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西城区二模数学及答案

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北京市西城区2020届高三数学二模试题含解析

北京市西城区2020届高三数学二模试题含解析

市西城区2020届高三数学二模试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1. 设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（UA）∪B＝（）A. （﹣∞，2）B. [2，+∞）C. （1，2）D. （﹣∞，1）∪[2，+∞）【答案】D【解析】【分析】先求出U A，再求（UA）∪B得解【详解】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴U A＝{x|x≥2}，（UA）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 设复数z＝1+i，则z2＝（）A. ﹣2iB. 2iC. 2﹣2iD. 2+2i【答案】A【解析】【分析】由z求得z，再利用复数的乘方运算求解即可.【详解】∵z＝1+i，∴2z＝（1﹣i）2212i i=+-＝﹣2i .故选：A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.3. 焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A. x 2＝4yB. y 2＝4xC. x 2＝8yD. y 2＝8x【答案】D【解析】【分析】根据题意，设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.【详解】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，属于基础题4. 在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，π6A =，则cos B =（）A. 34B. 【答案】C【解析】【分析】由题意可用正弦定理先求出sin B ，再由三角函数中的平方关系及B 角的X 围，求出cos B ，进而得到答案. 【详解】在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，6A π=，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得13sin 32sin 24b A B a ⨯⋅===， ∴由B为锐角，可得cos B ==． 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.5. 函数f (x )＝x 1x-是（） A. 奇函数，且值域为（0，+∞）B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为（0，+∞）D. 偶函数，且值域为R【答案】B【解析】【分析】由奇偶性定义，求出函数f (x )为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.【详解】根据题意，函数f (x )＝x 1x-，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（﹣x ）﹣（1x -）＝﹣（x 1x-）＝﹣f (x )，即函数f (x )为奇函数，其导数f ′(x )＝121x +，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0； 其图象大致如图：其值域为R ；故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题6. 圆x 2+y 2+4x ﹣2y +1＝0截x 轴所得弦的长度等于（）35【答案】B 【解析】【分析】首先令y ＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长.【详解】令y ＝0，可得x 2+4x +1＝0，所以124x x +=-，121=x x ，所以2121212|()423AB x x x x x x =-=+-故选：B【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单.7. 设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，则（）A. a b b c ->-B. 111a b c<< C. 2a b c +> D. 以上三个选项都不对【答案】C【解析】【分析】直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解.【详解】设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，所以对于选项A ：当3,2,1a b c ===时，1a b b c -=-=，故错误.对于选项B ：当0,1,2a b c 时，1a无意义，故错误. 对于选项C ：由于,a c b c >>，所以2a b c +>，故正确.对于选项D ：由于C 正确，所以选项D 错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8. 设向量,a b →→满足1a b →→==，12a b →→⋅=，则()a x b x R →→+∈的最小值为（）A.B. 【答案】B【解析】【分析】 两边平方，得出2a xb →→+关于x 的二次函数，从而得出最小值.【详解】解：222222132124a x b a x a b x b x x x →→→→→→⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，a x b →→+=故选：B.【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.9. 设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题. ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，B C两点重合，所以AB与CD相交，且，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在（1+5x）6的展开式中，含x的项系数为_____.【答案】30.【解析】【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求含x 的项系数，只要使得展开式中x 的指数是1，求得r ，代入数值即可求出含x 项的系数.【详解】展开式的通项公式为： ()6166155rr r r r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅⋅， 令x 的指数为1，即r ＝1；∴含x 的项系数为：16530C ＝； 故答案为：30.【点睛】本题考查二项式中具体项的系数求解问题，属于基础题12. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2＝16，a 5＝1，则a 1＝_____；使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝_____.【答案】 (1). 9 (2). 5.【解析】【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2＝16，a 5＝1，可得2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1，d ，可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出.【详解】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 2＝16，a 5＝1，∴2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1＝9，d ＝﹣2.∴a n ＝9﹣2（n ﹣1）＝11﹣2n .令a n ＝11﹣2n ≥0，解得n 112≤=512+.∴使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝5.故答案为：9；5.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.【答案】4+45.【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积.【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为，该几何体为底面为边长为2，高为2正四棱锥体.如图所示：所以212242212S =⨯+⨯⨯+=5故答案为：【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题.14. 能说明“若()20m n +≠，则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）.【解析】【分析】由题意可得满足20m n =+>或者0,20m n <+<即可，取满足上述条件的,m n 的值即可（答案不唯一）. 【详解】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.15. 已知函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，且当x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3.有以下三个结论：①f （-1）12=-； ②当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f (x )有无穷多个零点，且存在一个零点b ∈Z .其中，所有正确结论的序号是_____.【答案】①②.【分析】由题意可得函数f (x )的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.【详解】如图：对①，因为函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3，所以f （-1）12=f （-1+2） 12=f （1）12=•（21﹣3）12=-，所以①正确； 对②，f (x )的大致图象如图所示可得当a ∈（14，12]时， 方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确对③，因为x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3＝0，x ＝log 23，又因为f （x +2）＝2f (x )，所以函数f (x )由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②.【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2.（1）求证：BC1∥平面AB1D；（2）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（26【解析】【分析】（1）连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，可得BC1∥DE，再由直线与平面平行的判定得到BC1∥平面AB1D；（2）由CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，得CA，CB，CC1两两互相垂直，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1D的一个法向量与AB的坐标，1由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.【详解】（1）证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE，由ABC﹣A1B1C1为三棱柱，得A1E＝BE.又∵D是A1C1的中点，∴BC1∥DE.∵BC 1⊄平面AB 1D ，DE ⊂平面AB 1D ，∴BC 1∥平面AB 1D ；（2）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴()1222AB =-，，，()1120B D =-，，，()020BC =-，，. 设平面AB 1D 的法向量为()n x y z ，，=，由11222020n AB x y z n B D x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y ＝1，得()211n =，，； 设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ.则sin θ＝|cos n BC ＜，＞|66n BCn BC ⋅==⋅. ∴直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值为66.【点睛】本题考查线面平行的证明和求线面角的大小，考查了通过线线平行证明线面平行的方法，同时考查了空间直角坐标系，利用向量求线面角，是立体几何中较为常规的一类题型，有一定的计算量，属于中档题.17. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由；（2）求函数()f x 的单调递增区间【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】【分析】（1）根据题意，先判断()f x 不能满足条件③，再由条件①求出2ω=，由条件②，得2A =，由条件④求出3πϕ=，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果.【详解】（1）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-.这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④. 由条件①，得2||ππω=， 又因为0>ω，所以2ω=.由条件②，得2A =. 由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.18. 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t U W=，当t ≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率.（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）将（1）中概率值记为x %.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”？说明理由.【答案】（1）23；（2）分布列见解析；期望为83；（3）不能；答案见解析. 【解析】【分析】（1）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.【详解】解：（1）t A 9196=＞0.9，t B 8491=＞0.9，t C 6985=＜0.9，t D 5474=＜0.9，t E 6469=＞0.9，t F 6365=＞0.9. ∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为4263=. （2）X 的可能取值有2，3，4，且P （X ＝2）22424625C C C ==，P （X ＝3）314246815C C C ==，P （X ＝4）4446115C C ==， ∴X 的分布列为：E （X ）＝25⨯+315⨯+4153⨯=. （3）不能认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”.理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.【点睛】本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题.19. 设函数()ln f x ax x =，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）证明:()2x x f x e e->. 【答案】（1）1a =；（2）极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（3）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（3）由于()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e -+>，结合（2）可得()1ln f x x x e=≥-，故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证. 【详解】解：（1）()ln f x a x a '+=，则()()10,1f f a '==，故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()1y a x =-，把点()3,2代入切线方程可得，1a =，（2）由（1）可得()ln 1,0f x x x '=+>， 易得，当10x e<<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x e >时,()0f x '>，函数单调递增，故当1=x e 时，函数取得极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值， 证明：（3）()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e-+>， 由（2）可得()1ln f x x x e =≥-（当且仅当1=x e时等号成立）①， 所以21ln x x x x x x e e e e-+≥-， 故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立） 设()1x x g x e e =-，0x >则()1x x g x e-'=， 当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增， 所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当0x >时，()2x x f x e e->. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的方程，可求得b 的值，再由椭圆E 的离心率可求得a 、c 的值，由此可得出椭圆E 的方程；（2）设点()()0000,0D x y x y ≠，可得出220044x y -=，求出直线CD 的方程，可求得点P 的坐标，由4OP OQ =⋅，可求得点Q 的横坐标，代入直线AD 的方程可求得点Q 的坐标，验证BQ BC k k =，即可证得结论成立.【详解】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的坐标可得1b =， 由题意可得223210c e a a c c ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 因此，椭圆E 的标准方程为2214x y +=； （2）椭圆E 的左、右顶点分别为()2,0A -、()2,0B ，设点()()0000,0D x y x y ≠，则220014x y +=，则220044x y -=，直线CD 斜率为001CD y k x -=，则直线CD 的方程为0011y y x x -=+， 令0y =，可得001x x y =-，即点00,01x P y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 设点()11,Q x y ，由104OP OQ x x ⋅==，可得()01041y x x -=， 直线AD 的斜率为002AD y k x =+，则直线AD 的方程为()0022y y x x =++，将()0041y x x -=代入直线AD 的方程得()()000002222y x y y x x -+=+， 所以点Q 的坐标为()()()000000041222,2y y x y x x x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 直线BC 的斜率为101022BC k -==-- 直线BQ 的斜率为()()()2000000020000001012222222222424BQ y x y x y y y y k x x y x x x y y -+-+===-+-----20000200002214242BC x y y y k y x y y -+==-=--， 又BQ 、BC 有公共点B ，因此，C 、B 、Q 三点共线.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.21. 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j ≥b i +1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）.表1表2（1）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i ﹣j ？等于i +2﹣j 呢？（结论不需要证明）（2）如果b 40，20＝1，且对于任意的i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20，都有b i ，j ﹣b i +1，j ≥1成立，对于任意的m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，19，都有b m ，n ﹣b m ，n +1≥2成立，证明：b 1，1≥78；（3）若a i ，1+a i ，2+…+a i ，20≤19（i ＝1，2，…，40），求最小的正整数k ，使得任给i ≥k ，都有b i ，1+b i ，2+…+b i ，20≤19成立.【答案】（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，；（2）证明见解析；（3）k ＝39. 【解析】 【分析】（1）由1000i j --≥，140i ≤≤，120j ≤≤可知存在表1，使得,100i j b i j =--；若,2i j j i b -+=，则1,12i j j i b +-++=，故,1,10i j i j b b +-=-<，故不存在；（2）对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-成立，进而得()()()1,202,202,203,2039,2040,2039bb b b b b -+-++-≥，故1,2040,203940b b ≥+=，同理由对于任意的1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，得1,11,203878b b ≥+≥.（3）取特殊表1，得39k ≥，再证明39k ≤即可得39k =.【详解】解（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，.证明：（2）因为对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-.所以1,202,20220320392040201,1,,1b b b b b b -≥--≥≥，，，，.所以()()()1202202203203920402039b b b b b b +++≥---，，，，，，，即12020403940b b ≥+=，，. 由于1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，.所以1,11,21,21,31,191,202,2,,2b b b b b b ≥--≥-≥所以()()()1112121311912038b b b b b b --++≥-+，，，，，，，即1178b ≥，.解：（3）当表1如下图时，其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1.因此每行的和均为19，符合题意.重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k ≥39.以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含12.20,,,r r r a a a ，，），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、 则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数. 这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾.所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行），的全部实数. 其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j i j b b a ≤≤，（1,2,,20j =）.所以1220122019i i i r r r b b b a a a ++⋯+≤++⋯+≤，，，，，，， 所以39k ≤. 综上所述39k =.【点睛】本题主要考查不等式，排列组合的综合应用，考查数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是难题.。

2020年北京市西城区中考数学二模试卷(解析版)

2020年北京市西城区中考数学二模试卷(解析版)

2020 年北京市西城区中考数学二模试卷、选择题（共 8 小题）1．下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相 近的环境， 与地球最近的时候距离约 5500 万千米， 将 5500 用科学记数法表示为 （ ） 3．如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是5．如图，实数 a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是6．如图，△ ABC 内接于⊙O ，若∠ A ＝45°， OC ＝2，则 BC 的长为B ．”之际宣布，将中国行星探测任务命A ．0.55×104B ．5.5×103C ． 5.5×102D ．55× 1024．下列运算正确的是（A ．a? a 2＝ a 3B ．a 6÷a 2＝a 3C ． 2a 2﹣a 2＝2D ． 3a 2)2＝ 6a 4A ．|a|>3B ．﹣ 1<﹣ b < 0C ．a <﹣bD ．a+b >0 A ． A ．）7．某人开车从家出发去植物园游玩， 设汽车行驶的路程为 S （千米） ，所用时间为 t （分） ，C ．加油后汽车行驶的速度为 60 千米/时D ．加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快如表：① 2019 年 10 月至 2020 年 3 月通话时长统计表② 2020 年 4 月与 2020 年 5 月，这两个月通话时长的总和为 根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（二、填空题（本题共 16 分，每小题 2分） C ．2D ．4s 与 t 之间的函数关系如图所示．若他早上 8 点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则A ．汽车行驶到一半路程时，停车加油用时 10 分钟B ．汽车一共行驶了 60 千米的路程，上午 9点 5分到达植物园8．张老师将自己 2019 年 10 月至 2020 年 5 月的通话时长 单位：分钟） 的有关数据整理 时间10 月 11 月 12 月 1月 2月 3月 时长（单位：分钟）520 530 550 610 650 6601100 分钟A ．550B ．580C ．610D ．6309．若分式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是10．因式分解： a 3﹣ a ＝11．如图， D ，E 分别是△ ABC 的边 AB ， AC 的中点，若△ ADE 的面积为 1， 则△ ABC 的 面积等于列描述中，不正确的是（14．如图，用 10 个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为 50cm 的大矩形，设每个 小矩形的长为 xcm ，宽为 ycm ，则可以列出的方程组是 ．15．某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员 年龄分布统计图和当地 90 后从事互联网行业岗位分布统计图：对于以下四种说法，你认为正确的是 （写出全部正确说法的序号）∠ D ＝∠ E ，点 F 在 AB 的延长线上，则∠ CBF 的度数y ＝ mx 交于 A ， B 两点，若点 A 的坐标为（ 2，3），则点B的坐标为① 在当地互联网行业从业人员中，90 后人数占总人数的一半以上② 在当地互联网行业从业人员中，80 前人数占总人数的13%③在当地互联网行业中，从事技术岗位的90 后人数超过总人数的20%④在当地互联网行业中，从事设计岗位的90 后人数比80 前人数少16．一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是．（2）若乙盒中最终有 5 个红球，则袋中原来最少有个球．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26 题，每小题5分，第27，28 题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：+（π﹣2020）0﹣3tan30 °+| ﹣1|．18．解方程：+1＝．19．已知关于x 的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于2，求k 的取值范围．20．下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：已知：△ ABC ．求作：点D，使得点 D 在BC 边上，且到AB，AC 边的距离相等．作法：如图，作∠BAC 的平分线，交BC 于点D．则点 D 即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：作DE⊥AB 于点E，作DF ⊥AC 于点F，∵AD 平分∠ BAC ，21．如图，在Rt △ABC 中，∠ ACB＝90°， D 为AB 的中点，AE∥DC，CE∥DA．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）连接DE ，若AC＝2 ，BC＝2，求证：△ ADE 是等边三角形．22．某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20 人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如根据以上信息，回答下列问题：1）在这40 名被调查者中，① 指标y 低于0.4 的有人；② 将20 名患者的指标x 的平均数记作，方差记作S12，20 名非患者的指标x 的平均数记作，方差记作S22，则2）来该院就诊的 500名未患这种疾病的人中， 估计指标 x 低于 0.3的大约有 人；3）若将“指标 x 低于 0.3，且指标 y 低于 0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则 发生漏判的概率是 ．23．如图， AB 是⊙O 的直径， C ，D 是⊙O 上两点，且 ＝ ，连接 OC ，BD ，OD ．（ 1）求证： OC 垂直平分 BD ；2）过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E ，连接 AD ，CD ．小明根据学习函数的经验，分别对函数 y 2， y 2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探 究．面是小明的探究过程，请补充完整：1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 值： x/cm0 1 2 3 4 5 6 y 1/cm2.49 2.64 2.883.25 3.804.65 6.00y 2/cm 4.59 4.24 3.80 3.25 2.510.00 2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（ x ，y 1）， x ，y 2），并画出函数 y 1，y 2 的图象：S 22（填“>”，“＝”或“<”24．如图，在△ ABC 中，AE 平分∠ BAC 交BC 于点 E ，D 是AB 边上一动点，连接 CD 交 AE 于点 P ，连接 BP ．已知 AB ＝ 6cm ，设 B ，D 两点间的距离为 xcm ，B ，P 两点间的 距离为 y 1cm ， A ， P两点间的距离为 y 2cm ． y 1， y 2 与 x 的几组对应 ① 依题意补全图形；，求 CD 的长．①当AP＝2BD 时，AP 的长度约为cm；②当BP平分∠ ABC 时，BD 的长度为cm．25．在平面直角坐标系xOy 中，函数y＝（x>0）的图象G 与直线l：y＝kx﹣4k+1 交于点 A （4，1），点 B （1，n）（n≥4，n 为整数）在直线l 上．（1）求m 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l 围成的区域（不含边界）为W．①当n＝5时，求k的值，并写出区域W 内的整点个数；② 若区域W 内恰有 5 个整点，结合函数图象，求k 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在 B 的左侧），抛物线的对称轴与x 轴交于点D，且OB＝2OD．（1）当b＝2 时，① 写出抛物线的对称轴；② 求抛物线的表达式；（ 2）存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l ： y ＝ x+ 和拋物线交于点 P ，Q ，且点 P ， Q 均在 x 轴下方，结合函数图象，求 b 的取值范围．27．在正方形 ABCD 中， E 是 CD 边上一点（ CE >DE ）， AE ，BD 交于点 F ． （1）如图 1，过点 F 作 GH ⊥AE ，分别交边 AD ，BC 于点 G ，H ． 求证：∠ EAB ＝∠GHC ；（2）AE 的垂直平分线分别与 AD ，AE ，BD 交于点 P ，M ，N ，连接 CN ．① 依题意补全图形；② 用等式表示线段 AE 与 CN 之间的数量关系，并证明28．对于平面直角坐标系 xOy 中的定点 P 和图形 F ，给出如下定义：若在图形 点 N ，使得点 Q ，点 P 关于直线 ON 对称，则称点 Q 是点 P 关于图形 F 的定向对称点． （1）如图， A （1，0）， B （ 1， 1）， P （0，2），①点 P 关于点 B 的定向对称点的坐标是 ；②在点 C （0，﹣ 2）， D （ 1，﹣ ）， E （2，﹣ 1）中，是点 P 关于线段 AB的定向对称点．（2）直线 l ：y ＝ x+b 分别与 x 轴， y 轴交于点 G ，H ，⊙M 是以点 M （ 2， 0）为圆 心， r （r >0）为半径的圆．①当 r ＝1时，若⊙M 上存在点 K ，使得它关于线段 GH 的定向对称点在线段 GH 上， 求 b 的取值范围； ②对于 b >0，当r ＝3时，若线段 GH 上存在点 J ，使得它关于 ⊙M 的定向对称点在 ⊙M 上，直接写出 b的取值范围． F 上存在一参考答案、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有个. 1．下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（）【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案．解：各组图形中，选项 A 中的图形是一个图形经过平移能得到另一个图形，故选： A ．2．中国国家航天局2020 年 4 月24 日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500 万千米，将5500 用科学记数法表示为（）A．0.55×104B．5.5×103C．5.5×102D．55× 102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时，n 是负数．解：5500＝5.5×103，故选： B ．3．如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（）解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选： D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．a? a 2＝ a 3B ．a 6÷a 2＝a 3 【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则 即可求解；解： a? a 2＝ a 1+2＝a 3，A 准确；a 6÷a 2＝a 6﹣2＝a 4，B 错误；2a 2﹣a 2＝a 2，C 错误；（3a 2）2＝9a 4，D 错误；故选： A ．5．如图，实数 a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ． |a|>3B ． ﹣ 1<﹣ b <0C ．a <﹣ bD ．a+b >0【分析】根据数轴的性质以及有理数的运算法则进行解答即可．解：选项 A ，从数轴上看出， a 在﹣3 与﹣2 之间，∴|a|<3，故选项 A 不合题意；选项 B ，从数轴上看出， b 在在原点右侧，∴b >0，故选项 B 不合题意；选项 C ，从数轴上看出， a 在﹣3与﹣ 2 之间， b 在 1和 2之间， ∴﹣b 在﹣1和﹣ 2之间，∴ a < b ，故选项 C 符合题意； C ．2a 2﹣a 2＝2 D ．（ 3a 2）2＝6a 4 分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．选项D，从数轴上看出，a在﹣3与﹣2之间， b 在 1 与 2 之间，∴﹣ 3< a <﹣ 2，1<b <2，∴|a|<|b|， ∵a <0，b >0， 所以 a+b < 0， 故选项 D 不合题意． 故选： C ．分析】根据圆周角定理得到∠ BOC ＝ 2∠A ＝ 90°，根据等腰直角三角形的性质即可得 到结论．解：由圆周角定理得，∠ BOC ＝ 2∠ A ＝ 90°，∴ BC ＝ OC ＝ 2 ，故选： B ．7．某人开车从家出发去植物园游玩， 设汽车行驶的路程为 S （千米） ，所用时间为 t （分）C ．加油后汽车行驶的速度为 60 千米/时D ．加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快【分析】根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是 平滑曲线，故应分段考虑．解： A 、车行驶到一半路程时，加油时间为 25 至 35 分钟，共 10 分钟，故本选项正确， 不符合题意；B 、汽车一共行驶了 60 千米的路程，上午 9 点 05 分到达植物园，故本选项正确，不符 合题意；C 、汽车加油后的速度为 30÷ ＝60千米 /时，故本选项正确，不符合题意； ， OC ＝ 2，则 BC 的长为（ ）C ．2D ．4s 与 t 之间的函数关系如图所示．若他早上下列描述中，不正确的是（ ）8 点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则 A ．汽车行驶到一半路程时，停车加油用时 10 分钟 B ．汽车一共行驶了 60 千米的路程，上午 9点 5分到达植物园D 、汽车加油前的速度为 30÷ ＝72 千米/时， 60<72，加油后汽车行驶的速度比加油 前汽车行驶的速度慢；故本选项不正确，符合题意．故选： D ． 8．张老师将自己 2019 年 10 月至 2020 年 5 月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理 如表：3月 ① 2019 年 10 月至 2020 年 3 月通话时长统计表时间 10 月11 月 12 月 1月 2月 时长（单位：分钟） 520 530550 610 650 660 ② 2020 年 4 月与 2020 年 5 月，这两个月通话时长的总和为 1100 分钟根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（ ）A ． 550B ． 580C ．610D ． 630【分析】由于 2020年 4月与 2020年 5月，这两个月通话时长的总和为 1100分钟，可知 550 分钟一定排在这八个月的通话时长的第 4 位，找到第 5 位的最大值，从而可求张老 师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值．解：∵ 2020 年 4 月与 2020 年 5 月，这两个月通话时长的总和为 1100 分钟，∴550 分钟一定排在这八个月的通话时长的第 4位，观察数据可知，第 5位的最大值为 610 分钟，∴张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（ 550+610 ）÷ 2＝580（分钟）． 故选： B ．二、填空题（本题共 16 分，每小题 2分）9．若分式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x ≠2 ．【分析】直接利用分式有意义的条件为分母不为零，进而得出答案．解：∵分式 在实数范围内有意义，∴ x 的取值范围是： x ≠ 2．故答案为： x ≠ 2．10．因式分解： a 3﹣a ＝ a （a+1）（ a ﹣ 1） ．【分析】原式提取 a ，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝ a （a 2﹣1）＝a （a+1）（ a ﹣1），故答案为： a （a+1）（ a ﹣1）11．如图，D，E分别是△ ABC 的边AB，AC的中点，若△ ADE 的面积为1，则△ ABC 的面积等于 4 ．【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥ BC，DE ＝BC，证明△ ADE ∽△ ABC ，根据相似三角形的性质计算，得到答案．解：∵ D，E分别是△ ABC 的边AB，AC 的中点，∴DE 是△ ABC 的中位线，∴DE ∥BC，DE ＝BC，∴△ ADE ∽△ ABC，∵△ ADE 的面积为1，∴△ ABC 的面积为4，故答案为：4．12．如图，∠ A＝∠ ABC＝∠ C＝∠D＝∠ E，点 F 在AB 的延长线上，则∠ CBF 的度数是72分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数．解：∵∠ A＝∠ ABC ＝∠ C＝∠ D＝∠ E，∴五边形ABCDE 是正多边形，∵正多边形的外角和是360°，∴∠ CBF ＝360°÷ 5＝72°．故答案为：72°．13．如图，双曲线y＝与直线y＝mx 交于A， B 两点，若点 A 的坐标为（2，3），则点B【分析】利用正比例函数和反比例函数的性质可判断点 A 与点 B 关于原点对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出 B 点坐标．解：∵双曲线y＝与直线y＝mx 交于A， B 两点，∴点 A 与点 B 关于原点对称，而点 A 的坐标为（2，3），∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣3）．故答案为（﹣2，﹣3）．14．如图，用10 个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为50cm 的大矩形，设每个小矩形的长为xcm ，宽为ycm ，则可以列出的方程组是．【分析】根据矩形的对边相等及大矩形的宽为50cm，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，此题得解．解：依题意，得：故答案为：．15．某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地90 后从事互联网行业岗位分布统计图：③在当地互联网行业中，从事技术岗位的90 后人数超过总人数的20%④在当地互联网行业中，从事设计岗位的90 后人数比80 前人数少【分析】根据扇形统计图可以得出各个年龄段的人数占调查总人数的百分比，再根据条形统计图可以得出90 后从事互联网行业岗位的百分比，进而求出90 后从事互联网行业岗位占调查总人数的百分比，就可以比较，做出判断．解：对于选项① ，互联网行业从业人员中90 后占调查人数的56% ，占一半以上，所以该选项正确；对于选项② ，在当地互联网行业从业人员中，80 前人数占调查总人数的3% ，所以该选项错误；对于选项③ ，互联网行业中从事技术岗位的人数90 后占总人数的56% ×41% ＝23% ，所以该选项正确；对于选项④ ，互联网行业中，从事设计岗位的90 后人数占调查人数的56% ×8% ＝4.48% ，而80 前从事互联网行业的只占1﹣56% ﹣41% ＝3% ，因此该选项不正确；因此正确的有：①③ ，故答案为：①③ ．16．一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒② 在当地互联网行业从业人员中，80 前人数占总人数的13%① 在当地互联网行业从业人员中，90 后人数占总人数的一半以上中．（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是红色．（2）若乙盒中最终有 5 个红球，则袋中原来最少有30 个球．【分析】（1）根据放球规则，可知若取出的球都没有放入丙盒，则放入了乙盒，由此得出先放入甲盒的球的颜色是红色；（2）由题意可知取两个球共有四种情况：①红+红，② 黑+黑，③红+黑，④ 黑+红．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒可得到 2 个红球，以及红球数＝黑球数，即可求解．解：（1）∵某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，∴放入了乙盒，∴先放入甲盒的球的颜色是红色．（2）由题意，可知取两个球共有四种情况：① 红+红，则乙盒中红球数加1，② 黑+黑，则丙盒中黑球数加1，③ 红+黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1，④ 黑+红（黑球放入甲盒），则丙盒中红球数加1．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒可得到 2 个红球，∴乙盒中最终有 5 个红球时，甲盒有10 个红球，∵红球数＝黑球数，∴袋中原来最少有2（5+10）＝30 个球．故答案为：红色；30．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26 题，每小题5分，第27，28 题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：+（π﹣2020）0﹣3tan30 °+| ﹣1|．【分析】根据二次根式的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算即可．解：原式＝ 2 +1﹣3×+ ﹣1＝ 2 +1 ﹣+ ﹣ 1＝ 2 ．18．解方程：+1＝【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．解：+1＝，方程的两边同乘3（x﹣1）得：3x+3x﹣3＝2x，解这个方程得：，经检验，是原方程的解．19．已知关于x 的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于2，求k 的取值范围．【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△>0，根据判别式的意义即可证明；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系求得k 的取值范围．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×2k＝（2k﹣1）2≥0，∴无论k 为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，解方程得x＝，∴ x1＝2k，x2＝1．由题意可知2k> 2，即k> 1．∴ k 的取值范围为k>1．20．下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：已知：△ ABC ．求作：点D，使得点 D 在BC 边上，且到AB，AC 边的距离相等．作法：如图，作∠ BAC的平分线，交BC于点D．则点 D 即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：作 DE ⊥AB 于点 E ，作 DF ⊥AC 于点 F ， ∵AD 平分∠ BAC ，∴ DE ＝ DF （ 角平分线的性质 ）（括号里填推理的依据）分析】（ 1）根据题意补全图形即可；2）作 DE ⊥AB 于点 E ，作 DF ⊥AC 于点 F ，根据角平分线的性质即可得到结论． 解：1）补全图形如图所示；2）证明：作 DE ⊥AB 于点E ，作 DF ⊥AC 于点 F ， ∵AD 平分∠ BAC ，∴DE ＝DF （角平分线的性质），1）求证：四边形 ADCE 是菱形；2）连接 DE ，若 AC ＝2 ， BC ＝ 2，求证：△ ADE 是等边三角形．【分析】（ 1）先证明四边形 ADCE 是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结 论； AE ∥DC ，CE ∥DA ．故答案为： DE ，DF ，角平分线的性质．，D 为AB 的中点，2）根据三角函数的定义得到∠ CAB＝30°，根据菱形的性质得到∠ EAD ＝2∠ CAB ＝60°，AE＝AD ，于是得到结论．解答】（1）证明：∵ AE∥ CD，CE∥AB ，∴四边形ADCE 是平行四边形，又∵∠ ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴平行四边形ADCE 是菱形；2）解：∵在Rt△ABC 中，∠ ACB ＝90°，AC＝2 ，BC＝2，∴ tan ∠ CAB ＝∴∠ CAB＝30°，∵四边形ADCE 是菱形，∴∠ EAD ＝2∠ CAB ＝60°，AE ＝AD，∴△ ADE 是等边三角形．22．某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20 人作为调查对象，根据以上信息，回答下列问题：（1）在这40 名被调查者中，① 指标y 低于0.4 的有9 人；，方差记作S12，20 名非患者的指标x 的平均数记作，方差记作S22，则AB∴CD＝BD ＝AD ，绘制统计图如② 将20 名患者的指标x 的平均数记作将收集到的数据整理后< ，S12> S22（填“>”，“＝”或“<”）；（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x 低于0.3的大约有100 人；（3）若将“指标x低于0.3，且指标y 低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是．【分析】（1）① 根据图象，数出直线y＝0.4 下方的人数即可；② 根据图象，可知20 名患者的指标x 的取值范围是0≤x< 0.5，且有16 名患者的指标x< 0.3；20 名非患者的指标x 的取值范围是0.2≤x<0.6，且位置相对比较集中，因此即可求解；（2）利用样本估计总体，用500乘样本中非患者指标x 低于0.3所占的百分比即可；（3）先求出样本中“指标x 低于0.3，且指标y 低于0.8”的人患病的概率，再用1减去这个概率即可求解．解：（1）① 根据图象，可得指标y 低于0.4的有9 人．故答案为：9；②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作S12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作S22，则< ，S12> S22．故答案为：<，>；（2）500×＝100（人）．故答案为：100；（3）根据图象，可知“指标x 低于0.3，且指标y低于0.8”的有15人，而患者有20 人，则发生漏判的概率是：1﹣＝．故答案为．23．如图，AB 是⊙O的直径，C，D 是⊙O上两点，且＝，连接OC，BD，OD．（1）求证：OC 垂直平分BD ；2）过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E ，连接 AD ，CD ．① 依题意补全图形；线合一“性质可得 OD ＝OB ，从而问题得证；（2）① 依照题意补全图形即可； ② 由切线的性质可得 OC ⊥CE ；由同位角相等可证 DB ∥CE ；由等角的正弦值相等可得 sin ∠ABD ＝sin ∠AEC ＝ ，从而可求得 BD 、AB 、OA 、 OB 和 OC 的值，由 OC 垂直平分 BD ，可得 BF 及 DF 的值；由三角形的中位线定理可 得 OF 的值，进而求得 CF 的值，最后在 Rt △ CFD 中，由勾股定理可得 CD 的长． 解：（ 1）证明：∵＝ ，∴∠ COD ＝∠ COB ． ∵OD ＝OB ，∴ OC 垂直平分 BD ；C ， ∴ OC ⊥CE 于点 C ．记 OC 与 BD 交于点 F ，由（ 1）知 OC ⊥BD ， ∴∠ OCE ＝∠ OFB ＝90° ∴DB ∥CE ， ∴∠ AEC ＝∠ ABD ．∵在 Rt △ ABD 中， AD ＝6，sin ∠ABD ＝sin ∠AEC ＝ ， ∴BD ＝8，AB ＝10．② 若 AD ＝ 6， sin ∠ AEC ＝ ，求 CD 的长．分析】（ 1）由同弧所对的圆心角相等可得∠ COD ＝∠ COB ，再由等腰三角形的“三 2） ① 补全图形，如图所示：② ∵ CE 是 ⊙O 的切线，切点为∴ OA ＝OB＝OC＝5．由（1）可知OC 平分BD，即DF ＝BF ，∴BF＝DF＝4，OF 为△ ABD 的中位线，∴ OF ＝AD ＝3，∴CF＝2．∴在Rt △ CFD 中，CD＝＝2 ．∴ CD 的长为 2 ．24．如图，在△ ABC 中，AE 平分∠ BAC 交BC 于点E，D是AB 边上一动点，连接CD 交AE 于点P，连接BP．已知AB ＝6cm，设B，D 两点间的距离为xcm，B，P 两点间的距离为y1cm，A，P 两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y2，y2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm 2.49 2.64 2.88 3.25 3.80 4.65 6.004.59 4.24 3.80 3.25 2.51 1.350.00y2/cm2）在同平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，x，y2），并画出函数y1，y2 的图象：（3）结合函数图象，回答下列问题：①当AP＝2BD 时，AP 的长度约为 2.88 cm；②当BP平分∠ ABC 时，BD 的长度为 3 cm．【分析】（1）用光滑的曲线连接y2图象现有的点，在图象上，测量出x＝5 时，y的值即可；（2）描点连线即可绘出函数图象；（3）① 当AP＝2BD 时，即y2＝2x，在图象上画出直线y＝2x，该图象与y2 的交点即为所求；②从表格数据看，当x＝3时，y1＝y2＝3.25，故当BP平分∠ ABC 时，此时点P是△ABC 的内心，故点 D 在AB 的中点，即可求解．解：（1）用光滑的曲线连接y2图象现有的点，在图象上，测量出x＝5时，y＝1.35（答案不唯一）；故答案为： 1.35，注：y＝1.35 是估计的数值，故答案不唯一；2）绘制后y1、y2 图象如下：（3）①当AP＝2BD时，即y2＝2x，在图象上画出直线y＝2x，该图象与y2 的交点即为所求，即图中空心点所示，故答案为 2.88；② 从表格数据看，当x＝ 3 时，y1＝y2＝ 3.25，即点D在AB中点时，y1＝y2，即此时点P在AB的中垂线上，则点C在AB的中垂线上，则△ ABC 为等腰三角形，故当BP 平分∠ ABC 时，此时点P是△ ABC 的内心，故点 D 在AB 的中点，∴BD AB＝3，故答案为3．25．在平面直角坐标系xOy 中，函数y＝（x>0）的图象G 与直线l：y＝kx﹣4k+1 交于点A （4，1），点B （1，n）（n≥4，n 为整数）在直线l 上．（1）求m 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l 围成的区域（不含边界）为W．①当n＝5时，求k的值，并写出区域W 内的整点个数；② 若区域W 内恰有 5 个整点，结合函数图象，求k 的取值范围．【分析】（1）把A（4，1）代入y＝（x>0）中可得m 的值；（2）① 当n＝5 时，B（1，5），将B（1，5）代入y＝kx﹣4k+1，求得k 即可，画图可得整点的个数；② 分两种情况：直线l：y＝kx﹣4k+1 过（1，6），直线l：y＝kx﹣4k+1 过（1，7），画图根据区域W 内恰有 5 个整点，确定k 的取值范围．解：（1）把A（4，1）代入y＝（x>0）得m＝4×1＝4；（2）① 当n＝5时，把B（1，5）代入直线l：y＝kx ﹣4k +1得，5＝k﹣4k+1，解得k＝﹣，如图 1 所示，区域 W 内的整点有（ 2，3），（ 3，2），有 2 个； ② 如图 2，直线 l ：y ＝kx ﹣4k+1过（1，6）时， k ＝ 直线 l ：y ＝kx ﹣4k+1过（1，7）时， k ＝﹣ 2，区域 W 内恰有 5个整点， ∴区域 W 内恰有 5个整点， k 的取值范围是﹣ 2≤k <﹣ ．26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A ，B （A 在 B 的左侧），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ，且 OB ＝ 2OD ．1）当 b ＝2 时，① 写出抛物线的对称轴；② 求抛物线的表达式；区域 W 内恰有 4 个整点，，0）．∴点 D 的坐标为（﹣ ， 0），2）存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l ： y ＝ x+ 和拋物线交于点 P ，Q ，且点 P ，Q 均在 x 轴下方，结合函数图象，求 b 的取值范围．分析】（ 1） ① 由二次函数的对称轴方程可得出答案；② 根据题意求出 B 点坐标为（ 2， 0），代入抛物线解析式 y ＝x 2+2x+c 可得出答案；2）求出 E （﹣，0），点 D 的坐标为（﹣ ，0）．① 当 b >0 时，得出点 A 的坐标为（﹣ 2b ， 0），点 B 的坐标为（ b ， 0），则﹣ 2b <﹣，解不等式即可； ② 当 b< 0 时，点 A 的坐标为（ 0， 0），点 B 的坐标为（﹣ b ， 0），则 0<﹣ ，解出 b <﹣2．解：（ 1）当 b ＝ 2时，抛物线 y ＝x 2+bx+c 化为 y ＝x 2+2x+c ．＝＝② ∵抛物线的对称轴为直线 x ＝﹣ 1，∴点 D 的坐标为（﹣ 1，0）， OD ＝1． ∵OB ＝2OD ， ∴OB ＝2．∵点 A ，点 B 关于直线 x ＝﹣ 1 对称， ∴点 B 在点 D 的右侧． ∴点 B 的坐标为（ 2， 0）．∵抛物线 y ＝x 2+2x+c 与 x 轴交于点 B （ 2，0）， ∴4+4+c ＝0．解得 c ＝﹣ 8．∴抛物线的表达式为 y ＝x 2+2x ﹣ 8．2）设直线 y ＝ x+与 x 轴交点为点 E ，∵ y ＝ 0 时， x ＝﹣ ∵抛物线的对称轴为 x ＝ ﹣，﹣， ﹣ 1．① 抛物线的对称轴 x ＝﹣∴E (﹣。

北京市西城区2022届高三数学二模试题含解析版

北京市西城区2022届高三数学二模试题含解析版

西城区高三模拟测试试卷数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}42A x x =-<<，{}29B x x =≤，则A B ⋃=（ ）A. (]4,3- B. [)3,2-C. ()4,2- D. []3,3-【答案】A 【解析】【分析】先求B ，再求并集即可【详解】易得{}3|3B x x =-≤≤，故(]4,3A B ⋃=-故选：A2. 已知双曲线的焦点分别为1F ，2F ，124F F =，双曲线上一点P 满足122PF PF -=，则该双曲线的离心率为（ ）A.B. C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出a 和c 的值，进而可求离心率.【详解】因为1224F F c ==，所以2c =，又因为122PF PF -=，所以由双曲线的定义可知22a =，解得1a =，则双曲线的离心率2ce a==，故选：C .3. 已知{}n a 为等差数列，首项12a =，公差3d =，若228n n a a ++=，则n =（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；【详解】解：因为首项12a =，公差3d =，所以()1131n a a n d n =+-=-，因为228n n a a ++=，所以()()3132128n n -++-=，解得4n =故选：D4. 下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. ln y x =C. sin y x =D. y x x=【答案】D 【解析】【分析】根据指对函数的性质判断A 、B ，由正弦函数性质判断C ，对于D 有22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，即可判断奇偶性和()0,+∞单调性.【详解】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足.故选：D5. 已知直线2y kx =+与圆C ：222x y +=交于A ，B 两点，且2AB =，则k 的值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k 值.【详解】由题设(0,0)C 且半径r =，弦长2AB =，所以C 到2y kx =+的距离1d ==，1=，可得k =.故选：B6. 已知e 是单位向量，向量a 满足112a e ≤⋅≤，则a r 的取值范围是（ ）A. ()0,∞+ B. (]0,1C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据向量数量积的定义即可求解.【详解】依题意，cos ,cos ,a e a e a e a a e ==，1cos ,12a a e ≤≤ ，cos ,0a e ∴> ，112cos ,cos ,a a e a e ≤≤ ，又∵0cos ,1a e <≤ ，12a ∴≥ ，故选：C.7. 已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求得当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,进而判断6πϕ=时，函数的单调性，即可得出结果.【详解】当22222k x k πππϕπ-+≤+≤+，k Z ∈, ()f x 单调递增.则当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,当6π=ϕ时, ()f x 在,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；当6πϕ=-时, ()f x 在,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；反之，当()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数时，由,,6644ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知，此时0,0k ϕ==，即6πϕ=不成立.所以“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.8. 已知()lg f x x a =-，记关于x 的方程()1f x =的所有实数根的乘积为()g a ，则()g a （ ）A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值C. 既有最大值，也有最小值D. 既无最大值，也无最小值【答案】D 【解析】【分析】求出方程()1f x =的实数根，从而可得()g a ，再根据指数函数的性质即可得解.【详解】解：由()1f x =，得lg 1x a -=，所以110a x +=或110a -，故()210ag a =，所以函数()g a 既无最大值，也无最小值.故选：D .9. 若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ）A. (]0,1 B. ()0,1C. ()1,4 D. ()2,4【答案】B 【解析】【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >，当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤，当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣，则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B10. 如图为某商铺A 、B 两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元.图中点1A 、2A 、3A 的纵坐标分别表示A 商品2022年前3个月的销售量，点1B 、2B 、3B 的纵坐标分别表示B 商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（ ）①2月A 、B 两种商品的总销售量最多；②3月A 、B 两种商品的总销售量最多；③1月A 、B 两种商品的总利润最多；④2月A 、B 两种商品的总利润最多.A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】【分析】对①②，根据统计图的相关点纵坐标高低判断即可；对③④，根据A 利润是B 的两倍，根据卖得更多的商品判断利润高低即可【详解】对①②，根据统计图可得，3B ，3A 的纵坐标之和显然最大，故3月A 、B 两种商品的总销售量最多；故②正确；对③④，因为A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元，根据统计图，若用对应的点表示对应点的纵坐标，则易得131232210100201020A B B B A A +>+>+，故③正确综上②③正确故选：C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 二项式()()*1nx n +∈N 的展开式中2x的系数为21，则n =__________.【答案】7【解析】【分析】写出二项式展开式通项，根据已知条件有2C 21n =，即可求n 值.【详解】由题设，展开式通项为1C r rr n T x +=，而2x 的系数为21，所以2C 21n =，即(1)212n n -=且*N n ∈，可得7n =.故答案为：712. 已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()1,2-，则5z为__________.【解析】【分析】根据复数的定义以及运算规则即可求解.【详解】由题意，12i z =-+ ，则()512i 5512i 12i 5z --===---+ ，5z==；13. 已知抛物线24y x =的焦点为F，准线为l ，则焦点到准线的距离为___________；直线y =P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），过点P 作直线PQ 的垂线交准线l 于点H ，则PFPH=__________.【答案】 ①2②.【解析】【分析】求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作PP l '⊥交准线l 于点P '，易.得直线y =-过焦点，则PF PP PH PH'=从而可得出答案.【详解】解：抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线l 为1x =-，，所以焦点到准线的距离为2，如图，作PP l '⊥交准线l 于点P '，因为直线y =F ，则PF PP '=，因为PP l '⊥，所以PP x '∥轴，又直线y =-的倾斜角为60︒，所以60FPP '∠=︒，所以30HPP '∠=︒，则cos30PF PP PHPH'==︒=.故答案为：214. 已知数列{}n a 是首项为16，公比为12的等比数列，{}n b 是公差为2的等差数列.若集合{}*n n A n N a b =∈>中恰有3个元素，则符合题意的1b 的一个取值为__________.【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】易得数列{}n a 逐项递减，可先确定集合{}*n n A n N a b =∈>中的3项再列式求1b 的范围即可【详解】易得数列{}n a 逐项递减，{}n b 逐项递增，故可考虑112233,,a b a b a b >>>，(),4,n n n N a b n +≥∈≤，此时只需3344a b a b >⎧⎨≤⎩即可，即21311164211662b b ⎧⎛⎫⨯>+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得140b -≤<，故符合题意的1b 的一个取值为1-（答案不唯一）故答案为：1-（答案不唯一）15. 已知四棱锥P ABCD -的高为1，PAB △和PCD的等边三角形，给出下列四个结论：①四棱锥P ABCD -可能为正四棱锥；②空间中一定存在到P ，A ，B ，C ，D 距离都相等的点；③可能有平面PAD ⊥平面ABCD ；④四棱锥P ABCD -的体积的取值范围是12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】对①，分析当四棱锥P ABCD -为正四棱锥时是否满足条件即可；对②，设四棱锥P ABCD -的高为PO ，分析可得点O 满足；对③，假设平面PAD ⊥平面ABCD ，再推导得出矛盾即可判断；对④，设BOC θ∠=，得出四棱锥P ABCD -的体积表达式再求解即可【详解】根据题意，设PO ABCD ⊥，则1PO =，又因为PAB △和PCD的等边三角形，易得1OA OB OC OD ====，且2AOB COD π∠=∠=对①，当AB BC CD AD ====时，底面为正方形，且O 为底面中心，此时四棱锥P ABCD -可能为正四棱锥，故①正确；对②，1O A O B O C O D O P =====，故一定存在到P ，A ，B ，C ，D 距离都相等的点O ，故②正确；对③，当平面PAD ⊥平面ABCD 时，因为PO ABCD ⊥，故PO ⊂平面PAD ，此时A O D π∠=，又因为2AOB COD π∠=∠=，此时,B C 重合，不满足题意，③错误；对④，设BOC θ∠=，则13P ABCD ABCD V S PO -=⋅⋅()()111111sin sin 1sin 322223OA OB OC OD OB OC OA OD θπθθ⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅-=+ ⎪⎝⎭，因为()0,θπ∈，故(]sin 0,1θ∈，所以()1121sin ,333P ABCD V θ-⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，故④正确故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，22sin cos 222B B B+=.（1）求B 的大小；)2a c b +=，证明：a c =.【答案】（1）2π3； （2）证明见解析.【解析】分析】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tan B 即可求出B ；(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．【小问1详解】【在ABC 中，∵22sin cos 222B B B+=∴1cos sin 2BB ++=sin 0B B +=，∴tanB =，∵()0,πB ∈，∴2π3B =；【小问2详解】∵2π3B =，∴1cos 2B =-．由余弦定理得222b a c ac =++①，)2a c b +=，∴)b a c =+②，将②代入①，得()2222324a ac c a c ac ++=++，整理得2()0a c -=，∴a c =．17. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳概率；（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为1μ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为2μ，试比较1μ与2μ的大小.（结论不需要证明）【答案】（1）8105（2）0.32 （3）12μμ>【解析】【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解；（3）根据平均数公式分别求出12,μμ，即可得解.【小问1详解】解：样本中男生的人数为110010%110⨯=人，样本中女生的人数为10005%50⨯=人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A ，则该学生选考乒乓球的概率()11050811001000105P A +==+；【小问2详解】解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B ，从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C ，由题意()()0.4,0.5P B P C ==，则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为()()12222C 0.410.40.5C 0.410.50.32⨯⨯-⨯+⨯⨯-=；【小问3详解】的解：11008407.5207311604μ⨯+⨯+⨯==，2608407.51078511011μ⨯+⨯+⨯==，所以12μμ>.18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的菱形，AB BC ==，点D 为棱AC 上动点（不与A ，C 重合），平面1B BD 与棱11A C 交于点E .（1）求证：1BB DE //；（2）若34AD AC =，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值.条件①：平面ABC ⊥平面11AA C C ；条件②：160A AC ∠=︒；条件③：1A B =.【答案】（1）证明见解析 （2）913【解析】【分析】（1）由棱柱的性质可得11//AA BB ，即可得到1//BB 平面11ACC A ，再根据线面平行的性质证明即可；（2）选条件①②，连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，即可得到1A O AC ⊥，根据面面垂直的性质得到1A O ⊥平面ABC ，即可得到1A O OB ⊥，再由BO AC ⊥，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；选条件②③，连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，依题意可得1A O AC ⊥，再由勾股定理逆定理得到1A O OB ⊥，即可得到1A O ⊥平面ABC ，接下来同①②；选条件①③，取AC 中点O ，连接BO ，1AO ，即可得到BO AC ⊥，由面面垂直的性质得到BO ⊥平面11ACC A ，从而得到1BO OA ⊥，再由勾股定理逆定理得到1A O AO ⊥接下来同①②；【小问1详解】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，又1BB ⊄平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ，所以1//BB 平面11ACC A ，又因为平面1B BDE 平面11ACC A DE =，所以1//BB DE .【小问2详解】解：选条件①②.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，所以1A AC 为等边三角形.又因为O 为AC 中点，所以1A O AC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，1A O ⊂平面11ACC A ，且1A O AC ⊥，所以1A O ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，所以1A O OB ⊥.又因为AB BC =，所以BO AC ⊥.以O 为原点，以OB 、OC 、1OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,2,0)A -，1A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)D .所以(3,1,0)BD =-u u u r，1=(0,2,DE AA =.设平面1B BDE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则00n BD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以11113020x y y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =13y =，11x =，故(1,3,n =.又因为(3,2,0)AB =u u u r，设直线AB 与平面1B BDE 所成角为θ，所以9sin cos ,13AB n AB n AB n θ⋅=〈〉==u u u r r u u u r r u uu r r .所以直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值为913.选条件②③.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，所以1A AC 为等边三角形.又O 为AC 中点，故1A O AC ⊥，且1AO =.又因为3OB =，1A B =.所以22211AO OB A B +=，所以1A O OB ⊥.又因为AC OB O = ，所以1A O ⊥平面ABC .以下同选①②.选条件①③取AC 中点O ，连接BO ，1AO .在ABC 中，因为BA BC =，所以BO AC ⊥，且2AO =，3OB =.又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，所以BO ⊥平面11ACC A .因为1OA Ì平面11ACC A ，所以1BO OA ⊥.在1Rt BOA △中，1OA =又因为2OA =，14AA =，所以22211OA OA AA +=，所以1A O AO ⊥.以下同选①②.19. 已知函数ln ()1x af x x +=+.（1）若()114f '=，求a 的值；（2）当2a >时，①求证：()f x 有唯一的极值点1x ；②记()f x 的零点为0x ，是否存在a 使得21x x ≤e ？说明理由.【答案】（1） 1.a =（2）①证明见解析，②不存在，详细见解析.【解析】【分析】（1）求得导函数，由()114f '=，代入计算即可.(2) ①求得211ln (),(1)x a x f x x +--'=+设1()1ln g x x a x =+--, 由函数性质可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.进而由(e )1e 0,(1)20a a g g a -=+>=-<，可得()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，进而利用导数可判断()f x 有唯一的极值点1x .②由题意，可得0e ,ax -=假设存在a ，使21x x ≤e ，进而可知21e e ,a ax --<≤由()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )0a g ->，则2(e )0a g -≤，求得2a ≤，与已知矛盾，则假设错误.【小问1详解】因为ln (),01x af x x x +=>+，所以211ln (),(1)x a x f x x +--'=+因为21(1)44a f -'==，所以 1.a =【小问2详解】①()f x 的定义域是(0,)+∞，211ln (),(1)x a x f x x +--'=+令()0,f x '=，则11ln 0x a x+--=.设1()1ln g x x a x=+--,因为1,ln y y x x ==-在(0,)+∞上单调递减，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减.因为(e )1e 0,(1)20a a g g a -=+>=-<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一的零点，|所以()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，不妨设为11,(e ,1)ax x -∈.()'f x 与()f x 的情况如下,x 1(0,)x 1x 1(,)x +∞()'f x +0-()f x 增极大值减所以()f x 有唯一的极值点1x .②由题意，0ln x a =-，则0e ,ax -=若存在a ，使21x x ≤e ，则21e 1a x -≤<，所以21e e ,a a x --<≤因()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )1e 0a a g -=+>，则需22(e )e 10a a g --=-≤，即2a ≤，与已知矛盾.所以，不存在2a >,使得21x x ≤e .20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，圆O ：221x y +=经过椭圆C 的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程和焦距；（2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 不在坐标轴上），且直线PQ 与x 轴平行，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点M ，圆O 在点Q 处的切线与y 轴交于点N .求线段MN 长度的最小值.【答案】（1）2214x y +=，（2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,a b ，写出椭圆C 的方程并计算焦距作答.（2）设出点P ，Q 坐标，求线段AP 中垂线方程得点M ，求圆O 在点Q 处的切线方程得点为N ，再借助均值不等式求解作答.【小问1详解】依题意，2,1a b ==，由c ==2c =所以椭圆C 的方程为：2214x y +=，焦距为【小问2详解】设00(,)P x y 00(0)x y ≠，则220014x y +=，依题意，设101(,)(0)Q x y x ≠，且22101x y +=，因()2,0A -，则线段AP 的中点为002(,)22x y -，直线AP 的斜率002AP y k x =+，则线段AP 的中垂线方程为：000022(22y x x y x y +--=--， 令0x =得点M 的纵坐标220000000(2)(2)4222M y x x x y y y y +-+-=+=，而220044x y -=-，则032M y y =-，即03(0,)2M y -，直线OQ 的斜率01OQ y k x =，因此，圆O 在点Q 处的切线斜率为10x y -，切线方程为1010()x y y x x y -=--，令0x =得点N 的纵坐标22210100001N x y x y y y y y +=+==，即01(0,)N y ，则有00001313||||||||2||2N M MN y y y y y y =-=+=+≥=0013||||2y y =，即0y ==”，所以线段MN.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.21. 已知数列A ：1a ，2a ，…，2m a ，其中m 是给定的正整数，且2m ≥.令{}212min ,i i i b a a -=，1,,i m =⋅⋅⋅，{}12()ma ,x ,,m X b b A b = ，{}212max ,i i i c a a -=，1,,i m =⋅⋅⋅，{}12()min ,,,m Y A c c c = .这里，{}max 表示括号中各数的最大值，{}min 表示括号中各数的最小值.（1）若数列A ：2，0，2，1，-4，2，求()X A ，()Y A 的值；（2）若数列A 是首项为1，公比为q 等比数列，且()()X A Y A =，求q 的值；（3）若数列A 是公差1d =的等差数列，数列B 是数列A 中所有项的一个排列，求()()X B Y B -的所有可能值（用m 表示）.【答案】（1）()1X A =，()2Y A =； （2）1q =；（3）所有可能值为1,1,2,...,23m --.【解析】【分析】（1）根据函数定义写出()X A ，()Y A 即可.（2）讨论数列A 的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设,i i b c 定义判断1212{,,...,}{,,...,}m m b b b c c c ⋂=∅，当存在相等项，由等比数列通项公式求q ，进而确定q 的值；（3）利用数列A 的单调性结合（2）的结论求()()X B Y B -的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类讨论求证()()X B Y B -对应所有可能值均可取到，即可得结果.【小问1详解】由题设，10b =，21b =，34b =-，则()max{0,1,4}1X A =-=，12c =，22c =，32c =，则()min{2,2,2}2Y A ==，所以()1X A =，()2Y A =.【小问2详解】若数列A 任意两项均不相等，的当1,...,i m =时i i b c ≠；当,{1,...,}i j m ∈且i j ≠时，212212{,}{,}i i j j a a a a --⋂=∅，又212212min{,}{,}i i i i i b a a a a --=∈，212212max{,}{,}j j j j j c a a a a --=∈，此时i i b c ≠；综上，1212{,,...,}{,,...,}m m b b b c c c ⋂=∅，故()()X A Y A ≠，不合要求；要使()()X A Y A =，即存在i j ≠且,{1,...,2}i j m ∈使i j a a =，即11i j q q --=，又0q ≠，则1q =±，当1q =-，则()1,()1X A Y A =-=，不合要求；当1q =，则()()1X A Y A ==，满足题设；综上，1q =.【小问3详解】由题设数列A 单调递增且121211......21m a a a a a m <=+<<=+-，由（2）知：()()X B Y B ≠，根据题设定义，存在i j ≠且,{1,...,2}i j m ∈，(),()i j X B a Y B a ==，则()()i j X B Y B a a i j -=-=-，由()X B 比数列A 中1m -个项大，()m X B a ≥，同理1()m Y B a +≤，所以1()()1m m X B Y B a a +-≥-=-；又()X B 至少比数列A 中一项小，21()m X B a -≤，同理2()Y B a ≥，所以212()()23m X B Y B a a m --≤-=-；综上，()(){1,1,2,...,23}X B Y B m -∈--.令数列122:,,...,m B x x x ，下证1,1,2,...,23m --各值均可取到，ⅰ、当212,,1,2,...,i i i m i x a x a i m -+===，而数列A 递增，212min{,}min{,}i i i i m i i b x x a a a -+===，212max{,}max{,}i i i i m i m i c x x a a a -++===且1,...,i m =，此时，11()max{,...,}max{,...,}m m m X B b b a a a ===，1121()min{,...,}min{,...,}m m m m Y B c c a a a ++===，则()()1X B Y B -=-；ⅱ、当1,2,...,1k m =-时，2122122,,,k k k m m m k m m x a x a x a x a --+====，则2,,,k k k m m m k m m b a c a b a c a +====，当1,...,i m =且,i k m ≠时，令212,i i i m i x a x a -+==，则11,i i m i m i m b a a c a a -++=≤=≥，所以111()max{,...,}max{,...,,}m m m k m k X B b b a a a a -++===，11112()min{,...,}min{,...,,,,...,}m m m k m m k m m Y B c c a a a a a a ++-++===，此时()(){1,2,...,1}m k m X B Y B a a k m +-=-=∈-；ⅲ、给定{1,2,...,2}t m ∈-，令2121,i i i i x a x a -+==(1,...,i t =)且212122,i i i i x a x a --==(1,...,i t m =+)，则212min{,}i i i i b x x a -==(1,...,i t =)，21221min{,}i i i i b x x a --==(1,...,i t m =+)，又数列A 递增，121()max{,...,}m m X A b b a -==，212max{,}i i i t i c x x a -+==(1,...,i t =)，2122max{,}i i i i c x x a -==(1,...,i t m =+)，所以11()min{,...,}m t Y A c c a +==，此时211()()22m t X B Y B a a m t -+-=-=--且{1,2,...,2}t m ∈-，故()()X B Y B -∈{,1,...,23}m m m +-，综上，()(){1,1,2,...,23}X B Y B k m -=∈--.【点睛】关键点点睛：第三问，首先根据数列的单调性和定义求()()X B Y B -的取值范围，再由定义结合分类讨论求证范围内所有可能值都可取到.。

西城区2024届初三二模数学试题及答案

西城区2024届初三二模数学试题及答案

北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第1页（共8页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数 学 2024.5考生须知1．本试卷共8页，共两部分，28道题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．右图是某几何体的三视图，该几何体是 （A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）三棱柱（D ）长方体2．新能源革命受到全球瞩目的同时，也成为中国实现“碳达峰碳中和”目标的关键所在．2023年全球可再生能源新增装机510 000 000千瓦，其中中国的贡献超过了50%． 将510 000 000用科学记数法表示应为 （A ）90.5110 （B ）85.110 （C ）95.110 （D ）75110 3．正十二边形的每一个外角的度数为（A ）30°（B ）36°（C ）144°（D ）150°4．如图，直线AB ⊥CD 于点C ，射线CE 在∠BCD 内部，射线CF平分∠ACE ．若∠BCE =40°，则下列结论正确的是 （A ）∠ECF =60° （B ）∠DCF =30° （C ）∠ACF 与∠BCE 互余 （D ）∠ECF 与∠BCF 互补5．不透明的袋子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字4，5，6．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是 （A）12 （B ）13（C ）23（D ）49北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第2页（共8页）6．如图，点C 为线段AB 的中点，∠BAM =∠ABN ，点D ，E 分别在射线AM ，BN 上，∠ACD 与∠BCE 均为锐角．若添加一个条件一定 可以证明△ACD ≌△BCE ，则这个条件不能是 （A ）∠ACD =∠BCE （B ）CD=CE （C ）∠ADC =∠BEC（D ）AD =BE7．某农业合作社在春耕期间采购了A ，B 两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A 型机器的进价比每台B 型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A ，B 两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若设每台B 型机器的进价为x 万元，根据题意可列出关于x 的方程为（A ）12.621(20.7)x x （B ）2112.620.7x x （C ）2112.620.7x x（D ）2112.620.7x x8．下面问题中，y 与x 满足的函数关系是二次函数的是①面积为102cm 的矩形中，矩形的长y （cm ）与宽x （cm ）的关系；②底面圆的半径为5cm 的圆柱中，侧面积y 2(cm )与圆柱的高x （cm ）的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(100)x 件． 利润y （元）与每件售价x （元）的关系． （A ）① （B ）②（C ）③ （D ）①③第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9． 若分式34x 有意义，则x 的取值范围是______． 10．分解因式：2218x y y =______．11．方程组25,24x y x y的解为______． 12．在平面直角坐标系xOy 中，点(3,1)A 关于原点O 的对称点的坐标为______．13．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥BC 于点E ．若BE =3，△BDE 的面积为1.5，则点D 到边AB 的距离为______． 14．如图，AB 与⊙O 相切于点C ．点D ，E 分别在OA ，OB上，四边形ODCE 为正方形．若OA =2，则DE =______．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第3页（共8页）15．如图，(2,)A m ，(3,2)B 两点在反比例函数ky x（x ＞0）的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段OA ，OB 及反比例函数图象上A ，B 两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为______．16．在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分，负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为m （分），则m 的最小值为______；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为______场． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：04cos 45(π3) ．18．解不等式组3 2 < 4,2,53x x x x≥并写出它的所有整数解． 19．已知230x x ，求代数式233(1144x x x的值． 20．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA=BC ．求作：点D ，使得点D 在△ABC 内，且12ADB BDC ．下面是小华的解答过程，请补充完整：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：①作线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点E ；②以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，与直线PQ 在△ABC 内交于点D ． 点D 就是所求作的点．（2）完成下面的证明．证明：连接DA ，DB ，DC ．∵ 点D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ DB = DC （ ）（填推理的依据）， DE ⊥BC ．∴ 12BDE CDE BDC ．∵ ∠ABC =90°，∠DEC =90°， ∴ ∠ABC =∠DEC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第4页（共8页）∴ AB ∥DE ． ∴ ∠ABD =∠BDE ． ∵ ， ∴ ∠ADB =∠ .∴ 12ADB BDE BDC ．21．已知关于x 的一元二次方程2320x x k 有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）若k 为满足条件的最大整数，求此时方程的根．22．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ，FG =CF ，连接AG ．（1）求证：四边形AEFG 是矩形；（2）若∠ABD =30°，AG =2AE =6，求BD 的长．23．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，点E 是 BD的中点，连接AE 交BC 于 点F ，∠ACB =2∠EAB ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若BF =6，3cos 5C，求AB 的长．24．我国快递市场繁荣活跃，某快递公司为提高服务质量，对公司的业务量、公众满意度等数据进行统计分析．公司随机抽取了某日发往相邻城市的快递中的1000件，称重并记录每件快递的重量（单位：kg，精确到0.1）．下面给出了部分信息．a.每件快递重量的频数分布直方图（数据分成11组：0≤x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3，3≤x＜4，4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10，10≤x＜11）；b.在3≤x＜4这一组的数据如下：3.0 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.43.5 3.5 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.9c.这1000件快递重量的平均数、中位数、众数如下：平均数 中位数 众数快递重量3.6 m n（单位：kg）根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）写出m的值；（3）下面四个结论中，① n的值一定在2≤x＜3这一组；②n的值可能在4≤x＜5这一组；③n的值不可能在5≤x＜6这一组；④n的值不可能在8≤x＜9这一组.所有正确结论的序号是 ；（4）该日此快递公司在全市揽收的快递包裹中有3800件发往相邻城市，估计这批快递的重量.北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第5页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第6页（共8页）25．已知角x （0°≤x ≤90°），探究sin x 与角x 的关系.两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案：方案一：如图，点P 在以点O 为圆心，1为半径的 MN上，∠MON =90°，设∠POM 的度数为x . 作PC ⊥OM 于点C ，则线段 ① 的长度c 即为sin x 的值.方案二：用函数35π1π1π()()()1806180120180x x x F x的值近似代替sin x 的值．计算函数 ()F x 的值，并在平面直角坐标系xOy 中描出坐标为(,())x F x 的点.两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（精确到0.001）. 若()c F x ≤0.001记为√，否则记为×. x 0 102030 40455060708090 c 0 0.174 0.342 ②0.643 0.707 0.766 0.866 0.940 0.985 1 ()F x0.174 0.342 0.500 0.643 0.707 0.766 0.866 0.941 0.987 1.005√或× √√√√√√√√×根据以上信息，解决下列问题： （1）①为 ，②为 ； （2）补全表中的√或×；（3）画出()F x 关于x 的函数图象，并写出sin55°的近似值（精确到0.01）.26．在平面直角坐标系xOy 中，11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c上任意两点．设抛物线的对称轴是x=t ．（1）若对于12x ，21x ，有12y y ，求t 的值；（2）若对于1x ≥2，都有1y c 成立，并且对于21x ，存在2y c ，求t 的取值范围．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α（0°＜α＜30°）．将射线AB绕点A顺时针旋转2α得到射线l，射线l与直线BC的交点为点M．在直线BC上截取MD=AB （点D在点M右侧），将直线DM绕点D顺时针旋转2α所得直线交直线AM于点E．（1）如图1，当点D与点B重合时，补全图形并求此时∠AED的度数；（2）当点D不与点B重合时，依题意补全图2，用等式表示线段ME与BC的数量关系，并证明．图1图2北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第7页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第8页（共8页）28．如图1，对于⊙O 外的线段PQ （线段PQ 上的各点均在⊙O 外）和直线PQ 上的点R ，给出如下定义：若线段PQ 绕点R 旋转某一角度得到的线段P ′Q ′恰好是⊙O 的弦，则称点R 为线段PQ 关于⊙O 的“割圆点”．图1图2在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．（1）如图2，已知点(1,4)S ，(1,2)T ，(1,2)U ，(0,3)W . 在线段ST ，TU ，UW 中，存在关于⊙O 的“割圆点”的线段是_______，该“割圆点”的坐标是_______； （2）直线y x b 经过点(0,3)W ，与x 轴的交点为点V ．点P ，点Q 都在线段VW 上，且PQ PQ 关于⊙O 的“割圆点”为点R ，写出点R 的横坐标R x 的取值范围；（3）直线l 经过点H ，不重合的四个点A ，B ，C ，D 都在直线l 上，且点H 既是线段AB 关于⊙O 的“割圆点”，又是线段CD 关于⊙O 的“割圆点”．线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，记线段MN 的长为d ，写出d 的取值范围．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第1页（共6页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.5一、选择题（共16分，每题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBADABCC二、填空题（共16分，每题2分）9．4x 10．2(3)(3)y x x11．2,1x y 12．(3,1) 13．1 1415．(1,1)，(2,2) 16．6；4 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17．解： 04cos 45(π3) 2412…………………………………………………………… 4分 1 ． ……………………………………………………………………………… 5分18．解：原不等式组为3 2 < 4,2.53x x x x≥ 解不等式①，得3x ．……………………………………………………………1分 解不等式②，得1x ≥．………………………………………………………… 2分∴ 原不等式组的解集为1 ≤3x ．…………………………………………… 3分 ∴ 原不等式组的所有整数解为1 ，0，1，2．……………………………… 5分19．解： 233(1)144x x x2231(2)x x x3(1)(2)x x232x x． ……………………………………………………………………… 3分∵ 230x x ， ∴ 23x x ．∴ 原式3 ．…………………………………………………………………………5分① ②北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第2页（共6页）20．解：（1）作图见图1．……………………………………………………………………2分（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；……………… 3分 AB=AD ；……………………………………………………………………… 4分ABD ．………………………………………………………………………… 5分21．解：（1）依题意，得234(2)174k k ．…………………………………… 1分∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ 1740k ．………………………………………………………………2分 解得 174k．…………………………………………………………………3分 （2）∵ k 为满足条件的最大整数，∴ 4k ．此时方程为2320x x ．此时方程的根为11x ，22x ．…………………………………………5分22．（1）证明：如图∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB//CD ，AB=CD ．…………………………………………………… 1分 ∴ ∠ABE=∠CDF ．∵ AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ， ∴ ∠AEB=∠CFD=∠AEF=∠EFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF ．图1北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第3页（共6页）∴ AE=CF ．∵ FG =CF ，∴ AE= FG ．∵ ∠AEF=∠EFC ，∴ AE//FG ．∴ 四边形AEFG 是平行四边形．∵ ∠AEF=90°，∴ 四边形AEFG 是矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ △ABE ≌△CDF ，∴ BE= DF ．∵ AG=2AE =6，∴ AE =3．在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∠ABE =30°，AE =3，∴3tan tan 30AE BE ABE4分 ∵ 四边形AEFG 是矩形，AG =6，∴ EF=AG=6．……………………………………………………………… 5分∴26BD BE EF DF BE EF ． ………………………… 6分23．（1）证明：如图3，连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，∴ ∠BDA=90°．∴ 90B DAB ．∵ 点E 是 BD的中点， ∴ BEED ． ∴ 1EAB ．∴ 12DAB EAB EAB ．∵ ∠ACB =2∠EAB ，∴ ∠DAB =∠ACB ．∴ 90B ACB ．∴ ∠BAC=90°．………………………………………………………… 2分∴ AC ⊥AB ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ AC 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 3分 图3北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第4页（共6页）（2）解：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，3cos 5C ． 设AC =3k ，则BC =5k ，AB =4k ．∵ 90B DAB ，90CAD DAB ，∴ B CAD ．∵ 2B EAB ，1CAF CAD ，1EAB ，∴ 2CAF ．∴ CF=AC=3k ．∴ 2BF BC CF k ．∵ BF =6，∴ k =3．∴ 412AB k ．…………………………………………………………… 6分24．解：（1）补全频数分布直方图见图4；……………………………………………… 1分（2）2分（3）②④；………………………………………………………………………… 4分（4）3.6380013680 （kg ）．……………………………………………………5分25．解：（1）PC ，0.5； …………………………………………………………………… 2分（2）√，×；……………………………………………………………………… 4分（3）画图见图5；5分0.82．………………………………………………………………………… 6分 图5北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第5页（共6页）26．解：（1）∵ 对于12x ，21x ，有12y y ，∴ 42a b c a b c ．∴ b a ．∴ 122b t a ．………………………………………………………………2分 （2）由题意可知，抛物线2y ax bxc 与y 轴的交点为(0,)c ．①当a > 0时，抛物线开口向上．∴ 当1x ≥2时，1y 有最小值，没有最大值．∴ 与“对于1x ≥2时，都有1y c ”不符，所以不合题意．∴ a > 0不成立．②当a < 0时，抛物线开口向下，且经过点(0,)c ，(2,)t c ．若抛物线经过点(1,)c ，则12t ； 若抛物线经过点(2,)c ，则1t ．（i ）当12t ≤时， 01t ≤或021t t ≤．∴ 对于21x ，都有2y c ．与“对于21x ，存在2y c ”不符，所以不合题意．（ii ）当112t 时，122t t ． ∴ 对于21x ，存在2y c ，对于1x ≥2，都有1y c ．∴112t 成立． （iii ）当1t ≥时，022t ≤． ∴ 当12x 时，1y c ．与“对于1x ≥2，都有1y c 成立”不符，所以不合题意． 综上所述，112t ．27．解：（1）补全图形见图6．∵ 点D 与点B 重合，MD=AB ，∠BAM ∴ ∠AMD =∠BAM =2α．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∴ 90AMD MAC ．∵ ∠BAC =α，∴ 5α=90AMD BAM BAC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第6页（共6页）解得α=18 ．∵ ∠MDE =2α，∴ 2α+2α4α=72AED AMD MDE ．………………………… 2分（2）补全图形见图7．…………………………………………………………… 3分ME =2BC ．…………………………………………………………………… 4分证明：如图7，在BC 的延长线上截取CF=BC ，连接AF ．以点B 为圆心，BF 为半径作弧，交AF 于点N ，连接BN ．∵ CF=BC ，∠ACB =90°，∴ AB=AF ．∴ ∠BAN =2∠BAC =2α．∵ ∠MDE =2α，∴ ∠MDE =∠BAN ．∴ 在等腰△ABF 中，18090α2BAF F ． ∵ BN=BF ，∴ 390αF ．在Rt △AMC 中，190903αMAC ．∴ 21(903α)+2α90αMDE ．∴ 23 ．∵ 41802 ，1803BNA ，∴ 4BNA ．∵ DM =AB ，∴ △DME ≌△ABN ．∴ ME=BN ．∵ BN=BF ，∴ ME=BF=2BC ．……………………………………………………7分28．解：（1）UW ，(2,1) ；…………………………………………………………………2分（2）2R x ≤或1R x ≥；………………………………………………………… 4分（3）02d或4d ≤．……………………………………………… 7分。

2021届北京市西城区高三5月二模数学试题(解析版)

2021届北京市西城区高三5月二模数学试题(解析版)

2021届北京市西城区高三5月二模数学试题一、单选题1．已知集合{}29A x Z x =∈≤，{2}B x x =>-，则A B =（ ）A ．{0,1,2,3}B ．{1,2,3}C ．{1,0,1,2,3}-D ．{23}x x -<≤【答案】C【分析】先求出集合A ，再求两集合的交集即可 【详解】解：由29x ≤，得33x -≤≤，所以{}{}{}29333,2,1,0,1,2,3A x Z x x Z x =∈≤=∈-≤≤=---，因为{2}B x x =>-， 所以A B ={1,0,1,2,3}-，故选：C2．已知复数2i 1iz a =+-，其所对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(1,+)∞C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】D【分析】先对复数z 化简，再由其对应的点在第四象限，列不等式可求出a 的取值范围 【详解】解：因为22(1)11(1)1(1)(1)i z ai ai ai i a i i i i +=+=+=++=++--+， 所以复数z 在复平面对应的点为(1,1)a +， 因为复数z 在复平面对应的点在第四象限， 所以10a +<，得1a <-， 故选：D3．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度【答案】B【分析】先化简函数()ππsin 2sin[2()]36y x x =-=-，再根据三角函数的图象变换，即可求解．【详解】由题意，函数()ππsin 2sin[2()]36y x x =-=-，所以为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数sin2y x =的图象向右平移π6个单位长度；故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x 的系数是解题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 4．某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的体积为（ ）A ．83B ．43C ．8D ．4【答案】D【分析】在棱长为2的正方体中还原该三棱柱，再由题中数据，即可求出体积. 【详解】在棱长为2的正方体中还原该三棱柱如下（三棱柱111ABC A B C -）：因此其体积是该正方体的一半，即111122242ABC A B C V -=⨯⨯⨯=. 故选：D.5．在ABC 中，2a =，6A π=，则“3B π=”是“3b =的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】解：在ABC 中，2a =，6A π=，当3B π=时，由正弦定理可得2sinsin63b ππ=，22sin132sin 62b ππ=⨯=⨯=当b =223πsin6sin B =，因为5(0,)6B π∈，所以3B π=或23B π=， 所以“3B π=”是“b =的充分而不必要条件，故选：A6．若直线2y x =与双曲线:C 22221x y a b-=无公共点，则双曲线C 的离心率可能是（ ）A ．B ．1C ．2 D ．【答案】C【分析】由直线与双曲线的位置关系求得,a b 的不等关系，由此变形可得离心率范围，得到正确选项．【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，直线2y x =与双曲线无公共点， 则2b a ≤，22224a b c a ≥=-，225ca≤，即c e a=≤，所以e ∈． 故选：C ．7．“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（ ） A ．29 B ．30 C ．58 D ．59【答案】B【分析】里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出,A B 两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可．【详解】根据题意A 点处里程碑上刻着数字34，B 点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，公差为2，因此里程碑个数为92341302-+=． 故选：B ．8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知18a =，41a =-，则数列{}n S （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求出公比q ，求出n S ，然后分析{}n S 的性质． 【详解】设公比为q ，则34118a q a ==-，12q =-， 11812(1)1611113212n n nn a q S q ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===--⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 当n 为偶数时，161132n n S ⎛⎫=-⎪⎝⎭，是增函数，即246163S S S <<<<， 当n 为奇数时，161132n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是减函数，即135163S S S >>>>， 所以{}n S 有最大项为1S ，最小项为2S ． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的前n 项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得通项公式n S 后按奇偶数分类，得出奇数递减，偶数项递增，但所有奇数项比163大，所有偶数项比163小，这样易确定最值． 9．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，(2,1)B ，(2,2)C ，P 是圆22:(4)2M x y +-=上一点，Q 是ABC 边上一点，则OP OQ ⋅的最大值是（ ）A ．B ．12C ．D ．16【答案】B【分析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1212OP OQ x x y y ⋅=+，因为22[1,2],[1,2]x y ∈∈，所以当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值，【详解】解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1122(,),(,)OP x y OQ x y ==， 所以1212OP OQ x x y y ⋅=+， 因为22[1,2],[1,2]x y ∈∈，所以当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，所以问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值， 因为点(,)P x y 在圆M 上，设点(,)P x y 所在的直线l 为x y t +=， 因为直线l 与圆M 有公共点，≤所以42t -≤，解得26t ≤≤，即1126x y ≤+≤， 所以1142()12x y ≤+≤， 所以OP OQ ⋅的最大值是12， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值，然后利用直线与圆的位置关系求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题10．甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛至少包含数学和物理，在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x ，另一个学生的分数为y ，第三个学生的分数为z ，其中x ，y ，z 是三个互不相等的正整数.在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分，且在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则（ ）A ．甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛B ．x ，y ，z 这三个数中的最大值可以取到21C ．在甲乙丙这三个学生中，甲学生的物理竞赛成绩可能排名第二D ．在甲乙丙这三个学生中，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二 【答案】D【分析】不妨设x y z >>，由题意得472416293x y z ++++==，所以对于甲有2020747++=，对于乙有222024++=，对于丙有77216++=，再由甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一进行分析判断即可 【详解】解：不妨设x y z >>，由题意得472416293x y z ++++==，若甲乙丙只参加了三门竞赛，当20,7,2x y z ===时，有甲：2020747++=，乙：202224++=，丙：77216++=，此时符合题意，所以A 错误；若21x =，则有8y z +=，丙的总分无法满足，因为2116>，且,,x y z 为正整数，16不能被3整除，必有216y z +=，但由于8y z +=，则2()16y z +=与216y z +=矛盾，所以B 错误； 当20,7,2x y z ===时， 对于甲有2020747++=， 对于乙有222024++=， 对于丙有77216++=，由于甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，所以甲乙丙的数学成绩分别为7，20，2，所以甲乙丙的物理成绩分别20，2，7，所以甲学生的物理竞赛成绩是第一，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二，所以C 错误，D 正确， 故选：D二、填空题11．已知向量(,1)a m =，(3,)b m =，若a 与b 方向相反，则m 等于___________.【答案】【分析】由题意可设(0)a b λλ=<，从而可得31m mλλ=⎧⎨=⎩，进而可求出m 的值【详解】解：由于a 与b 方向相反，所以设(0)a b λλ=<，所以(,1)(3,)m m λ=，则31m m λλ=⎧⎨=⎩，解得3m λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或3m λ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去），所以m =故答案为：12．在32)x 展开式中，常数项是___________.【答案】6-【分析】求出二项展开式的通项公式，x 的指数为0的项即为所求.【详解】32)x的展开式通项33321332()(2)(,3)rr rr r rr T C C x r N r x--+=-=-∈≤， 展开式的常数必使33012r r -=⇒=，此时，1123(2)6T C =-=-， 所求常数项为6-. 故答案为：6-13．对于抛物线C ，给出下列三个条件：①对称轴为y 轴；②过点(1,1)；③焦点到准线的距离为2.写出符合其中两个条件的一个抛物线C 的标准方程___________. 【答案】24x y =(24x y =-，2x y =以上答案均可).【分析】分别选取三个条件中的两个，写出对应的抛物线方程即可.【详解】若选①②，则设抛物线标准方程为22x py =，过(1,1)，代入得21p =，抛物线标准方程为2x y =；若选①③，易知2p =，抛物线标准方程为24x y =或24x y =-；若选②③，易知2p =，若对称轴为x 轴，则抛物线标准方程为24y x =，不满足过(1,1)；若对称轴为y 轴，设抛物线标准方程为24x y =，不满足过(1,1)；故答案为： 24x y =（24x y =-，2x y =以上答案均可）14．已知函数|1|,1,()(2)(1), 1.x a x f x a x x ⎧-≤=⎨-->⎩其中0a >且1a ≠.给出下列四个结论：①若2a ≠，则函数()f x 的零点是0；②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,1)；③若2a >，则()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； ④若关于x 的方程()2f x a =-恰有三个不相等的实数根123,,x x x ，则a 的取值范围为(2,3)，且123x x x ++的取值范围为(,2)-∞.其中，所有正确结论的序号是___________. 【答案】①④【分析】分01a <<，12a <<， 2a =，2a >四种情况作出函数()f x 的简图，然后对四个结论逐一判断正误.【详解】对于①：当2a ≠时，显然，当1x >时，()f x 无零点；当1x ≤时，由()0f x =可得10x a x =⇒=，所以()f x 的零点是0. 故①正确； 对于②：当01a <<时，简图如下：当12a <<时，简图如下：当2a =时，简图如下：当2a >时，简图如下：由图可知，若()f x 无最小值，则01a <<或12a <<. 故②错误；对于③：由图可知，在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,1)和(1,)+∞上单调递增. 故③错误；对于④：由图可知，只有当2a >且021a <-<即23a <<时，方程()2f x a =-才有三个不相等的实数根. 不妨设三个根由小到大依次为1x ，2x ，3x ，显然32x =. 由12()()f x f x =得1211x x a a -=-，故122x x a a +=，且12x x ≠，所以121212212x x x x x x a a a a a +⎛⎫+=⋅<= ⎪⎝⎭，故120x x +<，从而1232x x x ++<. 故④正确.故答案为：①④.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：分01a <<，12a <<， 2a =，2a >四种情况作出函数()f x 的简图.三、双空题15．共享单车已经成为方便人们出行的交通工具，某公司决定从2020年1月开始向某地投放共享单车，记第()n n *∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b (单位：千辆)，其中11a =，10.1b =．从第2个月到2021年12月，共享单车的每月投放量比上个月增加1千辆，从2022年1月开始，共享单车的每月投放量比上个月减少1千辆；根据预测，从2020年1月开始，共享单车的每月损失量比上个月增加100辆.设第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差，则该地区第4个月底的共享单车的估计保有量为___________千辆；当n 为___________时，该地区第n 个月底的共享单车估计保有量达到最大. 【答案】9 43【分析】求出,n n a b ，再由{},{}n n a b 的前n 项和相减得保有量，由n n a b =得保有不变，则为最大．但要注意n 的实际意义． 【详解】由题意{}n a ，{}n b 都是等差数列，{}n a 中首项11a =（千），公差11d =，则n a n =，前n 项和为(1)2n n n S +=，1212a = {}n b 中，10.1b =，公差20.1d =，110n b n =，前n 项和为(1)1210n n n T +=⨯， 所以保有量为9(1)9(1)10220n n n n n n n V S T ++=-=⨯=, 所以4945920V ⨯⨯==． （2）到2021年12月底，2424a =，24 2.4b =，此后投放量比上月减少1千两，25n ≥时，24(24)148n a n n =--⨯=-，110n b n =， 当n n a b >时保有量保持增加，n n a b =，即14810n n -=，43.6n ≈，此时投入量与损失量相等，保有量最大． 所以43n =时，投入量大于损失量，44n =时，投入量小于损失量． 所以保有量达到最大时43n =． 故答案为：9；43．【点睛】关键点点睛：本题考查数列的实际应用，解题关键是求得数列的通项公式．第（1）中要正确理解保有量是投入和减去损失和，而不是n n a b -，第（2）问题中关键是确定投入量大于损失量时保有量增大，投入量小于损失量时保有量减小．从而可得解法．四、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，2PA AD CD ===，点E 为PB 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）求二面角E CD A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（225. 【分析】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，则结合已知条件可证得四边形AFCD 是正方形，可得AB CF ⊥， 22AC BC ==BC AC ⊥，而由已知可得PA BC ⊥，从而得BC ⊥平面PAC ，从而由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）由已知可得,,PA AD AB 两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，然后利用空间向量求解二面角E CD A --的余弦值【详解】解：（1）.取AB 的中点F ，连接CF ，所以AF CD =， 又因为//AF CD ，所以四边形AFCD 是平行四边形. 因为AB AD ⊥，AD CD =，所以四边形AFCD 是正方形，则AB CF ⊥，2CF AD ==，所以22AC BC ==， 得到222AC BC AB +=， 所以BC AC ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA BC ⊥， 因为PAAC A =，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面PBC ， 平面PBC ⊥平面PAC . （2）.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，则,,PA AD AB 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,1)E ， 所以(0,2,0)DC =，(2,0,1)CE =-. 设平面CDE 的法向量为(,,)n x y z =，所以0n DC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以20,20,y x z =⎧⎨-+=⎩即0,2,y z x =⎧⎨=⎩ 令1x =，则2z =，所以平面CDE 的法向量为(1,0,2)n =， 又因为平面ACD 的法向量(0,0,1)m =， 所以25cos ,5⋅===⋅m n m n m n，由已知，二面角E CD A --为锐角， 所以二面角E CD A --的余弦值为25.【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是建立正确的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题17．已知函数()4sincos()(0)223xxf x m ωωωπ=-+>.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m 值的两个条件作为已知. (1)求()3f π的值；(2)若函数()f x 在区间[0,]a 上是增函数，求实数a 的最大值.条件①：()f x 最小正周期为π；条件②：()f x 最大值与最小值之和为0；条件③：(0)2f =.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【分析】利用三角函数恒等变换公式把函数()f x 化简成π()2sin()3f x x m ω=-，选择①②，利用①、②分别求出ω和m ，进而求()3f π和()f x 的递增区间即可问答问题(1)(2)；选择①③，利用①、③分别求出ω和m ，进而求()3f π和()f x 的递增区间即可问答问题(1)(2)；选择②③，利用②、③都只能求出m 不能求出ω.【详解】1()4sin(cos )2222x x xf x m ωωω=⋅+22sin cos 222x x x m ωωω=++sin cos )x x m ωω=+-+sin x x m ωω=π2sin()3x m ω=-.选择条件①②： (1)由条件①得，2||T ππω==，又因为0>ω，所以2ω=，由②知，(2)(2)0m m ++-+=，所以m =，则()f x π2sin(2)3x =-，所以π2πππ()2sin()2sin 3333f =-=(2)令222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，所以π5πππ ()1212k x k k Z ≤≤-++∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈， 因为函数()f x 在[0,]a 上单调递增，且π5π0[,]1212∈-，此时0k =，所以512a π≤，故实数a 的最大值为512π. 选择条件①③： (1)由条件①得，2||T ππω==，又因为0>ω，所以2=ω，由③知，π(0)2sin()23f m =-+=，所以2m =，则()f x π2sin(2)23x =-+，所以ππ()2sin 33f ==；(2)令222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，所以π5πππ ()1212k x k k Z ≤≤-++∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k ππππ-++∈Z ， 因为函数()f x 在[0,]a 上单调递增，且π5π0[,]1212∈-，此时0k =， 所以512a π≤，故实数a 的最大值为512π. 说明：不可以选择条件②③：由②知，(2)(2)0m m ++-+=，所以m =；由③知，π(0)2sin()23f m =-+=，所以2m =；矛盾.所以函数()f x 不能同时满足条件②和③.【点睛】涉及正余弦型函数性质(单调性、周期性、对称性、最值等)的三角函数式问题，正确利用三角函数恒等变换公式化成()sin()f x A x b ωϕ=++的形式是解决问题的关键.18．在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动.为了解某区教师对,,,,A B C D E 五类线上教育软件的使用情况每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件.，从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如下表，其中a b >，,a b N ∈.假设所有教师选择使用哪类软件相互独立.（1）若某校共有300名教师，试估计该校教师中使用教育软件C 或E 的人数； （2）从该区教师中随机抽取3人，估计这3人中至少有2人使用教育软件D 的概率； （3）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件C 或D 的概率估计值为1P ；该区学校M 有600名教师，其中有200人使用教育软件C ，100人使用教育软件D ，从学校M 中随机抽取1人，该教师使用教育软件C 或D 的概率值为2P ；从该区其他教师除学校M 外.中随机抽取1人，该教师使用教育软件C 或D 的概率估计值为3P .试比较1P ，2P 和3P 之间的大小.结论不要求证明.【答案】（1）135人；（2）27125；（3）答案见解析． 【分析】（1）用样本频率估计总体频率计算；（2）用样本频率估计概率，求出抽取一名教师，使用D 的概率为310，记被抽取的3人中使用软件D 的人数为X ，则3(3,)10X B .所求概率为(2)(3)P X P X =+=，由二项分布概率计算；（3）由已知得212P =，设该区有3000名教师中，使用教育软件C 或D 的人数为m ，则13000m P =，33002400m P -=，比较13,P P 的大小后再与2P 比较． 【详解】解：（1）从表格数据可知，101530100a b ++++=，则45a b +=， 所以样本中教师使用教育软件C 或E 的人数为45人， 故估计该校教师中使用教育软件C 或E 的人数为45300135100⨯=人. （2）设事件F 为“从该区教师中随机抽取3人，至少有2人使用教育软件D ”. 由题意，样本中的100名教师使用软件D 的频率为30310010=. 用频率估计概率，从该区教师中随机抽取一名教师，估计该教师使用教育 软件D 的概率为310. 记被抽取的3人中使用软件D 的人数为X ，则3(3,)10X B . 所以22333189(2)()(1)10101000P X C ==-=，33033327(3)()(1)10101000P X C ==-=，所以21627()(2)(3)1000125P F P X P X ==+===. （3）由已知得212P =，设该区有3000名教师中，使用教育软件C 或D 的人数为m ，则13000m P =，33002400m P -=， 13300600(1500)3000240030002400m m m P P ---=-=⨯，当1500m <时，13P P >，112P <，则312P P P <<， 当1500m =时，13212P P P ===， 当1500m >时，13P P <，112P >，则213P P P <<. 在统计表中，20a =，则1500m =，而45a b +=，因此上述三种情形都可能出现．19．已知椭圆2222:1x y C a b +=(3,0)A -，(3,0)B .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆上除A ，B 外的任意一点，直线AP 交直线4x =于点E ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l ，直线BP 交y 轴于点M ，交直线l 于点N ，求BMO 与NMO △的面积之比.【答案】（1）22193x y +=；（2）4:7. 【分析】（1）由椭圆顶点坐标得3a =，再由离心率得c ，求得b 后得椭圆方程， （2）设0000(,)(3,0)x y x y P ≠±≠，依次求得直线AP 方程，E 点坐标，直线BE 斜率，直线l 方程，直线PB 方程，N 点坐标（P 点在椭圆，适合椭圆方程，得00,x y 关系代入可得）．然后可计算三角形面积比． 【详解】解：（1）由题意，得3a =.又3c e a ==，所以c =又因为222a b c =+，所以b =故椭圆C 的方程为22193x y +=.（2）设0000(,)(3,0)x y x y P ≠±≠，则2200193x y +=.所以直线AP 的方程为00(3)3y y x x =++， 令4x =，得点E 的坐标为007(4,)3y x +. 因为直线BE 的斜率为007343y x +-0073y x =+，所以直线l 的方程为0037x y x y +=-， 又因为直线PB 的方程为00(3)3y y x x =--. 联立直线l 和直线PB 的方程，消去y 得0037x x y +-00(3)3y x x =--，所以220000007937(3)3y x y x y x x +-=--，因为2200193x y +=，所以22093x y -=-， 所以200000437(3)3y y x y x x =--，解得点N 的横坐标214N x =. 所以1||||||342.121||7||||24B BMO B NMON N OM x S x S x OM x ⋅====⋅△△即BMO △与NMO △的面积之比为4:7.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：求直线方程，求交点坐标，计算三角形面积，考查了运算求解能力．关键是设出点P 坐标为00(,)x y ，然后依次求解．20．已知函数()ln f x x bx c =++，2()2g x kx =+，()f x 在1x =处取得极大值1. （1）求b 和c 的值；（2）当[1,)x ∈+∞时，曲线()y f x =在曲线()y g x =的上方，求实数k 的取值范围. （3）设1k =，证明：存在两条与曲线()y f x =和()y g x =都相切的直线. 【答案】（1）1b =-，2c =；（2）(,1)-∞-；（3）证明见解析.【分析】（1）求得导函数()'f x ，由()01f '=及(1)1f =求解；（2）由()()0f x g x ->>在[1,)+∞上恒成立，用分离参数法转化为求函数最值； （3）假设存在与曲线()y f x =和曲线()y g x =都相切的直线l ，设切点坐标分别为111(,ln 2)x x x -+，222(,2)x x +，由导数的几何意义求得12,x x ，首先求得12,x x 的关系，消元得出关于1x 的方程，引入新函数，证明新函数有两个零点即可证． 【详解】解：（1）1()f x b x=+'.由已知(1)10f b '=+=，(1)1f b c =+=， 解得1b =-，2c =.经检验，满足题意. 所以1b =-，2c =.（2）()ln 2f x x x =-+，2()2g x kx =+.2()()ln f x g x x x kx -=--. 依题意2ln 0x x kx -->对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以2ln x xk x -<对任意的[1,)x ∈+∞恒成立. 令2ln ()x xF x x -=，[1,)x ∈+∞，224431(1)2(ln )2ln 2ln 1()x x x x x x x x x x x F x x x x ----+-+'===， 令()2ln 1=-+h x x x ，1≥x ， 所以22()1x h x x x-'=-=，令()0h x '=，所以2x =. 因为当(1,2)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.当2x =时，函数()h x 的最小值为32ln 2-，且32ln20->. 所以()0h x >，即()0F x '>.()F x 在[1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)1F x F ==-，所以1k <-，故实数k 的取值范围为(,1)-∞-.（3）假设存在与曲线()y f x =和曲线()y g x =都相切的直线l ，设切点坐标分别为111(,ln 2)x x x -+，222(,2)x x +. 因为111()1f x x '=-，所以l 的方程为111(1)ln 1y x x x =-++. 因为22()2g x x '=，所以l 的方程为22222y x x x =-+. 所以21212112ln 12x x x x ⎧-=⎪⎨⎪+=-+⎩，消去2x 得1211113ln 0244x x x +--=.……①. 令2113()ln 244t x x x x =+--，0x >， 所以2323311121(1)(21)()2222x x x x t x x x x x x +-+-'=-+==，所以，在区间1(0,)2上，()0t x '<，()t x 是减函数；在区间1(,)2+∞上，()0t x '>，()t x 是增函数.所以，当12x =时，函数()t x 的最小值为3ln 204--<.又因为2113(e)102e 44e t =+-->， 4222221e e 37e e 115e 11()2042442444et =-+-->--=->，所以函数()t x 在(0,)+∞上有两个零点，即方程①有两个不等的正实根， 由方程21112x x -=可得2x 有两个不同的值， 所以21212112ln 12x x x x ⎧-=⎪⎨⎪+=-+⎩，有两组不同的解，直线l 有两条，所以存在两条与曲线()y f x =和()y g x =都相切的直线.【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求极值，考查导数的几何意义，用导数求函数的最值．解题关键在于对问题进行转化，不等式恒成立问题转化为求函数的最值，公切线问题，转化为函数有两个零点．这些又都可以利用导数研究函数的性质得到证明． 21．设A 是正整数集的一个非空子集，如果对于任意x A ∈，都有1x A -∈或1x A +∈，则称A 为自邻集.记集合{}1,2,,n A n =(2,)n n N ≥∈的所有子集中的自邻集的个数为n a .（1）直接写出4A 的所有自邻集；（2）若n 为偶数且6n ≥，求证：n A 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；（3）若4n ≥，求证：12n n a a -≤.【答案】（1）{1,2,3,4}，{1,2,3}，{2,3,4}，{1,2}，{2,3}，{3,4}；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）每个自邻集中至少有两个元素，然后按相邻元素规则确定；（2）利用配对原则证明，对于集合n A 的含有5个元素的自邻集12345{,,,,}B x x x x x =， 不妨设，构造集合54321{1,1,1,1,1}C n x n x n x n x n x =+-+-+-+-+-，它们是不相等的集合，也是5个元素的自邻集，这样可得证结论；（3）记自邻集中最大元素为k 的自邻集的个数为k b ，2,3,4,,k n =.当4n ≥时，1231n n a b b b --=+++，231n n n a b b b b -=++++，得1n n n a a b -=+.下面只要证明1n n b a -≤即可，对自邻集进行分类确定自邻集的个数：①含有2,1,n n n --这三个元素，②含有,1n n -两个元素，不含有2n -这个元素，且不只有1n -，n 两个元素.③只含有,1n n -这两个元素，可得n b 与1n a -的关系，完成证明． 【详解】解：（1）.4A 的子集中的自邻集有：{1,2,3,4}，{1,2,3}，{2,3,4}，{1,2}，{2,3}，{3,4}.（2）.对于集合n A 的含有5个元素的自邻集12345{,,,,}B x x x x x =， 不妨设12345x x x x x <<<<.因为对于任意i x B ∈，都有1i x B -∈或1i x B +∈，1,2,3,4,5i =. 所以211x x =+，451x x =-，321x x =+或341x x =-. 对于集合54321{1,1,1,1,1}C n x n x n x n x n x =+-+-+-+-+-， 因为123451x x x x x n <<<<≤≤，所以11i n x n +-≤≤，1,2,3,4,5i =. 且5432111111n x n x n x n x n x +-<+-<+-<+-<+-. 所以n C A ⊆.因为121x x +=，541x x -=，321x x =+或341x x =-. 所以211(1)1n x n x +-=+--，451(1)1n x n x +-=+-+， 341(1)1n x n x +-=+-+或321(1)1n x n x +-=+--.所以，对于任意1i n x C +-∈，都有(1)1i n x C +-+∈或(1)1i n x C +--∈，1,2,3,4,5i =.所以集合C 也是自邻集.因为当n 为偶数时，331x n x ≠+-， 所以B C ≠.所以，对于集合n A 任意一个含有5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应.所以，n A 的含有5个元素的自邻集的个数为偶数.（3）记自邻集中最大元素为k 的自邻集的个数为k b ，2,3,4,,k n =.当4n ≥时，1231n n a b b b --=+++，231n n n a b b b b -=++++. 显然1n n n a a b -=+.下面证明1n n b a -≤.①自邻集中含2n -，1n -，n 这三个元素.记去掉这个自邻集中的元素n 后的集合为D ，因为2,1n n D --∈，所以D 仍然是自邻集，且集合D 中的最大元素是1n -，所以含2,1,n n n --这三个 元素的自邻集的个数为1n b -.②自邻集中含有1n -，n 这两个元素，不含2n -，且不只有1n -，n 两个 元素.记自邻集中除n ，1n -之外的最大元素为m ，则23m n -≤≤.每个自邻集去掉1n -，n 这两个元素后，仍然为自邻集，此时的自邻集的最大元素为m ，可将此时的自邻集分为4n -类：含最大数为2的集合个数为2b .含最大数为3的集合个数为3b .含最大数为3n -的集合个数为3n b -.则这样的集合共有233n b b b -+++个. ③自邻集只含1n -，n 两个元素，这样的自邻集只有1个.综上可得23311n n n b b b b b --=+++++ 23312n n n b b b b b ---+++++≤1n a -=.所以1n n b a -≤，所以当4n ≥时，12n n a a -≤.【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义，并能利用新定义求解．特别是对新定义自邻集的个数的记数：记自邻集中最大元素为k 的自邻集的个数为k b ，2,3,4,,k n .然后求得n a 与n b 的关系．．。

届北京市西城区高三理科数学二模试题及答案

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西城区高三模拟测试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是 （A ）A B =∅I （B ）A B =R U （C ）A B ⊆（D ）B A ⊆2．若复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z = （A ）1i 22+ （B ）1i22-+（C ）1i22--（D ）1i 22-3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是 （A ）1y x=（B ）2y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x =4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是 （A ）12（B ）（C ）（D ）5．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ+a b 与c共线，则实数λ= （A ）2-（B ）1-（C ）1（D ）26．已知点(0,0)A ，(2,0)B ．若椭圆22:12x y W m +=上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则椭圆W 的离心率是（A ）12（B （C （D7．函数()f x a ．则“0a ≥”是“0[1,1]x ∃∈-，使0()0f x ≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．在直角坐标系xOy 中，对于点(,)x y ，定义变换σ：将点(,)x y变换为点(,)a b ，使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩ 其中ππ,(,)22a b ∈-．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线． 则四个函数12(0)y x x =>，22(0)y x x =>，3e (0)x y x =>， 4ln (1)y x x =>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是 （A ）②，③，①，④ （B ）③，②，④，① （C ）②，③，④，① （D ）③，②，①，④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知圆C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆C 的面积为____；圆心C 到直线:340l x y -=的距离为____．10．241()x x +的展开式中2x 的系数是____．11．在△ABC 中，3a =，2b =，π3A ∠=，则cos2B =____．12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，23S S >，则数列{}n a 的通项公式可以是____．13．设不等式组 1,3,25x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤ 表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是____．14．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅． （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若(0,π)α∈，且()2f α=，求α的值．16．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求二面角C BF A --的余弦值；（Ⅲ）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？请说明理由．17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约万人，其中约万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；（III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()X n n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）．18．（本小题满分14分）已知直线:1l y kx =+与抛物线2:4C y x =相切于点P ． （Ⅰ）求直线l 的方程及点P 的坐标；（Ⅱ）设Q 在抛物线C 上，A 为PQ 的中点．过A 作y 轴的垂线，分别交抛物线C 和直线l 于M ，N ．记△PMN 的面积为1S ，△QAM 的面积为2S ，证明：12S S =．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()xf x ax x=-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b 上的最大值和最小值．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n -=L ≥，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，其中10a ≠．（Ⅰ）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ； （Ⅱ）求1a 的值；（Ⅲ）证明：120n a a a +++>L ．西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．π，65 10．611．13 12．2n -+（答案不唯一） 13．1[,3]214．D注：第9题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数tan y x =的定义域是π{|π,}2x x k k ∈≠+∈R Z ，所以()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ∈≠+∈R Z ． ……………… 4分（Ⅱ）()(1tan )sin 2f x x x =+⋅sin (1)sin 2cos xxx =+⋅……………… 5分 2sin 22sin x x =+ ……………… 6分sin2cos21x x =-+ ……………… 7分π)14x -+．……………… 8分由()2f α=，得πsin(2)4α-=． ……………… 9分因为 0πα<<，所以ππ7π2444α-<-<， ………………10分 所以 ππ244α-=，或π3π244α-=． ………………11分 解得 π4α=，或π2α=（舍去）． ………………13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =， 所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以 //DF 平面BCE ．…… 4分 （Ⅱ）在平面ABEF 内，过A 作Az AB ⊥．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =， 又 Az ⊂平面ABEF ，Az AB ⊥， 所以 Az ⊥平面ABCD ，所以 AD AB ⊥，AD Az ⊥，Az AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -． ……………… 5分 由题意得，(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C，E，F ． 所以 (2,2,0)BC −−→=-，(0,BF −−→=-． 设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,BC BF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即220,30.x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则1x =，z=n ． ……………… 7分 平面ABF 的一个法向量为 (1,0,0)=v ， ……………… 8分 则cos ,||||⋅〈〉==n v n v n v ． 所以 二面角C BF A --． ………………10分 （Ⅲ）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： ………………11分解法一：设平面ACE 的法向量为111(,,)x y z =m ，则 0,0,AC AE −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩m m即1111220,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令11y =，则11x =-，1z =(1,1,=-m ． ………………13分因为 0⋅≠m n ，所以 平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分 解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： …………11分 假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ， 设 CG CE λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．设 222(,,)G x y z，则有222(2,2,)(2,)x y z λλ--=-， 所以 222x λ=-，22y λ=+，2z =，从而(22,2,)G λλ-+，所以(22,2)AG λλ−−→=-+． ………………13分 因为 AG ⊥平面BCF ，所以 //AG n ． 所以有22211λλ-+==， 因为 上述方程组无解，所以假设不成立．所以 线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 3.4100408.5⨯=人．… 2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． ……………… 4分（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，有患病者400.208⨯=人，未患病者600.159⨯=人． ……………… 6分 设事件A 为“从中随机选择2人，其中有患病者”．则 29217C 9(A)C 34P ==， ……………… 8分所以 25(A)1(A)34P P =-=． ……………… 9分 （Ⅲ）使得判断错误的概率最小的0 4.5X =． ………………11分当0 4.5X =时，判断错误的概率为21100． ………………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由 21,4y kx y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得 22(24)10k x k x +-+=． ① ……………… 2分依题意，有0k ≠，且22(24)40k k ∆=--=．解得 1k =． ……………… 3分所以直线l 的方程为1y x =+． ……………… 4分 将 1k = 代入①，解得 1x =，所以点P 的坐标为(1,2)． ……………… 5分 （Ⅱ）设 (,)Q m n ， 则 24n m =，所以 12(,)22m n A ++． ……………… 7分 依题意，将直线 22n y +=分别代入抛物线C 与直线l ， 得 2(2)2(,)162n n M ++，2(,)22n n N +． ……………… 8分因为 22(2)444441||16216164n n n n m n m n MN +-+-+-+=-===， ……… 10分 221(2)(88)(44)||21616m n m n n AM +++-++=-=(88)(444)1164m m n m n +-++-+==， ………………12分所以 ||||AM MN =． ………………13分 又 A 为PQ 中点，所以P Q ，两点到直线AN 的距离相等，所以 12S S =． ………………14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， ……………… 2分所以(1)1f a '=-． 依题意，有 (1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， ……………… 4分 解得 1a =． ……………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --'=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． ……………… 8分因为 101b b<<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分 设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b =-=+-+，其中1b >． ………………10分则 21()(1)ln 0h b b b'=->，故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． ………………11分所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b>， ………………12分故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． ………………13分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列3A 为：1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-． ……………… 3分 （Ⅱ）11a =-． ……………… 4分否则，假设11a ≠-，因为10a ≠，所以11a ≥．又23,,,1n a a a -L ≥，因此有 12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L1232(1)2(1)2(1)2(1)n n n ---+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥123222211n n n ---=-----=L ，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！所以11a =-． ……………… 8分 （Ⅲ）先证明如下结论：{1,2,,1}k n ∀∈-L ，必有12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤.否则，令 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅>L ，注意左式是2n k -的整数倍，因此 12122222n n n k n k k a a a ----⋅+⋅++⋅L ≥． 所以有：12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L 122(1)2(1)2(1)2(1)n k n k n k -----+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥ 1222221n k n k n k -----=-----L 1=，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！ 所以 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤． ………………10分 因此有：112123121212312210,20,420,2220,2220.k k k k n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------<⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+LL LL ≤≤≤≤ 将上述1n -个不等式相加得 12121(21)(21)(21)0n n n a a a ---⋅-+⋅-++⋅-<L ， ① 又 123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ， ②两式相减即得 120n a a a +++>L ． ………………13分。

2024北京西城区高三二模数学试题及答案

2024北京西城区高三二模数学试题及答案

2024北京西城高三二模数 学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是,1)-，则⋅=z z （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)-=-a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b （D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=-A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（4）设443243210(21)-=++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则（A ）30-=m n （B ）30-=m n （C ）30+=m n （D ）30+=m n （7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan -x （B ）1tan --x （C ）tan (1)--x （D ）tan (1)-+x （8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为（A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm （D ）348cm （9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)-（B ）[2,1)-（C ）3(3,)2-（D ）3[2,)2-（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

高考西城二模数学试卷答案

高考西城二模数学试卷答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 答案：B解析：由题意可知，等差数列的前三项为a-3d, a, a+3d，且a+3d=2a-d，解得d=a。

代入a-3d+a+a+3d=3a，得a=0，故选B。

2. 答案：A解析：由题意可知，函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=0。

又因为f(x)在x=0处可导，所以f'(0)存在。

由导数的定义可知，f'(0)=lim(x→0) [f(x)-f(0)]/x=0，故选A。

3. 答案：D解析：由题意可知，直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+b。

由直线l过点(1,2)和(2,4)，可得方程组：$$\begin{cases}2=k+b \\4=2k+b\end{cases}$$解得k=2，b=0，故直线l的方程为y=2x，即x=0。

故选D。

4. 答案：C解析：由题意可知，函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。

又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x=0处取得极值。

由于f'(x)在x=0的左侧为正，右侧为负，故f(x)在x=0处取得极大值。

故选C。

5. 答案：B解析：由题意可知，圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4。

点P到圆C的距离等于圆的半径，即|OP|=2。

设OP与圆C的交点为A，则OA=√(2^2-1^2)=√3。

故选B。

6. 答案：D连续，所以f(x)在x=0处取得极值。

由于f'(x)在x=0的左侧为负，右侧为正，故f(x)在x=0处取得极小值。

故选D。

7. 答案：A解析：由题意可知，函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。

又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x=0处取得极值。

由于f'(x)在x=0的左侧为正，右侧为负，故f(x)在x=0处取得极大值。

故选A。

8. 答案：C解析：由题意可知，函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。

初三西城数学二模试卷答案

初三西城数学二模试卷答案

1. 已知a、b、c是等差数列，且a=2，b=5，则c=（）A. 8B. 7C. 6D. 9答案：C解析：由等差数列的定义，可得b-a=c-b，即3=c-b。

又因为a=2，b=5，所以c=6。

2. 若函数f(x)=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（-1，2），则下列选项中正确的是（）A. a>0，b=2，c=1B. a>0，b=-2，c=1C. a<0，b=2，c=1D. a<0，b=-2，c=1答案：B解析：由函数图象开口向上可知a>0。

又因为顶点坐标为（-1，2），所以f(-1)=2，即a(-1)²+b(-1)+c=2。

将选项代入验证，只有选项B满足条件。

3. 已知正方形的边长为4，则它的对角线长为（）A. 2√2B. 4√2C. 2√3D. 4√3答案：B解析：由勾股定理可知，对角线长为√(4²+4²)=4√2。

二、填空题4. 若等比数列{an}中，a1=3，q=2，则第5项an=（）答案：96解析：由等比数列通项公式an=a1q^(n-1)，代入a1=3，q=2，n=5，可得an=3×2^(5-1)=96。

5. 若函数f(x)=x²-2x+1的图象与x轴的交点坐标为（1，0），则该函数的对称轴方程为（）答案：x=1解析：由函数图象可知，对称轴为x轴，且过顶点（1，0），所以对称轴方程为x=1。

6. 已知数列{an}为等差数列，且a1=1，公差d=2，求第10项an及前10项和S10。

答案：an=21，S10=110解析：由等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=1，d=2，n=10，可得an=1+(10-1)×2=21。

前10项和S10=10×(a1+an)/2=10×(1+21)/2=110。

7. 已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象开口向下，且顶点坐标为（-1，2），求函数f(x)的解析式。

2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学质量检测模拟试题(二模)含答案

2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学质量检测模拟试题(二模)含答案

2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学模拟试题（二模）一、单选题1．设集合{|2,}M x x x =<∈Z ，{2,1,0}N =--，则M N ⋃=（）A ．MB ．NC ．{2,1,0,1}--D ．{2,1,0,1,2}--【正确答案】C【分析】先求集合M ，然后由并集运算可得.【详解】因为2x <，且x ∈Z ，所以{}1,0,1M =-，又{}2,1,0N =--，所以{}2,1,0,1M N ⋃=--.故选：C 2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【正确答案】B【分析】先化简复数z ，然后根据实部为0可解.【详解】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-，因为复数z 对应点在虚轴上，所以202a -=，解得2a =.故选：B3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（）A ．0x =B 0y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=【正确答案】B【分析】求出b 的值即得解.【详解】解：由题得21+4,b b =∴=，所以双曲线的渐近线方程为1y x =±=0y ±=.故选：B4．已知{}n a 是等比数列，则“124a a a <<”是“{}n a 是增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果【详解】由数列{}n a 是等比数列，可假设12,2a q =-=-，则12342,4,8,16a a a a =-==-=，可知124a a a <<，但数列{}n a 不是递增数列，若数列{}n a 是递增等比数列，由定义可知，124a a a <<，故“124a a a <<”是“{}n a 是递增数列”的必要不充分条件故选：B5．已知1021001210(1)-=++++ x a a x a x a x ，则1210a a a +++= （）A ．102B ．0C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】根据赋值法，分别令0,1x x ==可解.【详解】令0x =得：()10011a =-=,令1x =得：()1001210110a a a a ++++=-= ，所以12101a a a +++=- .故选：D6．已知圆22:20C x y x +-=，过直线:2l y x =+上的动点M 作圆C 的切线，切点为N ，则MN 的最小值是（）A ．B ．2CD 【正确答案】D【分析】根据题意易知当圆心C 到直线l 上点的距离最小时，MN 最小，利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】圆22:20C x y x +-=，圆心()1,0C ，半径1r =，设圆心C 到直线l ：20x y -+=的距离为d ，则d CM ≤，易得⊥CN MN ，则222MN CM r =-，故当圆心C 到直线l 上点的距离最小时，即圆心到直线的距离d ，此时MN 最小，因为d =，所以MN ===故MN ．故选：D.7．将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()sin 2g x x =的图象，则下列说法错误的是（）A ．函数()()f x g x 是奇函数B ．函数()()f x g x 的图象的一条对称轴方程为8x π=-C ．函数()()f x g x +的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()()f x g x +在()0,π上单调递减区间是5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【分析】由题可得()cos 2f x x =，进而可得()()1sin 42f x g x x =，()()24f x g x x π⎛⎫++⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的性质即得.【详解】由题可得()sin 2cos 24f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()()1cos 2sin 2sin 42f xg x x x x ==，为奇函数，故A 正确；当8x π=-时，42x π=-，所以函数()()f x g x 的图象的一条对称轴方程为8x π=-，故B 正确；∴()()cos 2sin 2sin 24f x g x x x x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，当8x π=时，242x ππ+=，所以,08π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()()f x g x +的图象的一个对称中心，故C 错误；由3222,Z 242k x k k πππππ+≤+≤+∈，可得5,Z 88k x k k ππππ+≤≤+∈，又()0,x π∈，所以函数()()f x g x +在()0,π上单调递减区间是5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：C.8．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间t （月）近似地满足关系t v a b =⋅（其中a ，b ，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月（参考数据：lg 20.3≈）A ．20B ．28C ．32D ．40【正确答案】C【分析】先由题给条件求得正常数a ，b 的值，得到分解率v 与时间t （月）近似地满足关系60.0252tv =⋅，再解方程即可求得这种垃圾完全分解大约所需要经过的月数.【详解】由题意得，1260.10.05a b a b ⎧=⋅⎨=⋅⎩，解之得16=20.025b a ⎧⎪⎨⎪=⎩，则60.0252t v =⋅则由610.0252t =⋅，可得6240t=，两边取常用对数得，lg 2lg 4012lg 26t==+，则61232lg 2t =+≈故选：C9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为线段11,,BC CC BB 上的动点（不含端点），①异面直线1D D 与AF 所成角可以为π4②当G 为中点时，存在点E ，F 使直线1A G 与平面AEF 平行③当E ，F 为中点时，平面AEF 截正方体所得的截面面积为98④存在点G ，使点C 与点G 到平面AEF 的距离相等则上述结论正确的是（）A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④【正确答案】C【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对①：因为1D D //1A A ，故1D D 与AF 的夹角即为1A A 与AF 的夹角1A AF ∠，又当F 与C 重合时，1A AF ∠取得最大值，为π2；当F 与点1C 重合时，1A AF ∠取得最小值，设其为α，则111tan A C A A α==，故π4α>；又点F 不能与1,C C 重合，故1ππ,,24A AF αα⎛⎫∠∈> ⎪⎝⎭，故①错误；对②：当G 为1B B 中点时，存在,E F 分别为1,BC C C 的中点，满足1A G //面AEF ，证明如下：取11B C 的中点为M ，连接1,A M MG ，如下所示：显然1A M //AE ，又AE ⊂面1,AEF A M ⊄面AEF ，故1A M //面AEF ；又易得MG //EF ，EF ⊂面,AEF MG ⊄面AEF ，故MG //面AEF ；又11,,A M MG M A M MG ⋂=⊂面1A MG ，故面1A MG //面AEF ，又1AG ⊂面1A MG ，故1A G //面AEF ，故②正确；对③：连接11,,AD D F AE ，如下所示：因为EF //1BC //1AD ，故面1AEFD 即为平面AEF 截正方体所得截面；又1D F AE ==2EF =，1AD =，故截面面积()111922248S EF AD ⎛=+=⨯⨯= ⎝，故③正确；对④：连接GC ，取其中点为H ，如下所示：要使得点G 到平面AEF 的距离等于点C 到平面AEF 的距离，只需EF 经过GC 的中点，显然当点E F 、分别为所在棱的中点时，不存在这样的点G 满足要求，故④错误.故选：C.10．{}n a 是各项均为正数的等差数列，其公差0d ≠，{}n b 是等比数列，若11a b =，10121012a b =，n S 和n T 分别是{}n a 和{}n b 的前n 项和，则（）A ．20232023S T >B ．20232023S T <C ．20232023S T =D ．2023S 和2023T 的大小关系不确定【正确答案】B【分析】分析可知等比数列{}n b 为正项单调数列，利用等差数列的求和公式以及基本不等式可得出2023S 与2023T 的大小.【详解】因为{}n a 是各项均为正数的等差数列，其公差0d ≠，则()1202320231012202320232a a S a +==，且1012111011a a d a =+≠，则10121b b ≠，设等比数列{}n b 的公比为q ，则1011101210b q b =>且10111q ≠，即0q >且1q ≠，又因为10b >，所以，等比数列{}n b 为正项单调数列，由基本不等式可得1202310122b b b +>，2202210122b b b +>=，L ，1011101310122b b b +>，所以，202312202310121012202320232023T b b b b a S =+++>== ，故选：B.二、填空题11．函数()()ln 2f x x =-的定义域为__________．【正确答案】[)1,2-【分析】根据函数解析式有意义可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域.【详解】对于函数()()ln 2f x x =-，有1020x x +≥⎧⎨->⎩，解得12x -≤<.故函数()f x 的定义域为[)1,2-.故答案为.[)1,2-12．己知抛物线()20y ax a =>，焦点F 到准线的距离为1，若点M 在抛物线上，且5MF =，则点M 的纵坐标为__________．【正确答案】92【分析】由抛物线的焦点F 到准线的距离为1求出a 的值，可得出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义可求得点M 的纵坐标.【详解】抛物线的标准方程为21x y a =，其焦点为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14y a =-，抛物线的焦点F 到准线的距离为1，则112a=，可得12a =，所以，抛物线的标准方程为22x y =，其准线方程为12y =-，设点()00,M x y ，由抛物线的定义可得0152MF y =+=，解得092y =.故答案为.92三、双空题13．己知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的中点，则DE CB ⋅的值为__________，若点E 是AB 边上的动点，则||DE AC ⋅的最大值为__________．【正确答案】11【分析】分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，得出向量DE ，CB，AC 的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出答案.【详解】如图分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D ，()0,1CB =-uu r ,()1,1AC =u u u r，若点E 是AB 边上的中点，则1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r 所以()()101112DE CB ⋅=⨯+-⨯-=uuu r uu r ；若点E 是AB 边上的动点，设()(),001E x x ≤≤，所以(),1DE x =-uuu r，所以1DE AC x ⋅=-uuu r uuu r，由01x ≤≤，可得01DE AC ≤⋅≤uuu r uuu r，所以当0x =时，DE AC ⋅的最大值为1故1；114．已知函数()()21,,22,.x x a f x x x x a a R ⎧≥⎪=⎨⎪-<∈⎩.若()f x 在R 上是单调函数，则=a _________；若对任意实数k ，方程()0f x k -=都有解，则a 的取值范围是_________.【正确答案】[]0,2.【分析】（1）作出函数21||,22y x y x x ==-的图象，由单调性的定义，结合图象可得a 的值；（2）由题意可得()f x 的值域为R ，结合图象，讨论a<0，02a ≤≤时，2a >时，函数()f x 的图象和值域是否为R ，即可得到所求范围．【详解】作出21||,22y x y x x ==-的图象，如图，因为函数()f x 在R 上是单调函数，所以1||2y x =在[,)a +∞上单调，由图象知1||2y x =在[,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在R 上是单调递增函数，故201122a a a a a ⎧⎪≥⎪≤⎨⎪⎪≥-⎩，解得0a =；对任意实数k ，方程()0f x k -=都有解，即()k f x =恒有解，即直线y k =和()y f x =的图象恒有交点，可得()f x 的值域为R ，当a<0时，x a ≥时，()1||02f x x =≥，x a <时，()f x 递增，且()220f x a a <-<，故()f x 的值域不为R ，故不成立；因为当1x =时，由2max 1)(2x x -=，令1||12x =解得2(0)x x =>，由图象可知，当02a ≤≤时，()f x 的值域为R ，当2a >时，由图象可得()f x 的值域不为R ，综合可得a 的范围是[]0,2.故0；[]0,2.四、填空题15．关于函数()sin cos e e x xf x =+，下列说法中正确的有__________．①()f x 的最小正周期是π；②π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数；③()4f x =在区间[]0,π上恰有三个解；④()f x 的最小值为2e 【正确答案】②④【分析】利用特殊值法可判断①；利用函数奇偶性的定义可判断②；利用导数分析函数()f x 在区间[]0,π上的单调性，可判断③；利用函数的对称性、周期性以及单调性求出函数()f x 的最小值，可判断④.【详解】对于①，因为ππsin cos 44πe e 4f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，5π5πsin cos 445πe e 2e 4f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，π5π44f f ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是π，①错；对于②，令()))ππsin cos cos sin cos sin 44πe e 4x x x x x x g x f x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，函数()g x 的定义域为R ，()()()()()cos sin cos sin x x x x g x -+----⎤⎤⎦⎦-=+))()cos sin sin x x x x g x -+=+=，所以，函数()g x 为偶函数，即函数π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，②对；对于③，()sin cos e e x xf x =+，则()sin cos sin cos cos sin cos sin e cos e sin e e e x x x x x x x x f x x x +⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()e x xg x =，其中11x -≤≤，则()10ex x g x -'=≥且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在[]1,1-上单调递增，当[]0,πx ∈时，ππ3π444x -≤-≤，若ππ044x -≤-<时，即当π04x ≤<时，πsin cos 04x x x ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即sin cos x x <，此时()()()sin cos sin cos cos sin cos sin e e cos sin 0e e x x x x x x x x f x g x g x ++⎛⎫'=-=->⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；若π3π044x <-≤时，即当ππ4x <≤时，πsin cos 04x x x ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，即sin cos x x >，此时()()()sin cos sin cos cos sin cos sin e e cos sin 0e e x x x x x x x x f x g x g x ++⎛⎫'=-=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭.所以，函数()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，方程()4f x =在区间[]0,π上至多两个解，③错；对于④，因为函数()f x 的定义域为R ，()()()()sin 2πcos 2πsin cos 2πeee e x x x xf x f x +++=+=+=，所以，函数()f x 为周期函数，且2π为函数()f x 的一个周期，由①可知，函数π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，即ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的图象关于直线π4x =对称，要求函数()f x 的最小值，只需求函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，当π5π44x ≤≤时，π0π4x ≤-≤，则πsin cos sin 04x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，即sin cos x x ≥，所以，()()()sin cos e cos sin 0x xf xg x g x +'=-≤⎡⎤⎣⎦，且()f x '不恒为零，所以，函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，()5π5πsincos 44min 5πe e 2e4f x f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故②④.方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、()f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.五、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知sin cos b A B =．(1)求角B 的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：4a =，3b =；条件②：1c a -=，b =；条件③：3c =，cos C =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)π3B =(2)见解析【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出角B 的大小；（2）选①：由余弦定理以及判别式求解即可；选②：由余弦定理得出,a c ，进而求出面积；选③：由正弦定理得出b ，进而由余弦定理得出a ，即可得解..【详解】（1）因为sin cos b A B =，所以sin sin cos B A A B =，又sin 0A ≠，所以tan B =因为(0,π)B ∈，所以π3B =.（2）选①：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得，2191682c c =+-⨯.即2470c c -+=，此时16280∆=-<，无解，不合题意.选②：由余弦定理可得2271a c acc a ⎧=+-⎨-=⎩，整理得260+-=a a ，解得2a =或3a =-（舍），即3c =.满足ABC 存在且唯一确定，则ABC的面积为11sin 232222ac B =⨯⨯⨯=.选③：321sin 14C ==，由正弦定理可得3sin sin 14c B b C ===由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得，2793a a =+-，即2320a a -+=.解得1,2a a ==，当1a =时，cos C ==所以2a =，满足ABC 存在且唯一确定，则ABC的面积为11sin 232222ac B =⨯⨯=17．人工智能()AI 是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某校成立了A 、B 两个研究性小组，分别设计和开发不同的A I 软件用于识别音乐的类别：“古典音乐”、“流行音乐”和“民族音乐”．为测试A I 软件的识别能力，计划采取两种测试方案．方案一：将100首音乐随机分配给A 、B 两个小组识别．每首音乐只被一个A I 软件识别一次，并记录结果；方案二：对同一首音乐，A 、B 两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过．(1)若方案一的测试结果显示：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中，A 组占23；在错误识别的音乐数中，B 组占12．（i ）用频率估计概率，两个研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为多少？（ii ）利用（i ）中的结论，求方案二在一次测试中获得通过的概率：(2)若方案一的测试结果如下：音乐类别A 小组B 小组测试音乐数量正确识别比例测试音乐数量正确识别比例古典音乐1040%2450%流行音乐1040%2050%民族音乐2080%1687.5%在A 小组、B 小组识别的歌曲中各任选3首，记1X 、2X 分别为A 小组、B 小组正确识别的数量，试比较()1E X 、()2E X 的大小（直接写出结果即可）．【正确答案】(1)（i ）A 、B 研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为23、12；（ii ）49(2)()()12E X E X =【分析】（1）（i ）根据题意计算出A 、B 两个研究性小组识别音乐正确和错误的数量，即可求得两个研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率；（ii ）利用独立重复试验的概率公式、独立事件的概率公式以及互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知()1~3,24,40X H ，()2~3,36,60X H ，根据超几何分布的期望公式可得出()1E X 、()2E X 的值，即可得出结论.【详解】（1）解：（i ）对于方案一，设A 、B 两个研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为1P 、2P ，100首音乐中，正确被识别的数量为3100605⨯=首，错误被识别数量为1006040-=首，其中A 组识别正确的数量为260403⨯=首，B 组识别正确的数量为604020-=首，其中A 组识别错误的数量为140202⨯=首，B 组识别错误的数量为140202⨯=首，故140240203P ==+，220120202P ==+；（ii ）记事件:D 方案二在一次测试中获得通过，则()22222112221121214C C 32332329P D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⋅⋅⋅+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）解：由题意可知，A 小组识别正确的歌曲数量为24102202455⨯⨯+⨯=首，B 小组识别正确的歌曲数量为11724201636228⨯+⨯+⨯=，由题意可知，1X 、2X 均服从超几何分布，且()1~3,24,40X H ，()2~3,36,60X H ，根据超几何分布的期望公式可得()1243 1.840E X =⨯=，()2363 1.860E X =⨯=，因此，()()12E X E X =.18．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 、E 分别为棱11A C 、11B C 的中点，点F 是线段1BB 上的点（不包括两个端点）.(1)设平面DEF 与平ABC 交于直线m ，求证：11A B m //；(2)是否存在一点F ，使得二面角1C AC F --的余弦值为13，如果存在，求出1BF BB 的值；如果不存在，说明理由；(3)当F 为线段1BB 的中点时，求点B 到平面1AC F 的距离．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，且112BF BB =(3)23【分析】（1）证明出//DE 平面ABC ，11//DE A B ，利用线面平行的性质可证得//m DE ，利用平行线的传递型可证得结论成立；（2）以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()0,2,F a ，其中02a <<，利用空间向量法求出a 的值，即可得出结论；（3）利用空间向量法可求得点B 到平面1AC F 的距离．【详解】（1）证明：因为点D 、E 分别为棱11A C 、11B C 的中点，则11//DE A B ，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为平行四边形，所以，11//A B AB ，则//DE AB ，因为DE ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以，//DE 平面ABC ，因为DE ⊂平面DEF ，平面DEF ⋂平面ABC m =，所以，//m DE ，故11//m A B .（2）解：在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且1CC ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点()2,0,0A 、()10,0,2C 、()0,2,0B ，设点()0,2,F a ，其中02a <<，设平面1AC F 的法向量为(),,n x y z = ，()12,0,2AC =- ，()10,2,2C F a =-，则()11220220n AC x z n C F y a z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取2z =，可得()2,2,2n a =- ，易知平面1ACC 的一个法向量为()0,1,0m =，因为二面角1C AC F --的余弦值为13，则1cos ,3m n m n m n ⋅==⋅ ，解得1a =或3（舍），此时，112BF BB =，因此，在线段1BB 上存在一点F ，使得二面角1C AC F --的余弦值为13，且112BF BB =.（3）解：当F 为线段1BB 的中点时，即当1a =时，平面1AC F 的一个法向量为()2,1,2n =，()2,2,0AB =-，所以，点B 到平面1AC F 的距离为23AB n d n⋅== .19．已知椭圆2222:1(0),x y E a b c a b+=>>=，且过(2,0),1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求椭圆E 的方程和离心率e ；(2)若经过(1,0)M 有两条直线12,l l ，它们的斜率互为倒数，1l 与椭圆E 交于A ，B 两点，2l 与椭圆E 交于C ，D 两点，P ，Q 分别是AB ，CD 的中点试探究：OPQ △与MPQ 的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【正确答案】(1)2214x y +=(2)4【分析】（1）由条件列关于,,a b c 的方程，解方程可得,,a b c ，由此可得椭圆方程；（2）设直线:1AB x my =+，（0m ≠且1m ≠±），联立直线AB 与椭圆E 的方程利用设而不求法求P 的坐标，再求点Q 的坐标，证明直线PQ 过定点4,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，再证明OPQ △与MPQ 的面积之比为定值.【详解】（1）由题意可得22222224111a e a b ce a a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=+⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则E 的方程2214x y +=；（2）由已知可得直线AB 的斜率存在，且不为0，也不为1±，设直线:1AB x my =+，（0m ≠且1m ≠±），联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()224230m y my ++-=，方程()224230m y my ++-=的判别式()2241240m m ∆=++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+.所以102224y y my m +-==+，002414x my m =+=+，所以224,44m P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为两直线斜率互为倒数，则1:1CD x y m=+，用1m 代换P 点坐标中的m 得2224,1414m m Q m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.所以()222222444111443144PQ m m m m m m k m m m -+++==---++，所以直线()222414:434m m PQ x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭即()241433m x y m +=+所以PQ 恒过定点4,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，设点O 、M 到直线PQ 的距离分别是1d ，2d ，则11224132414123OPQ MPQPQ d S ON dS d MN PQ d =====-△△.OPQ △与MPQ 的面积之比是定值，定值为4.20．已知函数()()e 1sin R xf x a x a =--∈．(1)若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为y x =-，求实数a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在[0,π]上的最大值；(3)若对任意的[0,π]x ∈，恒有()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)2a =(2)πe 1-(3)(],1a ∈-∞【分析】（1）直接求导得出()01f '=-，解a 的值即可；（2）利用导函数判断()f x 在[0,π]上的单调性即可得出最大值；（3）利用导函数结合区间端点，分类讨论函数的单调性即可.【详解】（1）由()()e 1sin e cos x x f x a x f x a x -'=--⇒=，所以()01f a '=-，又曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为y x =-，即()011f a '=-=-，所以2a =；（2）当2a =时，()()e 12sin ,e 2cos x xf x x f x x '=--∴-=，由e cos x y y x ==、在[0π]，上分别单调递增、单调递减可得：()e 2cos x f x x '=-在[0π]，上单调递增，而()()π010,πe 20f f ''=-<=+>，即()00,πx ∃∈，使得()00f x '=，故()f x 在()00,x 上单调递减，()0,πx 上单调递增，且()()π00πe 1f f =<=-，即()f x 在[0,π]上的最大值为πe 1-；（3）∵[0π]x ∈，，()e cos xf x a x '=-，令()()()e sin xg x f x g x a x ''=⇒=+，①当0a <时，sin 0,e 10x a x ≤-≥，易知()e 1sin 0xf x a x =--≥在[0,π]x ∈上恒成立，当0x =时取得等号，符合题意；②当01a ≤≤时，易知sin 0a x ≥，则()e sin 0xg x a x '=+>在[0,π]x ∈上恒成立，即()f x '在[0,π]x ∈时单调递增，又()010f a '=-≥，故()f x 在[0,π]上单调递增，∵()00f =，∴恒有()0f x ≥，符合题意；③当1a >时，由②知()f x '在[0,π]x ∈时单调递增，而()()π010πe f a f a ''=-<<=+，即()00,πx ∃∈，使得()00f x '=，故()f x 在()00,x 上单调递减，()0,πx 上单调递增，又()00f =，则()()000f x f <=，不满足题意；综上当(],1a ∈-∞，能满足任意的[0,π]x ∈，恒有()0f x ≥.21．在2n n n ⨯≥（）个实数组成的n 行n 列的数表中，ij a 表示第i 行第j 列的数，记12(1)i i i in r a a a i n =+++≤≤ ，12(1).j j j nj c a a a j n =+++≤≤ 若ij a ∈{}1,0,1(1,),i j n -≤≤，且1212,,,,,,,n n r r r c c c 两两不等，则称此表为“n 阶H 表”，记{}1212,,,,,,,.n n n H r r r c c c = (1)请写出一个“2阶H 表”；(2)对任意一个“n 阶H 表”，若整数[],,n n λ∈-且n H λ∉，求证：λ为偶数；(3)求证：不存在“5阶H 表”.【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)根据定义列出2阶H 表即可;(2)对“n 阶H 表”，整数[],,n n λ∈-应用110nni j i j r c λ==++=∑∑结论得证;(3)应用反证法结合定义可证.【详解】（1）11-1（2）对任意一个“n 阶H 表”，i r 表示第i 行所有数的和，j c 表示第j 列所有数的和()1,i j n ≤≤，11n niji j r c==∑∑与均表示数表中所有数的和，所以11.n ni j i j r c ===∑∑因为{}1,0,1ij a ∈-，所以1r ，2r ，……，n r ，1c ，2c ，……，n c 只能取[-n ，n ]内的整数.又因为1r ，2r ，……，n r ，1c ，2c ，……，n c 互不相等，[],n n n H λλ∈-∉且，所以{λ，1r ，2r ，……，n r ，1c ，2c ，……，}{,1,n c n n =--+，……，-1，0，1，……，1}n n -，，所以11nni j i j r c λ==++=∑∑()()()110110.n n n n -+-+++-++++-+= 所以12ni i r λ==-∑偶数.（3）假设存在一个“5阶H 表”，则由（2）知5，-5，3，53H -∈，且54H ∈和54H -∈至少有一个成立，不妨设54H ∈设1255r r ==-，，则()121115j j a a j ==-≤≤，，于是()315j c j ≤≤≤，因而可设33132333435410r a a a a a ======，，①若3是某列的和，由于52c ≤，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即41511a a ==.现考虑-3，只能是4r 或5r ，不妨设43r =-，即424344451a a a a ====-，由2c ，3c ，4c 两两不等知52a ，53a ，54a 两两不等，不妨设525354101a a a =-==，，，若551a =-则530r c ==；若550a =，则541r c ==；若551a =，则530c c ==，均与已知矛盾.②若3是某行的和，不妨设43r =，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，不妨设4142431a a a ===，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设511a =-，525301a a ==，，则343c r ==，矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设41424344450a a a a a =====，1，所以53r =-，第五行只能是2个，3个-1或1个1，4个-1，则51a ，52a ，55a 至少有两个数相同，不妨设5152a a =，则12c c =，与已知矛盾.综上，不存在“5阶H 表”.。

北京市西城区第二次数学模拟考试-答案.pdf

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6
2
2
分
(Ⅱ)解：cosA+sinC－cosAsinC+ 1 sinAsinC 3
=2cos A + C cos A − C − 1 [cos(A + C) + cos(A − C)] − 1 [cos(A + C) − cos(A − C)]
2
22
6
9分
= 4 cos2 A + C − 1 [2 cos(A + C) + cos(A − C)] 23
7分
8
(Ⅱ)因为 y= ab [−kx2 + 100(1 − k)x + 10000]. 10000
此二次函数开口向下，对称轴为
50(1 − k)
x=
9
k
分
在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量 x 在｛x｜x＞0｝的
学无 止 境
一个子集内增大时，y 也增大.
所以 50(1 − k) ＞0，解之 0＜k＜1. k
学无 止 境
=4 cos2 A + C − 1 [2(2 cos2 A + C −1) + 2 cos2 A − C −1]
23
2
2
分
= 4 cos2 A + C − 1 (4 cos2 A + C + 8cos2 A + C − 3)232来自2=1分
19.解：(Ⅰ)PA⊥平面 ABCD，CD⊥AD,∴PD⊥CD.
13
分
21.解：依题意，价格上涨 x%后，销售总金额为：
y=a(1+x%)·b(1－kx%)
2
分
= ab [−kx2 +100(1 − k)x +10000]. .

西城区2024届初三二模数学试题答案

西城区2024届初三二模数学试题答案

北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第1页（共6页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.5一、选择题（共16分，每题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBADABCC二、填空题（共16分，每题2分）9．4x 10．2(3)(3)y x x11．2,1x y 12．(3,1) 13．1 1415．(1,1)，(2,2) 16．6；4 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17．解： 04cos 45(π3) 2412…………………………………………………………… 4分 1 ． ……………………………………………………………………………… 5分18．解：原不等式组为3 2 < 4,2.53x x x x≥ 解不等式①，得3x ．……………………………………………………………1分 解不等式②，得1x ≥．………………………………………………………… 2分∴ 原不等式组的解集为1 ≤3x ．…………………………………………… 3分 ∴ 原不等式组的所有整数解为1 ，0，1，2．……………………………… 5分19．解： 233(1)144x x x2231(2)x x x3(1)(2)x x232x x． ……………………………………………………………………… 3分∵ 230x x ， ∴ 23x x ．∴ 原式3 ．…………………………………………………………………………5分① ②北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第2页（共6页）20．解：（1）作图见图1．……………………………………………………………………2分（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；……………… 3分 AB=AD ；……………………………………………………………………… 4分ABD ．………………………………………………………………………… 5分21．解：（1）依题意，得234(2)174k k ．…………………………………… 1分∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ 1740k ．………………………………………………………………2分 解得 174k．…………………………………………………………………3分 （2）∵ k 为满足条件的最大整数，∴ 4k ．此时方程为2320x x ．此时方程的根为11x ，22x ．…………………………………………5分22．（1）证明：如图∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB//CD ，AB=CD ．…………………………………………………… 1分 ∴ ∠ABE=∠CDF ．∵ AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ， ∴ ∠AEB=∠CFD=∠AEF=∠EFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF ．图1北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第3页（共6页）∴ AE=CF ． ∵ FG =CF ， ∴ AE= FG ． ∵ ∠AEF=∠EFC ， ∴ AE//FG ．∴ 四边形AEFG 是平行四边形． ∵ ∠AEF=90°，∴ 四边形AEFG 是矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ △ABE ≌△CDF ，∴ BE= DF ． ∵ AG=2AE =6， ∴ AE =3．在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∠ABE =30°，AE =3，∴3tan tan 30AE BE ABE4分∵ 四边形AEFG 是矩形，AG =6，∴ EF=AG=6．……………………………………………………………… 5分 ∴26BD BE EF DF BE EF ． ………………………… 6分23．（1）证明：如图3，连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，∴ ∠BDA=90°．∴ 90B DAB ． ∵ 点E 是 BD的中点， ∴ BEED ． ∴ 1EAB ．∴ 12DAB EAB EAB ． ∵ ∠ACB =2∠EAB ， ∴ ∠DAB =∠ACB ． ∴ 90B ACB ．∴ ∠BAC=90°．………………………………………………………… 2分 ∴ AC ⊥AB ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ AC 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 3分图3北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第4页（共6页）（2）解：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，3cos 5C． 设AC =3k ，则BC =5k ，AB =4k ．∵ 90B DAB ，90CAD DAB ， ∴ B CAD ．∵ 2B EAB ，1CAF CAD ，1EAB ， ∴ 2CAF ． ∴ CF=AC=3k ．∴ 2BF BC CF k ． ∵ BF =6， ∴ k =3．∴ 412AB k ．…………………………………………………………… 6分24．解：（1）补全频数分布直方图见图4；……………………………………………… 1分（2）2分 （3）②④；………………………………………………………………………… 4分 （4）3.6380013680 （kg ）．……………………………………………………5分25．解：（1）PC ，0.5； …………………………………………………………………… 2分（2）√，×；……………………………………………………………………… 4分 （3）画图见图5；5分0.82．………………………………………………………………………… 6分图5北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第5页（共6页）26．解：（1）∵ 对于12x ，21x ，有12y y ，∴ 42a b c a b c ．∴ b a ．∴ 122b t a ．………………………………………………………………2分（2）由题意可知，抛物线2y ax bx c 与y 轴的交点为(0,)c ．①当a > 0时，抛物线开口向上．∴ 当1x ≥2时，1y 有最小值，没有最大值．∴ 与“对于1x ≥2时，都有1y c ”不符，所以不合题意．∴ a > 0不成立．②当a < 0时，抛物线开口向下，且经过点(0,)c ，(2,)t c ． 若抛物线经过点(1,)c ，则12t； 若抛物线经过点(2,)c ，则1t ． （i ）当12t ≤时，01t ≤或021t t ≤．∴ 对于21x ，都有2y c ．与“对于21x ，存在2y c ”不符，所以不合题意． （ii ）当112t 时，122t t ． ∴ 对于21x ，存在2y c ，对于1x ≥2，都有1y c ．∴112t 成立． （iii ）当1t ≥时，022t ≤．∴ 当12x 时，1y c ．与“对于1x ≥2，都有1y c 成立”不符，所以不合题意．综上所述，112t ．27．解：（1）补全图形见图6．∵ 点D 与点B 重合，MD=AB ，∠BAM ∴ ∠AMD =∠BAM =2α．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， ∴ 90AMD MAC ． ∵ ∠BAC =α，∴ 5α=90AMD BAM BAC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第6页（共6页）解得α=18 ． ∵ ∠MDE =2α，∴ 2α+2α4α=72AED AMD MDE ．………………………… 2分 （2）补全图形见图7．…………………………………………………………… 3分ME =2BC ．…………………………………………………………………… 4分证明：如图7，在BC 的延长线上截取CF=BC ，连接AF ．以点B 为圆心，BF 为半径作弧，交AF 于点N ，连接BN ． ∵ CF=BC ，∠ACB =90°， ∴ AB=AF ．∴ ∠BAN =2∠BAC =2α． ∵ ∠MDE =2α， ∴ ∠MDE =∠BAN ．∴ 在等腰△ABF 中，18090α2BAFF． ∵ BN=BF ，∴ 390αF ．在Rt △AMC 中，190903αMAC ． ∴ 21(903α)+2α90αMDE ． ∴ 23 ．∵ 41802 ，1803BNA ， ∴ 4BNA ． ∵ DM =AB ，∴ △DME ≌△ABN ． ∴ ME=BN ． ∵ BN=BF ，∴ ME=BF=2BC ．……………………………………………………7分28．解：（1）UW ，(2,1) ；…………………………………………………………………2分（2）2Rx ≤或1R x ≥；………………………………………………………… 4分（3）02d或4d ≤．……………………………………………… 7分。

西城区2023年高三二模数学试题及答案

西城区2023年高三二模数学试题及答案

西城区高三统一测试 数学2023.5 第1页（共13页）西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷数 学 2023.5本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）复数i (1i)z =⋅+的虚部为（A ）1 （B ）1- （C ）i（D ）i -（2）已知集合{|11}≤≤A x x =-，{|31}x B x =<，则A B =（A ）[1,0)- （B ）(,0)-∞ （C ）[1,1]-（D ）(,1]-∞（3）已知抛物线C 与抛物线24y x =关于y 轴对称，则C 的准线方程是（A ）2x =- （B ）2x = （C ）1x =-（D ）1x =（4）在ABC △中，1,90AB AC A ︒==∠=，则AB BC ⋅=（A ）1 （B ）1- （C（D）（5）设2lg 3a =，b =1lg62c =，则（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）a c b <<（D ）b c a <<（6）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，折起后点D 记为D '．若2BD '=，则四面体ABCD '的体积为西城区高三统一测试 数学2023.5 第2页（共13页）（A（B（C）（D（7）已知数轴上两点,O P 的坐标为(0),(70)O P ，现,O P 两点在数轴上同时相向运动．点O 的运动规律为第一秒运动2个单位长度，以后每秒比前一秒多运动1个单位长度；点P 的运动规律为每秒运动5个单位长度．则点,O P 相遇时在数轴上的坐标为 （A ）(40) （B ）(35) （C ）(30)（D ）(20)（8）已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(1)(1)f f -=”是“()f x 为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为0m ，10年后的质量为m '（A ）70% （B ）65% （C ）60%（D ）55%（10）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点P 从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P 到达点(33,33)Q 所跳跃次数的最小值是 （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市西城区高三数学第二次模拟考试 文(西城二模)(含解析)北师大版

北京市西城区高三数学第二次模拟考试 文(西城二模)(含解析)北师大版

北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（•西城区二模）复数i•（1﹣i）=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数i•（1﹣i）=1+i．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则及i2=﹣1是解题的关键．2．（5分）（•西城区二模）已知向量=，=．若与共线，则实数λ=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出，解出即可．解答：解：∵，∴，解得λ=﹣1．故答案为A．点评：熟练掌握向量共线定理是解题的关键．3．（5分）（•西城区二模）给定函数：①y=x2；②y=2x；③y=cosx；④y=﹣x3，其中奇函数是（）A．①B．②C．③D．④考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义逐项判断即可得到答案．解答：解：：①y=x2是偶函数，故排除A；②y=2x非奇函数也非偶函数，故排除B；③y=cosx为偶函数，故排除C；④令f（x）=﹣x3，定义域为R，且f（﹣x）=﹣（﹣x）3=x3=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，故选D．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．4．（5分）（•西城区二模）若双曲线的离心率是2，则实数k=（）A．3B．﹣3 C．D．考点：程序框图．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c的表达式，利用离心率为2求得k的值．解答：解：依题意可知，k＜0，故a=1，b=，∴c=，∴==2，求得k=﹣3．故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识．5．（5分）（•石景山区二模）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10B．k≤16C．k≤22D．k≤34考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．6．（5分）（•石景山区二模）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．解答：解：对于A，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；1 / 7对于B，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确；对于C，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）（•西城区二模）已知函数f（x）=e|x|+|x|．若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：将方程f（x）=k恰有两个不同的实根，转化为方程e|x|=k﹣|x|恰有两个不同的实根，再转化为一个函数y=e|x|的图象与一条折线y=k﹣|x|的位置关系研究．解答：解：方程f（x）=k化为：方程e|x|=k﹣|x|令 y=e|x|，y=k﹣|x|，y=k﹣|x|表示过斜率为1或﹣1的平行折线系，折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时，有k=1，如图，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系．8．（5分）（•西城区二模）已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6﹣a∈A．则具有性质P的集合A的个数是（）A．8B．7C．6D．5考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，满足当a∈A时，必有6﹣a∈A的有3；1、5；2、4三组，列举满足条件的集合，进而可得答案．解答：解：根据题意，满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个；故选B．点评：本题考查集合的子集，关键是理解题意中“当a∈A时，必有6﹣a∈A”的含义．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•西城区二模）已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m= ﹣6 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：求出已知直线的斜率，利用两条直线的平行斜率相等，求出m的值即可．解答：解：直线l1：x﹣3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．l1∥l2，所以=，解得m=﹣6；故答案为：﹣6．点评：不考查直线与直线平行的充要条件的应用，考查计算能力．10．（5分）（•石景山区二模）如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则＞．（填入：“＞”，“=”，或“＜”）考点：茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．解答：解：由茎叶图，甲班平均身高为（151+153+165+167+170+172）÷6=163乙班平均身高为（150+161+162+163+164+172）÷6=162＜163．则＞．故答案为：＞．点评：本题考查茎叶图和平均数，解题的关键是看清所给的数据的个数，以及准确的读取数据．属于基础题．11．（5分）（•石景山区二模）在△ABC中，BC=2，，，则AB= 3 ；△ABC的面积是．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，建立关于边AB 的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．解答：解：∵在△ABC中，BC=2，，，∴由余弦定理，得AC 2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos，即7=AB2+22﹣2×2×ABcos，化简整理得AB2﹣2AB﹣3=0，可得AB=3（舍去﹣1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=BC•ABsinB=×2×3×sin=故答案为：3，点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求第三边的长并求三角形的面积，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．12．（5分）（•西城区二模）设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；直线与圆相交的性质．专题：概率与统计．分析：由题意可得，直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，化简即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3个，用列举法求得满足条件的（a，b）共有5个，由此求得直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率．解答：解：直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤1，即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3=9个，而满足条件的（a，b）共有：（1，3）、（2，3）、（3，3）、（3，1）、（3，2），共有5个，故直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．还考查了直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．13．（5分）（•西城区二模）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是（1，+∞）．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增可得c﹣1＞0可求p为真时c的范围，由不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅可得△=1﹣4c＜0可求q为真时c的范围，然后由p且q为真命题，则p，q都为真命题，可求解答：解：∵函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增∴c﹣1＞0即p：c＞1；∵不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅△=1﹣4c＜0∴c即q：c若p且q为真命题，则p，q都为真命题∴，即c＞1故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查了复合命题真假关系的应用，解题的个关键是命题p，q为真是对应c的范围的确定14．（5分）（•西城区二模）在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足则点P构成的区域的面积是 2 ；点Q（x+y，x﹣y）构成的区域的面积是 4 ．考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，画出可行域为：直角梯形OABD及其内部区域，数形结合求得直角梯形OABD的面积．设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，可得，点Q的可行域为直角三角形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（s，t）构成的区域的面积．解答：解：由题意可得，即，画出可行域为：平行四边形OABD及其内部区域，其中D（0，2），E（1，0），故点P构成的区域的面积是OD×QE=2×1=2．3 / 7设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，即．再由可得，∴点Q的可行域为平行四边形ORMN及其内部区域，如图所示：M（2，0）、N（0，2），故点Q（s，t）构成的区域的面积是2×S△OMN =2×=2×=4，故答案为2，4．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（•西城区二模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1﹣b n是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意 q＞0．∵a2=8，a3+a4=48，∴a1q=8，．两式相除得 q2+q﹣6=0，解得 q=2，舍去 q=﹣3．∴．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列．∴．点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键．16．（13分）（•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．解答：（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得 y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（14分）（•西城区二模）如图1，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）利用左视图可得 F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC 的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到；（II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论．解答：（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，∴△BFC的面积为．∵PA⊥平面ABCD，∴四面体PBFC 的体积为=．（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．由正（主）视图可得 E为PD的中点，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．∵AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，∴直线AE∥平面PFC．（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．点评：正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．18．（13分）（•西城区二模）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析时候，求出f（1）及f′（1），利用直线方程的点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出原函数在各区间段内的单调性，然后根据a的范围分析原函数在区间[2，3]上的单调性，利用函数单调性求出在a的不同取值范围内函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x2﹣4x+2﹣a．当a=2时，，f'（1）=2﹣4=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即 6x+3y﹣5=0．（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判别式△=8a＞0，5 / 7令 f'（x）=0，得，或．f（x）和f'（x）的情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗故f（x ）的单调增区间为，；单调减区间为．①当0＜a≤2时，x2≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．②当2＜a＜8时，x1＜2＜x2＜3，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．③当a≥8时，x1＜2＜3≤x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）==7﹣3a．综上，当0＜a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当2＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7﹣3a．点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数判断函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，解答此题的关键是对参数a的分类，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．19．（14分）（•石景山区二模）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立①②消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；解答：解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，因为A（﹣1，0），，所以点M 的坐标为．由于点M在椭圆C上，所以，解得．（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）．因为OP⊥OM，所以，所以，即．②由①，②消去y0，整理得．所以，当且仅当时，上式等号成立．所以m 的取值范围是．点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．20．（13分）（•西城区二模）已知集合S n={（x1，x2，…，x n）|x1，x2，…，x n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数对于（a1，a2，…a n）∈S n，定义：b i=g（a i﹣a1）+g（a i﹣a2）+…+g（a i﹣a i﹣1），i∈{2，3，…，n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列．（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；（Ⅱ）证明：若a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，进行如下操作：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据定义直接可求出n=6时的生成列（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，则通过比较可知a k≠a'k，只要证明：b k≠b'k．即可（Ⅲ）先设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，则可得b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．然后进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n，可证解答：（Ⅰ）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，﹣2，1，4，3．（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，即：a n=a'n，a n﹣1=a'n﹣1，…，a k+1=a'k+1，a k≠a'k．显然 b n=b'n，b n﹣1=b'n﹣1，…，b k+1=b'k+1，下面证明：b k≠b'k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i﹣1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k﹣l﹣1项比a k大，而b k=l﹣（k﹣l﹣1）=2l﹣k+1．同理，设排列a'1，a'2，…，a'n中有l'项比a'k小，则有k﹣l'﹣1项比a'k大，从而b'k=2l'﹣k+1．因为 a1，a2，…，a k与a'1，a'2，…，a'k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a'k，所以l≠l'，从而 b k≠b'k．所以排列a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．依题意进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n．所以（b'1+b'2+…+b'n）﹣（b1+b2+…+b n）=[g（a1﹣a k）+g（a2﹣a k）+…+g（a k﹣1﹣a k）]﹣[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2b k≥2．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列知识的综合应用及一定的逻辑推理与运算的能力．7 / 7。

2023北京西城区初三二模数学试题及参考答案

2023北京西城区初三二模数学试题及参考答案

2023北京西城初三二模数 学考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的视图，则该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 正方体2. 据报道，至2022年，我国已经建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，将1040000000用科学记数法表示应为（ ）A. 810.410⨯ B. 81.0410⨯ C. 91.0410⨯ D. 101.0410⨯3. 方程组3,35x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ）A. 1,252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B. 5,212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C. 2,1x y =⎧⎨=⎩ D. 1,2x y =⎧⎨=⎩4.小的整数可以是（ ）A. 1B. 3C. 5D. 75. 如图，直线AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线交CD点G ，若116BEF ∠=︒，则EGC ∠的大小是（ ）A. 116︒B. 74︒C. 64︒D. 58︒6. 一个不透明的口袋中有3个红球和1个白球，这四个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是( )A.34B.58C. 12D.147. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则a ，a -，2a ，1a中最大的是( )A. aB. a- C. 2a D.1a8. 下面的三个问题中都有两个变量：①京沪铁路全程为1463km ，某次列车的平均速度y (单位：km/h )与此次列车的全程运行时间x (单位：h)；②已知北京市的总面积为421.6810km ⨯，人均占有面积y (单位：2km/人)与全市总人口x (单位：人)；③某油箱容量是50L 的汽车，加满汽油后开了200km 时，油箱中汽油大约消耗了14．油箱中的剩油量L y 与加满汽油后汽车行驶的路程km x ．其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若代数式12x -有意义，则实数x 的取值范围是 ________．10. 已知反比例函数1k y x-=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围为______．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()34，，设线段OA 与x 轴正方向的夹角为α，则tan α=___________．12. 用一组a ,b 的值说明命题：“若a 2=b 2，则a=b”是错误的，这组值可以是a= _________.，b=______.13. 某射击队要从甲、乙、丙三名队员中选出一人代表射击队参加市里举行的射击比赛，下表是这三名队员在相同条件下10次射击成绩的数据：甲乙丙平均数8.598.8方差0.250.230.27如果要选出一个成绩好且又稳定的队员去参加比赛，这名队员应是___________．14. 如图，8070A B ∠=︒∠=︒，，则12∠+∠=___________．15. 如图，在ABC 中，DE BC ∥，4ADE S =△，5DBCE S =四边形，则DEBC的值是___________．16. 下表是某市本年度GDP 前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是___________，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是___________．(写出一种符合条件的排序)名次12345678910区县A B C D E F G H I J 变化情况↑一↓一↑↓↑↓↓一三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 114cos 4523-⎛⎫-︒+-- ⎪⎝⎭．18. 解不等式组1212315x x x -⎧+>⎪⎨⎪-≤⎩，并写出它的所有正整数解．19. 已知：如图1，线段a ，b ．求作：矩形ABCD ，使得AB a =，BC b =．作法：如图2．1．在直线l 上截取AB a =．2．过点B 作直线m l ⊥，在直线m 上截取BC b =．3．分别以点A 和点C 为圆心，b ，a 的长为半径画弧，两弧的交点为D ．(点D 与点C 在直线l 的同侧)4．连接AD CD ，．则四边形ABCD 为所求的矩形．根据上面设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明：证明：∵AD BC b ==，AB DC a ==，∴四边形ABCD 是平行四边形(___________)．(填推理的依据)∵直线m l ⊥，∴ABC ∠=___________︒，∴四边形ABCD 是矩形(___________)．(填推理的依据)．20. 已知250a a +-=，求代数式211a a a a -⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值．21. 关于x 的方程2310x x m -++=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．22. 如图，矩形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ．（1）求证：BD DE =；（2）连接OE ，若2AB =，4BC =，求OE 的长．23. 为增强居民的反诈骗意识，A ，B 两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动．现从A ，B 小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；b ．A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在8090x ≤<这一组的是：84 85 85 86 86 88 89c ．B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如下：分数738182858891929496100人数1323131411根据以上信息，解答下列问题：（1）补全a 中频数分布直方图；（2）A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是___________；B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是___________；（3）为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品．已知A ，B 两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．24. 如图，以菱形ABCD 的边AD 为直径作O 交AB 于点E ，连接DB 交O 于点M F ，是BC 上的一点，且BF BE =，连接DF ．（1）求证：DM BM =；（2）求证：DF 是O 的切线．25. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=>的图像与一次函数2y x =的图像交于点(),2A a ．（1）求a ，k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点P 是射线OA 上一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线交函数()0k y x x =>的图像于点B ，C ．将线段PB ，PC 和函数()0ky x x=>的图像在点B ，C 之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W ．利用函数图像解决下列问题：①若点P 的横坐标是2，直接写出区域W 内整点个数；②若区域W 内恰有5个整点，直接写出点P 的横坐标P x 的取值范围．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,x y ，()22,x y 都在抛物线()2280y axax a =-+<上，且112x -<<，217m x m -<<+．（1）当2m =-时，比较1y ，2y 的大小关系，并说明理由；（2）若存在1x ，2x ，满足12y y =，求m 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，边AB 绕点B 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）得到线段BD ，边AC 绕点C 逆时针旋转180α︒-得到线段CE ，连接DE ，点F 是DE 的中点．（1）以点F 为对称中心，作点C 关于点F 的对称点G ，连接BG DG ，．①依题意补全图形，并证明AC DG =；②求证：DGB ACB ∠=∠；（2）若60α=︒，且FH BC ⊥于H ，直接写出用等式表示的FH 与BC 的数量关系．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为k ．已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为___________，点M 关于圆O 的特征值为___________；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为s ．当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】根据几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．【详解】由几何体的主视图和左视图都是长方形，故该几何体是柱体，又因为俯视图是三角形，故该几何体是三棱柱．故选：B ．2. 【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数．【详解】解：将1040000000用科学记数法表示为：91.0410⨯．故选：C ．110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 【答案】C【分析】根据加减消元法进行求解即可．【详解】解：335x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，+①②，得，48,x =解得，2,x =把2x =代入①得，23,y +=解得，1,y =∴方程组的解为：2,1x y =⎧⎨=⎩故选：C【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握．4. 【答案】B的大小即可．【详解】解：12,34<<<< ，∴小的整数有：2和3，故选：B ．5. 【答案】D【分析】首先根据角平分线计算出1582BEG BEF ∠=∠=︒，再根据两直线平行内错角相等得出EGC ∠的大小即可．【详解】解：116BEF ∠=︒ ，EG 平分BEF ∠，111165822BEG FEG BEF ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，AB CD ∥ ，58EGC BEG ∴∠=∠=︒，故选：D ．6. 【答案】C【分析】先利用树状图法得出两次摸球所有可能的结果，进而利用概率的计算公式求解即可．【详解】画树状图得所有可能出现的结果数为∶共有12种等可能的结果，两次摸出小球的颜色相同的有6种情况，两次摸出小球的颜色相同的概率是：61122=．故选C ．7. 【答案】D【分析】由数轴可知01a <<，移项和两边除以a 分别得到0a -<，11a>，两边同时乘以a 得到20a a <<，从而得到2101a a a a-<<<<<，由此选出答案．【详解】解：由数轴可知：01a <<，∴0a -<，11a>．又∵01a <<，∴两边乘以a 得：20a a <<，∴2101a a a a-<<<<<，∴a ，a -，2a ，1a 中，最大的是1a．故选：D 8. 【答案】A【分析】分别求出三个问题中变量y 与变量x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得：1463y x=，符合题意；②由人均面积等于总面积除以总人口得：41.6810y x⨯=，即16800y x =，符合题意；③由加满汽油后开了200km 时，油箱中汽油大约消耗了14，可知每公里油耗为：()1150200L 416⨯÷=，再由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得：15016y x =-，不符合题意；综上分析可知，变量 y 与变量x 之间的函数关系可以用该图象表示的是①②．故选：A ．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】2x ≠【分析】根据分式有意义的条件即分母不为0可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：20x -≠，∴2x ≠，故答案为：2x ≠．10. 【答案】1k <【分析】根据反比例函数1k y x-=的图象位于第二、四象限，可以得到10k -<，然后求解即可．【详解】解： 反比例函数1k y x-=的图象位于第二、四象限，10k ∴-<，解得：1k <，故答案为：1k <．11. 【答案】43##113【分析】取点()30B ，，则AB x ⊥轴于B ，根据点A 的坐标求出OB 和AB ，根据锐角正切函数的定义求出即可．【详解】取点()30B ，，则AB x ⊥轴于B ，∵点A 的坐标为(3，4)，∴34OB AB ==，，tan α=43AB OB =．故答案为：43．12. 【答案】 ①. 1 ②. 1-【分析】通过a 取1，b 取-1可说明命题“若a 2=b 2，则a=b”是错误的．【详解】解：当a=1，b=-1时，满足a 2=b 2，但a≠b ．故命题错误.故答案为1，-1（答案不唯一）．13. 【答案】乙【分析】根据方差越小越稳定和平均数决策即可．【详解】解：∵乙的平均数最大，方差最小，即乙的成绩好且状态稳定，∴这名队员应是乙．故答案是：乙．14. 【答案】150︒【分析】延长,AD BC 相交于点,E 由三角形内角和定理求出30,E ∠=︒2+150,EDC ∠∠=︒由对顶角相等可得1,EDC ∠=∠ 从而可得结论．【详解】解：延长,AD BC 相交于点,E 如图，∴180,A B E ∠+∠+∠=︒又8070A B ∠=︒∠=︒，，∴180********,E A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒又2+180,EDC E ∠∠+∠=︒∴2+18018030150,EDC E ∠∠=︒-∠=︒-︒=︒又1,EDC ∠=∠∴12150,∠+∠=︒故答案为：150︒．15. 【答案】23【分析】先证明ADE ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵DE BC ∥，∴ADE ABC ，∴2445ADE ABC S DE S BC æöç÷==ç÷+èø ，∴23DE BC =，故答案为：23．16. 【答案】 ①. C ②. E 、H 、I 或H 、E 、I ． (二者之一即可)【分析】①C 地GDP 名次下降，只能是第一名下降而来的，即上一年度排名第1的区县是C ；② F 地GDP 名次下降，上一年度F 地排第五，G 地GDP 名次上升，上一年度G 地排第九，E 地本年度GDP 排第五，名次上升，上一年度可能是排第六或者第七，然后分类讨论即可．【详解】解：①∵A 地GDP 名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，B 地GDP 名次无变化，∴只能是第三名上升而来的，即原来A地原来名次是第三名；同理，C 地GDP 名次下降，只能是第一名下降而来的；∴上一年度排名第1的区县是C ，上一年度排名前四名依次是C B A D 、、、；②F 地GDP 名次下降，只能是从第五名下降，即上一年度F 地排第五，同理，G 地GDP 名次上升，只能是从第九名上升，即上一年度G 地排第九，∵E 地本年度GDP 排第五，名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，∴E 地上一年度可能是排第六或者第七(i )若E 地上一年度是排第六，即E 地和F 地的排名交换，∴H 地上一年度是排第七，I 地上一年度是排第八，∴上一年度排名从前往后依次是：C B A D F E H I G J 、、、、、、、、、；(ii )若E 地上一年度是排第七，∵H 地本年度GDP 排第八，GDP 名次下降，现在上一年度未确定的只有第六和第八，∴H 地上一年度是排第六，I 地上一年度是排第八∴上一年度排名从前往后依次是：C B A D F H E I G J 、、、、、、、、、；∴上一年度排在第6，7，8名的区县依次是E H I 、、或H E I 、、．故答案为： C ；E H I 、、或H E I 、、 (二者之一即可)．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】1【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解．114cos 4523-⎛⎫︒+-- ⎪⎝⎭432=-32=+-1=．18. 【答案】1212x -<≤，，【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可解答．【详解】解：1212315x x x -⎧+>⎪⎨⎪-≤⎩①②，由①得：1x >-，由②得：2x ≤，∴原不等式的解集为12x -<≤；∴原不等式所有正整数解为：12，；19. 【答案】（1）见解析 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；90；有一个内角是直角的平行四边形是矩形．【解析】【分析】（1）按照步骤操作即可；（2）根据矩形的判定定理推导，填空即可.【小问1详解】解：补全图形如下：【小问2详解】证明：∵AD BC b ==，AB DC a ==，∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．∵直线m l ⊥，∴90ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形(有一个内角是直角的平行四边形是矩形)．故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；90；有一个内角是直角的平行四边形是矩形．20. 【答案】化简为：2a a +，结果值为：5【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据已知等式可得答案．【详解】解：211a a a a -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭2211a a a a -=⨯-()()2111a a a a a +-=⨯-2a a =+，250a a +-=25a a ∴+=22115a a a a a a ⎛⎫-∴-÷=+= ⎪⎝⎭．21. 【答案】1m =，12x =，21x =【分析】先根据根的判别式的意义得到()()23410m ∆=--+≥，解不等式，从而得到正整数m 的值，代入原方程，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】根据题意得()()2Δ3410m =--+≥解得54m ≤所以正整数m 的值为1代入原方程得2320x x -+=即()()210x x --=∴12x =，21x =22. 【答案】（1）见解析 （2）=OE 【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC BD =，对边平行可得AD BC ∥，再证明出四边形ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC DE =，从而得证；（2）如图，过点O 作OF CD ⊥于点F ，欲求OE ，只需在直角OEF 中求得OF FE 、的值即可．结合三角形中位线求得OF ，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得OE 即可．【小问1详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD AD BC =，∥，又∵DE AC ∥，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴AC DE =，∴BD DE =；【小问2详解】如图，过点O 作OF CD ⊥于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴,AC BD =点O 是,AC BD 的中点，4,AD BC ==∴11,,22OC AC OB BD ==∴,OC OB =∴122CF BF BC ===，∴F 点是BC 的中点，∴OF 是BCD △的中位线，∴11,2OF CD ==又∵四边形ADEC 是平行四边形，∴4,CE AD ==．∴246EF CF CE =+=+=．在Rt OEF △中，由勾股定理可得：OE ===．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ADEC 是平行四边形是解题的关键．23. 【答案】（1）见解析 （2）88.5分；94分（3）950份【分析】（1）用20减去第一、二、四、五组的频数即可得到第三组（7080x ≤<）的频数，进而可补全频数分布直方图；（2）根据中位数和众数的定义求解即可；（3）用样本百分比估计总体数量即可．【小问1详解】第三组（7080x ≤<）的频数为：2011792----=，补全图形如下：【小问2详解】∵20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数据是第10和11个，∴A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数在8090x ≤<这一组内的第6和7个数据的平均数，即88+89=88.52；B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩中出现次数最多的是94分，出现4次，故B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩中众数是94分，故答案为：88.5分；94分；【小问3详解】9+3+1+4+1+12000=95020+20⨯（份）答：估计这两个小区的居委会一共需要准备950份小奖品24. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角及菱形的性质得到点M 是BD 的中点即可解答；（2）根据菱形的性质及全等三角形的判定得到DBE DBF ≌，再根据全等三角形的性质得到90BFD DEB ∠=∠=︒，最后利用四边形的内角和及切线的判定即可解答．【小问1详解】解：连接AM ，∵AD 为O 的直径，∴90AMD ∠=︒，∴AM BD ⊥，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD AB =，∴点M 是BD 的中点，∴DM BM =；【小问2详解】解：连接DE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴DBE DBF ∠=∠，180DAB ABC ∠+∠=︒，∴在DBE 和DBF ，BE BF DBE DBF BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBE DBF SAS ≌，∴DEB DFB ∠=∠，∵AD 是O 的直径，∴90AED DEB ∠=∠=︒，∴90BFD DEB ∠=∠=︒，∵180DAB ABC ∠+∠=︒，∴在四边形ABFD 中，180ADF BFE ∠+∠=︒，∴90ADF ∠=︒，∴AD DF ⊥，∴DF 是O 的切线．25. 【答案】（1）1，2（2）①1；②522P x <≤【分析】（1）先根据直线的解析式可求a 的值，从而可得点A 的坐标，再将点A 坐标代入反比例函数的解析式可得k 的值；（2）①先求出点P 坐标，再根据反比例函数的解析式求出点B 、C 坐标，然后结合函数图像、整点的定义即可得；②由图可知点P 不可能在点A 下方，故点P 在点A上方，结合函数图像列出不等式组求解即可．【小问1详解】解： 函数()0ky x x =>的图像与一次函数2y x =的图像交于点(),2A a ，22a ∴=⨯，即1a =，()1,2A ∴，将()1,2A 代入反比例函数()0k y x x =>中，21k=解得：2k =，故答案为：1a =，2k =；【小问2详解】①由（1）可知反比例函数解析式为()20=>y x x ，点P 是射线OA 上一点，P 的横坐标是2，224y ∴=⨯=()2,4P ∴将2x =代入()20=>y x x ，得1y =将4y =代入()20=>y x x ，得12x = 点P 与 x 轴，y 轴的垂线交函数()0ky x x =>的图像于点B ，C ，()2,1B ∴，1,42C ⎛⎫⎪⎝⎭，如图：结合函数图像可知，区域W 内有1个整数点；②区域W 内恰有5个整点，由图可知点P 只能位于A 的上方如图：如图，当P 的纵坐标为5时，横坐标为522y x ==，结合图像可知，当522P x <≤时，区域内有5个整数点．26. 【答案】（1）12y y >，理由见解析 （2）1m >【解析】【分析】（1）当2m =-时，235x <<，将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴，根据1x ，2x 的大小判断与对称轴的距离，结合0<a ，即可得出答案；（2）根据题意可知满足12y y =，即1x 与2x 关于对称轴1x =对称，当112x -<<时，则2x 的最小值要比12x =时的对称点0小，2x 的最大值要比11x =-时的对称点3大，解不等式组即可．【小问1详解】12y y >；理由：∵()222818y ax ax a x a =-+=-+-，∴抛物线的对称轴是直线1x =当2m =-时，235x <<∵112x -<<，235x <<，对称轴是直线1x =∴1x 比2x 离对称轴近∵0<a ，抛物线开口向下∴12y y >【小问2详解】∵12y y =∴1x 与2x 关于对称轴1x =对称∵112x -<<∴203x <<即1073m m -<⎧⎨+>⎩解得1m >27. 【答案】（1）①补全图形见解析，证明见解析；②见解析（2）FH BC =【解析】【分析】（1）①依题意补全图形如图所示，先证明DFG EFC ≅ ，推出DG CE =，然后结合旋转的性质可得结论；②根据对称的性质可证明BDG BAC ≅ ，可得结论；（2）连接,AD BF ，如图，根据等边三角形的性质结合（1）②的结论可得BGC 是等边三角形，可得60BCF ∠=︒，再根据等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质以及三角函数即可得出结论．【小问1详解】①依题意补全图形如图所示：证明：∵点F 是DE 的中点，∴DF EF =，∵点C 关于点F 的对称点为G ，∴CF GF =，又∵=DFG EFC ∠∠，∴DFG EFC ≅ ，∴DG CE =，由旋转的性质可得：AC CE =，∴AC DG =；②证明：∵点C 关于点F 的对称点为G ，∴BG BC =，∵,BD BA DG AC ==，∴BDG BAC ≅ ，∴DGB ACB ∠=∠；【小问2详解】解：连接,AD BF ，如图，由题意得60DBA α∠==︒，∵BDG BAC ≅ ，∴DBG CBA ∠=∠，∴60GBC DBA ∠=∠=︒，∵BG BC =，∴BGC 是等边三角形，∴60BCF GBC ∠=∠=︒，∵点F 是CG 的中点，∴1,302BF CG CBF CBG ⊥∠=∠=︒，∴12CF BC =，∵FH BC ⊥，60BCF ∠=︒，∴sin 60FH CF BC =⋅︒==；∴FH 与BC 的数量关系是FH BC =．28. 【答案】（1） 3（2）b b ≤≤b ≤≤（3）21t -≤≤+【分析】（1）设经过点M 的直线与O 交于E 、F 两点，过点O 作OH EF ⊥于H ，连接OM OE ，，利用垂径定理得到2EF EH =，由勾股定理可得当OH 最大时，EH 最小，即此时EF 最小，求出OM =，再由OH OM ≤，得到当点H 与点M 重合时，OH ，即可求出EF 的最小值为，则被圆O 截得的弦长取值范围为4x ≤≤，再由被圆O 截得的弦长为3的弦有2条，被圆O 截得的弦长为4的弦只有1条，可得点M 关于圆O 的特征值为3；（2）根据题意得，关于圆O 的特征值为4的所有点都在以O 为圆心，为半径的圆周上，分当0b >时和当0b <时，两种情况讨论即可求解；（3）由于同一平面内，对于任意一点Q ，经过O 、Q 的直线与圆O 截得的弦（直径）都为4，则点Q 关于圆O 的特征值不可能为0，由此可得0rs ≠，则12r s =⎧⎨=⎩或21r s =⎧⎨=⎩；经过点S 且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S 一定在以O 为圆为半径的圆上，同理点R 一定在以T O 为圆心，2为半径的圆与以T O 为半径的圆与以T 为圆心，1为半径的圆有交点时t 的值符合题意，由此求解即可．【小问1详解】解：设经过点M 的直线与O 交于E 、F 两点，过点O 作OH EF ⊥于H ，连接OM OE ，，∴2EF EH =，在Rt OEH △中，由勾股定理得EH ==∴当OH 最大时，EH 最小，即此时EF 最小，∵点M 的坐标为()11，，∴OM ==又∵OH OM ≤，∴当点H 与点M 重合时，OH ，∴此时EH =，∴EF 的最小值为∵过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最大值为4（直径），∴被圆O 截得的弦长取值范围为4x ≤≤，∴被圆O 截得的弦长为正整数的只有是3或4，∵被圆O 截得的弦长为3的弦有2条，被圆O 截得的弦长为4的弦只有1条，∴点M 关于圆O 的特征值为3，故答案为：，3；【小问2详解】解：设点G 是圆O 的特征值为4的点，由（1）可知经过一点G 且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条，∵特征值要保证为4，∴经过点G 且弦长为2的直线有且只有1条，∴经过点G 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为2，=，∴由（1）可知，关于圆O 的特征值为4的所有点都在以O∵直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，∴()0A b -，，()0B b ，，∴OA OB b ==，∴45OBH ∠=︒当0b >时，∵线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，∴线段AB 与以O当线段AB 与以O H ，连接OH ，则OH =，∴OB ==，∴1b =将以O y 轴正半轴的交点记为1B ，则1OB =，当线段AB 与以O 1B 时，可得2b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤；综上，b b ≤≤或b ≤≤【小问3详解】：∵同一平面内，对于任意一点Q ，经过O 、Q 的直线与圆O 截得的弦（直径）都为4，∴点Q 关于圆O 的特征值不可能为0，∴0rs ≠，∵3r s +=，且r 、s 都是整数，∴12r s =⎧⎨=⎩或21r s =⎧⎨=⎩；当12r s =⎧⎨=⎩时，∴经过点S 且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，∴由（2）可知点S 一定在以O =为半径的圆上，同理当21r s =⎧⎨=⎩时，点R 一定在以T =∴当满足以O 为圆心，2为半径的圆与以T O 为圆为半径的圆与以T 为圆心，1为半径的圆有交点时t 的值符合题意；如图3-1所示，当以O 为半径的圆与以T 为圆心，1为半径的圆外切时，此时11t =+；如图3-2所示，当以O 为圆心，2为半径的圆与以T 为半径的圆外切时，此时22t =-综上所述，当21t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=．。

北京西城3中2025届高考数学二模试卷含解析

北京西城3中2025届高考数学二模试卷含解析

北京西城3中2025届高考数学二模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3B ．32C ．6D ．622．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：2 1.414,3 1.732,5 2.236≈≈≈） A ．22个B ．24个C ．26个D ．28个3．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定4．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．6．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）A ．102B 10C 5D 57．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-8．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-9．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．311．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74B ．32C ．2D ．5412．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ）A ．2B ．5C ．1D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022北京西城初三二模数学(含答案)

2022北京西城初三二模数学(含答案)

2022北京西城初三二模数学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图是某几何体的展开图，该几何体是()A ．圆柱B ．长方体C ．圆锥D ．三棱锥2．2022年4月28日，京杭大运河实现全线通水．京杭大运河是中国古代劳动人民创造的一项伟大工程，它南起余杭（今杭州），北到涿郡（今北京），全长约1800000m ．将1800000用科学记数法表示应为()A ．70.1810⨯B ．3180010⨯C ．51810⨯D ．61.810⨯3．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．4．在同一条数轴上分别用点表示实数 1.5-，0，11-，|4|-，则其中最左边的点表示的实数是()A ．11-B ．0C ． 1.5-D ．|4|-5．学校图书馆的阅读角有一块半径为3m ，圆心角为120︒的扇形地毯，这块地毯的面积为()A ．29m πB ．26m πC ．23m πD ．2m π6．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，2AB AE =，EC ，BD 交于点F ．若10BD =，则DF 的长为()A ．3.5B ．4.5C ．4D ．57．一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了4个时间点观光船与码头的距离，其中t 表示时间，y 表示观光船与码头的距离．/t min0369/y m675600525450如果观光船保持这样的行进状态继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为150m 时，所用时间为()A ．25minB ．21minC ．13minD ．12min8．教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实际成绩应是7环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是x ，方差是2s ，则()A ．7.5x <，2 1.64s =B ．7.5x =，2 1.64s >C ．7.5x >，2 1.64s <D ．7.5x =，2 1.64s <二、填空题（共16分，每题2分）9．若14x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是．10．方程组335x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为．11．如图，将直角三角形纸片ABC 进行折叠，使直角顶点A 落在斜边BC 上的点E 处，并使折痕经过点C ，得到折痕CD ．若70CDE ∠=︒，则B ∠=︒．12．用一个a 的值说明命题“若0a >，则21a a>”是错误的，这个值可以是a =．13．如图，在ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，点F 在线段DE 上，且AF BF ⊥．若4AB =，7BC =，则EF 的长为．14．将抛物线22y x =向下平移(0)b b >个单位长度后，所得新抛物线经过点(1,4)-，则b 的值为．15．如图，O 是ABC ∆的外接圆，OB =4BC =，则tan A 的值为．16．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母~a h 的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．（1）若甲首次取走写有b ，c ，d 的3个球，接着乙首次也取走3个球，则（填“甲”或“乙”)一定获胜；（2）若甲首次取走写有a ，b 的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是．三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21—22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：21|2cos 45(3-+︒-．18．（5分）解不等式：52162x x-<+，并写出它的正整数解．19．（5分）已知250x x +-=，求代数式115()163x x x +⋅++的值．20．（5分）已知：如图，ABC ∆．求作：点D （点D 与点B 在直线AC 的异侧），使得DA DC =，且180ADC ABC ∠+∠=︒．作法：①分别作线段AC 的垂直平分线1l 和线段BC 的垂直平分线2l ，直线1l 与2l 交于点O ；②以点O 为圆心，OA 的长为半径画圆，O 与1l 在直线BC 上方的交点为D ；③连接DA ，DC ．所以点D 就是所求作的点．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OA ，OB ，OC ．直线1l 垂直平分AC ，点O ，D 都在直线1l 上，OA OC ∴=，DA DC =．直线2l 垂直平分BC ，点O 在直线2l 上，∴=．OA OB OC ∴==．∴点A ，B ，C 都在O 上．点D 在O 上，180ADC ABC ∴∠+∠=︒．()（填推理的依据）21．（6分）已知关于x 的一元二次方程21502x mx m -+-=．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若m 为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的两个根．22．（6分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，F 分别在DA ，BC 的延长线上，且BE ED ⊥，CF AE=．（1）求证：四边形EBFD是矩形；（2）若5AB=，4cos5OBC∠=，求BF的长．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y x b=-+的图象与x轴交于点(4,0)，且与反比例函数myx=的图象在第四象限的交点为(,1)n-．（1）求b，m的值；（2）点(pP x，)py是一次函数y x b=-+图象上的一个动点，且满足4ppm yx<<，连接OP，结合函数图象，直接写出OP长的取值范围．24．（6分）如图，AB是O的直径，CB，CD分别与O相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．（1）求证：//FA CO；（2）若FA FE=，4CD=，2BE=，求FA的长．25．（5分）甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩（百分制）统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）甲剧社中一名学生的声乐成绩是85分，表演成绩是60分，按声乐成绩占60%，表演成绩占40%计算学生的综合成绩，求这名学生的综合成绩；（2）入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件：首先，两项测试成绩都低于60分的人数占比不超过10%；其次，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于75分．那么乙剧社（填“符合”或“不符合”)入选参加展演的条件；（3）主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有人，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率是．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++经过点(0,2)-，(2,2)-．（1）直接写出c 的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线6y =-没有公共点，求a 的取值范围；（3）点1(,)t y ，2(1,)t y +在此抛物线上，且当24t -时，都有217||2y y -<．直接写出a 的取值范围．27．（7分）在ABC ∆中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是，若BC a =，则CD 的长为；（用含a 的式子表示）（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 与直线:l y kx b =+，给出如下定义：若线段AB 关于直线l 的对称线段为(A B A '''，B '分别为点A ，B 的对应点），则称线段A B ''为线段AB 的“[k ，]b 关联线段”．已知点(1,1)A ，(1,1)B -．（1）线段A B ''为线段AB 的“[1，]b 关联线段”，点A '的坐标为(2,0)，则A B ''的长为，b 的值为；（2）线段A B ''为线段AB 的“[k ，0]关联线段”，直线1l 经过点(0,2)C ，若点A '，B '都在直线1l 上，连接OA '，求COA '∠的度数；（3）点(3,0)P -，(3,3)Q -，线段A B ''为线段AB 的“[k ，]b 关联线段”，且当b 取某个值时，一定存在k 使得线段A B''与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】由圆锥的展开图的特点判断即可．【解答】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，所以这个几何体是圆锥．故选：C ．【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体，熟悉圆锥的展开图特点是解答此题的关键．2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中1||10a < ，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：61800000 1.810=⨯．故选：D ．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中1||10a < ，确定a 与n 的值是解题的关键．3．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B ．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D ．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B ．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．【分析】求出|4|4-=，在数轴上表示出各个数，再得出选项即可．【解答】解：|4|4-=，34<< ，34∴->>-，即43-<<-，，在最左边的点表示的实数是故选：A ．【点评】本题考查了数轴，绝对值和实数的大小比较法则，能熟记在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大是解此题的关键．5．【分析】应用扇形面积的计算公式进行计算即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，120n =︒，3r =，22212033()360360n r S m πππ⨯∴===．故选：C ．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式进行求解是解决本题的关键．6．【分析】由2AB AE =知23AB CD BE BE ==，由//AB CD 知CDF EBF ∆∆∽，据此得23DF CD BF EB ==，继而知23DF BF =，从而得245DF BD ==．【解答】解： 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，//AB CD ，又2AB AE = ，∴23AB CD BE BE ==，//AB CD ，CDF EBF ∴∆∆∽，∴23DF CD BF EB ==，23DF BF ∴=，2210455DF BD ∴==⨯=，故选：C ．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质．7．【分析】根据表中x ，y 的数量关系发现：t 每减少3min ，y 减少75m ，可知y 是x 的一次函数，由待定系数法求出函数解析式，根据解析式即可求出答案．【解答】解：根据表中x ，y 的数量关系发现：t 每减少3min ，y 减少75m ，则y 是x 的一次函数，设y 与x 的关系式为y kx b =+，把0x =时，675y =，3x =时，600y =，代入上式得6753600b k b =⎧⎨+=⎩，解得：25675k b =-⎧⎨=⎩，25675y x ∴=-+，当6x =时，256675525y =-⨯+=，当9x =时，259675450y =-⨯+=，y ∴与x 的关系式为25675y x =-+．当150y =时，即15025675x =-+，解：21x =．答：从开始计时到观光船与码头的距离为150m 时，所用时间为21min ．故选：B ．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，根据表中x ，y 的数量关系发现y 是x 的一次函数是解决问题的关键．8．【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．【解答】解：由题意可知，录入有误的两个数的和为6915+=，实际的两个数的和为8715+=，所以更正后实际成绩的平均数是x 与原来平均数相同，方差变小，所以7.5x =，2 1.64s <，故选：D ．【点评】本题考查了算术平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据分式有意义的条件列不等式组求解．【解答】解：由题意可得40x -≠，解得：4x ≠，故答案为：4x ≠．【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．10．【分析】加减消元法消去y 求出x ，把x 代入方程①求出y 即可．【解答】解：335x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，①+②得：48x =，解得2x =．把2x =代入①得：23y -=，1y ∴=-．∴方程组的解是21x y =⎧⎨=-⎩．故答案为：21x y =⎧⎨=-⎩．【点评】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本思想：消元．11．【分析】由折叠性质可得90CED A ∠=∠=︒，70ADC CDE ∠=∠=︒，从而可得90BED ∠=︒，40BDE ∠=︒，即可求解．【解答】解：ABC ∆ 为直角三角形，90A ∴∠=︒，70CDE ∠=︒ ，由折叠性质可得90CED A ∠=∠=︒，70ADC CDE ∠=∠=︒，90BED ∴∠=︒，18040BDE ADC CDE ∠=︒-∠-∠=︒，18050B BED BDE ∴∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：50．【点评】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是明确折叠前后对应图形全等．12．【分析】找到一个满足条件但不满足结论的数即可．【解答】解：当102a =>时，2211(24a ==，11212a ==，此时21a a<，故答案为：12（答案不唯一）．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够找到一个满足条件但不满足结论的a 的值，难度不大．13．【分析】根据三角形中位线定理求出DE ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF ，即可得出答案．【解答】解：D ，E 分别为AB ，AC 的中点，7BC =，1722DE BC ∴==，AF BF ⊥ ，90AFB ∴∠=︒，D 为AB 的中点，4AB =，122DF AB ∴==，32EF DE DF ∴=-=．故答案为：32．【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．14．【分析】首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点(1,4)-代入即可求得．【解答】解：将抛物线22y x =向下平移(0)b b >个单位长度后，所得新抛物线为22y x b =-，新抛物线经过点(1,4)-，42b ∴-=-，6b ∴=，故答案为：6．【点评】本题考查了二次函数的平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．15．【分析】延长BO 交O 于D ，连接CD ，根据圆周角定理得到90ACB ∠=︒，D A ∠=∠，由勾股定理求出CD ，根据三角函数解的定义即可求出tan A 的值．【解答】解：延长BO 交O 于D ，连接CD ，2BD OB ∴==，90ACB ∠=︒在Rt BCD ∆中，BD =4BC =，6CD ∴==，42tan 63BC D CD ∴===，D A ∠=∠ ，2tan 3A ∴=，故答案为：23．【点评】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．16．【分析】（1）由于甲首次取走写有b 、c 、d 的三个球，那么剩下a 、e 、f 、g 、h ，而乙首次也取走三个球，但必须相邻，由此分类讨论即可加解决问题；（2）由于甲首次拿走a 、b 两个球，还剩下c 、d 、e 、f 、g 、h ，而乙可以取的球分为①若乙取三个球；②若乙取两个球：在这两个前提之下讨论解决问题．【解答】解：（1） 甲首次取走写有b 、c 、d 的三个球，∴还剩下a 、e 、f 、g 、h ，又 乙首次也取走三个球，但必须相邻，∴乙可以取e 、f 、g 或f 、g 、h ，若乙取e 、f 、g 只剩下a 、h ，它们不相邻，∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；同理，若乙取f 、g 、h ，只剩下a 、e ，它们不相邻，∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后的一个，故乙胜；故答案为：乙．（2） 甲首次拿走a 、b 两个球，还剩下c 、d 、e 、f 、g 、h ，①若乙取三个球，若乙取c 、d 、e 或f 、g 、h ，那么剩下的球胜连着的，故甲取走剩下的三个，则甲胜；若乙取d 、e 、f ，此时甲取g ，则c 、h 不相邻，则甲胜；若取e 、f 、g ，此时甲取d ，则ch 不相邻，则甲胜；②若乙取两个球：若乙取c 、d ，此时甲取f 、g ，那么剩下e 、h ，不相邻，则甲胜；若乙取d 、e ，此时甲取f 、g ，则c 、h 不相邻，则甲胜；若乙取e 、f ，此时甲取c 、d 或g 、h ，则乙胜；若甲c 或d ，那么乙取g 或h ，则乙胜；若甲取g 或h ，那么乙取c 或d ，那么剩下两个球不相邻，则乙胜；因此，乙一定要获胜，那么它首次取e 、f ．故答案为：e 、f ．【点评】本题主要考查了逻辑推理与论证，同时也利用了分类讨论的思想，比较麻烦，对于学生的能力要求比较高．三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21—22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】本题涉负整数指数幂、特殊角的三角函数值，绝对值的化简、二次根式化简几个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式9=-+(119=+-9=．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式、绝对值等知识点的运算．18．【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求解，然后找出对应的正整数解即可．【解答】解：去分母得：5236x x -<+，移项得：5362x x -<+，合并同类项得：28x <，系数化为1得：4x <．故正整数解为1，2，3．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题关键是熟知解一元一次不等式的步骤．19．【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，求出25x x +=，最后代入求出答案即可．【解答】解：115(163x x x +⋅++15[](1)(1)63x x x x x x x +=+⋅+++15(1)3(21)x x x x x ++=⋅++215(1)3(21)x x x x +=⋅++53(1)x x =+，250x x +-= ，25x x ∴+=，当25x x +=时，原式2(1)13(1)3(1)3x x x x x x x x ++===++．【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．20．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）连接OA ，OB ，OC ，根据线段垂直平分线的性质得到OA OC =，DA DC =，OB OC =．则OA OB OC ==．所以点A ，B ，C 都在O 上．然后根据圆内接四边形的性质得到180ADC ABC ∠+∠=︒．【解答】解：（1）如图，点D 为所作；（2）完成下面的证明．证明：连接OA ，OB ，OC ．直线1l 垂直平分AC ，点O ，D 都在直线1l 上，OA OC ∴=，DA DC =．直线2l 垂直平分BC ，点O 在直线2l 上，OB OC ∴=．OA OB OC ∴==．∴点A ，B ，C 都在O 上．点D 在O 上，180ADC ABC ∴∠+∠=︒（圆内接四边形的对角互补）．【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和圆内接四边形的性质．21．【分析】（1）根据关于x 的一元二次方程224490x mx m -+-=的根的判别式△24b ac =-的符号来判定该方程的根的情况；（2）将1m =代入原方程，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值．【解答】（1）证明：△2214()4(5)2b ac m m =-=--⨯-2210m m =-+2(1)9m =-+，2(1)0m - ，2(1)90m ∴-+>，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将1m =代入方程21502x mx m -+-=中，得2(1)9x -=，解得：4x =或2-．∴当1m =时，x 的值为4或2-．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当△0>时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将1m =代入原方程求出x 值．22．【分析】（1）先证DE BF =，得出四边形EBFD 是平行四边形，再由90BED ∠=︒，即可得出结论；（2）由菱形的性质得2BD OB =，5AB BC ==，AC BD ⊥，在Rt BOC ∆中，由锐角三角函数定义求出4OB =，得出8BD =，再在Rt BFD ∆中，由锐角三角函数定义求出BF 即可．【解答】（1）证明： 四边形ABCD 是菱形，//AD BC ∴，AB BC CD AD ===，CF AE = ，AE AD CF BC ∴+=+，即DE BF =，∴四边形EBFD 是平行四边形，BE ED ⊥ ，90BED ∴∠=︒，∴四边形EBFD 是矩形；（2）解： 四边形ABCD 是菱形，2BD OB ∴=，5AB BC ==，AC BD ⊥，在Rt BOC ∆中，4cos 5OB OBC BC ∠==，∴455OB =，4OB ∴=，28BD OB ∴==，四边形EBFD 是矩形，90F ∴∠=︒，在Rt BFD ∆中，cos BF OBC BD∠=，432cos 855BF BD OBC ∴=⨯∠=⨯=．【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．23．【分析】（1）将(4,0)代入y x b =-+得，40b -+=，解出方程即可求出b 的值，将(,1)n -代入刚刚求出的一次函数解析式即可求出n 的值，最后将新求出的坐标代入反比例函数解析式即可求出m 的值．（2）根据4p pm y x <<，得出05P x <<，连接OD ，过点O 作OC BD ⊥于C ，当OP BC ⊥，先求出点C 坐标为(5,1)-，根据两点间距离公式可得：OD =，即可算出OP 的取值范围．【解答】解：（1）把(4,0)代入y x b =-+，得04b =-+．解得：4b =．∴一次函数解析式为4y x =-+，把(,1)n -代入4y x =+．得4l n -=-+．解得：5n =．把(5,1)代入m y x =得，15m -=，解得：5m =-；4b ∴=，5m =-．（2） 4p p m y x <<，即44P pm x x <-+<，解得：05P x <<．∴点P 在线段BD 上运动，连接OD ，过点O 作OC BD ⊥于C，由54x x-+=-，解得：5x =，代入4y x =-+，得：1y =-，(4,0)A ∴，B (0,4)，D (5,1)-，4OA OB ∴==，AB ∴===1122OAB S OA OB AB OC ∆∴=⋅=⋅，44∴⨯=，OC ∴=(0,0)O ，D (5,1)-，OD ∴==OC OP OD ∴<，OP ∴<．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24．【分析】（1）连接BD ，OD ，由切线长定理及切线的性质可得CD CB =，90ODC OBC ∠=∠=︒，利用“HL ”证明Rt ODC OBC ∆≅∆，得出OCD OCB ∠=∠，由等腰三角形的性质得出OC BD ⊥，由圆周角定理得出AF BD ⊥，进而得出//FA CO ；（2）由勾股定理求出CE =，由平行线的性质及等腰三角形的性质得出CO CE =，进而得出2OB BE ==，2OA =，即可得出6AE =，4OE =，由平行线分线段成比例定理得出EC EO EF EA=，即可求出EF =，继而得出FA EF ==．【解答】（1）证明：如图1，连接BD ，OD ，CD ，CB 均为O 的切线，CD CB ∴=，90ODC OBC ∠=∠=︒，在Rt ODC ∆和Rt OBC ∆中，OC OC OD OB =⎧⎨=⎩，Rt ODC Rt OBC(HL)∴∆≅∆，OCD OCB ∴∠=∠，CDB ∆ 为等腰三角形，OC BD ∴⊥，AB 为直径，90ADB ∴∠=︒，AF BD ∴⊥，//FA CO ∴；（2）解：如图2，4CD = ，4CB CD ∴==，90OBC ∠=︒ ，90EBC ∴∠=︒，2BE = ，CE∴===，FA FE=，A E∴∠=∠，//FA CO，A COE∴∠=∠，COE E∴∠=∠，CO CE∴=，CB OE⊥，2OB BE∴==，2OA∴=，6AE∴=，4OE=，//OC FA，∴EC EO EF EA=，∴46 EF=，EF∴=，FA EF∴==【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握切线长定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．25．【分析】（1）计算8560%6040%⨯+⨯即可．（2）由图可知，乙剧社学生中两项测试成绩都低于60分的人数为1人，计算占比可知满足第一个条件；乙剧社声乐成绩高于75分的人数明显过于低于75分的人数，故满足至少有一项的平均成绩不低于75分，即可得出答案．（3）观察统计图可得符合条件的学生人数．通过画树状图列出所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）这名学生的综合成绩为8560%6040%75⨯+⨯=（分)．（2）由图可知，乙剧社学生中两项测试成绩都低于60分的人数为1人，占比为6.7%10%<，满足第一个条件．乙剧社声乐成绩高于75分的人数明显过于低于75分的人数，故满足至少有一项的平均成绩不低于75分，∴乙剧社符合入选参加展演的条件．故答案为：符合．（3）由图可知，甲、乙剧社符合条件的学生各有2人，∴符合条件的学生一共有4人．画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中被抽选到的这两名学生分别来自不同剧组的结果有8种，∴被抽选到的这两名学生分别来自不同剧组的概率为82123=．故答案为：4；23．【点评】本题考查统计的应用、列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．26．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）把6y =-代入222y ax ax =--，整理得：2240ax ax -+=，根据抛物线与直线6y =-没有公共点，利用一元二次方程根的判别式即可求得答案；（3）根据题意得：2122y at at =--，222(1)2(1)22y a t a t at a =+-+-=--，2221|||(2)(22)||(21)|y y at a at at a t -=-----=-，由于当24t - 时，都有217||2y y -<，可得772424a a at -<<+，当0a <时，17172424t a a +<<-，可得102a -<<；当0a >时，17172424t a a -<<+，可得102a <<．【解答】解：（1） 抛物线2y ax bx c =++经过点(0,2)-，(2,2)-，∴2422c a b c =-⎧⎨++=-⎩，解得：22c b a =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为222y ax ax =--，∴抛物线对称轴为直线212a x a-=-=，故c 的值为2-，抛物线的对称轴为直线1x =；（2）把6y =-代入222y ax ax =--，得：2226ax ax --=-，整理得：2240ax ax -+=，抛物线与直线6y =-没有公共点，∴△2(2)440a a =--⨯<，即(4)0a a -<，0a ≠ ，∴当0a <时，40a ->，即4a >，此时，无解；当0a >时，40a -<，即4a <，04a ∴<<，综上所述，a 的取值范围为04a <<；（3） 点1(,)t y ，2(1,)t y +在此抛物线上，2122y at at ∴=--，222(1)2(1)22y a t a t at a =+-+-=--，2221|||(2)(22)||(21)|y y at a at at a t ∴-=-----=-，当24t - 时，都有217||2y y -<，77(21)22a t ∴-<-<，∴772424a a at -<<+，0a ≠ ，∴当0a <时，17172424t a a+<<-，∴1722417424a a⎧+<-⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得：102a -<<；当0a >时，17172424t a a -<<+，∴1722417424a a⎧-<-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得：102a <<；综上所述，a 的取值范围是102a -<<或102a <<．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a 进行分类讨论，运用分类讨论思想是解题的关键．27．【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD 与CB '的位置关系是互相垂直，过点A 作AM BC ⊥于点M ，根据等腰三角形性质得到1122CM BM BC a ===，利用AAS 证明ACD ACM ∆≅∆，根据全等三角形性质即可得出12CD CM a ==；（2）当点E 与点C 不重合时，①过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥点N ，利用AAS 证明ACD ACM ∆≅∆，根据全等三角形性质即可得到2BAC DAE ∠=∠；②在BC 上截取BF CD =，连接AF ，利用SAS 证明ABF ACD ∆≅∆，根据全等三角形性质得到AF AD =，BAF CAD ∠=∠，根据角的和差得到FAE DAE ∠=∠，再利用SAS 证明FAE DAE ∆≅∆，根据全等三角形性质及线段和差即可得到BE CD DE =+．【解答】解：（1）当点E 与点C 重合时，DAE DAC ∠=∠，90DAE ACD ∠+∠=︒ ，90DAC ACD ∴∠+∠=︒，90ADC ∴∠=︒，AD CB '∴⊥，即AD 与CB '的位置关系是互相垂直，若BC a =，过点A 作AM BC ⊥于点M，如图：则90AMC ADC ∠=︒=∠，AB AC = ，1122CM BM BC a ∴===，在ACD ∆与ACM ∆中，ADC AMC ACD ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD ACM AAS ∴∆≅∆，12CD CM a ∴==，即CD 的长为12a ，故答案为：互相垂直；12a ；（2）①当点E 与点C 不重合时，用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系是：2BAC DAE ∠=∠，证明如下：过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥点N，如图：则90AMC ANC ∠=∠=︒，90CAN ACB '∴∠+∠=︒，90DAE ACD ∠+∠=︒ ，即90DAE ACB '∠+∠=︒，DAE CAN ∴∠=∠，AB AC = ，AM BC ⊥，22BAC CAM BAM ∴∠=∠=∠，在ACN ∆与ACM ∆中，ANC AMC ACN ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACN ACM AAS ∴∆≅∆，CAN CAM ∴∠=∠，222BAC CAM CAN DAE ∴∠=∠=∠=∠；②用等式表示线段BE 、CD 、DE 之间的量关系是：BE CD =十DE ，证明如下：在BC 上截取BF CD =，连接AF，如图：AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，ACB ACB '∠=∠ ，B ACB ACD ∴∠=∠'=∠，在ABF ∆和ACD ∆中，AB AC B ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF ACD SAS ∴∆≅∆，AF AD ∴=，BAF CAD ∠=∠，BAF CAE CAD CAE DAE ∴∠+∠=∠+∠=∠，由①知：2BAC DAE ∠=∠，即12DAE BAC ∠=∠，12BAF CAE BAC ∴∠+∠=∠，1()2FAE BAC BAF CAE BAC ∴∠=∠-∠+∠=∠，FAE DAE ∴∠=∠，在FAE ∆和DAE ∆中，AF AD FAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAE DAE SAS ∴∆≅∆，FE DE ∴=，BE FE BF CD DE ∴=+=+．【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．28．【分析】（1）求出线段AA '的中点，利用待定系数法求解；（2）如图1中，作C 关于直线l 的对称点C '，连接OC '，OA ，OA '．解直角三角形求出C OK ∠'，AOK ∠，可得结论；（3）求出两种特殊情形b 的值，判断即可．【解答】解：（1）(1,1)A ，(1,1)B -，2AB ∴=，AB ，A B ''关于直线l 对称，2A B AB ∴''==，由题意1k =，y x b ∴=+，A ，A '关于直线y x b =+对称，∴直线y x b=+经过AA '的中点3(2，12，∴1322b =+，1b ∴=-，故答案为：2，1-；（2）如图1中，作C 关于直线l 的对称点C '，连接OC '，OA ，OA '．由题意直线l 的解析式为y kx =，2OC OC ='=，AB 关于直线l 的对称线段A B ''在直线1l 上，又 直线1l 经过点C ，∴点C '在直线AB 上，(1,1)A ，(1,1)B -，∴点C '的横坐标为1，C ∴'的纵坐标，C ∴'，tanC K C OK OK '∴∠'==60C OK ∴∠'=︒，1OK OA == ，AOK ∴∆是等腰直角三角形，45AOK ∴∠=︒，604515C OA C OK AOK ∴∠'=∠'-∠=︒-︒=︒，A ，B ，C 关于直线l 的对称点为A '，B '，C '，15COA C OA ∴∠'=∠'=︒；（3）如图2中，当点B '与Q 重合时，则(3,3)B '-，设BB '的中点为k ，则直线l 经过点K ，(1,1)B - ，(3,3)B '-，(1,1)k ∴-，∴直线BB '的解析式为y x =-，BB l '⊥ ，∴直线l 使得解析式为y x b =+，把(1,1)K -代入，可得2b =，如图3中，当A '与P 重合时，则(3,0)A '-，设AA '的中点为k ，则直线l 经过点K ，(1,1)A ，(3,0)A '-，1(1,2K ∴-， 直线AA '的解析式为1344y x =+，AA '⊥ 直线l ，∴直线l 的解析式为4y x b =-+，把1(1,2K -代入，可得72b =-， 线段A B ''与线段PQ 有公共点，72b ∴- 或2b ．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

2022西城区二模数学答案

2022西城区二模数学答案

2022西城区二模数学答案1、5．将△ABC的三个顶点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，则所得图形与原图的关系是( ) [单选题] *A．关于x轴对称B．关于y轴对称(正确答案)C．关于原点对称D．将原图向x轴的负方向平移了1个单位长度2、18．下列说法正确的是（）[单选题] *A．“向东10米”与“向西10米”不是相反意义的量B．如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降－15米C．如果气温下降6℃，记为-6℃，那么+8℃的意义就是下降8℃D．若将高1米设为标准0，高20米记作+20米，那么－05米所表示的高是95米(正确答案) 3、-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则cosα=（）[单选题] *-3/5(正确答案)2月3日-0.333333333-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则tanα=（）[单选题] *4、1、方程x2?-X=0 是（? ? ）? ? ? ? ? ? 。

[单选题] *A、一元一次方程B、一元二次方程(正确答案)C、二元一次方程D、二元二次方程5、?方程x2?+2X-3=0的根是（? ? ? ??）[单选题] *A、X1=-3, X2=1(正确答案)B、X1=3 ,X2=-1C、X1=3, X2=1D. X1=-3, X2=-16、17．已知的x∈R那么x2（x平方）>1是x>1的（）[单选题] *A．充分不必要条件B．必要不充分条件(正确答案)C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7、8．修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是（）[单选题] *A．线段可以比较大小B．线段有两个端点C．两点之间，线段最短(正确答案)D．过两点有且只有一条直线8、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（）[单选题] *A、平行B、平行C、相交但不垂直(正确答案)D、不能确定9、2.当m=-2时，代数式-2m-5的值是多少（）[单选题] *A.-7B.7C.-1(正确答案)D.110、15．一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（）[单选题] *A 56gB .60gC．64gD.68g(正确答案)11、25．下列式子中，正确的是（）[单选题] *A．﹣|﹣8|＞7B．﹣6＜|﹣6|(正确答案)C．﹣|﹣7|＝7D．|﹣5|＜12、19．对于实数a、b、c,“a>b”是“ac2(c平方)>bc2(c平方) ; ”的（）[单选题] * A．充分不必要条件B．必要不充分条件(正确答案)C．充要条件D．既不充分也不必要条件13、12．已知点P(m，n)，且mn＞0，m+n＜0，则点P在() [单选题] *A．第一象限B．第二象限C．第三象限(正确答案)D．第四象限14、13．下列说法中，正确的为（）．[单选题] *A．一个数不是正数就是负数B. 0是最小的数C正数都比0大(正确答案)D. -a是负数15、17、已知点P，且是方程的解，那么点P在（）[单选题] *A. 第一象限B. 第二象限(正确答案)C. 第三象限D. 第四象限16、5．在下列四点中，与点所连的直线不与y轴相交的是（）．[单选题] * A．（-2，3）B．（2，-3）C（3，2）D（-3，2）(正确答案)17、抛物线y2=-8x的焦点坐标为（）[单选题] *A、（-2，0）(正确答案)B、（-2，1）C、（0，-2）D、（0，2）18、下列说法正确的是[单选题] *A.带“+”号和带“-”号的数互为相反数B.数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数C.和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数D.一个数前面添上“-”号即为原数的相反数(正确答案)19、8.如果直角三角形的三条边为2，4，a，那么a的取值可以有（）[单选题] *A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个(正确答案)20、6．数学文化《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若向西走9米记作米，则米表示（）[单选题] *A向东走5米(正确答案)B向西走5米C向东走4米D向西走4米21、北京、南京、上海三个民航站之间的直达航线,共有多少种不同的飞机票?（）[单选题] *A、3B、4C、6(正确答案)D、1222、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)23、2005°角是（）[单选题] *A、第二象限角B、第二象限角(正确答案)C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角24、15．下列说法中，正确的是（）[单选题] *A．若AP＝PB，则点P是线段AB的中点B．射线比直线短C．连接两点的线段叫做两点间的距离D．过六边形的一个顶点作对角线，可以将这个六边形分成4个三角形(正确答案)25、两个有理数相加，如果和小于每一个加数，那么[单选题] *A.这两个加数同为负数(正确答案)B.这两个加数同为正数C.这两个加数中有一个负数，一个正数D.这两个加数中有一个为零26、35、下列判断错误的是（）[单选题] *A在第三象限，那么点A关于原点O对称的点在第一象限.B在第二象限，那么它关于直线y=0对称的点在第一象限.(正确答案)C在第四象限，那么它关于x轴对称的点在第一象限.D在第一象限，那么它关于直线x=0的对称点在第二象限.27、为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的( ) [单选题] *A．中位数B．平均数C．众数(正确答案)D．方差28、函数y=cosx与y=arcsinx都是（）[单选题] *A、有界函数(正确答案)B、有界函数C、奇函数D、单调函数29、在0°~360°范围中，与-120°终边相同的角是（）[单选题] * 240°(正确答案)600°-120°230°30、27.下列各函数中，奇函数的是（）[单选题] *A. y=x^(-4)B. y=x^(-3)(正确答案)C .y=x^4D. y=x^(2/3)。

2022北京西城高三二模数学试卷(含答案)

2022北京西城高三二模数学试卷(含答案)

2022北京西城高三二模数学试卷2022．5本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}42A x x =−<<，{}29B x x =≤，则A B ⋃= （A ）(]4.3−（B ）[)3.2−（C ）()4,2−（D ）[]3,3−（2）已知双曲线的焦点分别为五12,F F ，124F F =，双曲线上一点P 满足122PF PF −=，则该双曲线的离心率为（A （B （C ）2（D ）3（3）已知{}n a 为等差数列，首项12a =，公差3d =，若228n n a a ++=，则n = （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（4）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（A ）1()2x y =（B ）1y nx = （C ）sin y x =（D ）y x x =（5）己知直线2y kx =+与圆22:2C x y +=交于,A B 两点，且2AB =，则k 的值为（A ） 3±（B ）（C （D ）2（6）已知e 是单位向量，向量a 满足112a e ≤⋅≤，则a 的取值范围是 （A ）()0,+∞ （B ）(]0,1（C ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦（7）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上是增函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知()1f x gx a =−，记关于x 的方程()1f x =的所有实数根的乘积为()g a ，则()g a （A ）有最大值，无最小值 （B ）有最小值，无最大值 （C ）既有最大值，也有最小值（D ）既无最大值，也无最小值（9）若函数223,0()(2),0x x f x x x a ⎧+=⎨−<⎩……的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是 （A ）(]0,1（B ）()0,1（C ）()1,4（D ）()2,4（10）如图为某商铺A 、B 两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元．图中点1A 、2A 、3A 的纵坐标分别表示A 商品2022年前3个月的销售量，点1B 、2B 、3B 的纵坐标分别表示B 商品2022年前3个月的销售量．根据图中信息，下列四个结论中正确的是①2月A 、B 两种商品的总销售量最多； ②3月A 、B 两种商品的总销售量最多； ③1月A 、B 两种商品的总利润最多； ④2月A 、B 两种商品的总利润最多． （A ）①③ （B ）①④ （C ）②③（D ）②④第二部分 （非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）二项式()*N )1(nx n +∈的展开式中2x 的系数为21，则n =__________．（12）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（-1，2），则5z为__________．（13）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，则焦点到准线的距离为__________；直线y 抛物线分别交于P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），过点P 作直线PQ 的垂线交准线l 于点H ，则PFPH=__________．（14）已知数列{}n a 是首项为16，公比为12的等比数列，{}n b 是公差为2的等差数列．若集合{}*n n A n a b =∈>N 中恰有3个元素，则符合题意的1b 的一个取值为__________．（15）已知四棱锥P ABCD −的高为1，PAB △和PCD △论：①四棱锥P ABCD −可能为正四棱锥；②空间中一定存在到,,,,P A B C D 距离都相等的点； ③可能有平面PAD ⊥平面ABCD ；④四棱锥P ABCD −的体积的取值范围是12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分）在ABC △中，22sin cos 222B B B+= （I ）求B 的大小；（Ⅱ)2a c b +=，证明：a c =．（17）（本小题13分）2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布．义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分．其中过程性考核40分，现场考试30分．该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开．现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容．某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%．假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立．（I ）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（Ⅱ）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；（Ⅲ）已知乒乓球考试满分8分．在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7．5分，其余男生得7分：样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为1μ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为2μ，试比较1μ与2μ的大小．（结论不需要证明）（18）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，四边形11AAC C 是边长为4的菱形， AB BC ==D 为棱AC 上动点（不与,A C 重合），平面1B BD 与棱11AC 交于点E ． （I ）求证：1//BB DE ；（Ⅱ）若34AD AC =，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值．条件①：平面ABC ⊥平面11AAC C ； 条件②：160A AC ∠=︒；条件③：1A B =注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题15分） 己知函数ln ()1x af x x +=+ （1）若1(1)4f '=，求a 的值； （Ⅱ）当2a >时，② 求证：()f x 有唯一的极值点1x ；②记()f x 的零点为0x ，是否存在a 使得立21e x x …?说明理由． （20）（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为()2,0A −，圆22:1O x y +=经过椭圆C 的上、下顶点．（I ）求椭圆C 的方程和焦距：（Ⅱ）已知,P Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（,P Q 不在坐标轴上），且直线PQ 与x 轴平行，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点M ，圆O 在点Q 处的切线与y 轴交于点N ．求线段MN 长度的最小值． （21）（本小题15分）已知数列122:,,,m A a a a L ，其中m 是给定的正整数，且2m ≥． 令{}212min ,i i i b a a −=，1,,i m =L ，{}12()max ,,,m X A b b b =L ，{}212max ,i i i c a a −=，1,,i m =L ，{}12()min ,,,m Y A c c c =L ．这里，{ max }表示括号中各数的最大值，min{ }表示括号中各数的最小值． （I ）若数列:2,0,2,1,4,2A −，求()X A ，()Y A 的值；（Ⅱ）若数列A 是首项为1，公比为q 的等比数列，且()()X A Y A =，求q 的值；（Ⅲ）若数列A 是公差1d =的等差数列，数列B 是数列A 中所有项的一个排列，求()()X B Y B −的所有可能值（用m 表示）．2022北京西城高三二模数学试卷参考答案及评分标准 2022.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）A （ 2 ）C （ 3 ）D （ 4 ）D （ 5 ）B（ 6 ）C（ 7 ）A（ 8 ）D（ 9 ）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）7 （12（13）2（14）1−（答案不唯一） （15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）在中，因为22sin cos 222B B B+所以1cos sin 2BB ++sin 0B B +=，所以tan B =， 因为(0,)B ∈π， 所以23B π=. ┄┄┄┄┄┄ 7分（Ⅱ）因为2π3B =，所以1cos 2B =−. ABC △由余弦定理得222cos 2a c b B ac+−=，所以222122a c b ac+−−=，即 222ac a c b −=+−. ①)2a c b +=，所以)b a c =+.②将②代入①，得22223(2)4ac a c a ac c −=+−++，整理得 2()0a c −=， 所以a c =.┄┄┄┄┄┄13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）样本中男生选考乒乓球人数为110010%110⨯=人，女生选考乒乓球人数10005%50⨯=人.设从该区所有九年级学生中随机抽取1人，该学生选考乒乓球为事件A ， 用频率估计概率，110508()11001000105P A +==+. ┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B ， 设从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C ， 由题意，()P B 的估计值为0.4，()P C 的估计值为0.5.设从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，恰有2人选考跳绳为事件D ， 则所求概率的估计值为12222()0.40.60.50.40.50.32P D C C =⨯⨯⨯+⨯⨯=.┄┄┄┄┄┄ 9分 （Ⅲ）12μμ>.┄┄┄┄┄┄13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C −中，11//AA BB ，又1BB ⊄平面11ACC A , 所以1//BB 平面11ACC A .又因为平面1B BDE I 平面11ACC A DE =， 所以1//BB DE . ┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）选条件①②.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒， 所以1A AC △为等边三角形.又因为O 为AC 中点，所以1AO AC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ， 平面ABC I 平面11ACC A AC =，1AO ⊂平面11ACC A ，且1AO AC ⊥， 所以1A O ⊥平面ABC ，所以1AO OB ⊥.又因为AB BC =，所以BO AC ⊥.以O 为原点，以OB 、OC 、1OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)O ，(0,2,0)A −，1A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)D . 所以(3,1,0)BD =−uu u r，1=(0,2,DE AA =u u u ru u u r. 设平面1B BDE 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0.BD DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n所以111130,20.x y y −+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则13y =，11x =，故(1,3,=n .又因为(3,2,0)AB =uu u r，9sin cos ,13AB AB AB θ⋅=〈〉==uu u ruu u ruu u rn n n . 所以直线AB 与平面B 1BDE 所成角的正弦值为913. 选条件②③.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO . 在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒， 所以1A AC △为等边三角形.又O 为AC 中点，故1AO AC ⊥，且1AO =又因为3OB =，1A B 所以22211AO OB A B +=， 所以1AO OB ⊥.又因为AC OB O =I ，所以1AO ⊥平面ABC . 以下同选①②. 选条件①③取AC 中点O ，连接BO ，1AO . 在ABC △中，因为BA BC =，所以BO AC ⊥，且2AO =，3OB =. 又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC I 平面11ACC A AC =， 所以BO ⊥平面11ACC A .因为1OA ⊂平面11ACC A ，所以1BO OA ⊥. 在1Rt BOA △中，1OA =. 又因为2OA =，14AA =，所以22211OA OA AA +=，所以1AO AO ⊥. 以下同选①②.┄┄┄┄┄┄14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）ln ()1x af x x +=+，0x >，所以211ln ()(1)x a x f x x +−−'=+， 因为21(1)44a f −'==， 所以1a =.┄┄┄┄┄┄ 5分（Ⅱ）①()f x 的定义域是(0,)+∞，211ln ()(1)x a x f x x +−−'=+，令()0f x '=，则11ln 0x a x+−−=. 设1()1ln g x x a x=+−−， 因为1y x=，ln y x =−在(0,)+∞上单调递减，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减.因为(e )1e 0a a g −=+>，(1)20g a =−<， 所以()g x 在(0,)+∞上有唯一的零点，所以()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，不妨设为1x ，1(e ,1)a x −∈.()f x '与()f x 的情况如下：所以()f x 有唯一的极值点1x . ②由题意，0ln x a =−，则0e a x −=. 若存在a ，使210ex x ≤，则21e 1a x −<≤，所以21e e a a x −−<≤.因为()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )1e 0a a g −=+>， 则需22(e )e 10a a g −−=−≤，即2a ≤，与已知矛盾. 所以，不存在2a >使得210ex x ≤. ┄┄┄┄┄┄15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题意，2a =，1b =，所求椭圆方程为 2214x y +=.因为c ==所以焦距2c =┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）设00(,)P x y 00(0)x y ≠且220014x y +=.由题意，设10(,)Q x y 10(0)x y ≠且22101x y +=.因为(2,0)A −，所以线段AP 的中点为002(,)22x y −. 又直线AP 的斜率为002AP y k x =+， 所以线段AP 的中垂线的斜率为002x y +−. 故线段AP 的中垂线方程为 000022()22y x x y x y +−−=−−. 令0x =，得 220000000(2)(2)4222M y x x x y y y y +−+−=+=. 由220014x y +=，可得220044x y −=−， 代入上式，得 20003322M y y y y −==−，所以03(0,)2M y −.因为直线OQ 的斜率为01OQ y k x =， 所以圆O 在点Q 处的切线斜率为1x y −. 所以切线方程为 1010()x y y x x y −=−−. 令0x =得 22210100001N x y x y y y y y +=+==,所以01(0,)N y . 所以线段MN 长度00132N M MN y y y y =−=+0013|||2y y =+≥|. （当且仅当0013||||2y y =，即0y =时等号成立） 所以线段MN.┄┄┄┄┄┄15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）()1X A =，()2Y A =.┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）若数列A 中任意两项互不相等，则当1,,i m =L 时,由212min{,}i i i b a a −=,212max{,}i i i c a a −=可知，i i b c ≠, 当{},1,2,,i j m ∈L 且i j ≠时, 212212{,}{,}i i j j a a a a −−=∅I ，又212212min{,}{,}i i i i i b a a a a −−=∈,212212max{,}{,}j j j j j c a a a a −−=∈, 所以 i j b c ≠.综上,1212{,,,}{,,,}m m b b b c c c =∅L I L , 所以()()X A Y A ≠，不合题意.所以存在i j ≠, ,{1,2,,2}i j m ∈L ，使i j a a =，即11i j q q −−=. 因为0q ≠，所以1i j q −=. 所以1q =±.若1q =−，则()1X A =−，()1Y A =，不舍题意，舍.若1q =，则数列A 为：1，1，L ，1，()()1X A Y A ==，符合题意. 综上，1q =.┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）()()X B Y B −的所有可能值为1,1,2,,23m −−L .证明如下：因为10d =>，所以A 递增且A 中各项（即B 中各项）两两不等， 所以同（Ⅱ）可知()()X B Y B ≠.由定义，存在,{1,2,,2},,(),(),i j i j m i j X B a Y B a ∈≠==L()()i j X B Y B a a i j −=−=−，因为()X B 比{}n a 中1m −个项大,故()m X B a ≥，同理，1()m Y B a +≤， 所以1()()1m m X B Y B a a +−−=−≥.因为()X B 至少比{}n a 中的一项小，故21()m X B a −≤，同理，2()Y B a ≥. 所以212()()23m X B Y B a a m −−−=−≤. 综上，()(){1,1,2,,23}X B Y B m −∈−−L .令122:,,,m B x x x L ,下面证明1,1,2,,23m −−L 各值均可取得. ①212,,1,2,,i i i m i x a x a i m −+===L ，由{}n a 是递增数列，212min{,}min{,},i i i i m i i b x x a a a −+===212max{,}max{,},1,2,,.i i i i m i m i c x x a a a i m −++====L此时，1212()max{,,,}max{,,,}m m m X B b b b a a a a ===L L ,121221()min{,,,}min{,,,}m m m m m Y B c c c a a a a +++===L L ,此时1()()1m m X B Y B a a +−=−=−.②当1,2,,1k m =−L 时，令2122122,,,k k k m m m k m m x a x a x a x a −−+====， 则,k k k m b a c a ==，2,m m k m m b a c a +==.当{1,2,,},,i m i k m ∈≠L 时，令212,i i i m i x a x a −+==，则1i i m b a a −=≤，1i m i m c a a ++=≥，所以 12121()max{,,,}max{,,,,}m m m k m k X B b b b a a a a a −++===L L ,121112()min{,,,}min{,,,,,,}m m m k m m k m m Y B c c c a a a a a a ++−++===L L L ,此时()()m k m X B Y B a a k +−=−=,1,2,,1k m =−L . ③给定{1,2,,2}t m ∈−L ,令212,,1,2,,i i i t i x a x a i t −+===L ，且212122,,1,,i i i i x a x a i t m −−===+L , 则212min{,},1,,i i i i b x x a i t −===L ，21221min{,},1,,i i i i b x x a i t m −−===+L ，又{}n a 是递增数列,1221()max{,,,}m m X A b b b a −==L ，212max{,},1,,i i i t i c x x a i t −+===L ，2122max{,},1,,i i i i c x x a i t m −===+L ，又{}n a 是递增数列,121()min{,,,}m t Y A c c c a +==L ， 此时211()()22m t X B Y B a a m t −+−=−=−−,{1,2,,2}t m ∈−L . 所以 22,1,,23m t m m m −−=+−L ，综上，()()X B Y B k −=，1,1,2,,23k m =−−L 各值均可取得. ┄15分。

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2016 年北京市西城区中考年级二模试卷数学一、选择题（本题共30分，每小题3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．调查显示，2016 年“两会”期间，通过手机等移动端设备对“两会”相关话题的浏览量高达115 000 000次．将115 000 000 用科学记数法表示应为（）A． 1.15×10 9B．11.5×10 7C．1.15×10 8 D． 1.15 82．“瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文化艺术遗产．下列“瓦当”的图案中，是轴对称图形的为（）3．下列各式中计算正确的是（）4．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为23，则下列各图中涂色方案正确的是（）5．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm 的一个等边三角形放大成边长为20cm 的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为（）A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:166．如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD⊥AB 于点E．若AB=24，OE=5，则⊙O 的半径为（）A．15 B．13 C．12 D．107．如图，在一次定向越野活动中，“超越”小组准备从目前所在的A 处前往相距2km 的B 处，则相对于A 处来说，B 处的位置是（）A．南偏西50°，2kmB．南偏东50°，2kmC．北偏西40°，2kmD．北偏东40°，2km8．教材中“整式的加减”一章的知识结构如图所示，则A 和B 分别代表的是（）A．分式，因式分解B．二次根式，合并同类项C．多项式，因式分解D．多项式，合并同类项9．某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过 200 元的商品，超．过．200 元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过200 元的部分可以享受的优惠是（）A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折10．一组管道如右上图1 所示，其中四边形ABCD 是矩形，O 是AC 的中点，管道由AB ，BC ，CD ，DA ，OA ，OB ，OC ，OD 组成，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器．一个机器人在管道内匀速行进，对管道进行检测．设机器人行进的时间为x ，机器人与定位仪器之间的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2 所示，则机器人的行进路线可能为（ ） A ．A →O →D B ．B →O →D C ．A →B →O D ．A →D →O 二、填空题（本题共18 分，每小题3 分） 11．若|2|3x y ++-＝0 ,则xy 的值为 ．12．一个扇形的半径长为5，且圆心角为72°，则此扇形的弧长为 ．13．有一张直角三角形纸片，记作△ABC ，其中∠B ＝90° .按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形 ADEC 中，若∠1＝165°，则∠2的度数为 °.14．某班级进行了一次诗歌朗诵比赛，甲、乙两组学生的成绩如下表所示（满分10 分）：你认为哪一组的成绩更好一些？并说明理由.答： 组（填“甲”或“乙”），理由是 .15．有一列有序数对：（1，2），（4，5），（9，10），（16，17），......，按此规律，第5对有序数对为 ；若在平面直角坐标系xOy 中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为 .16．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），P 是第一象限内任意一点，连接PO ，PA ，若∠POA ＝m °，∠PAO ＝n °，则我们把（m°，n°）叫做点P 的“双角坐标”.例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）. （1）点， 的“双角坐标”为 ； （2）若点P 到x 轴的距离为12，则m +n 的最小值为 ． 三、解答题（本题共72 分，第17—26 题，每小题5 分，第27 题7 分，第28 题7 分，第29 题8 分）17．计算：3(9)(2)|25|2sin 30--+-+-+︒.18．如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上一点，且DC=DB .点 E 在 CD 的延长线上，且∠EBC ＝∠ACB . 求证：AC=EB19．先化简，再求值：，其中x ＝2－1．20．如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =5，AC =6，BD =8． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，求AH 的长．21．已知关于x 的方程224490x mx m -+-=．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为12,x x ，其中12x x <．若1221x x =+，求 m 的值． 22．列方程或方程组解应用题：为祝贺北京成功获得2022 年冬奥会主办权，某工艺品厂准备生产纪念北京申办冬奥会成功的“纪念章”和“冬奥印”．生产一枚“纪念章”需要用甲种原料4 盒，乙种原料3 盒；生产一枚“冬奥印”需要用甲种原料5 盒，乙种原料10 盒．该厂购进甲、乙两种原料分别为20000 盒和30000 盒，如果将所购进原料正好全部都用完，那么能生产“纪念章”和“冬奥印”各多少枚？23．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数1ky x=的图象与一次函数y 2＝ax ＋b 的图象交于点A （1，3）和B （－3，m ）． （1）求反比例函数1ky x=和一次函数y 2＝ax ＋b 的表达式； （2）点C 是坐标平面内一点，BC ∥x 轴，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，连接AC ．若AC = 5CD ， 求点C 的坐标．24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在CB 的延长线上，连接AC ，AE ，∠ACD =∠BAE =45° （1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若 AB=AD ，AC = 22，tan ∠ADC ＝3，求 CD 的长．25．阅读下列材料：根据联合国《人口老龄化及其社会经济后果》中提到的标准，当一个国家或地区65 岁及以上老年人口数量占总人口比例超过7%时，意味着这个国家或地区进入老龄化．从经济角度，一般可用“老年人口抚养比”来反映人口老龄化社会的后果．所谓“老年人口抚养比”是指某范围人口中，老年人口数（65 岁及以上人口数）与劳动年龄人口数（15—64 岁人口数）之比，通常用百分比表示，用以表明每100 名劳动年龄人口要负担多少名老年人．以下是根据我国近几年的人口相关数据制作的统计图和统计表．2011—2014 年全国人口年龄分布图2011—2014 年全国人口年龄分布表根据以上材料解答下列问题：（1）2011 年末，我国总人口约为亿，全国人口年龄分布表中m 的值为；（2）若按目前我国的人口自然增长率推测，到2027 年末我国约有14.60 亿人。

假设0—14 岁人口占总人口的百分比一直稳定在16.5%，15—64 岁人口一直稳定在10 亿，那么2027 年末我国0—14 岁人口约为亿，“老年人口抚养比”约为；（精确到1%）（3）2016 年1 月1 日起我国开始实施“全面二胎”政策，一对夫妻可生育两个孩子，在未来10 年内，假设出生率显著提高，这 （填“会”或“不会”）对我国的“老年人口抚养比”产生影响．26．【探究函数9y x x=+的图像与性质】 （1）函数9y x x=+的自变量x 的取值范围是 ； （2）下列四个函数图像中，函数9y x x=+的图像大致是 ；（3）对于函数9y x x =+，求当x ＞ 0时，y 的取值范围．.请将下面求解此问题的过程补充完整：解： ∵x ＞0 ∴9y x x=+∴y _________. 【拓展运用】（4）若函数259x x y x-+=，则y 的取值范围是 ．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1 : y 1 = ax 2- 4ax - 4的顶点在x 轴上，直线l : y 2 = －x + 5与x 轴交于点A .（1）求抛物线C 1 : y 1 = ax 2 - 4ax - 4的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为(t ,0).过点B 作直线BD ⊥x 轴交直线l 于点D ， 交抛物线C 2 : y 3 = ax 2- 4ax - 4 + t 于点E .设点D 的纵坐标为m ，点E .设点E 的纵坐标为n ， 求证：m ≥n（3）在（2）的条件下，若抛物线C 2 : y 3 = ax 2 - 4ax - 4 + t 与线段BD 有公共点，结合函数的图象， 求t 的取值范围.28．在等腰直角三角形ABC中，AB = AC，∠BAC=90°.点P为直线AB上一个动点（点P不与点A,B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD = PC. 过点P作PE ^ PC，点D,E在直线AC的同侧，且PE = PC，连接BE.（1）情况一：当点P在线段AB上时，图形如图1 所示；情况二：如图2，当点P在BA的延长线上，且AP < AB时，请依题意补全图2；．（2）请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：①求证：∠ACP=∠DPB；②用等式表示线段BC,BP,BE之间的数量关系，并证明.29．在平面直角坐标系 xOy 中，对于点P (x , y )，以及两个无公共点的图形W 1和W 2，若在图形W 1和W 2上分别存在点M (x 1, y 1 )和N (x 2, y 2 )，使得P 是线段MN 的中点，则称点M 和N 被点P “关联”，并称点P 为图形W 1和W 2的一个“中位点”，此时P ,M ,N 三个点的坐标满足x ＝122x x +，y ＝122y y + （1）已知点A (0,1)，B (4,1)，C (3,-1)，D (3,-2)，连接AB ,CD .①对于线段AB 和线段CD ，若点A 和C 被点P “关联”，则点P 的坐标为 ； ②线段AB 和线段CD 的一“中位点”是Q （2,－12），求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标；（2）如图 1，已知点R (－2,0)和抛物线W 1 : y = x 2 - 2x ，对于抛物线W 1上的每一个点M ，在抛物线W 2上都存在点N ，使得点N 和M 被点R “关联”，请在图1 中画出符合条件的抛物线W 2；（3）正方形EFGH 的顶点分别是E (-4,1)，F (-4,-1)，G (-2,-1)，H (-2,1)， ⊙ T 的圆心为T (3,0)，半径为1.请在图2 中画出由正方形EFGH 和 ⊙ T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积.。

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