高一数学上学期学科竞赛试题

高一数学上学期学科竞赛试题

时间： 120 分钟 分值： 150 分

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分。给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的）

1.若角α

的终边与单位圆交于点1,2⎛ ⎝⎭

,则sin α=( )

A.1

2

B.

C.

D.不存在

2.下列函数中,在区间()2,∞+上为增函数的是 （ ）

A. 3

x

y =- B. 12

log y x = C. ()

2

2y x =--

D.12y x

=

- 3.下列函数为奇函数的是( )

A.1

22

x

x

y =-

B.

3

sin y x x = C.2cos 1y x =+ D.22x

y x =+

4.已知13

241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭

,，,则,a b c ,的大小关系是（ ）

A. a c b <<

B. b a c <<

C. c a b <<

D. a b c <<

5.函数

2()lg(2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ）

A. ()1,+∞

B.1(,)2

-+∞

C.

1(,)2

-∞- D.(),2-∞-

6.已知()2

21()12,(0)x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦,则

12f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（ ）

A ．1

B ．3

C ．15

D ．30

7.已知函数)(x f 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数,且满足

()()3x f x g x +=,则（ ）

A.

()33

x x

f x -=- B.

33()2

x x

f x --=

C.

()33

x

x

f x -=- D.

33()2

x x

f x --=

8.设角α的终边过点

)0(8,6≠--a a a P ）（,则ααcos sin -的值是（ ）

A

5

1

B 51-

C 51-或57-

D 51-或5

1

9. 函数

1

()ln()f x x x

=-的图象是（ ）

A. B

C.

D.

10.设A ,B ,C 是三角形的三个内角,下列关系恒等成立的是 （ ） A. cos(A +B )=cos C B. sin(A +B )=sin C

C. tan(A +B )=tan C

D. sin 2A B

+=sin 2

C

11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.1

sin 2

C.2sin1

D.sin2 12.若函数

ααcos sin -+=y ,且π

α20≤≤,则α的范围是（ ）

A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤20παα

B ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤≤παπα2

C ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤≤23παπα D ⎭⎬⎫⎩⎨

⎧≤≤παπα223

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡对应题号后的横线上．)

13.幂函数()253

1m y m m x -=-+在()0

+∞，上为减函数,则m 的值为

14.函数

1x y +=

的定义域是__________.

15.已知tan α=3,则sin 2

α-3sin αcos α+4cos 2

α的值是______.

16.关于函数

()()π4sin 2R 3f x x x ⎛

⎫=+∈ ⎪⎝

⎭有下列命题,其中正确的是__________

①

()y f x =的表达式可改写为4cos 2π6y x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭;

② 是以

2π为最小正周期的周期函数;()y f x =

③ ()y f x =的图象关于点0π,6⎛⎫

- ⎪⎝⎭

对称;

④

()y f x =的图象关于直线6

π

x =-对称.

三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 17． （本题满分10分）化简：

cos sin(5)cos(8)2cos(3)sin(3)sin(4)θθθθθθπ⎛⎫

- ⎪

-ππ-⎝⎭⋅⋅

π--π--π

18．(本题满分12分)不用计算器求下列各式的值。

（1

）

ln 43

lg 4lg 25log 3

e ++- （2

）

)

142

3

0.2501648201949-⎛⎫-⨯-- ⎪

⎝⎭

19．（本题满分12分）

已知函数

11()142x x

f x ⎛⎫⎛⎫

=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

.

（1）求满足

()3f x =的实数x 的值；（2）求[]2,3x ∈-时函数()f x 的值域．

20．（本题满分12分） （Ⅰ）定义在R 上的函数

)(x f 既是偶函数又是周期函数．若)(x f 的最小正周期是π,

且当

]2

,

0[π

∈x 时,x x f sin )(=. 求

)3

5(π

f 的值。

（Ⅱ）已知 函数

2sin(

2)6

y x π

=- , 求其单调区间

21.（本题满分12分）

已知sin(5π-α)=2cos(

2

7

π+β)和3cos(-α)=- 2cos(π+β), 且0<α<π,0<β<π。 求：α和β的值. 22．（本题满分12分） 定义域为

R

的函数

()

f x 满足：对于任意的实数

,x y

都有

()()()f x y f x f y +=+ 成立,且当0x >时,()0f x <．

（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论；

（Ⅱ）证明()f x 在R 上为减函数；

（Ⅲ）若

(1)(13)0f a f a -+-<,求实数a 的取值范围.