“中考数学专题复习 圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”

一.名称由来

在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。

正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！

二.模型建立

【模型一：定弦定角】

【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】

【模型三：直角所对的是直径】

【模型四：四点共圆】

`

三．模型基本类型图形解读

【模型一：定弦定角的“前世今生”】

【模型二：动点到定点定长】

【模型三：直角所对的是直径】

【模型四：四点共圆】

四．“隐圆”破解策略

牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。

直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备

3

六．“隐圆”典型例题

【模型一：定弦定角】

1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足

∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。

简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离），

此时B P=2 -2

2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。

3 2

2 简答：因为∠AOB =30°（定角），AB =2（定弦），故 A 、B 、O 三点共圆，圆心角为 60°，故以 AB 为边向 O 方向作等边△ABQ ，∠AQB =60°为圆心角，Q 为圆心，以 QA 为半径作 ⊙ Q （ 如 图 2 ）， 由 知 识 储 备 二 可 知 当 OC ⊥ AB 时 ， OC 距 离 最 大 ，

OC =OQ +QH +HC =2+

+ =2+2 【思考：若∠BOD =45°呢（提示：需要构造倍角

模型）】 3. 如图 1，点 A 是直线 y =-x 上的一个动点，点 B 是 x 轴上的动点，若 A B =2，则△AOB 面积最大值为（

） A. 2 B.

1 C.

1

D.

2

简答：因为 AB =2（定弦），∠AOB =135°（定角），因为∠AOB 是圆周角，故圆心角为 90°，以 A B 为斜边向上方作等腰直角△QAB ，则 Q 为圆心（如图 2），由“知识储备二”可知，当 OQ ⊥ AB 时 ， 此 时 △ OAB 的 高 OH 最 大 ， 面 积 最 大 。 面 积 为 1 AB OH 1 2 ( 2 1) 2 2 2 1 ，所以此题选择 B 。 同学：老师，你说错答案了，选 C 。 小段老师：没错啊，就选 B 啊。同学：你是老师，你说了算，你开心就好...

3 3 2

3

3

小段老师：题目有告诉你们A、B 在哪里吗，为什么想当然觉得∠AOB=135°呢，难道不可能

等于 45°吗如图 3，构建⊙Q，由“知识储备二”可知当OQ⊥AB 时，此时△OAB 的

面积最大为

1

AB OH

1

2 ( 2

+1)

2 2

2 +1 ，故答案选B

4.如图 1，AC 为边长为2 的菱形ABCD 的对角线，∠ABC=60°，点M、N 分别从点B、

C 同时出发，以相同速度沿BC、CA 向终点C 和A 运动，连接AM 和BN，求△APB 周长的最大值

简答：如图 2，由M、N 点速度相同可知BM=CN，易证△ABM≌△BCN，故∠NBC=∠BAM （如图2），又因为∠NBC+∠ABN=60°，所以∠BAM+∠ABN=∠APN=60°（外角性质），所以∠APB=120°（定角），又因为AB长度固定（定弦），故以AB为底向左侧构建等腰△QAB，∠AQB=120°，则P 在⊙Q 上，由“知识储备三”可知，当△ABP 是等腰三角形时，

△ABP 周长最短。又由△APB 是定角为120°的等腰三角形，故A P:BP:AB=1:1: ，AB=AC=2，故PB=PA=2，故△ABP 的周长最大值为 4+2

【模型二：动点到定点定长】

1.如图1，四边形A BCD 中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD= 度。

简答：如图 2，因为AB=AC=AD，故B、C、D 三点在以A 为圆心的圆上，故∠CBD=

1 ∠

2 CAD=38°

2.如图，在△ABC 内有一点D，使得D A=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB= 。

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简答：如图 2，因为 DA =DB =DC ，故 A 、B 、C 三点在⊙D 上，∠DAB =∠DBA =20°，故∠

ADB =140°，故∠ACB = 1

∠ADB =70°

2

3. 如图 1，已知四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB =AC =AD =5，BC =6，求 BD

简答：因为∠1=∠2，AD ∥BC ，故∠3=∠1，∠4=∠2，故易证△AEB ≌△ACD ，故 EB =CD =6， ED =2AD =10，故 BD =8

4. 如图 1，长 2 米的梯子 AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子 AB 的中点 P 的移动轨迹长度为

.

简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP =1，动点 P 到定点 O 的距离始终等于 1， 满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故 P 的运动轨迹是圆弧，圆心角为 90°，轨迹长度为四分之一圆的长度，省略。

5. 在矩形 ABCD 中，已知 AB =2，BC =3，现有一根长为 2 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即