机械动力学第三章——多自由度振动-无阻尼振动

r [A](r)
s [A](s)
对于ωr ： r 2 [m ][A ](r) [k ][A ](r) 0
左乘 [ A ]( s )T
[k][A ](r)r 2 [m ][A ](r)
[ A ] ( s ) T [ k ] [ A ] ( r ) r 2 [ A ] ( s ) T [ m ] [ A ] ( r ) 转置
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) r 2 [ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s )
对于ωs： s 2 [m ][A ](s) [k ][A ](s) 0
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) s 2 [ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s )
左乘
[k][A ](s)s 2 [m ][A ](s)
[ A](r)T
将蓝色下划线两式相减： (r 2 s 2 ) [A ] (r ) T [ m ] [A ] (s ) 0
12
无阻尼自由振动
(r 2 s 2 ) [A ] (r ) T [ m ] [A ] (s ) 0
若 r s 时， r s 则得到：
多自由度系统振动
姓 名: 何江波 学 院: 机械工程学院 邮 箱：445875183@qq.com
2020/6/10
教学内容
▪ 拉格朗日方程 ▪ 多自由系统的无阻尼自由振动
2
无阻尼自由振动
k5
F2(t) k6
k1
F1(t)k2 m2 k3
F3(t)k4
m1
m3
[m ][& x & ] [k ][x ] [F ]
10
无阻尼自由振动
1
1 k/m, 21.732 k/m, 32 k/m
[ A ](1)
2
1
模态图形：
1
1
[ A (2)]
0
[ A (3) ]
1
1
1
第一阶模态：
2
1
1
无节点
第二阶模态： 第三阶模态：
1 1
1
1
-
1
一个节点 两个节点
11
无阻尼自由振动
假设有两个频率 ωr 和 ωs ，他们分别对应了一个模态向量
0 0 m 0 k 3k
7
4.3 无阻尼自由振动，特征值问题
m 0 0 3k k 0 [m]0 m 0,[k]k 2k k
0 0 m 0 k 3k
特征方程：
(2)[k]2[m]0
3km2 k
0
k 2km2 k 0
0
k 3km2
解得： 1 k /m , 2 1 .7k 3 /m ,23 2 k /m
[ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s ) 0 ( r , s 1 , 2 . . . , n ; r s )
代回转置式，得到：
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) 0 ( r , s 1 , 2 . . . , n ; r s )
[A ](1 ),[A ](2 ),K ,[A ](n )
这样，我们得到了n个特征对
i,[A ] ( i);i 1 ,i 2 ,K ,n
每一个特征对叫做一个模态( mode)，ωi 称为第i阶模态频率(或固 有频率), [A](i) 称为模态振型( modal shape)。
5
无阻尼自由振动
例: 求图示系统的自然频率。
上面两式表明模态向量关于质量矩阵和刚度矩阵正交
13
无阻尼自由振动
每个模态对应一个特解：
r ,[ A ] ( r ) [ x ] ( r ) [ A ] ( r ) s i n (r t r )
那么通解可以表示为：
[ x ] c 1 [ x ] ( 1 ) c 2 [ x ] ( 2 ) c n [ x ] ( n )
(1)
[m]为n*n维质量矩阵， [k] 为n*n维刚度矩阵，其中 [x] 为 n 维列向量。 设方程的解为
[x] [A ]sin(t )
(2)
[A]为n维列向量。将式(2)带入式(1)，得:
( [ k ] 2 [ m ] ) [ A ] 0 |[ k ] 2 [ m ] | 0
(3)
方程（3）为方程（2）的特征（本征）方程，因此线性系统自由振 动的求解转化为相应特征值问题的求解。
9
无阻尼自由振动
(3km2)A1kA2 0 kA2 (3km2)A3 0
取A3=1, 并且将三个特征频率分别带入，便可以得到与之对应的 三个模态向量：
1
[ A ](1)
2
1
1
[ A (2)]
Fra Baidu bibliotek
0
1
1
[A
(3) ]
1
1
第二阶模态有 1 个节点，第三阶模态有 2 个节点，这由主振型内元素 符号变号的次数可以判断出
4
无阻尼自由振动
通常情况下，[m] 和 [k] 为正定矩阵。根据线性代数理论，将保证 以上所有特征值大于或等于零。并且一般情况下，特征值彼此不相等， 即所有特征值都是单根，那么对于每一个特征值都对应一个特征向量。 将所有特征值开方，并按大小顺序依次排列，可以得到：
12Kn
ω1, ω1 , … , ωn代表了自由振动的固有频率。由此有结论，n自由度 系统有 n 个固有频率。进一步，每个特征值（每个固有频率）对应于一 个特征向量，因此有n个特征向量：
8
无阻尼自由振动
设方程的解为
A1
[x][A]sin(t),A]A2
A3
将其带入振动方程中，可以得到：
附加条件(特征方程)：
3km2 k
0 A1 0
k
2km2
k A20
0
k 3km2A3 0
3km2
k 0
k
2km2
k
0 k 0
3km2
根据附加条件(特征方程)，可以得到：
(3km2)A1kA2 0 kA2 (3km2)A3 0
x1
2k
k
m
x2
x3
k
2k
m
求：固有频率和模态向量。
6
无阻尼自由振动
x1
2k
k
m
x2
x3
k
2k
m
解：利用拉格让日方程求出动力学方程：
m 0 0 x 1 3k k 0x1 0 0 m 0 x 2k 2k kx20 0 0 m x 3 0 k 3kx3 0
m 0 0 3k k 0 [m]0 m 0,[k]k 2k k
其中，[m]，[k]分别为质量矩阵，刚度矩阵。 [k]和[F]为位移向量 和力向量。如果考虑阻尼，则还会存在阻尼矩阵[c]，则动力学方程为：
[ m ] [ & x & ] [ c ] [ x & ] [ k ] [ x ] [ F ]
3
无阻尼自由振动
设系统为n自由度系统，振动方程为：
[m ]& x& [k]x[0]