高一数学上学期学科竞赛试题
高一数学第一学期期末学科竞赛
高一数学第一学期期末学科竞赛高一数学第一学期期末学科竞赛试题(本试卷满分150分,用时120分钟)一.选择题(本题共6个小题,每小题5分满分30分)1.若关于_的方程有负数根,则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.2.已知的小数部分为a,则的小数部分为( )A.的小数部分B.的小数部分C.的小数部分D.以上都不正确3.过空间一定点P的直线中,与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有( )A.0条B.1条C.4条D.无数多条4.已知集合是集合的子集,且对任意,都有,则集合中的元素最多有( )A.67个B.68个C.69个D.70个5.已知P 为直线y = _ + 1 上的一点,M.N 分别为圆C1: ( _ -4) 2 + ( y - 1) 2 = 4 与圆C2 : _2+ ( y - 2) 2 = 1 上的点. 则 PM - PN 的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 76.在边长为12的正三角形中有n个点,用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点,则n的最小值是( )A.17B.16C.11D.10二.填空题(本题共8个小题,每小题5分,满分40分)7.已知函数,设,,,其中0_lt;c_lt;b_lt;a_lt;1,那么_.y.z的大小顺序为_________.8.已知实数_.y满足,则_____．9.用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为,能包容此框架的最小球的半径为,则等于10.若关于_的方程有正数解,则实数a的取值范围为__________.11.已知集合A={(_,y) _2+y2-2_cosa+2(1+sina)(1-y)=0,a∈R},B={(_,y)y=k_+3,k∈R}．若A∩B为单元素集,则k=______.12.对于实数_,当且仅当n≤_＜n＋1(n∈N＋)时,规定[_]＝n,则不等式的解集为.13.在△ABC中,AB＝,AC＝,BC＝,有一个点D使得AD平分BC并且∠ADB是直角,比值能写成的形式,这里m,n是互质的正整数,则m＋n＝.14.对任意实数_.y．定义运算__y 为:__y=a_+by+c_y 其中a.b.c 为常数,等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1_2=3,2_3=4,并且有一个非零实数d,使得对于任意实数_,都有__d=_,则d=____________．三.解答题(本题共4小题,每小题20分,满分8 0分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.设a＞0,函数 f : (0,＋∞) → R满足f(a)＝1．如果对任意正实数_,y 有, ①求证: f(_)为常数．16.如图,四边形内接于圆,是的中点,,,,是线段和的交点,求证:.17.已知.是关于的二次方程的两个根,且,若函数．(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)对任意的正数.,求证:．18.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识. 求证:可以从中找出4个人两两认识;(2)试问, 如果其中任何6个人中都有3个人两两认识, 那么是否一定可以找出4个人两两认识?参考答案:一.选择题(本题共6个小题,每小题6分满分36分)1.若关于_的方程有负数根,则实数a的取值范围为( D )A. B. C. D.2.已知的小数部分为a,则的小数部分为A.的小数部分B.的小数部分C.的小数部分D.以上都不正确3.过空间一定点P的直线中,与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有(C )(A)0条(B)1条(C)4条(D)无数多条4.已知集合是集合的子集,且对任意,都有,则集合中的元素最多有( )(A)67个(B)68个(C)69个(D)70个5.已知P 为直线y = _ + 1 上的一点,M.N 分别为圆C1: ( _ -4) 2 + ( y - 1) 2 = 4 与圆C2 : _2+ ( y - 2) 2 = 1 上的点. 则 PM - PN 的最大值为( C )A. 4B. 5C. 6D. 75.设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA.PB的延长线分别交于Q.R,则和式( )A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值,两者不等D．是一个与面QPS无关的常数5.设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为α,PC与面PAB所成角为β,则vS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ.另一方面,记O到各面的距离为d,则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS,S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα,故有:PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS),即=常数.故选D.6.在边长为12的正三角形中有n个点,用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点,则n的最小值是[ ]A.17B.16C.11D.10解:如图(1),作一个分割,在每个交叉点上置一个点,这时任意两点间距离不小于4,4_gt;2(硬币直径),故这时硬币不能盖住其中的两个点,说明n=10是不够的.如图(2),另作一个分割,得到16个全个等的边长为3的正三角形,其中〝向上〞的三角形共有10个,它们的外接圆的半径正好是.借助图(3)可以证明:只要图(2)中的10个〝向上〞的三角形都用硬币覆盖,则三角形ABC完全被覆盖,这时若在三角形ABC内置11个点,则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n的最小值是11,所以选(C).二.填空题(本题共6个小题,每小题5分,满分30分)7.已知函数,设,,,其中0_lt;c_lt;b_lt;a_lt;1,那么_.y.z的大小顺序为____ __gt;y_gt;z _____.8.已知实数_.y满足,则_____．9.用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为,能包容此框架的最小球的半径为,则等于10.若关于_的方程有正数解,则实数a的取值范围为__(－2,0]__.11.已知集合A={(_,y) _2+y2-2_cosa+2(1+sina)(1-y)=0,a∈R},B={(_,y)y=k_+3,k∈R}．若A∩B为单元素集,则k=______.12.对于实数_,当且仅当n≤_＜n＋1(n∈N＋)时,规定[_]＝n,则不等式的解集为12.解得,故所以13.在△ABC中,AB＝,AC＝,BC＝,有一个点D使得AD平分BC并且∠ADB是直角,比值能写成的形式,这里m,n是互质的正整数,则m＋n＝13.设BC中点为E,AD＝,由中线公式得AE＝故,＝所以m＋n＝27＋38＝6514.对任意实数_.y．定义运算__y 为:__y=a_+by+c_y 其中a.b.c 为常数,等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1_2=3,2_3=4,并且有一个非零实数d,使得对于任意实数_,都有__d=_,则d=____________．【题说】1985 年全国联赛一试题 2(4)．原题为填空题．【解】由所设条件,有1_2=a+2b+2c=3(1)2_3=2a+3b+6c=4(2)__d=a_+bd+c_d=(a+cd)_+bd=_(3)由(3)得a+cd=1(4)bd=0(5)因d≠0,故由(5)式得b=0．再解方程(1)及(2),得a=5,c=-1,最后由(4)式得d=4．三.解答题(本题共4小题,每小题20分,满分8 0分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.设a＞0,函数 f : (0,＋∞) → R满足f(a)＝1．如果对任意正实数_,y 有, ①求证: f(_)为常数．(朱华伟提供)证:在①中令_＝y＝1,得f2(1)＋f2(a)＝2 f(1),(f(1)－1)2＝0, ∴f(1)＝1.在①中令y＝1,得f(_)f(1)＋f()f(a)＝2 f(_),f(_)＝f(),_＞0.②在①中取y＝,得f(_)f()＋f()f(_)＝2 f(a),f(_)f()＝1. ③由②,③得:f2(_)＝1,_＞0.在①中取_＝y＝,得f2()＋f2()＝2 f(t),∴f(t)＞0.故f(_)＝1,_＞0.14.(20分)如图,四边形内接于圆,是的中点,,,,是线段和的交点,求证:.证:作⊥,⊥(为垂足)则.设PG∩＝k,因共圆,.故∥⊥是的中点.(因△为等腰三角形),为平行四边形,(因P.E.K.F为四边形各边中点)..(对角线互相平分).17.已知.是关于的二次方程的两个根,且,若函数．(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)对任意的正数.,求证:．(13)【解】(Ⅰ)由书籍,根据韦达容不得有,,,∴………………………………………5分(Ⅱ)已知函数,∴而且对,,于是,∴函数在上是增函数……………………………………………10分注意到对于任意的正数.,即,同理．………………………15分∴,,．于是,∴．而,∴．……………………………………20分16.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识. 求证:可以从中找出4个人两两认识;(2)试问, 如果其中任何6个人中都有3个人两两认识, 那么是否一定可以找出4个人两两认识?(苏淳提供)解法1:(1)用8个点表示8个人,相识二人之间连一线段.按图论语言,这些点称为图的顶点,线段称为图的边.按照题意,该图的每个5点子图中均有一个三角形,而每个三角形属于＝＝10个不同的5点子图.我们知道,这些三角形共有3＝3_56＝168条边,其中每条边至多被重复计算了10次.这样一来,即知:每个顶点至少连出条边.所以存在一个顶点A,由它至少连出5条边.假设由顶点A有边连向B,C,D,E,F这5个顶点,而由题意在这5个点中又存在一个三角形,不妨设为△BCD.于是A,B,C,D这4个点中的任何二点之间均有连线,所以它们所代表的4个人两两认识.(2)如果其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 则不一定可以找出4人两两彼此认识, 例子为:在正八边形中连出8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 但是却找不出4人两两彼此认识.解法2:(1)分情形讨论.情形(i)如果存在3个人两两互不认识. 那么其余5个人必然两两都认识. 因若不然,假如他们之中有二人互不认识, 则在他们与原来的3个人一起构成的5人组中就找不出3个人两两认识, 导致矛盾.所以此时题中结论成立.情形(ii)在剩下的情形中, 任何3人中,都有某两个人相互认识.(a)如果8个人中有1个人A至多认识3个人, 那么他至少不认识4个人. 显然这4个人中的任何二人都彼此认识. 因若不然,这两个人与A一起构成的3人组中就没有二人互相认识, 导致矛盾.所以此时题中结论成立.(b)如果存在1个人A至少认识5个人.那么这5个人中有3个人两两彼此认识, 他们又都认识A, 所以他们与A一起即为所求之4人.情形(iii)只需再考虑每个人都恰好有4个熟人,并且任何3人中都有两人相互认识的情形.任取其中一人A. 假如A的4个熟人两两认识, 那么他们即为所求. 否则,其中就有B,C二人互不认识. 易知, 此时A有3个不认识的人F,G.,H, 而这3个人中的任何两人都与A构成3人组,所以F,G.,H中的任何两人都相互认识. 如果B,C之一与F,G.,H中的每个人都彼此认识,那么此人与F,G.,H一起构成所求的4人组.否则, B,C二人分别不认识F,G.,H中的一个人.易知, B和C不可能不认识他们中的同一个人, 否则该人与B,C所成的3人组中任何二人均互不认识, 导致矛盾. 这就表明,B和C分别不认识F,G.,H中的两个不同的人, 不妨设B不认识F, 而C不认识G. 现在把B,F,A,G,C依次排在一个圆周上, 于是任何两个相邻放置的人都互不认识. 然而他们中的任何三个人中都一定有在圆周上相邻的两个人, 从而在他们之中找不到3个人两两认识, 导致矛盾,所以这种情况不可能存在.综合上述, 在一切可能的情况下, 都能找出4个人两两都彼此认识.(2)如果其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 则不一定可以找出4人两两彼此认识, 例子为:在正八边形中连出8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 但是却找不出4人两两彼此认识.。
【必刷题】2024高一数学上册数学竞赛基础专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高一数学上册数学竞赛基础专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知函数f(x) = x² 2x + 1，那么f(x)在区间（∞，1）上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先单调递增后单调递减D. 先单调递减后单调递增2. 下列等比数列中，公比为2的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 3, 9, 27, 81D. 3, 6, 12, 24, 483. 设集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x²2x3=0}，则A∩B的结果是（）A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}4. 若向量a=(2, 3)，向量b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 已知函数g(x) = |x1|，那么g(x)在x=1处的导数是（）A. 0B. 1C. 1D. 不存在6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = 2x7. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点对称的点是（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)8. 若复数z满足|z1|=1，则z在复平面上的对应点位于（）A. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上B. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上C. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上D. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S4的值为（）A. 16B. 20C. 24D. 2810. 若函数h(x) = (x+1)/(x1)的值域为（∞，1）∪(1，+∞），则x的取值范围是（）A. (∞，1)∪(1，+∞）B. (∞，1)∪(1，+∞）C. (∞，1)∪(1，1)D. (1，+∞）二、判断题：1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。
2019-2020年高一上学期数学竞赛选拔测试含答案
2019-2020年高一上学期数学竞赛选拔测试含答案一、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．数列1，- 34 ，59 ，- 716，…的一个通项公式是 . 2．1＋2＋3＋…＋100＝ .3．{a n }是等比数列，a 1=1，a 3= 2 ，则a 5＝ .4．数列{a n }满足：a 1=1，a n +1＝ a n －1，则a xx ＝ .5．△ABC 的三边长分别是7、4 3 、13 ，则最小内角大小为 .6．△ABC 中，A=60°，b ＋c sinB ＋sinC=2，则a ＝ . 7．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，下列条件中能确定a =b 的有 . （填序号）① sinA=sinB ② cosA=cosB ③ sin2A=sin2B ④ cos2A=cos2B8．已知 1x>1，则x 的取值范围是 . 9．不等式 (x －2)2 >4的解集是 .10．已知 12 ＋16 ＋112 ＋…＋1n (n ＋1) = 99100，则n ＝ . 11．等差数列{a n }中，若a 1、a 3、a 7是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的公比是 .12．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 1＞0，S 10＝0，则S n 最大时n 的值是 .二、解答题13．（本题满分12分）等比数列{a n }的前n 项和是S n ，已知S 3＝72 ，S 6＝632，求a n .14．（本题满分12分）一艘船以60 n mile/h的速度向正北航行. 在A处看灯塔S在船的北偏东30°，30 min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75°，求灯塔S与B之间的距离.15．（本题满分12分）△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、1、c，且A、B、C成等差数列，a、1、c成等比数列，求△ABC的面积.16．（本题满分16分）关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集是(－∞,1)∪(2,＋∞)，数列{a n}的前n项和S n＝n2＋bn＋c.(1)写出b、c的值（不要证明）；(2)判断{a n}是不是等差数列并说明理由；(3)求数列{2n-1a n}的前n项和T n.第二卷（60分）三、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知，则 .18．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3.19．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ .20．取一个边长为的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率为 .21．定义在R 上的函数f (x )，满足f (12 ＋x ) ＋f (12 －x ) ＝2，则f (18 )＋f (28 )＋…＋f (78)＝ .22．定义一个对应法则.现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为 .四、解答题23．（本题满分15分）已知二次函数 ，满足，对于任意的，都有，并且当时总有.(1)求的值；(2)求的表达式；(3)当时，是单调函数，求m 的取值范围.24．（本题满分15分）已知数列和满足:*121,2,0,)n n a a a b n N ==>=∈，且是以为公比的等比数列.(1)证明：；(2)若，证明数列是等比数列；(3)求和：.1．a n =(-1)n2n-1n 22.50503.24.-xx5.30°6. 37.(1)(2)(4)8.(0,1)9.(-∞,0)∪(4,+ ∞)10.9911.1,212.513.P51,2n-2 14.15 2 n mile 15.a=b=c=1,S=3416.(1)-3,2 (2)a 1=0,n>1,a n =2n-4,(3)2n+1(n-3)+8 17.018.7800019.-12.5 20.π421.7 22. π323.(1)f(1)=1(2)f(x)= (x+12)2(3)m≤0,m≥1 24.(3)q=1,32 n. q ≠1, 32 q 2n -1q 2n-2(q 2-1).。
高一数学上学期科竞赛试题
卜人入州八九几市潮王学校中英文二零二零—二零二壹高一数学上学期全科竞赛试题一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，总分值是60分；每一小题给出的四个选项里面只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．()．①平行于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③平行于同一直线的两平面平行；④垂直于同一直线的两平面平行．A．①②B．③④C．①③D．②④2.f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，b＝f，c＝f，那么a，b，c的大小关系是()A．a<c<b B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a3.函数f(x)＝那么f＝〔〕A．4 B.C．－4 D．－4.正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于〔〕A．2 B.C. D.5．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为〔〕A. B.C. D.6．一个几何体的三视图形状都一样、大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱7．假设P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，那么〔〕A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P8．某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()．A.cm3B.cm3 C．2000 cm3D．4000 cm39设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，那么m不可能等于〔〕A．1 B．2 C．3 D．410．定义运算a⊕b＝那么函数f(x)＝1⊕2x的图象是〔〕11．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，那么x·f(x)＜0的解集是〔〕A．{x|x＜－3或者0＜x＜3}B．{x|－3＜x＜0或者x＞3}C．{x|x＜－3或者x＞3}D．{x|－3＜x＜0或者0＜x＜3}12.函数f(x)＝的值域是〔〕A.B．(0,1)C.D．(0，＋∞)二．填空题:本大题一一共4小题，每一小题５分，总分值是2０分．13.设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，那么实数m的取值范围是____ 14．三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2的正三角形，AC＝，那么二面角A－PB－C的大小为_____ 15．函数f(x)＝＋的定义域是_____16)给出以下关于互不一样的直线m，l，n和平面α，β①假设m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，那么l与m不一共面；②假设m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，那么n⊥α；③假设l∥α，m∥β，α∥β，那么l∥m；④假设l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，那么α∥β.___(填序号)．三．解答题:〔本大题一一共6小题,总分值是70分,解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17．〔本小题总分值是10分〕．)集合A＝{x|x2－5x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，假设B⊆A，务实数m组成的集合．18．〔本小题总分值是12分〕)将长方体ABCD－A1B1C1D1沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥得到如下列图的几何体，该几何体的正视图与俯视图如图．(1)画出该几何体的侧视图；(2)求该几何体的体积．19．〔本小题总分值是12分〕．如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥底面ABCD，M为SA的中点，N为CD的中点．证明：(1)平面SBD⊥平面SAC；(2)直线MN∥平面SBC.20．〔本小题总分值是12分〕．函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的取值范围；(2)假设函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．21.〔本小题总分值是12分〕如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF.(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．22.(本小题总分值是12分)函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？高一数学试题参考答案一．选择题：题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C B D C D C B A A D D 二．填空题：13.{m|m≥2}10°15.(1,2)16①②④三．解答题：17解∵A＝{x|x2－5x－6}＝{－1,6}，B＝{x|mx＋1＝0}，又B⊆A，∴B＝∅或者B＝{－1}或者B＝{6}．当B＝∅时，m＝0；当B＝{－1}时，m＝1；当B＝{6}时，m＝－.∴实数m组成的集合为.18．解(1)如下列图(2)对于所截去的三棱柱B1－CC1D1其体积V三棱锥B1－CC1D1＝B1B·S△CC1D1＝×5××3×4＝10，V长方体ABCD－A1B1C1D1＝5×4×3＝60故所求几何体的体积为V长方体ABCD－A1B1C1D1－V三棱锥B1－CC1D1＝60－10＝50.19.证明(1)∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵SA⊥底面ABCD，∴BD⊥SA.∵SA∩AC＝A，∴BD⊥平面SAC.又∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAC.(2)如图，取SB中点E，连接ME，CE.∵M为SA中点，∴ME∥AB且ME＝AB.又∵ABCD是菱形，N为CD的中点，∴CN∥AB且CN＝CD＝AB.∴CN綉ME.∴四边形CNME是平行四边形，∴MN∥CE.又MN⊄平面SBC，CE⊂平面SBC，∴直线MN∥平面SBC.20.解(1)当m＋6＝0时，f(x)＝－14x－5，显然有零点x＝－.当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)·(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－，∴m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．综上，m≤－.(2)设x1，x2是函数的两个零点，那么有x1＋x2＝－，x1x2＝.∵＋＝－4，即＝－4，∴－＝－4，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，Δ＞0符合题意，∴m＝－3.21.(1)证明①因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF.②因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F.所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)解设BA1与B1F交点为H，连接C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝，AA1＝2，得BH＝.在Rt△BHC1中，BC1＝2，BH＝，得sin∠BC1H＝＝.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.22.解(1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如下列图．由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点。
高一学科竞赛(数学)模拟附答案
高一数学竞赛试题一、单选题（8×5′＝40′）1、已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-且B ≠∅，若A B A =，则（ ）(A)34m -≤≤ (B)34m -<< (C)24m << (D)24m <≤2、已知()1,2a =，(),2b x =-且()a ab ⊥-，则实数x 为（ ） (A)－7 (B)9 (C)4 (D)－4 3、同时掷两枚骰子，得到的点数和为6的概率是（ ） (A)512 (B)536(C)19 (D)51840y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）(C)--5、函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（ ）(A)37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B)3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D),44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6、一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为（ ）(A) (B)8π(C) (D)4π7、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） (A)210x y +-= (B)210x y +-= (C)230x y +-= (D)230x y +-=8、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为（ ） (A)－1 (B)0 (C)1 (D)2 二、填空题（6×5′＝30′）9、方程()21033log 1log xx-=+的解是 。
10、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 。
11、过点()1,3-且平行于直线230x y -+=的直线方程为 。
12、方程sin 10xx =有 个根。
13、已知()1sin 2πα+=-，则cos α= 。
14、已知()1,2a =，()2,3b =-，则a 在b 上的射影长 。
高一数学上册学科竞赛试题
高一第一学期学科竞赛数学试题（时间：120分钟, 满分150分）一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)1、集合｛0,1，2，2006｝的非空真子集的个数是 （ ） A 16 B 15 C 14 D 132.已知0sin 2005α=,则α是第 象限角. （ ） A,一 B,二 C,三 D,四3、设U=Z ，M={2,}x x k k z =∈，N={21,}x x k k z =±∈，P={41,}x x k k z =±∈，则下列结论不正确的是 （ ） A U C M N = B U C P M = C M N =∅ D N P N =4、函数12xy -=的图象是（ ）5、函数()log [1,2]xa f x a x =+在上的最大值和最小值之差为21a a -+,则的a 值为 （ ）A 2或21 B 2或4 C21或4 D 26.当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，下面四个函数中最大的是 （ ） A. sin(cos )x B. sin(sin )x C. cos(sin )x D. cos(cos )x7.已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。
四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于 （ ） A ．9B ．26C ．34D ．68、的解的个数为方程xx 22= （ ）A.0B.1C.2D.39.若F(11xx-+)=x 则下列等式正确的是 （ ）. A F(-2-x)=-1-F(x) B F(-x)=11xx+-C F(x -1)=F(x)D F （F （x ））=-x10.函数2()log (321)a f x ax x a =-++-对于任意(0,1]x ∈恒有意义，则实数a 的取值范围（ ）A 0a >且1a ≠B 12a ≥且1a ≠ C 12a >且1a ≠ D 1a > 二、填空题（共6小题,每小题5分,共30分）11．已知全集U={}R y R x y x ∈∈,),(，集合M={}2),(=+y x y x ，集合N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=--111),(x y y x ，则集合)(N M C U ⋂= ． 12、已知函数(0)()(0)x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时，()(1)g x x x =+，则方程()()1f x g x +=的解是 。
广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高一上学期学科能力竞赛数学试题(原卷版)
数学学科能力竞赛
一、单选题（本大题共8个小题，每小题6分，共48分）
1.如图，全集 ， ，则图中阴影部分所表示的集合是
A. B. C. D.
2.已知 ，则“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.最早发现勾股定理 人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于 ，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为（）
A. B. C.7D.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题6分，共48分）
9.若 ，则 __________.
10.对于 ，不等式 恒成立，则实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是___________.
12.若 均为正数，且 ，则 的最小值为_________.
16.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数 ，存在 ，使 ，那么我们称该函数为“不动点”函数， 为函数的不动点.若 ，则 的不动点为___________.
A. B.
C. D.
6.设 是连续的偶函数，且当x>0时 是单调函数，则满足 的所有x之和为
A. B. C. D.
7.记 ，若 （ 且 ），则称 是 n次迭代函数．若 ，则 （）
A. B. C.2022D.2023
8.我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式 （“…”代表无限次重复）可以通过方程 来求得 ，即 ；类似上述过程及方法，则 的值为（）
高一数学上学期期末竞赛选拔考试试题
卜人入州八九几市潮王学校西华一高二零二零—二零二壹上学期高一年级竞赛考试数学试卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕 1.集合{}{}332,6,4,2,0<∈==x N x B A ，那么集合AB 的子集个数为()A.4B.6C.7D.82、函数lg(1)1x y x +=-的定义域是〔〕A . (1,)B . [1,)C . (1,1)(1,)D . [1,1)(1,)-+∞-+∞-+∞-+∞3．直线a x y l 2:1+-=与直线2)2(:22+-=x a y l 平行，那么a 的值是()A ．3±B.1±C.1D.1-4.设a ，b 是两条不同的直线，α，β〕 A.假设//αβ，a α⊂，b β⊂，那么//a b B.假设//a α，b β⊥，且αβ⊥，那么//a bC.假设a α⊥，//a b ，//b β，那么αβ⊥D.假设ab ⊥，a α⊂，b β⊂，那么αβ⊥5.一个空间几何体的三视图如下列图，根据图中标出的尺寸〔单位：cm 〕，可得这个几 何体的体积是()A ．4cm 3B ．5cm 3C ．6cm 3D ．7cm 36．半径为R 的半圆做成一个圆锥面〔无重叠〕，那么由它围成的圆锥的体积为〔〕A ．3R B 3R C 3R D 3R 7.⎩⎨⎧≥<+-=1log 14)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是〔〕A ．)1,0( B.)31,0( C.)31,71[ D.)1,71[ )1 , 1(-M 且与直线027=+-y x 相切的圆的方程为()A ．2)1()1(22=++-y x B ．2)1()1(22=-++y x C ．100)1()1(22=++-y x D ．100)1()1(22=-++y x9.三棱锥P ABC -的三条棱PA ,PB ,PC 长分别是3、4、5，三条棱PA ,PB ,PC两两垂直，且该棱锥4个顶点都在同一球面上，那么这个球的外表积是() A ．25πB.50πC.125π)(x f 的图象向右平移a (0>a )个单位后关于直线1+=a x 对称，当112>>x x 时，[]0)()()(1212<--x x x f x f 恒成立，设)21(-=f a ，)2(f b =)，)(e f c =，那么a ，b ，c 的大小关系为〔〕 A.b a c>> B.c a b >> C.b c a >> D.a b c >>11.四面体SABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于〔〕 A ．090B ．060C ．045D ．03012.偶函数)(x f 的定义域为}{0≠∈x R x x 且，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2),2(2120,12)(1x x f x x f x ，那么函数)1(log )(4)(7+-=x x f x g 的零点个数为〔〕．A. B. C.D.二、填空题(每一小题5分，一共20分)()f x 是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x x =+,那么当0x <时，()f x =14.光线由点P 〔2，3〕射到直线1-=+y x 上，反射后过点Q 〔1，1〕，那么反射光线所在的直线方程为15、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD=a ，那么三棱锥D —ABC 的体积为16、在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的外表爬行一周后又回到A 点，那么蚂蚁爬过的最短路程为_____．三、解答题〔一共70分。
山东省滨州市北镇中学2023-2024学年高一上学期第一届高中学科素养知识竞赛数学试题
三、填空题
13．若a
Î
æ çè
0,
ππö 2 ÷ø
,
b
Î
æ çè
0,
2
ö ÷ø
，且
(1+
cos2a )(1+ sinb
)
=
sin 2a cosb
，则 4a
- 2b
=
.
( ) 14．已知函数 f ( x) = ln 1+ x2 + x + ax + 4(a Î R ), f (ln (log2e)) = 5 ，则 f (ln (ln2)) 的
=
176 + 44 S
=
220 S
答案第11 页，共22 页
【解析】根据题中函数关系式，令 v = 0 和1.5 ，分别求出对应的 Q ，即可得出结果.
【详解】因为鲑鱼的游速(单位：
m/s
)可以表示为
v
=
1 2
log3
Q 100
，其中
Q
表示鲑鱼的耗氧量
的单位数，
当一条鲑鱼静止时，
v
=
0
，此时
0
=
1 2
log3
Q1 100
，则 Q1 100
p2：∀x∈R，当 x＜0 时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；
p3：∀x∈Z，|x|是非负整数，故|x|∈N，该命题为真命题；
p4：∃x∈R，由于 x2﹣2x+3＝0 中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；
故选：C 2．B 【解析】解对数不等式得集合 A ，现根据新定义计算．
(2)在（1）的条件下，若对于任意 x Î[1, +¥] ，都有
高中数学高一级第一学期数学竞赛试题(word文档有答案)
高中数学高一级第一学期数学竞赛试题班级 姓名 学号 评分一． 选择题（10*4=40）1.设},0)()({,}0)({,}0)({=⋅=Φ≠==Φ≠==x g x f x P x g x N x f x M 则集合P 恒满足的关系为( ) A.N M P ⋃= B.N M P ⋃⊆ C.Φ≠P D.N M P ⋂=2.ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，==-=+B C A b c a 则,3,2π( )A.839arccos B.45 C.60 D.839arcsin3.设⎪⎩⎪⎨⎧=为无理数为有理数x x x f 01)( ，对于所有x 均满足)()(x g x xf ≤的函数)(x g 是( )A.x x g sin )(=B.x x g =)(C.2)(x x g =D.x x g =)(4.已知,都是长度小于1的向量，对于任意非负实数,,b a 下列结论正确的是( )A.b a u a +≤+B.b a u a +≥+C.b a u a +=+D.不能确定b a u a ++的大小关系5.设ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，其外接圆半径为1，且有+-C A sin sin ,22)cos(22=-C A 则此三角形的面积为 ( ) A.433 B.43 C.43或433 D.43或533 6.函数)cos(3)sin()(θθ-++=x x x f 的图象关于y 轴对称，则=θ( )A.)(6Z k k ∈-ππ B.)(3Z k k ∈-ππ C.)(62Z k k ∈-ππ D.)(32Z k k ∈-ππ7.数列}{n a 中，11=a 且411++=+n n n a a a ，则=99a ( ) A.412550 B.2500 C.412450 D.24018.设函数22)(2+-=x ax x f 对于满足41<<x 的一切0)(>x f ，则a 的取值范围是( )A.1>aB.1-<aC.11<<-aD.1-≥a9.设函数xxx y +-+=11arctan arctan ，则它的值域为( ) A.]4,43[ππ-- B.}43,4{ππ- C.)4,43(ππ-- D. )4,43(ππ-10.函数8422)(22+-++-=x x x x x f 的最小值是( )A.23B.15+C.10D.22+二． 填空题（4*5=20）11.ABC ∆中，36=∠A ，F E ,分别在边AC AB ,上，且CF BE =，N M ,分别是线段CE BF ,的中点，则直线MN 与直线AB 所成的较小的角的大小为 。
高一数学学科素养能力竞赛集合部分综合测试题(解析版)
高一数学学科素养能力竞赛集合部分综合测试题第I 卷（选择题）一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,1A =-，{}1B x ax ==，若A B B =，则a 的取值集合为（ ） A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】由题意知B A ⊆，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出结果.【详解】由A B B =，知B A ⊆，因为{}1,1A =-，{|1}B x ax ==，若B =∅，则方程1ax =无解，所以0a =满足题意； 若B ≠∅，则1{|1}B x ax x x a ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭， 因为B A ⊆，所以11a=±，则满足题意1a =±； 故实数a 取值的集合为{}1,0,1-.故选：D.2．设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（ ）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】D【分析】解绝对值不等式得到集合,A B ，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解. 【详解】集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+ 又A B ⊆，所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥，即4a b -≥ 所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选：D3．若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（ ）A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]【答案】B【分析】本题抓住新定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂中x 满足的条件，解不等式得到集合,A B ，进而求得A B ，A B ，最后求出()()A B A B ⋃即为所求. 【详解】1113|111|2222A x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=-<=-<-<=-<<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭ {}11|1|0|01x B x x x x x x -⎧⎫⎧⎫=≥=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}|01A B x x ∴⋂=<≤，13|22A B x x ⎧⎫⋃=-<<⎨⎬⎩⎭ 1|02A B x x ⎧∴⨯=-<≤⎨⎩或312x ⎫<<⎬⎭13,01,22⎛⎤⎛⎫=-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解绝对值不等式和分式不等式，理解题目中{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂中x 满足的条件是解题的关键，考查学生的分析试题能力与转化与化归能力，属于较难题.4．设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（ ）A ．32B ．56C ．72D ．84【答案】B【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.【详解】若1,3在集合A 内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；若1,4在集合A 内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若1,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有6+5+4+3+2+1=21个.若2,4在集合A 内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若2,5在集合A 内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若2,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有5+4+3+2+1=15个.若3,5在集合A 内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若3,6在集合A 内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若3,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有4+3+2+1=10个.若4,6在集合A 内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若4,7在集合A 内，则还有一个元素为9,10中的一个；若4,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有3+2+1=6个.若5,7在集合A 内，则还有一个元素为9,10中的一个；若5,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有2+1=3个.若6,8,10在在集合A 内，只有1个.总共有21+15+10+6+3+1=56个故选：B.5．设{}1,2,3,4,I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,3A B =，则称(,)A B 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）A ．16B ．9C ．8D ．4【答案】B【分析】根据题意，子集A 和B 不可以互换，从子集A 分类讨论，结合计数原理，即可求解.【详解】由题意，对子集A 分类讨论：当集合{}1,3A =，集合B 可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3}，共4种结果；当集合{}1,2,3A =，集合B 可以是{1,3,4},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,3,4A =，集合B 可以是{1,2,3},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,2,3,4A =，集合B 可以是{1,3}，共1种结果，根据计数原理，可得共有42219+++=种结果.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.6．定义{|,}A B x x A x B -=∈∉，设A 、B 、C 是某集合的三个子集，且满足()()A B B A C -⋃-⊆，则()()A C B B C ⊆-⋃-是AB C =∅的（ ） A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】作出示意图，由()()A B B A C -⋃-⊆可知两个阴影部分均为∅，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】如图，由于()()A B B A C -⋃-⊆，故两个阴影部分均为∅，于是,,A I IV V B III IV V C I II III V =⋃⋃=⋃⋃=⋃⋃⋃，（1）若A B C =∅，则V =∅，A I IV ∴=⋃，而()()C B B C I II IV -⋃-=⋃⋃，()()A C B B C ∴⊆-⋃-成立；（2）反之，若()()A C B B C ⊆-⋃-，则由于()()()C B B II I C I V =⋃-⋃-⋃，()A I IV V =⋃⋃，()()I IV V I II IV ∴⋃⋃⊆⋃⋃，V ∴=∅，A B C ∴⋂⋂=∅，故选：A【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题.7．已知集合{}1,2,3,4,5P =，若A ，B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（ ）A ．49B ．48C ．47D ．46【答案】A【分析】利用分类计数法，当A 中的最大数分别为1、2、3、4时确定A 的集合数量，并得到对应B 的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.【详解】集合{}1,2,3,4,5P =知：1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：A 的集合为{1}，而B 有 42115-=种集合，集合对(A ,B )的个数为15；2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：A 的集合为{2},{1,2}，而B 有3217-=种，集合对(A ,B )的个数为2714⨯=；3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：A 的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而B 有2213-=种，集合对(A ,B )的个数为4312⨯=；4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：A 的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，而B 有1211-=种，集合对(A ,B )的个数为818⨯=；∴一共有151412849+++=个，故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.8．设a ，b ，c 为实数，记集合2{|()()0S x x a x bx c =+++=，}x R ∈，2{|(1)(1)0T x ax cx bx =+++=，}x R ∈.若||S ，||T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A ．||1S =且||0T =B ．||1S =且||1T =C ．||2S =且||2T =D ．||2S =且||3T = 【答案】D【分析】要发现0x a +=与10ax +=､20x bx c ++=与210cx bx ++=的解的关系，同时考虑0a =，0c 以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解，逆推集合S 的解的情况即可.【详解】令()2()0x a x bx c +++=，则方程至少有1个实数根x a =-，当240b c -=时，方程还有一个根2b x =-， 只要2b a ≠，方程就有2个实数根，2b a =，方程只有1个实数根，当240b c -<时，方程只有1个实数根，当240b c ->时，方程有2个或3个实数根，当0a b c ===时，||1S =且||0T =，当0,0,0a b c >=>时，||1S =且||1T =，当1,2a c b ===-时，||2S =且||2T =，若||3T =时，10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解，且10ax +=的解1x a=-不是210cx bx ++=的解， ∴211()()0c b c a a-+-+≠，即20a ab c -+≠， 0x a ∴+=的解不是20x bx c ++=的解，又210cx bx ++=有两个解，故240b c ∆=->，20x bx c ++=有两个不等的根，2()()0x a x bx c ∴+++=有3个解，即3S =，故D 不可能成立，故选：D .【点睛】本题考查集合的元素个数，一元一次方程与一元二次方程的解的关系，还要考虑一元一次方程的解是否为一元二次方程的解，通过判别式判断一元二次方程方程的根的个数，属于难题.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．（多选）若非空实数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈， x y M -∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD【解析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈， ,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈，则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉⋃，所以B 不正确；对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈，因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈，若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆；若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆，所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集；或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.10．用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()*A B C A C B =-.已知集合2|10A x x ，{}22(3)(2)0B x ax x x ax =+++=，若*1A B =，则实数a 的取值可能是（ ）A．-B ．0 C ．1 D ．【答案】ABD【解析】先分析()2C A =，又由*1A B =，分析易得()1C B =或3，即方程22(3)(2)0ax x x ax +++=有1个根或3个根，分析方程22(3)(2)0ax x x ax +++=的根的情况，可得a 可取的值，即可得答案．【详解】根据题意，已知{1A =，2}，则()2C A =，又由*1A B =，则()1C B =或3，即方程22(3)(2)0ax x x ax +++=有1个根或3个根；若22(3)(2)0ax x x ax +++=，则必有230ax x +=或220x ax ++=，若230ax x +=，则0x =或30ax +=，当0a =时，{0}B =，()1C B =，符合题意；当0a ≠时，230ax x +=对应的根为0和3a -；故∴需220x ax ++=有两等根且根不为0和3a -，当∴0=时，a =±a ={0B =，-，，()3C B =，符合题意；a =-{0B =，，()3C B =，符合题意； ∴当3a -是220x ax ++=的根时，解得3a =±；3a =，此时{0B =，1-，2}-，()3C B =，符合题意；3a =-，此时{0B =，1，2}，()3C B =，符合题意；综合可得：a 可取的值为0，3±，故选：ABD【点睛】本题考查集合的表示方法，关键是依据()C A 的意义，分析集合B 中元素的个数，进而分析方程22(3)(2)0ax x x ax +++=的根的情况．11．设集合{}Z y x y x a a M ∈-==,,22，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n 的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41n +C ．42n +D ．43n + 【答案】ABD【分析】将4,41,43n n n ++分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M . 【详解】∴224(1)(1)nn n ，∴4n M . ∴2241(21)(2)n n n ，∴41n M . ∴2243(22)(21)nn n ，∴43n M . 若42n M ，则存在,Z x y 使得2242x y n ， 则42()(),n x y x y x y 和x y -的奇偶性相同.若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42n M .故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.12．设集合X 是实数集R 的子集，如果实数0x 满足：对任意0r >，都存在x X ∈，使得00x x r <-<成立，那么称0x 为集合X 的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（ ）A ．1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭B ．,1n x x n N n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭C ．{},0x x Q x ∈≠D ．整数集Z【答案】AC【分析】利用集合聚点的新定义，集合集合的表示及元素的性质逐项判断. 【详解】A.因为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列，所以对于任意0r >，都存在1n r >，使得10x r n <=<成立，所以0为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭的聚点，故正确； B. 因为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项都至少比0大12，所以对于12r <时，不存在满足0x r <<的x ，所以0不为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭的聚点，故错误； C. 对任意0r >，都存在2=r x ，使得02x r r <=<成立，那所以0为集合{},0x x Q x ∈≠的聚点，故正确；D. 对任意0r >，如0.5r =，对任意的整数，都有00x x -=或01x x -≥成立，不可能有000.5x x <-<成立，所以0不是集合整数集Z 的聚点，故错误；故选：AC第II 卷（非选择题）三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{}2280,R A x x x x =--≤∈ ，(){}2550,R B x x m x m x =-++≤∈ ，设全集为R ，若R B A ⊆，则实数m 的取值范围为______．【答案】()4,+∞【分析】解不等式求得R A ，根据R B A ⊆，分类讨论m 的取值，确定集合B ，从而求得m 的取值范围.【详解】解不等式2280x x --≤，得24x -≤≤，所以R {2A x x =<-或4}x > ， (){}()(){}2550,R 50B x x m x m x x x x m =-++≤∈=--≤ ， 因为R B A ⊆，当5m =时，{}5B =，满足题意；当5m >时，[]5,B m =，满足题意．当5m <时，[],5B m =， 由R B A ⊆，得4m >，所以45m <<．综上，m 的取值范围为()4,+∞．故答案为：()4,+∞ 14．{}{}(){}220,10,,2,R A x x px q B x qx px A B A B ϕ=++==++=⋂≠⋂=-则p q += _____．【答案】-1或5 【分析】由题意可得m A ∈，一点有1∈B m，再由A B φ⋂≠，可得1m =±，进而可得结果.【详解】设2,0∈∴++=m A m pm q两边同除2m ，可得210++=p q m m ，所以 1∈B m由A B φ⋂≠，一定有m A ∈，1∈A m ，即 1,1=∴=±m m m (){2}R A B =-，则 2,{2,1}-∈=-A A 或{2,-1}=-A代入可得4201102p q p p q q -+==⎧⎧⇒⎨⎨++==-⎩⎩或 4203102p q p p q q -+==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以1p q +=-或5故答案为：-1或5 【点睛】关键点点睛：通过两个方程的关系可得m A ∈，一点有1∈B m，是解题的关键.本题考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题. 15．集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i =，则1231023m m m m ++++=___________. 【答案】-1【分析】分析可得M 的所有非空子集为i M 可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积i m ，综合即可得答案.【详解】集合M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =可以分成以下几种情况 ∴含元素0的子集共有92512=个，这些子集中所有元素乘积0i m =；∴不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有821255-=个∴不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有821255-=个其中∴∴中元素是一一对应的，且为相反数，则i m 的和为0，∴只含元素-1的子集1个，满足1i m =-，综上：所有子集中元素乘积12310231m m m m ++++=-. 故答案为：-116．若集合()()()(){}10*,122022,Z,N M x y x x x y x y =++++⋅⋅⋅++=∈∈，则集合M 中元素有______个.【答案】242【分析】由题可得111010(21)23337y x y ++=⋅⋅，然后可得21y x y ++与必为一奇一偶，偶数必是1123337m n ⋅⋅，进而即得.【详解】由题可得(21)(1)(2)()2y x y x x x y ++++++⋅⋅⋅++=， ∴111010(21)23337y x y ++=⋅⋅，又21y x y ++与必为一奇一偶， 而偶数必是1123337m n ⋅⋅,*,N ,010,010m n m n ∈≤≤≤≤，共有121种情况，又21y x y ++与奇偶未定，故集合M 中元素只有242个.故答案为：242.四、解答题: 本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合{}13A x x =-≤ ，{}22240B x x mx m =-+-≤.(1)命题p ：x ∴A ，命题q : x ∴B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围:(2)若A ∩B ≠,∅求实数m 的取值范围.【答案】(1)[]02m ∈，(2)[]46m ∈-，【分析】(1)要使p 是q 的必要不充分条件，则 B A 即可；(2)求A B =∅时m 的取值范围，然后求其补集.（1）因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，B 集合：()22444160m m ∆=--=>，所以B 不可能为空集，因为()()222422x mx m x m x m ⎡⎤⎡⎤-+-=---+⎣⎦⎣⎦， 所以{}22B x m x m =-≤≤+， 集合{}24A x x =-≤≤，所以2224m m -≥-⎧⎨+<⎩或2224m m ->-⎧⎨+≤⎩，分别解不等式组，取并集后可得[]02m ∈，. （2）由（1）知{}{}2422A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，，当A B =∅时：22m +<-或24m ->，解之得：4m <-或6m >，则A B ⋂≠∅时，[]46m ∈-，. 18．设函数2()(,)f x x px q p q R =++∈，定义集合{|(()),}R f D x f f x x x ==∈，集合{|(())0,}R f E x f f x x ==∈．(1)若0p q ==，写出相应的集合f D 和f E ；(2)若集合{0}f D =，求出所有满足条件的,p q ；(3)若集合f E 只含有一个元素，求证：0,0p q ≥≥．【答案】(1){0,1}f D =，{0}f E =(2)1,0p q ==(3)证明见解析【分析】（1）由4x x =、40x =解得x ，可得f D ，f E ；（2）由(())0f f x x -=得2(1)10x p x p q +++++=或2(1)0x p x q +-+=，然后由21(1)4(1)∆=+-++p p q ，221(1)4∆=-->∆p q ，方程(())0f f x x -=只有一个实数解0，得210,0∆=∆<， 转化为2(1)0x p x q +-+=有唯一实数解0，可得答案；（3）由条件，(())0f f x =有唯一解，得()0f x =有解，分()0f x =有唯一解0x 、()0f x =有两个解1212,()x x x x <，结合()f x 的图像和实数解的个数可得答案.(1)2()f x x =，4(())=f f x x ，由4x x =解得0x =或1x =，由40x =解得0x =，所以{0,1}f D =，{0}f E =．(2)由22(())(())()()()()()f f x x f f x f x f x x f x pf x x px f x x -=-+-=+--+-=22(()1)(())((1)1)((1))0f x x p f x x x p x p q x p x q +++-=++++++-+=，得2(1)10x p x p q +++++=或2(1)0x p x q +-+=，221(1)4(1)(1)44p p q p q ∆=+-++=---，2221(1)4(1)4p q p q ∆=--=-->∆，而方程(())0f f x x -=只有一个实数解0，所以210,0∆=∆<，即只需2(1)0x p x q +-+=有唯一实数解0，所以1,0p q ==．(3)由条件，(())0f f x =有唯一解，所以()0f x =有解，∴若()0f x =有唯一解0x ，则20()()f x x x =-，且0()f x x =有唯一解，结合()f x 图像可知00x =，所以2()f x x =，所以0p q ==．∴若()0f x =有两个解1212,()x x x x <，则12()()()f x x x x x =--，且两个方程1()f x x =，2()f x x =总共只有一个解，结合()f x 图像可知2()f x x =有唯一解，所以20x <，10x <，所以120q x x =>，且()f x 的对称轴02p x =-<，所以0p >，所以0,0p q >>．综上，0,0p q ≥≥．【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定义的理解能力及计算能力.19．对于正整数集合{}()*12,,,,3n A a a a n n =∈≥N ，如果去掉其中任意一个元素()1,2,,i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.(1)判断集合{}1,2,3,4,5与{}1,3,5,7,9是否为“和谐集”（不必写过程）；(2)求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数；(3)若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值.【答案】(1){}1,2,3,4,5不是“和谐集”，{}1,3,5,7,9不是“和谐集”(2)证明见解析(3)7【分析】（1）由“和谐集”的定义判断（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明（3）由（2）知n 为奇数，根据n 的取值讨论后求解（1）对于{}1,2,3,4,5，去掉2后，{1,3,4,5}不满足题中条件，故{}1,2,3,4,5不是“和谐集”， 对于{}1,3,5,7,9，去掉3后，{1,5,7,9}不满足题中条件，{}1,3,5,7,9不是“和谐集” （2）设{}12,,,n A a a a =中所有元素之和为M ，由题意得i M a 均为偶数，故()1,2,,i a i n =的奇偶性相同 ∴若i a 为奇数，则M 为奇数，易得n 为奇数，∴若i a 为偶数，此时取2i i a b =，可得{}12,,,n B b b b =仍满足题中条件，集合B 也是“和谐集”， 若i b 仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由∴知n 为奇数 综上，集合A 中元素个数为奇数（3）由（2）知集合A 中元素个数为奇数，显然3n =时，集合不是“和谐集”，当5n =时，不妨设12345a a a a a <<<<，若A 为“和谐集”，去掉1a 后，得2534a a a a +=+，去掉2a 后，得1534a a a a +=+，两式矛盾，故5n =时，集合不是“和谐集”当7n =，设{1,3,5,7,9,11,13}A ，去掉1后，35791113+++=+，去掉3后，19135711++=++，去掉5后，91313711+=+++，去掉7后，19113513++=++，去掉9后，13511713+++=+，去掉11后，3791513++=++，去掉13后，1359711+++=+，故{1,3,5,7,9,11,13}A 是“和谐集”，元素个数的最小值为720．对于函数()f x ，若()f x x =，则称实数x 为()f x 的“不动点”，若()()f f x x =，则称实数x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，()(){}B x f f x x ==. (1)对于函数()21f x x =-，分别求出集合A 和B ；(2)对于所有的函数()f x ，集合A 与B 是什么关系？并证明你的结论；(3)设()2f x x ax b =++，若{}1,3A =-，求集合B .【答案】(1){1}A =，{1}B =(2)证明见解析；(3){B =-【分析】(1)由f (x )＝x ，解出x 的值即集合A 的元素，由()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝，解出x 的值即集合B的元素； (2)分别讨论A =∅与A ≠∅的情况,当A ≠∅时,设t A ∈,则()f t t =，即[()]=()f f t f t t =，进而得证；(3)由{1,3}A =-可得(1)1(3)3f f -=-⎧⎨=⎩,则13a b =-⎧⎨=-⎩,进而求解()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝即可. (1)由f (x )＝x ，得21x x -＝，解得1x ＝； 由()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝，得221)1(x x --＝，解得1x ＝， ∴集合A ＝{1}，B ＝{1}．(2)若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，由[()]=()f f t f t t B =∈，可得A B ⊆.(3)解：∴{1,3}A =-，∴(1)1(3)3f f -=-⎧⎨=⎩，即2211333a b a b ⎧--+=-⎨++=⎩（），∴13a b =-⎧⎨=-⎩， ∴2()3f x x x =--，∴2222[()](3)(3)(3)3f f x f x x x x x x x =--=------=，∴222(3)0x x x ---=，∴22(3)23)0x x x ---=（，∴(1)(3)0x x x x +-=，∴x =1x =-或3x =，∴{B =-.21．设集合A 为非空数集，定义{|A x x a b +==+，a 、}b A ∈，{|||A x x a b -==-，a 、}b A ∈．(1)若{1A =-，1}，写出集合A +、A -；(2)若1{A x =，2x ，3x ，4}x ，1234x x x x <<<，且A A -=，求证：1423x x x x +=+；(3)若{|02021A x x ⊆，}x N ∈且A A +-=∅，求集合A 元素个数的最大值．【答案】(1){}{}2,0,20,2A A +-=-=，；(2)证明见解析；(3)1348.【分析】(1)根据新定义，直接得出集合A A +-、；(2)根据两集合相等即可得出1234x x x x 、、、的关系；(3)通过假设A 集合{124042}m m m ++，，，，(2021)m m N ≤∈，， 求出相应的A A +-、，根据=A A +-∅列出不等式即可求出结果.（1） 由题意知，{11}A =-，， 得{202}{02}A A +-=-=，，，，； （2）由于集合12341234{}A x x x x x x x x =<<<，，，，，且A A -=，所以集合A -中有且仅有4个元素，即213141{0}A x x x x x x -=---，，，剩下的元素满足213243x x x x x x -=-=-，即1423x x x x +=+；（3）设12{}k A a a a =，，，满足题意，其中12k a a a <<<， 则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<， 所以21A k +≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<<-，所以A k -≥，因为=A A +-∅，由容斥原理，31A A A A k +-+-=+≥-， A A +-最小的元素为0，最大的元素为2k a ，所以21k A A a +-≤+，所以*31214043()k k a k N -≤+≤∈，解得1348k ≤，实际上当{6746752021}A =，，，时满足题意，证明如下： 设{122021}A m m m =++，，，，()m N ∈， 则{221224042}A m m m +=++，，，，，{0122021}A m -=-，，，，， 依题意，有20212m m -<，即26733m >，所以m 的最小值为674， 于是当674m =时，集合A 中的元素最多，即{6746752021}A =，，，时满足题意. 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值为1348.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.22．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合{}1,2,3,4,5,6M =，根据提示解决问题.∴求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法1：x M ∀∈，先求出x 在集合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为k ，可以用k 表示出M 的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和.∴求集合M 所有非空子集的交替和的总和.【答案】（1）12；（2）∴672，∴192【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.（2）∴求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M 中各数字出现的次数，即可得答案.∴分别求得集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和总和，根据规律，总结出n 个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合{2，1}的交替和为2-1=1，集合{3，1}的交替和为3-1=2，集合{3，2}的交替和为3-2=1，集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）∴集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现242=次，集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}， 其中数字1、2、3、4各出现382=次，在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为42=16，故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现42=16次，同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现52=32次， 所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32(123456)672⨯+++++=.∴设集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和分别为1234,,,S S S S ， 集合{1}的所有非空子集的交替和为11S =集合{1，2}的所有非空子集的交替和212(21)4S =++-=，集合{1，2，3}的非空子集的交替和3123(21)(31)(32)(321)12S =+++-+-+-+-+=， 集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和41234(21)(31)(41)S =++++-+-+-(32)(42)(43)(321)(421)(431)(432)(4321)32+-+-+-+-++-++-++-++-+-=所以根据前4项猜测集合{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有非空子集的交替和总和为12n n S n -=⋅，所以集合M 所有非空子集的交替和的总和5662192S =⨯=【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.。
高一数学上学期竞赛数学试题
高一上学期数学竞赛试题（时间 90分钟 满分 120分）一．选择题:（每小题5分；共60分）1．集合{1；2；3}的真子集共有（ ）A 、5个B 、6个C 、7个D 、8个2．图中的阴影表示的集合中是（ ）A ．BC A u ⋂ B ．A C B u ⋂C ．)(B A C u ⋂D ．)(B A C u ⋃ 3. 以下五个写法中：①｛0｝∈｛0；1；2｝；②⊆∅｛1；2｝；③｛0；1；2｝＝｛2；0；1｝；④∅∈0；⑤A A =∅⋂；正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数5||4--=x x y 的定义域为（ ） A ．}5|{±≠x x B ．}4|{≥x xC ．}54|{<<x xD ．}554|{><≤x x x 或5．若函数()1,(0)()(2),0x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩；则)3(-f 的值为（ ）A ．5B ．－1C ．－7D ．26．已知函数()x f y =；[]b a x ,∈；那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ）A ． 1B ．0C ．1或0D ． 1或27．满足条件M ∪{1}={1；2；3}的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．若集合{}2(2)210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集；则实数k 的值是( )A.-2B.-2或-1C.2或-1D.±2或-19．已知集合A={x|-2≤x ≤7}；B={x|m+1<x<2m-1}；且B ≠∅；若A ∪B=A ；则实数m 的取值范围是( )(A)-3≤m ≤4 (B)-3<m<4 (C)2<m<4 (D)2<m ≤410．已知函数()f x 是定义在区间[-2；2]上的偶函数；当[0,2]x ∈时；()f x 是减函数；如果不等式(1)()f m f m -<成立；则实数m 的取值范围（ ） A B UA.1[1,)2-B. 1；2C. (,0)-∞D.(,1)-∞11．已知函数f(x)的定义域为(－1；0)；则函数f(2x ＋1)的定义域为（ ）A. (-1； 1)B.C. (-1；0)D.12．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈；有2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是( ) A.（12；23） B.［13；23） C. （13；23） D.［12；23）二．填空题（本大题共4个小题；每小题5分；共20分）(){}N y N x y x y x ∈∈=+，，3,：________ .{|},{|12},()R A x x a B x x A C B R =<=<<=且；则实数a 的取值范围是15．已知是奇函数；且；若；则= ． 16．对于函数()y f x =；定义域为]2,2[-=D ；以下命题正确的是（只要求写出命题的序号）①若(1)(1),(2)(2)f f f f -=-=；则()y f x =是D 上的偶函数；②若对于]2,2[-∈x ；都有0)()(=+-x f x f ；则()y f x =是D 上的奇函数；③若函数)(x f y =在D 上具有单调性且)1()0(f f >则()y f x =是D 上的递减函数；④若(1)(0)(1)(2)f f f f -<<<；则()y f x =是D 上的递增函数。
高中_高一数学上竞赛试题
高一数学竞赛试题〔新课程〕 班别 姓名 分数〔时间：100分钟, 总分值150分〕一、选择题(共6小题,每题6分,共48分)1、集合｛0,1，2，2006｝的非空真子集的个数是 〔 〕〔A 〕16 〔B 〕15 〔C 〕14 〔D 〕132、设U=Z ，M={2,}x x k k z =∈，N={21,}x x k k z =±∈，P={41,}x x k k z =±∈，那么以下结论不正确的选项是 〔 〕(A)U C M N = (B)U C P M = (C) M N =∅ (D) N P N =3、根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是〔 〕(A)1 (B)2 (C)3 (D)65 1 ?4 1 2 3 4 54、函数12x y -=的图象是 〔 〕5、函数()log [1,2]x a f x a x =+在上的最大值和最小值之差为21a a -+,那么的a 值为 ( )(A )2或21 (B)2或4 (C)21或4 (D)26、有A 、B 、C 、D 、E 共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A 赛了4盘，B 赛了3盘，C 赛了2盘，D 赛了1盘，那么同学E 赛了〔〕盘 〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕47假设052>++c x ax 的解是2131<<x ,那么a 和c 的值是〔 〕 (A)a=6,c=1 (B)a=6,c=-1 (C)a=-－6,c=1 (D)a=－6,c=-－18、假设x=20lg 7 , 7.0lg )21(=y 那么xy 的值为〔 〕 (A) 12 (B)13 (C)14 (D)15 二、填空题〔共6小题,每题7分,共42分〕1、函数(0)()(0)x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时，()(1)g x x x =+，那么方程()()1f x g x +=的解是 。
高一数学奥赛试题及答案
高一数学奥赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，求第10项的值。
A. 19B. 20C. 21D. 22答案：A3. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。
A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (3, 2)D. (-3, -2)答案：A4. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R），且|z| = √5，求a^2 + b^2的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B5. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(3)的值。
A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A6. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形ABC的面积。
A. 3√3B. 4√3C. 5√3D. 6√3答案：B二、填空题（每题5分，共30分）7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的表达式。
答案：f'(x) = 3x^2 - 6x8. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，求第5项的值。
答案：b5 = 4869. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，求直线l与x轴的交点坐标。
答案：(-1/2, 0)10. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。
答案：z* = 1 - i11. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(x)的最小值。
答案：f(x)_min = -412. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 5，b = 6，c = 7，求三角形ABC的外接圆半径。
答案：R = √61 / √3三、解答题（每题20分，共40分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 4，求f(x)的极值点。
高一数学上学期学科竞赛试题试题
卜人入州八九几市潮王学校八高中二零二零—二零二壹上学期高一年级学科竞赛〔语数外〕数学局部〔每一小题5分，计50分，答案写在题上〕1、由a 2，2-a ，4组成的一个集合A ，当A 中含有3个元素时，实数a 的取值可以是〔〕 A 、1 B 、－2 C 、6 D 、22、函数y =A 、{x|x ≤1}B 、{x|x ≥0}C 、{x|x ≥1或者x ≤0}D 、{x|0≤x ≤1} 3、假设函数(1)()y x x a =+-为偶函数，那么a =〔〕 A 、－2 B 、2 C 、1 D 、－14、假设函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是〔〕 A 、a ≥－3 B 、a ≤－3 C 、a ≤5 D 、a ≥35、为了得到函数13()3x y =的图象，可以把函数1()3x y =〔〕 A 、向左平移3个单位B 、向右平移3个单位C 、向左平移1个单位D 、向右平移1个单位 6、一次函数()f x 满足[()]14x f f x =+，那么()f x 的解析式为_____________________7、假设3484log 4log 8log log 16m ⋅⋅=，那么m=______________ 8、比较0.7log 0.8a=， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =的大小关系_______________ 9、函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y=x 对称，那么函数2(4)y f x x =-的单调递增区间是10_____________ 数学答案写在此处1-56、7、8、9、10、。
高一数学上学期学科竞赛试题
智才艺州攀枝花市创界学校延边长第一高级二零二零—二零二壹高一数学上学期学科竞赛试题时间是：120分钟分值：150分一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕角α的终边与单位圆交于点1,2⎛ ⎝⎭，那么sin α=()A.12B.C.D.不存在2.以下函数中，在区间()2,∞+上为增函数的是〔〕A.3xy =- B.12log y x = C.()22y x =--D.12y x=- 3.以下函数为奇函数的是()A.122xxy =- B.3sin y x x = C.2cos 1y x =+ D.22xy x =+4.13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，，那么,a b c ,的大小关系是〔〕A.a cb << B.b ac << C.c a b << D.a b c <<5.函数2()lg(2)f x x x =+-的单调递增区间是〔〕A.()1,+∞B.1(,)2-+∞C.1(,)2-∞- D.(),2-∞-6.()221()12,(0)x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦,那么12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔〕A ．1B ．3C ．15D ．307.函数)(x f 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3x f x g x +=，那么〔〕A.()33x xf x -=- B.33()2x xf x --=C.()33x x f x -=- D.33()2x xf x --=α的终边过点)0(8,6≠--a a a P ）（，那么ααcos sin -的值是〔〕A51B 51-C 51-或者57-D 51-或者519.函数1()ln()f x x x=-的图象是〔〕A.BC. D.10.设A ，B ，C 是三角形的三个内角，以下关系恒等成立的是〔〕 A.cos(A +B )=cos C B.sin(A +B )=sin CC.tan(A +B )=tan CD.sin2A B +=sin2C11.弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，那么这个圆心角所对的弧长是() B.1sin 2D.sin2 ααcos sin -+=y ，且πα20≤≤，那么α的范围是〔〕A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤20πααB ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤παπα2C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤23παπαD ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤παπα223 第二卷(非选择题一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。
高一数学上学期竞赛试题_1
一中2021—2021学年度上学期高一竞赛创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学试题第I卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题的4个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的)1．全集,集合,那么( )A. B. C. D.2．如下图,在三棱,截去三棱锥,那么剩余局部是( )3．假设直线且直线平面那么直线与平面的位置关系是( )A. B. C.或者 D.与相交或者或者4．的斜二侧直观图如下图,那么的面积为( )A. B. C. D.5．如图是一个空间几何体的三视图, 其中正〔侧〕视图都是边长为1的正方形，那么这个几何体的外表积是( )A.23π B. 25π C. 27π D. 29π 6．如图,在正方体中,分别为的中点,那么异面直线与所成的角大小等于( )A. B.. C. D.7.假设、、是互不一样的空间直线, βα,是不重合的平面,那么以下命题正确的选项是 ( ),那么那么、、,那么、、一共点,那么、、一共面8．如下图,假如菱形所在平面,那么与的位置关系是 ( )9．函数的定义域为( ) A. B. C.D.10. 如图,在四面体中,Q P N M ,,,分别为各边中点，且截面MNPQ 是矩形, 那么以下命题中正确的为( )A.B. 异面直线与所成的角为45°C.⊥截面 D.11．如下图,点S 在平面ABC 外, AC SB ⊥,2==AC SB ,F E ,分别是SC 和AB 的中点, 那么EF 的长是( )A. 1B. 2C. 3D.212．如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,底面三角形是正三角形,是中点,那么以下表达正确的选项是( )A.与是异面直线B.与是异面直线,且C.平面D.平面第二卷 〔非选择题, 一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．函数为奇函数,且当时,,那么14. 假设圆锥的母线长为2，侧面展开图是半圆，那么圆锥的侧面积为_____________.15. 圆台的两底半径长分别为2,6.母线长为5，那么该圆台的体积是 16．为三条不同的直线,为两个不同的平面,那么以下命题中正确的有① .,,②.,③.,④.,三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.〔此题10分〕：甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如下图,甲、乙几何体的体积分别为,( Ⅰ )写出甲，乙 简单几何体的名称〔本小题5分〕 ( Ⅱ )求的值 〔本小题5分〕18. 〔此题10分〕在如下图的长方体中, 棱长CO CB CD ,,的长分别为.2,2,1 ( Ⅰ )求连接和所得的几何体的外表积. 〔本小题5分〕( Ⅱ )求该长方体外接球的外表积 〔本小题5分〕19．〔此题15分〕如图,是平行四边形所在平面外一点,分别是的中点,是的中点( Ⅰ )求证: 平面平面〔本小题7分〕( Ⅱ )假设,求异面直线与所成角的大小〔本小题8分〕20. 〔此题15分〕如图,在直三棱柱中(直棱柱是侧棱垂直于底面的棱柱),,点是的中点，( Ⅰ )求证: 平面〔本小题7分〕( Ⅱ )求证: 〔本小题8分〕21．〔此题10分〕如图,在直四棱柱中,底面为菱形,且,.( Ⅰ )求证:直线平面;〔本小题5分〕( Ⅱ )求四面体的体积. 〔本小题5分〕22．〔此题10分〕如图,在矩形中,点在边上,点在边上, 且,垂足为,假设将沿折起,使点位于位置,连接得四棱锥.( Ⅰ )求证:; 〔本小题5分〕( Ⅱ )假设E 是AM 的中点，且AB E D '时，求直线与平面所成角的大小. 〔本小题5分〕创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日。
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高一数学上学期学科竞赛试题
时间： 120 分钟 分值： 150 分
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分。
给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的）
1.若角α
的终边与单位圆交于点1,2⎛ ⎝⎭
,则sin α=( )
A.1
2
B.
C.
D.不存在
2.下列函数中,在区间()2,∞+上为增函数的是 （ ）
A. 3
x
y =- B. 12
log y x = C. ()
2
2y x =--
D.12y x
=
- 3.下列函数为奇函数的是( )
A.1
22
x
x
y =-
B.
3
sin y x x = C.2cos 1y x =+ D.22x
y x =+
4.已知13
241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
,，,则,a b c ,的大小关系是（ ）
A. a c b <<
B. b a c <<
C. c a b <<
D. a b c <<
5.函数
2()lg(2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ）
A. ()1,+∞
B.1(,)2
-+∞
C.
1(,)2
-∞- D.(),2-∞-
6.已知()2
21()12,(0)x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦,则
12f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．1
B ．3
C ．15
D ．30
7.已知函数)(x f 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数,且满足
()()3x f x g x +=,则（ ）
A.
()33
x x
f x -=- B.
33()2
x x
f x --=
C.
()33
x
x
f x -=- D.
33()2
x x
f x --=
8.设角α的终边过点
)0(8,6≠--a a a P ）（,则ααcos sin -的值是（ ）
A
5
1
B 51-
C 51-或57-
D 51-或5
1
9. 函数
1
()ln()f x x x
=-的图象是（ ）
A. B
C.
D.
10.设A ,B ,C 是三角形的三个内角,下列关系恒等成立的是 （ ） A. cos(A +B )=cos C B. sin(A +B )=sin C
C. tan(A +B )=tan C
D. sin 2A B
+=sin 2
C
11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.1
sin 2
C.2sin1
D.sin2 12.若函数
ααcos sin -+=y ,且π
α20≤≤,则α的范围是（ ）
A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤20παα
B ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤≤παπα2
C ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤23παπα D ⎭⎬⎫⎩⎨
⎧≤≤παπα223
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
把答案填在答题卡对应题号后的横线上．)
13.幂函数()253
1m y m m x -=-+在()0
+∞，上为减函数,则m 的值为
14.函数
1x y +=
的定义域是__________.
15.已知tan α=3,则sin 2
α-3sin αcos α+4cos 2
α的值是______.
16.关于函数
()()π4sin 2R 3f x x x ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭有下列命题,其中正确的是__________
①
()y f x =的表达式可改写为4cos 2π6y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭;
② 是以
2π为最小正周期的周期函数;()y f x =
③ ()y f x =的图象关于点0π,6⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称;
④
()y f x =的图象关于直线6
π
x =-对称.
三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 17． （本题满分10分）化简：
cos sin(5)cos(8)2cos(3)sin(3)sin(4)θθθθθθπ⎛⎫
- ⎪
-ππ-⎝⎭⋅⋅
π--π--π
18．(本题满分12分)不用计算器求下列各式的值。
（1
）
ln 43
lg 4lg 25log 3
e ++- （2
）
)
142
3
0.2501648201949-⎛⎫-⨯-- ⎪
⎝⎭
19．（本题满分12分）
已知函数
11()142x x
f x ⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
（1）求满足
()3f x =的实数x 的值；（2）求[]2,3x ∈-时函数()f x 的值域．
20．（本题满分12分） （Ⅰ）定义在R 上的函数
)(x f 既是偶函数又是周期函数．若)(x f 的最小正周期是π,
且当
]2
,
0[π
∈x 时,x x f sin )(=. 求
)3
5(π
f 的值。
（Ⅱ）已知 函数
2sin(
2)6
y x π
=- , 求其单调区间
21.（本题满分12分）
已知sin(5π-α)=2cos(
2
7
π+β)和3cos(-α)=- 2cos(π+β), 且0<α<π,0<β<π。
求：α和β的值. 22．（本题满分12分） 定义域为
R
的函数
()
f x 满足：对于任意的实数
,x y
都有
()()()f x y f x f y +=+ 成立,且当0x >时,()0f x <．
（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论；
（Ⅱ）证明()f x 在R 上为减函数；
（Ⅲ）若
(1)(13)0f a f a -+-<,求实数a 的取值范围.
题目名称标准答
案满分值
是否多
选
多选答
案附加题
单选1 B 5 单选2 D 5 单选3 A 5 单选4 A 5 单选5 A 5 单选6 C 5 单选7 D 5 单选8 D 5 单选9 B 5 单选10 B 5 单选11 B 5 单选12 B 5
- 11 -。