人教版七年级数学下精编讲义

线与线的位置关系课前预习1.如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为________，即其中一个角是另一个角的________．2.如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为________，即其中一个角是另一个角的________．3.同角（等角）的余角_______，同角（等角）的补角_______．知识点睛1.平面上不重合的两条直线的位置关系只有两种，即______和______．2._______________________________________叫做平行线．3.平行的两个基本事实：___________________________________________________；___________________________________________________．4.垂直的定义：__________________________________________________________________________________________．5.垂直的两个基本事实：___________________________________________________；___________________________________________________．6.直线外一点到这条直线的___________________，叫做点到直线的距离．7.几何语言书写规范：①过点A作AC∥BD；②过点A作AC⊥BD，垂足为点C．8.有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角互为___________．9.有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角互为_________．对顶角__________．10.判断一件事情的语句，叫做命题．命题由_____和_____两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常可以写成“如果……,那么……”的形式．11.如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．精讲精练1.平面内三条两两相交的直线（）A．有一个交点B．有一个或三个交点C．有三个交点D．有两个交点2.在平面内有任意四个点，那么这四个点可以确定（）条直线．A．1或6B．4C．6D．1或4或63.下列推理正确的是（ ）A ．因a ∥b ，b ∥c ，故c ∥d B ．因a ∥b ，b ∥d ，故c ∥d C ．因a ∥b ，a ∥c ，故b ∥c D ．因a ∥b ，c ∥d ，故a ∥c4.如图，要从小河引水到村庄A ，请设计并作出一条最佳路线，理由是____________________________________．第4题图第5题图5.如图，P 是直线l 外一点，A ，B ，C 在直线l 上，且PB ⊥l ，那么下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到直线l 的距离是线段BP 的长度B ．PA ，PB ，PC 三条线段中，PB 最短C ．PA 是点P 到直线l 的垂线段D ．点A 到直线PB 的距离是线段AB 的长度6.（1）体育课上老师要测量学生的跳远成绩，其测量时主要依据是___________________________________________；（2）直线l 的同侧有A ，B ，C 三点，如果A ，B 两点确定的直线l 1与B ，C 两点确定的直线l 2都与l 平行，那么A ，B ，C 三点在一条直线上，它的依据是___________________________________________________________________．7.下列说法中正确的个数为（ ）①在同一平面内不相交的两条线段叫做平行线②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行④平行于同一条直线的两条直线平行A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B AC Pl8.下列推理中，错误的是（ ）A ．在m ，n ，p 三个量中，如果m =n ，n =p ，那么m =pB ．在∠A ，∠B ，∠C ，∠D 四个角中，若∠A =∠B ，∠C =∠D ，∠A =∠D ，则∠B =∠CC ．a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥cD ．a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，如果a ⊥b ，c ⊥b ，那么a ⊥c9.一个角的邻补角是60°，则这个角是________．10.如图，∠1，∠2是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．11.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD ，垂足为点O ，若∠BOE =50°，则∠AOD 的度数为_______．第11题图第12题图12.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OB 是∠DOE 的平分线，若∠COE =100°，则∠AOC 的度数为_______．13.如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，且AB ⊥CD ，OB 平分∠EOG ，若∠FOD =60°，则∠BOG 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．30°D ．无法确定12121221OEDCBAOEDC BAGOFEDCBA14.下列语句属于命题的是（）A．你吃过午饭了吗？B．过点A作直线MNC．同角的余角相等D．红扑扑的脸蛋15.已知下列命题：①两个锐角的和是锐角；②互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角；③若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2；④若∠1与∠2是邻补角，则∠1+∠2=180°；⑤若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角；⑥若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2是邻补角．其中是真命题的有_________．（填写序号）16.把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：如果__________________，那么__________________．【参考答案】课前预习1.余角；余角2.补角；补角3.相等；相等知识点睛1.相交，平行2.在同一平面内，不相交的两条直线3.①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行4.如果两条直线相交成直角，那么称这两条直线互相垂直5.①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短6.垂线段的长度8.邻补角9.对顶角；相等10.题设；结论精讲精练1. B2. D3. C4.垂线段最短5. C6.（1）垂线段最短（2）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行7. B8. D9.120°10.C11.140°12.40°13.C14.C15.③④16.两个角是对顶角；这两个角相等线与线的位置关系（随堂测试）1.在同一平面内互不重合的三条直线的交点个数可能是_____．2.下列命题是真命题的是__________（填序号）．①在同一平面内，两条直线不相交就平行②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③过一点有且只有一条直线与已知直线平行④在同一平面内，两条线段没有公共点，那么这两条线段互相平行3.如图，∠AOB=120°，OD丄OA，OC丄OB，则∠COD=_____．【参考答案】1.0，1，2，32.①②3.60°DBCO A线与线的位置关系（习题）巩固练习1.下列说法中正确的是（ ）A ．在同一平面内，两条不平行的射线必相交B ．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线C ．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行D ．一条直线有可能同时与两条相交直线平行2.已知同一平面内的直线l 1，l 2，l 3，如果l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，那么l 1与l 3的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．无法判断3.下列结论正确的是_____________（填序号）．①如果a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c ②如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ③如果a ∥b ，b ⊥c ，那么a ∥c ④如果a ⊥b ，b ∥c ，那么a ⊥c4.河边有一村庄（近似看作点A ），如果在河岸上建一码头（近似看作点B ），使村庄的人到码头最近，请作出点B ，依据是__________________________________________．5.如图：PC ∥AB ，QC ∥AB ，则点P ，C ，Q 在一条直线上，理由是______________________________________．AA BCPQ6.如图所示，直线AD ，CF 交于点O ，过点O 作射线OB ，OE ，点B ，O ，E 不在一条直线上，试写出图中所有的对顶角：__________________________________________________．第6题图第7题图7.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，写出所有互为余角的角：①_______与_______；②_______与_______；③_______与_______；④_______与_______．8.如图，CO ⊥AO ，DO ⊥BO ，垂足为点O ，则∠AOD =________，理由是_________________________________．第8题图第9题图9.如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ．（1）∠AOC 的邻补角为________________，∠BOE 的邻补角为____________；（2）∠DOA 的对顶角为________________，∠EOC 的对顶角为____________．10.如图，∠AOC =90°，∠BOC 与∠COD 互补，∠COD =115°，则∠AOB 的度数为_______．11.已知∠1与∠2互为邻补角，且∠1=110°，则∠2的余角的度数为_________．12.若互为邻补角的两个角的比是2:3，则其中较大角的度数为_________．A BCD ABCDOOFED CBAABCDO13.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ．（1）若∠EOC =70°，则∠BOD =_________；（2）若∠EOC :∠EOD =2:3，则∠BOD =_________．14.已知下列命题：①若|m |=|n|，则m =n ；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直；④相等的两个角互为对顶角．其中是假命题的有_______________．（填写序号）15.把命题“互为余角的两个角的和为90°”改写成“如果……那么……”的形式：如果_______________________，那么_______________________．【参考答案】 巩固练习1.C2.A3.②④4.图略，垂线段最短5.经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行6.∠AOF 与∠COD ，∠AOC 与∠DOF7.①∠A 与∠B②∠A 与∠ACD ③∠B 与∠DCB ④∠ACD 与∠DCB 8.∠COB ，同角的余角相等9.（1）∠AOD ，∠COB ；∠AOE ，∠BOF （2）∠COB ；∠FOD 10. 25°11.20°12.108°13.（1）35°；（2）36°14.①②③④OE D CBA15.两个角互为余角；这两个角的和为90°同位角、内错角、同旁内角（讲义）课前预习1.回顾余角、补角、对顶角有关内容，回答下列问题：（1）若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=______；（2）若∠1与∠2互为补角，则∠1+∠2=______；（3）若∠1与∠2互为对顶角，则____________．2.在同一平面内，_________________________叫做平行线．3.如图，三根木条相交成∠1，∠2．固定木条b ，c ，转动木条a ，当转动到a ∥b 时，用量角器测量一下∠1，∠2的度数，你会发现∠1_____∠2．（填“>”、“<”或“=”）知识点睛1.同位角、内错角、同旁内角：2.平行线的判定：①____________相等，两直线平行；②____________相等，两直线平行；③____________互补，两直线平行．3.平行线的性质：①两直线平行，____________相等；②两直线平行，____________相等；③两直线平行，____________互补．ab12345678cabc41238567精讲精练1.如图所示：（1）∠1和∠2是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（2）∠3和∠4是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（3）∠1和∠5是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角；（4）∠6和∠4是同位角吗？（5）∠1和∠4是内错角吗？（6）∠5和∠6是同位角吗？2.如图所示：（1）∠NOP和∠OMD是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角；（2）∠BON和∠DMN是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角；（3）∠AOM和∠CMO是直线______和直线______被直线_______所截得到的_________角．3.如图，在所标识的角中，是内错角的是（）A．∠1和∠BB．∠1和∠3C．∠3和∠BD．∠2和∠34.如图，判断正误：①∠1和∠4是同位角；（）②∠1和∠5是同位角；（）③∠1和∠3是内错角；（）④∠1和∠2是同旁内角．（）QDPBOMCAN第1题图123456abcd54321DC34B1 A25.请根据给出的图形完成推理过程：（1）若∠1=∠A ，则______∥______，理由是___________________________________________．（2）若∠1=∠DFE ，则______∥______，理由是___________________________________________．（3）若∠DEC +∠C =180°，则______∥______，理由是___________________________________________．（4）若∠ADE =_________，则DE ∥BC ，理由是___________________________________________．6.已知：如图，∠1=∠ADC ，∠DAB +∠ABC =180°．求证：（1）AB ∥CD ；（2）AD ∥BC ．7.如图，直线a 和直线b 被直线c 所截，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠8=180°．其中能判断a ∥b 的条件是（ ）A ．①②B ．②④C ．①②④D ．①②③④第5题图CE 1F BDA 第5题图1D CB A ab48623751c8.如图，已知AD ∥BC ，∠B =30°，DB 平分∠ADE ，则∠DEC =______．第8题图第9题图9.如图，AD ∥CE ，AB ∥CD ，∠C =50°，则∠DAB =______．10.如图，DH ∥EG ∥BC ，且DC ∥EF ，则图中和∠1（∠1本身除外）相等的角有________个.11.请根据给出的图形完成推理过程：（1）若∠1=∠2，则______∥______，理由是__________________________________________．（2）若∠3=______，则AB ∥CD ，理由是__________________________________________．（3）若∠DAB +∠ABC =180°，则______∥______，理由是__________________________________________．（4）若______∥______，则∠C +∠ABC =180°，理由是__________________________________________．（5）若AD ∥BC ，则∠3=______，理由是__________________________________________．DC E BAEDC BA1H G F E D CBAA BC31DE 212.请根据题意，完成推理并填空：如图，已知∠A =∠F ，∠C =∠D ．求证：BD ∥CE ．证明：如图，∵∠A =∠F（__________________________________）∴AC ∥DF （__________________________________）∴∠D =_______（__________________________________）∵∠C =∠D （__________________________________）∴∠1=∠C （__________________________________）∴BD ∥CE（__________________________________）【参考答案】课前预习1.（1）90°；（2）180°；（3）∠1=∠2．2.不相交的两条直线．3.=知识点睛2.①同位角；②内错角；③同旁内角．3.①同位角；②内错角；③同旁内角． 精讲精练1.（1）a ，b ，c ，同位；（2）a ，b ，d ，内错；1FEDABC（3）c，d，a，同旁内；（4）不是；（5）不是；（6）是．2.（1）OP，CD，NQ，同位；（2）AB，CD，NQ，同位；（3）AB，CD，NQ，同旁内．3.D4.①× ②√③√④√5.AB，EF，同位角相等，两直线平行．DF，AC，内错角相等，两直线平行．DE，BC，同旁内角互补，两直线平行．∠B，同位角相等，两直线平行．6.证明：（1）∵∠1 =∠ADC（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）（2）∵∠DAB+∠ABC=180°（已知）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）7. D8.60°9.50°10.511.（1）AB，CD，内错角相等，两直线平行．（2）∠A，同位角相等，两直线平行．（3）AD，BC，同旁内角互补，两直线平行．（4）AB，CD，两直线平行，同旁内角互补．（5）∠C，两直线平行，内错角相等．12.已知内错角相等，两直线平行∠1 两直线平行，内错角相等已知等量代换同位角相等，两直线平行同位角、内错角、同旁内角（随堂测试）1.如图所示：（1）∠1和∠2是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的________角；（2）∠3和∠A是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的________角；（3）∠C和∠1是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的________角；（4）∠3和∠C是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的________角．2.如图所示：（1）若∠2=__________，则AB∥CD，理由是_________________________________________．（2）若AD∥BC，则_______=∠5，理由是_________________________________________．（3）若∠BCD+_______=180°，则AB∥CD，理由是_________________________________________．3.请根据题意，完成推理并填空：如图，已知∠1=∠2．求证：∠C+∠DBC=180°．证明：如图，∵∠1=∠DGF（______________________________）∠1=∠2（______________________________）∴∠DGF=∠2（______________________________）∴BD∥CE（______________________________）∴∠C+∠DBC=180°（______________________________）第2题图54321D AB C第1题图AD31CB2第3题图21HGFEDCBA【参考答案】1.（1）CD ，AB ，BD ，内错（2）CD ，AB ，AD ，同位（3）BC ，BD ，CD ，同旁内（4）AD ，BC ，CD ，内错2.（1）∠4，内错角相等，两直线平行（2）∠B ，两直线平行，同位角相等（3）∠B ，同旁内角互补，两直线平行3.对顶角相等已知等量代换同位角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补同位角、内错角、同旁内角（习题）例题示范例1：如图，判断下列各组角的位置关系：①∠1与∠2；②∠1与∠7；③∠1与∠BAD ；④∠2与∠6．思路分析操作步骤：①找角；②找角的边所在的直线；③找到截线与被截线，判断角的位置关系．分析可得，∠1与∠2是________角；∠1与∠7是______角；∠1与∠BAD 是______角；∠2与∠6是______角．FE987654321DC BA巩固练习1.如图，直线CD 与∠O 的两边相交．（1）∠O 和∠2是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_________角；（2）∠2和∠8是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_________角；（3）∠2和∠5是直线_____和直线_____被直线______所截得到的_________角．第1题图第2题图2.如图，判断正误：①∠1和∠5是同位角；（ ）②∠2和∠5是内错角；（ ）③∠3和∠5是内错角；（）④∠1和∠4是同旁内角．（）3.如图所示，当____________________时，有AB ∥CE 成立，理由是___________________________________．（只需写出一个条件即可）第3题图 第4题图4.如图，若∠1=∠2，则下列结论：①∠3=∠4；②AB ∥CD ；③AD ∥BC ．其中正确的是______________．（填序号）D CBOA 87654321DBCA 52143321EC DBA4A BCD 2315.如图，点B 在DC 上，若BE 平分∠ABD ，∠DBE =∠A ，则BE _____AC ．理由如下：∵BE 平分∠ABD （______________________________）∴∠ABE =∠DBE （角平分线的定义）∵∠DBE =∠A （______________________________）∴_______=∠A （______________________________）∴BE _____AC（______________________________）6.已知：如图，E 为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1=∠2，AC ∥DF ．求证：∠C =∠D ．证明：如图，∵∠1=∠2（__________________________________）∠1=∠3（__________________________________）∴∠2=∠3（__________________________________）∴BD ∥CE （__________________________________）∴∠C =∠ABD （__________________________________）∵AC ∥DF（__________________________________）∴∠D =∠ABD （__________________________________）∴∠C =∠D（等量代换）EACBD E 312ACBDF思考小结1.动手操作：利用如图所示的方式，可以折出“过直线外一点和已知直线平行”的直线，依据是______________________．2.阅读材料什么是推理生活中，我们往往可以通过观察、实验来寻找规律，从而得出结论．但是要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有理有据地进行推理．过程．其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识．几何推理是我们中学接触最多的一种推理形式．要想进行严格的几何推理，首先要有一些对应前提．这些前提我们叫做“基本事实”或“定理”，比如我们学过的“同位角相等，两直线平行”、“两点确定一条直线”等都是一些基本事实．这些作为大前提，是我们进行推理的主要依据．而根据这些“基本事实”或“定理”，我们对某个句子进行判断或说明的过程就是证明．例如，如下的推理：已知：如图，∠ABC =∠1．求证：AD ∥BC ．证明：如图，∵∠ABC =∠1（已知）∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）我们分析可知，每一个判断都有自己的条件和结论．上述推理中的条件就是∠ABC =∠1，代表着一组同位角相等，而结论就是AD ∥BC ．由条件得到结论的过程叫做证明，而这个证明必须依据基本事实．我们把基本事实放在结论后的括号中，表明我们是以此为依据进行推理的．1DCBA【参考答案】例题示范同旁内，同位，同旁内，内错巩固练习1.（1）CD，OB，OA，同位；（2）OA，OB，CD，内错；（3）OA，OB，CD，同旁内．2.①× ②× ③× ④√3.∠1=∠2，同位角相等，两直线平行．（答案不唯一，前后一致即可）4.②5.∥已知已知∠ABE，等量代换∥，内错角相等，两直线平行6.已知对顶角相等等量代换同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等已知两直线平行，内错角相等思考小结1.同位角相等，两直线平行（或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行）几何推理初步（讲义）课前预习1.背默平行线的判定及性质．（1）平行线的判定：①_______________，_________________；②_______________，_________________；③_______________，_________________．（2）平行线的性质：①_______________，_________________；②_______________，_________________；③_______________，_________________．2.如图，已知OC平分∠AOB，∠AOB=70°，求∠AOC的度数．解：如图，∵OC平分∠AOB（_______________________）∴________________（_______________________）∵________________（_______________________）∴________________（_______________________）CO BA知识点睛在证明的过程中，由平行想到______、_______、________．对顶角模块书写如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，∠1=60°，求∠2的度数．解：如图，∵∠1=∠2 （_______________________）∠1=60° （已知）∴∠2=_____（_______________________）平行模块书写已知：如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ，∠1=50°，求∠2的度数．解：如图，∵AB ∥CD （_________________________）∴∠1=____（_________________________）∵∠1=50° （_________________________）∴∠2=____（_________________________）O 21DCBA21H G FECDBA精讲精练1.如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，DE ∥BA ，DF ∥CA ，∠A =50°，求∠EDF 的度数．解：如图，∵DE ∥BA （已知）∴∠A =∠DEC （_________________________）∵∠A =50°（已知）∴___________（_________________________）∵DF ∥CA （已知）∴___________（_________________________）∴∠EDF =50°（_________________________）2.如图，AB ∥CD ，AD 平分∠BAC ，若∠BAD =70°，求∠1的度数．FED CB A 1ABC D3.已知：如图，AB ∥EF ，AB ∥CD ，若∠C =60°，∠E =110°，求∠CAE 的度数．4.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C ，AB ∥CD ．求证：AD ∥BC ．证明：如图，∵AB ∥CD （已知）∴∠A +____=180°（_________________________）∵∠A =∠C （已知）∴∠C +____=180°（_________________________）∴AD ∥BC （_________________________）5.如图，已知直线AB 和直线CD 被直线EF 所截，交点分别为E ，F ，AB ∥CD ，EM 平分∠AEF ，FN 平分∠EFD ．求证：EM ∥FN ．F EDCBADCB ANM FE D CBA6.已知：如图，∠BAC +∠GCA =180°，∠1=∠2．求证：AE ∥CF ．7.已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B ．求证：∠AED =∠C ．证明：如图，∵∠1+∠2=180°（_____________________________）∠1+∠DFE =180°（_____________________________）∴______=______ （_____________________________）∴______∥______（_____________________________）∴∠3=∠ADE （_____________________________）∵∠3=∠B（_____________________________）∴∠ADE =∠B （_____________________________）∴______∥______（_____________________________）∴∠AED =∠C（_____________________________）CGDFEBA 12AD 23EF 1CB8.已知：如图，∠1=∠2，∠C =∠D ．求证：∠F =∠A ．证明：如图，∵∠1=∠2 （________________________________）∠1=∠DGF （________________________________）∴∠2=_______（________________________________）∴____∥____ （________________________________）∴∠D =_______（________________________________）∵∠C =∠D （________________________________）∴______=∠C （________________________________）∴____∥____ （________________________________）∴∠F =∠A （________________________________）9.已知，如图，∠1=∠ACB ，CD ⊥AB 于点D ，FH ⊥AB 于点H .求证：∠2=∠3．10.如图，∠E =∠1，∠3+∠ABC =180°，BE 是∠ABC 的平分线，∠A =70°，求∠3的度数．321F ED CBAAB C1GH 2FED 321HF ED CB A【参考答案】 课前预习1.（1）①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行．（2）①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补．2. 已知；角平分线的定义70°；已知70°=35°；等量代换知识点睛同位角、内错角、同旁内角对顶角相等60°；等量代换已知；两直线平行，同位角相等已知50°；等量代换精讲精练1.两直线平行，同位角相等∠DEC =50°；等量代换∠EDF=∠DEC ；两直线平行，内错角相等等量代换2.解：如图∵AD 平分∠BAC （已知）∴∠BAC=2∠BAD （角平分线的定义）∵∠BAD=70°（已知）∴∠BAC=2×70°=140°（等式的性质）∵AB ∥CD （已知）∴∠1+∠BAC =180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠1=180°-∠BAC=180°-140°12AOC AOB ∠=∠AOB ∠=12AOC ∠=⨯2∠=40°（等式的性质）3.解：如图∵AB ∥CD （已知）∴∠C +∠BAC =180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C=60°（已知）∴∠BAC =180°-∠C =180°-60°=120°（等式的性质）∵AB ∥EF （已知）∴∠E +∠BAE =180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠E=110°（已知）∴∠BAE =180°-∠E =180°-110°=70°（等式的性质）∴∠CAE =∠BAC -∠BAE=120°-70°=50°（等式的性质）．4.∠D ；两直线平行，同旁内角互补∠D ；等量代换同旁内角互补，两直线平行5.证明：如图∵AB ∥CD （已知）∴∠AEF =∠EFD （两直线平行，内错角相等）∵EM 平分∠AEF （已知）∴∠MEF=∠AEF （角平分线的定义）∵FN 平分∠EFD （已知）∴∠EFN=∠EFD （角平分线的定义）∴∠MEF=∠EFN （等式的性质）∴EM ∥FN （内错角相等，两直线平行）6.证明：如图∵∠BAC +∠GCA=180°（已知）∴AB ∥DG （同旁内角互补，两直线平行）∴∠BAC=∠DCA （两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠BAC -∠1=∠DCA -∠2（等式性质）1212即∠CAE=∠ACF∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）7.已知平角的定义∠2，∠DFE；同角的补角相等AB，EF；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等已知等量代换DE，BC；同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等8.已知对顶角相等∠DGF，等量代换CE，BD；同位角相等，两直线平行∠FEC；两直线平行，同位角相等已知∠FEC；等量代换DF，AC；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等9.证明：如图∵∠1=∠ACB（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠2=∠DCB（两直线平行，内错角相等）∵CD⊥AB，FH⊥AB（已知）∴∠BDC=∠BHF=90°（垂直的定义）∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行）∴∠3=∠DCB（两直线平行，同位角相等）∴∠2=∠3（等量代换）10.解：如图∵BE平分∠ABC的平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵∠E=∠1（已知）∴∠E=∠2（等量代换）∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）∴∠A+∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠3+∠ABC =180°（已知）∴∠3=∠A（同角的补角相等）∵∠A=70°（已知）∴∠3=70°（等量代换）几何推理初步（随堂测试）13.如图，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，求∠DEC的度数．【参考答案】1.解：如图，DCEBADCEB A几何推理初步（习题）巩固练习1.如图，AD ∥CE ，AB ∥CD ，求证：∠A =∠C ．方法一：解：如图∵AB ∥CD （已知）∴∠C =_____（__________________________）∵AD ∥CE （已知）∴∠A =_____（__________________________）∴_____=_____（等量代换）方法二：解：如图∵AD ∥CE （已知）∴∠C +_____=180° （__________________________）∵AB ∥CD （已知）∴∠D +_____=180°（__________________________）∴∠A =____（__________________________）2.已知：如图，AB ∥DE ，∠FAB =110°，求∠ACE 的度数．3.已知：如图，∠B=∠D =90°，∠C=60°，求∠A 的度数．FE AC BDDC BAEDCBA4.已知：如图，点E 在四边形ABCD 的边AD 的延长线上，∠3=∠A ，∠1=55°，求∠2的度数．5.已知：如图，BD ⊥AC ，EF ⊥AC ，垂足分别为D ，F ，G 是AB 上一点，且∠l=∠2．求证：∠AGD =∠ABC ．【参考答案】 巩固练习1.方法一：解：如图∵AB ∥CD （已知）∴∠C =∠ABE （两直线平行，同位角相等）∵AD ∥CE （已知）∴∠A =∠ABE （两直线平行，内错角相等）∴∠A =∠C （等量代换）方法二：解：如图∵AD ∥CE （已知）∴∠C +∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB ∥CD （已知）∴∠D +∠A =180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A =∠C （同角的补角相等）2.解：如图2E D13CBA GF EDCBA 21∵AB∥DE（已知）∴∠FAB=∠ACD（两直线平行，同位角相等）∵∠FAB=110°（已知）∴∠ACD=110°（等量代换）∴∠ACE=180°-∠ACD=180°-110°=70°（平角的定义）3.解：如图∵∠B=∠D=90°（已知）∴∠B+∠D=90°+90°=180°（等式的性质）∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C=60°（已知）∴∠A=180°-∠C=180°-60°=120°（等式的性质）4.解：如图∵∠3=∠A（已知）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）∵∠1=55°（已知）∴∠2=55°（等量代换）5.证明：如图，∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）∴∠BDC=∠EFC=90°（垂直的定义）∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）∴∠2=∠DBC（两直线平行，同位角相等）∵∠l=∠2（已知）∴∠1=∠DBC（等量代换）∴GD∥BC（内错角相等，两直线平行）∴∠AGD=∠ABC（两直线平行，同位角相等）平方根和立方根（讲义）课前预习1.填空：(_____)2=0；(_____)2=4；(_____)2=9；(_____)2=16．由上述运算可知：①零的平方是______；任何非零数的平方都是______；任何数的平方都是_______；_______（填“存在”或“不存在”）某个数的平方是负数．②互为相反数的两个数的平方________．知识点睛1.平方根：_____________________________________________________________________________，也叫做____________，记作________，读作“____________”．2.一个正数有_____个平方根，它们____________；0有____个平方根，是________；负数________平方根．3.算术平方根：_______________________________________________________________________________，记作_______，读作“________”．0的算术平方根是______．4.求一个数a 的平方根的运算，叫做_____，其中a 叫做_______．5.立方根：_______________________________________________________________________________，也叫做__________，记作________，读作“____________”．6.正数的立方根是______；0的立方根是______；负数的立方根是______．7.求一个数a 的立方根的运算叫做______，其中a 叫做_______．精讲精练1.的平方根是_________；2的算术平方根是_______．2.的值为______的平方根为______；的算术平方根是______的平方根是______．3.____________；______；若x 2=(-7)2，则x =__________．4.下列各式中，正确的是（ ）AB ．412114⎛⎫⎪⎝⎭-2+==2==0.6=±C D 13=6=±5.下列各式中，正确的是（）A ．-(-7)=7B ．=1C D6.下列说法正确的是（ ）A ．-2是-4的平方根B ．2是(-2)2的算术平方根C ．(-2)2的平方根是2D ．8的平方根是47.下列说法正确的是（ ）A ．-81的平方根是±9B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数C ．任何一个非负数的算术平方根都不大于这个数D ．2是4的平方根8.一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是__________．9.，则2x+5的平方根是______；若2m +2的平方根是±4，3m +n +1的算术平方根是5，则m +2n 的值是_____．10.____；____________．11.一个正数的平方根是a +2与2a -5，求这个正数．12.=，，其中正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．413._________；_________；________；_________．14.下列说法正确的是（ ）A ．-4没有立方根B ．1的立方根是C ．的立方根是D ．-5的立方根是15.下列说法错误的是（）A ．2是8的立方根B ．±4是64的立方根41221332244=+=0.1=±2=2=2===340.1=10=27=-====1±3616135-C ．是的立方根D ．(-4)3的立方根是-416.________；_________；_________；_________．17.下列说法正确的是（）A ．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B ．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是-1，0，1中的一个D ．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数一定是1或者018.的平方根是________的立方根是________．19.若a 2=1，则=______．20.若x=，则=________．21.若x <0，则=________，=________．【参考答案】 课前预习1.0；；；①0；正数；非负数；不存在②相等知识点睛1.一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根二次方根；a 2.两，互为相反数；一，0本身；没有3.一般地，如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根a ；04.开平方，被开方数5.一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根13-127-3=3===3a 32x 33x 2±3±4±a 6.正数；0；负数7.开立方，被开方数精讲精练1.；2.2；；3.8；0；；4.C5.B6.B7.D8.9.；1310.a ；-a ；；11.912.B13.3；-10；-5；14.D 15.B16.a ；-a ；a ；-a 17.C 18.；219.20.221.-x ，x211±142±147±3±a a 162±1±平方根和立方根（随堂测试）1.下列说法正确的是（ ）A ．的算术平方根是±6B的平方根是±6C ．5是25的算术平方根D ．25的立方根是±52.______________．3.=_______．4.一个正数的平方根是和，求这个正数．【参考答案】1.C2.3.8，24.这个正数是252(6)-3(++27a -4a +平方根和立方根（习题）例题示范例1：一个正数的平方根是a +1与-2a +1，求这个正数．解：∵一个正数的平方根是a +1与-2a +1∴a +1+(-2a +1)=0∴a =2∴a +1=3，-2a +1=-3∵(±3)2=9∴这个正数是9例2的平方根是__________．思路分析数学符号语言与文字语言同时出现，分两步运算，先开立方，再开平方．=4，标注在旁边；第二步：转化为“4的平方根是_____”，4的平方根是±2．的平方根是±2．巩固练习1.下列说法错误的是（）A BC ．2的平方根是D ．-81的平方根是2.下列说法正确的是（）A ．-0.064的立方根是0.4B ．-9的平方根是C ．16D ．0.01的立方根是0.000 0013.下列说法正确的是（ ）A ．7是49的算术平方根，即B ．7是的算术平方根，即C ．是49的平方根，即D ．是49的平方根，即4.若和都有意义，则满足的条件是（）1=1=-9±3±749±=2)7(-7)7(2=-7±749=±7±749±=a a -aA ．B ．C ．D ．5.一个正数的两个平方根的和是________，商是___________．6.若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则该数是______．7.算术平方根等于它本身的数是______________，立方根等于它本身的数是______________．8._______________；______________；=_______．9.若一个数的平方根是，则这个数的立方根是_________．10._______；的算术平方根是_________．11.=________．12.若=__________．13.当m _________有意义．14.有意义，则a 能取得的最小整数为________．思考小结1.请根据平方根和立方根的定义回答下列问题：①一个数的平方等于它本身，这个数是_______．②平方根等于它本身的数是_________．③算术平方根等于它本身的数是__________．④立方根等于它本身的数是_________．⑤一个数的立方等于它本身，这个数是_______．2.对于任意数a a吗？一定等于a 吗？①当a ≥0，当a <0=____a ．a ≥0a ≤0=a 0a ≠====28±2(9)-0a ≥3+2②对于，a 作为被开方数，所以a _____0，因为乘方和开方互为_________，所以_______a ．【参考答案】巩固练习1.D 2.C 3.B 4.C 5.0，-16.1或07.1，0；±1，08.0.3；0.3；；4；-6；1969.410.；911.4；12.013.≤314.1 思考小结1.①0，1；②0；③0，1；④-1，0，1；⑤-1，0，12.①，，≠②≥，逆运算，=223414a a -实数综合应用（讲义）知识点睛1.________________________________叫做无理数．无理数的和、差、积、商________是无理数．2.________________________________统称为实数．实数和数轴上的点是一一对应的．3.数a 的相反数是________．一个正实数的绝对值是_______；一个负实数的绝对值是__________；0的绝对值是_______．4.无理数的整数部分与小数部分的整数部分与小数部分．解：∵，∴<2，的整数部分为1，小数部分为．5.比较大小的方法：估值法，作差法，乘方法．精讲精练1.已知：，，，，3.141 59，-1，0.202 002 000 2…（相邻两个2之间0的个数逐次加1）．其中，是有理数的有___________________________________，是无理数的有_______________________________________．2.下列说法正确的是（ ）A ．无限小数都是无理数B ．实数都能用数轴上的点表示C ．带根号的数都是无理数D ．无理数的和都是无理数3.下列说法中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（ ）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．①②4.计算：11-11)12--=-122π∙7.3227-（1）； （2（3； （4； （5；（6．5.的值（）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间6.a 和b之间，即a b ，则a+b =______．7.若的整数部分是a ，小数部分是b ，则a=______，b =______．8.若和a 和b ，则a +b =____．9.用适当的方法比较下列各组数的大小．（1）与；（2）7；+2--++2-937+387-3+（3；（4；（5；（6）与． 10.已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，11.已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，0.58-5335+12.自由下落物体的高度h (m)与下落时间t (s)的关系是h =4.9t 2．有一学生不慎让一个玻璃杯从19.6米高的楼上自由下落，则玻璃杯到达地面需要多长时间？13.一个正方体木块的体积为1 000 cm 3，现要把它锯成8块同样大小的正方体小木块，则小木块的棱长是多少？【参考答案】知识点睛1.不循环小数，不一定2.有理数和无理数 3.-a ；它本身；它的相反数；0精讲精练1.属于有理数的是，，，3.141 59，-1属于无理数的是，0.202 002 000 2…2.B 3.C 4.（1；（2；（3）；（4）4；（5）13；（6）12 3.7∙227-2π21155。