加法原理和乘法原理及多重集的排列组合(课堂PPT)

直线个数为:
C225
25! 2!23!
300
• 与之类似，每3个点确定一个三角形，因此，所确定的三角形的个数
为:
C325
25! 3!22!
11
多重集的排列
• 多重集指的是集合S中有多个无区分的重复出现的元素。如：S{2·a， 1·b，3·c}指的是集合S中含有2个a，1个b，3个c，同名元素没有区 别。
• 排列数为C(n，n1 )×C(n，n 2 )×……C(n，n k )=
n！
n1！n
2！
n
！
k
• 令S是一个多重集，有k个不同的元素，每个元素都有无限重复次数， 则S的r-排列数：kr
12
多重集排列应用
•单词MISSISSIPPI的字母排列数为：
•解：相当于多重集{1·M,4·I,4·S,2·P}的排列数
•
如果r>n,则
C
r n
=0
•
如果r≤n，C
r n
n! r!(n r)!
10
集合组合的应用
• 例：平面上给出25个点，没有3个点共线。这些点确定多少条直线？ 确定多少个三角形？
• 解：因为没有3个点处于同一条直线上，每一对点就确定一条直线。
因此，所确定的直线的数目等于25-个元素集的2-组合数，所取代的
14
多重集组合
•我们可以这样理解，用1代表组合中的一个元素，共有r个1，用*代表分 割符，有（k-1）个。将*插入r个1中，形成了1个新的多重集
•示例：{1111*11*111*1} 代表元素总数为10，分成4种。
•第一个*之前为x1 ，之后依次为 x 2 ，x 3 ，x4 其个数分别为4个，2个， 3个，2个。
• 对于正整数n和r，r≤n，有 P（n，r）=n×（n-1）×（n-2）×（n-3）×……×（n-r+1）
•
P（n，r）也可以表示为
Pnr
（n
n！ - r）！
7
集合排列的应用
• 例：将字母表中26个英文字母排序，使得元音字母a,e,i,o,u中任意 两个都不能相继出现，这种排序的方法的总数是多少？
5
乘法原理应用
•例：粉笔有3种不同的长度，8种不同的颜色，4种不同的直径。粉笔有 多少个不同的种类？ •解：3个属性之间没有限制条件，应用乘法原理： 3×8×4=96种
6
集合的排列
• 令r为正整数。我们把n个元素的集合S的一个r-排列理解为n个元素中 的r个元素的有序排列
Leabharlann Baidu
• 我们用P(n，r)表示n个元素 的r-排列的个数。如果r>n，则P(n， r r)=0
加法原理和乘法原理
1
总体结构
• 1 加法原理 • 2 乘法原理 • 3 集合的排列 • 4 集合的组合 • 5 多重集的排列 • 6 多重集的组合
2
加法原理
加法原理（addition principle）
• 把集合S划分为S1,S2,…,Sn这n块，则S的个数可以通过找到它的每一 个部分的元素的个数来确定，我们把这些数相加，得到： ︱S︱＝︱S1︱＋︱S2︱＋…＋︱Sn︱ 注意，运用加法原则，把要计数的集合S划分成不太多的易于处理的 块S1, S2,…, Sn
• 多重集的表示S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak} • 如果S是1个多重集，那么S的一个r-排列是S的r个元素的一个有序排
放。如果S的元素总数是n（包括计算重复元素），那么S的n-排列也 成为称为S的排列。
• 令S是一个多重集，有k个不同类型的元素，每个元素的重数为
n1，n2，nk ，设S的大小为 S n1 n2 nk
即：
1！41！14！！2！ 34650
13
多重集组合
•如果S是1个多重集，那么S的r-组合数S中的r个元素的一个无序选择。
因此，S的一个r-组合本身就是一个多重集——S的一个含r个元素的子多
重集。
•令S为具有k种类型元素的一个多重集，每种元素均具有无限的重复数。
则S的r-组合的个数等于
也就是
Cr rk 1
3
加法原理应用
• 例：一名学生想选修一门数学课程或者一门生物课程。现有4门数学 课程和3门生物课程作为该生的选课范围，那么该生的选择有几种？
• 解：应用加法法则:4+3=7(种)
4
乘法原理
乘法原理（multiplication principle）
•令S是元素的序偶（a,b）的集合，其中第一个元素来自大小为p的一个 集合，而对于a的每个选择，元素b存在着q种选择。于是S的大小为p×q； |S|=p×q •如果某事件能分成连续n步完成，第一步有r1种方式完成，且不管第一 步以何种方式完成，第二步都始终有r2种方式完成，而且无论前两步以 何种方式完成，第三步都始终有r3种方式完成，以此类推，那么完成这 件事共有r1×r2×…×rn种方式 •注意，运用乘法原则，后步结果可随前步结果而变化，但每一步完成方 式的数量却是固定不变，不依赖任何一步。
• 解： 首先要确定21个辅音字母的排序问题，辅音字母的排列方式有21！
种。因为元音字母不能相连，所以只能将元音字母放在辅音字母中 间的“空隙”里，22个空间放5个元音字母，其排列数为P(22,5).所 以排序的方法数为:
21! 22! 17!
8
集合的循环排列
• 如果不将集合S中的元素排列成线性而是排列成环形，称为循环排列。 如下图所示的循环排列所对应的线性排列有：
•证：S={∞· a 1，∞·a 2 ，…… ∞· a k }
• S的任意一个r-组合均呈{x1·a1,x2·a 2 ,…,xk·ak}，其中x1 + x2 +...+ xk =r， xi 为非负整数。满足x1 + x2 +...+ xk =r的一组序列 x1，x2，……xk 对应S的一个r-组合。 S的r-组合的个数等于x1 + x2 +...+ xk =r的解的个数
•S的组合数可以理解为在（r+k-1）中找到（k-1）个位置放分隔符
C 即
C k -1 rk 1
=
r rk 1
15
多重集组合应用
•例：一家面包房生产8种面包圈。如果1盒含有12个面包圈，能够买到多
• » 123456 234561 345612 456123 561234 612345 » 共6个
» 循环排列的一般公式为：
P(n, r) r
9
集合的组合
• 令r为非负整数。我们把n个元素的集合S的r-组合理解为从S的n个元
素中对r个元素的无序选择。换句话说，S的一个r-组合是S的一
个子集，该子集由S得n个元素中的r个组成，即S的元素一个r-子集。