高数下期末复习题(解答题)

1.求曲面6322

2

2

=++z y x

在点

()1,1,1P 处的切平面方程和法线方程.

2.设z=z(x,y)由方程y

z

z x ln =所确

定，求y

z x z ∂∂∂∂,

3.设

g ,f y x g )xy (f z 其中 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=为可微函数，求 y x z ∂∂∂∂z

，

4. 设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足

2222

1f f u v ∂∂+=∂∂，又 )](2

1,[),(2

2y x xy f y x g -=,求.22

22y g x g ∂∂+∂∂

5.将正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大.

6.设长方体内接于半径为R 的半球,问长

方体各边为多少时,其体积为最大.

7.求椭球面

142222=++z y x 与平面07=-++z y x 之间的最短距离.

8.设),(y x z z =是由0),(=++nz y mz x F 确定的函数，其中F 是可微函数,m 、n 是常数,求y z

n x z m ∂∂+∂∂

9.计算二重积分⎰⎰

+D

dxdy y x 22 ， 其中

D 是由圆周 y y x 22

2

=+所围成的闭区域.

10.设函数)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程，dxdy y x f e

t f t y x t )2

1()(2

222

422

4⎰⎰

≤+++

=π求)(t f .

11.求三重积分⎰⎰⎰

Ω

zdxdydz ，其中Ω为

球面42

22

=++z y x

与抛物面

z y x 32

2

=+所围成的闭区域

12.求由曲面2

2

5y

x z --=与

物面z y x

42

2

=+所围成的立体

体积。 13.计算

⎰-+++-=L dy

x y dx y x I )635()42(，其中L 为三顶点分别为(0, 0)、(3, 0)和 （3， 2）的三角形正向边界. 14.计算⎰

L

xds ,其中曲线L 为直线y=x 及

抛物线2

x y =所围成的区域的边界 15.计算曲线积分

⎰-+++-

L dy

x y dx y x )635()42(其中L 为从点(0,0)到点(3,2)再到点(4,0)的折线段. 16.问当

a

取何值时,曲线积分

⎰

--+-)

2,1()

0,1(2232dy )y x 2xy (a dx )y xy 6(与路径无

关,并计算此曲线积分的值.

17.设函数)(x f 在),(∞+∞-内具有一阶连续

导数,L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线,其起点为),(b a ,终点为).,(d c

y xy f y y

x x xy f y y I L

d ]1)([d )](1[1222

-++=⎰

记, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关; (2)当cd ab =时,求I 的值.

18.判断级数∑∞

=1!

3n n n

n n 的敛散性并说明理由.

19.判别级数()

∑∞

=--1

2

1

6

cos 1n n n n

π的敛

散性.

20．将()x a

r c t a n x f =展开成x 的幂级数

21.将函数2

233

)(x

x x f --=

展开成x 的幂级数

22．求幂级数∑∞

=-2

)

1(n n

n n x

的和函数.

23.求幂级数n

n x n n ∑∞

=+1

1在其收敛域中的和函

数.

24.求级数n

n n x n 2012

12∑∞

=++的和函数)(x S ，并求

∑∞

=-1

21

2n n n 的和. 25.设幂级数n

n x n n ∑∞

=+1)1(,(1)求其收敛域;

(2)求其和函数，并求∑∞

=++1

12)

1(n n n n 的和

26.已知幂级数n

n n x n ∑∞

=⋅1

2

1; (1) 求该级数的收敛半径; (2) 求该级数的和函数; (3)求

)2

1231221211(lim 32n n n ⋅++⋅+⋅+⋅∞

→ 27.设级数

)(8

64264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x

的和函数为S (x ). 求：

(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. 28. 解微分方程

2

)1()1(+=-+x e y dx

dy x x .

29.解微分方程0cos sin =-+'-x

e x y y

30．求方程1y x x

21'y 2=-+满足0y

1

x ==的

特解 31.已知积分

()[]()dy x f ydx x f e

x

-+⎰

)1,1()

0,0(与

路径无关，且()2

1

0=f ,求可导函数

)(x f .

32.设()x f 具有二阶连续导

数,

()()10,00='=f f ,且曲线积分