上海初三数学第一学期期中

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上海市宝山中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷(无答案)

2024学年第一学期期中检测九年级数学试卷（考试时间：100分钟满分150分）考生注意：请将所有答案写在答题卡上，写在试卷上不计分一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在中，所对的边分别为，下列等式成立的是（）A.；B.C.； D.．2.已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式不成立的是（）A.； B.；C.D.3.在中，点分别在边的延长线上，下列四个选项中，能判定的是（）A.； B.；C.； D.．4.下列说法中，错误的是（）A.长度为1的向量叫做单位向量；B.如果，且，那么的方向与的方向相同；C.如果是一个单位向量，是非零向量，；D.如果，其中是非零向量，那么．5.已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：0245013560059当时，自变量的取值范围是（）Rt ABC 90,C A B C ∠∠∠∠= ､､a b c ､､cot b a B =sin ;a c B =sin a c A=cos a b A =P AB AP BP >AB AP AP BP =AB BP BP AP=BP AP =AP AB =ABC D E ､BA CA ､DE ∥BC BD CE AB AC =AB AE AD AC=AB BC AD DE =AB AE AC AD =0k >0a ≠ ka a e a a e a =51,22a cbc ==- c a ∥b ()10y kx m k =+≠()220y ax bx c a =++≠x1- 1y ⋯ 2y ⋯1- 21y y >xA.；B.；C.或；D.或．6.如图，在中于点于点为边的中点，联结、、以下是甲、乙两位同学得到的研究结果：（甲）当为中点时，为等边三角形；（乙）为等边三角形．对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是（）A.甲正确乙错误；B.甲错误乙正确；C.甲、乙皆正确；D.甲、乙皆错误．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段，如果是的比例中项，那么线段等于__________．8.如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为__________．9.在锐角中，锐角A的正切值是，如果将这个三角形三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的余弦值是__________．10.如图，，它们依次交直线于点和点．如果，那么的值是__________．11.已知一个斜坡的坡比为，则坡角的度数为__________．12.如果抛物线在对称轴的左侧，的值随的增大而增大，那么的取值范围是__________．13.如图，点分别在边上，且．若12x -<<45x <<1x <-5x >1x <-4x >ABC 60,A BM AC ∠=⊥ ,M CN AB ⊥,N P BC PM PN MN ､M AC ABC PMN 12cm,6cm a b ==b a c ､c cm 1:2ABC 34AD ∥BE ∥FC 12l l ､A B C ､､D E F ､､2,5AB AC ==DE EF1:()223y a x =+-y x a D E F ､､ABC AB AC BC ､､111,,333AD AB AE AC BF BC ===的面积是，那么的面积是__________．14如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么的值等于__________．15.如图，中，点、点分别是的中点，与交于点．若，那么的值是__________．16.如图，在边长为1的正方形网格中，四边形的顶点都在小正方形顶点的位置上，我们称这样的四边形叫做“格点四边形”．联结相交于点，那么的面积等于__________．17.梯形中，相交于点，过点作，交于点．若是直角三角形，那么__________．18.如图，中，．把绕点逆时针旋转（旋转角小于）点的对应点分别是，射线与交于点，若，则__________．ABC 218cm DEF 2cm 21:1C y x =+22:24C y x ax =-+a ABC D E AB AC ､BE CD O ACO EBC ∠∠=:CD BC ABCD AC BD ､O AOB ABCD AD ∥,45,12,BC ABC BC AC BD ∠== ､,tan 2O DAC ∠=D DE ∥AB AC E DOE AD =Rt ABC 90,8,6ACB AC BC ∠=== ABC B 180 A C ､A C ''､CC 'AA 'E BA '∥CC 'C E '=三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：20.（本题满分10分）如图，在梯形中，是的中点，且与交于点．（1）若，请用来表示；（2）在原图中直接在图中作出在方向上的分向量（不要求写作法，但要写出所作图中表示结论的向量）．21.（本题满分10分，每小题5分）如图，已知在梯形中，，对角线相交于点，．（1）求的值；（2）求的正切值．22.（本题满分10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11.2米，灯柱与灯杆的夹角为，路灯采24cos60sin 45tan30tan601+-ABCD AB ∥,CD E CD 1,3EC AB AC =BE F ,AB m AD n == ,m n DC AF ､AC ,m n ABCD AD ∥,90,BC ABC BD CD ∠== AC BD ､O 2,3AD AB ==:AO CO ACD ∠BC BC AB 120用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为14.7米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，求灯杆的长度．23.（本题满分12分，每小题6分）如图，中，是斜边上的中点，是边上的点，与交于点，且．（1）求证：；（2）联结，如果点E 是BC 中点，求证：．24.（本题满分12分，每小题4分）如图，抛物线与轴交于两点（在左侧），与轴交于点．联结交对称轴于点，点为抛物线的顶点．（1）联结，若①求抛物线解析式；②线段上一点，联结，求．（2）平移抛物线，使新抛物线顶点在射线上，新抛物线与轴交于点．若平分，DE D E A α45 tan 6α=AB Rt ABC 90,ACB D ∠= AB E BC AE CD F 2AC CE CB =⋅AE CD ⊥BF 2AE BF BE CD ⋅=⋅()230y x mx m =-++>x A B ､A B y C CB E D AC CD ､45CED ∠=BC ,F ACB FAB ∠∠=FD tan FDE ∠D 'CD y C 'C D 'CDE ∠且，求新抛物线解析．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）中，分别在上，，联结，作交于，交于交于．（1）如图1，．①求的正弦值；②若，求；（2）如图2，，联结，若四边形为梯形，请直接写出的长．2CD CC '='ABC 12,BC D E =､AB AC ､ACB ADE ∠∠=DC MEN DCB ∠∠=DC M BC ,N EN DC O ,2,10AB AC BD AD DC ===DCB ∠:7:18DM MO =DM 45,MEN ABC EC ∠∠===MN MNCE DM。

【初三数学】上海市九年级数学上期中考试测试题(含答案解析)

新九年级上学期期中考试数学试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）2．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得(A)A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝1C．(x＋10)2＝91 D．(x＋10)2＝1093．(2018·济宁)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x 轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标是( A)A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)4．(雅安中考)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为(D) A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6C．y＝x2＋6 D．y＝x25．某商品原售价为50元，10月份下降了10%，从11月份起售价开始增长，12月份售价为64.8元，设11、12月份每个月的平均增长率为x，则下列结论正确的是（D）A．10月份的售价为50(1＋10%)元B．11月份的售价为50(1＋10%)元C．50(1＋x)2＝64.8D．50(1－10%)(1＋x)2＝64.86．已知a≥2，m，n为x2－2ax＋2＝0的两个根，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（ A ）A．6 B．3 C．－3 D．07．(呼和浩特中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx ＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是（D）8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是( A )A.7 B．2 2 C．3 D．2 3第8题图第9题图第10题图9．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( A )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③10．(2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc<0；②9a ＋3b ＋c>0；③若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 1、点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 2是函数图象上的两点，则y 1<y 2； ④－35<a<－25.其中正确结论有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线x＝2.第11题图第15题图第18题图12．一元二次方程(x＋3)2－x＝2(x2＋3)化成一般形式为x2－5x－3＝0，方程根的情况为有两个不相等的实数根．13．等边三角形绕中心点至少旋转120度后能与自身重合，正方形绕中心点至少旋转90度后能与自身重合．14．平面直角坐标系中有一个点A(－2，6)，则与点A关于原点对称的点的坐标是(2，－6)，经过这两点的直线的解析式为y＝－3x.15．(原创)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等于x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x ＜1或x＞ 3.16．一位运动员投掷铅球的成绩是14 m，当铅球运行的水平距离是6 m时达到最大高度4 m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是1.75 m.17．已知方程(p－2)x2－x＋p2－3p＋2＝0的一个根为0，则实数p的值是1.18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B三、解答题(本大题共7小题，共66分)19．(8分)(1)解方程3x2－x－1＝0；解：∵a＝3，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝(－1)2－4× 3×(－1)＝13＞0，∴x＝－（－1）±132× 3＝1±136，∴x1＝1＋136，x2＝1－136；(2)通过配方，写出抛物线y＝1＋6x－x2的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝1＋6x－x2＝－(x－3)2＋10，开口向下，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，10)．20．(8分)如图所示，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，AP＝5，则PP′的长是多少？解：由旋转易知AP′＝AP＝5，∠BAP＝∠CAP′，∵∠BAC ＝90°，∴∠PAP′＝∠CAP＋∠CAP′＝∠CAP＋∠BAP＝90°，则在Rt△PAP′中，由勾股定理得PP′＝AP2＋AP′2＝5 2.21(8分)(眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A2B2C2；(3)若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标．解：(1)如图；(2)如图；(3)旋转中心的坐标为(－1，0)．22．(8分)如图，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)与x 轴交于另一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B(2，t)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 在抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，求点M 的坐标．新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（）A．（x+1）（x﹣2）＝0 B．（x﹣1）（x+2）＝1C．（x+2）2＝1 D．5．把二次函数y＝3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+16．函数y＝﹣x2﹣4x+3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣7）B．（2，7）C．（﹣2，﹣7）D．（﹣2，7）7．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（）A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的是（）A ．B ．C ．D ．11．不论x 为何值，函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的值恒大于0的条件是（）A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＜0D ．a ＜0，△＞012．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（）A ．x （x +1）＝1035B ．x （x ﹣1）＝1035×2C ．x （x ﹣1）＝1035D ．2x （x +1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有实数根，则m 的取值范围是．14．方程x 2﹣3x +1＝0的解是．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y ＝3x 2②y ＝x 2③y ＝x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）．16．抛物线y ＝﹣x 2+15有最点，其坐标是．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ﹣2＝0或x ＝0，解得，x 1＝2，x 2＝0；故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ．【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断；根据方程解的定义对B 进行判断；根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．6．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．解：∵原函数解析式可化为：y ＝﹣（x +2）2+7，∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．故选：D ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解：因为y ＝（x +2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B ．【点评】考查顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．要掌握顶点式的性质．8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝1【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）．解：y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线x ＝1．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数顶点式中对称轴的求法．9．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（）A ．﹣1B ．2C ．D ．【分析】可以直接利用两根之和得到所求的代数式的值．解：如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2＝2．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程ax2+bx+c＝0的根与系数的关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．10．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知．解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；∵b＜0，∴对称轴为x＝＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向上，且与x轴无交点即可．解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△＜0．故选：B．【点评】当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．解：一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，△＝b2﹣4ac＝9﹣4m≥0，解得m．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是x1＝，x2＝．【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．解：a＝1，b＝﹣3，c＝1，b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）①③②．【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．【点评】抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．抛物线y＝﹣x2+15有最高点，其坐标是（0，15）．【分析】根据抛物线的开口方向判断该抛物线的最值情况；根据顶点坐标公式求得顶点坐标．解：∵抛物线y＝﹣x2+15的二次项系数a＝﹣1＜0，∴抛物线y＝﹣x2+15的图象的开口方向是向下，∴该抛物线有最大值；当x＝0时，y取最大值，即y最大值＝15；∴顶点坐标是（0，15）．故答案是：高、（0，15）．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 a （1+x ）2 ．【分析】第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．关键描述语是：以后每季度比上一季度增产的百分率为x ．解：依题意可知：第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．故答案为a （1+x ）2．【点评】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，需注意第三季度是在第二季度的基础上增加的．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为 y 1＜y 2＜y 3【分析】先利用抛物线的对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线x ＝﹣5，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，然后根据二次函数的性质得到y 1，y 2，y 3的大小关系．解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝﹣5，抛物线开口向上，所以当x ＞﹣5时，y 随x 的增大而增大，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，所以y 1＜y 2＜y 3．故答案为y 1＜y 2＜y 3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；【分析】先移项得x 2﹣4x ＝﹣1，再把方程两边加上4得到x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法求解；先移项，然后分解因式得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可．解：x 2﹣4x +1＝0x 2﹣4x ＝﹣1，x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，∴x ﹣2＝±， ∴x 1＝2+，x 2＝2﹣；x （x ﹣2）＝4﹣2xx （x ﹣2）+2（x ﹣2）＝0，（x ﹣2）（x +2）＝0，∴x ﹣2＝0或x +2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．也考查了因式分解法解一元二次方程．20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．【分析】先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（1，2）代入即可解决，解：由抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，可设抛物线为：y ＝a （x ﹣2）2+4，把（1，2）代入得：2＝a +4，解得：a ＝﹣2，所以抛物线为：y ＝﹣2（x ﹣2）2+4，即y ＝﹣2x 2+8x ﹣4，【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，再代入可得9﹣4m ＞0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2＝﹣，再代入可得答案．解：（1）由题意得：△＝（﹣3）2﹣4×1×m ＝9﹣4m ＞0，解得：m ＜；（2）∵x1+x2＝﹣＝3，x1＝1，∴x2＝2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．22．（8分）已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？【分析】（1）把二次函数的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过判断方程﹣x2+x ﹣＝0没有实数得到抛物线与x轴没有交点；（3）利用二次函数的性质确定x的范围．解：（1）y＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣1）2﹣2，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x﹣＝﹣，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，△＜0，方程没有实数解，则抛物线与x轴没有交点；即抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，﹣）；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可；解：设每件童装应降价x 元，根据题意列方程得，（40﹣x ）（20+2x ）＝1200，解得x 1＝20，x 2＝10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去），答：每件童装降价20元；【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，考查了一元二次方程的解法和基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润的运用．24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？【分析】设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，列出面积与x 的二次函数关系式，求最值．解：设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，则其面积S ＝x •＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+6x ．∵0＜2x ＜12， ∴0＜x ＜6．∵S ＝﹣x 2+6x ＝﹣（x ﹣3）2+9， ∴a ＝﹣1＜0，S 有最大值，当x ＝3时，S 最大值＝9．∴设计费最多为9×1000＝9000（元）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，由矩形面积等于长乘以宽列出函数关系式，利用函数关系式求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）由对称性可直接得出B（5，0），当x＝0时，代入抛物线的解析式可得与y轴交点C 的坐标；（3）根据90°所对的弦是直径可知：过O，B，C三点的圆的直径是线段BC，利用勾股定理求BC的长，代入圆的面积公式可以求得面积．解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5；（2）∵对称轴为直线x＝2，A（﹣1，0），∴B（5，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），（3）∵∠BOC＝90°，∴BC是过O，B，C三点的圆的直径，由题意得：OB＝5，OC＝5，由勾股定理得；BC＝＝5，S＝π•＝π，答：过O，B，C三点的圆的面积为π．【点评】本题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，明确令x＝0时，求抛物线与y轴的交点；令y＝0时，求抛物线与x轴的交点；同时要想求过O，B，C三点的圆的面积就要先求圆的半径可直径，根据圆周角定理可以解决这个问题，从而使问题得以解决．26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【分析】（1）函数的表达式为y＝kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y＝﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）＝6750，解得，x1＝10，x2＝70∵投入成本最低．∴x2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w＝（﹣0.5x+80）（80+x）＝﹣0.5 x2+40 x+6400＝﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a＝﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x＝40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．最新九年级（上）数学期中考试试题【含答案】一、选择题（共12小题，共36分）1．﹣2的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2 D．22．地球和太阳间的距离为150 000 000km，用科学记数法表示150 000 000为（）A．15×107B．1.5×108C．0.15×109D．1.5×1073．下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3C．D．（a+b）2＝a2+b24．一组数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.55．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．其图象经过点（3，1）B．其图象分别位于第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＞1时，y＞36．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是（）A．B．C．D．7．不等式组的最小整数解是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．18．甲乙两位赛车手同时从起点出发，行驶20千米到达终点．已知甲车手每小时比乙车手多行驶1千米，甲比乙早到达12分钟，若设乙每小时跑x千米，则所列方程式为（）A．B．C．D．9．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．下列结论错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形11．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．612．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（共2小题，共6分）13．因式分解：2m3﹣8m＝．14．若直线y＝﹣2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式﹣2x+b＜5的解集是．三、解答题（共3小题，共18分）15．（5分）计算：（﹣）﹣1﹣﹣（π﹣3.14）0+|1﹣|16．（6分）先化简，再求值：（﹣m+1）÷，其中m的值从﹣1，0，2中选取．17．（7分）某中学为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6个型号）：根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有名学生；（2）补全条形统计图；（3）该班学生所穿校服型号的众数为，中位数为；（4）如果该校预计招收新生1500名，根据样本数据，估计新生穿170型校服的学生大约有多少名？一、填空题（本题共有2小题，每小题3分，共6分）18．若，则＝．19．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．二、解答题（本题共有4小题，其中第20题7分，第21题8分，第22题9分，第23题10分，共34分）20．（7分）在平面直角坐标系中，把横纵坐标都是整数的点称为“整点”．（1）直接写出函数y＝图象上的所有“整点”A1，A2，A3…的坐标；（2）在（1）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出这两点关于原点对称的概率．21．（8分）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．。

上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷(含答案)

2024学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷2024.10（时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列函数中，一定为二次函数的是（）A. B. C. D.2.已知点P是线段AB的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（）A. B.C.D.3.如图，在中，点D、E和F分别在边AB、AC和BC上，，，如果，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.4.下列关于向量的说法中，正确的是（）A.如果，那么B.如果，，那么C.已知是单位向量，如果，那么D.如果，，其中是非零向量，那么5.在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（）A. B.21yx=()()11y x x=+-2y ax=()21y x x x=-+BP AP>2BP AP AB=⋅2AP BP AB=⋅APAB=BPAP=ABC△DE BC∥DF AC∥34ADBD=34DEBC=34BFCF=37CFBC=37DFAC=k=0ka=2a=1b=2a b=e4a=4ea=23a b c+=2b c=ca b∥y ax b=+2y ax b=+C. D.6.已知在中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，联结CD 、BE 交于点F ，下列条件中，不一定能得到和相似的是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.已知，且，那么_______.8.抛物线与y 轴的交点坐标为_______.9.已知二次函数的图像经过点、，那么该二次函数图像的对称轴为直线_______.10.已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m 的取值范围是_______.11.如图，已知在中，，CD 是边AB 上的高，如果，，那么_______.12.如图，在中，，点D 和点E 在边BC 上，，，那么_______.13.如图，已知，且，那么_______.ABC △ADE △ABC △DF EF BF CF =DF EF CF BF=BDE BFC ∠=∠BDF CEFS S =△△234a b c k ===0k ≠c a c b-=+223y x x =+-()20y x bx c a =++≠()1,1A --()5,1B -()21y m x =+ABC △90ACB ∠=︒3AD =2BD =CD =ABC △3AB AC ==4BE =BAE ADC ∠=∠CD =AD EF BC ∥∥::2:5:7AD EF BC =:AE AB =14.如图，在中，点D 在边BC 上，线段AD 经过重心G ，向量，向量，那么向量______.（用向量、表示）15.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为_______米.16.如图，在中，点D 在边AB 上，，点E 和F 分别在边BA 和CA 的延长线上，且，如果，那么_______.17.定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点A 的横、纵坐ABC △BA a = BC b = AG =a b ABC △ACD B ∠=∠CD EF ∥::3:4:2EA AD DB =AEF ABCS S =△△()20y ax bx c a =++≠(),A x y标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点A 的“简朴点”，已知抛物线上一点B 的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为_______.18.如图，在矩形ABCD 中，，在边CD 上取一点E ，将沿直线BE 翻折，使点C 恰好落在边AD 上的F 处，的平分线与边AD 交于点M ，如果，那么_______.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量.）20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知点在二次函数的图像上.（1）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标；（2）将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位后图像经过点，求的值.21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为.（1）求二次函数的解析式；（2）如果二次函数的图像与x 轴交于点A （不与原点重合），联结OP 、AP ，试判断的形状并说明理由.22.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）如图，已知在中，点D 在边AC 上，过点A 作，交BD 的延长线于点E ，点F 是BE 延长线上一点，联结CF ，如果.（1）求证：；（2）如果，，求的值.()1,A x x y +1A 241y ax x =-+()12,3B ()1,C m 1C 1AB =BCE △ABF ∠2AD MF =BC =a bx x ()2a x b x -=- ()3,1-2y x bx b =-++()1,5-t ()2,2P -AOP △ABC △AE BC ∥2BD DE DF =⋅AB CF ∥2DE =6EF =AB CF23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在中，CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，联结ED 并延长交CB 的延长线于点F ，且.（1）求证：；（2）如果，求证：.24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点.（1）求该二次函数的解析式；（2）如果点是二次函数图像对称轴上的一点，联结AD 、BD ，求的面积；（3）如果点P 是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P 的横坐标.ABC △BD BF =ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B (),1D m -ABD △PB AB ⊥25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在矩形ABCD 中，，，点E 是射线D A 上的一点，点F 是边AB 延长线上的一点，且.联结CE 、EF ，分别交射线DB 于点O 、点P ，联结CF 、CP .（1）当点E 在边AD 上时，①求证：；②设，，求y 关于x 的函数解析式；（2）过点E 作射线DB 的垂线，垂足为点Q ，当时，请直接写出DE 的长.2AB =1BC =2DE BF =DCE BCF ∽△△DE x =CP y =14OQ PQ =2024学年第一学期九年级数学学科期中考试卷2024.10参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.D ；6.C.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.；8.；9.；10.；；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18.三、解答题：（本大题共7题，其中第19—22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19.解：，20.解：（1）∵点在二次函数的图像上，∴把，代入，得.解得.∴二次函数的解析式为.∴对称轴为直线.顶点的坐标为.（2）二次函数的解析式化为.∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位，∴平移后新二次函数的解析式为.∵平移后图像经过点，∴把，代入，得.解得.21.解：（1）∵二次函数图像的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为.∵二次函数的图像经过原点，∴把，代入得..27()0,3-2x =1m <-94352133a b -+ 45238()1,05322a x b x -=- 2x a b =- ()3,1-2y x bx b =-++3x =1y =-2y x bx b =-++193b b -=-++2b =222y x x =-++1x =()1,3()213y x =--+()233y x t =-+++()1,5-1x =5y =-()233y x t =-+++5163t -=-++8t =()2,2P -()222y a x =--0x =0y =()222y a x =--()20022a =--解得.∴这个二次函数的解析式为.（2）∵二次函数的图像与x 轴交于点A ，∴把，代入得，（舍去）.得点A 的坐标为.∴.∵，∴.∵，∴是等腰直角三角形.22.解：（1）∵，∴.∵，∴.∴∴.（2）∵，，∴.∵，∴.∵，∴，∴.23.证明：（1）∵，∴.∵CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，∴在中.又∵，∴.∴.∵，∴.∴.（2）∵，∴.∴.∵，∴∴∴.∵，∴.∴.∴.24.解：（1）∵二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点，12a =()21222y x =--0y =()21222y x =--14x =20x =()4,04OA =OP ==AP ==OP AP =222OP AP OA +=AOP △AE BC ∥AD DE CD BD=2BD DE DF =⋅DE BD BD DF=AD BD CD DF=AB CF ∥2DE =6EF =8DF DE EF =+=216BD DE DF =⋅=4BD =AB CF ∥AB BD CF DF =12AB CF =BD BF =F BD ∠=∠Rt ACD △12DE AC =12AE AC =AE DE =A ADE ∠=∠ADE BDF ∠=∠A F ∠=∠ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD =DF AE CF AD =DF CF AE AD=A F ∠=∠ADE FCD ∽△△ADE FCD ∠=∠A FCD ∠=∠ABC CBD ∠=∠ABC CBD ∽△△BD BC BC AB=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B得解得.∴二次函数的解析式为.（2）∵点是二次函数图像对称轴上的一点，又∵二次函数图像的对称轴为直线.∴，点D 坐标为.设直线AB 的表达式为.∵直线AB 经过，，得，解得，∴直线AB 的表达式为.设抛物线的对称轴与直线AB 交于点E ，得点E 坐标为.∴.∴.（3）过点P 作轴，垂足为H .设点.∴，.∵，又∵，∴.∵，∴.∴.∴.∴（舍去），.即点P 的横坐标是.25.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴，，∵，∴.()202224b c c⎧=-⨯--+⎪⎨=⎪⎩2b =-2224y x x =--+(),1D m -12x =-12m =-1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭()0y px q p =+≠()2,0A -()0,4B 024p q q =-+⎧⎨=⎩24p q =⎧⎨=⎩24y x =+1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭4DE =1142422ABD ADE BDE S S S DE AO =+=⋅=⨯⨯=△△△PH y ⊥()2,224P t t t --+PH t =-222BH t t =--ABO ABP P PHB ∠+∠=∠+∠90ABP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∠=∠90AOP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∽△△PH BH BO AO =22242t t t ---=10t =234t =-34-2AB CD ==90CDE ABC ∠=∠=︒90CBF ∠=︒CDE CBF ∠=∠∵，∴.∵，∴.∴.∴.（2）∵，∴.即.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∴.又∵且，∴.∴.∵，∴.∴.∴.∵在中，，，∴.同理可得∴∴（3）1BC =12BC CD =2DE BF =12BF DE =BF BC DE CD=DCE BCF ∽△△DCE BCF ∠=∠DCE BCE BCF BCE ∠+∠=∠+∠BCD ECF ∠=∠,CD CE CB CF =CD CB CE CF=DCB ECF ∽△△PEC BDC ∠=∠EOP DOC ∠=∠EOP DOC ∽△△OE OP OD OC=OE OD OP OC=DOE COP ∠=∠DOE COP ∽△△EDO PCO ∠=∠EDO DBC ∠=∠PCE DBC ∠=∠ECP DBC ∽△△PC EC BC BD=Rt CDE △DE x =2CD =CE =BD =1y =y =1DE =2DE =3DE =。

2022-2023学年上海市闵行区九年级上期中学期数学试卷含详解

2022-2023学年上海市闵行区九年级（上）期中数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各组图形中，一定相似的是（）A.两个正方形B.两个矩形C.两个菱形D.两个平行四边形2.已知△ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，下列各式中，不能判断DE ∥AB 的是（）A.AE BDEC DC= B.AE BDAC BC= C.AC ECBC DC= D.DE CEAB AC=3.如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（）A.1：2B.1：4C.1：8D.1：164.若α是锐角，()2sin 152α+=，那么锐角α等于（）A.15B.30C.45D.605.已知3a b =，下列说法中不正确的是（）A.30a b -=B.a 与b方向相同 C.a b∥ D.3a b=6.如图，一艘船从A 处向北偏东30︒的方向行驶10千米到B 处，再从B 处向正西方向行驶16千米到C 处，这时这艘船与A 的距离（）A.15千米B.14千米C.1D.千米第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果:3:1a b =，那么a ba b-=+___________．8.设点P 是线段AB 的黄金分割点2AP BP BP <=（），厘米，那么线段AP 的长是___________厘米．9.已知a 与单位向量e 的方向相同，且长度为5，那么用e表示a=___________．10.已知在ABC 中，9086C AB AC ∠=︒==，，，那么cos A 的值是___________．11.如图，D 、E 是ABC 边AB 、AC 上的两点，且DE BC ∥，:1:3DE BC =，那么:AD AB =___________．12.已知ABC ∽A B C ''' ，顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''边上的中线，如果362BC AD B C ''===，，，那么A D ''的长是___________．13.如图，在平面直角坐标系内有一点P （6，8），那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的余切值___________．14.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:4，若它把物体从地面点A 处送到离地面1米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为___________米．15.边长为2的等边三角形的高与它的边长的比值为___________．16.在ABC 中，905C AB ∠=︒=，，点D 为AB 的中点，45sin BCD ∠=，那么AC 的长为___________．17.如图，在Rt ABC △中，9030C B ∠=︒∠=︒，，点D 在边AB 上，点E 在边BC 上，将BDE △沿着直线DE 翻折后，点B 恰好落在线段AC 的延长线上的点P 处，如果2APE B ∠∠=，那么BDAD的值是___________．18.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，12AB =，点P 在ABC 的内部（不包括边上），且ABP 的面积等于ABC 的面积的一半，设点D 为ABC 的重心，点P 、D 两点之间的距离为d ，那么d 的最小值为___________．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.计算：1tan6022cot452cos30︒+︒+︒+．20.如图，已知两个不平行的向量a 、b．先化简，再求作：313222a b a b ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭．不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量21.如图，已知在正方形ABCD 中，4=AD ，点E 为边CD 延长线上一点，2DE =，连接BE ，线段BE 交AD 于点F．（1）求DFBC的值；（2）求ABFBCES S 的值．22.如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 和CF 固定电线杆．在离电线杆6米的B 处安置测角仪（点B 、E 、D 在同一直线上），在点A 处测得电线杆上C 处的仰角为30︒．已知测角仪的高AB为CE 的长为6米，求测角仪底端（点B ）与拉线固定点（E）之间的距离．23.已知：如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 上，2AB BD CE =⋅．（1）求证：EAD B ∠=∠；（2）如果点F 在边AB 上，且EF AD ∥，FB BEEF DE=，求证：BAE ∽BCA ．24.已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），直线22y x =+，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且点C 的坐标为()3,2，连结AC ，与y 轴交于点D．（1）求线段AB 的长度；（2）求点D 的坐标；（3）联结BC ，求证：ACB ABO ∠=∠．25.已知，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，6AC =，8BC =，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且均不与顶点B 重合，ADE A ∠=∠（如图1所示），设AD x =，BE y =．（1）当点E 与点C 重合时（如图2所示），求线段AD 的长；（2）在图1中当点E 不与点C 重合时，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；（3）我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点F 在边AB 上，3CE =，如果四边形ACEF 是等邻角四边形，求线段AF 的长．2022-2023学年上海市闵行区九年级（上）期中数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各组图形中，一定相似的是（）A.两个正方形B.两个矩形C.两个菱形D.两个平行四边形【答案】A【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可．【详解】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；B、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意，C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；D、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．2.已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（）A.AE BDEC DC= B.AE BDAC BC= C.AC ECBC DC= D.DE CEAB AC=【答案】D【分析】若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥AB．【详解】解：如图，若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，即AEEC＝BDDC，AEAC＝BDBC，故选项A、B可判定DE∥AB；EC AC＝CDBC，即ACBC＝ECCD，故选项C可判定DE∥AB；而由DEAB＝CEAC不能判断DE∥AB，故D选项答案错误．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键．3.如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（）A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16【答案】B【分析】根据周长比等于相似比进行解答即可．【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的周长比是1：4，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的相似比，熟知相似三角形的周长比＝相似比是解本题的关键． 4.若α是锐角，()2sin 152α+=，那么锐角α等于（）A.15B.30C.45D.60【答案】B 【分析】由sin45°=22可得()15α+ =45°即可确定α．【详解】解：∵sin45°=2，()2sin 152α+=，α是锐角∴()15α+=45°，即α=30°．故选：B ．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定()15α+=45°成为解答本题的关键．5.已知3a b =，下列说法中不正确的是（）A.30a b -= B.a 与b方向相同C.a b∥ D.3a b=【答案】A【分析】根据已知条件可知：a与b的方向相同，其模是3倍关系．【详解】解：A 、由3a b =知：30a b -=，选项不正确，符合题意；B 、由3a b = 知：a 与b 的方向相同，选项正确，不符合题意；C 、由3a b =知：a与b的方向相同，则//a b，选项正确，不符合题意；D 、由3a b = 知：3a b = ，选项正确，不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有方向，又有大小．6.如图，一艘船从A 处向北偏东30︒的方向行驶10千米到B 处，再从B 处向正西方向行驶16千米到C 处，这时这艘船与A 的距离（）A.15千米B.14千米C.1D.千米【答案】B【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE BE ，，进而得出CE ，利用勾股定理得出AC 即可．【详解】解：如图：BC AE ⊥ ，90AEB ∴∠=︒，3010EAB AB ∠=︒= ，千米，5BE ∴=千米，AE =千米，16511CE BC BE ∴=-=-=（千米），14AC ∴===（千米），故选B ．【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出AE BE ，解答．第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果:3:1a b =，那么a ba b-=+___________．【答案】12##0.5【分析】根据:3:1a b =可得3a b =，代入计算即可．【详解】解：:3:1a b = ，∴3a b =，321342a b b b b a b b b b --∴===++；故答案为：12．【点睛】此题考查了比例的性质，掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解题的关键．8.设点P 是线段AB 的黄金分割点2AP BP BP <=（），厘米，那么线段AP 的长是___________厘米．1-##1-+计算即可．【详解】解：点P 是线段AB 的黄金分割点2AP BP BP <=（），厘米，512AP BP BP AB -∴==，)1AP ∴=厘米，1．【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是解题的关键．9.已知a 与单位向量e 的方向相同，且长度为5，那么用e 表示a=___________．【答案】5e【分析】根据平行向量的性质求解即可．【详解】解：a 与单位向量e的方向相同，长度为5，5a e ∴= ．故答案为：5e．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10.已知在ABC 中，9086C AB AC ∠=︒==，，，那么cos A 的值是___________．【答案】34##0.75【分析】根据余弦的定义即可求解．【详解】解：在ABC 中，9086C AB AC ∠=︒==，，，63cos 84AC A AB ∴===．故答案为：34．【点睛】本题主要考查了余弦函数的定义，正确记忆定义是解题的关键．11.如图，D 、E 是ABC 边AB 、AC 上的两点，且DE BC ∥，:1:3DE BC =，那么:AD AB =___________．【答案】13【分析】通过证明ADE V ∽ABC ，可求解．【详解】解：D E B C ∥，ADE ABC ∴△△∽，13AD DE AB BC ∴==，故答案为：13．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．12.已知ABC ∽A B C ''' ，顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''边上的中线，如果362BC AD B C ''===，，，那么A D ''的长是___________．【答案】4【分析】利用“相似三角形的周长比等于对应的中线的比”求解即可．【详解】解：ABC ∽A B C AD '''V ，和A D ''是它们的对应中线，362BC AD B C ''===，，，BC B C AD A D ''''∴=：：，632A D ''∴=：：，A D ''∴的长是4，故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．13.如图，在平面直角坐标系内有一点P （6，8），那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的余切值___________．【答案】34##0.75【分析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，由P 点的坐标得PA 、OA 的长，根据余切函数的定义得结论．【详解】解：过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图：由于点68P （，），86PA OA ∴==，，63cot 84OA PA α∴===．故答案为：34．【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．14.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:4，若它把物体从地面点A 处送到离地面1米高的B 处，则物体从A 到B 所经过的路程为___________米．【答案】17【分析】过B 作BC ⊥地面于C ，先根据坡比求出AC 的长，再根据勾股定理求出AB 的长即可．【详解】解：过B 作BC ⊥地面于C ，如图所示：14BC AC = ：：，即114AC =：：，4AC ∴=（米），22224117AB AC BC ∴=+=+=（米），即物体从A 到B 17米，17．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义，根据题意求出AC 的长是解题的关键．15.边长为2的等边三角形的高与它的边长的比值为___________．【答案】2【分析】根据等边三角形的性质即可得出．【详解】解：等边三角形的边长是2，根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线，∴底边的一半是1．=所以高与边长的比的比值是32，故答案为：32．【点睛】本题考查了比例线段以及等边三角形的性质．熟练掌握等边三角形的性质以及灵活运用勾股定理，是解题的关键．16.在ABC 中，905C AB ∠=︒=，，点D 为AB 的中点，45sin BCD ∠=，那么AC 的长为___________．【答案】4【分析】连接CD ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，根据正弦的定义求出DE ，根据三角形中位线定理求出AC 即可．【详解】解：连接CD ，过点D 作DE 垂直BC 于点E ，如图：5AB = ，点D 为AB 的中点，1 2.52CD AD BD AB ∴====，45sin BCD DE BC ∠=⊥ ，，4905DE DEB CD ∠∴==︒，，42.55DE ∴=，2DE ∴=，90ACB ∠=︒ ，//DE AC ∴，DE ∴是ABC 的中位线，2224AC DE ∴==⨯=．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数、直角三角形斜边上的中线等知识，正确记忆相关定义和定理是解题的关键．17.如图，在Rt ABC △中，9030C B ∠=︒∠=︒，，点D 在边AB 上，点E 在边BC 上，将BDE △沿着直线DE 翻折后，点B 恰好落在线段AC 的延长线上的点P 处，如果2APE B ∠∠=，那么BD AD的值是___________．【分析】根据折叠的性质，直角三角形中，30°角的所对的直角边等于斜边的一半计算即可．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒ ，60A ∠∴=︒，260APE B ∠∠∴==︒，由翻折可知：30PD BD DPE B ∠∠===︒，，30APD APE DPE ∠∠∠∴=-=︒，603090ADP ∠∴=︒+︒=︒，PDAD ∴=BDAD ∴=【点睛】本题考查了翻折变换，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．18.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，12AB =，点P 在ABC 的内部（不包括边上），且ABP 的面积等于ABC 的面积的一半，设点D 为ABC 的重心，点P 、D 两点之间的距离为d ，那么d 的最小值为___________．【答案】1【分析】过作CH AB ⊥于点H ，设AC 、BC 的中点分别为F 、E ，连接AE 、EF EF ，与AH 交于点G ，则AE 与CH 的交点便是ABC 的重心点D ，点P 在线段EF 上（不与E 、F 重合）当P 与G 重合时，P 、D 两点距离最短为DG ，求得DG 的值便可．【详解】解：过作CH AB ⊥于点H ，设AC 、BC 的中点分别为F 、E ，连接AE 、EF EF ，与AH 交于点G ，则AE 与CH 的交点便是ABC 的重心点D，如下图，9012ACB AC BC AB ∠=︒== ，，，162CH AB ∴==，点D 为ABC 的重心，123DH CH ∴==，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，EF AB ∴∥，132CG GH CH ∴===，点P 在ABC 的内部（不包括边上），且ABP 的面积等于ABC 的面积的一半，∴点P 在线段EF 上（不与E 、F 重合），当P 与G 重合时，P 、D 之间的距离为d 最小，其值为321d DG ==-=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的重心性质，三角形的中位线定理，三角形的面积，关键在于确定点P 、D 两点的距离的最小值为DG ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.计算：1tan6022cot452cos30︒+︒+︒+．【答案】4【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．【详解】解：1tan6022cot452cos30︒︒+︒++232=2=22=4=．【点睛】本题考查了实数的运算，二次根式的运算，特殊角的三角函数值等，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20.如图，已知两个不平行的向量a、b．先化简，再求作：313222a b a b⎛⎫+--+⎪⎝⎭．不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量【答案】2a b+，见解析【分析】去括号合并同类向量，再利用三角形法则画出图形即可．【详解】解：3131323222222a b a b a b a b a b+--+=++-=+（）．如图，AB即为所求．【点睛】本题考查平面向量，三角形法则，解题的关键是掌握平面向量的加减混合运算，属于中考常考题型．21.如图，已知在正方形ABCD中，4=AD，点E为边CD延长线上一点，2DE=，连接BE，线段BE交AD 于点F．（1）求DF BC的值；（2）求ABF BCES S 的值．【答案】（1）13（2）49【分析】（1）通过证明DEF CEB ∽△△，即可求解；（2）通过证明ABF DEF ∽△△，可求4ABF DEF S S = ．根据（1）所证DEF CEB ∽△△，可得出9BCE DEF S S = ，从而即可求出49ABF BCE S S = ．【小问1详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴4AD BC AD AB CD BC ====∥，，∴DEF CEB ∽△△，∴21243DF DE DE BC EC CD DE ====++；【小问2详解】∵AB DE ∥，∴ABF DEF ∽△△，∴24ABF DEF S AB S DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴4ABF DEF S S = ．∵DEF CEB ∽△△，∴21139DEF BCE S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴9BCE DEF S S = ，∴49ABF BCE S S = ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．22.如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 和CF 固定电线杆．在离电线杆6米的B 处安置测角仪（点B 、E 、D 在同一直线上），在点A 处测得电线杆上C 处的仰角为30︒．已知测角仪的高AB为CE 的长为6米，求测角仪底端（点B ）与拉线固定点（E）之间的距离．【答案】3米【分析】过A 作AM 垂直于CD ，垂足为M ，根据含有30︒的直角三角形直角边与斜边的关系和勾股定理求出CM ，根据勾股定理得到DE 的长，由BD 的长减去DE 的长即可求出BE 的长.【详解】解：如图：过A 作AM 垂直于CD ，垂足为点M ，则6AM BD ==米，MD AB ==米，90AMC ∠=︒，30CAM ∠=︒ ，12CM AC ∴=，222AC CM AM -= ，2336CM ∴=，CM ∴=，CD ∴=（米），6CE = 米，利用勾股定理得3DE ===（米），633BE ∴=-=（米）．答：测角仪底端（点B ）与拉线固定点（E ）之间的距离是3米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含有30︒的直角三角形直角边与斜边的关系和勾股定理知识点，掌握仰角俯角的概念及30︒的直角三角形直角边与斜边的关系是解题的关键．23.已知：如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 上，2AB BD CE =⋅．（1）求证：EAD B ∠=∠；（2）如果点F 在边AB 上，且EF AD ∥，FB BE EF DE=，求证：BAE ∽BCA ．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）通过证明ABD △∽ECA △，可得DAB AEC ∠∠=，可得结论；（2）通过证明BEF △∽BDA △，可证AF EF =，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得FEA FAE B C ∠∠∠∠===，可得结论．【小问1详解】AB AC = ，B C ∴∠=∠，2AB BD CE =⋅ ，AB CE BD AC∴=，ABD ∴ ECA ∽，DAB AEC ∠∠∴=，DAE BAE BAE B ∠∠∠∠∴+=+，DAE B ∴∠=∠；【小问2详解】证明：如图，EF AD ∥ ，BEF ∴ BDA ∽△，BE BF DE AF ∴=，又BE BF DE EF= ，AF EF ∴=，FAE FEA ∴∠=∠，EF AD ∥ ，DAE FEA ∴∠=∠，又B DAE Ð=Ð，FEA FAE B C ∠∠∠∠∴===，BAE ∴ ∽A BC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．24.已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），直线22y x =+，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且点C 的坐标为()3,2，连结AC ，与y 轴交于点D ．（1）求线段AB 的长度；（2）求点D 的坐标；（3）联结BC ，求证：ACB ABO ∠=∠．【答案】（15（2）1(0,)2D （3）见解析【分析】（1）分别求出A 、B 点坐标，再求AB 的长即可；（2）用待定系数法求出直线AC 的解析式，直线与y 轴的交点即为D 点；（3）根据B 、C 点的坐标特点，可判断BC y ⊥轴，再分别求出tan ACB ∠与tan ABO ∠，即可证明．【详解】（1）如图：令0x =，则2y =，02B ∴（，），2OB ∴=，令0y =，则1x =-，10A ∴-（，），1OA ∴=，AB ∴=；2（）设直线AC 的解析式为y kx b =+，032k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122y x ∴=+，令0x =，则12y =，102D ∴（，）；3（）证明：0232B C （，），（，），BC y ∴⊥轴，3BC =，102D （，），32BD ∴=，1tan 2BD ACB BC ∠∴==，12AO BO == ，，1tan 2AO ABO BO ∠∴==，ACB ABO ∠∠∴=．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平面中点的坐标特点，直角三角形三角函数值的求法是解题的关键．25.已知，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，6AC =，8BC =，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且均不与顶点B 重合，ADE A ∠=∠（如图1所示），设AD x =，BE y =．（1）当点E 与点C 重合时（如图2所示），求线段AD 的长；（2）在图1中当点E 不与点C 重合时，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；（3）我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点F 在边AB 上，3CE =，如果四边形ACEF 是等邻角四边形，求线段AF 的长．【答案】（1）365（2）2020036(10)775y x x =-+≤≤（3）154或5或334【分析】（1）由点C 与点E 重合，ADE A ∠=∠可想到，过点C 作CH AB ⊥于H ，再结合Rt ACB ∆的勾股定理和面积，即可求解CH 的长，又在Rt ACH ∆中可求解AH ，最后利用等腰ACD ∆的性质即可求解AD 的长；（2）由题意想到过点E 作EM AB ⊥于M ，则可知ΔΔBME BCA ∽，即可知BM EM 、与BE 之间的数量关系，再结合ADE A ∠=∠可知ΔΔBCA EMD ∽，即可知DM 与BE 的数量关系，最后由DM AD BM AB 、、、共线的数量关系即可求解y 与x 之间的函数关系；（3）分三种情况：①当ACE CEF ∠=∠时，②当∠=∠AFE CEF 时，③当A AFE ∠=∠时，分别求解即可．【小问1详解】过点C 作CH AB ⊥于H ，在Rt ACB ∆中，9068ACB AC BC ∠=︒==，，，10AB ∴===，1122ACB S AC BC AB CH =⋅=⋅ ，6824105CH ⨯∴==，185AH ∴===，ADE A ∠=∠ ，CD AC ∴=，CH AB ⊥ ，3625AD AH ∴==；【小问2详解】过点E 作EM AB ⊥于M ，90EMB ACB ∴∠=∠=︒，B B ∠∠= ，ΔΔBME BCA ∴∽，BM EM BE BC AC AB ∴==，8610BM EM y ∴==，4355BM y EM y ∴==，，90EMB ACB ADE A ∠=∠=︒∠=∠ ，，ΔΔBCA EMD ∴∽，DM EM AC BC ∴=，3568y DM ∴=，920DM y ∴=，4105DM AD BM AB x y =+-=+- ，9410205y x y ∴=+-，2020077y x ∴=-+结合()1可知x AD =的最小值为365202003610775y x x ∴=-+≤≤（）【小问3详解】①当ACE CEF ∠=∠时，如图，//EF AC ∴，AF CE AB CB∴=，1083AB BC CE === ，，，3108AF ∴=，154AF ∴=，②当∠=∠AFE CEF时，83BC CE == ，，5BE ∴=，AFE CEF ∠=∠ ，BFE BEF ∴∠=∠，5BE BF ∴==，10AB = ，1055AF ∴=-=；③当A AFE ∠=∠时，即点F 与点D 重合，由20200277y x =-+（）得2020077BE AF =-+，202008377AF ∴-=-+，334AF ∴=；综上所述，如果凸四边形ACEF 是等邻角四边形，线段AF 的长为154或5或334．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等邻角四边形、分类讨论等知识点，属于四边形的综合应用题，具有一定难度．解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，理解等邻角四边形的定义，并注意数形结合以及分类思想的应用．。

上海第一学期九年级数学期中考试试卷及答案

上海九年级第一学期期中考试数学试卷（时间100分钟，满分150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．把ad bc =写成比例式（其中,,,a b c d 均不为0），下列选项中错误．．的是……………………………………………………………………（） A ．a cb d =； B ．b d ac =； C ．c a bd =； D ．a bc d=．2．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的…………………………………………（） A ．2倍； B ．4倍； C ．8倍； D ．16倍．3．下列命题中正确的是……………………………………………… （） A ．所有的菱形都相似； B ．所有的矩形都相似； C ．所有的等腰三角形都相似； D ．所有的等边三角形都相似．4．在Rt△ABC 中，∠B =90º，若AC =a ，∠A =θ，则AB 的长为…………（） A ．sin a θ； B ．cos a θ； C ．tan a θ； D ．cot a θ．5．点C 在线段AB 上，如果AB =3AC ， AB a =，那么BC 等于…………（） A ．13a ； B ．23a ； C ．13a -； D ．23a -． 6．已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为5cm ，若这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长可能是下列各组中的…（） A ．2 cm ，3 cm ；B ．4 cm ，6 cm ；C ．6 cm ，7 cm ；D ．7 cm ，9 cm ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若35a c b d ==（其中0b d +≠），则a cb d+=+__________．8．若线段AB 长为2cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA = cm ． 9．如图，点G 为△ABC 重心，若AG =1，则AD 的长度为_________． 10．求值:cot30ºsin60-º=_________． 11．在Rt△ABC 中，∠C =90º，若1tan 3A =，则cot A 的值为_________． 12．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若13AD BD =，DE ＝2，则BC 的长为_______．13．如图，1l ∥2l ∥3l ，AB =2，AC =5，DF =7.5，则DE =_________． 14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 是边CD 、BC 边的中点，若AD a =，AB b =，则EF =___________．（结果用a 、b 表示）15．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 交于点O ，若AD ∶BC = 5∶4，BO =1，DO(第13题图)B(第9题图)B(第12题图)A(第14题图)=2.5，则AD =___________．16．如图，在△ABC 的边BC 上，若DAC B ∠=∠，且BD =5，AC = 6，则CD 的长为___________．17．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，若2AD =，4BD =，4AC =，且△ADE 与ABC 相似，则AE 的长为___________．18．在答题纸的方格图中画出与矩形ABCD 相似的图形''''A B C D （其中AB 的对应边''A B 已在图中给出）．三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）19．已知两个不平行的向量, a b ，求作向量： 32()()2a b a b ---．20．如图，已知点D 、F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AD ADAB=．ab(第19题图)AC(第18题图)B DB ’A ’(第16题图)CC(第15题图)求证：EF ∥DC ．21．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90º，AC = 3，1tan 2B ． (1) 求BC 的长； (2) 求cos A 的值．22．如图，竖立在点B 处的标杆AB 长2.1米，某测量工作人员站在D 点处，此时人眼睛C 与标杆顶端A 、树顶端E 在同一直线上(点D 、B 、F 也在同一直线上，已知此人眼睛与地面的距离CD 长1.6米，且BD = 1米，BF = 5米，求所测量树的高度．CAB(第21题图)B(第20题图)BC A 树标杆人FED(第22题图)四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）23．如图，BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高，BE 与CF 相交于点D ． (1) 求证：△ABE ∽△ACF ； (2) 求证：△ABC ∽△AEF ；(3) 若4ABC AEFS S=，求cos BAC ∠的值．24．如图所示，在△ABC 中，已知6BC =，BC 边上中线5AD =。

上海市浦东新区张江集团中学2024-2025学年九年级第一学期期中考试数学试卷

张江集团中学2024学年第一学期初三数学诊断练习（4）满分：150分 2024.10.28班级__________________学号__________________姓名__________________成绩__________________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1．将抛物线251y x =−+向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为（） A ．25(1)1y x =−−−B ．25(1)2y x =−−−C ．25(1)1y x =−+−D ．25(1)3y x =−++2．已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使ab ＝cx ，则下列作图中（AB ∥CD ）作法正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，下列式子中正确的是（） A ．sin ACA AB=B ．cos CDA AC=C ．tan CDA BD=D ．cot ACA BC=4．下列说法正确的有（）个①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等； ④三角形的外心到三角形各顶点距离相等 A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(1,2)，连接OB ，将OAB ∆沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置，则cos COD ∠的值是（）A ．35B ．45C ．34D ．126．如图，在正方形ABCD 中，△AOD 是等边三角形，AO 和DO 的延长线分别交边BC 于点E 和点F ，联结BD 交线段AO 于点G ，联结BO ，下列结论中错误的是（） A ．2AE CF =B ．2BO GO AO =⋅C ．△BEO ∽△DOGD ．DO BOBO EO=二．填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．已知43a b =，则2bb a−= ． 8．二次函数2(1)1y x =−+的图象与y 轴的交点坐标是．9．在一个斜坡上前进5米，铅垂高度升高了3米，则该斜坡坡度i = ．10．已知O 的半径为5cm ，A 为线段OB 的中点，当9OB cm =时，点A 与O 的位置关系是点A 在．11．在Rt △ABC 中，90A ∠=︒，若sin B =，则cot C = ． 12．如图，在ABC ∆中，3BC =，点G 是ABC ∆的重心，如果//DG BC ，那么DG = ． 13．已知点1(3,)A y −和2(2,)B y 在二次函数22(0)y ax ax c a =++<图象上，则1y 2y ．（填>、<或=）14．抛物线21y x x =−−关于坐标原点对称的抛物线的解析式为．15．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，DE ：EC ＝2：3，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ．若S △DEF ＝2，则S △ABE ＝．第5题图第6题图第12题图第15题图 16．定义：如果△ABC 内有一点P ，满足PAC PCB PBA ∠=∠=∠，那么称点P 为△ABC 的布罗卡尔点，如图，在△ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点P 为△ABC 的布罗卡尔点，如果2PA =，那么PC = ．17．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，若45BEC ∠=︒且4AE =，2ED =，则AB 的长为． 18．已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC 、DC的延长线交于点E 、F ，连接EF ．当△AEF 是直角三角形时tan ∠AEB =______．第16题图第17题图第18题图三．解答题（本大题共7题，第19~22题每题10分；第23、24题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2145cos 302sin 6042tan 60︒+︒−+︒−︒20．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．E 为边AB 上一点，且2BE AE =．设AB a =，AD b =．（1）填空：用向量a ，b 的式子表示向量DE = ；（2）如果点F 是线段OC 的中点，那么用向量a ，b 的线性组合表示向量EF = ，并在图中画出向量EF 在向量AB 和AD 方向上的分向量．21．如图，AB ，AC 是O 的两条弦，且AB AC =．（1）求证：AO 平分BAC ∠；（2）若AB =8BC =，求半径OA 的长．22．如图，A 点、B 点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B 点正东方向的7.00km 处有一海岸瞭望塔C ，又用经纬仪测出：A 点分别在B 点的北偏东57︒处、在C 点的东北方向．（1）试求出小岛码头A 点到海岸线BC 的距离；（2）有一观光客轮K 从B 至A 方向沿直线航行，某瞭望员在C 处发现，客轮K 刚好在正北方向的D 处，当客轮航行至E 处时，发现E 点在C 的北偏东27︒处，请求出E 点到C 点的距离；（注:tan 330.65︒≈，sin 330.54︒≈，cos330.84︒≈，结果精确到0.01)km23．如图，已知在△ABC 中，2BAC B ∠=∠，AD 平分BAC ∠，//DF BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且E C ∠=∠．（1）求证：2AD AF AB =⋅；（2）求证：AD BE DE AB ⋅=⋅．E24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线23y ax bx=+−的图像与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，D是线段OA上一点．（1）求这条抛物线的表达式和点C的坐标；（2）如图，过点D作DG⊥x轴，交该抛物线于点G，当∠DGA＝∠DGC时，求△GAC的面积；（3）点P为该抛物线上第三象限内一点，当OD＝1，且∠DCB +∠PBC＝45°时，求点P的坐标．25. 已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边AD上一点，将△ABP沿直线BP翻折，使点A落在点E处，联结DE，直线DE与射线CB交于点F.（1）如图1，当点F在边BC上，若PD=BF时，求AP的长；（2）若射线AE交BC的延长线于点Q，设AP=x，QC=y，求y与x的函数解析式，并写出x定义域；（3）①如图2，直线DE与边AB交于点G，若△PDE与△BEG相似，求∠AEG的正切值；②如图3，当直线DE与BP的延长线交于点H，若△BPE和△DHP面积相等，请直接写出DH的长图1 图2 图3。

2024-2025学年上海市闵行区九年级上学期数学期中试卷

2024学年第一学期期中考试九年级数学试卷（考试时间：100分钟满分150分）1.本试卷含三个大题,共25题,答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答在草稿纸,本试卷上答题一律无效.2.除第一,二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.3.本次考试不可以使用科学计算器.一,选择题（本大题共6题,每小题4分,满分24分）1.如果两个相似三角形对应边之比是1:4,那么它们的对应边上的中线之比是（）A.1:2B.1:16C.1:8D.1:42.在ABC △中,已知90C ∠=︒,5AB =,4BC =,那么cos B 的值为（） A.34 B.35 C.45 D.433.在ABC △中,D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,在下列已知条件中,不能判定//DE BC 的是（） A.CE BD EA DA = B.DE AE BC AC = C.AC AE AB AD = D.CE BD CA BA =4.下列命题中,假命题的是（）A.如果0k =或0a =,那么0ka =B.如果m ,n 为实数,那么()()m na mn a =C.如果a kb =（k 为实数）,那么//a bD.如果||3a =,那么3a b =或3a b =-5.如图,传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3,它把物体从地面点A 处送到离地面3米高的B 处,则物体从A 到B 所经过的路程为（）A. B. 米 D.9米6.如图,在正方形ABCD 中,点E ,M 是边AD ,CD 上的点,BE ,BM 与AC 交于点F ,G .如果45EBM ∠=︒,那么下列结论中,错误的是（）A.AEF CBF △∽△B.CMG BFG △∽△C.ABG CFB △∽△D.ABF CBG △∽△ 二,填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分）7.已知43x y =,那么2x x y=+________. 8.上海与杭州的实际距离约200千米,在比例尺为1:5000000的地图上,上海与杭州的图上距离约________厘米.9.已知e 为单位向量,向量a 与e 的方向相反,且长度为6,那么a =________.（用e 表示）10.已知P 是线段AB 上的一点,且2AP AB BP =⋅,如果2AB =,那么AP 的长是________.11.已知两个相似三角形的周长之比是2:3,面积之差是50,那么这两个三角形中较小三角形的面积是________.12.已知D ,E 分别是ABC △的边AB ,AC 上的点（不与端点重合）,且DE 与BC 不平行,要使得ADE △与ABC △相似,那么添加一个条件可以为________（只填一个）.13.在ABC △中,已知13AB AC ==,12tan 5B =,点G 是ABC △的重心,那么AG 的长是________. 14.如图,已知////AD BE CF ,如果32AB BC =,4AD =,9CF =,那么BE 的长是________.15.如图,某兴趣小组用无人机进行航拍测高,无人机从相距1号楼和2号楼的地面正中间点B 垂直起飞到点A 处,测得1号楼顶部E 的俯角为60︒,测得2号楼顶部F 的俯角为45︒.已知1号楼的高度为20米,那么2号楼的高度为________米（结果保留根号）.16.已知在梯形ABCD 中,//AD BC ,90ABC ∠=︒,对角线AC ,BD 相交于点O ,且AC BD ⊥,如果:2:3AD BC =,那么:DB AC =________.17.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,9AB =,cot 2A =,点D ,E 在边AB ,AC 上,将ADE △沿着DE 翻折后,点A 的对应点在线段BC 的延长线上的点P 处,如果BPD A ∠=∠,那么DE 的长为________.18.Rt ABC △中,90C ∠=︒,3AC =,2BC =,将此三角形绕点A 旋转,当点B 的对应点D 在直线BC 上,点C 的对应点在点E 处,那么BDE △的面积是________.三,解答题（第19-22题,每题10分,第23-24题,每题12分,第25题14分,共78分）19.（本题满分10分） 2.20.（本题满分10分,第（1）小题6分,第（2）小题4分）如图,点E 在平行四边形ABCD 边BC 上一点,对角线AC ,BD 相交于点O ,AE ,AC 交BD 于点G ,O ,已知:3:1AG GE =.（1）求:EC BC 的值.（2）设BA a =,AO b =,那么EC =_______,GB =_______（用向量a ,b 表示）.21.（本题满分10分,其中每小题各5分）已知：如图,在ABC △中,6AB AC ==,4BC =,AB 的垂直平分线交AB 于点E ,交BC 的延长线于点D .（1）求CD 的长度.（2）过C 作CH DE ⊥于点H ,求CH 的长度.22.（本题满分10分）图1是一款平板电脑支架,由托板,支撑板和底座构成.工作时,可将平板电脑吸附在托板上,底座放置在桌面上.图2是其侧面结构示意图,已知托板AB 长200mm,支撑板CB 长80mm,当130ABC ︒∠=,70BCD ∠=︒时,求托板顶点A 到底座CD 所在平面的距离（结果精确到1mm ）.（参考数据：sin700.94≈︒,cos700.34≈︒,tan70 2.75≈︒, 1.41≈ 1.73≈）图1 图223.（本题满分10分,其中每小题各6分）如图在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,D ,E 分别位于边AB ,BC 上.且CD CA =,DE AB ⊥.（1）求证：2CA CE CB =⋅.（2）联结AE ,取AE 的中点M ,联结CM 并延长交AB 于点H .求证：CH AB ⊥.24.（本题满分12分,第（1）小题2分第（2,3）小题各5分）如图在平面直角坐标系xOy 内,已知点(1,0)A ,(5,0)B ,(3,4)C -,(0,3)D ,点P 在x 轴的负半轴上,且AP AB =.（1）求直线PD 的表达式.（2）点M 是直线PD 在第三象限上的点,联结AM ,且2MP PA PB =⋅,求tan PMA ∠的值.（3）在（2）的条件下,联结AC ,BC ,在直线CM 上是否存在点E ,使得AEC ACB ∠=∠.若存在,求出点E 的坐标,若不存在,请说明理由.25.（本题满分14分,其中第（1）小题4分,第（2）小题4分,第（3）小题6分）已知,在梯形ABCD 中,//AB CD ,90ABC ∠=︒,6AB =,8BC =,tan 2D =,点E 是射线CD 上一动点（不与点C 重合）,将BCE △沿着BE 进行翻折,点C 的对应点记为点F .图1 图2 图3 图4（1）如图1,当点F 位于梯形ABCD 的中位线MN 上时,求CE 的长.（2）如图2,当点E 在线段CD 上时,设CE x =,BFC EFCS y S =△△,求y 与x 之间的函数关系式,并写出定义域. （3）如图3,联结AC ,线段BF 与射线CA 交于点G ,当CBG △是等腰三角形时,求CE 的长.。

2022-2023学年上海市浦东新区九年级上学期期中考质量检测数学卷带讲解

【答案】6
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得，则即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即，
解得：，
∴ ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键．
13.如图，点、分别是、的中点，则 ________．
2022学年第一学期期中质量检测九年级数学学科试卷
（完卷时间90分钟，满分150分）
一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1.已知，那么的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【答案】
【解析】【分析】点、分别是、的中点，可知是的中位线，则，即相似比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到，且，由此即可求解．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴ ，，，即是的中位线，
且，
∴ ，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ ，则，
∴ ，
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】【分析】（1）由，，可得，根据相似三角形的性质可得，变形为，即可证明，得到，即可推导出，结合即可证明；
（2）由，根据相似三角形的对应边成比例可得答案．
【小问1详解】
证明：∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，

上海市金山区廊下中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(解析版)

2023学年第一学期期中诊断评估九年级数学试卷（考试时间：100分钟满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（）A. 1、2、3、4；B. 1、2、4、8；C. 2、3、4、5；D. 5、10、15、20．【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A 、，故本选项不符合题意；B 、，故本选项符合题意；C 、，故本选项不符合题意；D 、，故本选项不符合题意；故选：B ．2. 在中，点、分别在边、上，如果，，那么下列条件中能够判断的是（）A.B.C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定等，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出，根据相似推出，根据平行线的判定得出即可．【详解】如图：4123⨯≠⨯1824⨯=⨯2534⨯≠⨯5201015⨯≠⨯ABC D E AB AC 3AD =6BD =DE BC ∥31AE AC =31DE BC =12AE AC =12DE BC =ADE ABC △△∽ADE B ∠=∠故A 选项符合题意．其它选项都不能判断出即不能判断出．故选：A ．3. 下列判断不正确的是（）A. ；B. 如果向量与均为单位向量，那么或；C. 如果，那么；D. 对于非零向量，如果，那么．【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量、平行向量、单位向量，根据平面向量的性质逐一判断即可得出答案，解题的关键是熟练掌握基本知识．【详解】解：A 、，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意；B 、如果向量与均为单位向量，那么它们的模相等，即，原说法错误，故本选项符合题意；C 、如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意；D 、对于非零向量，如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意；13,6,,3AE AD =BD AC == 1,3AD AE AB AC ∴==,DAE BAC ∠=∠ ,ADE ABC ∴ ∽,ADE B ∴∠=∠,DE BC ∴∥,ADE ABC ∽DE BC ∥()222a b a b +=+ a b a b = a b =- a b = a b = b ()0a k b k =⋅≠ a b ()222a b a b +=+ a b a b = a b = a b = b ()0a k b k =⋅≠ a b4. 如图，点都是方格纸中的格点，为使（点和对应，点和对应），则点应是四点中的（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图形可知△ABC 的边AB=4，AC=6 DE=2，当△DEM ∽△ABC 时，AB 和DE 是对应边，相似比是1：2，则AC 的对应边是3，则点M 的对应点是H ．【详解】解：根据题意，∵△DEM ∽△ABC ，AB=4，AC=6 DE=2∴DE ：AB=DM ：AC∴DM=3∴M 点的对应点应是H故选C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等.5. 如图，下列条件中不能判断和相似的是（）A. B. C.D. ,,,,,,,,A B C D E F G H K 78⨯DEM ABC ∆∆ D A E B M ,,,F G H K FG H KACD ABC ACD B∠=∠ACB ADC ∠=∠AC AB CD BC=2AC AD AB =⋅【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理即可进行解答．【详解】解：A 、∵，，∴，故A 不符合题意；B 、∵，，∴，故B 不符合题意；C、由，不能判断和相似，符合题意；D 、∵，∴，又∵，∴，故D 不符合题意；故选：C ．6. 如图，在中，点是边延长线上的一点，交于点，下列各式中可能错误的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到再利用平行线分线段成比例定理即可判断A 和B 选项，再利用平行线分线段成比例定理和等量代换即可判断C 选项，再证明，即可判断D 选项【详解】四边形是平行四边形，，，ACD B ∠=∠BAC CAD ∠=∠ACD ABC △△∽ACB ADC ∠=∠BAC CAD ∠=∠ACD ABC △△∽AC AB CD BC=ACD ABC 2AC AD AB =⋅AC AB AD AC=BAC CAD ∠=∠ACD ABC △△∽ABCD Y E BA CE AD F AE FE AB FC =AE AF AB DF =AE AF BE AD =BE CF BC FD= ABCD ∴AD BC ∥AB CD ∥，，，故选项A 和选项B 正确，不符合题意；故选项C 正确，不符合题意；四边形是平行四边形，，，，，故选项D 错误，符合题意；故选：D【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质．二、填空题：（本大题有12小题，每题4分，满48分）7. 如果，那么___________________．【答案】##【解析】【分析】根据分式的性质化简，再整体代入即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：【点睛】本题考查了分式化简求值，注意整体代入思想的应用．8. 已知线段厘米，厘米，那么线段和比例中项_________厘米．的的∴AE FE AB FC =AF EF DF FC=∴AE AF AB DF =∴AB DF AE AF=∴AB AE AF DF AE AF++=∴BE AD AE AF=∴AE AF BE AD = ABCD ∴B D ∠=∠AB CD ∥∴E FCD =∠∠∴BEC DCF∽∴FBE BC DC D =23x y =x y y+=5321323x y =251133x y x y y +=+=+=532a =8c =a c b =【答案】【解析】【分析】本题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，即可求解．详解】解：依题意，厘米，厘米，∴厘米，故答案为：．9. 在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．根据比例尺图上距离实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【详解】解：设这条道路的实际长度为，则：，解得．故答案是：．10. 线段长为，点在线段上，且满足，那么的长为_______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根据题意设的长可以得出，利用给定的关系式可列出关于x 的方程求解即可．【详解】解：设，则，根据得代入得，解得（舍去），故答案为：．11. 若两个相似三角形周长比是4：9，则对应角平分线的比是______．【答案】4∶9【解析】【的4::a b b c =2a =8c =4b =41:500007cm km 3.5=:x 1750000x=()350000 3.5km x ==3.5AB 4cm P AB BP AP AP AB =AP cm 2AP BP =AP BP AB APAP x =4BP x =-=AP BP AB AP2AP AB BP =⋅()244x x =⨯-2x =-+2x =--2-【详解】试题解析：两个相似三角形的周长比是这两个三角形的相似比是对应角平分线的比等于相似比,是故答案是：点睛：相似三角形的周长比等于相似比.对应角平分线，中线，高之比都等于相似比.面积比等于相似比的平方.12. 如果向量与单位向量方向相反，长度为，那么向量用单位向量表示为 ___．【答案】【解析】【分析】由向量与单位向量方向相反，且长度为，根据向量的定义，即可求得答案．【详解】解：∵向量与单位向量方向相反，且长度为，∴＝−故答案为：＝−．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．13. 如图，，，，那么_________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，熟练掌握性质并用其求解是基本要求．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．【详解】∵，，，∴，即∴．4:9.∴4:9.4:9.4:9.a e 12a e 12a e =-a e 12a e 12a 12ea 12e AD BC ∥E F ∥23AE BE =4cm DF =FC =cm AD BC ∥E F ∥23AE BE =4cm DF =23AE DF BE FC ==423FC =6FC =故答案为：6．14. 如图，在中，点、分别在边、上，如果，，那么与四边形的面积之比是_________．【答案】【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是本题的解题关键．利用平行判定，然后利用相似三角形的性质求得，从而求解．【详解】解：∵，∴．∵，∴．∴．故答案为：．15. 如图，在中，，，是的重心，那么点到直角顶点的距离_________．【答案】【解析】【分析】本题考查三角形的重心的概念和性质、直角三角形的性质、根据点G 是的重心，可得点ABC D E AB AC :3:5AD AC =ADE C ∠=∠ADE V BCED 9:16ADE ACB ∽925ADE ABC S S =△△A A ∠=∠ADE C∠=∠ADE ACB ∽:3:5AD AC =925ADE ABC S S =△△:9:16ADE BCED S S =四边形△9:16Rt ABC △90ACB ∠=︒15AB =G Rt ABC △G C GC =5ABCM 是的中点，且，问题随之得解【详解】如图所示，延长与交于点M ，∵在中，，∴是直角三角形，∵点G 是的重心，∴，∵点G 是的重心，∴．故答案为：5 ．16. 如图，在中，平分，，，，则________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，先由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，设，则，证明，得到，即，解方程即可得到答案．【详解】解；∵平分，∴，∵，∴，∴，AB 23CG CM =CG AB ABC 90ACB ∠=︒ABC ABC 11522CM AB ==ABC 253CG CM ==ABC BE ABC ∠DE BC ∥3AD =6BC =DE =3DEB DBE ∠=∠DE BD =DE BD x ==3AB AD BD x =+=+ADE ABC △△∽AD DE AB BC =3336x =+BE ABC ∠ABE CBE ∠=∠DE BC ∥DEB CBE ∠=∠DEB DBE ∠=∠∴，设，则，∵，∴，∴，即，解得，经检验，是原方程的解，∴，故答案为；3．17. 如图，正方形的边在的边上，点、分别在边、上．如果的边长为6，面积为24，那么正方形的边长_________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【详解】解：作交于点，交于点，由正方形得，即，，．DE BD =DE BD x ==3AB AD BD x =+=+DE BC ∥ADE ABC △△∽AD DE AB BC =3336x =+3x =3x =3DE =DEFG EF ABC BC D G AB AC ABC BC DEFG 247337∥DG BC △∽△ADG ABC AH BC ⊥BC H DG P DEFG DG EF ∥∥DG BC AH BC ⊥ AP DG ∴⊥由得，．，，，，即，∵的边长为6，面积为24，∴，∴，设正方形的边长，得，解得．故正方形的边长是．故答案为：．18. 如图，梯形中，，，，将梯形沿直线翻折，使得点与点重合，折痕与边、相交于点、．如果，那么的值是_________．【答案】【解析】【分析】先得出，再设，结合梯形性质以及矩形性质，得出，运用勾股定理得，证明。

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浦东新区第四教育署2011 学年度第一学期初三数学期中调研卷
（满分 150 分，考试时间100 分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25 题：
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1、下列叙述正确的是（）．
（A ）有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似；
（B）任意两个等腰三角形都相似；
（C）任意两个等边三角形都相似；
（D）各有一个角是 300的两个平行四边形相似．
2、下列式子中，正确的是（）．（ A）a ( a) 0；（ B）3( a)3a ；（C） 2( a b) 2a b ；（D） a b b a .
3、△ ABC中， D、E 在 BA，CA的延长线上， DE∥ BC ，下列比例式中，正确的是（）．
DA AC DA EA
；DA DE DA EA
(A)；(B)
AB (C)
BC
； (D)．
DB EC AC DB DB EC
4、在△ ABC中，∠ C=90，以下条件不能解直角三角形的是（）
（ A ）已 a 和∠ A ；（ B）已知 a 和 c；（ C）已知∠ A 和∠ B；（ D）已知 c 和∠ B
5、以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以A
小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC 相似
的三角形图形有()
B C
（ A ）（B ）（ C）（D ）
6、已知AE 、CF 是锐角△ ABC 的两条高，如果AE ∶ CF=3∶ 2，则 sin∠ BAC
等于（（A ）3∶2 ；（B）2∶3；（C）4∶9；（D）9∶4二、填空题：（本大题共12 题，每题 4 分，满分48 分）∶sin∠ACB
）．
x y
，则x y
7、已知：
7_________．
5y
8、在比例尺为1：10000 的地图上，相距 6 厘米的两地 A 、B 的实际距离是千米．
9、若ABC和A1B1C1是相似图形，且点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应
点，已知∠ A= 65，∠ B= 60，则∠ C1=．
10、已知： AB=6 ， P 是 AB 黄金分割点， PA>PB，则 PＡ的长为．
11、在ABC中， D、 E 分别在、AD 2
，且 AC=10，则
AB AC上，且 DE∥ BC，如果
3
DB
AE=．
12、两个相似三角形的面积之比为1： 2，则它们的对应角平分线的比值为．
13、在 Rt ABC中，∠ C= 90，若 c= 23 ，b=3，则tanB=．
14、如果等腰三角形中的两条边长分别是３和5，那么底角的余弦为．
15、已知直角三角形的斜边为18cm ，那么该直角三角形的重心到直角顶点的距离为cm
16、已知向量a、b、x满足关系式2a3(b x)0 ，那么用向量 a 、 b 的线性组合表示
向量 x ＝______________．
A
C
68
E
B A B D C
D
（图 2）
（图 1）
6 和 8，现将△ABC如图那样折叠，17、已知：如图 1 直角三角形纸片的两直角边长分别为
使点 A 与点 B 重合，折痕为DE ，则cos CBE的值是_______________．
18、已知：如图2，在△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的角平分线， AB=3， AC=2，∠ BAC =120°，
则AD
的值 =______________ ．AB
三、解答题（本大题共10 题，满分 78 分）
19．（本题满分10 分）
计算： 2cos30sin2 60 tan 45 cot 30 ．
20．（本题满分10 分）
如图： D 是 BC 的中点，过 D 的一条直线交 AC 于 F ，交 BA 的延长线于E，AG ∥ BC. 交 DE 于G
求证： EG FD ED FG E
A
G
F
B
D C
21．（本题满分 10 分）
已知：如图，在
△ ABC 中，∠B=45 °，∠C=60°， AB=6 ．
求： BC 的长（结果保留根号）．
22．（本题满分 10 分）
E
如图： □ABCD 中， E 是 CD 的延长线上一点，
A
F
BE 与 AD 交于点 F ，
D
BC 3DF ，△ DEF 的面积为１，
求： □ABCD 的面积．
B
C
23．（本题满分 12 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（ 2）小题满分 6 分）
如图：在△ ABC 中，点 D 、 E 、F 分别在 AB 、 AC 、 BC 边上，四边形
BFED 是菱形，
AF 与DE 交于点 G ，已知 AB ＝ 3， BC ＝ 6，
（1）求证：
GE
DG ； A
FC
DE
D
E
（2）求： GE 的长．
G
B F C
24．（本题满分12 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（ 2）小题满分 6 分）
5
如图：在梯形ABCD中， AD∥BC， AC⊥AB， AD=CD， cosB=，BC=26．
求：（ 1） cos ∠ DAC的值；（ 2）线段 AD的长．
A D
B C
25．（本题满分12 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 5 分，第（ 3）小题 5 分）如图：在正方形ABCD 中， AB = ２， E 为线段 CD 上一点，（点 E 与点 C、 D 不重合）， FG 垂直平分 AE ，且交 AE 于 F，交 AB 延长线于 G，交 BC 于 H，
（1）证明：△ ADE ∽△ GFA ；
（2）设 DE = x， BG = y，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域；
（ 3）当BH=1
时，求 DE 的长．D E C
4
F
H
A B G。