用语、不等式

专题01集合与常用逻辑用语、不等式一、单选题1．若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ） A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,92．若,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A ．12B ．0C ．52-D ．72-3．已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,54．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}15．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题7．已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B =I （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-8．已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >- C ．{}|34x x -<< D ．{}4x x <9．生物丰富度指数 1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N =。

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集合与常用逻辑用语、不等式试题一、选择1．设集合{}{}2|lg(3),|540A x y x B x x x ==-=-+<，则A B =（ B ）A ．∅B ．()3,4C ．()2,1-D ．()4.+∞2．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为( D ) A.0 B.1 C.2 D.43．已知集合{}6,5,4=P ，{}3,2,1=Q ，定义{}Q q P p q p x x Q P ∈∈-==⊕,,|，则集合Q P ⊕的所有真子集的个数为（ B ）A ．32B ．31C ．30D ．以上都不对4．已知)(,13)(R x x x f ∈+=，若a x f <-|4)(|的充分条件是b x <-|1|，)0,(>b a ，则b a ,之间的关系是 （ B ） A ．3ba ≤B ． 3a b ≤C ．3a b >D ．3b a >5．下列说法错误的是 （ C ） A ．命题“若x 2 — 3x +2＝0，则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2—3x +2≠0” B ．“x ＞1”，是“|x |>1”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题 D ．若命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”,则⌝p ：“∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0” 6．集合{1,0,1}A =-,A 的子集中,含有元素0的子集共有 ( B ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个7．设集合A={x|1≤x ≤2},B={x|x ≥a }.若A ⊆B 则a 的范围是( B )A. a <1B. a ≤1C. a <2D. a ≤2 8．已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x B y x y x A ，那么集合A B 为(D)A ．1,3-==y xB ．)1,3(-C ．{}1,3-D ．{})1,3(-9．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是( D ) A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 10．设,x y ∈R ，那么“0x y <<”是“1xy>”的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．已知直线22x y +=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值为（ A ）A ．12B ．2C ．3D ．31 12．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f )1(x>f (1)的实数x 的取值范围是 （ D ）A ．(－∞,1)B ．(1,+∞)C ．(－∞,0)∪(0,1)D ．(－∞,0)∪(1,+ ∞) 13．下列结论正确的是（ B ） A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时B ．10,2x x x >+≥当时C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当102,x x x<≤-时无最大值 14．已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则yx z +=22的最大值为（ B ）A ．8B ．16C ．32D ．64 15． 下列三个不等式中，恒成立的个数有( B ) ①12(0)x x x+≥≠; ②(0)c c a b c a b <>>>;③(,,0,)a m a a b m a b b m b+>><+。

A ．3B.2C.1D.016．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为 （B ）A ．1B ．2C ．3D ．417．不等式20ax x c -+>的解集为{|21}x x -<<，则函数2y ax x c =++的图象大致为（ C ）18．若不等式x a -<1成立的充分条件为04<<x ，则实数a 的取值范围为( )（A ）)3[∞+，（B ） [)1，+∞ （C ）(]-∞，3 （D ）]1(，-∞ 【答案】A19．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ D ）（A ）[1,4]（B ）[1,5]（C ）4[,4]5（D ）4[,5]5二、填空1．若全集U =Ｒ，集合A =｛2|430x x x ++>｝，B =｛3|log (2)1x x -≤｝，则()UC AB14. 答案：｛x |1-≤x 或2≥x ｝2．命题“,cos 1x x ∀∈≤R ”的否定是 . 【答案】,cos 1x R x ∃∈>3．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】[]0,14．当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 。

【答案】(]5，－－∞5．若变量x y ，满足23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z x y =+的最大值是【答案】26．设D 是不等式组21023041x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值是 .【答案】7．已知关于x 的不等式()()11ax x -+＜0的解集是1(,1)(,)2-∞--+∞.则a = . 【答案】—28．若实数x,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥+0422y x y x y x ，则y x 32+的最小值是_______【答案】4；9．已知函数3()1+2+(0)f x x x x=>在x =a 时取到最小值，则a =________． 答案:6210． 若{}n a 是等差数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有：()()()0p m n m n a n p a p m a -+-+-=，类比上述性质，相应地，对等比数列{}n b ，有 . 【答案】11．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．【答案】35，10 三、解答 1．（本小题满分12分）已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ，2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ，U [6,)=-+∞. （1）求A 和B ； （2）求A B ⋂、()U C A B ⋃.【答案】解：(1) 解220x x -++>得，12x -<<{|12}A x x ∴=-<< ……………………………………3分2222(1)11y x x x =-+=-+≥2{|22,}{|1}B y y x x x R y y ∴==-+∈=≥ ……………………………6分(2) 由（1）得，-1,2[1,[1,2)A B ⋂=⋂+∞（）)=……………………………8分 -1,2[1,(1,)A B ⋃=⋃+∞=-+∞（）)……………………………10分 所以，()[6,1]U C A B ⋃=--……………………………12分2．设A={x|x 2+ax+b=0},B={x|x 2+cx+15=0},又A B={3，5}，A∩B={3}，求实数a,b,c 的值. 解：∵A∩B={3},∴3∈B ，∴32+3c+15=0，∴c= -8.由方程x 2-8x+15=0解得x=3或x=5，∴B={3，5}.由A ⊆（A B ）={3，5}知， 3∈A ，5∉A （否则5∈A∩B ，与A∩B={3}矛盾） 故必有A={3}，∴方程x 2+ax+b=0有两相同的根3， 由韦达定理得3+3= -a ，3×3=b ，即a= -6,b=9，c= -8. 3．已知命题p ：113x --≤2，命题q ：x 2-2x+1-m 2≤0(m ＞0), 若¬p 是¬q 的充分不必要条件，试求实数m 的取值范围．答案：{m|0＜m≤3} 解析:由113x --≤2，得-2≤x≤10．∴ ¬p:A={x|x ＜-2或10＜x},由 x 2-2x+1-m 2≤0(m ＞0)得1-m≤x≤1+m ．¬q:B={x|x ＜1-m 或1+m ＜x,m ＞0}.∵¬p 是¬q 的充分非必要条件，且m ＞0，从而有集合A 是B 的真子集，必有m ＞0且1+m≤10且-2≤1-m ，解得0＜m≤3.故实数m 的取值范围是{m|0＜m≤3}4．设命题p ：{x|x 2-4ax+3a 2＜0}(a ＞0),命题q ：{x|x 2-x-6≤0,且x 2+2x-8＞0}(1)如果a=1，且p ∧q 为真时，求实数x 的取值范围； (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件时，求实数a 的取值范围. ¬解析：(1) 当a ＞0时， {x|x 2-4ax+3a 2＜0}={x|(x-3a)(x-a)＜0}={x|a ＜x ＜3a}，如果a=1时，则x 的取值范围是{x|1＜x ＜3}，而{x|x 2-x-6≤0,且x 2+2x-8＞0}={x|2＜x≤3}，因为p ∧q 为真，所以有{x|1＜x ＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x ＜3}.故实数x 的取值范围是{x|2＜x≤3}. (2) 若¬p 是¬q 的充分不必要条件，表明q 是p 的充分不必要条件.由(1)知，{x|2＜x≤3}是{x|a ＜x ＜3a}(a ＞0)的真子集，易知a≤2且3＜3a,解得{a|1＜a≤2}.故实数a 的取值范围是{a|1＜a≤2}.5．（本小题满分12分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。

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