分期付款在数学中的应用

分期付款在数学中的应用

尚伟伟

长期以来，攒钱买东西一直是我们祖辈们的生活消费方式。现在，随着社会的进步，一种全新的消费方式已被广大群众所接受，那就是分期付款购房购车等。分期付款这种运作方式在今天的商业活动中，应用日益广泛，哪些实际问题采用分期付款比较划算？在分期付款的多种方案中，哪种方案最佳？商家采用的分期付款和课本中介绍的分期付款到底有多大的距离？实际问题中的分期付款是否只有复利计算。带着这些问题，我走访了一些相关人员进行了为期两周的调查研究。

一、分期付款的概念

分期付款有三个概念：一、分期付款：买方支付一笔定金或首付款后，其余款额在一段时间内付清。二、按揭付款：即购房抵押贷款，是购房者以所购房屋之产权作抵押，向银行分期支付本息的付款方式。三、一次还款：在贷款期限终了时，由借款人一次性付清本息，计算时间以天为单位。分期付款涉及面比较广，如购房、购车、购笔记本电脑，购手机及其它大件商品。

二、消费者的选择

“花明天的钱，圆今天的梦”，形容的就是分期付款中的贷款消费。在购买住房，轿车等商品时，一次性付款会超出许多居民的支付能力。绝大多数人愿意采用分期付款的方式购房，价格、环境、交通、位置是居民购房时要考虑的四大主要因素。对于如何支付高额的购房费用，48.3％的人希望选择十年分期付款，40％的人希望选择二十年分期付款，11.7％的人希望选择一次付性。这说明多数人已经认可分期付款的购房方式。

三、分期付款的方式

分期付款有多种方式，如果手头没有足够资金支付房款，但却有一定的支付潜力，选择分期付款方式较好。分期付款一般情况下是在购买期房时采用。购房

人支付首期款时与开发商签订正式的房屋买卖契约，房屋交付使用时，交齐全部房款，办理产权过户。

对于有稳定收入，有能力按时还款的人而言，按揭贷款是更为合理的一种付款方式，也是当前市场使用最多的付款方式。按揭贷在分期付款的基础上解决了需要在短时间内筹集大量资金的困难，将大笔资金分期为长期小额资金还贷。

四、分期付款的计算与数学知识的结合

在分期付款中还要了解分期付款的有关计算。

1. 复利

复利：当期利息计入下期本金，即每期都从上期本息和作为计息基础。例如：在日常生活中，商家为了促销，便于顾客购买一些售价较高的商品，常采用分期付款的方式出售.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款，商家要求，在一年内将款全部付清.

注：规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。

方案1：每期付款额

x=≈1775.8(元)、

付款总额为1775.8×3≈5327(元)，比一次性付款多付327（元）.

方案2：每期付款额

x=≈438.6(元)

付款总额为：438.6×12≈5263(元)，比一次性付款多付263（元）

下面再对一般性问题进行探究.购买一件售价为a元的商品，采用上述分期付款时，要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n(n是m的约数）次付

款，那么每次付款的计算公式是多少？由同学们推导得出每次付款额x的计算公式x=

上面对复利计算分期付款的多种方案进行了探究，从中明确了：（1）每月的利息均按复利计算；（2）每期的付款额相同；（3）计算时，商品售价和每期付款额到款全部付清时都应增值；（4）增值后的付款总额与售价增值相等，是列方程的依据。.

除了复利计算分期付款，还可以采用其他方式，而我们国家的银行多采取单利。

2.单利.

单利：每期都按初始本金计算利息，每期利息不计入下期本金。单利的还款方式又分为等额本金还款法和等额本息还款法。

(1).等额本金还款法（简称等额法）：也称递减法，因为购房者每月所还贷款本金相同，每还一次款，下次的贷款利息便因本金减少而减少，因此每期还贷款本息是逐期递减的。这种方法的每月本金相同,第一个月还款额最高，以后逐月减少.

每月还款额 =贷款本金/n+（贷款本金-累计已还本金）×月利率

即 n表示还款期数表示还款次数

假设总贷款额为a元按n个月还清，月利率为P，则每个月的付款为本金a/n 元，加上当月剩余金额在这个月的利息,则

第一个月付：a/ n+ap(元)

第二个月付：a/ n + ( a- a/n ) p(元)

第三个月付：a/ n+ ( a-2 a/n ) p (元)

第k个月付：a/ n + [ a- (k-1)a/n ] p (元)

依上易知，各月的付款额为等差数列，即以a/ n+ap为首项，-ap/n为公差的等差数列

从而总还款额为：a+1/2(n+1)ap (元)

举例说明：假设总货款是12000元，按12个月分期，月利率为5.3625‰，则所付总金额为12000+ 1/2（12+1）×12000×0.0053625=12418.2749元又如：向工商银行贷款50000元，10年还清月利息是4.2‰.则所付总金额为：

50000+1/2（160+1）×50000×0.0042=66905元

(2).等额本息还款法（简称等本法）：每月本金加利息总额固定, 按照贷款期限把贷款本息平均分为若干个等份，每个月还款本息合计数相同。这种方法便于购房者对资金的规划；

假设总贷款额为a元按n个月还清，月利率为P

则表示每月还款额m为: ( a+apn ) / n

总还款额S为：S = n m = a+apn

举例说明：向建设银行贷款50000元，10年还清月利息是4.2‰，则每月的还款额为：

=626.67元

则还款总额为：75200 元

(3).两种还款方法的比较：

例如：向两家银行各贷款50000元，10年还清。目前，中国人民银行对贷款的利率规定：5年以上（包含5年）的月利率是4.2‰ , 5年以下的月利率是3.75‰．通过前面的计算知：

等额本息还款法比等额本金还款法多： 75200-66905=8295元.

等额本金还款法和等额本息还款法是目前用得最多的两种方法。不难验证，贷款越多，还款期限越长，等额本息还款法比等额本金还款法多还更多的钱。但是等额本息还款法比等额本金还款法再开始还款时，贷款人的负担要轻松些。

五、分期付款的意义

随着我国国民经济的飞速发展，分期付款的消费方式将受到

消费者的广泛重视。一方面，就买主而言，只需要支付少量资金（第一次分期金），就可以从销售者手中得到价值数倍乃至数十倍的商品而即时加以使用，这实际上就增强了消费者的购买力，解决了消费者的需求与实际购买力之间的矛盾，同时也就大大地刺激了消费者的购买欲望；另一方面，就销售者而言，由于消费者购