一维无限深势阱

6.ξ一维无限深势阱

考虑一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内：

0,,x x a U x a

⎧<⎪=⎨∞≥⎪⎩ 如右图

这种势叫一维无限深势阱

因x U 不含 t ，属于定态问题。

体系所满足的定态薛定谔方程是：

()2

222d E x a dx ψ

ψμ-=<① ()2

2022d U E x a dx ψ

ψψμ-+=≥② ②中，0U →∞由波函数应满足的连续性和有限性条件，只有当ψ=0时，②式才能成立，所以，有：ψ=0，x a ≥现求解①式，改写为：222122

2222020sin cos ,d E dx

E d x a dx A x B x x a

ψψμψμααψψαα+=⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭

=+<令：则：，其解为： （本身上方说的解可表为如下振荡函数形式：sin x α，cos ,i x x e αα±，

但因现在势阱具有空间反射不变性，()()x x U U -=能量本征函数必定有确定的宇称曾书——P49——所以，只能取sin x α，或cos x α的形式。

根据ψ的连续性，因②式得ψ=0，x a ≥，于是：

,sin cos 0

sin cos 0

sin 0

cos 0

x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时，A 两式相减，得：A 两式相加，得： 因A,B 不能同时为0，否则，sin cos A x B x ψαα=+处也为0，这在物理上无意义。（物理问题对ψ的要求）

所以，得到两组解：⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解，有,1,3,5.......2n a n απ==对第⑵组解有：,2,4,6 (2)

n a n απ== 合并，即有：,1,2,3,4,5 (2)

n a n απ==其中对⑴组，n 取奇数，对第⑵组n 取偶数，注意，n 不能取0，否则ψ=0，将2n a απ=代回12

22E μα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得体系的能量本征值为：222

2

,8n n E n a πμ=为整数这说明，并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件，而只能取上式给出的那些分立值n E ，此时的波函数在物理上才是可接受的。

这样，我们得到：体系的能量是量子化的，即能谱是分立的。n E 称为体系的能量本征值。相应的本征波函数为：P36

第一组n ψ为偶函数，即波函数具有偶宇称

第二组n ψ为奇函数，即波函数具有奇宇称

两式合并，得n ψ

的表达式，进行归一化，得'A =

子的定态波函数为：()()(),sin 2n n iE iE t t n n x n x t e x a e a a πψ--ψ==+（n ψ，与n E 对

应关系，粒子处于1ψ态时，E 有确定值2E ）

讨论：①粒子最低能级22

1208E a

πμ=≠，这与经典粒子不同，是微观粒子波

动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的，从测不准关系也可得出定性的结论，因粒子限制在无限保势阱中，位置不确定度x a ∆，按测不准关系，2p x a ∆∆所以，粒子的能量()22

220228p p E a μμμ∆≠

②应用公式s i n 2i i e e i

θθθ--=将上述定态波函数写成指数形式，有()221212,...(,n n i n i n x E t x E t a a n x t C e C e C C ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ψ=+为两个常数）所以，(),n x t ψ是由两个沿相反方向传播的平面波迭加而成的驻波，各能量本征值对应的本征函数及对应的粒子位置几率密度分布见P37，图8，图9

从图8知，除端点（x a =±）外，基态波函数1ψ无节点，第11激发态（n =2）有一个节点，第k 激发态（n=k+1）有k 个节点。

③由上述讨论知00x ψ≥=，即粒子波束缚在势阱内部，通常把∞处为0的波函数所描述的状态叫束缚态。

一般地，束缚态的能级是分立的（在势阱为[]02a ，的情况？）