考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
用矩阵的初等变换求逆矩阵_百度文库.
用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出在前面我们以学习了用公式求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？（饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1.定理2.4 对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理2.5的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。
即4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E，其中E为与A 同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E 的位置变换为我们所要求的,即三，讲解例题1. 求逆矩阵方法的应用之一例解：四，知识拓展2．求逆矩阵方法的应用之二利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。
例解：而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）对一般的矩阵方程求解，我们可以先求，然后求X＝B。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求就是求解矩阵方程的解，而对一般的矩阵方程只要将中的E换成B，然后利用初等行变换，即其中的B即为所求矩阵方程的X。
例解：。
逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容矩阵是线性代数的主要内容,,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷..逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, , , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一要内容之一..本文将给出几种求逆矩阵的方法本文将给出几种求逆矩阵的方法..1.利用定义求逆矩阵定义定义: : : 设设A 、B B 都是都是都是n n n 阶方阵阶方阵阶方阵, , , 如果存在如果存在如果存在n n n 阶方阵阶方阵阶方阵B B B 使得使得使得AB= BA = E, AB= BA = E, AB= BA = E, 则称则称则称A A 为可逆矩阵可逆矩阵, , , 而称而称而称B B 为A A 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵..下面举例说明这种方法的应用下面举例说明这种方法的应用. .例1 求证求证: : : 如果方阵如果方阵如果方阵A A A 满足满足满足A k= 0, A k= 0, A k= 0, 那么那么那么EA EA EA是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵, , , 且且（E-A E-A））1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为因为E E E 与与A A 可以交换可以交换可以交换, , , 所以所以所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,= 0 ,于是得于是得于是得(E-A)(E-A)（（E+A+A 2+…+…+A +A 1-K ）=E =E，，同理可得（同理可得（E + A + A E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E (E-A)=E，，因此因此E-A E-A E-A是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵,,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明同理可以证明(E+ A)(E+ A)(E+ A)也可逆也可逆也可逆,,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（+…+（-1-1-1））1-K A 1-K .由此可知由此可知, , , 只要满足只要满足只要满足A A K =0=0，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵E E ±A 的逆矩阵的逆矩阵. .例2 设 A =úúúúûùêêêêëé0000300000200010,求 E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .分析 由于由于由于A A 中有许多元素为零中有许多元素为零, , , 考虑考虑考虑A A K 是否为零矩阵是否为零矩阵, , , 若为零矩阵若为零矩阵若为零矩阵, , , 则可以则可以采用例采用例2 2 2 的方法求的方法求的方法求E-A E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .解 容易验证容易验证容易验证A 2=úúúúûùêêêêëé0000000060000200， A 3=úúúúûùêêêêëé0000000000006000， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,)=E,所以所以所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=úúúûùêêêëé1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法常用初等变换法常用初等变换法..如果如果A A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵等变换，化为单位矩阵I I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s pp p 21A=I A=I，用，用，用A A 1-右乘上式两端，得：右乘上式两端，得： （（2）s p p p 21I= A 1- 比较（比较（11（）（22）两式，可以看到当）两式，可以看到当A A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵矩阵I I 作同样的初等变换，就化为作同样的初等变换，就化为A A 的逆矩阵的逆矩阵A A 1-.用矩阵表示（用矩阵表示（A I A I A I））¾¾¾®¾初等行变换为（为（I A I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法它是实际应用中比较简单的一种方法..需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换等变换..同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. .例1 求矩阵求矩阵A A 的逆矩阵的逆矩阵..已知已知A=A=úúúûùêêêëé521310132.解 [A I]®úúúûùêêêëé100521010310001132®úúúûùêêêëé001132010310100521® úúúûùêêêëé--3/16/16/1100010310100521®úúúûùêêêëé-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=úúúûùêêêëé-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道在事先不知道n n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法..如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着则意味着A A 不可逆，因为此时表明A =0=0，，则A 1-不存在不存在. .例2 求A=úúúûùêêêëé987654321.解 [A E]=úúûùêêëé100987010654001321®úúûùêêëé------1071260014630001321® úúúûùêêêëé----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为由于左端矩阵中有一行元素全为00，于是它不可逆，因此，于是它不可逆，因此A A 不可逆不可逆. .3.伴随阵法定理 n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=[a A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是A A 非奇异非奇异..且A 1-=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............ (212221212111)其中其中A A ij 是A 中元素中元素a a ij 的代数余子式的代数余子式. .矩阵úúúúûùêêêêëénn nn n n A A A A A A A A A (2122212)12111称为矩阵称为矩阵A A 的伴随矩阵，记作的伴随矩阵，记作A A 3，于是有，于是有A A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I =I，，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ¹0，即A 为非奇异为非奇异. .充分性：充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵为非奇异，存在矩阵B=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A (21222)1212111， 其中其中AB=úúúûùêêêëénn n n n n a a a a a aa a a ............... (2)12222111211´A 1úúúûùêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............... (212)221212111=A 1úúúúûùêêêêëéA A A A ...00.........0...00...0=úúúúûùêêêêëé1...00...1......0...100 (01)=I同理可证同理可证BA=I. BA=I.由此可知，若由此可知，若A A 可逆，则可逆，则A A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循规律可循..因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，次对次对角线的元素变号即可角线的元素变号即可. .若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或个或99个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错出现符号及计算的差错..对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I =I来检验来检验来检验..一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查旦发现错误，必须对每一计算逐一排查. .4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且都是非奇异矩阵，且A A 11为n 阶方阵，阶方阵，A A 22为m 阶方阵阶方阵úûùêëé22110A A úûùêëé--12211100AA 证明 因为A =22110A A =11A 22A ¹0, 0, 所以所以所以A A 可逆可逆. . 设A 1-=úûùêëéW ZY X，于是有úûùêëéW ZY X úûùêëé22110A A =úûùêëém nI I 00,其中其中 X A X A 11=I n ， Y A 22=0=0，，Z A 11=0=0，，W A 22=I m .又因为又因为A A 11、A 22都可逆，用都可逆，用A A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0Y=0，，Z=0Z=0，，W= A 122-故 A 21= úûùêëé--1221110A A把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-úúúúûùêêêêëék A A A =úúúúúûùêêêêêëé---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有都是非奇异矩阵，则有1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122121111110A A A A A证明 因为因为úûùêëé2212110A A A úûùêëé--I A A I 012111=úûùêëé22110A A两边求逆得两边求逆得1121110--úûùêëé-I A A I 12212110-úûùêëéA A A =úûùêëé--12211100A A 所以所以 1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé--I A A I 012111úûùêëé--12211100A A=úûùêëé-----122122121111110A A A A A同理可证同理可证12221110-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. . . 是特殊方阵求逆的是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
对调I的两行
对调I的两列
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
定义 对换矩阵的两行（或两列）；
记为
2. 以任意数
乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行 （或列）的对应元上去.
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
返回
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. ※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应
的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 ※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 ※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. ※定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵. ※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示 为有限个初等矩阵的乘积。
1.7（2）（5）
1.10
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
线性方程组的初等变换有三种： 1. 互换两个方程的位置； 2. 把某个方程两边同乘以一个非零常数； 3. 将某个方程加上另一个方程的k倍.
矩阵的乘法及求逆运算 最终版
(1)
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
记
a11
A
a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a33
,
x1
x
x2 x3
,
b1
b
b2 b3
则方程组(1)可表示为 Ax b.
二.矩阵的求逆
一、逆矩阵的概念 二、方阵可逆的判别定理 三、逆矩阵的基本性质 四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
0
1
5
逆矩阵求解方法七——恒等变形
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其
逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒 等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。
1
3
例 . 已知 A6 I，求 A11，其中 A 2
2
3 1
x1i
Xi
x2i
x3i
解得：
（i 1, 2,3）
1 3 2
A1
X
3
3
5
2
2
0 11 1
逆矩阵求解方法六——准对角矩阵
A11 0 L
定义：形如A
0
A22 L
L L L
0
0L
A称为准对角矩阵
0
0
0
1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0
0
0
1
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法来源：文都教育在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。
初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。
下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。
一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法1、用初等行变换求逆矩阵1A -：对(,)A E 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1A -，即1(,)(,)rA E E A -→，由此即求得1A -；2、用初等列变换求逆矩阵1A -：求1A -也可用初等列变换，对A E ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1A -，即1c A E E A -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此即求得1A -；3、用初等行变换求1A B -：对(,)A B 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1A B -，即1(,)(,)rA B E A B -→，由此即求得1A B -；4、用初等列变换求1BA -：对A B ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1BA -，，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此1BA -此即求得1BA -.上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取B E =即得1）和2）。
下面只要证明3）和4）即可。
证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等行变换得到单位矩阵E 相当于A 左乘一个可逆阵P ，使PA E =，这时1P A -=，1(,)(,)(,)(,B)P A B PA PB E PB E A -===，即1(,)(,)rA B E A B -→；4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等列变换得到单位矩阵E 相当于A 右乘一个可逆阵P ，使AP E =，这时1P A -=，1A AP E P B BP BA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.二、典型实例例1.设011111112A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，求1A -.解：作初等行变换：011100111010(,)111010011100112001021011r rA E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1111010100312011100010111(,)001211001211rr E A -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，故1312111211A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.例2.解矩阵方程211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭.解：记上面的方程为XA B =，因为0A ≠，所以A 可逆，1X BA -=，对A B ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换得：211121100210120101111111130113113132432342325c cc A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→→--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110010110101001103121221123282352355333c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→→- ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故122182533X BA --⎛⎫⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭. 矩阵的逆运算是一种最基本最重要的运算，而初等变换是求逆矩阵的一种最常用的方法，大家一定要熟练掌握。
初等行列变换求逆矩阵 -回复
初等行列变换求逆矩阵-回复初等行列变换是矩阵运算中的一种基本操作，其主要目的是通过一系列的行列变换操作将矩阵转化为某个特定的形式，以便于进行进一步的计算。
在求解逆矩阵的过程中，初等行列变换是一种非常有效且常用的方法。
一、初等行列变换的定义和操作初等行列变换是指通过对矩阵的行列进行一系列的操作，从而改变矩阵的形式，但不改变矩阵的秩。
在初等行列变换中，可以进行三种操作：对调两行（列），将某一行（列）乘以非零常数，将某一行（列）的倍数加到另一行（列）上。
二、初等行列变换的求逆矩阵应用在矩阵运算中，我们经常需要对矩阵进行求逆运算。
求逆矩阵指的是找到一个与原始矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵，即逆矩阵。
通过初等行列变换可以简化计算逆矩阵的过程。
三、求逆矩阵的初等行列变换步骤1. 将原矩阵和单位矩阵合并为增广矩阵[A I]。
2. 对增广矩阵进行初等行列变换，将[A I]变为[I B]，其中B为逆矩阵。
1) 交换两行：如果需要将第i行与第j行进行交换，则通过交换增广矩阵中的第i行与第j行来实现。
2) 将某一行乘以非零常数：如果需要将第i行乘以非零常数k，则通过将增广矩阵中的第i行的每个元素都乘以k来实现。
3) 将某一行的倍数加到另一行上：如果需要将第i行的r倍加到第j行上，则通过将增广矩阵中的第i行的每个元素分别乘以r，并与第j行对应位置的元素相加来实现。
3. 假设经过初等行列变换后的增广矩阵为[I B]，则B即为原矩阵的逆矩阵。
四、求逆矩阵的数学证明求逆矩阵的过程可以理解为对增广矩阵进行一系列的初等行列变换，从而将增广矩阵转化为单位矩阵。
通过数学证明可以证明初等行列变换的有效性。
引理1：如果矩阵A 能经过一系列初等行列变换变为I，则恒有A^-1 与I 相等。
证明：设A 的增广矩阵为[A I]，经过初等行列变换可以得到增广矩阵[I B]，则有A·B=I。
因此，B 就是A 的逆矩阵。
引理2：一个非奇异矩阵A 能通过初等行列变换变为I，则A 的行向量组是线性无关的，也就是说，矩阵A 是满秩的。
1.2矩阵的初等变换与逆矩阵的求法-文档资料
※1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵.
※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示
为有限个初等矩阵的乘积。
证明1.3，1.4，1.5
10
用初等行变换求逆矩阵
原理：可逆矩阵A可以分解为若干初等矩阵的乘积，
设
AP1P2 Pt
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。
返回24
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
9
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积
则
P t 1 P 2 1P 1 1AI
P t 1 P 2 1P 1 1IA 1
上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，
在把A化为单位阵的同时，就把I化为了A的逆
矩阵。
做法：将A与I按照行的方向组合成一个大矩阵，对
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，
原来的I部分就成为A的逆。
11
例题
初等变换在矩阵计算中的运用2X3阶行列式的计算方法
初等变换在矩阵计算中的运用2X3阶行列式的计算方法线性代数是高等数学的一个重要分支,而矩阵理论则是线性代数的主要内容和重要基础,在科学决策、工程技术等方面都有着广泛的应用。
其中,矩阵的初等变换则是贯穿矩阵理论的始终,在线性代数中起着重要的作用。
因此本文主要介绍矩阵初等变换的几种应用。
一、矩阵初等变换的概念1.交换矩阵的两行(列);2.以一个非零的数乘矩阵的某行(列),即用一个非零的数乘矩阵某一行(列)中的每一个数;3.用一个非零的数乘矩阵的某行(列)加到另一行(列),即用某一个非零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素加到另一行(列)的对应元素上。
二、矩阵初等变换的应用(一)用初等变换求逆矩阵在矩阵理论中,逆矩阵占了一个很重要的地位,因此如何求逆矩阵就变得十分重要。
通常,我们可以用矩阵的初等变换或者利用伴随矩阵来求逆矩阵,但是如果利用伴随矩阵来计算n阶矩阵的逆矩阵,就必须计算n2+1个行列式,过程相当复杂,因此常用的方法就是矩阵的初等变换。
对于任意矩阵A,求逆矩阵A-1的过程如下:1.用一个与矩阵A同阶的单位矩阵E与A组成一个n×2n矩阵(A:E)2.利用矩阵初等变换法则,将矩阵(A:E)的左半部分化为单位矩阵,此时其右半部分即为A-1,即例1.求矩阵A=的逆矩阵。
(二)用初等变换求解矩阵方程常见的矩阵方程形如XA=B,AX=B与A×B=C,若A,B均可逆,则矩阵方程可解,其解分别为X=BA-1,X=A-1B与X=A-1BC-1。
例如XA=B,在计算过程中,可把An×n与Bm×n上下放一起构造出(m×n)×n矩阵,即,即可求得X=BA-1。
同理,若对于AX=B,可把An×n与Bm×n并排放一起,即,即可求出X=A-1B。
对于一般的矩阵方程,此方法简单易行,如下例:例2.设矩阵与矩阵X满足关系式X+A=XA,求矩阵X。
解:由已知X+A=XA,有X(A-E)=A,而,构造3×6矩阵(三)用初等变换求矩阵的秩对于矩阵A,若矩阵A存在一个非零的k阶子式B,而所有k+1阶子式都为0,则B即为矩阵A的最高阶非零子式,且子式B的阶数k即为矩阵A的秩,即秩A=k。
求逆矩阵的方法
求逆矩阵的方法逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它在线性代数、微积分、概率统计等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对矩阵进行逆运算，以便求解方程组、进行线性变换等。
那么，如何求逆矩阵呢？下面我们将介绍几种常用的方法。
1. 初等变换法。
初等变换法是求逆矩阵的一种常用方法。
首先，我们将待求逆的矩阵写成增广矩阵的形式，即将单位矩阵拼接在原矩阵的右侧，然后通过一系列的初等行变换，将原矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的右侧就是所求的逆矩阵。
这种方法简单直观，适用于小规模矩阵的求逆运算。
2. 初等矩阵法。
初等矩阵法是另一种常用的求逆矩阵的方法。
我们知道，对一个矩阵进行一系列的初等行变换，实质上可以看作是左乘一个初等矩阵，因此，如果我们能够找到一系列的初等矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵，那么这些初等矩阵的逆矩阵的乘积就是原矩阵的逆矩阵。
这种方法适用于大规模矩阵的求逆运算，因为可以通过计算初等矩阵的逆矩阵，避免直接进行行变换。
3. 克拉默法则。
克拉默法则是另一种求逆矩阵的方法，它适用于方阵且可逆的情况。
根据克拉默法则，一个矩阵的逆矩阵可以通过它的伴随矩阵来求解，具体的求解过程可以通过矩阵的代数余子式和行列式来完成。
这种方法在理论上很有意义，但在实际计算中往往效率较低，因此一般不适用于大规模矩阵的求逆运算。
4. 特征值和特征向量法。
特征值和特征向量法是一种更加高级的求逆矩阵的方法。
通过求解矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的对角化形式，从而进一步求得矩阵的逆矩阵。
这种方法在理论上非常有深度和广泛的适用性，但在实际计算中往往较为复杂，因此一般适用于特定的矩阵结构和特定的求逆问题。
综上所述，求逆矩阵的方法有很多种，我们可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。
在实际应用中，我们往往会结合多种方法，以求得更加高效和精确的结果。
希望本文介绍的方法能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法主要有以下几种方法：
1.利用定义求逆矩阵：如果矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得
AB=BA=E，其中E为单位矩阵。
利用这个定义，可以通过特定的算法计算出矩阵A的逆矩阵B。
2.初等变换法：对于元素为具体数字的矩阵，可以利用初等行变换化为单位
矩阵的方法来求逆矩阵。
如果A可逆，则A可通过初等行变换化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使（1）式成立。
同时，用右乘上式两端，得到（2）式。
比较（1）、（2）两式，可以看到当A通过初等行变换化为单位处阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等行变换，就化为A的逆矩阵。
这种方法在实际应用中比较简单。
3.伴随阵法：如果A是n阶可逆矩阵，那么A的伴随矩阵A也是可逆的，且
(A)-1=A*/|A|。
利用这个公式可以方便地计算出A的逆矩阵。
4.恒等变形法：利用恒等式的变形规律来求逆矩阵。
例如，利用行列式的性
质和展开定理，可以计算出矩阵的行列式值，从而得到逆矩阵。
需要注意的是，不同的方法适用于不同类型的矩阵和问题，因此在选择方法时应根据具体情况进行选择。
同时，在实际应用中还需注意计算的精度和稳定性等问题。
初等变换的逆矩阵
初等变换的逆矩阵初等变换是矩阵运算中的一种基本操作，它可以通过对矩阵的行或列进行加减乘除等操作，来改变矩阵的形式和性质。
在矩阵的求解和应用中，初等变换是非常重要的一种工具，它可以帮助我们简化矩阵的运算和求解过程，提高计算效率和准确性。
在初等变换中，我们通常会用到三种基本的操作，即交换矩阵的两行或两列、将矩阵的某一行或某一列乘以一个非零常数、将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的若干倍。
这些操作可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现，其中逆矩阵是指对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，那么B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
在初等变换中，我们可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现三种基本操作，具体如下：1. 交换矩阵的两行或两列假设我们要交换矩阵A的第i行和第j行，那么我们可以构造一个交换矩阵P，使得P*A交换了第i行和第j行，即：P = [1, 0, ..., 0, 0, ..., 1, 0, ..., 0][0, 1, ..., 0, 0, ..., 0, 1, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ...][0, 0, ..., 0, 1, ..., 0, 0, ..., 1][0, 0, ..., 1, 0, ..., 0, 0, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ...][0, 0, ..., 0, 0, ..., 1, 0, ..., 0][0, 0, ..., 0, 0, ..., 0, 1, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ...]其中，P的第i行和第j行交换了1的位置，其余位置都是0。
这样，我们就可以通过P*A来交换矩阵A的第i行和第j行。
同样地，如果我们要交换矩阵A的第i列和第j列，那么我们可以构造一个交换矩阵Q，使得A*Q交换了第i列和第j列，即：Q = [1, 0, ..., 0, 0, ..., 0][0, 1, ..., 0, 0, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ...][0, 0, ..., 0, 1, ..., 0][0, 0, ..., 1, 0, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ...][0, 0, ..., 0, 0, ..., 1][0, 0, ..., 0, 0, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ...]其中，Q的第i列和第j列交换了1的位置，其余位置都是0。
初等变换法求逆矩阵原理
初等变换法求逆矩阵原理嘿，朋友们！今天咱来唠唠初等变换法求逆矩阵这个神奇的事儿。
咱就说矩阵啊，就像是一个神秘的大盒子，里面装着好多好多数字。
而逆矩阵呢，就像是这个大盒子的一把钥匙。
那怎么找到这把钥匙呢？这就得靠初等变换法啦！你想啊，这就好比是搭积木，我们要把一堆乱乱的积木搭成我们想要的形状。
初等变换就像是我们的小手，这儿动动，那儿挪挪，慢慢地就把积木搭好了。
比如说，我们有一个矩阵，乍一看，哇，好复杂呀！但别慌，我们就开始用初等变换法。
就像是解开一团乱麻，一点点地理清楚。
我们通过行变换或者列变换，把这个矩阵慢慢地变成一个我们熟悉的样子。
这过程是不是很有趣呢？就好像是在玩一个解谜游戏。
我们不断地尝试，不断地探索，直到找到那个正确的答案。
而且哦，初等变换法可神奇了，它就像一个魔法棒，轻轻一挥，就能把复杂的问题变得简单起来。
你难道不觉得这很厉害吗？比如说，我们遇到一个很难搞的矩阵，怎么看都不知道该怎么办。
但只要我们拿起初等变换这个魔法棒，嘿，奇迹就发生了！那些数字就开始乖乖地听话，按照我们想要的方式排列起来。
这就好像是我们在走迷宫，一开始找不到路，但是只要我们沿着正确的方向走，慢慢地就能走出去啦。
初等变换法就是我们在矩阵迷宫里的指引呀！你再想想，要是没有初等变换法，我们面对那些复杂的矩阵该怎么办呢？岂不是要抓耳挠腮，不知所措啦？所以说呀，初等变换法求逆矩阵真的是太重要啦！它就像是我们在数学世界里的秘密武器，有了它，我们就能攻克一个又一个难题。
朋友们，好好去感受初等变换法的神奇吧！让我们在矩阵的世界里畅游，找到那把打开神秘大门的钥匙！这就是初等变换法求逆矩阵，是不是很有意思呢？真的值得我们好好去钻研呀！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
求矩阵逆矩阵的常用方法
求矩阵逆矩阵的常用方法介绍在线性代数中，矩阵逆运算是一个重要的概念。
逆矩阵是指对于一个非零矩阵A，存在另一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵。
求矩阵逆矩阵的常用方法有多种，本文将详细探讨其中的三个常见方法：伴随矩阵求逆、初等变换法和特征值法。
伴随矩阵求逆伴随矩阵求逆是一种常见的求解矩阵逆矩阵的方法。
下面给出详细步骤：1.计算矩阵的行列式，如果行列式为0，则矩阵不可逆。
2.计算矩阵的伴随矩阵，伴随矩阵的定义是原矩阵的代数余子式矩阵的转置矩阵。
3.将伴随矩阵的元素除以原矩阵的行列式得到逆矩阵。
初等变换法初等变换法是求解矩阵逆矩阵的另一种常用方法，它通过一系列的初等行变换将原矩阵转换为单位矩阵，同时将单位矩阵通过相同的初等行变换转换为逆矩阵。
下面是具体步骤：1.将原矩阵A和单位矩阵B合并为[A|B]的形式。
2.对[A|B]进行一系列的初等行变换，将A转换为单位矩阵I。
3.将变换后的矩阵记作[A’|B’]，此时B’即为A的逆矩阵。
特征值法特征值法是求解矩阵逆矩阵的另一种方法，它利用矩阵的特征值和特征向量的性质来求解逆矩阵。
下面是具体步骤：1.计算矩阵A的特征值和特征向量。
2.如果矩阵A的特征值中有0，则矩阵A不可逆。
3.计算矩阵A的特征值的倒数，得到特征值矩阵Λ。
4.计算特征向量的逆矩阵V的转置矩阵。
5.根据矩阵A的逆矩阵公式A^(-1) = VΛ(-1)V T，计算出逆矩阵A^(-1)。
总结本文介绍了求矩阵逆矩阵的常用方法，包括伴随矩阵求逆、初等变换法和特征值法。
其中，伴随矩阵求逆适用于已知矩阵的行列式非零的情况，初等变换法适用于通过一系列初等行变换将原矩阵转换为单位矩阵的情况，而特征值法适用于已知矩阵的特征值和特征向量的情况。
不同的方法在不同的情况下具有不同的适用性和计算复杂度，根据具体问题的实际需求选择合适的方法来求解矩阵逆矩阵。
参考资料1.陈红霞, 邵子涵. 线性代数与线性规划. 清华大学出版社, 2012.2.彭丽慧. 数学方程与矩阵变换. 清华大学出版社, 2004.3.Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 2016.。
初等行变换求逆矩阵的技巧
初等行变换求逆矩阵的技巧下面将介绍一些常用的初等行变换技巧来求解逆矩阵。
1.利用初等行变换将矩阵A转化为行阶梯形矩阵。
这是求解逆矩阵的第一步。
通过利用矩阵的初等行变换，将矩阵A化为行阶梯形矩阵，记为U。
即通过一系列的行交换、行倍加和行倍乘操作，将矩阵A转化为U。
这个过程的关键是找到一个主元（pivot），即每一行的第一个非零元素，并将其所在的列的其他元素清零。
通过执行这样的操作，逐渐使得矩阵A变成U。
2.利用初等行变换将行阶梯形矩阵U进一步化为行最简形矩阵R。
在上一步求得行阶梯形矩阵U后，接下来的目标是将其进一步化为行最简形矩阵R。
行最简形矩阵是行阶梯形矩阵的基础上，对每个主元所在行的主元下面的元素都清零。
通过再次执行一系列的行交换、行倍加和行倍乘操作，将U化为R。
3.根据行最简形矩阵R判断是否存在逆矩阵。
行最简形矩阵R具有如下特点：主元所在行的主元上面和下面的所有元素都为零，并且主元的取值非零。
如果行最简形矩阵R的最后一行不是全零行，则说明矩阵A没有逆矩阵。
4.利用行最简形矩阵R求解矩阵A的逆矩阵。
如果行最简形矩阵R的最后一行是全零行，可以继续利用初等行变换，通过行交换、行倍加和行倍乘操作将R化为单位矩阵I。
在这个过程中，同时对另一个初始为单位阵的矩阵进行相同的初等行变换操作。
最终，当R化为I后，另一个矩阵自动得到A的逆矩阵A^-1需要注意的是，在执行初等行变换的过程中，必须确保保持矩阵的相等性。
这意味着在每一步的行交换、行倍加和行倍乘操作后，矩阵的值必须保持不变，在每一步的操作中如果不满足这一条件则需要重新考虑相应的操作。
总结起来，求逆矩阵的关键是通过初等行变换将矩阵A化为行最简形矩阵R，然后再进行逆初等行变换将R转化为单位矩阵I，同时对另一个初始为单位阵的矩阵进行相同的初等行变换操作，最终得到矩阵A的逆矩阵A^-11.将矩阵A与一个初始为单位矩阵的矩阵B并排组成一个增广矩阵[A，B]。
2.通过一系列的初等行变换，将矩阵A化为行阶梯形矩阵U的同时，将矩阵B也按照相同的方式进行变换。
矩阵求逆矩阵的方法
矩阵求逆矩阵的方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在矩阵运算中，求逆矩阵是一个常见且重要的问题。
本文将介绍几种常见的矩阵求逆方法，希望能为您解决相关问题提供帮助。
方法一，初等变换法。
初等变换法是求解逆矩阵的常用方法之一。
通过一系列的初等行变换，可以将原矩阵变换为单位矩阵，此时原矩阵的逆矩阵即为初等变换的过程中得到的单位矩阵。
这种方法简单直观，适用于小规模矩阵的求逆计算。
方法二，伴随矩阵法。
伴随矩阵法是一种基于代数余子式的求逆方法。
对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，逆矩阵的计算公式为A^(-1) = (1/det(A)) adj(A)，其中det(A)为矩阵A的行列式。
这种方法适用于任意规模的矩阵，但计算过程相对复杂。
方法三，矩阵分块法。
矩阵分块法是一种将矩阵划分成若干个子块，从而简化矩阵求逆的方法。
通过适当选择分块的方式，可以将原矩阵转化为易于求逆的形式，从而简化计算过程。
这种方法在处理特定结构的矩阵时具有一定的优势。
方法四，特征值和特征向量法。
特征值和特征向量法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来求解逆矩阵的方法。
对于一个n阶矩阵A，如果其具有n个线性无关的特征向量，且这些特征向量构成了n阶可逆矩阵P，那么A的逆矩阵可以表示为PΛ^(-1)P^(-1)，其中Λ为A的特征值构成的对角矩阵。
这种方法需要先求解矩阵的特征值和特征向量，然后进行矩阵的相似对角化，计算相对复杂。
方法五，数值计算法。
数值计算法是一种通过数值计算的方式来求解逆矩阵的方法。
通过数值稳定的算法，可以对矩阵进行数值计算，从而得到逆矩阵的近似值。
这种方法适用于大规模矩阵的求逆计算，但需要注意数值稳定性和计算精度的问题。
总结。
矩阵求逆是矩阵运算中的重要问题，不同的求逆方法适用于不同的情况。
在实际应用中，可以根据矩阵的规模和特点选择合适的求逆方法，从而高效地求解逆矩阵。
希望本文介绍的方法能为您在实际问题中提供一定的帮助。
矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
矩阵。
做法：将A与I按照行的方向组合成一个大矩阵，对
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候， 原来的I部分就成为A的逆。
例题
设
，求
解：
小结
本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号； 2. 初等矩阵的性质； 3. 用初等行变换求逆矩阵.
作业
P34 1.7（2）（5） 1.10
初等变换
1.2 矩阵的初等变换与 逆矩阵的求法
本节内容
1. 线性方程组的同解变换； 2. 矩阵的初等变换； 3. 初等矩阵； 4. 用初等行变换求逆矩阵.
线性方程组的同解变换
同解变换，就是变换后的线性方程组与原线性方程组 同解。
初等变换就是线性方程组的同解变换。 定理：设方程组经过某一初等变换后变为另一个方程
组，则新方程组与原方程组同解。（证明看课本第9页）
矩阵的初等变换
定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换： 1. 对换矩阵的两行（或两列）；
记为 ri rj(ci cj)
2. 以任意数(0)乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或ri列(）ci)的每个元乘以同一常数加到另一行
（或列）的对应元上去. 记为
或
注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不 能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程 组的同解变换。
初等矩阵
定义：由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初 等矩阵。 由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有 三种类型。 （1）对调I的两行（或两列）； （2）非零数乘以I中的某行（或某列）； （3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。 初等矩阵都是可逆的，并且
矩阵的初等行变换的定义，完全对应着方程组的同解 变换。因此，对矩阵进行初等行变换使其成为阶 梯形矩阵的过程，实际上就是对方程组进行同解 变换使其变为阶梯形状的过程。
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考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
来源：文都教育
在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。
初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。
下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。
一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
1、用初等行变换求逆矩阵1A -：对(,)A E 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1
A -，即1(,)(,)r
A E E A -→，由此即求得1A -；
2、用初等列变换求逆矩阵1A -：求1A -也可用初等列变换，对A E ⎛⎫
⎪⎝⎭
作初等列
变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1
A -，即1c A E E A -⎛⎫⎛⎫
→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
由此即求得1A -；
3、用初等行变换求1A B -：对(,)A B 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1
A B -，即1(,)(,)r
A B E A B -→，由此即求得1A B -；
4、用初等列变换求1BA -：对A B ⎛⎫
⎪⎝⎭
作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵
E ，这时矩阵B 就变为1
BA -，，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫
→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由此1BA -此即求得1BA -.
上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取B E =即得1）和2）。
下面只要证明3）和4）即可。
证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等行变换得到单位矩阵E 相当于A 左乘一个可逆阵P ，使PA E =，这时
1
P A -=，1
(,)(,)(,)(,B)P A B PA PB E PB E A -===，即1(,)(,)r
A B E A B -→；
4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等列变换得到单位矩阵E 相当于A 右乘一个可逆阵P ，使AP E =，
这时1
P A -=，1A AP E P B BP BA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
二、典型实例
例1.设011111112A -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
，求1A -.
解：作初等行变换：
011100111010(,)111010011100112001021011r r
A E --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
1111010100312011100010111(,)001211001211r
r E A -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→--→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
，故1312111211A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
.
例2.解矩阵方程211113210432111X -⎛⎫
-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭
.
解：记上面的方程为XA B =，因为0A ≠，所以A 可逆，1X BA -=，
对A B ⎛⎫
⎪⎝⎭作初等列变换得：21112110
021012010
11111
1113
011311313
243234232
5c c
c A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→→--- ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
1
001001
001100101101
010*******
122
112328235235533
3c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→→-
⎪ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---
- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
，故12218253
3X BA --⎛⎫
⎪== ⎪-- ⎪
⎝⎭. 矩阵的逆运算是一种最基本最重要的运算，而初等变换是求逆矩阵的一种最常用的方法，大家一定要熟练掌握。
在上面计算1A B -和1BA -的方法中，我们分别通过初等行变换和列变换一次性求出其结果，这显然比先求出1A -然后求乘积
1A B -和1BA -要简捷方便，在考试中也能节省时间和提高解题速度。
最后祝愿各位考研成功。