中考专题复习利用隐形圆求圆的最值
巧用隐圆 妙解最值-2024年中考数学重难热点(学生版)
巧用隐圆妙解最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型背诵隐圆一:定弦定角，隐圆正好。
AB的长度固定不变(定弦)，∠ABC=α不变(定角)。
这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。
隐圆一特殊:若∠ACB=90°，则AB为三点所在圆的直径。
(可以解决动点轨迹。
)隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。
(可以利用四点共圆证相似,角相等)若∠ADC=∠ABC，则A,B,C,D四点共圆。
在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.隐圆二特殊.若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆三:对角互补，四点共圆.若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆。
隐圆三特殊:若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆四：定点定长，隐圆必现。
CA=CB=CP隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。
若Q为AP的中点，当P沿⊙O运动一周，则Q的运动轨迹为以AO中点M为圆心的圆。
(P 为“主动点”，点Q为“从动点。
)典例分析如图1-1，点P (3,4)，圆P 半径为2，A (2.8,0)，B (5.6,0)，点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．【点睛】图1-2，M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．考虑C 是BM 中点，可知C 点轨迹：取BP 中点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点C 轨迹．图1-3：当A 、C 、O 三点共线且点C 在线段OA 上时，AC 取到最小值，根据B 、P 坐标求O ，利用两点间距离公式求得OA ，再减去OC 即可．实战训练一、单选题1如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()A.213-2B.45-2C.43-2D.215-22如图，⊙O 的半径是6，P 是⊙O 上一动点，A 是⊙O 内部一点，且AO =3，则下列说法正确的是()①PA 的最小值为6-3；②PA 的最大值为6+3；③当∠OAP =90°时，△PAO 是等腰直角三角形；④△PAO 面积最大为32．A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④3如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=AD=3，AB=AE=5．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，△ACE的面积为( )．A.6B.62C.9D.924正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为()A.25-2B.25+2C.10-2D.10+25如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为()B.2C.213-6D.213-4A.3256已知：如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =8，tan ∠ABC =32，点N 是边AC 的中点，点M 是射线BC 上的一动点(不与B ，C 重合)，连接MN ，将△CMN 沿MN 翻折得△EMN ，连接BE ，CE ，当线段BE 的长取最大值时，sin ∠NCE 的值为()A.35B.55C.235D.2557如图，边长为1的小正方形网格中，点A ,B ,C ,E 在格点上，连接AE ,BC ，点D 在BC 上且满足AD ⊥BC ，则tan ∠AED 的值是()A.255B.2C.55D.12二、填空题8如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．9在Rt △ACB 中，∠BAC =30°,CB =2，点E 是斜边AB 的中点，把Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转，得Rt △AFD ，点C ，点B 旋转后的对应点分别是点D ，点F ，连接CF ，EF ,CE ，在旋转的过程中，△CEF 面积的最大值是．10如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，D 是AC 上一点，且CD =3，E 是BC 边上一点，将△DCE 沿DE 折叠，使点C 落在点F 处，连接BF ，则BF 的最小值为．11如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点P 在射线BC 上，则PD PA 的最小值为．12如图，已知△ABC ，外心为O ，BC =18，∠BAC =60°，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形△ABD 与△ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是．13如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为边AD 上一个动点，点F 在边CD 上，且线段EF =4，点G 为线段EF 的中点，连接BG 、CG ，则BG +12CG 的最小值为．14如图，在锐角△ABC 中，AB =2，AC =6，∠ABC =60°．D 是平面内一动点，且∠ADB =30°，则CD 的最小值是15如图，⊙O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．16如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E为射线BA上一个动点，连接CE，以CE为对称轴折叠△BCE，得到△FCE，点B的对应点为点F，当点F落在直线AD上时，AF的长为．17如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为边CD上一动点，连接AP交对角线BD于点E，过点E作EF⊥AP，EF交BC于点F，连接AF交BD于点G，在点P的运动过程中，△AEG面积的最小值为．18如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，连接AE．若AC=6，CD=5，则线段AE的长为．三、解答题19在△ABC中，∠ACB=90°，CA=2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，若BC=2，求DE 的长；(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：AB=CE+BE；(3)如图3，在(2)的条件下，将△ACF沿AC翻折得到△ACF ，M为直线AD上一个动点．连接BM，将△BDM沿BM翻折得到△BMD ．当D F 最小时，直接写出F D的值．FF20已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形OABC，M为线段OC上的动点，将△AOM沿直线AM对折，使O点落在O 处．(1)如图①，当∠OAM=30°时，求点O 的坐标；(2)如图②，连接CO ，当CO ∥AM时．①求点M的坐标；②连接OB，求△AO M与△AOB重叠部分的面积；(3)当点M在线段OC(不包括端点)上运动时，请直接写出线段O C的取值范围．21如图①，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△BDE中，∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，BD=DE，E为BC的中点，F为CE的中点，连接AF，DF，AD．(1)若AB=4，求AD的长度；(2)若将△BDE绕点B旋转到如图②所示的位置，请证明AF=DF，AF⊥DF；(3)如图③，在△BDE绕点B旋转的过程中，再将△ACF绕点A逆时针旋转60°到△AC F ，连接BF ，若AB=4，请直接写出BF 的最大值．22如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．(1)求点Q的运动总长度；(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．23如图，在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF=90°，AB=AC，DE=DF，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转．(1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若BC=32，AF=655，tan∠BAF=2，求线段BF 的长；(2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：2AF=2BE+EF；(3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若AB=62，请直接写出线段AP的最大值．24在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像过点C0,-4，与x轴交于点和点D2,-6A、B(点A在点B的左边)，且点D与点G关于坐标原点对称．(1)求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图像上，并说明理由；(2)若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N 恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，并说明理由；(3)若第四象限有一动点E，满足BE=OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为t,0，0<t<4，△BEF 的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．25如图，抛物线y=ax2-2ax-3a(a为常数，a<0)与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求a的值；(2)点D是该抛物线的顶点，点P(m，n)是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA=∠CBD时，求m的值；(3)点K为坐标平面内一点，DK=2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．26如图一，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值．27如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE=90°(1)证明：△ABF∽△FCE；(2)当DE取何值时，∠AED最大．28已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．29问题背景如图(1)，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C 两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小(取最小旋转角度)．尝试应用如图(2)，△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA=∠AEC=60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；拓展创新如图(3)在问题背景的条件下，若AB=2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．30如图，在等边ΔABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，AE=CF，BE与AF交于点P，连接CP.(1)设AB=a，直接写出等边ΔABC外接圆的半径长为，内切圆的半径长为．(2)求∠APB的度数．(3)若AB=6，在点E，F的运动过程中，CP是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，请说明理由．四、典例1如图，在△ABC中，AC=6，BC=83，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为．。
2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)
隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。
2024成都中考数学二轮微专题 利用隐形圆解决最值问题专项训练 (含答案)
2024成都中考数学二轮微专题利用隐形圆解决最值问题专项训练模型一定点定长作圆模型分析如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A 为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分．推广：在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．模型应用1.如图，已知△ABC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△A′B′C，请你在图中画出点B′的运动轨迹．第1题图2.如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF 所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹．(保留作图痕迹不写作法)第2题图模型二直角对直径模型分析(1)半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB为⊙O的直径；(2)90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中，∠C＝90°，C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)．模型应用3.如图，已知线段A B.请在图中画出使∠APB＝90°的所有点P.第3题图4.如图，已知矩形ABCD，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.第4题图模型三定弦对定角(非90°)模型分析固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90°)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧．(1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；(2)如图②，若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知，点C在⊙O 的ACB ︵上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则点C 在优弧上运动；等于90°，则点C 在半圆上运动；大于90°，则点C 在劣弧上运动)模型应用5.如图，已知线段AB .(1)请在图①画出线段AB 上方使∠APB ＝60°的所有点P ；(2)请在图②中画出线段AB 上方使∠APB ＝45°的所有点P .第5题图6.如图，已知四边形ABCD .(1)如图①，在矩形ABCD 中，请在矩形ABCD 的边上画出使∠APB ＝30°的所有点P ；(2)如图②，在矩形ABCD 中，请在矩形ABCD 的边上画出使∠BPC ＝60°的所有点P ；(3)如图③，在正方形ABCD 中，请在正方形ABCD 的边上画出使∠BPC ＝45°的所有点P ；(4)如图④，在矩形ABCD 中，请在矩形ABCD 的边上画出使∠BPC ＝45°的所有点P .第6题图模型四四点共圆模型分析如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆．1．共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；2．四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等的重要途径之一．模型应用7.在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME，则下列结论错误．．的是()A.CD＝2MEB.ME∥ABC.BD＝CDD.ME＝MD8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠P＝∠A，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，求CQ的最大值．第8题图模型五点圆最值模型分析已知，在平面内一定点D和⊙O上动点E的所有连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大(小)值，具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间的距离为d，⊙O的半径为r)：位置关系点D在⊙O内点D在⊙O上点D在⊙O外图示DE的最大值________________________此时点E的位置连接DO并延长交⊙O于点EDE的最小值________________________此时点E的位置连接OD并延长交⊙O于点E 点E与点D重合连接OD交⊙O于点E模型应用9.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，若圆心O在矩形ABCD的边上运动，则点C到⊙O上的点的距离的最大值为________．第9题图10.如图，在墙角放置一个“T”型钢尺，已知钢尺的一边AB＝10，M是AB的中点，CM＝8，AB沿墙壁边向下滑动，在运动过程中，点C到点O的最大距离为________．第10题图模型六线圆最值模型分析1．如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为AB一侧弧上一动点．(1)如图①，点C在优弧AB︵上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB最大；的最大距离，此时S△ABC(2)如图②，点C在劣弧AB︵上，当CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大．2．如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图③)，点P到直线l的最大距离是d ＋r(如图④)．推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大(小)距离，从而利用面积公式求解．模型应用11.如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB︵上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB ＝60°，求△ABC面积的最大值．第11题图12.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，M为AB的中点，E为BC上的动点，将△MBE沿ME折叠，点B的对应点为F，求△CDF面积的最小值．第12题图参考答案1.解：如解图所示：第1题解图2.解：如解图所示：第2题解图3.解：如解图，⊙O即为所求P点的轨迹，不含A、B两点．第3题解图4.解：如解图，点P1、P2即为所求点．第4题解图5.解：(1)如解图①，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)；(2)如解图②，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)．第5题解图6.解：(1)如解图①所示，点P1、P2即为所求；(2)如解图②所示，点P1、P2、P3、P4即为所求；(3)如解图③所示，点P1、P2即为所求；(4)如解图④所示，点P1、P2即为所求．图①图②图③图④第6题解图7.A【解析】如解图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，在△ABC中，∠ACB ＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A、C、D、B四点共圆，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠DCB＝∠DBC，∴CD＝DB(选项C正确)，∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴点N是线段AB的中点，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM ＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵点M是BC的中点，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM(AAS)，∴EM＝FM，∴EM＝FM＝DM(选项D正确)，∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB(选项B正确)．假设CD＝2ME，∴CD＝2MD，∴在Rt△CDM中，∠DCM＝30°，∵无法确定∠DCM的大小，故选项A错误．第7题解图8.解：如解图，∵∠P＝∠A，∠ACB＝90°，∴A、P、B、C四点共圆，∵AB为⊙O直径，圆心为AB的中点O，∴点P在⊙O上运动，∵∠ACB ＝∠PCQ ＝90°，∠A ＝∠CPB ，∴△ABC ∽△PQC ，∴QC PC ＝BC AC ＝34，∴CQ ＝34PC ，要使得CQ 最大，只需PC 最大，当PC 为⊙O 的直径时，PC 取得最大值，∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5，∴PC 的最大值为5，∴CQ 的最大值为154.第8题解图【模型分析】d ＋r ，2r ，d ＋r ，r －d ，0，d －r9.6【解析】如解图，在⊙O 上任取一点E ，连接OE 、CE ，则CE ≤CO ＋OE ，当C 、O 、E 三点共线时，CE 取得最大值，即要求CE 的最大值，则求CO 的最大值．连接AC ，∵CO ≤AC ，∴当点O 与点C 重合时，CO 取得最大值时．在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5，∴OC 最大＝5，∴CE 最大＝OC 最大＋OE ＝6.∴点C 到⊙O 上的点的距离的最大值为6.第9题解图10.13【解析】如解图，连接OC ，OM ，∵∠AOB ＝90°，AB ＝10是定值，M 是AB 的中点，∴A 、O 、B 三点一直在以点M 为圆心，AB 长为直径的圆上，∵在△OMC 中，OM ＋CM ≥OC ，∴当O 、M 、C 三点共线时，即OC 过圆心M 时，OC 的长度最大．∵AB ＝10，∴OM ＝12AB ＝5，又∵CM ＝8，∴当OC ＝CM ＋OM ＝8＋5＝13时，OC 取得最大值，即点C 到点O 的最大距离为13.第10题解图11.解：如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，延长DO 交⊙O 于点E ，连接AE 、BE ，则AE ＝BE ，设点C 到边AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12AB ·h ，易得当C 与E 重合时，h 取得最大值，即DE 的长，此时△ABC 的面积也取得最大值，即△ABE 的面积．∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°，∴△ABE 为等边三角形．∴∠EAB ＝∠AEB ＝60°.∴∠OAD ＝30°，∴OD ＝12OA ＝2，AD ＝23，∴AB ＝2AD ＝43，∴DE ＝OE ＋OD ＝4＋2＝6.此时S △ABE ＝12AB ·DE ＝12×43×6＝123.第11题解图12.解：由折叠的性质可知，MF ＝BM ，∵点M 是AB 的中点，AB ＝10，∴BM ＝5，∴点F 在以点M 为圆心，5为半径的AB ︵上运动，如解图，过点F 作FG ⊥CD 于点G ，过点M 作MH ⊥CD 于点H ，则MH ≤MF ＋FG ，∴当点M 、F 、G 三点共线，即点G 与点H 重合时，FG 取得最小值，最小值即为MH －MF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴MH ＝AD ＝12，∴FG 最小＝MH －MF ＝7，∴S △CDF 最小＝12CD ·FG 最小＝12×10×7＝35.第12题解图。
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题初中题型
隐形圆最值问题是初中数学中的一个常见题型，也是一个优化问题。
该问题通常涉及到一个平面内的几何图形，并要求根据给定条件找到某个属性的最大值或最小值。
以下是一个典型的隐形圆最值问题：
问题：已知一个正方形的周长为20cm。
在正方形内部有一个圆，使得圆与正方形的边界相切。
求这个圆的最大半径。
解答：设正方形的边长为a，圆的半径为r。
根据条件，圆与正方形的边界相切，表示圆正好与正方形的边界接触，没有超出正方形。
根据正方形的周长为20cm可知： 4a = 20 a = 5cm
设圆的半径为r，圆的直径为2r。
由于圆与正方形的边界相切，所以圆的直径等于正方形的边长，即2r = a。
代入已知条件可得： 2r = a 2r = 5
解出r得最大半径： r = 5/2 r = 2.5cm
因此，该正方形内的隐形圆的最大半径为2.5cm。
在解决类似的隐形圆最值问题时，关键是将问题进行合理的建模和分析。
通过设定适当的变量和条件，利用等式或不等式关系，可以得到最终的结果。
重要的是将问题化归为数学计算的形式，然后进行推导和求解。
隐形圆最值问题需要仔细观察和分析，巧妙运用数学知识和方法，才能得到准确的最值结果。
中考数学复习 寻找隐圆,求解最值
隐隐圆圆条条件件：： OA∠ABDO＝＝B2＝O(定1C线3＝5)°5(定为角定)值
发现模型 —— 模型三 四点共圆
例3 如图 ，等边△ABC 中，AB =6，P 为 AB 上一动点， 若∠AEP ＋∠BDP＝ 180°，求DE 的最小值.
（3）求在旋转过程中点P的纵坐标的最大值
P
P P P
1、基本模型：
课堂小结
PAmin PA1
PAmax PA2
当PA与⊙O相切时， ∠APO最大
一定一动点，动点在圆上
2、注意挖掘隐圆的条件
模型一 定点定长定圆 模型二 定线定角定圆 模型三 四点共圆
走进中考（课后作业）
在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边上的中点，N
OM＝2(定线) ∠ADM＝90°(定角)
• 隐圆模型二 定线定角定圆
在圆O中，若AB为直 径，则∠ACB=90°
若AB是固定的线段，且总 有∠ACB=90°， 则C在以AB为直径的圆上.
• 隐圆模型二 定线定角定圆
在圆O中，若弦AB长度固定， 则弦AB(同侧)所对的圆周角相等.
若有一固定线段AB及AB 所对的∠C角度不变， 则C在以AB为弦的圆上.
易证△ABE≌△DCF △DAG≌△DCG
隐圆条件：∠AHB=90°
挑战自我
A（4，0）、B（0,2），点F为AB上一点且AF=2， 将线段AF绕点A旋转，在旋转过程中，点P始终为 BF中点，求线段OP的最大值
发现模型 —— 隐圆模型一 定点定长定圆
例1 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将 △ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△MNC，P、Q 分别是 AC、MN 的中点，AC＝2，连结PQ，求旋转时PQ 的最
2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)
隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。
专题4.2圆---利用“隐圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
D
Q
Q
C
N N
H
O O
A
MM
P P
B
∵MN=2NH= ON2-OH2 = 262-OH2
∴当OH最短时，MN最长.
与“圆”有关的最值问题
强化训练
提升能力
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=6,AC=8,D,E分别是BC,AC上的一点,且
24/5
DE=6.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M,N两点,则MN的最大值为_____.
A
M
D
E
B
N
C
针对训练
点圆最值---点心线
考点4-1
1.如图,⊙O、⊙C,OC=5,点A、B分别是平面内的动点,且OA=4,BC=3,则OB长
2 ,AC长的最大值为_____
8 ,OB长的最小值为______
9 ,AC长的最小值
的最大值为______
12 ,AB长的最小值为____．
0
为______
1 ,AB长的最大值为______
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB边上的中点,点F是线段BC边上
的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F,连接B´C,则B´C最小值是
A
2 10-2
________.
A
B
O
C
D
B´
E
B´
B
F
C
模型分析
线圆最值---心垂线
考点4-2
BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,
求出其最小值；若不存在,请说明理由. 定角夹定高
【简答】将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证
中考数学专题复习常见模型方法隐圆模型之点圆线圆最值问题
中考数学专题复习常见模型方法隐圆模型之点圆线圆最值问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1B．1.2C．3D．5评卷人得分二、填空题2．已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3，在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示，则OB长的最大值为____，OB长的最小值为____，AC长的最大值为____，AC长的最小值为____，AB长的最大值为____，AB长的最小值为____．3．如图，M的半径为2，圆心M的坐标为()3,4，点P是M上的任意一点，PA PB⊥，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点对称，当线段AB最短时，点A的坐标为______．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线2y=上的一个动点，P的半径为1，直线OQ切P于点Q，则线段OQ的最小值为______．5．如图，AB为△O的一条定弦，点C为圆上一动点．（1）如图△，若点C在优弧AB上，当CH△AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C 到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大．如图△，若点C在劣弧AB上，当CH△AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大．（2）如图，△O与直线l相离，点P是△O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，△O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是（如图△），点P到直线l的最大距离是（如图△）．评卷人得分三、解答题6．（1）如图，木杆AB靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端B也沿着水平方向向右滑动．你能用虚线画出木杆中点M随之运动的轨迹吗？（2）在（1）的基础上，若AB＝4，以AB为作等边△ABC，如图所示，连接OC，当木杆AB在下滑过程中，试求OC的最大值．7．如图，O的半径是5，点A在O上．P是O所在平面内一点，且2AP=，过⊥．点P作直线l，使l PA（1）点O到直线l距离的最大值为；（2）若M，N是直线l与O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为．参考答案：1．B【解析】【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ△AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用三角函数的知识求解即可．【详解】解：如下图：以点F为国心，以2为半径作圆F，过点F作AB的垂线，垂足为Q，FQ交圆F于P0，故点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ△AB时，点P到AB的距离最短，在Rt△AFQ和Rt△ABC中，△sin△A=FQAF，sin△A=BCAB，△FQAF=BCAB，△AC＝6，BC＝8，CF＝2，△AB=10，△8410FQ，△FQ=3.2，△FP0=2，△P0Q=3.2-2=1.2．故选：B．【点睛】本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理、三角函数、圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2． 8 2 9 1 12 0【解析】【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可．【详解】解：,,O C B 位于一条直线上时，当点C 在点B 左侧时，OB 最大，最大值为：8OC BC +=，当点C 在点B 右侧时，OB 最小，最小值为：2OC BC -=，,,O C A 位于一条直线上时，当点A 在点O 左侧时，AC 最大，最大值为：9OC OA +=，当点A 在点O 右侧时，AC 最小，最小值为：1OC OA -=，,,,A O C B 在一条直线上时，且A 位于O 点左侧，B 点位于C 点右侧，此时，AB 最大，最大值位：12AO OC CB ++=，当点,A B 重合时，AB 最小，最小值为：0，故答案为：8，2，9，1，12，0．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得出相应的位置是解本题的关键．3．3,0【解析】【分析】连接OP ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP =12AB ，当OP 最短时，AB 最短，连接OM 交△M 于点P ，则此时OP 最短，且OP =OM －PM ，计算即可得到结论．【详解】解：如图所示，连接OP ．△P A △PB ，OA =OB ，△OP =12AB ，当OP 最短时，AB 最短．连接OM交△M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM=22342+-=3，△AB的最小值为2OP=6．△点A、点B关于原点对称，△OA=OB=3，△点A的坐标为3,0，故答案为：3,0．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．4．3【解析】【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ△OQ，再利用勾股定理得到OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．【详解】解：连接PQ、OP，如图，△直线OQ切△P于点Q，△PQ△OQ，在Rt△OPQ中，OQ=22OP PQ－=2OP－1，当OP最小时，OQ最小，当OP△直线y=2时，OP有最小值2，△OQ的最小值为=221－=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．5．（2）d-r，d+r【解析】【分析】（2）根据“点P到直线l的距离的最大值=圆心O到直线l的距离+△O的半径，最小值=圆心O到直线l的距离-△O的半径”即可解决问题．【详解】解：（2）点P到直线l的距离的最小值=圆心O到直线l的距离-△O的半径=d-r；点P到直线l的距离的最大值=圆心O到直线l的距离+△O的半径=d+r；故答案为：d-r，d+r．【点睛】本题考查了圆心到直线的距离，本题也是求最值问题，利用数形结合是解题的关键．6．（1）M的运动轨迹是以O为圆心，OM为半径的圆弧，作图见详解；（2）OC取得最大值为232+．【解析】【分析】（1）根据题意可得：M是AB的中点，AOB∆为直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质可得OM为定值，运动轨迹为以O为圆心，OM为半径的圆弧；（2）作CM AB⊥于点M，连接OM，根据等边三角形的性质可得12OM AB=，利用勾股定理得32CM AB=，由此确定OM CM+为定值，然后根据三角形中三边关系即可确定当点O 、M 、C 三点共线时，OC 取得最大值，求出即可．【详解】解：（1）如图虚线为点M 的运动轨迹，理由如下：∵M 是AB 的中点，AOB ∆为直角三角形，∴12OM AB =为定值， ∴M 的运动轨迹是以O 为圆心，OM 为半径的圆弧；（2）如图中所示：作CM AB ⊥于点M ，连接OM ，∵ABC ∆为等边三角形，∴M 为AB 的中点，∴12OM AB =， 在Rt ACM ∆中，2232CM AC AM AB =-=， ∴312322OM CM AB ++==+，为定值， ∵在ODC ∆中，两边之和大于第三边，∴OM CM OC +>，∴当点O 、M 、C 三点共线时，即点M 在OC 上时，OC 取得最大值，最大值为232+．【点睛】题目主要考查直角三角形中斜边上的中线性质、等边三角形性质、勾股定理、三角形三边关系、点、线、圆的位置关系等，熟练掌握综合运用这些知识点是解题关键． 7．（1）7；（2）21．【解析】【分析】（1）当点P 在圆外且,,O A P 三点共线时，点O 到直线l 距离的最大，由此即可得；（2）先确定线段MN是O的直径，画出图形，再在Rt AOP△中，利用勾股定理即可得．【详解】解：（1）如图1，l PA⊥，∴当点P在圆外且,,O A P三点共线时，点O到直线l距离的最大，此时最大值为527AO AP+=+=，故答案为：7；（2）如图2，,M N是直线l与O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是O的直径，l PA⊥，90APO∴∠=︒，2AP=，5OA=，2221OP OA PA∴=-=，故答案为：21．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．。
中考数学专题复习 圆专题--隐圆 讲解解析
圆专题--隐圆知识点储备：构造出隐圆出来，可以运用与圆有关的几何性质去解题。
1、点圆距离。
点P 是圆O 外一点，连接PO 交圆与点A,点B ，则PA 是点P 到圆上的最短距离，PB 为点P 到圆上的最长距离。
证明：在△POB ’利用到三边关系：即PO+OB ’＞PB ’，OB ’=OB PO+OB=PB ＞PB ’.在△POA ’利用到三边关系:即 PA ’+OA ’＞ OA+PA,OA=OA ’,PA ’＞PA.点P 是圆O 内一点，连接PO 交圆与点A,点B ，则PA 是点P 到圆上 的最短距离，PB 为点P 到圆上的最长距离。
证明：同上;2、直径最长。
在圆中所有的弦中，直径最长。
AB 为直径，最长的弦。
3、点弦距离。
点P 是弧AB 上一动点，过圆心作弦AB 的垂线交于点E,交圆O 于点C,点D,若点P 在劣弧AB 上，当点P 与点C 重合，则点P 到AB 的最大距离为CE,若点P 在优弧AB 上，当点P 与点D 重合,则点P 到AB 的最大距离为DE,（此时点C 为劣弧AB 的中点，点D 为优弧AB 的中点） 证明：可以过点P 作AB 的平行线L ，L 与AB 的距离就是点P 到AB 的距离，当L 与圆O 只有一个交点时，即相切时，L 与AB 的距离最大，此时点P 与点C 重合，或点P 与点D 重合。
PA OBB'A'P AO BB'A'ABEF DA BOE CP P由上述结论可知：点P 在圆上运动，线段AB 长度固定， 当△PAB,为等腰三角形时，△PAB 的面积取最大（也要分在优 弧和劣弧两种情况。
）证明：因为 △PAB 底AB 不变，此时AB 边上的高最大，得面积也是最大的。
拓展：此时得到的△PAB 的周长也是最大的。
（也要分在优弧和劣弧两种情况。
）证明：1、当点P 在劣弧AB 上时，如图所示：AB 为定值，求△PAB 的周长最大，即求PA+PB 最大。
中考数学复习指导：发现“隐形”圆巧求最小值
发现发现““隐形隐形””圆 巧求最小值在近几年的中考数学试题中，常有一些涉及到求线段最小值的问题.这些题目入手较难，得分率很低，分析其原因不难发现，学生对题目中运动变化的本质没有搞清楚.在这些蕴含运动变化的问题中，并没有显性的圆，但是仔细分析题目的条件，如果能发现某个点的运动路径是一个圆(或是一段弧)，可谓是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，将会对问题的解决起着重要的作用.下面举例说明.一、翻折中的“隐形”圆例1 如图1，在Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠=°==，点F在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 .解 如图2，当点E 在BC 上运动时, PF 的长固定不变，即2PF CF ==.所以点P 在 以点F 为圆心，以2为半径的圆上运动.过点F 作FH AB ⊥交⊙F 于点P ，垂足为H ，此时PH 最短.由AFH ABC ∆∆:，得FH FA BC AB=.又由已知易得4,10AF AB ==.所以4810FH =，即165FH =.所以P 到AB 距离的最小值166255PH FH FP =−=−=.点评 本题关键的地方在于抓住无论点E 的位置在哪，翻折,FCE PF ∆的长度始终等 于FC 的长度，即2PF =.也就是说动点P 到定点F 的距离是定值2，所以点F 的运动路径是以点F 为圆心，2为半径的圆(或部分).如此，这个问题就最终转化为在圆上找一个到定直线距离最短的点.我们可以利用图3的模型1来作出直观解释.模型1 如图3，直线m 与⊙O 相离，过D 点O 作直线m 的垂线，垂足为点H ，交⊙O 与点P 、点Q ，则⊙O 上点P 到直线m 的距离最短，点Q 到直线m 的距离最长理由简述 在⊙O 上任意找一点P ′，过P ′作P H ′′⊥直线m ，垂足为点H ′.由三角形三边关系及直角三角形斜边大于直角边可得:OP P H OH OH ′′′′+>>，而OH OP PH =+,OP OP ′=，所以P H PH ′′>，所以点P 到直线m 的距离最短.类似的方法可以说明点P 到直线m 的距离最长.例2如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，60,A M ∠=°对是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点.将AMN ∆沿MN 所在的直线翻折得到A MN ′∆，连结A C ′，则A C ′长度的最小值是 .解 当点N 在AB 边上运动时，MA ′的长度固定不变，即1MA MA ′==，所以点A ′在以点M 为圆心，1为半径的圆上运动，如图5，连接CM ，与⊙M 交于点A ′，此时CA ′最短.过点C 作CG AD ⊥交AD 的延长线于点G .因为2,60CD CDG A =∠=∠=°，所以1,DG CG ==，在Rt CMG ∆中，由勾股定理，得CM == 点评 同例1，无论N 点在何处，沿MN 翻折后，线段MA ′的长度(1MA MA ′==)保持不变，而且点M 是定点，所以点A ′的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的圆(部分).要求A C ′的最小值，回归到模型1中，连结圆外定点C 与圆心M 与圆M 交于点A ′，此时A C ′的长度即为最小值.我们可以借助图6利用模型2来作出直观解释.模型2 如图6，点P 为⊙O 外一定点，连结PO 交⊙O 于点A ，延长线与⊙O 交于另一点B ，则PA 的长度为⊙O 外一点P 到⊙O 的最短距离，PB 的长度为⊙O 外一点P 到⊙O 的最长距离.理由简述 在⊙O 上再任意找一点A ′ ,连接PA ′，由三角形三边关系，可得OA PA OP ′′+>.又,OP OA AP OA OA ′=+=，所以PA PA ′>.类似的方法可以说明PB 的长度为⊙O 外一点P 到⊙O 的最长距离.例3 如图7，菱形ABCD 的边8,60AB B =∠=°,P 是AB 上一点，3,BP Q =是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠, A 的对应点为A ′.当 CA ′的长度最小时，CQ 的长为 .解 如图8，过C 作CE AB ⊥，连结AC .因为ABCD 是菱形，60B ∠=°，所以ABC ∆为等边三角形，所以84,3,12AE EB BP EP =====.要使CA ′的长度最小，则梯形APQD 沿直线PQ 折叠后A 的对应点A ′应落在CP 上，且对称轴PQ 应满足//PQ DE .由作图知，DEPQ 为平行四边形，所以1,817DQ EP CQ CD DQ ===−=−=.点评 点Q 在线段CD 上无论运动到何处，梯形APQD 沿直线PQ 折叠后PA ′的长度始终保持不变，因此A ′点的运动路径就是以点P 为圆心，PA 长为半径的圆.借助模型2，可知，当点A ′落在线段CP 与⊙P 的交点时，CA ′的长度最小.由PQ 平分,//APC CD AB ∠，可得CQ CP =.作CE AB ⊥，构造Rt CEP ∆，从而可以求出CP 的长.二、直角中的“隐形”圆例4 如图9，在正方形ABCD 中，动点,E F 分别从,D C 两点同时出发，以相同的速度在直线,DC CB 上移动.连结AE 和DF 交于点P ,由于点,E F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图.若2AD =,试求出线段CP 的最小值.解 由题意，可得DE CF =.又因为,90AD CD ADC DCB =∠=∠=°,所以ADE DCF ∆≅∆,所以DAE CDF ∠=∠.因为90ADP CDF ∠+∠=°，所以90DAE ADP ∠+∠=°.由于点P 在运动中保持90APD ∠=°.听以点P 的路径是一段以AD 为直径的弧.设AD 的中点为O ，连结OC 交弧于点P ，此时CP 的长度最小.在Rt ODC ∆中，OC ===，所以1CP OC OP =−=−. 点评 此题的本质是抓住动点,E F 在运动过程中，始终保持AE DF ⊥，即90APD ∠=°,这样点P 的运动路径就确定了，即点P 在以AD 为直径的圆弧上，再根据模型2求解即可.例5如图10, Rt ABC ∆中，,6,4,AB BC AB BC P ⊥==是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，则线段CP 长的最小值为 .解 因为90ABC ∠=°,所以90ABP PBC ∠+∠=°.又因为PAB PBC ∠=∠,所以90BAP ABP ∠+∠=°，即90APB ∠=°，所以点P 在以AB 为直径的⊙O 上.连结OC 交⊙O 于点P ，此时PC 最小，在Rt BCO ∆中，90,4,3OBC BC OB ∠=°==，可得5OC =,所以532PC OC OP =−=−=，即PC 最小值为2.点评 首先，根据题目的条件不难得出90APB ∠=°，从而可以证明点P 在以AB 直径的⊙O 上.利用模型2，连结OC ，与⊙O 交于点P ，此时PC 最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题.以上例题说明，在求一类线段最值问题中，如果遇到动点的运动路径是圆时，只需利用上面提到的模型1或模型2就可以解决.然而难点在于如何知道动点的运动路径是圆，如何将这个隐身“圆”找出来?从以上例子中可以得出以下两种方法:①观察到定点的距离，即圆是到定点距离等于定长的点的集合;②“定弦对定张角”，如例5中线段AB是定值，当动点P在运动过程中，APB∠的大小不变等于90°(当然不一定为直角)，点P的运动路径也是圆(或弧).因此，教师在教学时，要让学生理解概念的本质，还要培养学生对常见模型的敏感性，从而在有限的考试时间内，能快速获得破解难题的策略.。
2024中考数学模型复习专题 与圆有关的最值(含隐圆)问题 强化训练(含答案)
2024中考数学模型复习专题与圆有关的最值(含隐圆)问题强化训练类型一点圆最值1. 如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，P A⊙PB，且P A，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为() A. 3 B. 4 C. 6 D. 8第1题图2. 如图，在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝6，BC＝2 3 ，半径为1的⊙O在Rt⊙ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________．第2题图类型二线圆最值3.如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan ⊙BOD的值是()A. 2B. 3C. 4D. 5第3题图4. 如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC，BC，若⊙O的半径为4，⊙ACB ＝60°，则⊙ABC面积的最大值为()第4题图A. 6 3B. 12 3C. 18D. 205. 如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为 3 ，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．第5题图类型三定点定长作圆6. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C 重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()A. 2B. 52 C.3 D. 10第6题图7.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足⊙MPN＝45°的⊙PMN中，边PM的长的最大值是()第7题图A. 4 2B. 6C. 210D. 3 58. 如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将⊙ABE沿BE翻折得到⊙FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是________．第8题图9. 如图，在⊙ABC中，⊙BAC＝30°，⊙ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动．连接CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连接A′C，A′P.在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是________；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为________．第9题图类型四定弦定角(含直角对直径)10. 如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，AC＝2 3 ，BC＝3.点P为⊙ABC内一动点，且满足P A2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，⊙ACP的面积是()第10题图A. 3B. 33C. 334 D.33211. (2022泰安)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，⊙ADM＝⊙BAP，则BM的最小值为()A. 52B. 125C. 13 －32D. 13 －2第11题图12. 如图，在边长为6的等边⊙ABC 中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE ＝CF ，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为________．第12题图13.如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接CF ，DF ，且⊙ADF ＝⊙DCF ，点E 是AD 边上一动点，连接EB ，EF ，则EB ＋EF 长度的最小值为________．第13题图类型五 阿氏圆14. 如图，在Rt⊙ABC 中， AB ＝AC ＝4, 点E ，F 分别是AB , AC 的中点，点P 是扇形AEF的EF 上任意一点，连接BP , CP ，则12BP ＋CP 的最小值是________．第14题图15. 如图，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，点P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为________．第15题图16. 如图，正方形ABCD 的边长为4，内切圆记为⊙O ，P 为⊙O 上一动点，则 2 P A ＋PB 的最小值为________．第16题图参考答案与解析1. C 【解析】如解图，连接PO ，∵P A ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵AO ＝BO ，∴AB ＝2PO ，若要使AB 取得最小值，则PO 需取得最小值，连接OM ，交⊙M 于点P ′，当点P 位于P ′位置时，OP 取得最小值，过点M 作MQ ⊥x 轴于点Q ，则OQ ＝3，MQ ＝4，∴OM ＝5，又∵MP ′＝2，∴OP ′＝3，∴AB ＝2OP ′＝6.第1题解图2. 27 ＋1 【解析】如解图，当⊙O 与AB ，BC 边相切时OA 最大．设⊙O 与AB 边的切点为M ，连接OM ，OA ，OB ，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝23 ，∴AB ＝43 ，∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠OBA ＝12∠ABC ＝30°，在Rt △OBM 中，OM ＝1，∴BM ＝3 ，∴AM ＝AB －BM ＝33 ，在Rt △AOM 中，AO ＝AM 2＋OM 2 ＝27 ，此时点A 到⊙O 上的点的最大距离为27 ＋1.第2题解图3. B 【解析】如解图，连接AB ，过点P 作PE ⊥BO ，并延长EP 交⊙P 于点D ，此时点D 到弦OB 的距离最大，∵A (8，0)，B (0，6)，∴AO ＝8，BO ＝6，∵∠BOA ＝90°，∴AB ＝AO 2＋BO 2 ＝82＋62 ＝10，则⊙P 的半径为5，∵PE ⊥BO ，∴BE ＝EO ＝3，∴PE ＝52－32 ＝4，∴ED ＝9，∴tan ∠BOD ＝ED EO＝3.第3题解图4. B 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB ，垂足为点D ，延长DO 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则AE ＝BE ，设点C 到边AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12AB ·h ，易得当点C 与点E 重合时，h 取得最大值，即DE 的长，此时△ABC 的面积也取得最大值，即△ABE 的面积．∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°，∴△ABE 为等边三角形，∴∠EAB ＝∠AEB ＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD ＝12OA ＝2，AD ＝23 ，∴AB ＝2AD ＝43 ，DE ＝OE ＋OD ＝4＋2＝6.此时S △ABE ＝12 AB ·DE ＝12×43 ×6＝123 .第4题解图5. 3 【解析】如解图，连接QC 和PC ，过点C 作CH ⊥AB 于点H .∵PQ 和⊙C 相切，∴CQ ⊥PQ ，即△CPQ 始终为直角三角形，CQ 为定值，∴当CP 最小时，PQ 最小．∵△ABC 是等边三角形，∴当CP ⊥AB 时，CP 最小，此时点P 与点H 重合，∵AB ＝BC ＝AC ＝4，∴AH ＝BH ＝2，∴CH ＝AC 2－AH 2 ＝23 ，∴CP 的最小值为23 ，∵⊙C 的半径CQ ＝3 ，∴PQ ＝CP 2－CQ 2 ＝3.第5题解图6. A 【解析】如解图，连接AM ，AC ，∵点B 和点M 关于AP 对称，∴AB ＝AM ＝3，∴点M 在以点A 为圆心，3为半径的圆弧上，∵AC ＝32＋42 ＝5，AM ＝AB ＝3，∴CM ≥AC －AM ＝5－3＝2，即MC 的最小值为2.第6题解图7. C 【解析】如解图，取格点O ，连接OM ，ON ，易得OM ＝ON ＝10 .又∵MN ＝42＋22 ＝25 ，∴OM 2＋ON 2＝MN 2，即△OMN 为等腰直角三角形．以O 为圆心，OM 长为半径作圆．∵∠MPN ＝45°，∴点P 在优弧MN 上．延长MO 交⊙O 于点P ，连接PN ，易知P 为格点，则此时PM 取最大值，PM 最大＝210 .第7题解图 8. 55 －5 【解析】如解图，∵BA ＝BF ＝BC ，∴点F 在以点B 为圆心，BA 长为半径的14圆上，∴当G ，F ，B 三点共线时，GF 最小．设AE ＝x ，则EF ＝x ，DE ＝10－x ，∵BG ＝CG 2＋BC 2 ＝55 ，∴GF ＝55 －10，连接EG ，则(10－x )2＋52＝x 2＋(55 －10)2，解得x ＝55 －5，∴AE 的长为55 －5.第8题解图9. 3＋12 ；(1＋32)π－1－3 【解析】由题意得点A ′的运动轨迹是以点C 为圆心，CA 长为半径的圆上，∵点P 从点A 出发沿AB 方向运动，到达点B 时停止运动，∠ACB ＝45°，点A 关于直线CP 的对称点为A ′，∴∠ACA ′最大为90°.当CA ′⊥AB 时，点A ′到直线AB 的距离最大，如解图①，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，A ′C 交AB 的延长线于点F ，∵∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，AB ＝2，∴在Rt △ABE 中，BE ＝1，AE ＝3 .在Rt △BCE 中，BE ＝CE ＝1，∴CA ′＝CA ＝3 ＋1.又∵CA ′⊥AB ，∴在Rt △ACF 中，CF ＝12 AC ＝3＋12，∴A ′F ＝CA ′－CF ＝3＋12 ，即点A ′到直线AB 距离的最大值是3＋12；如解图②，当点P 到达点B 时，线段A ′P 扫过的面积为S 扇形A ′CA －2S △ABC ＝π（3＋1）24 －2×12 ×(3 ＋1)×1＝(1＋32 )π－1－3 .第9题解图10. D 【解析】∵P A 2＋PC 2＝AC 2，∴∠APC ＝90°，如解图，取AC 的中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆，连接PO ，由题意知，当B ，P ，O 三点共线时，BP 最短，∴AO ＝PO ＝CO ，∵AC ＝23 ，BC ＝3，∴CO ＝12AC ＝3 ，∴BO ＝BC 2＋CO 2 ＝23 ，∴BP ＝BO －PO ＝3 ，∴点P 是BO 的中点，∴在Rt △BCO 中，CP ＝12BO ＝3 ＝PO ，∵OP ＝OC ，∴△PCO 是等边三角形，∴∠ACP ＝60°，∴在Rt △APC 中，AP ＝CP ·tan 60°＝3，∴S △APC ＝12 AP ·CP ＝3×32 ＝332.第10题解图11. D 【解析】如解图，取AD 的中点为O ，以AD 为直径作⊙O ，连接OB ，OM ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝4，∴∠BAP ＋∠DAM ＝90°，∵∠ADM ＝∠BAP ，∴∠ADM ＋∠DAM ＝90°，∴∠AMD ＝90°，∵AO ＝OD ＝2，∴OM ＝12AD ＝2，∴点M 的运动轨迹在以O 为圆心，2为半径的圆弧上，∵OB ＝AB 2＋AO 2 ＝32＋22 ＝13 ，∴BM ≥OB －OM ＝13 －2，∴BM 的最小值为13 －2.第11题解图12. 23 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ACB ＝60°，在△ABE和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAE ＝∠ACF AE ＝CF，∴△ABE ≌△CAF (SAS)，∴∠ABE ＝∠CAF ，∴∠BPF ＝∠P AB ＋∠ABE ＝∠P AB ＋∠CAF ＝60°，∴∠APB ＝120°，如解图，过点A ，P ，B 作⊙O ，连接CO ，PO ，AO ，BO ，OC 交AB 于点P ′，∴点P 在劣弧AB 上运动，∵AO ＝OP ＝OB ，∴∠OAP ＝∠OP A ，∠OPB ＝∠OBP ，∠OAB ＝∠OBA ，∴∠AOB ＝360°－∠OAP －∠OP A －∠OPB －∠OBP ＝120°，∴∠OAB ＝30°，∴∠CAO ＝90°.∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，∴CO 垂直平分AB ，∴∠ACO ＝30°，∴cos ∠ACO ＝AC CO ＝32，CO ＝2AO ，∵AC ＝6，∴CO ＝43 ，∴AO ＝23 ，在△CPO 中，CP ≥CO －OP ，∴当点P 与点P ′重合，即C ，P ，O 三点共线时，CP 有最小值，∴CP 的最小值为CO －OP ＝CO －AO ＝43 －23 ＝23 .第12题解图 13. 313 －3 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝90°，∴∠ADF ＋∠FDC ＝90°，∵∠ADF ＝∠FCD ，∴∠FDC ＋∠FCD ＝90°，∴∠DFC ＝90°，∴点F 在以DC 为直径的半圆上运动，如解图，设DC 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形AB ′C ′D ，则点B 的对应点是B ′，连接B ′O 交AD 于点E ，交半圆O 于点F ，∴BE ＋EF ＝B ′E ＋EF ＝B ′F ，则线段B ′F 的长即为BE ＋EF 长度的最小值，OF ＝3，∵∠C ′＝90°，B ′C ′＝C ′D ＝CD ＝6，∴OC ′＝9，∴B ′O ＝B ′C ′2＋OC ′2 ＝62＋92 ＝313 ，∴B ′F ＝313 －3，∴EB ＋EF 长度的最小值为313 －3.第13题解图14. 17 【解析】如解图，在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT .∵P A ＝2，AT ＝1，AB ＝4，∴P A 2＝AT ·AB ，∴P A AT ＝AB P A ，∵∠P AT ＝∠P AB ，∴△P AT ∽△BAP ，∴PT BP＝AP AB ＝12 ，∴PT ＝12 PB ，∴12PB ＋CP ＝PT ＋CP ≥TC ，在Rt △ACT 中，∵∠CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4，∴CT ＝AT 2＋AC 2 ＝17 ，∴12 PB ＋PC ≥17 ，∴12PB ＋PC 的最小值为17 .第14题解图 15. 106 【解析】如解图，连接BP ，在BC 上取一点G ，使得BG ＝4，连接PG ，DG ，∵PB BG ＝64 ＝32 ，BC PB ＝96 ＝32 ，∴PB BG ＝BC PB ，∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG CP ＝BG BP ＝23 ，∴PG ＝23 PC ，∴PD ＋23PC ＝PD ＋PG ，∵PD ＋PG ≥DG ，∴当D ，G ，P 三点共线时，PD ＋23PC 的值最小，最小值为DG ＝52＋92 ＝106 .第15题解图16. 25 【解析】如解图，连接OP ，OB ，设⊙O 的半径为r ，则OP ＝r ＝12BC ＝2，OB ＝2 r ＝22 ，取OB 的中点I ，连接PI ，∴OI ＝IB ＝2 ，∵OP OI ＝22＝2 ，OB OP ＝222 ＝2 ，∴OP OI ＝OB OP ，∵∠O 是公共角，∴△BOP ∽△POI ，∴PI BP ＝OI OP ＝22 ，∴PI ＝22PB ，∴AP ＋22 PB ＝AP ＋PI ，∴当A ，P ，I 在一条直线上时，AP ＋22PB 最小，最小值为AI 的长，过点I 作IE ⊥AB 于点E ，∵∠ABO ＝45°，∴IE ＝BE ＝22 BI ＝1，∴AE ＝AB －BE ＝3，∴AI ＝32＋12 ＝10 ，∴AP ＋22 PB 最小值为10 ，∵2 P A ＋PB ＝2 (P A ＋22 PB )，∴2 P A ＋PB 的最小值是2 AI ＝2 ×10 ＝25 .第16题解图。
模型23 隐圆系列之点圆最值模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
模型介绍平面内一定的D和⓪O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。
分以下情况讨论：（设OD=d，⓪O的半径为r）点D在⓪O外时，d＞r，如图：①当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;②当点D在⓪O上时，d=r，如图：当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M重合）③当点D在⓪O内时，d＜r，如图当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为|d-r|=r-d;点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题.方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r|例题精讲【例1】．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点．将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△GEF．则GC长的最小值是（）A．B．C．2D．2解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，如图所示根据折叠可知：GE＝AE＝AB＝2．在Rt△BCE中，BE＝AB＝2，BC＝6，∠B＝90°，∴CE＝＝2，∴GC的最小值＝CE﹣GE＝2﹣2．故选：A．变式训练【变式1-1】.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠A＝45°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝6，∵点M为AD的中点，∠A＝45°，∴DM＝MA＝，∠MDE＝∠A＝45°，∴ME＝DE＝DM＝1，∴CE＝CD+DE＝6+1＝7，由勾股定理得：CM2＝ME2+CE2，∴CM＝＝5；由翻折变换的性质得：MA′＝MA＝，点A′在以M为圆心，为半径的圆上显然，当折线MA′C与线段MC重合时，线段A′C的长度最短，此时A′C＝MC﹣MA′＝5﹣＝4，故答案为4．【变式1-2】．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为．解：如图取AB的中点G，连接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝6，AG＝GB，∴AG＝GB＝3，∵AD＝9，∴＝＝，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝3，∴FG＝1，∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，∵GC＝＝3，∴FC≥GC﹣FG，∴FC≥3﹣1，∴CF的最小值为3﹣1．故答案为3﹣1．【例2】.如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于点D，AD＝5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为_______解：如图，连接PB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝DB＝BC＝12，∵点E为AC的中点，∴DE是△PBC的中位线，∴DE＝PB，∴当PB取最大值时，DE的长最∵P是半径为3的⊙A上一动点，∴当PB过圆心A时，PB最大，∵BD＝12，AD＝5，∴AB＝，∵⊙A的半径为3，∴PB的最大值为13+3＝16，∴DE长的最大值为8，故选：A．变式训练【变式2-1】.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是．解：如图，∵BE⊥AF于E，∴E在以AB为直径圆心为O的圆上，∴当O、E、D三点共线的时候线段DE最小，∵AB＝2，四边形ABCD为正方形，∴AO＝1＝OE，AD＝2，∴OD＝＝，∴段DE最小值为OD﹣OF＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式2-2】．如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH 长度的最小值是．解：连接AC，取BC的中点T，连接AT，TH．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵点C在半圆的中点，∴＝，∴AC＝CB＝4，∵CT＝TB＝2，∴AT＝＝＝2，∵CH⊥BD，∴∠CHB＝90°，∴点H在以BC为直径的圆上运动，∵CT＝TB，∴HT＝BC＝2，∵AH≥AT﹣HT＝2﹣2，∴AH的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．1．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣2解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．2．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）A．1.5B．C．D．2解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝，BD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故选：B．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是．解：如图，将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE，PD，则DB＝PB，∠DBP＝90°，∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，∴BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠CBD＝∠EBP，∴△CBD≌△EBP（SAS），∴PE＝DC，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为线段AB的中点，∴DB＝CD＝AB＝1，∴PE＝1，PB＝1，∴DP＝，∵PD+PE≥DE，∴DE≤+1，∴DE最大值为+1，故答案为：+1．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为90°；连接CP，线段CP的最小值为﹣1．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，AD是BC边上的高，E、F分别为边DC，DA上的动点，且DE：DF＝4：3，射线AE与BF相交于点M，若连接CM，则线段CM的最小值为．解：如图1，连接EF，并延长EF交边AB于点G，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，∴，∴AC：AB＝4：3，∴AC：AB＝DE：DF＝4：3，∴，∵∠BAC＝∠FDE＝90°，∴△BAC∽△FDE，∴∠GBE＝∠DFE，∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠DFE+∠DEF＝90°，∴∠GBE+∠DEF＝90°，∴∠BGE＝90°，∴EG是△ABE的高，∵AD是△ABE的BE边上的高，∴BM是△ABE的AE边上的高，∴BM⊥AM，∴∠AMB＝90°，∴点M在线段AB为直径的上，如图2，作以线段AB为直径的，取圆心O，连接OC交于点N，则当点O、M、C 三点共线时，线段CM的最小值，如图3，∵AB＝6，点O是圆心，∴OA＝ON＝3，∵∠BAC＝90°，AC＝8，∴，∴线段CM的最小值即，故答案为：．6．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝3，以B为圆心，半径为1的弧交BC于M，E是线段CD上一动点，EG⊥AD，垂足为G，F是弧AM 上一动点，则EG+EF的最小值为．解：作AH⊥CD于点H是矩形．DH＝CD﹣AB＝3﹣1＝2，AH＝BC＝2．则AH＝DH，△ADH是等腰直角三角形．则∠ADC＝45°．延长BC到M使CM＝BC＝2，作MN⊥AD于点N，交CD于点K．则当E到K时，EG+EF 取得最小值．∵∠ADC＝90°，MN⊥AD，∴△DNK是等腰直角三角形，∠NKD＝∠CKM＝45°，同理△CMK是等腰直角三角形．则CK＝CM＝2，KM＝CM＝2，∴DK＝CD﹣CK＝3﹣2＝1，∴NK＝DK＝．则MN＝MK+NK＝2+＝，则EG+EF的最小值是﹣1＝．故答案是：．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点O是AB的中点，以BC为直角边向外作等腰Rt△BCD，连接OD，当OD取最大值时，则∠ODB的度数是．解：如图，将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，连接CO，EO，∵将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，∴OB＝BE，OD＝CE，∠BCE＝∠BDO，∠OBE＝90°∵CE≤OC+OE∴当点O在CE上时，CE有最大值，即OD取最大值，∵BE＝OB，∠ABE＝90°∴∠BOE＝45°∵点O是AB中点，∠ACB＝90°∴CO＝BO∴∠ECB＝∠CBO，∵∠EOB＝∠ECB+∠OBC＝45°∴∠ECB＝22.5°＝∠BDO故答案为：22.5°8．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为正方形外一个动点，∠AED＝45°，P为AB中点，线段PE的最大值是．解：如图，若点E在正方形右侧，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，∴A，C，E，D四点共圆，∵正方形ABCD的边长为2，∴OE＝OD＝BD＝，∵P为AB的中点，O是BD的中点，∴OP＝AD＝，∵PE≤OP+OE＝+，∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝+，即线段PE的最大值为+，如图，点E在正方形ABCD上方，作斜边为AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，∴当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，过点O作ON⊥AB，交BA延长线于点N，∵AD＝2，AO＝DO，∠AOD＝90°∴AO＝，∠OAD＝45°，∵ON⊥AB，AD⊥AB∴∠NAO＝∠NOA＝45°∴AN＝NO＝∴PO＝＝＝∴PE最大值为+＞+，故答案为：+9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．（1）如图①，点E是AB的中点，点F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点P，求CP的最小值；（2）如图②，若点P是矩形ABCD内部一点，且∠BPC＝90°，求PD取得最小值时，BP的长；（3）如图③，若点P是矩形ABCD内部一点，且∠PAD+∠PBC＝60°，求AP+BP的最大值.解：（1）如图1，∵点E是AB的中点，∴BE＝AB＝2，由折叠知，PE＝BE＝2，∴点P是在以E为圆心，2为半径的半圆上运动，当点E，P，C共线时，CP最小，∵四边形ABCD时矩形，∴∠ABC＝90°，∴CE＝＝＝2，＝CP′＝CE﹣EP′＝2﹣2；∴CP最小（2）如图2，∵∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的半圆O上运动，当点D，P，O共线时，PD最小，在Rt△COD中，CD＝4，OC＝BC＝3，∴OD＝5，∴P′D＝OD﹣OP′＝5﹣3＝2，作P′Q⊥BC于Q，∵∠OQP′＝∠BCD＝90°，∠COD为公共角，∴△OQP′∽△OCD，∴，∴，∴OQ＝，QP′＝，在Rt△BQP′中，QP′＝，BQ＝OB+OQ＝3+＝，∴BP′＝＝，∴当PD取得最小值时，BP的长为：；（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CAB＝∠BAD＝90°，∴∠CAB+∠BAD＝180°，∵∠PAD+∠PBC＝60°，∴（∠CAB+∠BAD）﹣（∠PAD+∠PBC）＝120°，∴∠PAB+∠PBA＝120°，在△ABP中，∠APB＝180°﹣120°＝60°，延长BP至E，使PE＝PA，∴∠E＝∠PAE，∵∠E+∠PAE＝∠APB＝60°，∴∠E＝30°，在AB的右侧作等边三角形ABO，以O为圆心，AB为半径作圆O，则点E优弧AEC上运动，当BE为直径时，即点P在点O处时，AP+BP最大，最大为直径BE′＝2AB＝8．10．如图，已知四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，当点E在AB边上时，请直接写出DE，DG的数量关系；（2）如图②，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其他条件不变．①探究（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②若AD＝4，AE＝1，求DG的最大值和最小值．解：（1）DE＝DG，理由如下：如图①，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴EF∥CM，∴∠CMG＝∠FEG，∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，∴△CMG≌△FEG（AAS），∴EF＝CM，GM＝GE，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DCM≌△DAE（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，∴△EGD是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（2）①结论成立，理由如下：如图②，连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，∴△CGM≌△FGE（SAS），∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，∴CM∥ER，∴∠DCM＝∠ERC，∵∠AER+∠ADR＝180°，∴∠EAD+∠ERD＝180°，∵∠ERD+∠ERC＝180°，∴∠DCM＝∠EAD，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DAE≌△DCM（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∵EG＝GM，∴DG＝EG＝GM，∴△EDG是等腰直角三角形，∴DE＝DG；②∵AE＝1，△AEF绕点A旋转，∴点E在以点A为圆心，1为半径的圆A上运动，如图③，当点A、E、D三点共线，且点E在点A的左侧时，DE最大，此时DE＝AD+AE＝4+1＝5，由①可知，DE＝DG，∴DG＝DE＝，即DG的最大值为；如图④，当点A、E、D三点共线，且点E在点A的右侧时，DE最小，此时DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，由①可知，DE＝DG，∴DG＝DE＝，即DG的最小值为；综上所述，DG的最大值为，最小值为．11．（1）如图1，A、B是⨀O上的两个点，点P在⨀O上，且△APB是直角三角形，⨀O 的半径为1①请在图1中画出点P的位置；②当AB＝1时，∠APB＝30°；（2）如图2，⨀O的半径为5，A、B为⨀O外固定两点（O、A、B三点不在同一直线上），且OA＝9，P为⊙O上的一个动点（点P不在直线AB上），以PA和AB为作平行四边形PABC，求BC的最小值并确定此时点P的位置；（3）如图3，A、B是⊙O上的两个点，过A点作射线AM⊥AB，AM交⨀O于点C，若AB＝3，AC＝4，点D是平面内的一个动点，且CD＝2，E为BD的中点，在D的运动过程中，求线段AE长度的最大值与最小值．解：（1）①如图1，△APB、△AP′B是直角三角形；②在Rt△APB中，AB＝AP，∴∠APB＝30°，故答案为：30；（2）四边形PABC是平行四边形，∴BC＝AP，∴BC的最小值即AP的最小值，∵当P为OA与⊙O的交点时，AP最小，∴AP的最小值为9﹣5＝4，即BC的最小值为4；（3）连接BC，∵AM⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵点D是平面内的一个动点，且CD＝2，∴点D的运动路径为以C为圆心，以2为半径的圆，在直角△ABC中，BC＝＝＝5，∵O是直角△ABC斜边BC上的中点，∴AO＝BC＝，∵E是BD的中点，O是BC的中点∴OE＝CD＝1，∴AE的最小值是AO﹣OE＝，最大值是AO+OE＝．12．【问题提出】（1）如图①，四边形ABCD为正方形，以BC边为直径在BC上方作半圆O，P是上一点，若AB＝6，则DP的最小值为3﹣3；【问题探究】（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，CD是中线，将△ACD 沿CD折叠，得到△ECD，点A的对应点为E，连接AE，求AE的长；【问题解决】（3）如图③是一块矩形ABCD的场地，AB＝300m，AD＝600m，D为场地的出人口，点E在AD边上，且AE＝400m．按照规划，要在矩形内修建一个小型观光台P，且满足∠APE＝90°，在BC上修建休息亭M，并要在观光台P、休息台M以及出入口D之间规划道路PM，DM，为了节约成本，要使得线段PM，DM之和最短，试求PM+DM的最小值，并说明理由．（道路的宽度忽略不计）解：（1）如图1，连接OD，交⊙O于点P，则DP最小，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，CD＝BC＝AB＝3，在Rt△COD中，OC＝＝3，CD＝6，∴OD＝＝3，∴DP＝OD﹣OP＝3﹣3，故答案为：3﹣3；（2）设CD，AE交于点F，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，由折叠得：AE＝2AF，CD⊥AE，∵∠ACB＝90°，CD是中线，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD，∵∠AFC＝∠ACB＝90°，∴△ACF∽△BAC，∴，∴＝，∴AF＝，∴AE＝2AF＝；（3）如图2，∵∠APE＝90°，∴点P在以AE为直径的⊙O上运动，作点D关于BC的对称点G，连接OG，交BC于M，交⊙O于P，则PM+DM最小，最小值为PG的长，∵四边形ABCD是矩形，∴CG＝CD＝AB＝300，∠ADC＝90°，在Rt△ODG中，DG＝CD+CG＝600，OD＝AD﹣OA＝600﹣200＝400，∴OG＝＝＝200，∴PG＝OG﹣OP＝200﹣200，∴PM+DM的最小值为：200﹣200．。
中考专题北师大版本九下专题隐形圆的最值问题
3、应用隐圆解决实际问题；最值问题之“隐圆再现”的问题【知识要点】点到圆的最小距离和最大距离总结：（圆外一点到圆上最短距离是与圆心的连线；最长距离是与圆心连线的延长线。
）圆内一点P到圆上的最短距离为PA，最长距离为PB；(P、A、0、B四点在同一条直线上，即P，A，B三点过圆心O) ．二、圆的存在条件（常见的类型，还有定半径长度类）类型1、圆的定义：（定长）在一个平面内，线段 AB 绕它固定的一个端点 A 旋转一周，另一个端点 B 所形成的图形叫做圆；类型2、定直角：直径所对的圆周角为90°；应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．【例题精讲】知识点一、翻折定点定长--隐圆现。
例1．如图，在Rt△ABC中，∠C=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．2.如图，在矩形ABCD中，AC=6，BC=8，点F是边AC的中点，点E为边BC上的动点，将△CEF 沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到点D的距离的最小值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是．5．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN 所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1C，则A1C的最小值是．知识点二、动点定直角---隐圆现1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O 交BM于N，则线段AN的最小值为．3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE 的最小值为．6．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为．4、（湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．知识点三、动点定长隐圆现1．如图，⊙O的半径为2，AB.CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）．2．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止，同时点R从点B 出发，沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A．2B．4﹣πC．πD．π﹣13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点P为BC上一动点，则P A+PG的最小值为（）A．3B．4C．2D．5【立马试试】2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，问△A'PC 周长是否存在最小值是，若存在，请计算出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．如图，一块∠BAC为30°的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点E在量角器的圆弧边缘处从A到B运动，连接CE，交直径AB于点D．(1)当点E在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE的度数为多少？(2)若AB=8，P为CE的中点，当点E从A到B的运动过程中，点P也随着运动，则点P所走过的路线长为多少？类型四、三条相等线段造成的隐形圆1．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为（）A．14B．15C．18D．12【课堂总结】隐形圆的几种存在情况1.2.3.4.【2019锦江1诊真题再现】（武侯二诊）24．（4分）如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，AB＝15，BC＝8，直线EF 经过点O，分别与边CD，AB相交于点E，F（其中0＜DE＜）．现将四边形ADEF沿直线EF折叠得到四边形A′D′EF，点A，D的对应点分别为A′，D′，过D′作D′G⊥CD于点G，则线段D′G的长的最大值是，此时折痕EF的长为．（2018•锦江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF 于点H，连接AH．在转动的过程中，AH的最小值为．【课后练习】3．如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在边OA上，连接CB，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为（）A．15°B．15°或45°C．45°D．45°或60°4．直线y＝x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（）A．2﹣2B．3﹣2C．D．1二．填空题（共5小题）5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．三．解答题（共2小题）7．（阿氏圆）问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．8．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB＝，求点P的坐标；②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y＝x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．9．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为______．。
中考数学复习(福建专版 ) 拓展专项三 隐形圆及最值问题
④C，B，F，E四点共圆，圆心在BC的中点处； ⑤B，A，E，D四点共圆，圆心在AB的中点处； ⑥C，D，F，A四点共圆，圆心在AC的中点处．
(2)求证：∠ADF＝∠ADE.
证明：如答图1，由B，D，H，F四点共圆，
得∠ADF＝∠1.
同理，由A，B，D，E四点共圆，
得∠ADE＝∠1.
∴∠ADF＝∠ADE.
OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ________．
(图5)
【点拨】如答图3，连接OD，设⊙O的半径为r.
∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，
∴CD＝ OD2－OC2＝ r2－OC2.
∵OD的长度为定值， ∴当OC的值最小时，CD的值最大，
(答图3)
而OC⊥AB时，OC的值最小，此时D、B两点重合，
第六章 圆 拓展专项三 隐形圆及最值问题
教材梳理篇
1 四点共圆问题 2 从圆的定义构造圆(折叠类问题) 3 圆中最值问题
1 四点共圆问题
若平面上A、B、C、D四个点满足∠ABD＝∠ACD＝ 90°，则A、B、C、D在以AD的中点E为圆心、EA的长 为半径的圆上，如图(可证EA＝EB＝EC＝ED)．
10 5 a.
∵∠FA′G＝∠FBG＝90°，∴∠A′FB＋∠A′GB＝180°.
又∵∠A′GC＋∠A′GB＝180°，∴∠A′FB＝∠A′GC.
又∵AA′′GF＝CBGF＝12，∴△A′FB∽△A′GC， ∴ AA′′BC＝AA′′GF＝12，∴A′C＝2A′B.
2 从圆的定义构造圆(折叠类问题)
例1 如图1，AD，BE，CF为△ABC的三条高，H为三条高线 的交点，问：
(1)图中有多少组四点共圆？并指出圆心的位置；
九年级复习课《画出“隐圆”求最值》教学设计
画出“隐圆”求最值滁州市第六中学高在为教学背景：本节课是与圆有关的一节复习课，学生已掌握了圆的相关概念，会运用圆的性质解决简单实际问题，因而本节课一开始安排了有关圆的知识以及三角形三边之间的关系的回顾，为后面的教学奠定基础.教学目标：1.从学生的实际出发，依据数学思维规律，提出恰当地富于启发性的问题，去启发和引导学生积极思维，同时采用几何画板动态演示，引导学生观察、分析、猜想、证明，运用动态思维、数形结合、逻辑推理与合情想象相结合的思想方法，主动地发现问题，总结规律，解决问题.2.让学生掌握各类隐圆的最值求法.教学重点与难点：1.学生通过观察、分析、猜想、证明、归纳等思想方法，主动地发现问题，总结规律，解决问题.2.分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用圆求出最值.教学过程：一、知识回顾1.平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形是 .2.半圆或直径所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是 .3.以线段AB为斜边作Rt△ABC，满足条件的直角顶点C都在 .4.三角形三边之间的关系： .二、探索思考1．如图，点P是⊙O外的一个定点，点A是⊙O上的一个动点，设点P到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当点A 运动到何处时PA 的值最小，何处时PA 的值最大,请求出最小值和最大值.2．如图，如果点P 是⊙O 内的一个定点，点A 运动到何处时PA 的值最小，何处时PA 的值最大，请求出最小值和最大值.3．如图，如果点P 是⊙O上的一个定点，点A 运动到何处时PA 的值最小，何处时PA 的值最大，请求出最小值和最大值.4．归纳：若点P 是平面内一定点，点A是⊙O 上一动点，则PA 的最小值= ，最大值= .三、典型例题例题：（2016年安徽中考第10题）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，点P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）A.32C四、巩固应用1．（2011安徽中考第22题）在△ABC ，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△''A B C .（1）、（2）略（3）如图，设AC 的中点为E ，''A B 中点为P ，AC=a ，连接EP ，当θ= °时，EP 长度最大，最大值为 .2．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上任意一点（点E 不于点B 重合）沿DE 翻折△BDE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的最小值是 .3．如图,⊙O 的半径为2，弦AB=，直径EF ⊥AB 于点H ，点C 在直径EF 上运动，以弦AB 为斜边作任意Rt △ABD ，则线段CD 的最大长度为（ ）A.2+2 B.2+3 C.3+ 3 D.2+3E CB B'CB E五、小结提升请说说这节课你有什么收获？1．点P 是平面内一定点，点A 是⊙O 上一动点，则PA 的最小值与最大值分别是多少？2.怎样找出隐圆，利用隐圆求最值.3.你还有其他的感悟或收获吗？六、布置作业1．已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，弦CD 长为10，点N 是CD 中点，圆心O 到AB 的距离为OM ，则MN 的最小值是 .2．如图，AB 是⊙O 的弦，AB=3，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠C=45°，若点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 长的最大值是（ ）3.（2013年浙江中考）如图，E 、F 是正方形ABCD 边AD 上的两个动点，满足AE=DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是 .H GF B C A D E。
中考数学最值专题03 隐圆(辅助圆)最值模型(老师版)
专题03 隐圆（辅助圆）最值模型题型一 滑梯类模型1．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，10AC =，8BC =，线段DE 的两个端点D 、E 分别在边AC ，BC 上滑动，且6DE =，若点M 、N 分别是DE 、AB 的中点，则MN 的最小值为( )A ．10B 3C ．6D ．3【解答】解：ABC ∆中，90C ∠=︒，10AC =，8BC =，AB ∴==，6DE =，点M 、N 分别是DE 、AB 的中点，12CN AB ∴==132CM DE ==， 当C 、M 、N 在同一直线上时，MN 取最小值，MN ∴3，故选：B ．2．如图，矩形ABCD ，1AB =，2BC =，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上．当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为1 ．【解答】解：如图，取AD 的中点H ，连接CH ，OH ，矩形ABCD ，1AB =，2BC =，1CD AB ∴==，2AD BC ==，点H 是AD 的中点，1AH DH ∴==，CH ∴=，90AOD ∠=︒，点H 是AD 的中点，112OH AD ∴==， 在OCH ∆中，CO OH CH <+，当点H 在OC 上时，CO OH CH =+，CO ∴的最大值为1OH CH +，1．3．已知边长为a 的正方形ABCD ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 点D 在第一象限，点E 为正方形ABCD 的对称中心，连接OE ，则OE 的长的最大值是 a ．【解答】解：取AB 中点F ，连OF ，EF ，有OE OF FC +，当O 、E 、F 共线时，OE 有最大值，最大值是OF EF +．四边形ABCD 为正方形，90BEA ∴∠=︒，且F 为AB 中点，1122EF OF AB a ∴===， OE ∴的最大值为1122OF EF a a a +=+=， 故答案为：a ．4．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 的长的最大值是 ．【解答】解：取AB 中点D ，连OD ，DC ，有OC OD DC +，当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD CD +．ABC ∆为等边三角形，。
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将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C
长度的最小值是_______．
D
C
M A
AN
B
知识储备一:圆的概念
圆的定义：在一个平面内，线段OA
A
绕它固定的一个端点O旋转一周另
一个端点A所形成的图形叫做圆。r Nhomakorabea·
通过上述画圆的过程可以看出：到定点的距 离等于定长的点都在同一个圆上。
课前及课上要求
1、请同学们课前试着做一下类型一和类型二中 的例题和变式训练； 2、准备好双色笔，课上认真听讲，及时梳理、 改错。
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初四数学 数学专题1：***************
利用隐形圆求最值问题
类型一：点圆最值
例1：（2019年通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝
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60°，M是AD边上的一点，且AM＝ 3 AD，N是AB边上的一动点，
类型二：线圆最值
例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6， BC＝8，点F 在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点 P处，则点P 到边AB 距离的最小值是________．
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变式训练2：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4， O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D， P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP 面积的最大值为________．
拓展：定弦定角型
如图1⊙O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上任 一点，在C点运动过程中则∠ACB的度数不变⇒逆运用⇒如 图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且∠ACB=θ（θ 为固定值）⇒点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）
练习1：如图，△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝ 4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP， 则线段CP的最小值为________．
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练习2：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是 △ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP 长的最小值为_________
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练习3：如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC 上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为____。
类型一：点圆最值
例1：（2019年通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝
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60°，M是AD边上的一点，且AM＝ 3 AD，N是AB边上的一动点，
将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C
长度的最小值是_______．
D
C
M A
AN
B
变式训练1： 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∠C＝30°，AB＝1，点D在AC边上运动，点E为AC的 中点，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点F，则 在点D从C到A的运动过程中，线段EF的最小值为___.