2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三(上)第一次联考数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第一次联考数学

试卷1

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知全集U =R ，集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|0≤x <2}，则A ∩(∁U B)=( )

A. {−1,3}

B. {0,1}

C. {−1,2，3}

D. {−1,0，3} 2. 已知复数z =−1i −1，则它的共轭复数z −在复平面内对应的点的坐标为( ) A. (−1,−1) B. (−1,1) C. (1,2) D. (1,−2)

3. “x <1”是“log 2(x +1)<1”的( )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何。”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等。”(“钱”是古代的一种重量单位)，则其中第二人分得的钱数是( )

A. 56

B. 1

C. 76

D. 4

3 5. 函数f(x)=x 3

3+sinx 的图像大致为( ) A. B. C. D.

6. 设a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则c ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )的最大值为( )

A. 2

B. √2

C. 1

D. 0 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2+bc ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则△ABC

的面积是( ) A. √3 B. 2√3 C. 4 D. 4√3

8. 将函数的图象向左平移π

4个单位得到f (x )的图象，则( ) A. f (x )=sin2x

B. C. f (x )=−sin2x D. 9. 设a =0.32，b =20.3，c =log 0.34，则( ) A. b

B. c

C. b

D. c

f(2222)=( ) A. 0

B. 1

C. 5

D. −5 11. 已知函数

若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是

( ) A. [−1,0) B. [0,+∞) C. [−1,+∞) D. [1,+∞)

12. 已知函数f(x)的定义域为R ，其导函数为fˈ(x)，对任意x ∈R ，fˈ(x)>f(x)恒成立，且f(1)=1，

则不等式ef(x)>e x 的解集为( )

A. (1,+∞)

B. [1,+∞)

C. (−∞,0)

D. (−∞,0]

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=log 1

2

(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ． 14. 已知π<α<2π，cos(α−7π)=−35，则sin(3π+α)tan(α−

7π2)的值为______。 15. 若f(x)=ln(e 3x +1)−ax 是偶函数，则a =__________．

16. 设S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =na n −3n(n −1)(n ∈N ∗)，且a 2=11，则S 20的值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知数列{a n }为等差数列，公差d >0，且a 1a 4=27，S 4=24．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．

18. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C +B)cos(C −B)=cos 2A −sinCsinB ．

(1)求A；

(2)若a=3，求b+2c的最大值．

)+2，求：

19.已知函数y=√3cos(2x−π

6

(1)函数的最小正周期；

(2)函数图象的对称轴方程和对称中心；

(3)函数最大值及取得最大值时对应的x的集合．

20.在等比数列{a n}中，a3=9，a4+9a2=54．

(1)求{a n}的通项公式；

(2)若b n=(2n+1)a n，求数列{b n}的前n项和S n．

21.已知函数f(x)=ln(ax+1)+x3−x2−ax．

(I)若x=2

为f(x)的极值点，求实数a的值；

3

(Ⅱ)若y=f(x)在[1,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)若a=−1使，方程f(1−x)−(1−x)3=b

有实根，求实数b的取值范围．

x

22.已知函数f(x)=2e x−ax−2(x∈R,a∈R)．

(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(Ⅱ)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：

【分析】

本题考查集合的交、补混合运算．

先求出集合B的补集，再进行交集运算即可．

【解答】

解：∵B={0≤x<2}，∴∁U B={x<0或x≥2}

∴A∩(∁U B)={−1,2，3}

故选C．

2.答案：A

解析：

【分析】

根据复数的运算，化简得z=−1+i，根据共轭复数的概念，即可求解．

本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

【解答】

−1=−1+i，z−=−1−i，对应点的坐标为(−1,−1)，

解：z=−1

i

故选：A．

3.答案：B

解析：

【分析】

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．“”⇔0

【解答】

解：“”⇔0

∴“x<1”是“”的必要不充分条件．

故选B．