2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三(上)第一次联考数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|0≤x <2}，则A ∩(∁U B)=( )A. {−1,3}B. {0,1}C. {−1,2，3}D. {−1,0，3} 2. 已知复数z =−1i −1，则它的共轭复数z −在复平面内对应的点的坐标为( ) A. (−1,−1) B. (−1,1) C. (1,2) D. (1,−2)3. “x <1”是“log 2(x +1)<1”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何。

”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等。

”(“钱”是古代的一种重量单位)，则其中第二人分得的钱数是( )A. 56B. 1C. 76D. 43 5. 函数f(x)=x 33+sinx 的图像大致为( ) A. B. C. D.6. 设a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则c ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )的最大值为( )A. 2B. √2C. 1D. 0 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2+bc ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则△ABC的面积是( ) A. √3 B. 2√3 C. 4 D. 4√38. 将函数的图象向左平移π4个单位得到f (x )的图象，则( ) A. f (x )=sin2xB. C. f (x )=−sin2x D. 9. 设a =0.32，b =20.3，c =log 0.34，则( ) A. b <a <cB. c <b <aC. b <c <aD. c <a <b 10. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +1)+f(x −1)=0，且当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2+1，则f(2222)=( ) A. 0B. 1C. 5D. −5 11. 已知函数若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A. [−1,0) B. [0,+∞) C. [−1,+∞) D. [1,+∞)12. 已知函数f(x)的定义域为R ，其导函数为fˈ(x)，对任意x ∈R ，fˈ(x)>f(x)恒成立，且f(1)=1，则不等式ef(x)>e x 的解集为( )A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ． 14. 已知π<α<2π，cos(α−7π)=−35，则sin(3π+α)tan(α−7π2)的值为______。

15. 若f(x)=ln(e 3x +1)−ax 是偶函数，则a =__________．16. 设S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =na n −3n(n −1)(n ∈N ∗)，且a 2=11，则S 20的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }为等差数列，公差d >0，且a 1a 4=27，S 4=24．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C +B)cos(C −B)=cos 2A −sinCsinB ．(1)求A；(2)若a=3，求b+2c的最大值．)+2，求：19.已知函数y=√3cos(2x−π6(1)函数的最小正周期；(2)函数图象的对称轴方程和对称中心；(3)函数最大值及取得最大值时对应的x的集合．20.在等比数列{a n}中，a3=9，a4+9a2=54．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=(2n+1)a n，求数列{b n}的前n项和S n．21.已知函数f(x)=ln(ax+1)+x3−x2−ax．(I)若x=2为f(x)的极值点，求实数a的值；3(Ⅱ)若y=f(x)在[1,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围；(Ⅲ)若a=−1使，方程f(1−x)−(1−x)3=b有实根，求实数b的取值范围．x22.已知函数f(x)=2e x−ax−2(x∈R,a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查集合的交、补混合运算．先求出集合B的补集，再进行交集运算即可．【解答】解：∵B={0≤x<2}，∴∁U B={x<0或x≥2}∴A∩(∁U B)={−1,2，3}故选C．2.答案：A解析：【分析】根据复数的运算，化简得z=−1+i，根据共轭复数的概念，即可求解．本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．【解答】−1=−1+i，z−=−1−i，对应点的坐标为(−1,−1)，解：z=−1i故选：A．3.答案：B解析：【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．“”⇔0<x+1<2⇔−1<x<1，即可判断出结论．【解答】解：“”⇔0<x+1<2⇔−1<x<1，∴“x<1”是“”的必要不充分条件．故选B．4.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a −2d ，a −d ，a ，a +d ，a +2d ，则由题意可知，a −2d +a −d =a +a +d +a +2d ，又a −2d +a −d +a +a +d +a +2d =5a =5，联立解得．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a −2d ，a −d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a −2d +a −d =a +a +d +a +2d ，即a =−6d ，又a −2d +a −d +a +a +d +a +2d =5a =5，∴a =1，d =−a 6=−16，则a −d =1−(−16)=76．故乙得76钱．故选：C ． 5.答案：D解析：【分析】本题考查函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性与奇偶性，属于基础题．利用函数的奇偶性和导数是解决本题的关键．【解答】解：，x ∈R ，∴f(x)是奇函数，则函数图象关于原点对称，排除B ，函数的导数恒成立．则f(x)在R 上是增函数．故选D ． 6.答案：B解析：【分析】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．由题意可设a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(0,1)，c ⃗ =(cosθ,sinθ)，代入c ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )，利用辅助角公式化简即可求得c ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )的最大值．【解答】解：由a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，可设a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(0,1)，c⃗ =(cosθ,sinθ)， ∴c ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=(cosθ,sinθ)⋅(1,1)=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)≤√2． ∴c ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )的最大值为√2．故选：B ．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查三角形面积的计算，余弦定理以及向量数量积应用，属于基础题．根据余弦定理求出cos A 的值，结合向量数量积以及三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵b 2+c 2=a 2+bc ，∴b 2+c 2−a 2=bc ，2bccosA =bc ，则cosA =12，又A ∈(0,π)，所以sinA =√1−(12)2=√32， ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4， ∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =4， 即bc =8，则△ABC 的面积为S =12bcsinA =12×8×√32=2√3， 故选B ． 8.答案：C解析：【分析】本题主要考查三角函数的图象平移变换，属于基础题．【解答】解：将函数的图象向左平移π4个单位得到f (x )的图象，则．故选C．9.答案：D解析：【分析】本题考查指数函数与对数函数的性质，属基础题目．利用指数函数、对数函数单调性比较函数值大小．【解答】解：由函数y=0.3x性质易知，当x>0时0<y<1，所以0<a=0.32<1．由函数y=2x性质易知，当x>0时y>1，所以b=20.3>1．由函数y=log0.3x性质易知，当x>1时y<0，所以c=log0.34<0．所以c<a<b．故选D．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数值的计算，根据条件求出函数的周期性，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键，属于中档题．根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为4的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵f(x)为R上的奇函数，且满足f(x+1)+f(x−1)=0，令x取x+1，得f(x+2)+f(x)=0,f(x+2)=−f(x)，令x取x+2，得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，∴f(x)是以周期为4的函数，∴f(2222)=f(2)=−f(0)，f(x)为R上奇函数，即f(0)=0，∴f(2222)=f(2)=−f(0)=0，故选A．11.答案：C解析：【分析】本题主要考查分段函数的零点，考查学生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，难度一般．分离参数画出函数图象，再根据函数零点与根的关系结合函数图象即可得到答案．【解答】解：函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程f(x)=−x−a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y=−x−a有2个交点．作出直线y=−x−a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，−a≤1，解得a≥−1，故选C．12.答案：A解析：【分析】本题考查了函数单调性与导数的关系，构造g(x)=f(x)e x是解题关键，是中档题．构造g(x)=f(x)e x，通过g′(x)>0，由g(x)的单调性得出答案．【解答】解：∵f′(x)>f(x)，∴f′(x)−f(x)e x >0，∴e x f′(x)−e x f(x)(e x)2>0，令g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=ex f′(x)−e x f(x)(e x)2>0，∴g(x)在R 上是增函数．∵ef(x)>e x ，∴f(x)e x >1e ，即g(x)>g(1)=1e ． ∴x >1．故选：A ．13.答案：[5,+∞)解析：【分析】本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t =x 2−6x +5，由x 2−6x +5>0，解得x <1或x >5.在(5,+∞)t =x 2−6x +5是递增的，y =log 12x 也是递减的，所以f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a ≥5． 【解答】解：设t =x 2−6x +5x 2−6x +5>0，解得x <1或x >5.在(−∞,1)上t =x 2−6x +5是递减的，y =log 12x 也是递减的，所以f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t =x 2−6x +5是递增的，y =log 12x 也是递减的，所以f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a ≥5． 故答案为[5,+∞)．14.答案：35解析：【分析】本题考查诱导公式及同角三角函数基本关系式在化简求值中的应用，根据条件结合诱导公式即可求出结果，属基础题．【解答】解：cos(α−7π)=cos(α−π)=−cosα=−35，所以cosα=35，所以sin(3π+α)tan(α−7π2)=−sinα·sin(α−7π2)cos(α−7π2)=−sinα·cosα−sinα=cosα=35． 故答案为35．15.答案：32解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型．直接利用偶函数的定义f(−x)=f(x)恒成立求解即可得．【解答】解：由偶函数的性质可得，所以即，解得a=3．2．故答案为3216.答案：1240解析：【分析】本题考查了数列的递推关系、等差数列的通项公式和等差数列的求和，属于中档题．先由S2=a1+a2=2a2−3×2×1，得a1=5，由当n≥2时，由a n=S n−S n−1，a n−a n−1=6,(n≥2)，所以数列{a n}是首项a1=5，公差为6的等差数列，求和即可．【解答】解：由S2=a1+a2=2a2−3×2×1，得a1=5，当n≥2时，由a n=S n−S n−1，得a n=na n−3n(n−1)−[(n−1)a n−1−3(n−1)(n−2)]，∴(n−1)a n−(n−1)a n−1=6(n−1)，即a n−a n−1=6,(n≥2)，∴数列{a n}是首项a1=5，公差为6的等差数列，∴S20=20×5+20×19×6=1240，2故答案为1240．17.答案：解：(1)由题意可知，S4=4(a1+a4)2=24，∴a1+a4=12，又a1a4=27，d>0，∴a1=3，a4=9，d=2，∴a n=2n+1，故数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；(2)由(1)可知，b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，．解析：本题考查等差数列的基本量的运算以及利用裂项相消法求和，属于中档题．(1)由等差数列的通项公式，先求出首项与公差，再得到通项；(2)将b n裂项，然后利用裂项相消法求和．18.答案：解：(1)∵cos(C+B)cos(C−B)=cos2A−sinCsinB=cos2(C+B)−sinCsinB，∴cos(C+B)[cos(C−B)−cos(C+B)]=−sinCsinB，则−cosA·2sinCsinB=−sinCsinB，可得，∵0<A<π，∴A=π3．(2)由，得，其中，φ∈(0,π2)．由B∈(0,2π3)，得B+φ∈(0,7π6)，∴sin(B+φ)的最大值为1，∴b+2c的最大值为2√21．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由正弦定理化简已知等式可得b 2=a 2+c 2−ac ，由余弦定理可得cosA =12，结合范围A ∈(0,π)，可得A 的值．(2)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，其中tanφ=√32，利用正弦函数的性质可求其最大值．19.答案：解：(1)由函数，最小正周期为；(2)由函数，令，k ∈Z ，解得，k ∈Z ，∴函数y 图象的对称中心为，k ∈Z ；令，k ∈Z ，解得，k ∈Z ， ∴函数y 的对称轴方程为，k ∈Z ．(3)令，k ∈Z ，解得，k ∈Z ，此时函数y 取得最大值为√3×1+2=√3+2； 且y 取得最大值时x 的集合为；解析：本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题． (1)直接利用余弦函数的周期公式求出结果；(2)由余弦函数的图象与性质求出函数y 图象的对称中心和对称轴方程． (3)根据余弦函数的图象与性质求出函数y 的最大值以及取得最大值时x 的集合；20.答案：解：(1)等比数列{a n }的公比设为q ，a 3=9，a 4+9a 2=54，则{a 1q 2=9a 1q 3+9a 1q =54，解得a 1=1，q =3， 故{a n }的通项公式为a n =a 1q n−1=3n−1; (2)由(1)可得b n =(2n +1)⋅3n−1，则S n =3+5×3+7×32+⋯+(2n +1)⋅3n−1，① 3S n =3×3+5×32+⋯+(2n +1)⋅3n ，②①−②得−2S n =3+2×3+2×32+⋯+2×3n−1−(2n +1)⋅3n =3+6(1−3n−1)1−3−(2n +1)3n =−2n ⋅3n ，故S n =n ⋅3n ．解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．(1)等比数列{a n }的公比设为q ，运用等比数列的通项公式，解方程可得所求首项和公比，即可得到所求通项公式；(2)可得b n =(2n +1)⋅3n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求．21.答案：解：(I)f′(x)=aax+1+3x 2−2x −a =x[3ax 2+(3−2a)x−(a 2+2)]ax+1∵x =23为f(x)的极值点，∴f′(23)=0，∴3a(23)2+23(3−2a)−(a 2+2)=0且23a +1≠0，解得a =0 又当a =0时，f′(x)=x(3x −2)，从而x =23为f(x)的极值点成立． (II)因为f(x)在[1,+∞)上为增函数， 所以x[3ax 2+(3−2a)x−(a 2+2)]ax+1≥0在[1,+∞)上恒成立．(6分)若a =0，则f′(x)=x(3x −2)，此时f(x)在[1,+∞)上为增函数成立，故a =0符合题意 若a ≠0，由ax +1>0对x >1恒成立知a >0．所以3ax 2+(3−2a)x −(a 2+2)≥0对x ∈[1,+∞)上恒成立． 令g(x)=3ax 2+(3−2a)x −(a 2+2)，其对称轴为x =13−12a ， 因为a >0,所以13−12a <13，从而g(x)在[1,+∞)上为增函数． 所以只要g(1)≥0即可，即−a 2+a +1≥0成立 解得1−√52≤a ≤1+√52又因为a >0,所以0<a ≤1+√52.(10分)综上可得0≤a ≤1+√52即为所求(III)若a =−1时，方程f(1−x)−(1−x)3=bx 可得lnx −(1−x)2+(1−x)=bx即b =xlnx −x(1−x)2+x(1−x)=xlnx +x 2−x 3在x >0上有解 即求函数g(x)=xlnx +x 2−x 3的值域． 法一：b =x(lnx +x −x 2)令ℎ(x)=lnx +x −x 2 由ℎ′(x)=1x +1−2x =(2x+1)(1−x)x∵x >0∴当0<x <1时，ℎ′(x)>0，从而ℎ(x)在(0,1)上为增函数；当x >1时，ℎ′(x)<0，从而ℎ(x)在(1,+∞)上为减函数．∴ℎ(x)≤ℎ(1)=0，而ℎ(x)可以无穷小．∴b 的取值范围为(−∞,0](15分)法二：g′(x)=lnx+1+2x−3x2g″(x)=1x +2−6x=−6x2−2x−1x当0<x<1+√76时,g″(x)>0，所以g′(x)在0<x<1+√76上递增；当x>1+√76时,g″(x)<0，所以g′(x)在c>1+√76上递减；又g′(1)=0，∴令g′(x0)=0,0<x0<1+√76∴当0<x<x0时，g′(x)<0，所以g(x)在0<x<x0上递减；当x0<x<1时，g′(x)>0，所以g(x)在x0<x<1上递增；当x>0时，g(x)<0，所以g(x)在x>1上递减；又当x→+∞时，g(x)→−∞，g(x)=xlnx+x2−x3=x(lnx+x−x2)≤x(lnx+14)当x→0时，lnx+14<0，则g(x)<0，且g(1)=0所以b的取值范围为(−∞,0]解析：(I)根据极值点的信息，我们要用导数法，所以先求导f′(x)=aax+1+3x2−2x−a，则x=23为f(x)的极值点，则有f′(23)=0从而求得结果．(II)由f(x)在[1,+∞)上为增函数，则有f′(x)≥0，x∈[1,+∞)上恒成立求解．(III)将a=−1代入，方程f(1−x)−(1−x)3=bx，可转化为b=xlnx+x2−x3，x>0上有解，只要求得函数g(x)=xlnx+x2−x3的值域即可．本题主要考查导数在求最值和极值中的应用，变形与转化是导数法解题中的关键．22.答案：解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=2e x−x−2，f′(x)=2e x−1，f′(1)=2e−1，即曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为k=2e−1，又f(1)=2e−3，所以所求切线方程为y=(2e−1)x−2．(Ⅱ)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立⇔[f(x)]min≥0，易知f′(x)=2e x−a，①若a≤0，则f′(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增；又f(0)=0，所以当x∈[0,+∞)时，f(x)≥f(0)=0，符合题意．②若a>0，由f′(x)=0，解得x=ln a2，则当x∈(−∞,ln a2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln a2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以x=ln a2时，函数f(x)取得最小值．则当ln a2≤0，即0<a≤2时，则当x∈[0,+∞)时，f(x)≥f(0)=0，符合题意．当ln a2>0，即a>2时，则当x∈(0,ln a2)时，f(x)单调递增，f(x)<f(0)=0，不符合题意．综上，实数a的取值范围是(−∞,2]．解析：本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性、最值，以及导数中的恒成立问题，考查计算能力，属于中档题．(Ⅰ)当a=1时，f(x)=2e x−x−2，求出f′(x)=2e x−1，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．(Ⅱ)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立等价于[f(x)]min≥0，可得f′(x)=2e x−a，通过①若a≤0，②若a>0，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后求解实数a的取值范围．。