机械动力学第三章——多自由度振动-无阻尼振动
机械动力学第三章——多自由度振动-无阻尼振动
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) r 2 [ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s )
对于ωs： s 2 [m ][A ](s) [k ][A ](s) 0
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) s 2 [ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s )
10
无阻尼自由振动
1
1 k/m, 21.732 k/m, 32 k/m
[ A ](1)
2
1 ห้องสมุดไป่ตู้
模态图形：
1
1
[ A (2)]
0
[ A (3) ]
1
1
1
第一阶模态：
2
1
1
无节点
第二阶模态： 第三阶模态：
1 1
1
1
-
1
一个节点 两个节点
11
无阻尼自由振动
假设有两个频率 ωr 和 ωs ，他们分别对应了一个模态向量
c 1 [ A ] ( 1 ) s i n (1 t 1 ) c 2 [ A ] ( 2 ) s i n (2 t 2 ) c n [ A ] ( n ) s i n (n t n ) 其中，未知数包含2n个：
c 1 ,c 2 ,,c n ;1 ,2 ,,n
其中，未知数由2n个初始条件决定：
(1)
[m]为n*n维质量矩阵， [k] 为n*n维刚度矩阵，其中 [x] 为 n 维列向量。 设方程的解为
[x] [A ]sin(t )
(2)
[A]为n维列向量。将式(2)带入式(1)，得:
( [ k ] 2 [ m ] ) [ A ] 0 |[ k ] 2 [ m ] | 0
第3章 多自由度机械振动系统 作业答案
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
机械振动学(第三章)-多自由度振动系统
装备制造学院
College of Equipment Manufacture
利用直接法，对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。
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解：1）受力分析 选取 m1， m2和m3离开平衡位置的坐标x1， x2和 x3 为3 个独立 坐标。受力分析如图所示 2）建立振动微分方程 (c c ) x c x ( k k ) x k x p (t ) x m1： m 2 2 2 2 2 ( c 2 c 3 ) x 2 c2 x 1 c 3 x 3 ( k 2 k 3 ) x 2 k 2 x1 k 3 x 3 p 2 ( t ) x m2: m 2 2 2 2 3 c 3 x 3 c3 x 2 k 3 x3 k 3 x 2 p 3 (t ) x m3: m 3
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本章结束
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3 ）如果将应为能量耗散函数 D 引起的阻尼力也从其他的非势 力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力， 则可将非保守系统的拉格朗日方程改为：
d dt ( T i q ) T i q U qi D i q Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
车 身 车 轮 二 自 由 度 振 动 问 题
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第三章(多自由度系统的振动)
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
( K 2 M ) 0
1 1 1 2 1 1
有非零
det( K 2 M ) 0
1
k (1 2 )k , 2 m m
多自由度系统的固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
固有振动：
k (1 2 ) k 1 1 u1 (t ) sin t 2 m t 1 , u2 (t ) 1 sin m 1
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的?
( K r2 M ) r 0
结论: 当 r 不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见 <<振动力学>>刘延柱第74页).
多自由度系统的固有振动
【例】设图中二自由度系统的物理参为 m1 m2 m, k 1 k 3 k , k 2 k , 0 1 ,确定系统的固有振动.
机械动力学第3章两自由度系统
b.微分方程
m1&&1 + (k1 + kc ) x1 − kc x2 = F1 (t ) x （3.1-1） ） m2 &&2 + (k 2 + kc ) x2 − kc x1 = F2 (t ) x
5
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
m1 0
0 &&1 k1 + kc x && + −k m2 x2 c
（3.1-12） ）
讨论（ 讨论（3.1-11）的解，假定 ）的解，
f (t ) = Be
st
代入（ 代入（3.1-11）得 ）
10
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
QQ1094860954
s +λ =0
2
（3.1-13） ）
− −λt
（3.1-11）的通解 ）
f (t ) = B1e
（3.1-22） ）
17
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
叫做特征向量, 叫做特征向量 振型向量或模态向量 r 1 r 2 叫做振型比 固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基 或简称模态参数),它们表明了系统自由振动 本参数(或简称模态参数 本参数 或简称模态参数 它们表明了系统自由振动 的特性。 的特性。 两自由度系数有两个固有模态,即 两自由度系数有两个固有模态 即系统的固有 模态等于系统的自由度数。 模态等于系统的自由度数。 对于给定的系统, 对于给定的系统 特征向量或振型向量的相对比值 是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物 是确定的唯一的 和固有频率一样取决于系统的物 理参数,是系统固有的 而振幅则不同。 是系统固有的,而振幅则不同 理参数 是系统固有的 而振幅则不同。
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
机械振动--第03课 单自由度系统：阻尼自由振动
c 2 k 2m m
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k /n
c cc
式 (2.3-1)可 以 写 成
mxcxkx0 x(0)x0, x(0)x0
x
2
n
x
2 n
x
0
(2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分 析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体 或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的 热量等能量耗散的度量。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
。2粘
性
阻
尼
系
c
统的
自由2
振动k，
其
2m m
振 动 。实 际 阻 尼 小 于 临 界 阻 尼 的
位 系
统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
（ 2） 1 ， 临 界 阻 尼 （ critical damped）
这
时
，
系统
的c阻尼
系数c等于2
系
k
统
的
临
界
阻
c
尼
系2数，k这
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2 4
p
4L
d D
2
v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
第三章-多自由度系统振动6.19
第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
多自由度系统振动理论及应用
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析
机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析引言机械振动学是研究物体在受到外力作用时产生的振动现象以及振动特性的一门学科。
振动系统在受到外部激励时会产生瞬态响应，瞬态响应是指系统在初始时刻受到外部干扰后，振动幅值和相位都发生变化的过程。
了解振动系统的瞬态响应对于分析系统的动态特性和设计控制策略至关重要。
一、单自由度系统的瞬态响应分析单自由度系统是机械振动学中最基本的振动系统之一，通常由质点和弹簧-阻尼器构成。
在受到外部激励时，单自由度系统的瞬态响应可以通过拉普拉斯变换等方法进行分析。
振动系统的瞬态响应主要包括自由振动和受迫振动两种情况，其中自由振动是指在没有外部激励的情况下系统的振动响应，而受迫振动是指在受到外部激励时系统的振动响应。
二、多自由度系统的瞬态响应分析多自由度系统是由多个质点和弹簧-阻尼器构成的振动系统，具有更加复杂的动力学特性。
在受到外部激励时，多自由度系统的瞬态响应需要通过矩阵计算等方法进行分析。
多自由度系统的振动模态是研究系统振动特性的重要方法，通过振动模态分析可以得到系统的固有频率和振动模型。
三、瞬态响应分析在工程应用中的意义瞬态响应分析在工程实践中具有重要的应用意义，可以帮助工程师了解系统在受到外部干扰时的振动特性，并设计合适的控制策略。
工程领域中的许多振动问题都需要进行瞬态响应分析，例如建筑结构的地震响应、风力作用下桥梁的振动响应等。
结论机械振动学是一门研究物体振动现象和振动特性的重要学科，瞬态响应分析是分析振动系统动态特性的关键方法。
通过对振动系统的瞬态响应进行深入研究，可以更好地理解系统的振动机制，为工程实践提供重要参考依据。
我们需要不断深化对振动系统的瞬态响应分析，推动机械振动学领域的进步与发展。
第3章 自由振动系统
机械振动基础第3章线性离散系统的自由振动2011年5月25日12时27分第2章单自由度系统的振动2011年5月25日12时27分第2章单自由度系统的振动3.1 单自由度系统3.2 二自由度系统3.3 多自由度系统机械振动基础第3章线性离散系统的自由振动3.1.1单自由度系统的运动方程图单自由度模型运动微分方程()()()()mxt cx t kx t F t ++=&&&上式是一个二阶常系数常微分方程。
常数m，c ，k 是描述系统的系统参数。
方程的求解在振动理论中是十分重要的。
第3章线性离散系统的自由振动第3章线性离散系统的自由振动3.1 单自由度系统第3章线性离散系统的自由振动第3章线性离散系统的自由振动1、粘性阻尼第3章线性离散系统的自由振动2、材料阻尼又称为结构阻尼。
在振动过程中物体结构材料本身的内摩擦而引起的阻力。
在粘弹性材料内，应变滞后于应力，在反复受力过程中形成滞后回线，因此要耗散能量，而成为振动的阻尼。
事实上材料阻尼是存在的，但我们在以后的讨论中忽略它。
3、干摩擦阻尼这就是通常说的摩擦力，出现在干摩擦之间。
按库仑摩擦定律：R＝μN 其中μ——摩擦系数，由接触面的材料和粗糙程度决定。
第3章线性离散系统的自由振动第3章线性离散系统的自由振动2()2()()0n n x t xt x t ζωω++=&&&()stx t Ae =2220n ns s ζωω++=3.1.3 有阻尼自由振动当系统存在阻尼时，自由振动方程为如下形式的齐次方程:其中，称为粘性阻尼比。
设上式的解有如下形式:n m c ωζ2/=代入齐次方程可得代数方程有阻尼自由振动方程3.1 单自由度系统3.1 单自由度系统第3章线性离散系统的自由振动2.1 单自由度系统的自由振动第3章线性离散系统的自由振动第3章线性离散系统的自由振动ζζ第3章线性离散系统的自由振动第3章线性离散系统的自由振动第3章线性离散系统的自由振动方程的解可简化成)cos()(φωζω−=−t Ae t x d t n 可见上式表示的运动为振动，频率为常值，相角为，而幅值为，以指数形式衰减。
0727第三章 两自由度系统振动(讲)
第三章两自由度系统振动§3-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。
只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。
此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。
这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。
取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。
这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。
(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]§3-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程（①汽车动力学模型）②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
多自由度系统的振动、响应和求解
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列 参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留 到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为
机械振动运动学3两自由度系统振动2
图3.7系统的主振型
根据给定的初始条件，可得：
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos
k m k m
t 0.8cos1.581
k m k m
t
x 2 0.4cos
3.2.4 振动特性的讨论 （1）运动规律
t 0.4cos1.581
t
两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。机 械系统的自由振动一般是一种非周期的复杂运动。 （2）频率和振型 两自由度系统有两个不同数值被称为主频率的固有频率 。任 何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即具有确定的振动形态 这就是主振型。
为第一主振型，即对应于频率
的振幅比；
为第二主振型，即对应于频率
振幅
的振幅比。
与 之间有两个确定的比值。并称为振幅比。
振幅比称为机械振动系统的主振型，也可称为固有振型。 第一主振动为：
第二主振动为：
表示 A 1 1和A2 1的符号相同。 则表示第二主振动中两个质点的位相反。
【例3-3】均质细杆质量为 m,长为 l，由两个刚度系数皆为 k 的 弹簧对称支承，如图3-5所示。试求此振动系统的固有频率和固 有振型。
由振动的四个初始条件来决定。
假设初始条件为：t=0时，
。经过整理，
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：
（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵； （2）求出主坐标下的响应； （3）利用反变换式得出原广义坐标下的响应； （4）利用初始条件确定常系数。
磨床磨头系统就可以简化为图3.1
（d）所示的支承在进刀拖板上的两 自由度系统。 两自由度系统振动
图3.1 两自由度振动系统及其动力学模型
第三章 多自由度系统振动
U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 通常将静平衡位置作为势能零点， 位置为坐标原点。 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动， 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。 对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数， 个方程， 未知数， 最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。 表示，其余都与其成一定比例。 与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结 构 动 力 学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ， 令
2.2无阻尼的自由振动和振型 振动力学课件
2 M A K A 0 （广义本征值问题）
A 有非零解的充要条件是 K 2 M 0
（系数行列式等于零）
k11 2m11 即 k21 2m21
...
kn1 2mn1
k12 2m12 k22 2m22
...
kn2 2mn2
... k1n 2m1n
利用 Kronecker 符号：
φ(i)T Mφ( j) ij mpi
φ(i
)T
Kφ( j)
ij k pi
ij
1 0
i j i j
第i 阶固有频率：
i
k pi m pi
φ(i)T Kφ( j) i2φ(i)T Mφ( j)
(i 1n)
五、正则模态（简正模态）φN(i)
定义：全部主质量皆为1的主模态 mpi φN(i)T MφN(i) 1
M ,K
12((11))
(2) 1
(2) 2
... ...
... ...
1(
( 2
n) n)
... ... ... ... ...
n(1)1
(2) n1
...
...
(n) n1
1 1 ... ... 1
系统的模态矩阵或模态是各本（特）征值（固有频率） 所对应的本征向量（固有振型）组成的。
结论：系统的固有频率和模态完全由系统的物理参数
M确, 定K ，是系统的固有特性。
例题2-1：
汽车振动简化模型如图，已知汽车质量为m，对质心转
动惯量为J，刚度系数分别为
点的距离
OC a
，k1, 长k2 度尺寸
，重l1,心l2 到O
机械振动理论：无阻尼二自由度的自由振动
[据一元二次方程求根公式： b b2 4ac ]
2a
2）求频率
[可证：(k11k22 k122 ) 大于零， ]
2 n12
(k11m22
k 22 m11 )
k11m22 k22m11 2 4m11m22 (k11k22 k122 ) 2m11m22
k11m22 k22m11 k11m22 k22m11 2 4m11m22k122
11
重要基本概念：
一般情况下： （1）系统的自由振动是两种不同频率主振动的叠加， 其合成结果不一定是简谐振动， 若两频率可通约[成倍数关系]，运动才是周期的。
（2）[在特殊情况下]，若初始条件给的合适， 系统可按某一固有频率和相应主振型作主振动。
（3）强迫振动中发生共振现象时， 振型恰是对应该频率的主振型。
机械振动理论基础
1
4.4 无阻尼二自由度的自由振动
4.4.1 固有频率、主振型。 任意两自由度系统，其无阻尼振动的微分方程组， 写成矩阵形式为:
m11 0 0 m22
x1 x2
k11 k21
k12 k22
x1 x2
0 0
( A)
给出初始条件,系统将做自由振动，如何求其振动规律呢？
k12 m22n2
A1 A2
0 0
根据线性代数可知，A1, A2 具有非零解的条件是： 上式的系数行列式必须等于零。
即：
k11 m11n2
k12
0
k12
k22 m22n2
展开后：
m11m22
4 n
k11m22 k22m11 n2 k11k22 k122 0
此式称之为频率方程或特征方程。
2 n12
(k11m22
多自由度无阻尼力学模型
多自由度无阻尼力学模型一、引言多自由度无阻尼力学模型是指在没有阻尼的情况下，考虑多个自由度之间相互作用的力学模型。
这种模型在物理、工程等领域中有着广泛的应用，如机械振动、建筑结构、电路系统等。
本文将从多自由度无阻尼力学模型的定义、基本方程式和解析方法等方面进行详细介绍。
二、多自由度无阻尼力学模型的定义多自由度无阻尼力学模型是指在没有阻尼的情况下，考虑多个自由度之间相互作用的力学模型。
其中，“自由度”指系统中可以独立变化的量，比如机械振动中可以是质点位置或速度等；“相互作用”指不同自由度之间存在耦合关系，即一个自由度变化会影响到其他自由度。
三、基本方程式1. 多自由度系统动能多自由度系统动能可以表示为：T = 1/2 ∑i=1n mi vi^2其中，n为系统中自由度数目；mi为第i个质点的质量；vi为第i个质点的速率。
2. 多自由度系统势能多自由度系统势能可以表示为：V = 1/2 ∑i=1n ki xi^2 + 1/2 ∑i,j=1n i>j kij xi xj其中，ki为第i个自由度的劲度系数；kij为第i个自由度和第j个自由度之间的耦合系数；xi为第i个自由度的位移。
3. 拉格朗日方程多自由度系统的拉格朗日方程可以表示为：∂L/∂xi - d/dt(∂L/∂vi) = 0其中，L = T - V是拉格朗日量。
4. 哈密顿方程多自由度系统的哈密顿方程可以表示为：dq/dt = ∂H/∂pdp/dt = -∂H/∂q其中，H = T + V是哈密顿量；q和p分别代表广义坐标和广义动量。
四、解析方法1. 特征值法特征值法是求解多自由度无阻尼力学模型的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）将拉格朗日方程写成矩阵形式；（2）求解矩阵特征值和特征向量；（3）将特征向量代入原方程组中，得到每个自由度的振动频率和振幅。
2. 耦合振动法耦合振动法是求解多自由度无阻尼力学模型的另一种常用方法。
具体步骤如下：（1）将原方程组分解成每个自由度的单独方程；（2）将单独方程组合成一个整体方程；（3）求解整体方程的特征值和特征向量；（4）将特征向量代入原方程组中，得到每个自由度的振动频率和振幅。
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4
无阻尼自由振动
通常情况下，[m] 和 [k] 为正定矩阵。根据线性代数理论，将保证 以上所有特征值大于或等于零。并且一般情况下，特征值彼此不相等， 即所有特征值都是单根，那么对于每一个特征值都对应一个特征向量。 将所有特征值开方，并按大小顺序依次排列，可以得到：
12Kn
ω1, ω1 , … , ωn代表了自由振动的固有频率。由此有结论，n自由度 系统有 n 个固有频率。进一步，每个特征值（每个固有频率）对应于一 个特征向量，因此有n个特征向量：
10
无阻尼自由振动
1
1 k/m, 21.732 k/m, 32 k/m
[ A ](1)
2
1
模态图形：
1
1
[ A (2)]
0
[ A (3) ]
1Leabharlann 1 1 第一阶模态：
2
1
1
无节点
第二阶模态： 第三阶模态：
1 1
1
1
-
1
一个节点 两个节点
11
无阻尼自由振动
假设有两个频率 ωr 和 ωs ，他们分别对应了一个模态向量
x1
2k
k
m
x2
x3
k
2k
m
求：固有频率和模态向量。
6
无阻尼自由振动
x1
2k
k
m
x2
x3
k
2k
m
解：利用拉格让日方程求出动力学方程：
m 0 0 x 1 3k k 0x1 0 0 m 0 x 2k 2k kx20 0 0 m x 3 0 k 3kx3 0
m 0 0 3k k 0 [m]0 m 0,[k]k 2k k
左乘
[k][A ](s)s 2 [m ][A ](s)
[ A](r)T
将蓝色下划线两式相减： (r 2 s 2 ) [A ] (r ) T [ m ] [A ] (s ) 0
12
无阻尼自由振动
(r 2 s 2 ) [A ] (r ) T [ m ] [A ] (s ) 0
若 r s 时， r s 则得到：
[ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s ) 0 ( r , s 1 , 2 . . . , n ; r s )
代回转置式，得到：
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) 0 ( r , s 1 , 2 . . . , n ; r s )
0 0 m 0 k 3k
7
4.3 无阻尼自由振动，特征值问题
m 0 0 3k k 0 [m]0 m 0,[k]k 2k k
0 0 m 0 k 3k
特征方程：
(2)[k]2[m]0
3km2 k
0
k 2km2 k 0
0
k 3km2
解得： 1 k /m , 2 1 .7k 3 /m ,23 2 k /m
8
无阻尼自由振动
设方程的解为
A1
[x][A]sin(t),A]A2
A3
将其带入振动方程中，可以得到：
附加条件(特征方程)：
3km2 k
0 A1 0
k
2km2
k A20
0
k 3km2A3 0
3km2
k 0
k
2km2
k
0 k 0
3km2
根据附加条件(特征方程)，可以得到：
(3km2)A1kA2 0 kA2 (3km2)A3 0
上面两式表明模态向量关于质量矩阵和刚度矩阵正交
13
无阻尼自由振动
每个模态对应一个特解：
r ,[ A ] ( r ) [ x ] ( r ) [ A ] ( r ) s i n (r t r )
那么通解可以表示为：
[ x ] c 1 [ x ] ( 1 ) c 2 [ x ] ( 2 ) c n [ x ] ( n )
其中，[m]，[k]分别为质量矩阵，刚度矩阵。 [k]和[F]为位移向量 和力向量。如果考虑阻尼，则还会存在阻尼矩阵[c]，则动力学方程为：
[ m ] [ & x & ] [ c ] [ x & ] [ k ] [ x ] [ F ]
3
无阻尼自由振动
设系统为n自由度系统，振动方程为：
[m ]& x& [k]x[0]
9
无阻尼自由振动
(3km2)A1kA2 0 kA2 (3km2)A3 0
取A3=1, 并且将三个特征频率分别带入，便可以得到与之对应的 三个模态向量：
1
[ A ](1)
2
1
1
[ A (2)]
0
1
1
[A
(3) ]
1
1
第二阶模态有 1 个节点，第三阶模态有 2 个节点，这由主振型内元素 符号变号的次数可以判断出
r [A](r)
s [A](s)
对于ωr ： r 2 [m ][A ](r) [k ][A ](r) 0
左乘 [ A ]( s )T
[k][A ](r)r 2 [m ][A ](r)
[ A ] ( s ) T [ k ] [ A ] ( r ) r 2 [ A ] ( s ) T [ m ] [ A ] ( r ) 转置
多自由度系统振动
姓 名: 何江波 学 院: 机械工程学院 邮 箱：445875183@
2020/6/10
教学内容
▪ 拉格朗日方程 ▪ 多自由系统的无阻尼自由振动
2
无阻尼自由振动
k5
F2(t) k6
k1
F1(t)k2 m2 k3
F3(t)k4
m1
m3
[m ][& x & ] [k ][x ] [F ]
(1)
[m]为n*n维质量矩阵， [k] 为n*n维刚度矩阵，其中 [x] 为 n 维列向量。 设方程的解为
[x] [A ]sin(t )
(2)
[A]为n维列向量。将式(2)带入式(1)，得:
( [ k ] 2 [ m ] ) [ A ] 0 |[ k ] 2 [ m ] | 0
(3)
方程（3）为方程（2）的特征（本征）方程，因此线性系统自由振 动的求解转化为相应特征值问题的求解。
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) r 2 [ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s )
对于ωs： s 2 [m ][A ](s) [k ][A ](s) 0
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) s 2 [ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s )
[A ](1 ),[A ](2 ),K ,[A ](n )
这样，我们得到了n个特征对
i,[A ] ( i);i 1 ,i 2 ,K ,n
每一个特征对叫做一个模态( mode)，ωi 称为第i阶模态频率(或固 有频率), [A](i) 称为模态振型( modal shape)。
5
无阻尼自由振动
例: 求图示系统的自然频率。