第六章(3)-逆Z变换PPT课件
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逆z变换.
(z zi )s
X (z)
z
zzi
在这种情况下，X(z)也可展开为下列形式
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Cjz j (z zi ) j
其中，对于j=s项系数
Cs
z
zi z
s
X (z)
zzi
其他各Cj系数由待定系数法求出
思考题
• 1. 逆变换的定义式？ • 2. 求逆变换的方法？ • 3. 利用部分分式展开法求逆变换的步骤？
z
X(z)
z
z (z 1)(z 2)
X z A B
z z1 z2
A (z 1)
z
(z 1)(z 2)
1 同理：B＝2
z1
X(z) 1 2 z z1 z2
部分分式乘以 z
X(z) z 2z z1 z2
查表 x(n) u(n) 2(2)nu(n)
收敛域与原函数的对应
围坐标原点的逆时针方向的围线
j Im(z)
C， X的z全z部n1极点都在积分路
线的内部。已知
0
X z xnz n
1
n0
1式两边同乘以z m1，并进行围线积分
Re(z) C
1 X zzm1 d z 1x nFra bibliotekznzm1 d z
2j c
2j
c n0
将积分与求和互换得
X zzm1 d z x n znm1 d z
部分方式求逆Z变换步骤：
1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2）F(z)/z进行部分分式展开； 3）求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。
信号与系统 6.3 逆Z变换
第 7 页
思路：将F(z)展开为上式的形式，其系数即为f(k)
板书简单例题
第
二、部分分式展开法
B( z ) bm z m bm 1 z m 1 b1 z b0 F (z) A( z ) z n a n1 z n 1 a1 z a0
3 页
将 F ( z ) 展开为部分分式，然后再乘以Z；其方法与第五章中
§6.3 逆Z变换
一、幂级数展开法 二、部分分式展开法
西安邮电学院电子与信息工程系
一、幂级数展开法
F (z)
k
第 2 页
f (k )z k
2 1 2
f (2)z f (1)z f (0) f (1)z f (2)z
Z的幂级数 Z-1的幂级数
F(s)展开方法相同。
A(z)为F(z)的分母多项式，A(z)=0的n个根zi 为F(z)的极点。 根据极点的类型，F ( z ) 的展开有几种情况：
z
z
1）单极点 2）共轭单极点
3）重极点
第
1）F（z）有单极点
若F(z)的极点都是互不相同的实根，则： n Kn Ki F (z) K1 K2 z z z1 z z2 z z n i 1 z z i
(若A( z )实系数，则K 2 K 1 ) 将F(z)的极点和系数写成指数形式，则：
K 1 K e j K 2 K e j z1, 2 c jd e j K e j z K e j z Fa ( z ) j z e z e j 若 z ， f a ( k ) 2 K k cos( k ) ( k ) 若 z ， f a ( k ) 2 K k cos( k ) ( k 1)
逆z变换
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
X (z)
A0
N k 1
Ak 1 zk z1
z max[ zk ]
N
则其逆Z变换为：x(n) A0 (n) Ak zknu(n)
k 1
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N) 。
b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X (z)zn1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
x(n) Re s[X (z)zn1, ak ]
直接用长除法进行逆变换
X z xnz n n
（是一个z 的幂级数）
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
5z 3 4z 4
例1：
因为 X (z) x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4, 因为长除结果无常数项，则x0 0。
例2：
X z z z
z2 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z2 3z3 4z4
1 2z z2 z z 2z2 z3
X(z)
N(z) D(z)
信号分析第六章逆z变换
X a ( z) X b ( z) X ( z) 如果z p1是X ( z )的m重极点, z z z A1( m1) A1m A11 A12 X ( z) 1 Aj m m 1 2 z z p1 j 2 z p j ( z p1 ) ( z p1 ) ( z p1 ) A1( m1) z A1m z A11 z A12 z z X ( z) Aj m m 1 2 z p1 j 2 z p j ( z p1 ) ( z p1 ) ( z p1 )
n=m-1
1 d i 1 X ( z) A1i ( z p1 ) m (i 1)! d z i 1 z z p 1
n=1
n=o单极点
z
z k (k 1)( k 2) (k n 1) k n p1 (k ) n 1 n! ( z p1 )
z z
z a k (k ) 因果 za z a k (k 1) 反因果 za
X
例
z2 已知X ( z ) ， ROC : z 2, 求x k 。 ( z 1)( z 2)
第 9 页
X z 除以z
X z 将 展开为部分分式 z
X (z) z z ( z 1)( z 2) X z A B z z 1 z 2
第
11 页
H ( z)
K11 e z ( z e )
j 2
j1
j
K11 e
j1
z )
( z e
j 2
K12 e z z e
j1
j
j 2
K12 e
j 2
《数字信号处理》第六章 Z变换
第一节 Z变换的定义
例1：求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
(1)nu(n)zn
z
n
n
n 2
n0 2
例2：求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
A( z )
1 za
1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)
1 a
(1
1 a
z
1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时，
A( z )
z
1 a
11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解：
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1
z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z)，求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k
zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数，当|z|<1时，该级数收敛。
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
z变换,反Z变换两部分补充PPT
Ak (1 z k z 1 ) X ( z )
Re s[
X ( z) , zk ] z
Z变换补充材料
15
逆Z变换
2、高阶极点 当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除 单极点外，在zi 处还有一个s阶的极点，则其展开式 修
Bk z k
1
j Im[ z ]
n
n
a z
Z平面 收敛域
0
a
Re[ z ]
为保证收敛，则
X ( z) 1
z 1 或 | z || a | a
1 z z 1 ( a ) z a | z | | a |
Z变换补充材料
3
Z变换的定义
例3：求序列 x (n)= 解： ( z ) X (1/3)|n| 的Z变换。
零点：0，极点：3，1/3
Z变换补充材料 4
Z变换的收敛域
Z变换的收敛域 对于任意给定的序列 x(n) ，使其Z变换收敛的所有 z值的集合称为 X (z ) 的收敛域。 其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：
n
x ( n) z n
1 1 1 收敛 不定 发散
根据级数收敛的阿贝尔定理
lim
n
an
n
对于不同的序列 x(n) ，可求得相应的收敛域。
5
Z变换补充材料
Z变换的收敛域
收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大， Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能除开z=0, z=。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+···· |z|>0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(2)z2+···· |z|< 如果是右边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， |z|>也位于收敛域内。
信号与系统-逆Z变换
在 z > R 的区域内收敛，因此C包围了X(z)的奇点。通常
X(z)zn-1是z的有理函数，其奇点都是孤立奇点（极点）。借 助留数定理，可将（8-26）式表示为围线C内所包含X(z)zn-1 的各极点留数之和，即
或简写为
∫ x(n) = 1 X (z)zn−1dz
2πj C
∑ [ ] = X (z)zn−1在 C内极点的留数
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
这里 s = 2, j = 1,2
B1
=
1 ⎡d
(2
−
1)!
⎢ ⎣
d
z
(z − 1)2
1⎤
z
(z
−
1)2
⎥ ⎦
z=1
=
−1
B2
=
(z − 1)2
1
z(z − 1)2
z=1
=1
B3
=
z
1
z(z − 1)2
z=0
=1
37
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
X(z)zn-1是z的有理函数，其奇点都是孤立奇点（极点）。借 助留数定理，可将（8-26）式表示为围线C内所包含X(z)zn-1 的各极点留数之和，即
或简写为
∫ x(n) = 1 X (z)zn−1dz
2πj C
∑ [ ] = X (z)zn−1在 C内极点的留数
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
这里 s = 2, j = 1,2
B1
=
1 ⎡d
(2
−
1)!
⎢ ⎣
d
z
(z − 1)2
1⎤
z
(z
−
1)2
⎥ ⎦
z=1
=
−1
B2
=
(z − 1)2
1
z(z − 1)2
z=1
=1
B3
=
z
1
z(z − 1)2
z=0
=1
37
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
《z变换的性质》课件
通过DFT，我们可以得到信号在各个频率分量 的幅度和相位信息；而通过z变换，我们可以分 析信号的频率响应和稳定性等特性。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
6.3 逆Z变换
e
j ( m n 1 )
j Re
j
d
x n
n 0
R
mn
e
j ( m n )
d
只有当n m积分不为零， m时积分为2 n
4
推导
X z z 2 j
c
1
m 1
d z x n
n 0
2 j
R
mn
1
z
n m 1
X z
j Im(z )
0 C
Re(z )
x nz
n 0
n
1
1式两边同乘以 m 1，并进行围线积分 z
1 2
j
X
c
z z
m 1
dz
1 2 j
x n z
c n 0
n
z
m 1
dz
积分与求和互换
x n
n 0
1 2
2 j
1
c
X z z
m 1
d z x n
n 0
2 j
1
z
n m 1
c
2
6
2．用留数定理求围线积分
右边序列
x n
2 j
1
c
X z z
n 1
dz
围线积分等于围线C内(逆时针)所有极点的留数之和 单阶极点
x( n) Re s X ( z ) z
左边序列 围线积分等于围线C外所有极点的留数之和
x( n) Re s X ( z ) z
n 1
§6.3 逆z变换PPT课件
§6.3 逆z变换
一般而言，序列f(k)由因果序列f1(k)和反因果序列 f2(k)两部分组成，即
f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k)
相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
由F(z)及其收敛域不难确定F1(z)和F2(z)，分别求 得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得 f(k)。
z2
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解
（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法（降幂排列）将F(z)展开为 z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
(3)当1<z<2， f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
例2：已知象函数
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
2 z ,1<z<2
(z 1)(z 1)(z 2)(z 3)
解
2
F(z) 1 2 1 1 z z 1 z 1 z 2 z 3 2
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解: F(z)/z部分分式展开为
12
F(z)
z
3 3
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
(1) z>2，f(k)为因果序列
f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
一般而言，序列f(k)由因果序列f1(k)和反因果序列 f2(k)两部分组成，即
f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k)
相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
由F(z)及其收敛域不难确定F1(z)和F2(z)，分别求 得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得 f(k)。
z2
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解
（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法（降幂排列）将F(z)展开为 z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
(3)当1<z<2， f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
例2：已知象函数
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
2 z ,1<z<2
(z 1)(z 1)(z 2)(z 3)
解
2
F(z) 1 2 1 1 z z 1 z 1 z 2 z 3 2
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解: F(z)/z部分分式展开为
12
F(z)
z
3 3
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
(1) z>2，f(k)为因果序列
f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
第三节逆Z变换
1 j2 1 j2 1 1 e Z e Z Z Z 2 2 2 2 所以：F ( Z ) 2 2 Z j 2 Z j2 ( Z j 2) ( Z j 2)
k 1) 即： f (k ) f1 (k ) f 2 (k ) f (k ) (k ) f (k ) ( f (k ) F ( Z ) Z [ f1 (k ) f 2 (k )] f (k ) Z k 双边序列： k 因果序列： f (k ) F ( Z ) Z [ f (k )] f (k ) Z 反因果序列： f (k ) F ( Z ) Z [ f (k )] f (k ) Z
式中各系数为：ki ( Z Z i ) Z Zi Z kn Z k1Z ...... 两边同时乘以Z得：F (Z ) k0 Z Z1 Z Zn 利用常用序列的Z变换：
1 (k ) Z , Z a a k (k ) Z a Z , Z a a k k 1 Z a
k 1 1 1 k 0
0 2 2 2 k
k
注：已知象函数求出原函数不仅要注意F(Z)的形式还要注意其收 敛域。
一、幂级数展开法
：
步骤为：先由F(Z)的收敛域确定原序列的形式（因果反因果或双 边），然后再利用长除法将F(Z)展为幂级数，取其系数即可得到 Z2 f(k). Z 2, Z 1,1 Z 2 F (Z ) , ( Z 1)(Z 2) 例1：已知 求收敛域为 的Z 变换。 解:(1)F(Z)的收敛域为︱ z︱>2时,该序列为因果序列，利用长除 Z 1 法展为 的幂级数时F(Z)为降幂级数。
具体作法如下： Z2 Z 2 Z2
f (k ) 1,1,3,5......
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2
z2 z2
z2 z12z1
32z1
F(z)fkzk k0
即
F (z)z2 zz 221z 13z25z3
相比较可得原序列 f( k ) { 1 ,1 , 3 , 5 , }
k0
5
（2）由于F(z) 的收敛域为 z 1 故 f (k为) 反因果序列。
用长除法将 F (展z) 开为 的z幂级数如下：
F (z) fkz kf 1 zf2 z2 k 1
相比较可得原序列 f(k){ ,5,3,1,1,0} 1684 2 k1
7
（3) F (z) 的收敛域为 1 z 2故 f (为k )双边序列。
将 F(z展) 开为部分分式，有：
12
z2 F(z)
zz 3 3 , 1z2
(z1)z(2) z1 z2
根据给定的F(z)及收敛域，不难求得F1(z)和F2(z),并分 别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)。根据线性性 质，将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(k)。
本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换。
3
一、幂级数展开法
例6.3-1 已知象函数
z2
z2
F(z)(z1)(z2)z2z2
f(k)[1(1)k2(2)k](k)
3
3
（2）收敛域 z 1 故 f (k ) 为反因果序列。得
其收敛域如下，分别求其相应的原序列f(k)
(1 )z 2(2 )z 1(3 )1 z 2
解（1）由于F(z) 的收敛域为 z 2 故 f (k为) 因果序列。 用长除法将 F(展z) 开为 的z 1幂级数如下：4
z2 z2
1 z 1 3 z 2 5 z 5 F(z) z2
z2
z2 z
F (z ) B A ( (z z ) ) b m z z n m a m b m 1 z 1 n z m 1 1 a 1 b z 1 z a 0 b 0 m n
F ( z ) B ( z )
B ( z )
z z( z A ) z ( z n a m 1 z n 1 a 1 z a 0 ),m n 1
za
ak(k1)z , za
za
就可以求得展开式的原函数。
13
例6.3-3 已知象函数
z2 F(z)
(z1)(z2)
其收敛域分别为（1）z （2 2） z （ 13）1 z 2
分别求其原函数。 解 由象函数可见，其极点为 z1 1, z。2 2 其展开式为
F (z )
z2
z K 1 K 2
z z (z 1 )z( 2 ) (z 1 )z( 2 ) (z 1 ) (z 2 )
zzn i 0zzi
各系数为
F (z) K i (zzi) z zzi
(zzi)F (z)
z
zzi
上式等号两端乘以z，得
F(z)K0
n
i0
Kiz zzi
根据给定的收敛域，将上式划分为两部分：即
F 1 (z)z ( )和 F 2 (z)z ()
12
根据已知的变换对，如 (k)1
ak(k) z , za
解 指数函数 e x 可展开为幂级数
ex 1 x 1x 2 1x k x k, x
2 !
k !
k 0k !
令 x a ，则F(z) 可展开为
z
a
F(z)ez
(a z)k
ak
zk,
k0 k! k0k!
z0
f(k)akk
9
k!
二、部分分式展开法
在离散系统分析中，经常遇到的象函数是z的 有理分式，它可以写为：
14
各项系数为：
F(z) 1
K1 (z1)
z
3 z1
F(z) 2
K2 (z2)
z
z2 3
1
2
于是得
F(z) 3 3 z (z1) (z2)
即 F(z)1 z 2 z 3 z1 3 z2
1z 2
2z 1
31z2
15
F(z)1 z 2 z 3 z1 3 z2
（1）收敛域 z 2 故 f (k ) 为因果序列。得
式中因果序列为
f1(k)f(k)(k)
式中反因果序列为 f2(k )f(k )( k 1 ) 2
相应地，其z变换也分为两部分
F (z) F 2 (z) F 1 (z), z
其中 F 1(z)Z [f(k)(k) ] f(k)z k z k 0 1 F 2 (z) Z [f(k )( k 1 ) ] f(k )z k z k
复习
• Z变换的性质
1
§6.3 逆z变换
求逆z变换，即由象函数 F(求z) 原序列 f的(k问) 题。
求逆z变换的方法有：幂级数展开法； **部分分式法；
反演积分法（留数法）。
本节重点讨论最常用的部分分式法。
一般而言，双边序列可分为因果序列与反因果序列。
f ( k ) f 2 ( k ) f 1 ( k ) f ( k ) ( k 1 ) f ( k ) (zz2
F(z)z-1k1zz1 k2z z-1z zz2
F(z) k1 k2 z z-z1 zz2
F(z) k1z k2z z-z1 zz120
将 F展(z)开/ z为部分分式，其方法与第五章中 F 展( s )开方法相同。
F(z的) 分母多项式为 A(z),A 有(zn)个0根 它们称为 F(的z) 极点。
z1,z2, ,zn,
（1）F ( z ) 有单极点 （2）F ( z ) 有共轭单极点 （3）F ( z )有重极点
11
（1）F ( z ) 有单极点
如 F的(z极) 点 z1,z都2, 互,不zn,相同，且不等0 则 F(z)可/ z展开为
F (z)K 0K 1 K n n K i
z z zz1
1z21z33z45z5 2 4 8 16
2zz2 z 2
z2 F(z) z2 z2
z2 1 z3 1 z4
22
1 z3 1 z4 22
1z3 1z4 1z5 244
3 z4 1 z5
4 4
6
即 F (z ) z 2 z z 2 2 1 5 z 5 6 8 3 z 4 1 4 z 3 1 2 z 2 0 z
因果序列象函数 反因果序列象函数
F1(z)z1 3z11 31 3z11 3z21 3z3 2
F2(z)z3z2 112z31 6z21 3z
f(k ) { , 1, 1, 1,1, 1,1, 1, }
12 6 33333
k0
8
例6.3-2 某因果序列的象函数
a
F(z)ez,
z0
求其原函数 f (k。)