线线线面面面角的问题

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专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【知识梳理】（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅=n n n n θ．（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅=n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||nn⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n （6）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（7）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为PA n d PA cos PA,n n⋅=〈〉=．【专题过关】【考点目录】考点1：异面直线所成角考点2：线面角考点3：二面角考点4：点到直线的距离考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离考点6：异面直线的距离【典型例题】考点1：异面直线所成角1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A 33B ．36C ．63D ．66【答案】B【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选：B.2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B 2C ．12-D ．2【答案】A【解析】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，1cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅==-⨯.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．3210B ．3210-C ．24D 5【答案】A【解析】因为111ABC A B C -为直三棱柱，且90ACB ∠=︒，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()110,4,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3B C C A ，所以()()110,4,3,3,0,3BC AC =-=--，115,992BC A C ==+设1BC 与1AC 所成角为θ，所以11932cos cos ,532BC A Cθ-===⨯.则1BC 与1AC 32故选：A.4．（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()1,0,2a =-，()0,2,1b =，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（）A ．25-B ．25C ．255-D 255【答案】B【解析】由题，()22125a =+-=，22215b =+=，则22cos 555a b a bθ⋅-==⋅⋅，故选：B5．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥平面ABCD ，线段,AB SC 的中点分别为E ，F ，若异面直线EC 与BF 5SD =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】如图示，以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设(),0SD t t =>.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,S t ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，10,,22t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以11,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,22t BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为异面直线EC 与BF 55211054cos ,1111444EC BF EC BF EC BFt -+==⨯+⨯++，解得：t =2.即SD =2.故选：C6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，2AD =则异面直线CD 与BM 所成角的大小为___________.【答案】3π【解析】由题知，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD 所以DA 、DC 、DS 两两垂直故以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为2DC SD ==，2AD =，点M 是侧棱SC 的中点，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，)2,2,0B ，()0,0,2S ，()0,1,1M 所以()0,2,0DC =，()2,1,1BM =--设异面直线CD 与BM 所成角为θ则21cos 22211DC BM DC BMθ⋅-===⨯++⋅因为异面直线的夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦所以3πθ=故答案为：3π.7．（2021·广东·江门市广雅中学高二期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所10BD 的长为_______.【答案】【解析】如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()1,2,0,1,22EF BD t ⎫==+⎪⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos ||||EF BD EF BD θ⋅==22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以BD ==故答案为：8．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）如图，在正四棱锥V ABCD -中， E 为BC 的中点，2AB AV ==.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为余弦值为216，则VF VA =________.【答案】23【解析】连接AC 、BD 交于点O ，则AC BD ⊥，因为四棱锥V ABCD -为正四棱锥，故VO ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则)A、E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、(V、()B ，设),0,VF VA λλ===-，其中01λ≤≤，(0,BV =，则)),1BF BV VF λ=+=-，22,22VE ⎛=- ⎝，由已知可得21cos ,6BF VE BF VE BF VE ⋅<>==⋅，整理可得2620λλ--=，因为01λ≤≤，解得23λ=，即23VF VA =.故答案为：23考点2：线面角9．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【解析】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ．所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥，因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B （2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则1x =-，0y =，所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ，则1111sin cos ,2A B n A B n A B nθ⋅===⋅．因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°．10．（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F．(1)求证：1A C ⊥平面BED ；(2)求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．【解析】（1）连接AC ，因为1111ABCD AB C D -是正四棱柱，即底面为正方形，则BD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD AA ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，故BD ⊥平面1A AC ，而1AC ⊂平面1A AC ，则1BD AC ⊥，同理得1BE AC ⊥，又BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ；（2）以DA 、DC 、1DD 分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则()2,2,0B ，()()12,0,4,0,2,0A C ，∴()10,2,4A B =-，()12,2,4AC =--，由题可知()12,2,4AC =--为平面BDE 的一个法向量，设1A B 与平面BDE 所成的角为α，则1130sin cos 62024,C A B A α==⋅，即1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值为306.11．（2021·河北唐山·高二期中）如图（1），△BCD 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACD ＝45°，AB ＝2AD ，E 是BD 的中点，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）．(1)求证：AB⊥CD；(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；(2)由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，12），∴A E＝10,1,2⎛⎫,⎪⎝⎭BC＝(120),BE,-,＝10,1,2⎛⎫-,⎪⎝⎭设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），由20102BC n x yn BE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y＝1，得x＝2，z＝2，则n＝（2，1，2），……设直线AE与平面BCE所成角为θ，则245 sin|cos,|15532AE nθ==⨯故直线AE与平面BCE4512．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点.(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)求直线AP 与平面AEC 所成角的正弦值.【解析】（1）因AD ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，则AD ⊥PB ，又PA =AB =2，E 是PB 的中点，则有AE ⊥PB ，而AE AD A =，,AE AD ⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE .（2）因AD ⊥平面ABP ，∠PAB =90°，则直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(1,0,1),(0,0,2),(2,1,0)A E P C ，(1,0,1),(2,1,0),(0,0,2)AE AC AP ===，令平面AEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则020n AE x z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =-，得(121)n ,,=-，令直线AP 与平面AEC 所成角的大小为θ，则||26sin |cos ,|||||62n AP n AP n AP θ⋅=〈〉==⨯所以直线AP 与平面AEC 613．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2PA AB BC ===，1AD =，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点．(1)求证：AM ∥平面PCD ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0A B C ,()()()1,0,0,0,0,2,0,1,1D P M ,则()()0,1,1,1,0,2AM PD ==-,()1,2,0CD =--,设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =r,则2020n PD x z n CD x y ⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩,令1z =,则2,1x y ==-,则平面PCD 的一个法向量为()2,1,1n =-,0110,n AM n AM∴⋅=-+=∴⊥//AM ∴平面PCD（2）由（1）得3,1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,0,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线MN 与平面PCD 所成角为θ.sin cos ,n MN MN n n MNθ⋅∴==⋅39=∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为27839.14．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,//AB AD BC AD ⊥，点M 是棱PD 上一点，且满足2,4AB BC AD PA ====．(1)求二面角A CD P --的正弦值；(2)若直线AM 与平面PCD所成角的正弦值为3，求MD 的长．【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，(2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =，又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，cos ,3m n m n m n⋅〈〉=，故二面角A CD P --3=．(2)设MD PD λ=（01λ≤≤），(0,4,4)MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，∴(0,4,44)AM λλ=-，由（1）得平面PCD 法向量(1,1,1)n =，且直线AM 与平面PCD∴6cos ,3AM n AM n AM n⋅〈〉==，解得12λ=，即12=MD PD ，又PD 12==MD PD 15．（2022·北京市第十二中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 的中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)若1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，F 为棱PB 上一点，DF 与平面BDE 所成角的大小为30°，求PFPB的值．【解析】(1)如图，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为M 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以//PA EM 又ME ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE(2)因为1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,,,222D A B P C E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()111,,,0,1,0222DE DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，故取()1,0,1n =，设(01)PF PB λλ=<<，则()()0,,1,0,,1F DF λλλλ-=-因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30，所以1sin302DF n DF n⋅==12=解得12λ=，故此时12PF PB =.16．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AD ==，AD PC ⊥，点E 在线段PC 上（不与端点重合），30PCD ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面PCD ；(2)是否存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30°？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，且CDPC C =，CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，根据线面垂直的判定定理，可得AD ⊥平面PCD .(2)在平面PCD 中，过点D 作DF CD ⊥交PC 于点F .由（1）知AD ⊥平面PCD ，所以AD DF ⊥，又由AD DC ⊥，以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()(0,0,0),2,0,0D A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，设PEEC λ=，则PE EC λ=，所以212,,11AE AP PE λλλ⎛⎫-=+=- ++⎝⎭，()2,0,0AD =-，(2,3,PB =uu r设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，则2120120AE n x y AD n x λλ⎧-⋅=-++=⎪⎨+⎪⋅=-=⎩，取y =0,12x z λ==-，所以平面ADE的一个法向量()2n λ=-，因为直线PB 与平面ADE 所成角为30，所以1sin 30cos ,2PB n ︒==，解得5λ=±综上可得，存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30，且5PEEC=±考点3：二面角17．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AB 的中点，1B C 交1BC 于点E ，AC BC ⊥，1CA CB CC ==.(1)求证：DE ∥平面11AAC C ；(2)求平面1AB C 与平面11A B C 的夹角的余弦值.【解析】（1）证明：因为111ABC A B C -为三棱柱，所以平面11BCC B 是平行四边形，又1B C 交1BC 于点E ，所以E 是1B C 的中点．又D 为1AB 的中点，所以//DE AC ，又AC ⊂平面11AAC C ，DE ⊂/平面11AAC C ，所以//DE 平面11AAC C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，又AC BC ⊥，所以11C A 、11C B 、1C C 两两互相垂直，所以以1C 为坐标原点，分别以11C A 、11C B 、1C C 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，如图所示．设11CA CB CC ===，则1(0,0,0)C ，1(1,0,0)A ，1(0,1,0)B ，(1,0,1)A ，(0,0,1)C ，所以1(1,1,1)AB =--，(1,0,0)=-AC ，11(1,1,0)=-A B ，1(1,0,1)AC =-．设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y z x -+-=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，则(0,1,1)n =，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则(1,1,1)m =．所以cos ||||m n m n m n ⋅〈⋅〉===⋅所以平面1AB C 与平面11A B C18．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且1,2OA OB OC ===，E 是OC的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求二面角A BE C --的正弦值．【解析】（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,0E .()()()2,0,00,1,02,1,0EB =-=-，()0,2,1AC =-.2cos 5EB AC =-，.由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25.（2）()()2,0,10,1,1AB AE =-=-，.设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，则由11n AB n AE ⊥⊥，，得200x z y z -=⎧⎨-=⎩，取()11,2,2n =.由题意可得，平面BEC 为xOy 平面，则其一个法向量为()20,0,1n =u u r，1212122cos 3n n n n n n ⋅===⋅，，则12sin 3n n =，，即二面角A BE C --的正弦值为3．19．（2021·福建·厦门一中高二期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB =，2BC =，4ABC π∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动．(1)当AE DM ⊥时，求点M 的位置；(2)在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）2AB =2AD BC ==，4ABC π∠=，∴222cos 2AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠∴222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥，又AF AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，所以以AB ，AC ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1),(0,0,1)A B C D E F-，设(0,,1),02M y y 则2,1)AE =，(2,2,1)DM y =-AE DM ⊥，∴2(2)10AE DM y ⋅=-+=，解得22y =，∴12FM FE =．∴当AE DM ⊥时，点M 为EF 的中点．（2）由（1）可得(2,,1)2BM =，(BC =设平面MBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111112020m BM y z m BC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取12y =，则m =，易知平面ECD 的一个法向量为(0,1,0)n =，∴cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>=⋅∴平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为105．20．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））如图，直角三角形ABC 中，60BAC ∠=，点F 在斜边AB 上，且4AB AF =，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，3AD =，4AC BE ==．(1)求证：DF ⊥平面CEF ；(2)点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为25，求CM 的长度．【解析】（1）90ACB ∠=，60BAC ∠=，4AC =，8AB ∴=，又4AB AF =，2AF ∴=；2222cos 2016cos6012CF AC AF AC AF BAC ∴=+-⋅∠=-=，解得：CF =，222AF CF AC ∴+=，则AF CF ⊥；DA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，CF AD ∴⊥；又,AF AD ⊂平面ADF ，AFA AD =，CF ∴⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，DF CF ∴⊥；连接ED ，在四边形ABED 中，作DH BE ⊥，垂足为H，如下图所示，DF ==EF ==，DE =222DF EF DE ∴+=，则DF EF ^；,CF EF ⊂平面CEF ，CF EF F ⋂=，DF ⊥∴平面CEF .（2）以C 为坐标原点，,CA CB 正方向为,x y 轴，以BE 的平行线为z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设CM m =，则()0,,0M m ，()0,0,0C ，()4,0,3D，()F ，()4,,3MD m ∴=-，()4,0,3CD =，()1,FD =，设平面DMF 的法向量(),,n x y z =，则43030MD n x my z FD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9y =，解得：3x m =-z m =，()3n m m ∴=--；设平面CDM 的法向量(),,m a b c =，则430430CD m a c MD m a mb c ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令3a =，解得：0b =，4c =-，()3,0,4m ∴=-；二面角F DM C --的余弦值为25，2cos ,5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，25=，((()222134381m m m ⎡⎤∴-=-++⎢⎥⎣⎦，解得：m；当m F DM C --为钝二面角，不合题意；则二面角F DM C --的余弦值为25时，CM =21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中P ABCD -，2AB DC=，0AB BC ⋅=，AP BD ⊥，且AP DP DC BC ====(1)求证：平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)已知点E 是线段BP 上的动点（不与点P ､B 重合），若使二面角E AD P --的大小为4π，试确定点E 的位置.【解析】(1)连接BD ，由2AB DC =，0AB BC ⋅=知242,//,AB DC AB DC CD BC ==⊥，在Rt BCD 中，22216,4BD CD BC BD =+==，设AB 的中点为Q ，连接DQ ，则//,CD QB QB CD =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，又,CD BC DC BC ⊥=，所以四边形BCDQ 为正方形，所以,22DQ AB DQ AQ ⊥==Rt AQD 中，22216AD AQ DQ =+=，在Rt ABD 中，222161632AD BD AB +=+==，所以AD BD ⊥，又,AP BD AP AD A ⊥⋂=，,AP AD ⊂平面ADP ，所以BD ⊥平面ADP ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)在APD △中，2228816AP PD AD +=+==，所以AP PD ⊥，在Rt APD 中，过点P 作PF AD ⊥，垂足为F ，因为PA PD =，所以F 为AD 中点，所以2PF DF ==，由（1）得BD ⊥平面ADP ，PF ⊂平面ADP ，则BD PF ⊥，,AD BD ⊂平面ABCD ，ADBD D =，则PF ⊥平面ABCD .以D 为原点，分别以,DA DB 所在直线为,x y 轴，以过点D 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(2,0,2),(4,0,0),(2,4,2)D A B P DA PB ==--，设()(2,4,2),0,1PE PB λλλλλ==--∈，则(22,4,22)DE DP PE λλλ=+=--，易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，设平面EAD 的法向量为(,,)n x y z =，则()()40224220n DA x n DE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，则1(0,,1)2n λλ-=，所以221cos ,cos 4211m n m n m nλπλλλ⋅-===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，即2122521λλλ-=-+，即23210λλ+-=，解得1λ=-（舍）或13λ=，所以，当点E 在线段BP 上满足13PE PB =时，使二面角E AD P --的大小为4π.22．（2021·湖北十堰·高二期中）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，//,2,4,23AN BM AB AN BM CN ====(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM 上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为33，若存在求出CE EM 的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)正方形ABCD 中，BC AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD平面,ABMN AB BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABMN ，所以BC BM ⊥，且BC BN ⊥，2,23BC CN ==所以2222BN CN BC -，又因为2AB AN ==，所以222BN AB AN =+，所以AN AB ⊥，又因为AN //BM ，所以BM AB ⊥，BC BA B =，所以BM ⊥平面ABCD .(2)由（1）知，BM ⊥平面,ABCD BM AB ⊥，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,4,0B C N M 设点(),,,,E x y z CE CM λ=[0,λ∈1]，则()(),,20,4,2x y z λ-=-，所以0422x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以()0,4,22E λλ-，所以()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z =，()2204220m x y m y z λλ⋅=+=⎧∴⎨⋅=+-=⎩令1x =，所以21,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1m λλ=--，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，所以cos ,BC m BC m BC m⋅=⋅3==即2642λλ=-+，即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），则存在一点E ，且12CE EM =.考点4：点到直线的距离23．（2021·云南大理·高二期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 6C ．118D ．224【答案】B 【解析】因为AB BC =，且ABC 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC ，BA 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故点F到直线AC 的距离2221136144422AF AF AC AC d ⎛⎫⋅⎛⎫⎪=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故点F 到直线AC 的距离是6424．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）已知直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为（）A ．230B 30C 3010D 305【答案】D【解析】由已知得(1,1,1)PA =---，因为直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，所以点()1,2,2P 到直线l 的距离为2222212930335512PA n PA n ⎛⎫⎛⎫⋅-----= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：D25．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCD A B C D -的项点()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,4,2C =，则点1A 与直线1BC 之间的距离为（）A ．B ．2C ．125D ．52【答案】A【解析】如图，由题意知，建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(200)(240)(042)D A B C ，，，，，，，，，，，，则1422AB BC CC ===，，，连接111A B AC ，，所以1111A B A C BC ===得11A BC V 是等腰三角形，取1BC 的中点O ，连接1OA ，则1OA ⊥1BC ，即点1A 到直线1BC 的距离为1OA ，在1Rt A OB 中，有1OA ==故选：A26．（2021·北京市昌平区第二中学高二期中）已知空间中三点(1,0,0)A -，(0,1,1)B -，(2,1,2)C --，则点C 到直线AB 的距离为（）A B C D 【答案】A【解析】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=-则点C 到直线AB 的距离为63d =故选：A27．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.【答案】5【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--，因点P 在线段1D E 上，则[0,1]λ∈，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--，(22,4,4)CP CE EP λλλ=+=--，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==，而||CP =，则点Р到直线1CC的距离4525h =，当且仅当15λ=时取“=”，所以点Р到直线1CC的距离的最小值为5.28．（2022·福建龙岩·高二期中）直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，且l 过点()1,1,1A -，则点()0,1,1P -到l 的距离为___________.【解析】(1,0,2)AP =-，直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，由题意得点P 到l的距离d =29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________.【答案】3【解析】如图，以D 为原点建系，则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--，则111111cos ,3A O A E A O A E A O A E⋅==，又[]11,0,A O A E π∈，所以111sin ,3A O A E =，所以点O 到直线1A E的距离为1111sin ,33A O A O A E ==.故答案为：23.考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离30．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .（2）()=0,2,0AB ，则点B 到平面ACF 的距离为43AB nn⋅=.31．（2022·江苏·2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则点D 到平面ABC 的距离为______．【答案】33【解析】记AC 与BD 的交点为O ，图1中，由正方形性质可知AC BD ⊥，所以在图2中，,OB AC OD AC ⊥⊥，所以2BOD π∠=，即OB OD⊥如图建立空间直角坐标系，易知1OA OB OC OD ====则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -则(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0)AB AC BD =--=-=设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00AB n y z AC n x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-所以点D 到平面ABC 的距离22333BD n d n⋅===故答案为：23332．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面11B D EF 的距离为______．【答案】1【解析】以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1A ，()11,1,0B ，10,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,0D ，设平面11B D EF 的法向量(),,m x y z =，则有1111020m D E y z m D B x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2y =得：2,1x z =-=-，故()2,2,1m =--，其中()10,1,1AB =-，则点A 到平面11B D EF 的距离为11AB m d m⋅===故答案为：133．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离是________.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()11,0,1B 、()1,1,0C 、()0,1,0D 、()10,0,1A 、()11,1,1C ，设平面1AB C 的法向量为()111,,m x y z =，()11,0,1AB =，()1,1,0AC =，由1111100m AB x z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =--，设平面11AC D 的法向量为()222,,n x y z =，()10,1,1DA =-，()11,0,1DC =，由12212200n DA y z n DC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1n =--r ，因为m n =，平面1AB C 与平面11AC D 不重合，故平面1//AB C 平面11AC D ，()0,1,0AD =uuu r ，所以，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离为1333AD m d m⋅==故答案为：33.34．（多选题）（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11AC 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BE 255B ．点O 到平面11ABCD 的距离是24C ．平面1A BD 与平面11B CD 3D ．点P 到直线AD 的距离为56【答案】ABCD【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，()10,1,1D ，1,0,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(1,0,0),,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，25sin 5θ==．故A 到直线BE的距离1||sin 1d BA θ===，故选项A 正确．易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211||224||DA C O d DA ⋅===，故选项B 正确．1111(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0)A B A D A D =-=-=．设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1,1y x ==，所以(1,1,1)n =．所以点1D 到平面1A BD的距离113||||A D n d n ⋅===因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为3.故选项C 正确．因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离56d ==.故选项D 正确．故选：ABCD.考点6：异面直线的距离35．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）如图正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =.动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x yy z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min 23DA n PQ n⋅==.故选：B .36．（2021·辽宁沈阳·高二期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（）A 5B 7C 6D ．67【答案】D【解析】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ，则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =，67AB n d n⋅∴==.故选：D.37．（2021·上海交大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1AC 的距离为___________.【答案】【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由1(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,0,4)A B C A ，则1(0,4,0),(4,4,4)AB CA ==-，1(0,0,4)AA =设(,,)m x y z =是异面直线AB 和1AC 的公垂线的一个方向向量，则1404440m AB y m CA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则(1,0,1)m =-，所以异面直线AB 和1AC的距离为1AA m m ⋅==故答案为：38．（2021·广东·广州市第二中学高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==.（1）求证：平面GEF ⊥平面PBC ；（2）求证：EG 是直线PG 与BC 的公垂线；（3）求异面直线PG 与BC 的距离.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,1,0,0,2,1,1,1,0A B C F E G ，()1,0,0GF =-，0,0GF PC GF PB ⋅=⋅=，所以,,GF PC GF PB PC PB P ⊥⊥⋂=，所以GF ⊥平面PBC ，由于GF ⊂平面GEF ，所以平面GEF ⊥平面PBC .（2）()()1,1,1,0,3,3EG BC =--=-，0,0EG PG EG BC ⋅=⋅=，所以EG 是直线PG 与BC 的公垂线.（3）2221113EG =++=所以异面直线PG 与BC39．（2021·全国·高二期中）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值；（2）求异面直线PB 与CD 之间的距离．【解析】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，且PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面PAB 的一个法向量．易知()()1,1,2,0,2,2PC PD =-=-uu u r uu u r ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,220,x y y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =解得1,1z x ==．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,AD m AD m AD m⋅==uuu r u r uuu r u r uuu r u r PAB 与平面PCD 所成夹角为锐角所以平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值为33．（2）()1,0,2BP =-，设Q 为直线PB 上一点，且(),0,2BQ BP λλλ==-，因为()0,1,0CB =-，所以(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()1,1,0CD =-，所以点Q 到直线CD 的距离()22cos d CQ CQ CQ CD =-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r===，因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，所以23d≥，所以异面直线PB与CD之间的距离为2 3．。

线线角线面角面面角的范围

线线角线面角面面角的范围
线、线段和射线是在平面几何中常见的几何对象。

线是无限延伸的物体，没有起始点和结束点，而线段是有两个端点的有限长度的物体。

射线则是由始点开始，向一个方向无限延伸，没有结束点。

在平面几何中，有许多重要的定义和性质与线、线段和射线相关。

在线、线段和射线的范围中，我们还有相互夹角的问题。

线段和射线之间的夹角就是两者的交点的角度。

线、线段和射线之间的夹角可以分为两种类型：锐角和钝角。

锐角是小于90度的角度，而钝角则是大于90度的角度。

对于两条相交的线，它们之间的夹角可以是锐角、直角或钝角。

另一个重要的概念是面和角。

在平面几何中，面是二维对象，通常表示为平面图形，如三角形、四边形等。

角是由两条射线或线段分界的平面区域。

我们可以通过它所包含的角度来描述角的大小。

角可以分为几个类型，包括锐角、直角、钝角和平角。

锐角是小于90度的角度，直角是90度角度，钝角是大于90度的角度，平角则是等于180度的角度。

我们可以通过不同组合定义的线、线段、射线、面和角来解决许多几何问题。

例如，一个三角形可以由三个线段构成，而三角形的三个内角则构成了封闭图形。

同样，在圆形上，一个角可以被定义为两条切线之间的角。

总结：线、线段和射线是平面几何中最基本、最重要的几何对象。

角和面是由线、线段和射线构成的二维对象。

它们之间的关系和性质非常广泛，通过它们我们可以解决许多不同的几何问题。

不断研究它们之间的关系和性质是学习平面几何最基础的一步。

高中数学空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路

DBA C α空间中线线角，线面角，面面角成法原理与求法思路空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠））2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明： PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

线线角、线面角、面面角(解析版)

一、选择题(共8小题,每小题5.0分,共40分)1.有下列结论：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条3.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC 所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°4.两平行平面之间的距离等于12，一直线与它们相交且夹在两平面间的线段长等于24，则该直线与这两个平行平面所成的角等于()A．90°B．60°C．45°D．30°5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°6.在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l －β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°分卷II二、填空题(共6小题,每小题5.0分,共30分)7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．8.直线l与平面α所成的角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________．9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.三、解答题(共3小题,每小题12.0分,共36分)10.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ACEF所在平面垂直．(1)求证：BD⊥平面ACEF；(2)求直线DE与平面ACEF所成角的正弦值．11.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)是否存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．12.a，b为异面直线，且a，b所成角为40°，直线c与a，b均异面，且所成角均为θ，若这样的c 共有四条，则θ的范围为________．13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2CD，E为PB的中点．(1)证明：CE⊥AB；(2)若二面角P－CD－A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；(3)若AB＝kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．答案解析1.【答案】B【解析】由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①错误，易知②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．故选B.2.【答案】A【解析】如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．3.【答案】B【解析】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.∵E，F分别是为CD，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝12AC，EG＝12BD.又∵AC＝BD，∴FG＝EG，∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.4.【答案】D【解析】设该直线与这两个平行平面所成角为α，∵两平行平面之间的距离等于12，一直线与它们相交且夹在两平面间的线段长等于24，∴sinα＝1224＝12.∴α＝30°故选D.5.【答案】C【解析】由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.6.【答案】C【解析】由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.6.【答案】D【解析】如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.7.【答案】45°30°90°【解析】(1)由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)连接A1D、AD1、BC1，A1D∩AD1＝O，则易证A1D⊥平面ABC1D1，所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO，∵A1O＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.8.【答案】[30°，90°]【解析】直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°.9.【答案】1【解析】∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.10.【答案】(1)证明∵ACEF为正方形，∴AF⊥AC，又∵平面ABCD⊥平面ACEF，且平面ABCD∩平面ACEF＝AC，∴AF⊥平面ABCD，即AF⊥BD，又AC⊥BD，AC∩AF＝A，∴BD⊥平面ACEF.(2)解设AC∩BD＝O，连接OE，则由(1)知，∠OED为直线DE与平面ACEF所成的角．设正方形ABCD的边长为2，则OC＝OD＝2，CE＝AC＝22，DE＝DC2+CE2＝23，＝∴sin∠OED＝ODDE∴直线DE与平面ACEF【解析】11.【答案】(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角．12.【答案】70°，90°【解析】设平面α上两条直线m ，n 分别满足m ∥a ，n ∥b ，则m ，n 相交，且夹角为40°，若直线c 与a ，b 均异面，且所成角均为θ，则直线c 与m ，n 所成角均为θ，当0°≤θ＜20°时，不存在这样的直线c ，当θ＝20°时，这样的c 只有一条，当20°＜θ＜70°时，这样的c 有两条，当θ＝70°时，这样的c 有三条，当70°＜θ＜90°时，这样的c 有四条，当θ＝90°时，这样的c 只有一条，故答案为70°，90°.13.【答案】(1)证明取AB 的中点F ，连接EF 、FC ，则EF ∥PA ，CF ∥AD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，∵AB ⊂平面ABCD ，∴EF ⊥AB ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥CF ，∵EF ⊂平面EFC ，CF ⊂平面EFC ，∴AB ⊥平面EFC ，∵CE ⊂平面EFC ，∴CE ⊥AB .(2)解∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ，∴∠PDA 为二面角P －CD －A 的平面角，∴∠PDA ＝60°，∴PA ＝3AD ，∵AB ＝AD ＝2CD ，∴PA ＝3AB ＝3AD ，由(1)知，∠CEF 为CE 与平面PAB 所成的角，∵tan ∠CEF ＝CF EF ＝AD EF ＝∴直线CE与平面PAB(3)解过P作PG∥CD，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AB，PA⊥PG，由BA⊥平面PAD，得CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，PG⊥PD，∴∠APD为所求锐二面角的平面角，∴cos∠APD＝PA＝PD。

浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式及其中蕴含的数学基本思想

浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式北京市顺义区第九中学101300高中阶段在学习空间线、面位置关系的时候，会给出线线角、线面角及面面角的定义，本文以角形成的定义方式及蕴含的基本思想为主，进行研究。

1、直线与直线所成的角：（1）共面：同一平面内的两直线所成角，是利用两直线位置关系，平行、重合所成角为0度，如果相交就取交线所构成的锐角（或直角）。

（2）异面：如图所示，已知两条异面直线a和b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。

θ定义方式：是发生定义法（即构造定义方式）定义中的“空间中任取一点O”，意味着：角的大小与O 点选取的位置无关；通过平移把异面直线所成角转化成两相交直线，是将空间图形问题转化成平面图形问题的定义方式，体现了定义的纯粹性和完备性。

2、直线和平面所成的角：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。

3、面面所成的角：(1)在二面角的棱l上任取一点O，以该点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角称为二面角的平面角.( 2)作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．4、线线、线面、面面所成角的定义方式线线、线面、面面所成角的定义方式是“属加种差定义法”。

高中数学必修二立体几何角的问题-教师版(含几何法和向量法)

立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。

平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010 解析：建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.答案：B例 2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，PD =Rt DCE ∆中，DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ D ） A.3 B.22C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。

线面角线线角面面角的取值范围

线面角线线角面面角的取值范围1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个看似高深，其实跟我们生活息息相关的话题——线面角、线线角、面面角的取值范围。

听起来有点复杂？别担心，咱们慢慢来，保证你听完之后心里有个明白的数。

这就像一碗热腾腾的汤，虽然材料多，但调和之后，味道才是最重要的。

2. 线面角的魅力2.1 什么是线面角？首先，咱们得搞清楚线面角的定义。

简单来说，线面角就是一条线与一个平面之间形成的角度。

想象一下，你在地上画了一条线，天花板是一个平面，线和天花板之间的夹角就叫线面角。

这玩意儿看似简单，但其实背后可是有门道的。

2.2 线面角的取值范围那么，这个线面角的取值范围又是个啥呢？其实，线面角的取值范围是从0度到90度之间的。

也就是说，线和面之间可以有很多种不同的角度，但最极端的情况是，线完全垂直于面，角度就是90度；而当线跟面平行的时候，角度就是0度。

听起来像是数数，但实际应用可广泛得多，像建筑设计、机械制造等领域，线面角的掌控可是一门重要的技术活。

3. 线线角的多样性3.1 线线角是什么？接下来，我们来聊聊线线角。

这个名字听上去有点拗口，但其实它就是两条线之间的夹角。

比如说，两根棒子交叉在一起，咱们就能测量出它们之间的角度。

就像朋友之间的关系，有时亲密无间，有时又像两条平行线，永远不会相交，哈哈！3.2 线线角的取值范围那么，线线角的取值范围又如何呢？其实，它是从0度到180度之间的。

也就是说，线线角可以是小于90度的锐角，也可以是大于90度的钝角，甚至可以是180度的平角。

想象一下，两个朋友争论得不可开交，最后选择了平局，谁也不让谁，真是太有意思了！4. 面面角的奥秘4.1 面面角的定义最后，我们来看看面面角。

它就是两个平面之间形成的角度。

就像两扇门打开的角度，它们之间的关系就可以用面面角来描述。

这玩意儿可大可小，关键看门是开得多大。

4.2 面面角的取值范围面面角的取值范围从0度到180度，跟线线角有点类似。

完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)

完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.A二、填空题7.直线MN与直线BD异面。

三、解答题10.因为D是AC的中点，所以BD平分角ABC，即∠ABD=∠CBD。

又因为AB=AC，所以△ABD≌△CBD，从而BD=BD，即BD//平面ABC。

又因为A1D1//ABC，所以BD//A1D1，即BD//平面A1BD。

因此，BD//平面A1BD，即B1C1//平面A1BD，即B1C1//平面ABD。

11.1) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN//CD，MN=CD/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以MN=CD/2=AC/√3=BD/2√3，即MN//B1D1.2) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.所以AE=BD/2=AC/√3，从而AE=EN，即AEEN是平行四边形，即AE//EN。

又因为XXX，所以AE//MN，即平面AEM//平面MNC。

又因为平面AEM与平面ABC的交线是直线AE，平面MNC与平面ABC的交线是直线MN，所以AE//MN//BD，即B1D1//平面AEM。

因此，AC1//平面AEM//B1D1，即AC1//平面EB1D1.3) 因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以MN=CD/2=AC/√3，EN=CG=AC/2.又因为ABCD是平行六面体，所以BD//AC，从而△BDA≌△CDA1，即BD=AC，BD=2AC/√3.又因为D1是BD的中点，所以D1C1=BC/2=AC/2√2.所以MN=CD/2=AC/√3=D1C1√2/√3，即MN//D1C1.又因为E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，所以EG=CC1/2=AC/2√2.又因为ABCD是平行六面体，所以AD//BC，从而△ABD≌△CBA1，即AD=BC，AD=2AC/√3.所以EG=CC1/2=AC/2√2=AD/2√2，即EG//AD。

高中数学必修二立体几何角的问题-学生版(含几何法和向量法)

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。

平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

空间角问题

AB n sinα = cos < AB, n > | AB | | n |

A

B
| AB n | sinα = | AB | | n |
线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角或补角的余角.
AA1 (0, 0, 2a) AB (0, a, 0) n AA1 0 (1, y, z ) (0, 0, 2a) 0 z 0 (1, y, z ) (0, a, 0) 0 n AB 0 y 0 3 1 n (1, 0, 0) AC1 ( a, a, 2a ) A 2 2
A B
6
例、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 1）求AC1和CB1的夹角， 2）求AC1和面ABB1B所成的夹角 3）求二面角B—AB1—C1的大小 4）M是A1B1的中点，求点B1到面C1MB的距离 C1 5）求AM与B1C1的距离 2）直线与平面所成的角 A1 B1 解法2步骤： 1、求出平面的法向量 2、求出直线的方向向量 3、求以上两个向量的夹角，（锐角）其余角为所求角 C 设平面ABB1B的法向量：n (1, y, z )
3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为。 3
定义:

A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的这条直线叫做二面角的棱。图形叫做二面角。这两个半平面叫做二面角的面。
3
表示方法：
二面角－AB－
A
C
B
D

l
5
B
A 二面角－ l－
二面角C－AB－ D

空间中线线角、线面角、面面角成法原理与求法思路知识分享

D B A C α空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

简称为“作，证，求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠））2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：Q PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理）AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

线线、线面、面面角的问题讲解

作平面的垂线段构作含所求线面角的三角形求之.
②公式法：求斜线与平面所成
的角，还可以利用三面角的余弦公式：cosα=cosβcosγ
α βγ
8
Aα
β γ
n A
P
在Rt△PAC中，cosβ=
AC AP
B
在Rt△ABC中，cosγ=
C
在Rt△PAB中，cosα=
AB
AC AB
AP
cosβ cos γ AC AB AB cos α
⑤向量法:
面面角等于两平面的法向
17.(本小题满分14分)
如图，边长为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内，A∈α，B∈β，且AB与平面α、β所成的角都是300 ，AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为 D. (Ⅰ) 直线AB与CD所成的角； (Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．
α
A
如何合理的选择正确的方法解“立几”题？
条异面直线的关系.
7
注:当余弦值为负值时其对应角为钝角，这不符合定义，故其补角为所求的角.
二、直线和平面所成的角
直线与平面平行或在平面内直线和平面所成的角0º 直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90º；
斜线和平面所成的角是：斜线及斜
线在平面上的射影所成的角.关键是
找准斜线段在平面内的射影；
①直接法:通常是从斜线上找特殊点，
奋
斗
拼
博
1
【08深一模】18.(本小题满分14分) 如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，
CB//DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，(Ⅰ) 求证：DM⊥EB； (Ⅱ)求二面角M-BD-A的余弦值.

2023年新高考数学大一轮复习专题21 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离的问题(解析版)

专题21 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离的问题【考点预测】知识点1：线与线的夹角（1）位置关系的分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧点一个平面内，没有公共异面直线：不同在任何相交直线平行直线共面直线（2）异面直线所成的角①定义：设a b ，是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a a b b ''∥，∥，把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．②范围：(0]2π，③求法：平移法：将异面直线a b ，平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．知识点2：线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围：[0]2π，③求法：常规法：过平面外一点B 做'⊥BB 平面α，交平面α于点'B ；连接'AB ，则'∠BAB 即为直线AB 与平面α的夹角．接下来在△'Rt ABB 中解三角形．即sin 斜线长''∠==BB hBAB AB （其中h 即点B 到面α的距离，可以采用等体积法求h ，斜线长即为线段AB 的长度）；知识点3：二面角（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角l αβ--或者是二面角A CD B --）（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0]π，．（3）二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．法二：三垂线法在面α或面β内找一合适的点A ，作AO β⊥于O ，过A 作AB c ⊥于B ，则BO 为斜线AB 在面β内的射影，ABO ∠为二面角c αβ--的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A ，作AO β⊥于O ；①过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A 作AB c ⊥于B ，连接BO ； ①计算：ABO ∠为二面角c αβ--的平面角，在Rt ABO △中解三角形．图1 图2 图3 法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（'''cos =A B C ABCS S S S θ=射斜，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．ba A OBbAB CB'C'A'例如：过二面角内一点A 作AB α⊥于B ，作AC β⊥于C ，面ABC 交棱a 于点O ，则BOC ∠就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．知识点4：空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．【题型归纳目录】题型一：异面直线所成角题型二：线面角题型三：二面角题型四：距离问题【典例例题】题型一：异面直线所成角例1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是111,,DD BC C D 的中点，则异面直线MN 与EF 所成的角为（）A ．2πB ．3π C ．6πD ．4π 【答案】C【解析】取1CC 的中点H ，连接FH ，EH ，NH ，ME ，由正方体的性质可知//NH ME 且NH ME =，所以MNHE 为平行四边形，所以//MN EH ，所以异面直线MN 与EF 所成的角的平面角为FEH ∠，又2AB =，则EH FH =，FE则222cos 2EH EF FH FEH EH EF +-∠=⨯⨯，所以6FEH π∠=，故选：C ．例2．（2022·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥面11ACC A ，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（）A B C D ．35【答案】C【解析】连接1CB 交1BC 于D ，若E 是AC 的中点，连接,BE ED ，由111ABC A B C -为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：D 是1CB 的中点，所以1//ED AB ，故直线1BC 与直线1AB 夹角，即为ED 与1BC 的夹角BDE ∠或补角，若1BC =，则1CE =，BD CD ==， BC ⊥面11ACC A ，EC ⊂面11ACC A ，则CB CE ⊥，而1EC CC ⊥，又1BC CC C =，1,BC CC ⊂面11BCC B ，故EC ⊥面11BCC B ，又CD ⊂面11BCC B ，所以CE CD ⊥．所以32ED =，BE =，在①BDE中222592cos 2BD ED BE BDE BD ED +-+-∠=⋅．故选：C例3．（2022·全国·模拟预测）已知正方体中1111ABCD A B C D -，E ，G 分别为11A D ，11C D 的中点，则直线1A G ，CE 所成角的余弦值为（） ABCD【答案】C【解析】如图所示：取AB 的中点F ，连接EF ，CF ，易知1A G CF ∥，则①ECF （或其补角）为直线1A G 与CE 所成角．不妨设2AB =，则CF =EF =3EC =，由余弦定理得cos ECF ∠==1A G 与CE 所成角的．故选：C ．例4．（2022·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PB 的中点，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12 BC．2D ．45【答案】B【解析】设底面圆心为O ，连接PO ，OC ，取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则DE AB ∥，且DE =CDE ∠为AB 与CD 所成的角（或其补角）．由题意知OB =4PB =，所以2PO =，所以CE = 由题意知OC AB ⊥，OC PO ⊥，AB PO O =，AB ，PO ⊂平面POB ，所以OC ⊥平面POB ．又OC ⊂平面POC ，所以平面POC ⊥平面POB ，又平面POC平面POB PO =，DE ⊂平面POB 且DE PO ⊥，所以DE ⊥平面POC ，因为CE ⊂平面POC ，所以DE CE ⊥．又12DE OB ==4CD =，所以cos CDE ∠= 故选：B ．例5．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（文））如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，M 、N 分别是BB 1和B 1C 1的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值等于（）AB C ．25D ．35【答案】D【解析】作BC 的中点E ，连接1B E ，作BE 的中点F ，连接MF 、1A F ，即AMF ∠为异面直线AM 与CN 所成的角，由已知条件得1B E =MF =AM =由余弦定理得AF ==在①AMF 中，有余弦定理可知2222cos AF AM MF AM MF AMF =+-⋅⋅∠，即13552cos 44AMF =+-∠，解得3cos 5AMF ∠=，故选：D ．例6．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，在四面体ABCD 中，90BCD AB ∠=︒⊥，平面BCD ，AB BC CD ==，P 为AC 的中点，则直线BP 与AD 所成的角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】D【解析】在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，则AB CD ⊥，而90BCD ∠=︒，即BC CD ⊥，又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，则有CD ⊥平面ABC ，而BP ⊂平面ABC ，于是得CD BP ⊥，因P 为AC 的中点，即AC BP ⊥，而AC CD C =，,AC CD ⊂平面ACD ，则BP ⊥平面ACD ，又AD ⊂平面ACD ，从而得BP AD ⊥，所以直线BP 与AD 所成的角为π2．故选：D例7．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BC AA ==1AC =，则异面直线1AC 与1CB 所成角的余弦值为（）A B C D 【答案】B【解析】把三棱柱补成如图所示长方体，连接1B D ，CD ，则11B D AC ∥，所以1CB D ∠即为异面直线1AC 与1CB 所成角（或补角）．由题意可得2CD AB ==，112B D AC ==，1CB所以22211111cos 2CB B D CD CB D CB B D +-∠=⋅==故选：B ．例8．（2022·全国·高三专题练习）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70，则这样的直线l （） A ．不存在 B ．2条 C ．4条 D ．无数条【答案】C【解析】在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，连接1,A D BD ，如图，则有11//BD B D ，显然11A B A D BD ==，即直线BA 1和B 1D 1所成角160∠=A BD ，过点C 做直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70可以转化为过点B 做直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均为70，A BD '∠的平分线AO 与直线BA 1和BD 都成30的角，让l '绕着点B 从AO 开始在过直线AO 并与平面A BD'垂直的平面内转动时，在转动到l '⊥平面A BD '的过程中，直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均相等，角大小从30到90，由于直线l '的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA 1和BD 所成的角均为70，又A BD '∠的邻补角大小为120，其角平分线与直线BA 1和BD 都成60的角，当直线l '绕着点B 从A BD '∠的邻补角的平分线开始在过该平分线并与平面A BD '垂直的平面内转动时，在转动到l '⊥平面A BD '的过程中，直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均相等，角大小从60到90，由于直线l '的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA 1和BD 所成的角均为70，综上得，这样的直线l '有4条，所以过点C 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70的直线l 有4条．故选：C例9．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知点A 为圆台O 1O 2下底面圆O 2的圆周上一点，S 为上底面圆O1的圆周上一点，且SO 1=1，O 1O 2O 2A=2，记直线SA 与直线O 1O 2所成角为θ，则（） A ．0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．0,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D ．,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题意，设上､下底面半径分别为12,R R ，其中121,2R R ==，如图，过S 作SD 垂直下底面于D ，则12O O SD ∥，所以直线SA 与直线12O O 所成角即为直线SA 与直线SD 所成角，即ASD ∠θ=，而tanAD SD θ==，由圆的性质，222213R O D AD O D R =-+=，所以tanAD SD θ==⎣，所以,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：C ．例10．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知异面直线a ，b 的夹角为θ，若过空间中一点P ，作与两异面直线夹角均为π3的直线可以作4条，则θ的取值范围是______．【答案】ππ,32⎛⎤⎥⎝⎦【解析】如图，将异面直线a 、b 平移到过P 点，此时两相交直线确定的平面为α，如图，a 平移为a '，即P A ，b 平移为b '，即BE ．设①APB =θ，PC α⊂且PC 是①APB 的角平分线，则PC 与a '和b '的夹角相等，即PC 与a 、b 夹角均相等， ①将直线PC 绕着P 点向上旋转到PD ，当平面PCD ①α时，PD 与a '、b '的夹角依然相等，即PD 与a 、b 的夹角依然相等；将直线PC 绕着P 点向下旋转时也可得到与a 、b 的夹角均相等的另外一条直线，易知PC 与P A 夹角为2θ，当PC 向上或向下旋转的过程中，PC 与P A 夹角增大，则若要存在与两异面直线夹角均为π3的直线，有π2π233θθ<⇒<；①同理，①APE =πθ-，将①APE 的角平分线绕着P 向上或向下旋转可得两条直线与a 、b 的夹角均为π3，则πππ233θθ-<⇒>，如此，即可作出4条直线与异面直线a 、b 夹角均为π3，又①0＜θ≤π2，①θ∈ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦．故答案为：ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦．例11．（2022·江苏常州·模拟预测）在三棱锥A BCD -中，已知AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，若2AB =，4BC CD ==，则AC 与BD 所成角的余弦值为___________．【解析】如图，取,,BC AB AD 中点,,E F G ，连接,,EF FG EG ，所以//,//EF AC FG BD ，则EFG （或其补角）即为AC 与BD 所成角，因为AB ⊥平面BCD ，所以AB BC ⊥，所以AC =EF =因为BC CD ⊥，所以BD FG =取BD 中点H ，连接,GH EH ，所以//HG AB ，所以HG ⊥平面BCD ，所以HG EH ⊥，又112GH AB ==，122EH CD ==，所以EG ==所以222cosEFG +-∠==所以AC 与BD题型二：线面角例12．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知正方体1111ABCD A B C D -中，AB =E 为平面1A BD 内的动点，设直线AE 与平面1A BD 所成的角为α，若sin α=则点E 的轨迹所围成的面积为___________．【答案】π【解析】如图所示，连接1AC 交平面1A BD 于O ，连接EO ，由题意可知1AC ⊥平面1A BD ，所以AEO ∠是AE 与平面1A BD 所成的角，所以AEO ∠＝α．由sin α=tan 2α=，即2AO EO =．在四面体1A A BD -中，11BD A D A B ===1AB AD AA ===，所以四面体1A A BD -为正三棱锥，O 为1BDA △的重心，如图所示：所以解得BO =2AO ，又因为2AO EO=，所以1EO =，即E 在平面1A BD 内的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆，所以2π1πS =⨯=．故答案为：π．例13．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，111111AA A B B C ===，2AB =，则AC 与平面11BCC B 所成的角为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】A 【解析】将棱台补全为如下棱锥D ABC -，由90ABC ∠=︒，111111AA A B B C ===，2AB =，易知：2DA BC ==，AC =由1AA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊥平面ABC ，则1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，所以BD =CD =222BC BD CD +=，所以122BCD S =⨯⨯=△A 到面11BCC B 的距离为h ，又D ABC A BCD V V --=，则111222323h ⨯⨯⨯⨯=⨯h = 综上，AC 与平面11BCC B 所成角[0,]2πθ∈，则1sin 2h AC θ==，即6πθ=．故选：A例14．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是直角三角形，AC =BC =2，PB =PC ，D 为AB 的中点．（1）证明：BC ①PD ；（2）若AC ①PB ，P A =3，求直线P A 与平面PBC 所成的角的正弦值．【解析】（1）证明：如图，取BC 中点E ，连接PE ，DEPB PC =，E 为BC 中点PE BC ∴⊥又D 为AB 的中点，所以//DE AC底面ABC 是直角三角形，AC =BC =2，AC BC ∴⊥即DE BC ⊥,,PE DE E PE DE =⊂平面PDEBC ∴⊥平面PDE ，BC PD ∴⊥（2）由（1）知，AC BC ⊥，又AC PB ⊥且,,PB BC C PB BC =⊂平面PBCAC ∴⊥平面PBC ，∴直线P A 与平面PBC 所成的角为APC ∠在Rt APC 中，2,3AC PA ==2sin 3AC APC PA ∴∠==． ∴直线P A 与平面PBC 所成的角的正弦值为23．例15．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在四面体ABCD 中，AB AD =，BC CD =，E 为BD 的中点，F 为AC 上一点．（1）求证：平面ACE ⊥平面BDF ；（2）若90BCD ∠=︒，60BAD ∠=︒，AC =，求直线BF 与平面ACD 所成角的正弦值的最大值．【解析】（1）在四面体ABCD 中，AB AD BC CD ==，，E 为BD 的中点，则,AE BD CE BD ⊥⊥，而AE CE E =，,AE CE ⊂平面ACE ，于是得BD ⊥平面ACE ，又BD ⊂平面BDF ，所以平面ACE ⊥平面BDF ．（2）依题意不妨设2BC CD ==，90BCD ∠=︒，则BD CE ==60BAD ∠=︒，则AB AD BD ===AE =在ACE中，AC =222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠==⋅sin AEC ∠=，11sin 22AEC S AE CE AEC =⋅∠== 由（1）得，1433B ACD AEC V S BD -=⋅=，因22212AD CD AC +==，即90ADC ∠=，则12ACD S AD CD =⋅= 设点B 到平面ACD 的距离为h，则114333B ACD ACD V S h -=⋅=⨯=，解得h =B 到平面ACD设直线BF 与平面ACD 所成角为θ，所以sin h BF θ==．因为22212AB BC AC +==，所以90ABC ∠=，故当BF AC ⊥时，BF最短，此时2BF ==⨯，正例16．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥．（1）求证：PA 平面MDB ；（2）当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π，且4,DC DA AB =⊥时，求出多面体MPABD 的体积．【解析】（1）证明：连接,AC BD ，设,AC BD 交于点O ，连接OM ，因为AB CD ，所以14OA AB OC CD ==，因为15PM PC =，所以14PM OA MC OC==，所以OM PA ∥，又OM ⊂平面MDB ，PA ⊄平面MDB所以PA 平面MDB ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PAD ∠即为直线PA 与底面ABCD 所成的角的平面角，PCD ∠即为直线PC 与底面ABCD 所成的角的平面角，所以4PAD PCD π∠=∠=，所以4PD AD CD ===，()144102ABCD S +⨯==梯形，14482BCD S =⨯⨯=△，设点M 到平面ABCD 的距离为h ，因为15PM PC =，所以41655h PD ==，故14010433P ABCD V -=⨯⨯=，11612883515M BCD V -=⨯⨯=，所以40128243155P ABCD M BCD MPABD V V V --=-=-=多面体．例17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，M 是11B C 的中点．（1）求证：1//AC 平面1A MB ；（2）点P 是直线1AC 上的一点，当1AC 与平面ABC 所成的角的正切值为2时，求三棱锥1P A MB -的体积．【解析】（1）证明：连接1AB 交1A B 于点N ，连接MN ，因为四边形11AA B B 为平行四边形，11AB A B N ⋂=，则N 为1AB 的中点，因为M 为11B C 的中点，则1//MN AC ，1AC ⊄平面1A MB ，MN ⊂平面1A MB ，故1//AC 平面1A MB ．（2）因为1CC ⊥平面ABC ，1AC ∴与平面ABC 所成的角为1CAC ∠，因为ABC 是边长为2的等边三角形，则2AC =，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，1CC AC ∴⊥，则11tan 2CC CAC AC∠==，所以，124CC AC ==，1//AC 平面1A MB ，1P AC ∈，所以，点P 到平面1A MB 的距离等于点1C 到平面1A MB 的距离，因为M 为11B C 的中点，则11111211222A MC A B C S S ===△△则1111111111433P A MB C A MB B A C M A C M V V V BB S ---===⋅=⨯=△．例18．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SAD为等腰直角三角形，SA SD ==2AB =，F 是BC 的中点．（1）在AD 上是否存在点E ，使得平面SEF ⊥平面ABCD ，若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．（2）SBC △为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE 与平面SBC 所成角的正弦值．【解析】（1）在线段AD 上存在点E 满足题意，且E 为AD 的中点．如图，取AD 中点E 连接EF ，SE ，SF ，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥．又E ，F 分别是AD ，BC 的中点，所以//EF AB ，AD EF ⊥．因为SAD 为等腰直角三角形，SA SD =，E 为AD 的中点，所以SE AD ⊥．因为SE EF E =，SE ⊂平面SEF ，EF ⊂平面SEF ，所以AD ⊥平面SEF ．又AD ⊂平面ABCD ．所以平面SEF ⊥平面ABCD ．故AD 上存在中点E ，使得平面SEF ⊥平面ABCD ．（2）过点E 作EG SF ⊥于点G ，由（1）知AD ⊥平面SEF ，又//BC AD则BC ⊥平面SEF ，EG ⊂平面SEF ，所以BC EG ⊥，又SF BC F ⋂=，所以EG ⊥平面SBC ，所以直线SE 与平面SBC 所成的角为ESG ∠，由SAD 为等腰直角三角形，SA SD ==4AD ==，2SE =．又2EF AB ==，因为SBC △为等边三角形，4BC AD ==，所以SF =在SEF 中，2SE EF ==，SF =所以1EG =．则1sin 2EG ESG SE ∠==，即直线SE 与平面SBC 所成角的正弦值为12．例19．（2022·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，P 是BM 的中点．将矩形AMND 沿MN 折起，形成多面体AMB －DNC ．（1）证明：BD //平面ANP ；（2）若二面角A －MN －B 大小为120°，求直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：连接MD 交AN 于点O ，连接OP ，①四边形AMND 为矩形①O 为MD 的中点，又①P 为BM 的中点①//OP BD ，①BD ⊄平面ANP ，OP ⊂平面ANP ，①BD //平面ANP（2）①AM MN ⊥，BM MN ⊥，①①AMB 即为二面角A MN B --的平面角，120AMB ∠=，且MN ①平面ABM ，①BC ①平面ABM ，①BC ⊂平面ABCD ，①平面ABCD ①平面ABM过P 作PQ AB ⊥于点Q ，①PQ ①平面ABCD ，①①P AB 即为AP 与平面ABCD 所成角，2AM MB ==，AB =1PB =，①12PQ =，BQ =，①AQ =①AP ==①1sinPAB ∠==题型三：二面角例20．（2023·河北·高三阶段练习）如图，ABCD 为圆柱OO '的轴截面，EF 是圆柱上异于,AD BC 的母线．（1）证明：BE ⊥平面DEF ；（2）若AB BC ==B DEF -的体积最大时，求二面角B DF E --的正弦值．【解析】（1）证明：如图，连接AE ，由题意知AB 为O 的直径，所以AE BE ⊥．因为,AD EF 是圆柱的母线，所以AD EF ∥且AD EF =，所以四边形AEFD 是平行四边形．所以//AE DF ，所以BE DF ⊥．因为EF 是圆柱的母线，所以EF ⊥平面ABE ，又因为BE ⊂平面ABE ，所以EF BE ⊥．又因为DF EF F =，DF EF ⊂、平面DEF ，所以BE ⊥平面DEF ．（2）由（1）知BE 是三棱锥B DEF -底面DEF 上的高，由（1）知,EF AE AE DF ⊥∥，所以EF DF ⊥，即底面三角形DEF 是直角三角形．设,DF AE x BE y ===，则在Rt ABE △中有：226x y +=，所以221113322B DEF DEF x y V S BE x y -+⎛=⋅=⋅⋅=≤= ⎝，当且仅当x y ==E ，F 分别是AB ，CD 的中点时，三棱锥B DEF -的体积最大，（另等积转化法：13B DEF D BEF D BCF B CDF CDF V V V V S BC ----====⋅易得当F 与CD 距离最远时取到最大值，此时E 、F 分别为AB 、CD 中点）下面求二面角B DF E --的正弦值：由（1）得BE ⊥平面DEF ，因为DF ⊂平面DEF ，所以BE DF ⊥．又因为,EF DF EF BE E ⊥=，所以DF ⊥平面BEF ．因为BF ⊂平面BEF ，所以BF DF ⊥，所以BFE ∠是二面角B DF E --的平面角，由（1）知BEF 为直角三角形，则3BF ==．故sin BE BFE BF ∠==B DF E --例21．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，PA PB PC AC ====O 为AC 的中点．（1）证明：PO ①平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且PM 与面ABC 求二面角M PA C --的平面角的余弦值．【解析】（1）证明：连接OB ．法一：①2,AB BC AC ===①222AB BC AC +=，即①ABC 是直角三角形，又O 为AC 的中点，①OA OB OC ==又①PA PB PC ==，①POA POB POC ∆≅∆≅∆①90POA POB POC ∠=∠=∠=．①,,PO AC PO OB OBAC O ⊥⊥=，OB 、AC ⊂平面ABC ①PO ①平面ABC ．法二：连接OB ，PA PC =，O 为AC 的中点①PO AC ⊥因为2,AB BC PA PB PC AC ======①,AB BC BO PO ⊥==222PO OB PB +=，①PO OB ⊥①,,PO AC PO OB OBAC O ⊥⊥=，OB 、AC ⊂平面ABC ．①PO ①平面ABC ．（2）由（1）知，PO ①面ABC ①OM 为PM 在面ABC 上的射影，①①PMO 为PM 与面ABC 所成角，①tan PO PMO OM ∠===①1OM =，在①OMC 中由正弦定理可得1MC =，①M 为BC 的中点．作ME ①AC 于E ，①E 为OC 的中点，作EF PA ⊥交P A 于F ，连MF①MF ①P A ①①MFE 即为所求二面角M PA C --的平面角，ME =34EF AE =①tanME MFE EF ∠===①cos MFE ∠= 例22．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．（1）求证：平面P AC ①平面PBC ；（2）若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求：二面角C PB A 的正切值．【解析】（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为AB 是圆的直径，C 是圆上的点，所以BC AC ⊥，因为PA AC A =，所以BC ⊥平面PAC ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面P AC ①平面PBC ．（2）过C 作CD AB ⊥，垂足为D ，过D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连CE ，如图：因为PA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PA CD ⊥，因为PA AB A =，所以CD ⊥平面PAB ，所以CD PB ⊥，因为DE PB ⊥，DE CD D ⋂=，所以PB ⊥平面CDE ，所以PB CE ⊥，所以DEC ∠是二面角C -PB -A 的平面角，因为2AB =，1AC =，AC CB ⊥，所以60CAB ∠=，所以3sin 602CD AC =⋅=12AD =，13222BD =-=，因为1PA=，2AB =，所以PBsin PA PBA PB ==，在直角三角形DEB中，3sin 2DE BD EBD =⋅==，在直角三角形DEC中，tan CD DEC DE ===所以二面角C -PB -A 例23．（2022·北京·景山学校模拟预测）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 上的点，平面BEF ⊥平面11ABB A ，M 是AB 的中点．（1）证明：//CM 平面BEF ；（2）若2AC AE ==，求平面BEF 与平面ABC 夹角的大小．【解析】（1）证明：在等边ABC 中，M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥，在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC 平面11ABB A AB =，CM ⊂平面ABC ，所以CM ⊥平面11ABB A ，过F 在平面BEF 内作FN BE ⊥，垂足为N ，平面BEF ⊥平面11ABB A ，平面BEF 平面11ABB A BE =，FN ∴⊥平面11ABB A ，//CM FN ∴， CM ⊂/平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//CM ∴平面BEF ．（2）由题设//CF 平面11ABB A ，平面FCMN 平面11ABB A MN =， //CF NM ∴，∴四边形CFNM 是平行四边形，又//MN AE 且12MN AE =，所以112CF NM AE ===，延长EF ，AC ，相交于点G ，连接BG ，则C 、F 分别为AG 、EG 的中点，则平面BEF 与平面ABC 所成的角就是二面角E BG A --，可知CG AC BC ==，BG AB ∴⊥，所以BG ⊥平面11ABB A ，EBA ∴∠是二面角E BG A --的平面角，又AE AB =，AB AE ⊥，所以45EBA ∠=︒，即平面BEF 与平面ABC 所成的角为45︒；例24．（2022·湖南·雅礼中学二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在线段1CD 上，12CE ED =，点F 为线段AB 上的动点．（1）若EF 平面11ADD A ，求AF FB的值；（2）当F 为AB 中点时，求二面角E DF C --的正切值．【解析】（1）过E 作1EG D D ⊥于G ，连接GA ．则∥EG CD ，而CD FA ∥，所以EG FA ∥．因为EF 平面11,ADD A EF ⊂平面EFAG ，平面EGAF 平面11ADD A GA =，所以EF GA ∥，所以四边形EGAF 是平行四边形，所以GE AF =．因为12CE ED =，所以11D E GE DC D C=．所以13AF AB =，所以12AF FB =．（2）过E 作EH CD ⊥于D ，过H 作HM DF M ⊥于，连接EM ，因为平面11CDD C ⊥平面,ABCD EH CD ⊥，所以EH ⊥平面ABCD ，因为DF ⊂平面ABCD ，所以EH DF ⊥，又HM DF ⊥，所以DF ⊥平面EMH ，因为EM ⊂平面EMH ，所以DF EM ⊥．所以EMH ∠是二面角E DF C --的平面角．设正方体的棱长为3a ，则2,EH a DH a ==．在Rt ADF 中，DF =，则11,22DHF S DF MH DH AD MH =⋅=⋅⇒=tan EH EMH MH∠∴==即二面角E DF C --例25．（2022·天津·耀华中学一模）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AB DC ∥，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，AE BE ==M 为BE 的中点．（1）求证：CM ∥平面ADE ；（2）求平面EBD 与平面BDC 夹角的正弦值；【解析】（1）取AE 中点G ，连接,GM GD ，如图，因为M 是EB 中点，则//MG AB 且12MG AB =，又//AB CD ，2AB CD =，所以//MG CD 且MG CD =，所以MGDC 是平行四边形，所以//CM DG ，DG ⊂平面ADE ，CM ⊄平面ADE ，所以//CM 平面ADE ；（2）取AB 中点F ，连接,EF CF ，CF 交BD 于点O ，连接OE ，由已知//AB DC ，AB BC ⊥，2AB CD =，得CDFB 是正方形， CF BD ⊥，EA EB =，则EF AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =，EF ⊂平面ABE ，所以EF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以EF BD ⊥，又BD FC ⊥，EF CF F =，所以BD ⊥平面ECF ，又OE ⊂平面BCF ，所以BD OE ⊥，所以EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，又2OF =，2==EF ，所以===OEsin EF EOF OE ∠==()sin sin πsin EOC EOF EOF ∠=-∠=∠= 所以平面EBD 与平面BDC．例26．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）如图所示，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB AD ⊥，1.2AD AB BC ==现将ABD △沿BD 折起，使得点A 到E 的位置．（1）试在BC 边上确定一点F ，使得BD EF ⊥；（2）若平面EBD ⊥平面BCD ，求二面角E BC D --所成角的正切值．【解析】（1）因为//AD BC ，AB AD ⊥，12AD AB BC ==，所以45ABD ADB DBC ∠=∠=∠=︒，BD =，BC ，所以BAD ①BDC ，所以90BAD BDC ∠=∠=︒，所以BD CD ⊥，在四边形ABCD 内过点A 作AM BD ⊥于点M ，并延长交BC 于.F则点M 为BD 中点，所以F 也为BC 中点．将ABD △沿BD 折起，使得点A 到E 的位置时，有EM BD MF BD ⊥⊥，，所以BD ⊥平面EFM ，也为EF ⊂平面EFM ，所以BD EF ⊥，（2）过点M 作MN BC ⊥交BC 于点.N 则1.2MN AB = 则在三棱锥E BCD -中，因为平面EBD ⊥平面BCD ，所以EM ⊥平面.BCD因为MN BC ⊥，连接EN ，则有.EN BC ⊥所以ENM ∠即为二面角E BC D --的平面角，设122AD AB BC ===，则 1.EM MN ==所以在Rt EMN △中，tan EM ENM MN∠==所以二面角E BC D --例27．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，4PA PC ==，AB BC ⊥，D ，E 分别为PC ，AC 中点，且BD AC ⊥．（1）求AB BC的值；（2）若4AC =，求二面角E BD C --的余弦值．【解析】（1）作DF AC ⊥于F ，连接DF ，BF ，①平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面C ABC A =，DF AC ⊥，PE ⊂面PAC①DF ⊥平面ABC ．①DF PE ∥．①PE ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC①DF AC ⊥，①AC BD ⊥，BD DF D =，BD ，DF ⊂平面BFD ，①AC ⊥平面BFD ，BF ⊂平面BFD ，①AC ⊥BF ，①D ，E 分别为PC ，AC 中点，4PA PC ==，DF AC ⊥，①3AF FC =，①AB BC ⊥，AC ⊥BF ，①22,AB AF AC BC FC AC =⋅=⋅①AB BC ==（2）由4AC AB =⇒=2BC BE CD ED ====，取BD 中点为G ，连接DG ，CG ．由BED ，BCD △为等腰三角形，故BD EG ⊥，BD CG ⊥，则EGC ∠为二面角E BD C --的平面角．BD ==EG CG ==22221cos 5EGC +-∠==．所以二面角E BD C --的余弦值为15．例28．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））在如图所示的圆锥中，PA ､PB ､PC 是该圆锥的三条不同母线，M ､N 分别为PA ､PB 的中点，圆锥的高为h ，底面半径为r ，:3:2h r =，且圆锥的体积为32π．（1）求证：直线MN 平行于圆锥的底面；（2）若三条母线PA ､PB ､PC 两两夹角相等，求平面MNC 与圆锥底面的夹角的余弦值．【解析】（1）连接AB ，在PAB △中，M ､N 分别为PA ､PB 的中点，所以//MN AB ，因为MN ⊄平面ABC ，AB平面ABC ，所以//MN 平面ABC ；（2）由21323V r h ππ==圆锥，且:3:2h r =，可解得6,4h r === 因为三条母线PA ､PB ､PC 两两夹角相等，所以ABC为等边三角形，则边长为2sin60r ︒= 设MN 的中点为D ，点D 在底面的投影为E ，则32h DE ==，连接,CE CD ，则DCE ∠为平面MNC 与圆锥底面的夹角，在PAC △中，cos 13PAC ∠==，则在MAC △中，(22223713MC =+-⨯=，所以CD ===，则5CE ==，所以cos34CE DCE CD ∠===．所以平面MNC例29．（2022·天津河北·二模）如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，四边形P ACQ 是矩形，1PA =，且平面PACQ ⊥平面ABCD ．（1）求直线BP 与平面P ACQ 所成角的正弦值；（2）求平面BPQ 与平面DPQ 的夹角的大小；【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接OP ，四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥，平面PACQ ⊥平面ABCD ，平面PACQ ⋂平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面PACQ ，BPO ∴∠即为BP 与平面ACQP 所成角．四边形PACQ 为矩形，PA AC ∴⊥，又平面PACQ ⊥平面ABCD ，平面PACQ ⋂平面ABCD AC =，PA ⊂平面PACQ ，PA ∴⊥平面ABCD ，PA AB ∴⊥，BP ∴在Rt POB △中，OB =sin OB BPO BP ∴∠==故BP 与平面ACQP（2）取PQ 的中点M ，连接BM 、DM ，由（1）知，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，四边形PACQ 为矩形，BP BQ ∴=，DP DQ =，BM PQ ∴⊥，DM PQ ⊥，BM D ∴∠即为二面角B PQ D --的平面角，在BDM 中，BD =2BM DM ==，由余弦定理知，22244121cos 22222BM DM BD BMD BM DM +-+-∠===-⋅⨯⨯， 120BMD ∴∠=︒，故二面角B PQ D --的大小为120︒，则平面BPQ 与平面DPQ 的夹角为60︒．例30．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）已知四棱锥Q ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且平面QAD ⊥平面ABCD ．（1）证明：AB QD ⊥；（2）若点Q 到平面ABCD 的距离为2，记二面角B QD A --的正切值为m ，求1QD m +的最小值．【解析】（1）在四棱锥Q ABCD -中，ABCD 是正方形，则AB AD ⊥，因平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ⋂平面ABCD AD =，AB平面ABCD ，则AB ⊥平面QAD ，而QD ⊂平面QAD ，所以AB QD ⊥．（2）在平面QAD 内过Q 作QM AD ⊥于M ，过点A 作AN QD ⊥于N ，连接BN ，如图，因平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ⋂平面ABCD AD =，则QM ⊥平面ABCD ，即有2QM =，由（1）知AB QD ⊥，而ABAN A =，,AB AN ⊂平面ABN ，于是得QD ⊥平面ABN ，BN ⊂平面ABN ，则BN QD ⊥，因此，ANB ∠是二面角B QD A --的平面角，2tan AB m ANB AN AN =∠==，在QAD 中，4AN QD QM AD ⋅=⋅=，即4AN QD =，显然2QD ≥，于是得1232AN QD QD QD m QD +=+=+≥，当且仅当2QD =时取“=”，所以1QD m+的最小值是3．题型四：距离问题例31．（2022·四川广安·模拟预测（文））如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，CD AB ∥，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．（1）若2EM AM =，求证：CE ∥平面BDM ．（2）当AE ⊥平面MBC 时，求点E 到平面BDM 的距离．【解析】（1）连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，①AB CD ∥，24AB CD ==，①CND ANB △△∽， ①12CD CN AB AN ==，又因为2EM AM =， ①12CN EM AN MA==， ①CE MN ∥，又①CE ⊄平面BDM ，MN ⊂平面BDM ，①CE ∥平面BDM ．（2）①AE ⊥平面MBC ，BM ⊂平面MBC ，①AE BM ⊥，①AB BE =，①M 是AE 的中点，①平面ABE ⊥平面ABCD ，①点E 到平面ABCD 的距离为4sin 60d =︒=在BDM 中，BD =DM =BM =①12BDM S =⋅△ ①111223E BDM E ABD M ABD E ABD ABD V V V V S d ----=-==⨯⨯⨯△114262=⨯⨯⨯⨯①点E 到平面BDM 的距离h 满足13=，所以距离h =．例32．（2022·全国·模拟预测（文））如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，AC BC =，PA PB =，且点C 在以点O 为圆心AB 为直径的半圆AB 上．（1）求证：AB PC ⊥；（2）若2AC =，且PC 与平面ABC 所成角为4π，求点B 到平面PAC 的距离．【解析】（1）连接,OP OC ，因为PA PB =，AC BC =，故AB OP ⊥，AB OC ⊥，又OP OC O ⋂=，,OP OC ⊂平面OPC ，故AB ⊥平面OPC ．又PC ⊂平面OPC ，故AB PC ⊥（2）由（1）因为AB OP ⊥，且平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC 于AB ，故OP ⊥平面ABC ，故PC 与平面ABC 所成角为4PCO π∠=，故OC OP =，又点C 在以点O 为圆心AB 为直径的半圆AB 上，AC BC =，2AC =，故OC OP OA OB ====2PA AC PC ===，设点B 到平面PAC 的距离为h ，则因为P ABC B PAC V V --=，即2111222323h ⨯⨯⨯，解得h 例33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是直角三角形，2AC BC ==，PB PC =，D 为AB 的中点．（1）证明：BC PD ⊥；（2）若3PA =，PB A 到平面PDC 的距离．【解析】（1）证明：取BC 中点E ，连接PE ，DE ，因为底面ABC 是直角三角形，AC BC =，所以90ACB ∠=︒，因为D 为AB 的中点，所以//DE AC ，所以DE BC ⊥，又PB PC =，所以PE BC ⊥，因为PE ，DE ⊂平面PDE ，PE DE E =，所以BC ⊥平面PDE ，因为PD ⊂平面PDE ，所以BC PD ⊥．（2）连接AE ，CD ，由（1），因为PE BC ⊥，112CE BC ==，PC PB ==2PE =，因为AC BC ⊥，所以AE ==又3PA =，所以222PE AE PA +=，即AE PE ⊥，因为PE BC ⊥，BC AE E =，BC ，AE ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ，所以11142223323P ABC ABC V S PE -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，因为D 是AB 的中点，所以1223P ACD P ABC V V --==，因为直角三角形ABC ，所以1122CD AB ==⨯ 因为PE ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PE DE ⊥，又112DE AC ==，所以PD所以在等腰PCD 中，CD所以13222PCD S ==，设点A 到平面PDC 的距离为d ，因为P ACD A PCD V V --=，所以2133PCD S d =⋅，则43d =，所以点A 到平面PDC 的距离为43．例34．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，//,AB DC AB BC ⊥，33,6AB DC BC ===，点P 在面11ADD A 上，过点P 和棱1BB 的平面把直棱柱分成体积相等的两部分．（1）求截面与直棱柱的侧面11BCC B 所成角的正切值；（2）求棱1DD 到截面的距离．【解析】（1）如图所示，作出截面为1BB PQ 交AD 于Q ，A 1D 1于Q 1．1111ABCD A B C D -为直棱柱，1BB ∴⊥平面1111D C B A ，11,BQ BC BB BB ∴⊥⊥QBC ∴∠为截面与直棱柱的侧面11BCC B 所成角的平面角．过Q 作QH AB ⊥，垂足为11,H AB B C ⊥，,//QH BC QBC BQH ∴∴∠=∠，由题意可得：212ABCD ABQ S S ∴==，1362ABQ S QH ∴=⨯⨯=，4QH ∴=．过Q 作QM BC ⊥，垂足为M ，则()11412622QBCD MBQ MCDQ S S S QM QM ∴==⨯⨯++⨯+⨯=，解得：53QM =，所以4,335BH AH ==， 115tan tan 12QM PB C QBM BM ∴∠=∠==．即截面与直棱柱的侧面11BCC B 所成角的平面角的正切值为512．（2）因为1//DD 截面，所以棱1DD 到截面的距离即为点D 到截面的距离．1BB ⊥平面,ABCD ∴平面1BB PQ ⊥平面ABCD ，交线为BQ ，过D 作DT BQ ⊥，垂足为,T DT ∴⊥平面1BB PQ ，则DT 的长度为棱1DD 到截面所在平面的距离．因为16132BCD S =⨯⨯=△，162QBCD ABCD S S ==，3QBD QBCD BCD S S S =-=，即132QBD S BQ DT =⨯⨯=．因为133BQ =，所以332181313DT ⨯⨯== 所以棱1DD 到截面所在平面的距离为1813．例35．（2021·湖南师大附中高三阶段练习）如图，已知ABC 为等边三角形，D ，E 分别为AC ，AB 边的中点，把ADE 沿DE 折起，使点A 到达点P ，平面PDE ⊥平面BCDE ，若4BC =．。

立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。

求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。

（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二：延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。

则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。

在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。

利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小

直线和平面所成的角、二面角都是教学大纲和高考考纲要求掌握的，是立体几何的重点内容，也是高考的必考内容.要熟练掌握它们，需要从以下四个方面入手。

一、1个公式公式12cos cos cos q q q =中涉及三个角，q 是指平面的斜线l 与平面内过斜足且不同于射影的直线m 所在所成的角，1q 是指l 与其射影'l 所成的角，2q 是指'l 与m 所成的角.其中210cos 1,.q q q <<<由此可得最小角定理.二、2个定义1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为[0,90]鞍，斜线和平面所成角的取值范围为(0,90)鞍.2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角l a b --的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA OB 、，O 为垂足，则AOB Ð叫做二面角l a b --的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范围为[0,180]鞍.三、3个定理1.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面.四、4类求法1.几何法求直线和平面的夹角：根据直线和平面所成角的定义，先找出或作出直线在平面内的射影，然后把直线、射影对应的线段放在三角形中进行求解，其中能够寻找到垂直关系用直角三角形求解更佳.2.向量法求直线和平面的夹角：主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底(要求作为基底的三个向量的模及夹角已知)的题目.(1)平面向量法：在斜线上取向量a 和其射影上取向量'a (注意方向，夹角为锐角)，则|'|c o s ,'|||'|a a a a a a ×<>=×，这里a 、'a 形式上在同一个平面内；(2)法向量法：在斜线上取向量a ，并求出平面的法向量n ，所求夹角记为q ，则||sin |cos ,|||||a n a n a n q ×=<>=×，所以||arcsin ||||a n a n q ×=×.需要注意的是，当法向量与坐标平面平行或垂直时，可以直接给出法向量，当法向量与坐标平面不平行也不垂直时，由于法向量不唯一，不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的某一个坐标为1，而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘，这样计算量较小.3.几何法求二面角的大小：(1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角. (2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中点等特殊点) ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.(3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角.(4)射影面积法：利用面积射影公式cos S S q =射投其中为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题.4.向量法求二面角的大小：图形比较规则，又不容易直接作出平面角的具体顶点时，可采用此法.(1)平面向量法:在棱上取一平面角的顶点，利用向量垂直时点乘等于零，求出平面角顶点的坐标，进而转化为向量夹角问题，此时两个向量形式上在同一个平面内.(2)空间向量法：方法基本同(1)，此时两个向量形式上不在同一个平面内，思维量、运算都小一些，试题更具有一般性.(3)法向量法：建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量,，利用公式||||,cos n m ⋅>=<.另外：证明两个平面垂直的关键是面面垂直转化为线面垂直；两个平面垂直的性质应用关键是在一个平面内找出两个平面交线的垂线.利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。

空间角(空间线线、线面、面面成角问题)练习题(答案)

空间角练习题1．二面角是指（ D ）A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有（ D ）A 1条或2条交线B 2条或3条交线C 仅2条交线D 1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( B )A 5B 20 CD4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC在平面α内，斜边BC在棱l上，若AB 与面β所成的角为600，则AC与平面β所成的角为（ A ）A 300B 450 C600 D 12005．如图，射线BD、BA、BC两两互相垂直，AB=BC=1，BD=，则弧度数为的二面角是（ A ）A D-AC-B B A-CD-BC A-BC-D D A-BD-C6．△ABC在平面α的射影是△A1B1C1，如果△ABC所在平面和平面α成θ角，有（B）A S△A1B1C1=S△ABC·sinθB S△A1B1C1=S△ABC·cosθC S△ABC =S△A1B1C1·sinθD S△ABC=S△A1B1C1·cosθ7．如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PB⊥l，B为垂足，A为l上一点，且∠PAB=α，PA与平面M所成角为β，二面角M-l-N的大小为γ，则有（ B ）A sinα=sinβsinγB sinβ=sinαsinγC sinγ=sinαsinβD 以上都不对8．在600的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 7cm 。

9．已知△ABC和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，ABα，且平面ABC与α所成角为300，则点C到平面α的距离为。

三射线定理

三射线定理陕西定边县第三中学白治清从一点发出的不在同一平面内的三条射线，形成三种空间角（即“线线角”，“面面角”与“线面角” ），这三种空间角之间的关系问题，是立体几何的一个基本问题，在立体几何的计算、证明中有着十分广泛的应用，本文将探讨这三种空间角之间的关系.一、由“线线角”求“面面角”定理1 OA 、OB 、OC 是不在同一平面内的三条射线，如果∠BOC=α 1，∠COA=α 2，∠AOB=α 3，二面角C-OA-B ，A-OB-C 与B-OC-A 的平面角分别等于β1 、β2 、β3 ，那么 cos β1=32321sin sin cos cos cos ααααα- ① cos β2=13132sin sin cos cos cos ααααα- ② cos β3=21213sin sin cos cos cos ααααα- ③ 证明：先证明①，分5种情况：（1） α 2与α3 ，均为锐角.如图1，在OA 上取一点P ，使OP=1，在平面AOB 内，作P M ⊥OA ，交OB 于M ，在平面AOC 内，作PN ⊥OA ，交OC 于N ，连结MN ，∠NPM=β1 .PN=tg 2α，PM= tg 3α，ON=sec 2α，OM=sec 3α，在△PMN与△OMN 中应用余弦定理，得MN 2=tg 22α确+tg 23α-2tg 3αtg 2α cos β1=sec 2α2+ sec 2α 3-2sec α2sec α3cos α1.用α1、α2、α3 的三角函数表示cos β1，得cos β1=32321sin sin cos cos cos ααααα- （2）α2与α3中有一个锐角，一个钝角.如图2，不妨设α3为锐角，α 2为钝角，作OC 的反向延长线OD.因为二面角D-OA-B 与C-OA-B “互补”，所以D-OA-B 的平面角等于1βπ-.∠BOD=.,21απαπ-=∠-AOD 对于射线OA 、OB 、OD 应用①，得cos （1βπ-）=32321sin )sin(cos )cos()cos(ααπααπαπ----，即cos 1β32321sin sin cos cos cos ααααα-=. （3）α2与α3均为钝角.如图3，作OB 、OC 的反向延长线OD 、OE ，二面角D-OA-E 与C-OA-B 是“对顶角”，所以D-OA-E 的平面角等于β1 .1α=∠DOE ，2απ-=∠AOE ，3απ-=∠AOD .对于射线OA 、OD 、OE 应用①，得 cos 1β)sin()sin()cos()cos(cos 32321απαπαπαπα-----= 32321sin sin cos cos cos ααααα-= . （4）α2与α3中有一个直角.如图4，不妨设α2 =.223παπ≠，在平面AOB 内作OD ⊥OA ，则∠COD=β1 .若β1≠,2π因为，不论α3是锐角还是钝角，都有 ∠BOD=，223παπ≠-二面B-OD-C 是直二面角，对于射线OD 、OC 、OB 应用①、②、③，得 cos 2π=13131sin 2sin cos 2cos cos βαπβαπα---，即cos 1β32sin cos αα= 另一方面，直接应用①，得cos β1=31331sin cos sin 2sin cos 2cos cos αααπαπα=-. 若β1=2π，则cos β1=0，这时，.21πα= 另一方面，直接应用①，得cos β1=.0sin 2sin cos 2cos 2cos33=-απαππ 可见，当α2、α3中有一个直角时，①仍旧适用。

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通过解题的过程您将有会
lD
C 什么样的收获与启发？
本节将以此题为例探索解决
βB立体中有关角的问题的Fra bibliotek律.5
一、异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义，求异面直线所
成角,就是要将其变换成相交直线所成有角.
求异面直线所成的角常用的方法有：
①向量法:线线角可转化为 cosα = | ABCD |
两直线的方向向量所成的角.
= 2 (sinα + cosα) = 2 ( 1 + 2 ) = 3 2
又MPQP==O0P.s5inEθA= =4a2，a 在Rt2△MPQ中，tan2MQ5P…= M51P2=分22
5 2，
即二面角M-BD-A的余弦值为 1
PQ
… 14分 2
3
解法二: 分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z
条异面直线的关系.
6
注:当余弦值为负值时其对应角为钝角，这不符合定义，故其补角为所求的角.
二、直线和平面所成的角
直线与平面平行或在平面内直线和平面所成的角0º 直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90º；
斜线和平面所成的角是：斜线及斜
线在平面上的射影所成的角.关键是
找准斜线段在平面内的射影；
①直接法:通常是从斜线上找特殊点，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设
CB=a，则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0， 2a，
0)，C(0，
z D
2a，a)，D(0，0，2a)，所以M(a，a，a2 ) …… 4分
(Ⅰ)证:DM=(a，a，－1.5a)，
M A
EB=(－2a，2a，0)， … 5分
C
DM ·EB =a (－2a) +a ·2a +0=0 B y DM⊥EB，即DM⊥EB
⑤向量法:
面面角等于两平面的法向
AP AC AP
cosα=cosβcosγ
B
③向量法 sinα = | AB n |
| AB | | n |
线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成
角的余角. 线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所
成角的补角的余角.
8
三、平面和平面所成的角:(二面角的平面角) 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面
C 故M，N，A，D四点共面. … 2分
AM
∵DA⊥平面EAB， ∴DA⊥EB.
B
… 3分
E
N
又EA=AB ，∴AN⊥EB
由MN∩AN=N，∴EB⊥平面ANMD
… 4分 … 6分
∴DM⊥EB.也可以直接用“三垂线定理…” 7分 1
解: (Ⅱ)取AC的中点P，连MP，则MP//EA，
∴MP⊥平面ABCD，过P作PQ⊥BD，连QM，则
E
…… 7分
x (Ⅱ)解:设平面MBD的法向量为n=(x，y，z)
DB=(0，2a，－2a)由n⊥DB， n⊥DM得 3
n n
DB = 2ay 2az DM = ax + ay
= 3 2
0 az
=
0
y x
= +
z y
3 2
z
=
0
… 10分
取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1，2，2)，
作平面的垂线段构作含所求线面角的三角形求之.
②公式法：求斜线与平面所成
的角，还可以利用三面角的余弦公式：cosα=cosβcosγ
α βγ
7
Aα
β γ
n A
P
在Rt△PAC中，cosβ=
AC AP
B
在Rt△ABC中，cosγ=
C
在Rt△PAB中，cosα=
AB
AC AB
AP
cosβ cos γ AC AB AB cos α
又平面BDA的法向量为 n1=(1，0，0)， … 11分
z D
cos <n，n1>
=
1+ 0 + 0
= 1.
C 12 + 22 + 22 12 + 02 + 02 3
M A
E x
即二面角M-BD-A的余
B y 弦值为 1
… 14分
3
此题用“坐标法”解简单易行4！
由此我们联想[2006广州一模]一道立体几何题
| AB | | CD |
异面直线所成角的范围是: (0，900 ]
②平移法:即根据定义，以“运动”的观点，用
“平移转化”的方法使之成为相交直线所成的角.
选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异
面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之.
③补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两
上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成
的角叫做二面角的平面角.二面角范围为[00，1800].
2、二面角的平面角的作法：α
①定义法：点P在棱上
l
根据定义作出来.
P
β
②作垂面：点P在二面角内作与棱垂 O
直的平面与两半平面的交线得到.
l
α
βB P
A
③应用三垂线：
α
A
点A在一个半平面上应用三
垂线定理或其逆定理作出来.
【08深一模】18.(本小题满分14分) 如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，
CB//DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，(Ⅰ) 求证：DM⊥EB； (Ⅱ)求二面角M-BD-A的余弦值.
D
解法一:(Ⅰ)证明:取BE的中点N,
连接MN，AN，则MN//CB//DA，
17.(本小题满分14分)
如图，边长为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内，A∈α，B∈β，且AB与平面α、β所成的角都是300 ，AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为 D. (Ⅰ) 直线AB与CD所成的角； (Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．
α
A
如何合理的选择正确的方法解“立几”题？
O l
B
β
9
注意:二面角的平面角必须满足: 1.顶点在棱上；2.两边在两面内；3.两边垂直于棱.
一“作”二“证”三“计算”
ABC的边BC在平面α内，
A
A在平面α内的射影是P，
设ABC的面积为S，它和
P
平面α交成二面角θ(0º< θ<90 º)，射影PBC的面 α
B
积为S1，
θ D
C
SS求12 ==证SS:SPA1B=BCCS==c12o12sBBθCC. ××PADD，，④SS面APBBC积C 射1212影BBCC法AP:DDS射=APSDD原cocosθs10θ.
QM⊥BD，∴∠MQP是二面角M-BD-A的平面角 9分
D
？
设CB=a，AC与BD的交点为
Q
O，∠AOD=θ∠CAB=α，
PO
C则有 CO = CB = 1，CO = 1 AC，
AO AD 2
3
AM
B
OP
=
(1
1)AC
=
1
a2 + (2a)2 =
5 a，
E
N
∴sinθ=sin(α+450)
23
6
6