异面直线所成角练习

1．如图，在正方体1111ABCD

A B C D 中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为

A ．30

B ．45

C ．60

D ．90 【答案】D 【解析】

试题分析：如图所示，连接B 1C ，

则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°． 故选：D ．

考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（ ） A 614 C 1510 【答案】B 【解析】

试题分析：设向量 1,,AB a AD b AA c ===，则11,AC a b c A D b c =++=-，

112,7AC A D ∴==， 11111114

cos ,7

AC A D AC A D AC A D

⋅<>=

=。 考点：空间向量的集合运算及数量积运算。

3．正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

【答案】C 【解析】

试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，

大小为60°

考点：异面直线所成角

4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ） A

．

5 B

．5 C ．5

10- D

．5- 【答案】B 【解析】

试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1DC F ∠为异面直线所成角，设边长为2

，

11C F DC DF ∴==

=1cos DC F ∴∠=

考点：异面直线所成角

5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ）

A 、910

B 、45

C 、710

D 、3

5

【答案】A 【解析】

试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB =

,在''

A BC ∆中

''''AC A B BC ===''9

cos 10

A BC ∴∠=

考点：异面直线所成角

6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所

成的角是 A ．︒60 B ．︒90 C ．︒45 D ．︒30 【答案】A 【解析】

试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，

．

所以PB 与AC 所成的角就是FEA ∠，由题意可知：2===AF AE EF ，

所以 60=∠FEA ．

考点：异面直线的位置关系．

7．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→

M A 1与→

1DC 所成角的余弦值为（ ）

A.62-

B.62

C. 1010-

D.10

10

【答案】A 【解析】

试题分析：以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D

xyz ，由棱长为1，则111

(0,0,0),(1,0,1),(0,,0),(0,1,1)2D A M C ,所以

111(1,,1),2A M

DC (0,1,1),故11

cos ,A M DC 101

223622

，故选A. 考点：空间向量所成角的余弦值.

8．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为BC AB 、中点，则异面直线EF 与

1AB 所成角的余弦值为

A ．

23 B ．33 C ．22 D ．2

1 【答案】D 【解析】

试题分析：联结AC 、1B C 则1B AC ∠ 即为所成的角。1B AC 为等边三角形，所以11cos cos602

B A

C ∠==

考点：异面直线所成的角

9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所的 θ角的取值范围是（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】如图，连结CD'，则异面直线CP 与BA'所成的角θ 等于∠D'CP ，由图可知，当P 点与A 点重合时，θ＝

3

π 当P 点无限接近D'点时，θ趋近于0.由于是异面直线，故θ≠0. 选D

考点：空间几何体，异面直线所成角

10．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；

②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；

④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的个数是

P