概率统计复习重点
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《概率统计》期末重点
第一章随机事件及其概率
【说明】本章最主要的知识点是全概率公式和贝叶斯公式，所以就讲这一部分，其余的参考书本。
两个公式：
全概率公式；
设实验E的样本空间为Ω，事件 构成完备事件组（Ω的一个划分），且 ，对于事件B有
贝叶斯公式：
设实验E的样本空间为Ω，事件 构成完备事件组（Ω的一个划分），且 ，对于事件B（ ）有
1.矩估计
步骤：
1）有几个未知参数，分别求出总体的一阶到几阶原点矩；
2）把未知参数解出，用总体的原点矩表示；
3）分别用样本的各阶矩估计总体的各阶矩得出参数的矩估计结果。
【例6-1】设总体 ， 是来自总体 的一个样本，样本值为 ，求参数 的据估计值。
解：
反解出 ：
于是马上可以得到矩估计为：
据估计值
【例6-2】设总体 的概率密度
【例3-2】二元随机变量 的联合概率分布表如下
0
1
2
0
1
，求 。
解：首先写出Z1，Z2对应的分布律。
0
1
2
3
0
1
2
于是
【例3-3】二维随机变量 ，求
解：首先求出关于X的边缘概率密度
1）当 时，有
2）x为其他值时，则
综合上述
于是
【例3-4】二维随机变量 的联合分布表如下
0
1
2
0
1
求 ，X与Y是否相关？是否相互独立？
其中 都是未知参数， 是来自总体 的样本，求 的矩估计量。
解：
反解出 得
于是，矩估计量
2.极大似然估计
步骤：
1）首先写出似然函数
2）对似然函数取对数后求导，或者偏导后得到似然方程（组）
① 为一值时，则
② 为一向量 ，则求偏导
3）然后解出根 就是 的极大似然估计。
【例6-3】设总体 ， 是来自总体 的一个样本，样本值为 ，求参数 的极大似然估计值。
【例1-1】一商店为甲、乙、丙三个厂销售同类型号的家电产品。这三个厂产品的比例为1：2：1，且它们的次品率为0.1，0.15，0.2，某顾客从这些产品中任意选购一件，试求：
（1）顾客买到正品的概率；
（2）若已知顾客买到的是正品，则它是甲厂生产的概率是多少？
解：设
由题意
1）由全概率公式
2）由贝叶斯公式
2）方差 未知，对均值 区间估计，置信度为1-α的置信区间为
。
【例6-5】对某一零件的长度进行5次独立测量得（单位：cm）
11.2，10.8，10.9，11.3，10.9
已知测量无系统误差，且测量长度服从N(μ,4)求该零件平均长度的95%置信区间，如果总体方差 未知，置信区间为何？
解：1）首先求出 ，而
（a+b）/2
/
X~E(λ)
1/λ
X~N(μ,σ2)
μ
σ2
以为离散性随机变量函数的期望
首先写出Y=g(X)函数的分布律，然后按照常规方法求解期望。
一维连续性随机变量的期望
数学期望的性质
X、Y相互独立（或者不线性相关），
后面两个都可以推广至有限多种的情况。
条件期望
i.称 为在 时X的条件期望；
ii.称 。
【例1-2】设甲袋中有四个红球和两个白球，一代中有三个红球和两个白球。现从甲袋中任取两个球（不看颜色）放到乙袋后，再从乙袋中任取一个球，发现取出的球是白球，则从甲袋中取出（放入乙袋）的两个球都是白球的概率是多少。
解：设
由题
由贝叶斯公式
第三章随机变量的数字特征
【说明】本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等知识，比较重要，难度不是很大。
总体概念及表示方法、样本以及样本值概念及表示方法、样本容量、以及总体和样本之间独立同分布的性质，这些概念只要知道即可，会用就可以了。
常见的统计量：
样本平均数（样本均值）
样本方差
样本k阶原点矩
样本k阶中心矩
第六章参数估计
【说明】本章主要围绕参数估计展开，主要讲述了点估计（包括矩估计、极大似然估计）和区间估计。接着就是正态总体参数的区间估计，就是怎么求置信区间的问题。
07自动化（1） 郑龙呈
这里Fra Baidu bibliotek如果在实际解题中，只需要n足够大即可。
（1）
（2）
【例4-4】某批产品（批量很大）次品率为p=0.1，从这批产品中随机抽取1000件。求抽的次品树在90~100之间的概率。
解：根据拉普拉斯定理，X为次品数，则
【例4-5】设电站供电网有10000赞电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，假设开、关事件彼此独立，记随机变量X为夜晚同时开着的电灯数，
关于X的边缘概率密度为
i)当 时，有
ii)x为其他值时，则
综合上述
从而，
i)当 ，则 =0
ii)当 ，则
iii)当x＞2时，则 =1
综合上述
III）我们可以求得
即可得
IV）由题，
V）
第四章大数定理
【说明】本章考点很明确，考得就是切比雪夫不等式以及拉普拉斯定理。
1.切比雪夫不等式
设X为随机变量，期望 和方差 都存在，对于任意的 ，有
1.随机变量的期望
主要掌握离散型、连续性随机变量的期望求法、常见的离散型、连续性随机变量的期望要求记住，一元函数随机变量期望的求法、数学期望的性质以及条件期望等。
离散型期望：
连续性期望：
常见期望及方差
分布
期望
方差
0-1分布
p
P(1-p)
二项分布X~B(n,p)
np
Np(1-p)
X~P(λ)
λ
λ
[a,b]上均匀分布
【例4-1】随机变量 ，由切比雪夫不等式有 __________。
解：
【例4-2】随机变量 ，用切比雪夫不等式估计 的值。
解：
【例4-3】设X服从区间（-1，1）上的均匀分布。
b)求 ；
c)使用切比雪夫不等式估计 的下界。
解：（1）
（2）
即上界为0.074。
2.拉普拉斯定理
【二项分布以正态分布为极限，即 时， 】
解：首先写出两个边缘分布律
0
1
0
1
2
于是
0
1
2
于是
，则X、Y不相关
0
1
于是
0
1
4
于是
同时也可验证X、Y不独立。
【例3-5】设二元随机变量 的联合改了密度函数为
求：
I)常数
II)
III)
IV)
V)
解：本题综合考察了第二章有关连续性随机变量的相关知识，很有代表性。
I）由性质 可得
II）首先求出边缘概率密度，然后对其积分
1）写出X的分布；
2）利用切比雪夫不等式，估计夜晚同时开着的电灯数再6800~7200之间的概率；
3）利用拉普拉斯定理，计算夜晚同时开着的电灯数在6800~7200之间的概率的近似值。
解：1）
2）由切比雪夫不等式
3）由拉普拉斯定理
第五章统计量及其分布
【说明】本章重点内容很少，但是有几个点还是需要知道的。
带入公式马上可得
于是置信区间为（9.27，12.77）
2）此时需要求出S=0.21
这样，带入公式可得
于是置信区间为（10.78，11.26）。
【说明】其实求置信区间，当 已知时，是比较简单的，但是未知，则比较复杂。因为求S比较复杂
在第三章中的内容很多包括第二章的知识，所以在编排中没有做出，这需要大家自己以课本为基础去复习，其他几章都列出了本章的重点及考试要点，希望大家仔细去看，争取都考出好成绩。 由于能力有限，如果不完整，请大家帮忙指出修正！
解：
接着，对数化
然后，因为只有一个值，故求导即可
解得
于是极大似然估计量
【例6-4】总体 是来自总体 的一个样本，样本值为 ，求参数 的极大似然估计值。
解：
接着对数化
求得得到似然方程
得到解
【说明】只要步骤掌握了，极大似然估计的求解可能更加简单些，当然，每一种点估计都不难。
3.正态总体参数的区间估计
1）方差 已知，对均值 区间估计，置信度为1-α的置信区间为 ，当α=0.01时 ，α=0.05时 。
2.方差
A）必须记住的公式：
B）性质
X、Y相互独立或者不相关
最后一个公式可以推广至多个。
3.协方差和相关系数
1.必须记住的公式
2.对于任意X，Y：
3.性质
4.相关系数
若 则X、Y不相关
反之，则相关
若X，Y相互独立，则X，Y一定不相关，反之不成立。
【例3-1】设随机变量 ，求
解：由连续型随便变量数学期望的定义式可得
第一章随机事件及其概率
【说明】本章最主要的知识点是全概率公式和贝叶斯公式，所以就讲这一部分，其余的参考书本。
两个公式：
全概率公式；
设实验E的样本空间为Ω，事件 构成完备事件组（Ω的一个划分），且 ，对于事件B有
贝叶斯公式：
设实验E的样本空间为Ω，事件 构成完备事件组（Ω的一个划分），且 ，对于事件B（ ）有
1.矩估计
步骤：
1）有几个未知参数，分别求出总体的一阶到几阶原点矩；
2）把未知参数解出，用总体的原点矩表示；
3）分别用样本的各阶矩估计总体的各阶矩得出参数的矩估计结果。
【例6-1】设总体 ， 是来自总体 的一个样本，样本值为 ，求参数 的据估计值。
解：
反解出 ：
于是马上可以得到矩估计为：
据估计值
【例6-2】设总体 的概率密度
【例3-2】二元随机变量 的联合概率分布表如下
0
1
2
0
1
，求 。
解：首先写出Z1，Z2对应的分布律。
0
1
2
3
0
1
2
于是
【例3-3】二维随机变量 ，求
解：首先求出关于X的边缘概率密度
1）当 时，有
2）x为其他值时，则
综合上述
于是
【例3-4】二维随机变量 的联合分布表如下
0
1
2
0
1
求 ，X与Y是否相关？是否相互独立？
其中 都是未知参数， 是来自总体 的样本，求 的矩估计量。
解：
反解出 得
于是，矩估计量
2.极大似然估计
步骤：
1）首先写出似然函数
2）对似然函数取对数后求导，或者偏导后得到似然方程（组）
① 为一值时，则
② 为一向量 ，则求偏导
3）然后解出根 就是 的极大似然估计。
【例6-3】设总体 ， 是来自总体 的一个样本，样本值为 ，求参数 的极大似然估计值。
【例1-1】一商店为甲、乙、丙三个厂销售同类型号的家电产品。这三个厂产品的比例为1：2：1，且它们的次品率为0.1，0.15，0.2，某顾客从这些产品中任意选购一件，试求：
（1）顾客买到正品的概率；
（2）若已知顾客买到的是正品，则它是甲厂生产的概率是多少？
解：设
由题意
1）由全概率公式
2）由贝叶斯公式
2）方差 未知，对均值 区间估计，置信度为1-α的置信区间为
。
【例6-5】对某一零件的长度进行5次独立测量得（单位：cm）
11.2，10.8，10.9，11.3，10.9
已知测量无系统误差，且测量长度服从N(μ,4)求该零件平均长度的95%置信区间，如果总体方差 未知，置信区间为何？
解：1）首先求出 ，而
（a+b）/2
/
X~E(λ)
1/λ
X~N(μ,σ2)
μ
σ2
以为离散性随机变量函数的期望
首先写出Y=g(X)函数的分布律，然后按照常规方法求解期望。
一维连续性随机变量的期望
数学期望的性质
X、Y相互独立（或者不线性相关），
后面两个都可以推广至有限多种的情况。
条件期望
i.称 为在 时X的条件期望；
ii.称 。
【例1-2】设甲袋中有四个红球和两个白球，一代中有三个红球和两个白球。现从甲袋中任取两个球（不看颜色）放到乙袋后，再从乙袋中任取一个球，发现取出的球是白球，则从甲袋中取出（放入乙袋）的两个球都是白球的概率是多少。
解：设
由题
由贝叶斯公式
第三章随机变量的数字特征
【说明】本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等知识，比较重要，难度不是很大。
总体概念及表示方法、样本以及样本值概念及表示方法、样本容量、以及总体和样本之间独立同分布的性质，这些概念只要知道即可，会用就可以了。
常见的统计量：
样本平均数（样本均值）
样本方差
样本k阶原点矩
样本k阶中心矩
第六章参数估计
【说明】本章主要围绕参数估计展开，主要讲述了点估计（包括矩估计、极大似然估计）和区间估计。接着就是正态总体参数的区间估计，就是怎么求置信区间的问题。
07自动化（1） 郑龙呈
这里Fra Baidu bibliotek如果在实际解题中，只需要n足够大即可。
（1）
（2）
【例4-4】某批产品（批量很大）次品率为p=0.1，从这批产品中随机抽取1000件。求抽的次品树在90~100之间的概率。
解：根据拉普拉斯定理，X为次品数，则
【例4-5】设电站供电网有10000赞电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，假设开、关事件彼此独立，记随机变量X为夜晚同时开着的电灯数，
关于X的边缘概率密度为
i)当 时，有
ii)x为其他值时，则
综合上述
从而，
i)当 ，则 =0
ii)当 ，则
iii)当x＞2时，则 =1
综合上述
III）我们可以求得
即可得
IV）由题，
V）
第四章大数定理
【说明】本章考点很明确，考得就是切比雪夫不等式以及拉普拉斯定理。
1.切比雪夫不等式
设X为随机变量，期望 和方差 都存在，对于任意的 ，有
1.随机变量的期望
主要掌握离散型、连续性随机变量的期望求法、常见的离散型、连续性随机变量的期望要求记住，一元函数随机变量期望的求法、数学期望的性质以及条件期望等。
离散型期望：
连续性期望：
常见期望及方差
分布
期望
方差
0-1分布
p
P(1-p)
二项分布X~B(n,p)
np
Np(1-p)
X~P(λ)
λ
λ
[a,b]上均匀分布
【例4-1】随机变量 ，由切比雪夫不等式有 __________。
解：
【例4-2】随机变量 ，用切比雪夫不等式估计 的值。
解：
【例4-3】设X服从区间（-1，1）上的均匀分布。
b)求 ；
c)使用切比雪夫不等式估计 的下界。
解：（1）
（2）
即上界为0.074。
2.拉普拉斯定理
【二项分布以正态分布为极限，即 时， 】
解：首先写出两个边缘分布律
0
1
0
1
2
于是
0
1
2
于是
，则X、Y不相关
0
1
于是
0
1
4
于是
同时也可验证X、Y不独立。
【例3-5】设二元随机变量 的联合改了密度函数为
求：
I)常数
II)
III)
IV)
V)
解：本题综合考察了第二章有关连续性随机变量的相关知识，很有代表性。
I）由性质 可得
II）首先求出边缘概率密度，然后对其积分
1）写出X的分布；
2）利用切比雪夫不等式，估计夜晚同时开着的电灯数再6800~7200之间的概率；
3）利用拉普拉斯定理，计算夜晚同时开着的电灯数在6800~7200之间的概率的近似值。
解：1）
2）由切比雪夫不等式
3）由拉普拉斯定理
第五章统计量及其分布
【说明】本章重点内容很少，但是有几个点还是需要知道的。
带入公式马上可得
于是置信区间为（9.27，12.77）
2）此时需要求出S=0.21
这样，带入公式可得
于是置信区间为（10.78，11.26）。
【说明】其实求置信区间，当 已知时，是比较简单的，但是未知，则比较复杂。因为求S比较复杂
在第三章中的内容很多包括第二章的知识，所以在编排中没有做出，这需要大家自己以课本为基础去复习，其他几章都列出了本章的重点及考试要点，希望大家仔细去看，争取都考出好成绩。 由于能力有限，如果不完整，请大家帮忙指出修正！
解：
接着，对数化
然后，因为只有一个值，故求导即可
解得
于是极大似然估计量
【例6-4】总体 是来自总体 的一个样本，样本值为 ，求参数 的极大似然估计值。
解：
接着对数化
求得得到似然方程
得到解
【说明】只要步骤掌握了，极大似然估计的求解可能更加简单些，当然，每一种点估计都不难。
3.正态总体参数的区间估计
1）方差 已知，对均值 区间估计，置信度为1-α的置信区间为 ，当α=0.01时 ，α=0.05时 。
2.方差
A）必须记住的公式：
B）性质
X、Y相互独立或者不相关
最后一个公式可以推广至多个。
3.协方差和相关系数
1.必须记住的公式
2.对于任意X，Y：
3.性质
4.相关系数
若 则X、Y不相关
反之，则相关
若X，Y相互独立，则X，Y一定不相关，反之不成立。
【例3-1】设随机变量 ，求
解：由连续型随便变量数学期望的定义式可得