人教A版高中数学必修五学业分层测评5

高中数学学习材料

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学业分层测评（五）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知方程x2sin A＋2x sin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c 的关系满足()

A．b＝ac B．b2＝ac

C．a＝b＝c D．c＝ab

【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin A sin C＝0，即sin2B＝sin A sin C，∴b2＝ac.

【答案】 B

2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为()

A.57

B.37

C.21 D．13

【解析】∵S

△ABC ＝

1

2bc sin A＝

1

2×1×c×sin 60°＝3，∴c＝4.由余弦定理

a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×1

2＝13.

∴a＝13.

【答案】 D

3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R ＝()

A.1

2B．1

C ．2 2

D ．522

【解析】 S △ABC ＝12ac sin B ＝2

4c ＝2，∴c ＝4 2. b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×2

2＝25， ∴b ＝5.∴R ＝b

2sin B ＝5

2×22＝522. 【答案】 D

4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.

3＋62

D ．

3

＋39

4

【解析】

在△ABC 中，由余弦定理可知： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， 即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12. 整理得AB 2－2AB －3＝0. 解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.

故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝33

2

. 【答案】 B

5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )

A ．4∶3∶2

B ．5∶6∶7

C ．5∶4∶3

D ．6∶5∶4

【解析】 由题意知：a ＝b ＋1，c ＝b －1， 所以3b ＝20a cos A ＝20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 2

2bc ＝20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)，

整理得7b 2－27b －40＝0，

解之得：b ＝5(负值舍去)，可知a ＝6，c ＝4. 结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4. 【答案】 D 二、填空题

6．在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为 ．

【解析】 画出三角形知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝3，∴AD ＝ 3. 【答案】

3

7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是 cm 2.

【解析】 解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝4

5. 故S △＝12×3×5×4

5＝6(cm 2)． 【答案】 6

8．(2016·郑州模拟)在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为 ．

【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即49＝a 2＋25－2×5×a cos 120°.

整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)． ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin 120°＝1534. 【答案】

153

4

三、解答题

9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2＝5c 2. 【导学号：05920063】

【证明】 由已知得cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴(1－sin 2A )(1－sin 2B )－sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴1－sin 2A －sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＝5sin 2C .

由正弦定理得，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫

c 2R 2，

即a 2＋b 2＝5c 2.

10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.

(1)求C 和BD ；

(2)求四边形ABCD 的面积． 【解】 (1)由题设及余弦定理得

BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ， ①

BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ② 由①，②得cos C ＝1

2，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°＝2 3. [能力提升]

1．已知锐角△ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )

A ．2

B ．－2

C ．4

D ．－4

【解析】 由题意S △ABC ＝12|AB →||AC →

|sin A ＝3，