考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法

考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法

来源：文都教育

在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。

一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法

1、用初等行变换求逆矩阵1A -：对(,)A E 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1

A -，即1(,)(,)r

A E E A -→，由此即求得1A -；

2、用初等列变换求逆矩阵1A -：求1A -也可用初等列变换，对A E ⎛⎫

⎪⎝⎭

作初等列

变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1

A -，即1c A E E A -⎛⎫⎛⎫

→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

由此即求得1A -；

3、用初等行变换求1A B -：对(,)A B 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1

A B -，即1(,)(,)r

A B E A B -→，由此即求得1A B -；

4、用初等列变换求1BA -：对A B ⎛⎫

⎪⎝⎭

作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵

E ，这时矩阵B 就变为1

BA -，，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫

→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，由此1BA -此即求得1BA -.

上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取B E =即得1）和2）。

下面只要证明3）和4）即可。

证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等行变换得到单位矩阵E 相当于A 左乘一个可逆阵P ，使PA E =，这时

1

P A -=，1

(,)(,)(,)(,B)P A B PA PB E PB E A -===，即1(,)(,)r

A B E A B -→；

4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等列变换得到单位矩阵E 相当于A 右乘一个可逆阵P ，使AP E =，

这时1

P A -=，1A AP E P B BP BA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.

二、典型实例

例1.设011111112A -⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪--⎝⎭

，求1A -.

解：作初等行变换：

011100111010(,)111010011100112001021011r r

A E --⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭

1111010100312011100010111(,)001211001211r

r E A -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

→--→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭

，故1312111211A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

.

例2.解矩阵方程211113210432111X -⎛⎫

-⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭

.

解：记上面的方程为XA B =，因为0A ≠，所以A 可逆，1X BA -=，

对A B ⎛⎫

⎪⎝⎭作初等列变换得：21112110

021012010

11111

1113

011311313

243234232

5c c

c A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→→--- ⎪

⎪ ⎪

⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝

⎭⎝⎭

1

001001

001100101101

010*******

122

112328235235533

3c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→→-

⎪ ⎪ ⎪--

⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---

- ⎪ ⎪

⎝

⎭⎝

⎭⎝⎭

，故12218253

3X BA --⎛⎫

⎪== ⎪-- ⎪

⎝⎭. 矩阵的逆运算是一种最基本最重要的运算，而初等变换是求逆矩阵的一种最常用的方法，大家一定要熟练掌握。在上面计算1A B -和1BA -的方法中，我们分别通过初等行变换和列变换一次性求出其结果，这显然比先求出1A -然后求乘积

1A B -和1BA -要简捷方便，在考试中也能节省时间和提高解题速度。最后祝愿各位考研成功。