二次根式乘除
二次根式的乘除
二次根式的乘除考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．1.2.3．计算：______．4.成立的条件是 。
5. 当，。
6、若x 3+3x 2 =－x x+3 ，则x 的取值范围是 。
7．化简二次根式得 （ ） A ． B ． C ． D ．308.若（ ） A. B. C. D. 9．下列名式中计算正确的是（ ） A. B. C.10. 下面的推导中开始出错的步骤是（）__________=>>⋅)0,0(3010y x xy xy =⋅b a 1025311x =+0a ≤0b__________=352⨯-)(35-3535±A =24a +22a +()222a +()224a +()()842164)16)(4(=--=--=--()0482>=a a a7432423=+=+919=⨯=()()()()23123224==-==∴=-∴=-A. B. C. D.11. 若化简后为（ ）A. B. C. D.12.计算:（1） （2）3（3） （4）13. 化简:（1） （2）（3） （4）14．当a=时，则______． 15. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
16．已知＝－x ，则（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3（D ）－3≤x ≤017. 和的大小关系是（ ） A. B.C.不能确定18. 计算: （1） （a ≥0） （2） （x ≥0，y ≥0）()1()2()3()41a ≤(1a -(1a -(1a -(1a -821⨯1025⨯232⨯)521(154-⨯-122257⨯2000222853-3=+215a 233x x +3+x --32--32---=-a a 82⋅xy x 11010-⋅（3） （x ≥0，y ≥0）19. 化简:（1）（a ≥0，b ≥0） （2）（x ≥0，y ≥0）（3）（ab ≥0）提高训练：1、已知x ＝251+，且x 3=ax+b ，则a ，b 的值分别是（ ）A ．1，1 B ．1，2 C ．2，1 D ．2，2 2、若等腰三角形的两边长分别为50和72，则这个三角形的周长为（ ） A ．112 B ．162或172 C ．172 D ．1623、设2=a ，3=b ，用含a ，b 的式子表示54.0，则下列表示正确的是（ ）A ．0.3abB ．3abC ．0.1ab 2D ．0.1a 2b4、化简a a3-的结果是（ ）A ．a 3- B ．a 3 C ．−a 3- D ．3- 5、下列运算错误的是（ ） A ．- 2)(π-＝πB ．(−2.0)2=0.2 C ．210-=10-1=0.1 D ．(32)2＝32×(2)2＝186、估算23250-的值（ ）A ．在0与1之间B ．在0与2之间C ．在2与3之间D ．在3与4之间7、已知y 1=2x ，y 2=12y ，y 3=22y ，y 4= 32y …，y 2014= 20132y ，则y 1•y 2014等于（ ） A ．2x 2 B ．1 C ．2 D ．28、已知a 、b 、c 分别为△ABC 的三边，化简代数式＝9、方程x 1 +x )21(1++x )32(1++……+x )20110102(1+=20111的解是x= 10、若a+b=2，则称a 与b 是关于1的平衡数．（1）3与 是关于1的平衡数，5-2与 是关于1的平衡数；（2）若（m+3）×（1- 3）=-5+33，判断m+3与5-3是否是关于1的平衡数，并说明理由．2324162xy xy ⋅324b a y x x 23+4224b a b a +11、若[x]表示不超过x 的最大整数（如[343]=3，[-π]=-4等），根据定义计算下面算式：[ 2121⨯-]+[ 3231⨯-]+…+[ 2012201120121⨯-]= 12、若a-b=2+3，b-c=2-3，则代数式a 2-2ac+c 2的值为 13、已知m ＝1+2，n ＝1−2，则代数式mn n m 322-+的值为14、给出三个整式a 2，b 2和2ab ．（1）当a=3-1，b=3+1时，求a 2+b 2+2ab 的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．15、已知a ＝251-，b ＝251+，求 b a a b ++2的值．16、我们定义运算：a *b ＝a • b +ba ，求3*5的值．17、已知：y ＝x 81-+18-x +21，求代数式2++xy y x − 2-+x y y x 的值．。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
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(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
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知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
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综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
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知识点一
知识点二
二次根式的乘除
知识点1．二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)( )A ．x ≤2B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≥0，解得－1≤x ≤2.故选C. 方法总结：被开方数均是非负数．【类型二】 二次根式的乘法运算计算：(1)3×5； (2)14×64； (3)627×(－33)； (4)3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a 6b 2a . 解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．解：(1)3×5＝3×5＝15；(2)14×64＝14×64＝16＝4； (3)627×(－33)＝－1827×3＝－1881＝－18×9＝－162； (4)3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a ＝－34·2a ·18ab ·6b 2a ＝－32a ·36×3b 3＝－32a ·6b 3b ＝－9b a3b . 方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．练习：（1（2（3）（4知识点2．积的算术平方根：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)化简：(1)（－36）×16×（－9）； (2)362＋482； (3)x 3＋6x 2y ＋9xy 2. 解析：主要运用公式ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)和a 2＝a (a ≥0)对二次根式进行化简． 解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；(2)362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；(3)x 3＋6x 2y ＋9xy 2＝x （x ＋3y ）2＝（x ＋3y ）2·x ＝|x ＋3y |x .1、化简：（1（2（3（4（52、若04144222=+-++++-c c b b a ，则c a b ∙∙2=_________. 知识点3．二次根式的除法法则：【类型一】二次根式的除法运算 计算：(1)0.760.19； (2)－123÷554； (3)6a 2b 2ab； (4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145. 解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．解：(1)0.760.19＝0.760.19＝4＝2； (2)－123÷554＝－123÷554＝－53×545＝－18＝－32；(3)6a 2b 2ab ＝6a 2b 2ab ＝3a ； (4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145＝－5÷595＝－5×15×59＝－15×53＝－13. 方法总结： 用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．1、计算：（1（2 （3（4【类型二】 二次根式的乘除混合运算计算：(1)945÷3212×32223； (2)a 2·ab ·b b a ÷9b 2a . 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算． 解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183； (2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b 3a . 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．(的结果是（ ）A. B. C. D. 知识点4．商的算术平方根的性质例6. A ．a ＜2 B ．a ≤2 C ．0≤a ＜2 D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝b a(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式例7．化简： (1)179； (2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．化简：（1（2（3 （4知识点5．最简二次根式最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 例8. 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．(1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145. 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； (2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； (3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式； (4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式； (5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义， 1、下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A.2、=⨯62________(2)=81_________(3)=-314_________课后作业1、等式1112-=-∙+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-12 )A. B. C. D.3的结果是（ ）．A ．27．27 C4、（1）计算： ①②55×215 ③312a ·231ay（1）482 （2） x x 823 （3）16141÷ （45、化简____________________________=_______6、计算：（1）68×（-26）； （2；（3； （4⎛- ⎝.。
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
二次根式乘除法 (含答案)
一、知识聚焦：1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
5．最简二次根式：符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”二、经典例题：例1．化简(4)0x),0≥≥y例2．计算(2)31525⋅ 32⨯例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：==4 例4．化简：)0,0(≥>b a (3) )0,0(>≥y x )0,0(>≥y x例5．计算：÷ （4）例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1)b a 23 (2)23ab(3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8例7. 把下列各式化为最简二次根式：(1)12 (2)b a 245 (3)xy x 2例8. 把下列各式分母有理化(1)4237a b例9. 比较3223和两个实数的大小答案： 例1. (1)12 (2)36 (3)90 (4)3xy (5)3例2. （1 （2）303 （3） （4）6例3. (1)不正确． ×3=6(2) 例4.（1）83 （2）a b 38 （3）y x 83 （4）yx135 例5.（1）2 （2）23 （3）2 （4）22例6．(3)，(4)，(5)是，其它不是 例7．(1)23, (2) b a 53, (3) xy x例8. (1)21144-(2) ba ba a ++2 例9. 3223> 三、基础演练：1. ②×2.化简:3.把下列各式化为最简二次根式：(1)3)(8y x + (2)2114 (3)mn 382334. 把下列各式分母有理化（1）403 （2）xyy 422（x ＞0，y ＞0）5.比较大小(1)76与67 (2)23与32答案：1.①=82 ②=1215 ③=y a 2.25；32；62； 32ab3.(1) )(2)(2y x y x ++ (2) 62 (3) mmnn 6 4.(1)2030 (2) x xy y5.解：(1) 76<67 (2) 23>32四、能力提升：1．，•那么此直角三角形斜边长是（ ）．A ．cmB ．3cmC ．9cmD ．27cm 2．下列各等式成立的是（ ）．A ．B ．C ．×D ．3 ）．A ．27B ．27C D ．74.二次根式：①29x -；②))((b a b a -+；③122+-a a ；④x1；⑤75.0中最简二次根式是（ ）A 、①②B 、③④⑤C 、②③D 、只有④56．分母有理化:(1)=_________; (2)=________ (3) =______.答案：1． B 2． D 3． A 4. A 5．6136．(1)=62 ;(2) = 63 (3) =22五、个性天地：（LJJ00002）（1=_________；（2）=___________；=_________；（2=__________．(SHY00002)已知x=3，y=4，z=5_______．答案：（LJJ00002）（1）4；（2）15；(ZZY00002)57；（2）24x (SHY00002)315。
二次根式的乘除法
VS
方法
利用平方差公式、完全平方公式等化简二 次根式；利用通分、约分等方法简化二次 根式的分母；将二次根式化为最简二次根 式。
简化二次根式的实例
• $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$（利用平方差公式） • $\frac{\sqrt{64}}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$（利用约分方法简化
05
习题与解答
二次根式乘除法的习题及解答
• 习题1：$\sqrt{12} \times \sqrt{3}$ • 解答：$\sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$ • 习题2：$\sqrt{25} \div \sqrt{4}$ • 解答：$\sqrt{25} \div \sqrt{4} = \sqrt{25/4} = \sqrt{6.25} = \frac{5}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$
除法运算实例
例子1
$\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
例子2
$\frac{\sqrt{10}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{5}}{5}$。
分母） • $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是指具有2次方根号的数学表达式，它在数学中有着广泛的应用。
在数学运算中，我们常常需要对二次根式进行加减乘除以及化简等操作。
本文将介绍二次根式的运算方法，以帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的加减运算对于具有相同根指数的二次根式，我们可以通过合并系数进行加减运算。
例如：√2 + √3 = √2 + √3 （无法合并）√2 + √2 = √2 + √2 = 2√2当根指数或根数不同的时候，我们无法进行直接相加或相减。
例如：√2 + √3 （无法直接相加）这种情况下，我们可以使用有理化的方法将根式的根指数或根数相同，然后再进行加减操作。
有理化的方法有以下两种常见形式：1. 乘法有理化：a√n + b√n = (a + b)√n （其中 a 和 b 为任意实数）2. 共轭有理化：a√n + b√m = (a√n + b√m)×(√n - √m) / (√n - √m) = (a√n√n - b√m√n +b√m√n - b√m√m) / (√n - √m)二、二次根式的乘除运算1. 乘法运算：a√n × b√m = ab√n√m （其中 a 和 b 为任意实数）2. 除法运算：(a√n) ÷ (b√m) = (a√n) / (b√m) = (a / b) × (√n / √m) = (a / b) × (√n√m / √m√m) = (a / b) × (√nm / m)三、二次根式的化简当根式中的根数是平方数的倍数时，我们可以将其化简为整数形式。
例如：√4 = 2√9 = 3当根式中存在约数时，我们可以将其提出并化简。
例如：√18 = √9 × √2 = 3√2对于复杂的二次根式，我们可以应用上述的运算规则进行多次化简，直至得到最简形式。
总结：通过本文的介绍，我们了解了二次根式的运算方法，包括加减乘除和化简。
二次根式的乘除
二次根式的乘除•二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•复杂表达式中二次根式乘除处理策略目录•误差传递与数值稳定性问题探讨•总结回顾与拓展延伸二次根式基本概念与性质二次根式定义及表示方法二次根式定义二次根式的表示方法二次根式性质介绍$sqrt{a^2} =a|$（$a in R$）：此性质可将根号外的因式平方后移到根号内，但需注意结果需加绝对值。
$(sqrt{a})^2 = a$（$…此性质可将根号内的式子平方后移到根号外。
$sqrt{ab} = sqrt{a…此性质可将两个二次根式相乘，结果仍为二次根式。
$frac{sqrt{a}}{sq…此性质可将两个二次根式相除，结果仍为二次根式。
解根据二次根式的性质，有= sqrt{16} times sqrt{x^2} times sqrt{y^4} = 4xy^2$解解根据二次根式的除法性质，有$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$例1$x > 0, y > 0$）。
例2例3$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
010203040506典型例题分析二次根式乘法运算规则同类二次根式乘法法则0102不同类二次根式乘法转化方法利用乘法公式进行运算，如平方差公式、完全平方公式等。
乘法运算中注意事项在进行二次根式乘法运算时，要确保被开方数是非负数。
对于含有字母的二次根式，在乘法运算中要注意字母的取值范围，确保二次根式有意义。
在化简二次根式时，要遵循最简二次根式的两个条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
二次根式除法运算规则同类二次根式除法法则同类二次根式可以直接进行除法运算，即被除式的系数除以除式的系数，根指数不变，被开方数相除。
若被开方数可以开得尽方，则结果化为最简二次根式；若被开方数不能开得尽方，则结果保留根号形式。
二次根式的乘除法
相 乘 ．
（３）二 次 根 式 相 乘 时 ，应 尽 量 把 被 开 方 数 进 行 因 数 分 解 或 分 解 因式 ．
、／ ．ｖＴｚｉ－＝、／ 解
成立 的条 件是
（４）如果 被开 方数 含 有能 开得 尽 方 的因式 ，可以先 化简 ，再 相乘 ；
（５）二 次 根 式 的 运 算 结 果 一 定 化 成 最 简 形 式 ．
（２）、／ ＝、／口 ·、／ｂ 中要
（８）
（ｙ＞ｘ＞Ｏ）； （９）、／２７ （ａ＜Ｏ）；
（１０）、／一 （痧 ０）．
解 （１）、／ ＝、／ ＝、／ ×、／了 ＝４、／了 ；
（２）、／５８８６ ＝％／２２ｘ７２￣３ｂ２．ｂ
＝ 、／２２＞（７２×６ ·、／３６＝１４ｂ、／３６；
性 质 ，将 这 些 因式 （或 因 数 ）开 出
３．推 广 到多个 非 负 因数 的情 形
来 ．从 而 将 二 次 根 式 化 简 ．
、／ ＝、／ ·、／ ·、／ ·、／ （口≥０，ｂ＞ｔ０，ＣＩ＞０，ｄ≥０）
（３）在 化 简 时 ，先 将 被 开 方 数
进 行 因式 分 解 ．然 后 将 能 开得 尽 方 的 因式 （偶 次 方 因 式 ）。用 它 们 的 算 术 平 方 根 代 替 。移 到 根 号 外 ．
ｆ ≥ 一２， ｌｚ≥ １．
‘ ≥ １．
． ．
点 拔 二 次 根 式 被 开 方 数 非 负 ．一 定 要 牢 记 ．
点 拨 本 题 主 要 是 运 用 二 次 根 式 的 乘 法 公 式 来 进 行 计 算 的 ，有 理 数 的乘 法 运 算 律 及 乘 法 公 式 对 二 次 根 式 仍 然 适 用 ．计 算 后 的结 果 应 化 为 最 简 二 次 根 式 或有 理 式 ．
《二次根式的乘除》二次根式
考点分析
二次根式的乘除运算是中考和高 考的必考内容之一，需要学生熟
练掌握并能够灵活运用。
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分解因式与化简
总结词
分解因式与化简是二次根式化简的常用方法之一，通过将二次根式化成几个根式的和或乘积的形式， 以便更好地进行化简。
详细描述
在进行二次根式的化简时，有时需要将二次根式写成几个根式的和或乘积的形式，以便更好地进行化 简。这可以通过分解因式的方法来实现。例如，对于$\sqrt{a^{2} + 4ab + 4b^{2}}$，可以将其分解 为$\sqrt{(a+2b)^{2}}$，从而简化根式。
二次根式的乘除运算可以转化为 指数运算，而求解含二次根式的 方程也可以用对数的方法来进行
转化求解。
在解决这类问题时，需要灵活运 用二次根式的运算法则和指数、 对数的运算法则来进行计算和变
形。
06
CATALOGUE
二次根式的教学建议与展望
教学策略建议
01
02
03
结合实际情境
引入实际生活中的问题， 让学生理解二次根式的意 义和用途，提高学生的学 习兴趣。
04
CATALOGUE
二次根式的应用
代数应用
根式与指数幂的转换
二次根式可以用于将指数幂转换为根式形式，反之亦然。
根式与分数的通分
可以将根式与分数进行通分，以便进行运算和比较。
根式的因式分解
二次根式可以用于因式分解，将一个多项式分解为几个一次因式的 乘积。
几何应用
勾股定理
在直角三角形中，勾股定理可以用二次根式 表示，即a² + b² = c²，其中a和b是直角三 角形的两条直角边，c是斜边。
二次根式的乘除
二次根式的乘除是二次根式的基本运算之一，其规则如下：
1. 二次根式的乘法：将两个二次根式的被开方数相乘，得到的结果再开方即可。
例如，√2 ×√3 = √(2 × 3) = √6。
2. 二次根式的除法：将第一个二次根式的被开方数乘以第二个二次根式的倒数的被开方数，得到的结果再开方即可。
例如，√8 ÷√2 = (√8 ×√2) / √2 = √(8 × 2) / √2 = √4 = 2。
需要注意的是，在进行二次根式的乘除运算时，要保证两个二次根式的被开方数都是非负实数，否则会出现无意义的情况。
此外，在进行二次根式的除法运算时，如果第二个二次根式的值为0，则无法进行计算。
1.二次根式的性质及乘除运算
第一讲二次根式及其运算知识点一：二次根式的乘法二次根式的乘法法则：abba=⋅（0≥a，0≥b），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如416=.例1 计算：(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.知识点二：积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质：baab⋅=（0≥a，0≥b），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：（1）在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0≥a，0≥b才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有2a形式的a移到根号外面.（3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：()()⨯2②利用积的算术平方根的性质baab⋅=（0≥a，0≥b）；③利用⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2aaaaaa（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外；（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简例2.化简知识点详解(1)； (2)； (3)； (4)； (5).二次根式的除法法则：ba b a=（0≥a ，0>b ），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.例3.化简(1)； (2)； (3)； (4).商的算术平方根的性质：b a b a =（0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.（2）步骤：①利用商的算术平方根的性质：b a b a =（0≥a ，0>b ）② 分别对a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化，即a a =2)(（0≥a ） （3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简例4.化简(1)；(2)；(3)；(4).1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的带分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.例5：下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).例6把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并例7.如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1一 、二次根式：1. 使式子4x -有意义的条件是 。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是高中数学中重要的内容之一，它是一种涉及到开平方的运算。
二次根式的运算包括简化、加减、乘除等。
在本文中，我将详细介绍二次根式的运算方法，并给出一些例题进行演示。
一、二次根式的简化简化二次根式是将其化简为最简形式，即使根号内不含有平方数，并尽量提取出整数。
下面举例说明：1. 简化√48：首先，观察48的因数，发现其可以分解为2^4 × 3，其中2^4为平方数，而3为素数。
因此，可简化为√(2^4 × 3) = √(2^4) × √3 = 4√3。
2. 简化√(32/18)：首先，分别对32和18进行因式分解，得到32 = 2^5，18 = 2 × 3^2。
然后，根据根式的性质，可得到√(32/18) = √(2^5 / (2 × 3^2)) = √(2^4 /3^2) = 2√(2 / 3)。
二、二次根式的加减二次根式的加减需要保证根号内的数相同，即具有相同的根次和底数。
下面以两个例子进行说明：1. 计算√5 + √5：首先，根据根式的性质，可得到√5 + √5 = 2√5。
2. 计算(3 + √2) - (√2 - 1)：首先，根据根式的性质，可得到(3 + √2) - (√2 - 1) = 3 + √2 - √2 + 1 = 4。
三、二次根式的乘除二次根式的乘法和除法同样需要保证根号内的数相同。
下面以两个例子进行说明：1. 计算√6 × √8：首先，根据根式的性质，可得到√6 × √8 = √(6 × 8) = √48 = 4√3。
2. 计算(√2 + 1) ÷ (√2 - 1)：首先，根据根式的性质，可得到(√2 + 1) ÷ (√2 - 1) = (√2 + 1) × (√2 + 1) / (√2 - 1) = (2 + 2√2 + 1) /(√2 - 1) = (3 + 2√2) / (√2 - 1)。
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二次根式乘除目标学案
年级： 九年级 学科： 数学 执笔：朱乘方 内容： 二次根式乘除 课型： 新授 时间：
学习目标：
1、经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则
2、能运用二次根式的乘法法则：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）进行乘法运算
3、理解积的算术平方根的意义，会用公式ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）化简二次根式
学习重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质
学习难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用
一、学前准备：1、什么是二次根式? 已学过二次根式的哪些性质?
计算：（1
；
（3二、探究活动：
1、独立思考·解决问题
（1）、请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？ （2）、概括：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。
（式子表示）
反过来是否成立呢？写出积的算术平方根性质 （式子表示）
2、合作探究·释疑解难 例1、计算 3·5 31
·27 练习：教材P8 1 例2、化简 ⑴8116⨯ ⑵324b a 练习：教材P8 2
思考：积的算术平方根性质的作用
例3、（1）714⨯ （2）10253
⨯ （3
）xy x 3
13
• 运用了哪些知识点？
练习教材P8 3
三、学习体会：1、二次根式的乘法法则是什么？用语言叙述。
2、如何进行二次根式的化简？ 四、目标测试： 1化简：（1
（
2（3
（4
（5
（6
（7
（8
） （9（10 （0a ≥ 0b ≥） （11）2·32 （12）2257 （13）21·8 （14）a 2·a 8（a ≥0） （15）714•； （16）10253• （17）)521(154-•-； （18）12322•• （19）b a 10253•； （20）xy x 11010-•； 五、考点一角：
1、计算：⑴
xy
·y x 3·2xy
⑵18
·24
·27（3
2
=x 的取值范围。
3、已知等腰三角形的腰为，底边为，求这个等腰三角形的面积 教学反思（学生学习心得）。