3.6 线性方程组解的结构A (1)

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线性方程组解的结构

线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。

线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。

线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。

线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。

线性空间是指一个能进行线性运算的集合。

线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。

线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。

首先，线性方程组的解是一个向量空间。

向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。

在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。

其次，线性方程组的解是一个子空间。

子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。

线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。

1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。

2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。

3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。

总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。

线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。

线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。

线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。

线性方程组的解的结构

A m n x 0 与 (A T A )n n x 0 同解若 x 满 A 0 , 则 A x 足 T ( A ) 0 , 即 ( x A T A ) x 0 若 x 满 ( A T A ) x 足 0 ,则 x T ( A T A ) x 0 , 即
(A)T x (A) x 0 A x 0
2x2
x3
2x4
0
x1 11x2 2x3 x4 0
x1－x2 5 x3 x4 0
x1 3 x1
x2 2x3 3x4 x2 8x3 x4
0 0
x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
-22-
例3 重要结论证明 r(A )r(A TA )r(AT)A
证设 Amn, 首先证明
又形如(3)的向量( k i 任取)都是(1)的解. 由此得: 注：非齐次方程组的解集不是空间。
-26-
定理4.3.1
设是(1)的任一解, 则(1)的通解为
x k 1 1 k 2 2 k n r n r ( k i R )
例4
xx11xx22xx333xx440,1,
因 n r ( A ) 此 n r ( A T A ) r ( A ) r ( A T A ) 利用这一结论 r ( A T ) A r (A T ( ) T A T ) r ( A T ) r ( A )
-23-
第四章线性方程组的解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
线性方程组的解的结构
在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。

线性方程组解的结构

§3.6 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构11211000s a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⋅⋅⋅+=⎧⎪⋅⋅⋅+=⎪⎨⎪⎪⋅⋅⋅+=⎩11221n n 12222n n 1s22sn n ++++…………………………++（1）1．解的性质性质1 方程组（1）的两个解的和还是（1）的解. 证明设),,,(21n k k k 与),,,(21n l l l 是方程组⑴的两个解.则∑==nj j ijk a10 ),,,2,1(s i =∑==nj jij la 10 ).,,2,1(s i =两个解的和为),,,(2211n n l k l k l k +++ (2)代入方程组，得∑∑∑====+=+=+nj nj nj j ij j ij j j ijl a k a l k a111000)().,,2,1(s i =即⑵是方程组的解. 证毕性质2 方程组（1）的一个解的倍数还是（1）的解；证明设),,,(21n k k k 是⑴的一个解，因为 00)(11=⋅==∑∑==c k a c ck a nj nj j ij j ij ).,,2,1(s i=所以),,,(21n ck ck ck 还是方程组的解.证毕由性质1和性质2得：性质3 方程组（1）的解的任一线性组合还是（1）的解． 2．基础解系定义齐次线性方程组（1）的一组解12,r ηηη,,，若满足1) ,ηηη12r ,,线性无关； 2)（1）的任一解可由,ηηη12r ,,线性表出．则称,ηηη12r ,,为（1）的一个基础解系．3 ．基础解系的存在性定理1 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于n r -，其中)(A R r =．证：若()R A r n =<，不防设112110r a a a a a a a a a ≠121r222r r2rr?… ?…………………?…，则方程组（1）与方程组11112211,11121122222,1121122,11r r r r n n r r r r n n r r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++++++++⋅⋅⋅+=---⎧⎪++⋅⋅⋅+=---⎪⎨⎪⎪++⋅⋅⋅+=---⎩（2）同解,用n r -组数 (1,0,…,0), (0,1,…,0), …, (0,0,…,1)代入自由未知量11(,,,)r r n x x x ++⋯⋯，就得到（2）的解，也就是（1）的n r -个解111121221222--,1-,2-,(,,,,100(,,,010(,,,001r r n r n r n r n r r c c c c c c c c c ηηη=⎧⎪=⎪⎨⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎪=⎩，，，），，，，），，，，）则r n -ηηη,,,21 为方程组(1)的一个基础解系. ⅰ) r n -ηηη,,,21 线性无关事实上，若 1122k k ηη++--0n r n r k η+=，即112212(*,*,*,,,)(0,0,,)n r n r n r k k k k k k ηηη---+++==……，，0比较最后n －r 个分量，得 021====-r n k k k .因此, r n -ηηη,,,21 线性无关.ⅱ) 任取方程组（1）的一个解),,,(21n c c c =η，η可由12,n r ηηη-,，线性表出．事实上，由12n r ηηη-,,,是方程组（1）的解知：r n n r r c c c -+++++ηηη 2211也为（1）的解，又 r n n r r c c c -+++++ηηη 2211=（n r c c ,,,*,*,1 +）它与η的最后n r -个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解，即11r n n r c c ηηη+-=++……．由ⅰ) ⅱ)知，r n -ηηη,,,21 为（1）的一个基础解系．证毕推论任一与方程组（1）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组（1）的基础解系．证明：12t ηηη，，，为（1）的一个基础解系，12,s ααα,,线性无关，且与12t ηηη，，，等价，则s t =，且i α可由12t ηηη，，，线性表出，即i α也为（１）的解向量．任取方程组（１）的一个解向量η，则η可由12t ηηη，，，线性表出，从而η可由12,t ααα,,线性表出．又12,t ααα,,线性无关，所以12,t ααα,,也是基础解系．证毕4 .基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的n r -个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余n r -个未知量移到等式右端，再令右端n r -个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到n r -个解向量r n -ηηη,,,21 ，这n r -个解向量r n -ηηη,,,21 构成了方程组的基础解系. 方程组（1）的任一解即通解可表为1112,t t t k k k k k P ηηη=++∈……,,,例1 求齐次线性方程组12451234123451234530,20,426340,242470.x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩ 的一个基础解系。

线性代数课件：3.6 线性方程组解的结构

下面证明1 ,2 ,,nr 是齐次线性方程组解空间的一个基．
(1)证明1,2 ,,n 线性无关.
1 0
0
由于 n r个 n r 维向量
0 ,
1
,
,
0
0 0
1
线性无关，所以 n r 个 n 维向量 1 ,2 ,,nr 亦
线性无关(定理5).
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(2)证明解空间的任一解都可由 1,2 ,,nr
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
上页下页返回
（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1也是 Ax 0 的解．
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 Ax 0 的解空间,记作 S.
2
3
1
6
故通解为
x3
k1
1
k2
0
(k1, k2 R).
x4 x5
0 0
1 3
1
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事实上，为了避免分数运算，也可以把系数矩阵化为行阶梯形矩阵,便得到基础解系.
1 2 1 3 0 1 2 1 3 0
A
0
2
1
1
0
0
2
1
1
0
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注: 1.解空间的基不是唯一的; 2. n元齐次线性方程组Amnx 0的全体解所构成的集合S是一个向量空间,当R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
当R( A) n时,方程组只有零解,故没有基础解系(此时解空间只含一个零向量,为0维向量空间).
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线性方程组解的结构

xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.

线性方程组解的结构(课堂PPT)

0
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的个数唯一且等于n-R(A)
0
0
1
1
2
3
1,2 ,3 是解吗? 1,2,3 线性无关吗?
任一解都可由 1,2 ,3 表示吗? 1 ,2 ,3是基础解系吗?
基础解系所含向量的个数 = ?
-7-
例3 设 AmnBnl O ,证明 r( A) r(B) n 重要结论
证记 B [1, 2 , , l ] 则由 AB O A i 0(i 1, , l) 说明 i (i 1, , l) 都是 Ax 0 的解因此 r[1, 2 , , l ] r( N ( A)) n r( A)
齐次方程组解的结构定理
齐次方程组 Amn X 0 的基础解系所含向量个数为 n r ( r R( A) )
设一个基础解系为: 1 ,2 , ,n r 则通解为: x k11 k22 kn rn r (ki R)
例２．设ｎ阶矩阵Ａ的秩为ｎ－１，Ａ的每行元素之和为零，写出ＡＸ＝０的通解．解： Ann X 0 的基础解系所含向量个数为 n R( A) 1
对于齐次方程组 Amn x 0
只有零解 r( A) n (有非零解即有无限多解 r( A) n)
-3-
第四章
线性方程组解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
-4-
§4.2 齐次线性方程组解的结构
设是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x x 是 (2)的解,从而存在 ki 使得 x k11 k22 kn rn r x k11 k22 knrnr 其中1,2, ,nr为（2）的基础解系，由此得:

线性方程组解的结构(1)

0
0
0
0
相应的同解方程组为：
相应的同解方程组为：
x1 x3
x2
4x5 x5
x 4 0
令自由未知量
x2 x5
1 0
,
0 1
,
得基础解系
1
4
1
0
0 , 1 ,
1
0
2 0
0
1
所以, 通解为＝ c11c22c1,c2R.
※ ※ 一般常用齐次线性方程组 AX=0 的基础解系所含向量个数 n－r(A) 与系数矩A的秩的关系证明矩阵的秩。
4 0 0
0
,
4
,
0
0 0 4
x1
9 4
x3
3 4
x4
1 4
x5
x2
3 4
x3
7 4
x4
5 4
x5
9
3
1
3
7
5
得基础系： 4 , 0 , 0
1
0
2
4
3
0
0
0
4
※ 求基础解系的两种方法: (1) 求出通解后写成向量形式找出基础解系; (2) 分别取自由变量为一组线性无关的向量,
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，分别取
xr1 1 0 0
x
r2
0
,
1
,
,
0
xn
0
0
1
得到方程组AX=0的 n r 个解：
n－r个 n－r维向量。
b1r 1
b
2
r
1
b1r 2
b
2
r
2

线性方程组的解结构

迭代过程
通过迭代更新雅可比矩阵和常数项，逐步逼近方程的解。
03
线性方程组的解的结构
解的唯一性
唯一性定理
对于给定的线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该方程组有唯一解。
唯一性条件
线性方程组有唯一解的充分必要条件是其系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
唯一性判定
可以通过计算系数矩阵的行列式值或比较系数矩阵与增广矩阵的秩来判断线性方程组是否有唯一解。
03
其中 (a_1, a_2, ..., a_n) 是已知数，(x_1, x_2, ..., x_n) 是未知数，b是常数项。
线性方程组解的存在性
无解
01
当方程组的系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时，方程组无解。
有唯一解
02
当方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有唯一
解。
有无穷多解
03
当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组有无数多个解。
VS
在物理学中，线性方程组还可以用来描述波动现象、热传导、量子力学等领域的问题。通过建立物理模型，将实际问题转化为线性方程组，可以更好地理解和解决物理问题。
在经济中的应用
在经济学中，线性方程组也被广泛应用，用于描述各种经济现象和问题。例如，在微观经济学中，线性方程组可以用来描述消费者行为和生产者行为；在宏观经济学中，线性方程组可以用来描述国民收入、货币供应量等经济指标的变化规律。
在经济分析中，线性方程组还可以用来解决最优决策、最优化资源配置等问题。通过建立经济模型，将实际问题转化为线性方程组
，可以更好地理解和解决经济问题。
05
线性方程组解的数值稳定性
解的误差分析
舍入误差

线性代数A3.6 行空间与列空间

2. 行阶梯形矩阵 U 中的非零行向量构成了行空间的一组基.
3. A的行空间维数等于其行阶梯形中首元的个数.
2. 列空间
例 2
设A=
1 0 1 1
2 1 1 0 ，
3 1 2 1
(1) 求矩阵 A 的列空间的一组基和维数.
解：
A=
1 0 1 1
2 1 1 0
3 1 2 1
基为{ a1, a2 }, 维数是2.
结论
初等行变换不改变行空间.
解：作初等行变换
A=
1 2 1 1
2 4 3 0
1 2 1 5
A的行空间
U=
1 2 0 3
0 0 1 2
0 0 0 0
U 的行空间
A的行空间的一组基为 {(1, 2, 0, 3), (0, 0, 1, 2)}
A的列空间的一组基为 {(1, 2, 1), (1, 3, 1)}

课后练习:
设矩阵A ∈ × ， B ∈ × , 若rank(A)=n，
证明: rank(AB)=rank(B).
20
矩阵A的零空间.
• N(AT) 是 R3 的子空间.
矩阵A的左零空间.
• Span (r1, r2, r3)
是 R4 的子空间.
矩阵A的行空间.
1. 定义
定义设 A 一个 mn 矩阵. 由 A 的行向量张成的空间称
为矩阵 A 的行空间. 它是 n的子空间.
定义矩阵A的行空间的维数称为矩阵的秩 , 记作 rank (A).
0 1 2 1 4
0 0 0 0 0
a3 = a1 + 2a2,
a4 = a1 a3
已知 a1 = (1,2,0,1)T，a2 = (2,0,3,4)T，求 a3 , a4 = ?

线性代数线性方程组解的结构ppt课件

k1
k2
设
ξ
=
kr kr +1
是方程组的任一解.
kr+2
则
kn
y1 = c1,(r+1) yr+1 + + c1n yn
y2
=
c y 2,(r+1) r+1
+
+ c2n yn
(*)
yr = cr,(r+1) yr+1 + + crn yn
k1 = c k 1,(r+1) r+1 + k2 = c k 2,(r+1) r+1 + kr = c k r,(r+1) r+1 +
定义3 设x1, x2, , xs 都是AX=o的解,并且 (1) x1, x2, , xs线性无关； (2) AX=o的任一个解向量都能由x1, x2, , xs线性表示，
则称x1, x2, , xs为线性方程组AX=o的一个基础解系.
通解（方程组的全部解）可以表示为：k1x1 + k2x2 + + ksxs
0 0
c1nkn
c2
n
kn
+
crn kn 0
0
kn
c1r+1
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
下页
消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组

线性方程组解的结构(最新)

三、非齐次线性方程组解的性质
１．非齐次线性方程组解的性质（1）设x η1及x η2都是Ax b的解,则x η1
η2为对应的齐次方程 Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
（2）设x η是方程 Ax b的解, x ξ 是方程 Ax 0的解,则x ξ η仍是方程 Ax b 的解.
即得基础解系
1
57 1
,
2
47 0
,
0
1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2 x3 x4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
,
(c1
,
c2
R).
例2 解线性方程组
x1 x2 x3 4 x4 3 x5 0
2
x1 x1
x2 x2
3 x3 3 x3
1 0 0
1
2 1
2 0
0
0
1 0 0
2
3 0 0
9
2 23
2
0
0
由RA RB,知方程组有解.又RA 2,n r 3,
所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组
x2
x1
1 2
1 2
x3
x3 x4
2x5
9 2
3x5
23 2
step1:求非齐次方程组的一个特解
令
x3
x4
b等价;
矩阵A 1,2 ,,n 与矩阵B 1,2 ,,n , b
的秩相等.
思考题
设A是m 3矩阵,且RA 1.如果非齐次线性
方程组Ax
b的三个解向量1

线性代数线性方程组解的结构

4
例3.10 设
1 1 1 1 1
α1
0 2
,
α2
1 3
,
α3
1 a2
,
α4
2 4
, β
1
b 3
3
5
1
a
8
5
试问
(1) 当a,b取何值时, b不能由1,2,3,4线性
表示?
(2) 当a,b取何值时, b可由1,2,3,4唯一线
19
证明如果方程组AX=0的系数矩阵的秩为r, 可以通过交换系数矩阵中某些行的位置，使得位于系数矩阵的左上角的r阶子式不为零, 这样原方程组就等于下面的方程组:
多解. 而解法二是用Cramer法则来考虑(1), 系数行列式列和相等，而(2)和(3)的解法一样.
11
例3.12 试判断线性方程组
x1 x2 x3 1,
121xx11
2 x2 22 x2
3 x3 32 x3
4, 42 ,
13x1 23x2 33x3 43
是否有解, 其中1,2,3,4为互不相同的
性表示?
5
解 b能不能由1,2,3,4(唯一)线性表示,
就看是否存在(唯一的)一组数x1,x2,x3,x4使
得
x1
β
x1α1
x2α2
x3α3
x4α4
(α1
,
Байду номын сангаас
α2
,
α3
,
α4
)
x2 x3
x4
于是问题(1)就是a,b取何值时, 线性方程组
AX=b无解? 而问题(2)转化为a,b取何值时, AX=b有唯一解?其中A=(1,2,3,4)

线性方程组的解的结构

线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构ＩＴ技术２００９ＮＯ．３５科技创新导报线性方程组的解的结构刘勇(大连交通大学理学院辽宁大连 116028)摘要:本文对非齐次线性方程组进行了深入的讨论,并给出了另一种刻画非齐次线性方程组解的结构的方法,即只用自身的有限个解来表示全部的解。

从而使非齐次线性方程组解的结构更加完善。

关键词:线性方程组线性无关解的结构中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:1674-098X(2009)12(b)-0033-01线性方程组理论是线性代数最基本的内容之一,它在数学的各个领域及其他学科的各个分支都有着广泛的应用。

研究线性方程组解之间的关系及解的结构是线性方程组理论的核心内容。

齐次线性方程组解的结构可以通过自身的有限个解来表示其全部解。

而在一般的线性代数教材中关于非齐次线性方程组解的结构则是借助于它的'导出方程组的基础解系和它自身的一个解来表示。

那么,非齐次线性方程组能否也像齐次线性方程组一样也用其自身的解来表示全部解呢？这是我们要讨论的问题。

设数域P上的线性方程组为AX=B (1)对应齐次方程组可表为AX=0 (2)若令α1,α2,L,αn为A的列向量则(1)还可表为x1α1+x2α2+L+xnαn=B,显然方程组(1)有解的充要条件是B可由α1,α2,L,αn线性表示。

在解决线性方程组有解的判定之后,进一步讨论线性方程组解的结构问题。

在线性方程组解是唯一的情况下当然不存在什么结构问题。

有许多解的情况下,第一文库网所谓的解的结构问题就是解与解之间的关系问题。

同样分两种情况:1.B=O定理1设齐次线性方程组(2)有非零解即r(A)=r定理2(齐次线性方程组解的结构定理)设齐次线性方程组(2)中,r(A)=r2.B≠O定理3(非齐次线性方程组解的结构定理)设非齐次线性方程组(1)中, r(A)=r(A%)=r是非齐次线性方程组(1)的导出η1方,η2程,L组,ηn(2)?r的一个基础解系,那么非齐次线性方程组(1)的全部解为γ0+k1η1+k2η2+L+kn?rη,n?r其中k1,k2,L,kn?r∈P。

§6 线性方程组解的结构

§6 线性方程组解的结构在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.一、齐次线性方程组的解的结构设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1) 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：1. 两个解的和还是方程组的解.2. 一个解的倍数还是方程组的解.从几何上看，这两个性质是清楚的.在3=n 时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？定义17 齐次线性方程组(1)的一组解t ηηη,,,21 称为(1)的一个基础解系，如果1）(1)的任一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合；2）t ηηη,,,21 线性无关.应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩(以下将看到，r n -也就是自由未知量的个数).定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.二、一般线性方程组的解的结构如果把一般线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, (9) 的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解.2. 线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.定理9 如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解γ都可以表成ηγγ+=0其中η是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解0γ，当η取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.定理9说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解γ都可以表成r n r n k k k --++++=ηηηγγ 22110推论在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组⎩⎨⎧=++=++.,23232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a (11) (11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232221131211a a a a a a A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22322211131211b a a a b a a a A , 它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：1. 秩A =秩A =1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为A 的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.2.秩A =2秩A =1，.这就是说，这两个平面平行而不重合. 方程组无解.3. 秩A =2.这时A 的秩一定也是 2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交. 方程组有解.下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵A 的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是3x ，一般解的形式为⎩⎨⎧+=+=.,32223111x c d x x c d x (12) 从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程3222111x c d x c d x =-=-. 如果引入参数t ，令t x =3，(12)就成为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.,,3222111t x t c d x t c d x (13)这就是直线的参数方程.(11)的导出方程组是⎩⎨⎧=++=++.0,0323222121313212111x a x a x a x a x a x a (14) 从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是⎪⎩⎪⎨⎧===.,,32211t x t c xt c x (15)(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系. 例1 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0793,083,032,054321432143214321=+-+=++-=+-+=-+-x x x x x x x x x x x x x x x x的一个基础解系.例2 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.2193164,432,14523,42354321543215432154321-=-+++-=+----=--++-=-+-+x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.。

3-6 齐次线性方程组的解的结构

化系数矩阵为简化行阶梯矩阵
17:51
1
例子
考虑
一般解
17:51
2
例子
向量形式
称为齐次线性方程组的一个基础解系.
17:51 3
基础解系的概念
的解的集合
17:51
4基础解系的性质源自下面的定理6.1给出了t的值, 其证明过程给出了求基础解系的一个方法.
proof
17:51 5
例题 6.1
求下列齐次线性方程组的一般解及一个基础解系
解：
一般解
17:51
6
例题 6.1(2)
即
于是, 得到一个基础解系
17:51
7
定理6.1的证明
证: 用初等行变换将(1)的系数矩阵化成简化行阶梯矩阵. 为叙述简单起见, 设 r 个主元都是对角元:
于是, 齐次线性方程组(1)的一般解为
17:51
8
定理 6.1的证明(2)
向量形式
17:51
9
定理 6.1的证明(3)
3816齐次线性方程组的解的结构一般解全部解可以表示为若干线性无关的解基础解系的线性组合基础解析是齐次线性方程组的解空间的一组基主要结果
§6 齐次线性方程组的解的结构
一般解（全部解）可以表示为若干线性无关的解（基础解系）的线性组合基础解析是齐次线性方程组的解空间的一组基主要结果：若数域K上的n元齐次线性方程组的秩 r<n，则它有基础解系，且每一个基础解系有n- r 个元素。基础解系的求法
back
17:51 10

线性方程组解的结构

第三章线性方程组
金融数学教研室
第四节线性方程组解的结构
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 A X O A O a x a x a x 0 m2 2 mn n m1 1
x 2 c1 x3 c2 x4 c2
x 1 2 c1 c 2
一般解
x 2 1 x2 1 1 c 1 1, c 2 0 x3 0 x4 0
2 0 1 0 0 3 0 0 0 1 3 0 1 1 4 1 1 1
于是
0
0 k 1 1 k 2 2 k n r n r
0 k 1 1 k 2 2 k n r n r
即非齐次方程的任意一个解都可以表示成
0 k 1 1 k 2 2 k n r n r
令
x r 1 x r2 xn
1 0 0 0 , 1 , , 0 , 1 0 0
得导出组的基础解系 1 , 2， , n r .
⑴.非齐次线性方程组的一个解与它的导出组的一个解的和还是非齐次线性方程组的解.
A b
A
O
A ( ) A A b O b
⑵.非齐次线性方程组的两个解的差是其导出组的解.
A b
A b

A ( ) A A