线段最值问题总结
初三数学两之间线段最短求最值四大类型
两之间线段最短求最值四大类型【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
【方法技巧】模型一“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l 的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P 三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．模型二“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．模型三“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．【典例分析】【典例1-1】基本模型问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；二证：验证当A，P，B'三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例1-2】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|P A ﹣PB|的值最大．解题思路：一找：连接AB并延长，交直线l于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-3】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP 的值最小．解题思路：一找：连接AB交直线l于点P；二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-4】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|P A﹣PB|的值最大．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线于点P；二证：验证当A，B'，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB 边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为．【变式1-4】结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC 的最小值为．【典例2】模型分析问题：点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N 的位置，使△PMN的周长最小．解题思路：一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P“，连接P'P“，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小．三计算．注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝°；（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【变式2-2】如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为．【典例3】模型分析问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小．解题思路：一找：作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，Q′四点共线时，四边形PQNM的周长最小．三计算．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC 边上，则四边形EFGH周长的最小值为．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为．【典例4-1】基本模型问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边．构造▱AMNA′，作点A′关于直线l的对称点A“，连接A “B，交直线l于点N，再确定点M；二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例4-2】模型演变问题：如图，直线a∥b，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造▱AMNA′，连接A'B；二证：验证当A'，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB方向平移得到△A'B'D'，连接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
(完整版)初中几何中线段和与差最值问题
三、其它非基本图形类线段和差最值问题
1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
压轴题
1、如图，正比例函数 的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.
2、如图，一元二次方程 的二根 ， （ ＜ ）是抛物线 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求点D的坐标；
（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？
若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．
几何专项——线段最值问题
1 / 14线段最值问题一、将军饮马问题作法图形原理在直线l 上求作点P ，使PA ＋PB 最小．连接AB ，与l 交点即为P.两点之间，线段最短． PA ＋PB 最小值即为AB 长．在直线l 上求一点P ，使AP BP +最短将A 对称到'A ，连接'A B ，与l 的交点即为点P两点之间，线段最短.'AP BP A B +=在直线12l l 、上分别求点M N 、，使PMN △周长最小分别将点P 关于两直线对称到'''P P 、，连接'''P P 与两直线交点即为M N 、两点之间，线段最短.'''PM MN PN P P ++=在直线l 1、l 2上分别求点M N 、，使四边形PMNQ 周长最小将P Q 、分别对称到P ′、Q ′，连接''P Q 与直线的交点即为M N 、两点之间，线段最短.''PM MN NQ P Q ++=直线l 1∥l 2，在l 1、l 2上分别求点M N 、，使MN ⊥l 1，且AM ＋MN ＋NB 最小．将点A 向下平移MN 的长度 得A ′，连接A ′B ，交l 2于点N ，过点N 作MN⊥l 1于点M.两点之间，线段最短. AM ＋MN ＋NB 的最小值为A ′B+MN ．2 / 14在直线l 上求两点M N 、（M在左），使得MN =a ，并使AM MN NB ++最短将B 向左平移a 个单位到B ′，对称A 到A′，连接A′B′与l 交点即为M ，右平移a 个单位即为N.两点之间，线段最短.AM MN NB ++的最小值为A′B′+MN .在OA 上求点M ，在OB 上求点B ，使PM+PN 值最小.作点P 关于OA 的对称点P ′，作P ′N ⊥OB 于点N ，交OA 于点M.点到直线，垂线段最短.PA+AB 的最小值为线段P ′N 的长.P ，Q 为OA ，OB 的定点，在OA ，OB 上求作点M ，N ，使PN ＋NM ＋MQ 的值最小．作点P 关于OA 的对称点P ′，作点Q 关于OB 的对称点Q ′，连P ′Q′交OA 于点M ，交OB 于点N.两点之间，线段最短. PN ＋NM ＋MQ 最小值为线段P′Q′的长．在直线l 上求作点P ，使|PA －PB|的值最小．连AB ，作AB 的垂直平分线与直线l 的交点即为P.垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.|PA －PB|最小为0.在直线l 上求作点P ，使|PA －PB|的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P.三角形任意两边之差小于第三边. |PA －PB|最大值即为AB 长．在直线l 上求点P ，使AP BP -最大 作点B 关于l 的对称点B ′，作直线'AB ，与l 的交点即为点P .三角形任意两边之差小于第三边. |AP −BP |最大值即为AB′.3 / 14二、垂线段最值问题作法图形原理在直线l 上求作点P ，使线段AP 的值最小． 过点A 作AP ′⊥l于点P ′.连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短． AP ′即为最小值.三、轨迹问题问题作法图形原理如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值是________.由翻折得到，DF=DB=3.所以点F 在以点D 为圆心以3为半径的圆上.连接A 与圆心D ，AD 与圆的交点即为F'所以AF 的最小值是AD-DF'=5-3=2.利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________.取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小时，DH的长度最小．值为其他两线段之差.4/ 14巩固练习类型一、将军饮马问题1.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=8，CD=2，点P是AB上的一的动点，求：PC+PD的最小值。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：m m mmABmn m nnmn（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：nnm Bnn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
精彩初中几何最值问题全总结
一、基本图形余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定。
例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB 边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。
例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F'，求线段EF'长度的最大值与最小值的差。
中考数学几何最值问题题型梳理
中考数学几何最值问题题型梳理专题1 单线段最值之单动点型例题．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【解析】ABCD 为矩形，AB DC ∴= 又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上， 连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====巩固1．如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）ABC ．1D ．2【解析】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC =BC=2AB，∠A =∠B =45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC =OA =OB =1，∴∠OCB =45°， ∵∠POQ =90°，∠COA =90°，∴∠AOP =∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中，A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP =CQ ， 易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=2AP=2CQ ，QF2BQ ， ∴PE +QF=2，CQ +BQ，=2BC=2∵M 点为PQ 的中点， ∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH =12，PE +QF ，=12，即点M 到AB 的距离为12， 而CO =1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB =1，选C ， 巩固2．如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______，【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，，EE′=AC巩固3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∵∠ACD=∠BCE，∵∵ACD≌∵BCE（S A S），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵∵ACD≌∵BCE，∵∠CBE=∠A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∵AC∥EF，又∵AF⊥BE，∵AF⊥AC，在Rt∵ACF中，∵CF∵CD=CF=.例题．如图，点D 在半圆O 上，半径5OB =，4=AD ，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，作DH AC ⊥，垂足为H ，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是______．【解析】如图，设AD 的中点为点E ，则114222EA ED AD ===⨯= 由题意得，点H 的运动轨迹在以点E 为圆心，EA 为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE ，与圆E 交于点H ，此时BH 取得最小值，2EH = 连接BDAB 为半圆O 的直径，90ADB ∴∠=︒BD ∴===BE ∴===2BH BE EH ∴=-=巩固1．如图，长方形ABCD 中，AB =6，BC =4，在长方形的内部以CD 边为斜边任意作Rt ∵CDE ，连接AE ，则线段AE 长的最小值是_____．【解析】如图，点E '在以点F 为圆心，DF 为半径的圆上运动，当A ,E ,F 三点共线时，AE 值最小，DF =12×6=3，在长方形ABCD 中，AD =BC =4，由勾股定理得：AF ． ∵EF =12CD =12×6=3，∵AE =AF ﹣EF =5﹣3=2，即线段AE 长的最小值是2．巩固3．如图，Rt ABC △中，AB BC ⊥，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA ︒∠+∠=，则线段CP 长的最小值为________.【解析】∵∠P AB +∠PBA =90°，∵∠APB =90°，∵点P 在以AB 为直径的弧上（P 在∵ABC 内），设以AB 为直径的圆心为点O ，如图，接OC ，交∵O 于点P ，此时的PC 最短∵AB =6，∵OB =3，∵BC =4，∵5OC ==，∵PC =5-3=2巩固4．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，设∵O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交∵O 于F ， 此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∵5AB =，∵90OPB ︒∠=，∵OP AC ∥∵点O 是AB 的三等分点，∵210533OB =⨯=，23OP OB AC AB ==，∵83OP =， ∵∵O 与AC 相切于点D ，∵OD AC ⊥，∵OD BC ∥，∵13OD OA BC AB ==，∵1OD =， ∵MN 最小值为85133OP OF -=-=， 如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值1013133=+=，513+=633,∵MN 长的最大值与最小值的和是6．选B ． 巩固5．如下图所示，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF △，则'A C 的长的最小值是( )A ．2B ．3C 1D 1【解析】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点'A 在线段CE 上时，A'C 的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：112A'E AE AB ===．在Rt BCE △中，112BE AB ==，3BC =，90B ∠=，CE ∴，A'C ∴的最小值1CE A'E =-=．选D ．技法1：借助直角三角形斜边上的中线例题1．如图，在∵ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）A ．6B ．C ．D ．【解析】如图，取CA 的中点D ，连接OD 、BD ，则OD =CD =AC =×4=2，由勾股定理得，BD ==2，当O 、D 、B 三点共线时点B 到原点的距离最大，所以，点B 到原点的最大距离是2+2．技法2：借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边例题2．如图，已知等边三角形ABC 边长为A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C 在第四象限，连接OC ，则线段OC 长的最小值是（ ）A 1B ．3C ．3D 【解析】如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接OE ，∵∵ABC 是等边三角形，∵CE =AC ×si n 60°=3=，AE =BE ，∵∠AOB =90°，∵EO 12=AB =∵EC -OE ≥OC ， ∵当点C ，O ，E 在一条直线上，此时OC 最短，故OC 的最小值为：OC ＝CE ﹣EO ＝3B ．巩固1．如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =4，BC =2.运动过程中点D 到点O 的最大距离是______．【解析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD ≤OE +DE ，∵当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB =4，BC =2，∵OE =AE =12AB =2，DE=∵OD 的最大值为，巩固2．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=︒，则线段MN 的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．6【解析】连接CN ，∵将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到''A B C ∆，∵''=90A CB ACB ∠=∠︒，''460'B C BC A B C ABC ==∠=∠=︒，，∵'30A ∠=︒，''8A B =，∵N 是''A B 的中点，∵1''42CN A B ==， ∵在△CMN 中，MN ＜CM +CN ，当且仅当M ，C ，N 三点共线时，MN =CM +CN =6， ∵线段MN 的最大值为6．选D ．技法3：借助构建全等图形例题3．如图，在∵ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边∵BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是______．【解析】如图，取AB 的中点E ，连接CE ，PE ．∵∠ACB =90°，∠A =30°，∵∠CBE =60°， ∵BE =AE ，∵CE =BE =AE ，∵∵BCE 是等边三角形，∵BC =BE ，∵∠PBQ =∠CBE =60°， ∵∠QBC =∠PBE ，∵QB =PB ，CB =EB ，∵∵QBC ≌∵PBE （S A S ），∵QC =PE ，∵当EP ⊥AC 时，QC 的值最小，在Rt ∵AEP 中，∵AE =52，∠A =30°，∵PE =12AE =54，∵CQ 的最小值为54．巩固4．如图，边长为12的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连结MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连结HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．1．5【解析】如图，取BC 的中点G ，连接M G ，∵旋转角为60°，∵∠MBH +∠HBN =60°， 又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，∵∠HBN =∠G BM ，∵CH 是等边∵ABC 的对称轴，∵HB =12AB ，∵HB =B G ，又∵MB 旋转到BN ，∵BM =BN ， 在∵MB G 和∵NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵MB G ≌∵NBH （S A S ），∵M G=NH ，根据垂线段最短，当M G ⊥CH 时，M G 最短，即HN 最短，此时∠BCH =12×60°=30°，C G=12AB =12×12=6，∵M G=12C G=12×6=3，∵HN =3；选B ． 技法4：借助中位线例题4．如图，在等腰直角∆ABC 中，斜边AB 的长度为 8，以AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接BP ，取BP 的中点M ，则CM 的最小值为（ ）A． B．CD．【解析】连接AP 、CP ，分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接EF 、EM 和FM ，，EM 、FM 和EF 分别是，ABP 、，CBP 和，ABC 的中位线，EM ∥AP ，FM ∥CP ，EF ∥AC ，EF =12AC ，，∠EFC =180°－∠ACB =90° ，AC 为直径，，∠APC =90°，即AP ⊥CP ，，EM ⊥MF ，即∠EMF =90°，点M 的运动轨迹为以EF 为直径的半圆上，取EF 的中点O ，连接OC ，点O即为半圆的圆心，当O 、M 、C 共线时，CM 最小，如图所示，CM 最小为CM 1的长，，等腰直角∆ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，，AC =BC AB =，EF =12AC =FC =12BC =，OM 1=OF =12EF根据勾股定理可得OC =，CM 1=OC －OM 1即CM ，选C ．巩固5．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．52D ．3 【解析】∵2119y x =-，∵当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±， ∵A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO =BO =3，∵O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∵OC =4，∵BC 长度5=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∵OE 为∵ABD 的中位线，即：OE =12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∵BD 的最小值为4，∵OE =12BD =2，即OE 的最小值为2，选A . 专题2 单线段最值之双动点型技法1借助等量代换实现转化例题1．如图，ABC ∆中，90B ︒∠=，4AB =，3BC =，点D 是AC 上的任意一点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是_________．【解析】连接BD ，90,B DE AB DF BC ︒∠=⊥⊥，∴四边形BEDF 是矩形。
初中数学求线段最值的方法
初中数学求线段最值的方法初中数学中，求解线段的最值是一个基本的问题，它可以用来优化一些实际问题的解法，例如最短路径、最大收益、最小支出等。
本文将为大家介绍在初中数学中求解线段最值的方法，包括整体流程和每个环节的详细描述。
一、问题描述和基本概念假设有一条直线段AB，其中A(x1,y1)和B(x2,y2)是已知的点。
我们的问题是如何求出该直线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
我们需要了解一些基本的概念和知识：1. 直线段：由两个端点确定的线段，其中端点A是起点，端点B是终点。
2. 函数：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素的规则。
通常用f(x)表示函数。
3. 函数的最值：给定一个函数f(x)，若存在x1，x2∈D，使得f(x1)≥f(x) ∀x∈D 或f(x2)≤f(x) ∀x∈D，则称f(x)在D上取得最大值或最小值。
4. 坐标系：用于描述点或图形位置的平面直角坐标系，由x轴和y轴组成、原点为(0,0)。
5. 勾股定理：在直角三角形ABC中，设直角边分别为a,b,斜边为c，则有c²=a²+b²。
二、分析求解思路和方法对于我们的问题，我们可以用函数来描述直线段AB上每个点P(x,y)的值。
为了方便，我们通常称这个函数为f(x)。
如果我们要求f(x)的最大值，则需要寻找使得f(x)取得最大值的点x值。
同理，如果我们要求f(x)的最小值，则需要寻找使得f(x)取得最小值的点x值。
基于这个思路，我们可以考虑用以下的方法来求解线段最值：1. 明确问题：首先需要明确问题的具体描述和目标，即要求线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
2. 理解数据：仔细查看题目给定的图形或数据，注意理解每个点的坐标和重要的约束条件。
3. 定义函数：用函数f(x)来描述线段上每个点P(x,y)的值，需要注意函数的定义域D，即x的取值范围。
4. 求解方法：根据问题的不同，可以选用合适的求解方法来求解线段的最值。
一个线段长度之比最值问题的解法整理
．
答案： 3 2 2
3
4．（唐山市 2015-2016 学年高三年级第二次模拟考试）在等边 △ABC 中， M 是 △ABC 内一动点，且
BMC 120 ，则 MA 的最小值为 （ ） MC
A． 1
B． 3 4
C． 3 2
D． 3 3
答案：C
解法 1：将 △ABM 绕点 B 顺时针旋转 60 ，
AD
2
CD CD sin 60 ≥ sin 60 3
AD CE sin CDE
2
1
解法 4：（江苏江阴吴罗勇）将 DAB 绕点 B 顺时针旋转 60 得 △ECB ，
则
CE AD ， △DEB 为正三角形， DEB 60 ，
所以 CED 60 ，所以
故 CD 的最小值为 3 ．
AD
2
CD CD ≥ CH sin 60 3
AD
2
2
训练题
1．（2019 江苏三市三模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0, 2) ， B(1, 1) ， P 为圆 x2 y2 2 上
一动点，则 PB 的最大值是
．
PA
答案 2
解法 1：设 P(
2 cos,
2 sin ) ，则
PB2 PA2
( 2 cos 1)2 ( 2 sin 1)2 ( 2 cos )2 ( 2 sin 2)2
一个线段长度之比最值问题的解法整理
整理：广东阳江曾广荣
2020.5.24
题目：在正 ABC 中， D 是 ABC 内一动点，且 ADB 120 ，则 CD 的最小值为
．
AD
答案： 3 2
解法 1：（广东阳江曾广荣）
如图所示：设 CDA ， CAD ，则 DBA CAD ．
初中数学线段最值问题解题技巧
初中数学线段最值问题解题技巧（最新版4篇）目录（篇1）1.线段最值问题的定义和特点2.解题思路和方法3.具体解题步骤和技巧正文（篇1）一、线段最值问题的定义和特点线段最值问题是指在已知线段长度范围内，求取最大或最小值的问题。
此类问题在数学中较为常见，尤其是在几何学和代数中的应用广泛。
其特点在于，通常需要结合线段长度、角度、边长等几何要素进行求解。
二、解题思路和方法1.转化：将问题转化为具体几何模型或代数方程。
2.寻找最大值点：通过观察线段或几何图形，找到最大值点。
3.应用数学知识：利用数学知识求解最大值，如三角函数、勾股定理等。
4.运用数学公式：运用特定数学公式，如辅助线公式、几何倍增等，来寻找最大值。
三、具体解题步骤和技巧1.分析问题：首先需要认真阅读问题，理解问题的要求。
2.构建模型：根据问题建立几何模型或代数方程。
3.寻找最大值点：根据题目中的条件，找到最大值点。
这可能需要对几何图形或代数方程进行深入分析。
4.应用数学知识：使用所学的数学知识求解最大值，例如：三角函数、勾股定理等。
5.验证结果：验证所求得的解是否符合题目要求，必要时进行修正。
总之，解决线段最值问题需要灵活运用数学知识，同时注意分析问题、建立模型、寻找最大值点和应用数学知识等多个步骤。
目录（篇2）一、初中数学线段最值问题解题技巧概述1.解题技巧简介2.解题技巧的应用范围和优势3.解题技巧的适用条件和限制二、初中数学线段最值问题解题技巧详解1.寻找临界点法2.构造辅助线法3.转化角度法4.函数思想法三、初中数学线段最值问题解题技巧的实际应用案例1.题目类型：线段和的最值问题2.题目类型：线段长的最值问题3.题目类型：线段差的的最值问题4.题目类型：三角形中的最值问题正文（篇2）初中数学线段最值问题解题技巧是解决线段相关问题的有效工具。
它通过寻找临界点、构造辅助线、转化角度以及运用函数思想等方法，将复杂的问题简单化，从而快速准确地求解。
七年级最值问题——线段和最小值问题
• C'D = 2√2 求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2) • 所以，有0 = -k b 2 = k b • 解得 k = 1，b = 1，所以 y = x 1 当x = 0时，y =1，则P(0，1)
• 3、如下图，一次函数y=kx b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． • （1）求该函数的解析式；
• 4、作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段) • 1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定
长P'Q'； • 2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P； • 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q.. • 略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四
• 解析： 这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题， 经过分析，知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB 相交，点P在∠AOB内部，通常我们会用轴对称模型，分 别做点P关于直线OA和OB的对称点P₁、P₂ ，连结P₁P₂分 别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程 最短的地点.
• 3、如下图，村庄A、B位于一条小河的两侧， 若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与 河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才 能使A村到B村的路程最近？
• 这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、 三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
• 还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM MN BN的最小值。这时需平移BN（或AM），转化为求解 决，如下图所示．
线段最值问题专题方法
线段最值问题专题方法
线段最值问题？嘿，这可不是个小难题呢！那咱就来说说这线段最值问题的专题方法。
先讲讲步骤吧！你想想，就像在走迷宫一样，得有个方向。
第一步，确定动点轨迹，这可重要啦！要是不知道动点在哪瞎找，那可就像无头苍蝇一样，能找到最值才怪呢！第二步，根据不同的轨迹类型选择合适的方法。
如果是直线型轨迹，那就利用“垂线段最短”这个法宝；要是圆弧轨迹呢，那就得想到圆心和半径啦！
注意事项也不少呢！你可千万别小瞧了这些细节。
首先，一定要仔细分析题目条件，别漏看了任何一个关键信息。
其次，在计算的时候要认真仔细，一个小错误可能就会让你的结果谬以千里。
那这过程中的安全性和稳定性咋样呢？这么说吧，只要你按照正确的步骤来，就像走在平坦的大路上一样安全稳定。
可要是你乱来，那可就危险啦，说不定就会掉进陷阱里。
再说说应用场景和优势。
这线段最值问题在生活中的应用可多啦！比如在建筑设计中，要确定最短的布线路径；在物流运输中，要找到最短的运输路线。
优势嘛，那就是能帮你节省时间、成本，提高效率。
来个实际案例吧！比如说要在河边建一个水泵站，向两个村庄供水，问水泵站建在哪里才能使铺设的管道最短。
这不就是典型的线段最值问题嘛！通过分析，找到两个村庄关于河边的对称点，连接对称点和另一个村庄，与河边的交点就是水泵站的最佳位置。
这样一来，就可以大大节省铺设管道的成本。
咱这线段最值问题的专题方法就是这么厉害！只要你掌握了，就能在各种问题中如鱼得水。
赶紧去试试吧！。
线段最值问题
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
，P是⊙O上一点，求AP简析：E是定点，F'是动点，要确定F'点的运动路径。
先确定线段A'B'的运动轨迹是，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F到圆环的最短和最长路径。
E到圆环的最短距离为=EC+CF=3+6=9，其差为简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段在OA、OB的内侧。
所以本题的关键是动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径折得P1、P2，△PMN的周长转化为点P1、P2之间的路径，从而转化为求小值为线段P1P2＝OP＝6。
例5.如图，在锐角△ABC中，ABN分别是AD和AB上的动点，则简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'⊥AC 时，最小值为2√2。
【平移变换类】典型问题：“造桥选址”。
例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A'到定点B的最短路径。
如下图：思路是把动线AM平移至A'M，A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径。
本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接。
中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)
MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或 可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时 ，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
解答过程：
连接OC交e O于点P，此时PC最小. 在RtBCO中， Q BC=4，OB=3， OC=5，PC=OC OP=2. 即PC最小值为2.
小结：
此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与 两定点连线的夹角为确定值；若点P在△ABC外部，则CP 长存在最大值；若∠APB为非直角时，则作△ABP的外接 圆，此时AB为非直径的弦.
'
2
2
2
在 R t C D D '中 ，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的 最 小 值 为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算 出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合 的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
，52
)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点
，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
y
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mmm mA Bmn m nn m nnnm B（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nmnmnm（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：mmmmQ Q练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .5、如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．6、 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ．Q7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
中考几何图形中求线段最小值问题思路整理,线段最小值问题归纳
斜大于直---一类线段最值的求法通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
经过探究我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
即我们今天所要讲的内容“斜大于直”问题。
“斜大于直”问题在中考线段最值中考察较为广泛，即点到线的最短距离问题，常见的有单线段的最值，线段和的最小，系数不为1的线段和的最值（胡不归问题）等等。
如需加深难度通常将定点和定线隐藏处理即可。
本文将通过7大变式予以说明。
反思：①本题的关键在于确定△PEF的外心，利用等边三角形的特殊性将垂直平分线的交点转化为角平分线的交点，寻找到外心.
②发现外心为一定点，则转化为求定点到直线的最短距离问题，即垂线段最短（斜大于直）.。
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数学历史名题与中考数学命题（一）——线段最值问题总结【讲座提纲】应群主纪老师的邀请，进行这次的讲座，对于中考数学我其实是外行，因为我主要是教高中数学，初中数学我平时也会偶尔关注一下，对于特等老师们的执着、专业、无私，我是从心里佩服的，他们才是中考数学解题命题专家，他们的讲座给与我很大的启发，学到了很多。
但是我这个外行为什么还进行这次讲座呢？一是在群里学到了很多大神的妙招，我也应该为草根群出自己一份力，提供个人的一些浅薄的想法；二是通过这次讲座跟各位老师学习和交流，提高自己的解题水平；三是通过自己的一些想法，抛砖引玉，希望群里其他真正厉害的高手出来为群里老师们进行指导，形成草根群更加浓厚的学术交流氛围。
在此特别感谢群主和各位群友在草根群一直对我的指导和帮助，谢谢大家！数学历史名题是各文明古国灿烂文化的结晶，有的是数学大师的伟大数学思想的光辉杰作，有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。
我们通过数学名题，学习和欣赏数学大师们的别致、独到的构思，新颖、奇巧的方法和精美、漂亮的结论的基础上，启迪我们的思维、开阔我们探索问题的思路、提高解决问题的能力、丰富我们的解题经验。
数学文化现在越来越受到大家的重视，2017年高考考纲正式加入数学文化的内容，中考数学试题中更是很多数学试题是根据数学名题改编或者简化或者直接引用而成，本讲座主要在于探索一些中考几何真题的文化价值和命题背景。
本讲座主要涉及的名题背景有“将军饮马问题”、“阿波罗尼斯圆与胡不归问题”将研究其解法和背景，结合中考真题进行讲解分析，期待引起大家对数学名题的关注和研究！线段的最值问题频频出现在各地中考数学试卷上面，这些问题有大家熟知的“将军饮马问题”及其引申，也有近几年非常热火的“胡不归问题”与“阿波罗尼斯圆问题”，很多老师对它们有所了解，但是却缺乏这方面的总结整理，甚至有“知其然不知其所以然”，因此很有必要对它们作一个梳理，这里我尽可能讲清楚这些问题的来龙去脉，历史渊源，归纳其解法，掌握其思想，对中考数学命题背景作一些浅显的探讨，由于本人水平有限，准备时间仓，可能整理得不够完整，甚至出现错误，望各位批评指正，感激不尽！一将军饮马问题：问题起源：亚历山大城有一位精通物理和数学的学者海伦，一天一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题，军官每天从军营出发先到河边饮马，然后再去河的同侧帐篷休息，应该怎么走最省时？海伦利用光学性质很快就得到了解答，我们知道光在同一种介质里面是沿直线传播的，也就是说是沿最短路径行进的，但是当光从一点射出后不是直线射向另一点，而是经过平面镜反射到另一点的时候，光依旧会沿最短的路径进行。
你说大自然多么奇妙，这个世界冥冥之中是按数学最优美的次序书写的，让人惊叹！从此“将军饮马”问题广为流传，在我国唐代诗人李欣写有《古从军行》一诗，古从军行白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。
野营万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。
胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。
闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。
年年战骨埋荒外，空见蒲萄入汉家。
前两句诗句就记录了“将军饮马”的情景。
也可以说是中国给这个经典问题的名称的由来吧。
【熟悉十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA +PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为A B ＇．【问题3】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线m ∥n ，在m 、n ，将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连A ＇B ，交n 于点N ，过N 作NM ⊥m 于M ．两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为A ＇B +MN ．上分别求点M 、N ，使MN ⊥m ，且AM +MN +BN 的值最小．【问题6】作法图形原理在直线l 上求两点M 、N （M 在左），使aMN =，并使AM +MN+NB 的值最小．将点A 向右平移a 个长度单位得A ＇，作A ＇关于l 的对称点A ＇＇，连A ＇＇B ，交直线l 于点N ，将N 点向左平移a 个单位得M ．两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为A ＇＇B +MN ．【问题7】作法图形原理在1l 上求点A ，在2l 上求点B ，使PA +AB 值最小．作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交2l 于A ．点到直线，垂线段最短．PA +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．【问题8】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短．AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PB PA -＝0．【问题10】作法图形原理作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇．PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE相交于P，点P 即为所求．两点之间线段最短．PA +PB +PC 最小值＝CD ．将军饮马问题耳熟能详，大家都掌握得非常熟练了，我就仅举一例说明中考的考法，并留几个习题供大家练习例题1：（广州中考题）已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -、(40)B ，，抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A B 、，顶点为C ，点(,)(0)P m n n <为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围；（3）若3,2m >当APB ∠为直角时，将该抛物线向左或向右平移5(02t t <<个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为''C P 、，是否存在t ，使得首尾依次连接''A B P C 、、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.【分析】：第一问考察了求二函解析式与求顶点，但由于带这分数运算，所以计算并不简单，属于中等难度题目。
第二问考察当点P 坐标为何时，∠APB 为钝角。
想钝角需要先从直角思考。
所以利用画圆找90°，然后利用相似三角形或勾股逆定理求证三点成90°。
再由90°过度到钝角。
第二问思维跨度比较大，属于难题。
第三问则考察了函数的平移，题型新型，难度很大，背景为“将军饮马问题”。
这里主要讲解第三问.解:(1)代入()10A ,-,()40B ,二次函数:22y ax bx =+-得:0201642a b a b =--⎧⎨=+-⎩,解得:1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为:213222y x x =--.对称轴为直线322b x a =-=,代入213222y x x =--则顶点32528C ,⎛⎫-⎪⎝⎭.(2)如图所示，设抛物线与y 轴交点D ，连接AD,BD ∵()()()104002A ,,B ,,D ,--由勾股定理得:AD ==BD ==,145AB =+=∴222AD BD AB +=,∴ABD ∆为直角三角形,90ADB ∠=︒.由图可得：当10m -<<时，APB ∠为钝角.∵抛物线关于轴对称32x =对称，∴D 的对称点'D 的坐标为：()32,-由图可得：当34m <<时，APB ∠为钝角.综上所述：当10m -<<或34m <<时，APB ∠为钝角.（3） 线段AB 和C P ''的长是定值，∴要使四边形ABP C ''的周长最短，只要AC BP ''+最短。
如果将C P ''向右平移，显然有AC BP AC BP ''+>+，∴不存在某个位置，使四边形ABP C ''的周长最短，应将线段C P ''向左平移。
由题知(32)P -，，设线段C P ''向左移了t 个单位，则P '为(3,2)t --，C '为325(,)28t --，作C '关于x 轴的对称点C ''325(,)28t -，此时AC AC '''=，再作平行四边形ABB C '''。
5AB = ，B '∴为1325(,)28t -，此时AC BB '''=，连接BP '，B P ''交x 轴于M 。
AC BP BB BP B P ''''''∴+=+≥，∴AC BP ''+最小值B P ''。
此时，B 在直线B P ''上，设直线B P ''的解析式(0)y kx b k =+≠，代入B P ''，得2(3)1513()82k t b k t b ì-=-+ïïïíï=-+ïïî①②又B 在B P ''上∴04k b =+③，联立①②③，得1541t =(1)解:依题意把,A B 的坐标代入得:2016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩;解得:1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为213222y x x =--∴顶点横坐标322b x a =-=,将32x =代入抛物线得2133325((222228y =-⨯-⨯-=-325(,)28C ∴-(2)如图,当90APB ︒∠=时,设200013(,2)22D x x x --,则001,4,ED x DF x =+=-20013222BF x x =--过D 作直线l x 轴,,AE l BF l⊥⊥AED BFD∴∆∆ AE DF ED BF∴=20002000132422131222x x x x x x ---∴=+--(注意用整体代入法)解得120,3x x ==1(0,2)D ∴-,2(3,2)D -当P 在12,AD BD 之间时，90APB ︒∠>10m ∴-<<或34m <<时，APB ∠为钝角.(3)依题意3m >，且90APB ︒∠=(3,2)P ∴-设,P C 移动t （0t >向右，t o <向左）325(3,2),(,)28P t C t ''∴+-+-连接,,AC P C P B''''则ABP C C AB BP P C C A''''''=+++又,AB P C ''的长度不变∴四边形周长最小，只需BP C A ''+最小即可将C A '沿x 轴向右平移5各单位到BC ''处P '沿x 轴对称为P ''∴当且仅当P ''、B 、C ''三点共线时，BP 'C A '+最小，且最小为P C ''''，此时1325(,)28C t ''+-(3,2)P t ''+，设过P C ''''的直线为y kx b =+，代入1325();28(3)2t k b t k b ⎧++=-⎪⎨⎪++=⎩∴412841(3)228k t b ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩即4141(3)22828t y x +=-++将(4,0)B 代入，得：4141(3)4202828t +-⨯++=，解得：1541t =-∴当，P 、C 向左移动1541单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。