向量组的线性相关性
4.3-向量组的线性相关性
β , β ,⋯, β
T 1 T 2
T n
2/23
定义1 定义1 对于给定的一组m n维向量组成 个 的向量组 A: a1, a2 , ⋯, am, 对任何一组实数 c1, c2 , ⋯, cm, 向量
c1a1 + c2a2 +⋯+ cmam
的一个线性组合 线性组合. 称为向量组 A的一个线性组合
4个3维向量一定线性相关 维向量一定线性相关， 解：4个3维向量一定线性相关，故 线性相关． α1,α2 ,α3,α4线性相关．
22/23
作业
习题4－ 习题 －3 1（2） （ ） 4（2） （ ） 6 8 9 （1），（ ） ），（3） ），（
23/23
T
讨论它的线性相关性． 讨论它的线性相关性．
10/23
解 设 k1e + k2e2 +⋯+ knen = 0 1 即
(1)
T
( k1, k2 ,⋯, kn )
T
= ( 0,0,⋯,0)
于是必有 k1 = k2 =⋯= kn = 0. 全为零时， ) 即只有当 k1, k2 ,⋯ kn , 全为零时，(1)式才成立 线性无关. 所以向量组 e , e2 ,⋯, en 线性无关 1
c1, c2 , ⋯, cm 称为这个线性组合的系数 称为这个线性组合的系数.
3/23
给定向量组 A： 1, a2 , ⋯, am 和向量 b， a 如果存在一组数
第二节 向量组的线性相关性
定理四 任意n+1个n维向量都是线性相关的.
[证]设n+1个n维向量为: 1=(a11,a12,,a1n) 2=(a21,a22,,a2n)
n=(an1,an2,,ann) n+1=(an+1,1,an+1,2,,an+1,n)
构造向量组: 1=(a11,a12,,a1n,0) 2=(a21,a22,,a2n,0)
故1,2,,n线性无关
例5 讨论向量组1=(1,1,1),2=(0,2,5), 3=(1,3,6)的线性相关性,若线性相关,试写
出其中一向量能由其余向量线性表示的表
达式.
解: 若有k1,k2,k3,使k11+k22+k33=0
即k1(1,1,1)+k2(0,2,5)+k3(1,3,6)=(0,0,0)
k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0 即(k1+ k3)1+(k1+k2)2+(k2+ k3)3=0 由已知1,2,3线性无关,则
k1 k3 0 1 0 1
k1 k2 0 1 1 0 =2 0
k2 k3 0 0 1 1
齐次方程组只有零解: k1=k2=k3=0
1+2,2+3,3+1线性无关.
若r维向量组1,2,,m线性无关,则r+1维 向量组1,2,,m也线性无关.
[证]反证法
若1,2,,m线性相关
即有不全为零的数k1,k2,,km,使
k11+k22++kmm=0
即 k1(a11,a12,,a1r,a1,r+1)+ k2(a21,a22,,a2r,a2,r+1)+ +km(am1,am2,,amr,am,r+1)=(0,0,,0)
向量组的线性相关性
证明
（略）
(1)
1 , 2 , n线性无关
1 1
齐次线性方程组 x 只有零解 r ( , , ) n
1 2 n
x2 2 xn n 0
a11
当m=n时
a12 a1n
a21 a22 a2 n 0 an1 an 2 ann
思考题
试证明 : (1) 一个向量 线性相关的充要条件是 0； ( 2) 一个向量 线性无关的充要条件是 0； ( 3) 两个向量 ， 线性相关的充要条件是
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 , y , 使 x
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义4
给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 k1 1 k2 2 km m 0
全为零的数k1 , k2 ,, km 使
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
1 2 3 4 2 3
这与a , a , a 线性无关矛盾，故结论成立.
2 3 4
四、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
4.3 向量组的线性相关性
证 （方法1） 设 B 1, 2,L n , 且
有数x1,x2,…,xn，使得 x11 x22 L xnn 0,
即
x1
1, 2,L
,
n
x2
M
0,
xn
右边等式两边同时左乘矩阵A，得
ABx 0, 即 Ex 0, 所以 x 0, 即 x1 x2 L xn 0, 故由定义可知，
0
0
1
证 令 A (1,2,L ,n ),
则A恰为单位矩阵E，故R(A)=n。 根据判定定理，单位向量组线性无关。
例8
已知向量组 , ,
1
2
3
线性无关， 1
1
2
, ,
2
2
3
3
3
1
证明向量组 , ,
1
2
3
也线性无关.(典型考题,典型方法）
证明：（方法 1: 根据定义) 设有数k1,k2,k3,使得
则称向量组A 线性相关，否则称它线性无关。
当且仅当k1 k2 L ks =0时，
表达式 k11 k22 L kss 0成立。
定理2
线性相关和无关的判定定理
1,2 ,L ,s 线性无关
x11 x22 L xss 0 仅有零解
对矩阵 A=(1,2,L ,s ), R( A) 向量的个数s.
例2 零向量是任何一个同维向量组的线性组合
Q 0 01 02 L 0m
线性表示的表示系数可以是零
例3 向量组中的任何一个向量都是该向量组的线性组合。
i 01 02 L 1i L 0m
例4 对如下向量
(0,1,2)T ,1 (1,1,0)T ,2 (0,1,1)T ,3 (3, 4,0)T ,
线性代数-向量组的线性相关性-文档资料
[1,2,1], [2,4,0]线性无关。
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21
性质 3 含有零向量的向量组一定线性相关。
证明： 设1,2 ,,m 是向量组， i 0 (i {1,2,, m})
则： 01 02 0i1 1i 0i1 m 0
]
3
1
,
2
,
线性无关.
3
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17
三、有关向量组线性相关性的若干性质
性质 1
只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条 件是它为零向量，
即只含一个向量的向量组线性无关的充分必要 条件是它为非零向量。
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18
性质 2
仅含两个向量的向量组线性相关的 充分必要条件是其对应分量成比例。
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5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2
1
x2
0 1
2 ，即 3
0
1
0
1 3
1
2
1
0 1
x1 x2
2
，此方程组无解，所以
3
不能由1 , 2
19
证明：
设 [a1,a2 ,,an ], [b1,b2 ,,bn ]，则
, 线性相关
存在不全为零的常数k1, k2，使k1 k2 0
k1ai k2bi 0,i 1,2,,n，（不妨设k1 0）
ai
k2 k1
bi
,i
1,2 , , n
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20
例1
[1,2,0], [2,4,0]线性相关；
4.2向量组的线性相关性
向量组的线性相关性向量组线性相关与线性无关的概念向量组线性相关性的判别向量组线性相关性的有关结论向量组线性相关与线性无关的概念()1122*0ααα，m m k k k +++=定义：给定向量组，12:,,,αααm A 如果存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 使得则称向量组是线性相关的.A 则称向量组是线性无关的.A 仅当时式才成立，120m k k k ====()*例：向量组，1231111, 5, 1281ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭123320,ααα--=线性相关.123,,αααn 维单位坐标向量121000100,0,,0001e e e ，n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122e e e n nk k k +++12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关.12,,,e e e n 10,n k k ⇔===例：考虑只有一个向量的向量组，α如果，0α=则对任意常数都有,0k ≠0α=k 所以当时是线性相关的；0α=如果，0α≠所以当时是线性无关的.0α≠则仅当常数时才有,0k =0α=k则.2121αα=-λλ存在不全为零的实数，12,λλ不防设，10≠λ维向量组线性相关，12,αα例：n 11220.αα+=λλ使得线性相关的分量对应成比例.12,αα12,αα⇔例：向量组12301240,5,4,509710ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.含零向量的向量组必线性相关.0，k ≠对任意1230000.0αααk ⋅+⋅+⋅+⋅=均有向量组线性相关性的判别如何判断它的线性相关性？1212(,,,)m m k k k ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭0A .β=0A 给定向量组，12:,,,αααm A 考虑等式，1122m m k k k ααα+++=0β元线性方程组有非零解m=0Ax12(,,,)mααα=，A()T12,,,mx x x=x().R m<A定理：向量组线性相关12:,,,αααmA().R m=A向量组线性无关12:,,,αααmA元线性方程组只有零解m=0Ax解123102102(,,)124~022157000rααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例：已知，1231021,2,4157ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭试讨论线性相关，12(,)2R αα=，向量组及向量组的线性相关性.123,,ααα12,αα向量组123,,ααα向量组线性无关.12,αα123(,,)2R ααα=，223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证一131122233x x x x x x ()()()0a a a +++++=112223331x x x ()()()a a a a a a ⇒++++例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，112233x x x 0，b b b ++=设131223000x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩10111020011=≠线性无关，123,,a a a 所以向量组线性无关.123,,b b b223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证二例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，线性无关，123,,a a a 所以向量组线性无关.123,,b b b 把已知的三个向量等式写成矩阵等式123123*********(,,)(,,)b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=.B AK 记作设,=Bx 0()=AK x ⇒0,=Kx ⇒0,20,K =≠=x ⇒0,223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证三例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，线性无关，123,,a a a所以向量组线性无关.123,,b b b 把已知的三个向量等式写成矩阵等式123123*********(,,)(,,)b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=.B AK 记作()R =3.A ⇒20K =≠又由知可逆，K 从而()()R R ==3.B A向量组线性相关性的有关结论111111.j j m j j j m j j j jk k k k k k k k ααααα-+-+=-----其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由12m 证明1122m m k k k ααα+++=0.（必要性）设线性相关，()122m m ααα,,,≥则存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 使得0j k ≠不防设，其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由12m 证明（充分性）设()122m m ααα,,,≥线性相关.111111j j j j j m m k k k k ααααα--++=++++，111111j j j j j m m k k k k ααααα--++++-++=0，111,,,1,,,j j m k k k k -+-不全为零，其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中任何一个向量都不能由12m 证明（必要性）设线性无关，()122m m ααα,,,≥若存在一个向量可由其余个向量线性表示,1m -()122m m ααα,,,≥则必线性相关，与已知矛盾.任何一个向量都不能由其余个向量线性表示.1m -其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中任何一个向量都不能由定理：向量组线性无关()12:2m A m ααα,,,≥证明（充分性）假设线性相关，()122m m ααα,,,≥必存在一个向量可由其余个向量线性表示,1m -与已知矛盾.所以线性无关.()122m m ααα,,,≥证明定理：向量组线性相关,()12:2m A m ααα,,,≥则向量组也线性相关.12+1:m m B αααα,,,,向量组线性无关，则向量组也线性无关.A B 反之，因为向量组线性相关,12:m A ααα,,,所以存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 1122m m k k k ααα+++=0.使得112210m m m k k k αααα+++++⋅=0.于是所以向量组也线性相关.12+1:m m B αααα,,,,结论：则该向量组线性相关. 一个向量组若有线性相关的部分组，一个向量组若线性无关，一般地，向量组线性相关,()12:2m A m ααα,,,≥则向量组也线性相关.12+1:m m s B ααααα,,,,,,则它的任何部分组也线性无关.定线性相关. 12(,,,)m ααα=，A 证明例如，向量组线性相关.123202110ααα,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定理：个维向量组成的向量组，当m 时一n n m <特别地，个维向量必线性相关.n 1n +n m ⨯个维向量构成矩阵m n 12m ααα,,,设R n <m ().A ≤n m <当时，有个维向量线性相关.m n 12m ααα,,,证明定理：向量组线性无关,()12:2m A m ααα,,,≥而向量组线性相关，12:m B αααβ,,,,必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的.A β则向量记()12=m ααα,,,，A ()12=m αααβ,,,,,B 由于R R ()()，A B ≤有惟一解，从而结论成立.因此方程组βAx =而1R m R m ()()，，A B =<+所以1m R m ()，B ≤<+即.R m ()B =问题转化为讨论方程组是否有惟一解.βAx =证明:证明(2)用反证法. 矛盾.例设向量组线性相关，线性无关，123,,a a a 234,,a a a (1)能由线性表示；1a 23,a a (2)不能由线性表示.123,,a a a 4a 因线性无关，知线性无关，(1)234,,a a a 23,a a 再由线性相关，知能由表示.123,,a a a 1a 23,a a 假设能由线性表示，4a 123,,a a a (1)知能由线性表示；1a 23,a a 又由于是能由线性4a 23,a a 表示，。
3.3 向量组的线性相关性
~ ~ (a1, a2, a3) 111
0 2 5
742
r
100
0 2 5
522
r
100
0 2 0
022
可见r(a1 a2 a3)2< 3 r(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关.
n个 n维向量a1 a2 an线性相关｜a1 a2 an｜＝０； n个 n维向量a1 a2 an线性无关｜a1 a2 an｜≠０.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
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向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m. n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的.
例3.2 已知
a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性.
不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)
即a1能由a2 am线性表示.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
证 充分性
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例3.3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3
b3a3a1 试讨论向量组b1 b2 b3线性相关性.
证
由于此方程组的系数行
设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30
第二节 向量组的线性相关性
a1,a2线性相关 向量a1,a2共线(平行) a1 ka2
3) A含三个向量时:
a1,a2,a3线性相关 向量a1,a2,a3共面.
2.等价定义
向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性相关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示． 证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示. 即有
由R( A) R( B ) m , 知方程组 ( 1 , 2 ,, m ) x b有唯一解，即向量 能由向量 b 组A线性表示，且表示式唯 . 一
例 设 向 量 组 1 , a 2 , a 3线 性 相 关 ， 向 量 组 , a 3 , a 4 a a2 线性无关，证明 : (1) a1能 由a 2 , a 3线 性 表 示 ； ( 2 ) a 4不 能 由 1 , a 2 , a 3 线 性 表 示 a .
am）
am 1 1 2 2 m1 m1
故
1 1 2 2 m1 m1 1am 0
因 1 , 2 , , m 1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关、线性无关
1.定义4 给定向量组 A : 1 , 2 ,, m , 如果存在不
全为零的数 k1 , k 2 ,, k m 使 k1 1 k 2 2 k m m 0
则称向量组A是么意思?
向量组线性相关性
向量组线性相关性
向量组线性相关性是指向量组之间的关系，它可以用来度量两个
或多个随机向量之间的相似程度。
它是将某种矩阵投射到更高维空间
中进行分析所必需的一种工具。
对于定量分析，它是一种快速而有效
的方法，可以帮助研究人员快速识别观察值之间的特征，如：相关性、回归和分类等。
此外，线性相关性也与潜在因素有关。
线性相关性可用于发现隐
藏的潜在变量，同时，当没有显式的潜在变量可以使用时，它也可以
用作预测。
例如，如果一个研究者想要预测一组观察值的趋势或变化，他/她可以使用线性相关性来找出隐藏的关系，从而建立一个有效的模
型来描述观察值之间的关系。
由于它可以用于识别数据之间的关系，因此，线性相关性在机器
学习任务中也是一种有用的工具，它可以帮助研究人员构建有效的模型，并用于预测新的数据。
例如，在机器学习领域中，线性回归就是
一种线性相关性模型，可以用于分析和预测数据集中观察值之间的关系。
因此，线性相关性是一个非常有用的工具，可用于大量因素和研
究设计中，从而帮助研究人员发现观察值之间的关系，有助于他们建
立有效的模型，并可以用于预测分析和推断。
向量组的线性相关性
3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 定义3.2.1 设α1 , α2 , … , αm, β都是
数域p上的n维向量，如果存在数域p上的
数k1,k2, …,km，使得
个不全为零的数k1,k2, …,km，使得
k11 k2 2 km m 0
则称向量组α1,α2, …,αm是线性相关的. 如果向量组α1,α2, …,αm不是线性相关的,就 称为线性无关的.
由定义可知，当一个向量组中含有零 向量时，它一定是线性相关的. 当它全为 非零向量时，可能线性相关也可能线性无 关. 一个线性无关的向量组的特点是，它 只有系数全为零的线性组合才是零向量, 除此之外, 它不再有别的线性组合是零
k m1 m1
m1
rm (ki )ri i 1
1
.
2
B
m 1
0
于是有R(A)= R(A)≤m-1，即R(A)<m。
充分性，设R(A)<r=m，由定理2.5.4推
论2，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,
使得
PAQ
Er O
O O
，
即
PA
Er O
O O
Q
1。
令
p11
P
不全为零的数 k1,k2 ,k3, k4使(3.2.2)成立， 故向量组α1,α2,α3 α4线性相关
例3.2.4设向量组α1，α2，α3，α4的线 性无关，证明：
(1)设向量组α1- α3，2α1-α2，2α3-α2线 性相关；
(2)设向量组α1- α2，α2-α3，α3+α1线性 无关。
3.3 向量组的线性相关性
法２ a1 , a2 , a3 1 2 1 4 0 行列式法 0 1 2
a1 , a2 , a3线性无关
2 1 0
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结束
§3.3
向量组的线性相关性
例4 标准单位向量组 : T T T e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1
秩法
cor n维n个向量组 a1 ,, an线性相关 a1 , ,, an 0
行列式法
线性无关 a1 , ,, an 0
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结束
§3.3
向量组的线性相关性
2 1 0 例3 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 2 1 0 1 2 1 秩法 解：法１ A (a1 , a2 , a3 ) 1 2 1 ~ 2 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 ~ 0 3 2 ~ 0 1 2 阶梯形矩阵 2 0 0 4 0 1
1 1 2 , 2 2 3 , , n n 1 ,
证明:当 n为奇数时,向量组1 , 2 , , n 线性无关； 当 n为偶数时，向量组 1 , 2 , , n 线性相关. 证：设一组数 k1 , k2 ,kn使k11 k2 2 kn n 0 即k （ （ （ 1 a1 a2 ) k 2 a2 a3 ) k n an a1 ) 0 亦即 （ k1 kn )a1 ( k1 k2 )a2 ( k2 k3 )a3 ( kn1 kn )an 0, a1，a2， , an线性无关，有
3.3 向量组的线性相关性
因此得到惟一解 k1 0, k2 0, k3 0,
故向量组 1, 2 , 3 线性无关。
注 向量组 1, 2 , 3 线性无关，表明这三个向量不是“共面”
或“共线”的。
9
§3.3 向量组的线性相关性
第 三
例
1
2
3
1
已知向量 1 1 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ,
n
维 解 方法一 令 k11 k22 k33 k44 0 ,
向 量 空 间
(k1
,
k2, k3
记为 K
,
k4
)
1 2 3 4
0
,
K A 0,
记为 A
由 | A| 16 0 , 有 A 可逆， K 0 ,
故向量组 1, 2 , 3 4 线性无关。
12
§3.3 向量组的线性相关性
思考 单个向量的线性相关性与线性无关性如何？
6
§3.3 向量组的线性相关性
第 例 下列向量组是否线性相关？ 三 章
n
维
向
量 空
答
(1) 相关，因为 31 42 (1)3 0;
间
(2) 相关，因为 01 02 13 0;
(3) 相关，因为 01 02 23 (1)4 0 .
7
§3.3 向量组的线性相关性
维
其中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。
向
量 空
证明 充分性 设 al 可由其余向量线性表示，即
间
al 11 l1l1 l1l1 mm ,
令 l 1, 则有
11 22 ll mam 0 ,
其中 1, 2 , , m 不全为 0.
向量组的线性相关性
3 1
,
4线1性,表21示 ？
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
x1 a11 a12 L a1mx1
x1a1x2a2Lxm ama1,a2,L,amx M 2aM 21 aM 22 L
a2mx2 M M
xm an1 an2 L anmxm
l l l b 1 a 12 a 2 L m a m
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12 L c1n a11 a12 L a1l b11 b12 L b1n
c21 c22 L MM
cM 2naM 21 aM 22 L
a2l b21 b22 L M MM
b2n M
cm1 cm2 L cmn am1 am2 L amlbl1 bl2 L bln
1 1 1 1 1 0 3 2
(A,b)1 2 1 0~r 0 1 2 1 2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0
0
行最简形矩阵对应的方程组为
x1
3x3 2 x2 2x3 1
3 2 3c2
通解为
x c
2 1
2c1
1 0 c
所以 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
2. 增广矩阵的形式
3xx11
4x2 x3 x2 2x3
5 1
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
x1 x2 x3
5 1
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性1.1向量组的线性相关性的概念与判定1.1.1向量组的线性相关性概念定义1： 给定向量组12(,,)m A ααα=⋅⋅⋅,如果存在不全为零的数 12,,,m k k k ⋅⋅⋅,使11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=则称向量组A 是线性相关的, 否则称它是线性无关的.定义2：若向量组A 中每一个向量(1,2,,)i i t α= 都可由向量组{}1,,s B ββ= 线性表示，则称A 可由B 线性表示。
若两个向量组可互相线性表示，则称这两个向量组等价.性质：向量组的等价具有1）反射性；2）对称性；3）传递性.定义3： 向量组{}s αα,,1 称为线性无关，若它不线性相关，或：由11220s s k k k ααα+++= ，则必021====s k k k 。
即：11220s s x x x ααα+++= 只有唯一零解.定义6：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话）.所得的部分向量组都线性相关.定义7：一个向量组的极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组的秩数.性质：1.向量组{}r αα,,1 线性无关⇔{}r αα,,1 秩r =. 向量组{}r αα,,1 线性相关⇔{}r αα,,1 秩r <. 2.等价向量组的秩数相同.n P 中向量组的极大线性无关组的求法. 注意1: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的. 注意2: 若12,,m ααα⋅⋅⋅线性无关, 则只有当120m λλλ==== 时, 才有11220m m λαλαλα++⋅⋅⋅+=成立.注意3: 向量组只包含一个向量α 时,若0α=则说α线性相关; 若0α≠, 则说α 线性无关.注意4: 包含零向量的任何向量组是线性相关的.注意5: 对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例, 几何意义是两向量共线; 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.1.1.2线性相关性的判定向量组12,,m ααα⋅⋅⋅ (当m 2≥时)线性相关的充分必要条件是12,,m ααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其余1m -个向量线性表示.证明: 充分性. 设12,,m ααα⋅⋅⋅中有一个向量(比如m α)能由其余向量线性表示,即有112211m m m αλαλαλα--=++⋅⋅⋅+也就是112211(1)0m m m λαλαλαα--++⋅⋅⋅++-=因121,,,m λλλ-⋅⋅⋅,(-1)这m 个数不全为0,故12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关.必要性. 设12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关. 则有不全为0的数12,,,m k k k ⋅⋅⋅,使11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=不妨设10k ≠, 则有32123111()()().m m k k k k k k αααα=-+-++- 即1α能由其余向量线性表示. 证毕1.2 向量组线性相关性的性质和应用1.2.1向量组线性相关性的性质：1.含零向量的向量组必线性相关，即{}s ααθ,,,1 线性相关.θααθ=⋅++⋅+⋅s 00112.一个向量组若有部分向量线性相关，则此向量组线性相关。
向量组的线性相关性
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
而 1 ,, m , 线性 定理7 设 1 , 2 ,, m 线性无关, 相关, 则 能由1 ,, m 线性表示, 且表示式是唯一的 .
k1 k3 0 k1 2k 2 3k3 0 k 5k 6k 0 2 3 1
显然k1=k2=1，k3=-1，满足上式。所以存在不全为零 的数1，1，-1使 k11 k2 2 k33 0 所以 1， 2，3
线性相关。
方法二：由克莱姆法则，此方程组的系数行列式
1 0 1 1 0 1 1 0 1 R(A)=2<3,所以 A 1 1 0 0 1 1 0 1 1 方程组有非零解。 0 1 1 0 1 1 0 0 0
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k2 2 km m 0.
因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0, 则有
1 c D 1 1
1
1
1 c 1 1 1 c
r2 r1 r3 (1 c ) r1
1 c c 2 c
1
1
c 0 c 2 (3 c ) c 0
由克莱姆法则
(1)当D 0即c 0且c -3时 ， 方 程 组 只 有 零 解 ， 向 量 组 线 性 无 关 ； ( 2)当D 0即c 0或c -3时 ， 方 程 组 有 非 零 解 ， 向 量 组 线 性 相 关 。
向量组的线性相关性
向量组线性无关性的判定定理 m维向量组 A： , , , 线性无关 1 2 n 如果 k11 k22 knn （零向量），则必有 k1 = k2 = … = kn =0 ． n 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = 1 2 n 的秩等于向量的个数 n ． 即：r(A)=n
, ,
k1( ) k2( ) k3( ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) (k1 k3 )
因为向量组 , , 线性无关，所以
k1 k3 0 k1 k2 0 k2 k3 0
，如果存
11 2 2 nn
则称向量 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 能由向量
组A 线性表示．
P.110 定理4.1 的结论： 向量 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = 有解
r ( A) r ( A, )
由于零向量可由向量组A线性表示：0 01 02 0n n元齐次线性方程组 Ax =0 有非零解
已知向量组A:
k1 0 kl 1 k n 0
含有零向量的向量组线性相关
4、n维基本单位向量组 1, 2 n
1 0 1 0
0 1 2 0
0 0 n 1
所以向量组 1, l ,l 1 ,n 也线性相关
部分相关 整体相关， 整体无关 部分无关
例4 、
分析：
性质3、已知向量组 1,2 , ,n ，若其中至少有一个向量能表示成其余向量 的线性组合，不妨假设
1 k202 kn 0n
则其次线性方程组
向量组的线性相关性.
向量组的线性相关性线性相关性是线性运算下的一种性质，其理论对于方程组的解的存在性及解的结构有重要作用.1. 问题的提出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0403202z y x z y x z y x 用向量的形式表示出来⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000111132421z y x ， 不难看出，其中第3个方程是多余的，我们从向量的角度来讨论这个问题。
此方程组对应着三个向量T )4,2,1(1=α，,)1,3,2(2T-=αT )1,1,1(3--=α，所谓的第三个方程是多余方程反映到他们对应的向量上就是12337ααα=--，即1α可由2α和3α线性运算得到，此时称1α是32,αα的线性组合.定义1. 设有n 维向量组m ααα,...,,21，如果存在不全为零的数,,...,,21m k k k 使 02211=+++m m k k k ααα则称此向量组m ααα,...,,21线性相关的，否则称为线性无关。
注意：若向量组中含有零向量，则向量组一定是线性相关的。
定理1向量组线性相关⇔其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。
定理2 若r ααα,...,,21线性相关，则m r r ααααα,...,,,...,,121+也线性相关。
证：因r ααα,...,,21线性相关，所以存在不全为零的数r k k k ,...,,21使02211=+++r r k k k ααα ，从而存在不全为零的m 个数0,...,0,,...,,21r k k k 使 00012211=++++++m r r r k k k ααααα ，因此m r r ααααα,...,,,...,,121+线性相关。
由于一个零向量是线性相关的，所以任何含有零向量的向量组都线性相关。
推论 若r ααα,...,,21线性无关，则由其中的部分向量构成的向量组线性无关。
定理3 设),...,,(21ir i i i a a a =α，),,...,,(121+=ir ir i i i a a a a β),...,2,1(m i =若r 维向量组m ααα,...,,21线性无关，则1+r 维向量组m ββ,...,1线性无关。