线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new概述
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第5章 系统的稳定性
s5 s4 s s
3
1
24
48
0
96
25
50 0
F (s) 2s 4 48s 2 50 0
取F(s)对s的导数得新方程：
2
0
8
24
0
F (s) 8s3 96s 0
用上式中的系数8和96代替0元 行，继续进行运算。
2
50
0
0
s1 s0
112 .7
50
改变符号一次
武汉理工大学材料学院 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方 向旋转N 周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF 顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数，P 为包 围于Ls 内的F(s)的极点数，则有 N ＝Z－P
j
Im
(5.3.2)
武汉理工大学材料学院
（2）令s＝z－1，代入特征方程得：
( z 1)3 14( z 1)s 2 40( z 1) 40K 0
即
z 3 11z 2 15z 40K 27 0
由Routh表和Routh判据得：
列Routh表如下：
s3
1
11
15
s2
40 K 27
4 2
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
武汉理工大学材料学院
四、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，应用Routh判据还可以检验系统 的相对稳定性。方法如下： （1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－ σ (σ 为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特 征方程。
线性系统理论5系统的运动稳定性
引理5.2.1 是系统 x A(t)x ,t t0
是一致渐近稳定的，(t,t0 )为其状态 转移矩阵。Q(t) 为一致有界，一致
正定的矩阵，则积分
P(t) T ( , t)Q( )( , t)d t
例5.2.1 考虑下述时变系统
x 2 x 1 t
容易求得其状态转移矩阵为
(t,
t0
)
(1 t0 )2 (1 t)2
从而由定理5.2.1显见该系统为渐近稳定的。
下面将考察该系统的一致渐近稳定性。
据定理5.2.1，如果该系统为一致渐近稳定，
则存在正数 k1 和 k2 满足
(1 t0 )2 (1 t )2
定义5.1.4 （Lyapunov意义下的一致渐近 稳定性）
如果在上述Lyapunov意义下的渐
近稳定性定义中，实数 和 T 的大小都不
依赖于初始时刻 t 0 ，那么称平衡状态 xe
是一致渐近稳定的。
定义5.1.5 （Lyapunov意义下的大范围渐近
稳定性） 设 xe 为系统 x f ( x, t) , x(t0 ) x0 , t t0
出发的受
扰运动都满足不等式
(t;x0,t0 ) xe ,t t0
定义5.1.2 （Lyapunov意义下的一致稳定性）
在上述Lyapunov意义下的稳定性定义中
如果 的选取只依赖于 而与初始时刻
的选取无关，则进一步称平衡状态 xe
t0
是一致稳定的。对于定常系统，x e
的稳定等价于一致稳定，但对时x变e 系统，
的一个平衡状态，如果以状态空间中的任一
有限点 x0为初始状态的受扰运动 (t; x0 , t0 )
都是有界的，且成立
lim (t;
线性系统理论郑大钟5稳定性课件
挑战
随着研究的深入，线性系统稳定性的研究将面临更多挑战， 例如如何处理更复杂的系统模型、如何提高稳定性分析和控 制的实时性和鲁棒性等。
对实际应用的指导意义
1 2 3
设计准则
线性系统稳定性研究为实际系统的设计和改进提 供了重要的理论依据和技术指导，有助于提高系 统的稳定性和可靠性。
控制策略
基于线性系统稳定性研究的控制策略可以有效地 改善系统的性能，例如PID控制、状态反馈控制 等。
线性系统的分类与特点
分类
根据系统的动态行为，可以分为连续 系统和离散系统；根据系统的状态变 量，可以分为线性时不变系统和线性 时变系统。
特点
线性系统具有模块化、可加性和可替 代性等优点，这使得线性系统在工程 和科学领域中得到了广泛应用。
线性系统理论的应用领域
控制工程
线性系统理论是现代控制理论 的基础，广泛应用于航空航天 、化工、电力等领域的控制系
03
线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性判定
01
02
03
定义域判定
通过判断系统在定义域内 的行为，确定系统的稳定 性。
特征值判定
根据线性系统的特征值判 断系统的稳定性，如果所 有特征值都位于复平面的 左半部分，则系统稳定。
能量判定
对于能量有限的线性系统 ，如果系统的能量随时间 衰减，则系统稳定。
实际应用
在实际工程领域中，许多系统都可以近似为线性系统，因 此研究其稳定性对于保证系统的正常运作、预防和控制故 障具有关键作用。
学科交叉
线性系统稳定性研究涉及到数学、物理、工程等多个学科 领域，有助于促进不同学科之间的交流与融合。
未来研究的方向与挑战
研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，线性系统稳定性的 研究方向将更加多元化和复杂化，例如考虑非线性因素、时 变参数、不确定性等。
随着研究的深入，线性系统稳定性的研究将面临更多挑战， 例如如何处理更复杂的系统模型、如何提高稳定性分析和控 制的实时性和鲁棒性等。
对实际应用的指导意义
1 2 3
设计准则
线性系统稳定性研究为实际系统的设计和改进提 供了重要的理论依据和技术指导，有助于提高系 统的稳定性和可靠性。
控制策略
基于线性系统稳定性研究的控制策略可以有效地 改善系统的性能，例如PID控制、状态反馈控制 等。
线性系统的分类与特点
分类
根据系统的动态行为，可以分为连续 系统和离散系统；根据系统的状态变 量，可以分为线性时不变系统和线性 时变系统。
特点
线性系统具有模块化、可加性和可替 代性等优点，这使得线性系统在工程 和科学领域中得到了广泛应用。
线性系统理论的应用领域
控制工程
线性系统理论是现代控制理论 的基础，广泛应用于航空航天 、化工、电力等领域的控制系
03
线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性判定
01
02
03
定义域判定
通过判断系统在定义域内 的行为，确定系统的稳定 性。
特征值判定
根据线性系统的特征值判 断系统的稳定性，如果所 有特征值都位于复平面的 左半部分，则系统稳定。
能量判定
对于能量有限的线性系统 ，如果系统的能量随时间 衰减，则系统稳定。
实际应用
在实际工程领域中，许多系统都可以近似为线性系统，因 此研究其稳定性对于保证系统的正常运作、预防和控制故 障具有关键作用。
学科交叉
线性系统稳定性研究涉及到数学、物理、工程等多个学科 领域，有助于促进不同学科之间的交流与融合。
未来研究的方向与挑战
研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，线性系统稳定性的 研究方向将更加多元化和复杂化，例如考虑非线性因素、时 变参数、不确定性等。
线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new
|
d
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系 统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
hij (t) dt i 1,2, q j 1,2, p 0
等价定义为：
（1）由任意初始状态X0∈S(δ)出发的受扰运动φ(t;X0,t0) ，相对 于平衡 状态Xe=0对所有t∈[t0, ∞)均为有界
（2）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐近性，即
lim
t
(t;
x0
,
t0
)
0
x0 S( )
称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不稳定
称自治系统 x& f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0 , ) 的孤立平衡状态
Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应
一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出
发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，
‖ Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
⑴ 稳定的几何解释 ⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶ 时不变系统的稳定属性 ⑷ 李亚普诺夫意义下稳定的实质
t t0
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
⑴ 稳定的几何解释
几何意义：对任给正实数ε，在状态空间中以原点（即xe）为球心 构造半径为ε的一个超球体，其球域即为S(ε)。则若存在对应地一
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
第5章系统的稳定性
例3： 系统的特征方程为： s 4 3s3 s 2 3s 1 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解： ①由特征方程知各项系数为
a0 1, a1 3, a2 1, a3 3, a4 1
1 3 1 3 1 3 1
②
s4 s3 s2 s
0
s1 3 1
因为0<ε<1,则3-(3/ε)<0,表中第一列变号两次，故 系统有两个正根，是不稳定的。
统的稳定性。这是一种代数判据，依据根与系统的关系来 判断根的分布。
胡尔维茨n阶行列式
将系统特征方程的各系数排成如下行列式：
(1)特征方程式的各项系数均大于零，即ai>0
(2)胡尔维茨行列式中，主行列式及其对角线上各子行列式均具有正值。
例1 4 3 2 2 s s 3 s 5s 10 0 系统的特征方程为： 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。 解： ①由特征方程知各项系数为： a4 2, a3 1, a2 3, a1 5, a0 10 均为正值，满足判据的必要条件ai>0， ②检验第二个条件， 1 a3 1 0
imre1k很小负穿越一次不稳定imre1k较大负正穿越各一次稳定imre1k更大正穿越一次负穿越二次不稳定已知开环乃氏图判断其闭环系统的稳定性bodenyquist轨迹与单位圆交点的频率即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率称为剪切频率或幅值穿越频率幅值交界频率记为nyquist轨迹与负实轴交点的频率即对数相频特性曲线与横轴交点的频率称为相位穿越频率或相位交界频率记为bode图上的稳定性判据可定义为
Xo(s)
H(s)
K (s z1 )(s z2 ) ( s zm ) Gk (s) G(s) H ( s) (n m) (s p1 )(s p2 )( s pn )
第五章 系统的稳定性PDF
第五章系统的稳定性讲授内容5.1系统稳定的初步概念一、稳定性的定义系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。
若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。
线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构及参数有关；而非线性系统的稳定性不仅与系统的结构及参数有关，而且还与系统的输入有关。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是的系统所有特征根的实部全都小于零，或系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内。
若系统传递函数的所有极点中，只有一个位于虚轴上，而其它极点均分布在s平面的左半平面内，则系统临界稳定。
而临界稳定的系统极易因为系统的结构或参数的细微变化而变成不稳定的系统。
因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。
5.2 （劳斯）稳定判据Routh Routh 判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
一、系统稳定的必要条件要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
Routh 运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
Routh Routh 运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
Routh Routh Routh Routh 在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：Routh 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
线性系统理论精简版 ——5.系统的稳定性
内部稳定性和外部稳定性在满足一定条件下是等 价的（后面讨论）。
经典理论判稳方法及局限性 间接判定：方程求解－(对非线性和时变通常很难)
直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是否都
分布在复平面虚轴的左半部分；以及采用劳斯判据、 奈魁斯特频率判据等。局限性是仅适用于线性定常， 不适用于非线性和时变系统。
0 1
xe , 3
0 1
5.2.2 李雅普诺夫稳定 定义：若状态方程
f ( x, t ) x 所描述的系统，对于任意的>0和任意初始
x2
时刻t0，都对应存在一个实数(,t0)>0，
使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,) 的初始状态x0，当从此初始状态x0出发的 状态方程的解x都位于球域S(xe,)内，则 称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳
现代控制理论判稳方法： 李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于 各种系统。 李亚普诺夫第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质
判定稳定性－－间接法。
李亚普诺夫第二法：直接判定稳定性。思路：构造一个李
亚普诺夫函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对任何复
杂系统都适用。
5.2
V ( X ) 0 X 0 V ( X ) 0 X 0
例5-2
2 2 V ( X ) x1 2x2
当 x1 0, x2 0 时，V ( X ) 0； 当 x1 0, x2 0 时， V ( X ) 0。所以，V(X)是正定的。
(2) 正半定性(准正定) 如果对任意非零向量 X ( X 0) ，恒有 V ( X )≥0， 且当 X 0时V ( X ) 0 ，则称 V ( X ) 为正半定的。即
系统运动的稳定性
稳定性与鲁棒性关系探讨
稳定性是鲁棒性的基础
稳定性和鲁棒性相互制约
稳定的系统才能谈得上鲁棒性，不稳 定的系统无法抵御外部扰动。
提高系统的鲁棒性可能会牺牲部分稳 定性，需要在二者之间寻求平衡。
鲁棒性是对稳定性的补充
鲁棒性要求系统在受到外部扰动时仍 能保持稳定，是对稳定性的更高要求。
PART 03
线性系统运动稳定性分析
系统运动的稳定性
https:/统运动稳定性基本理论 • 线性系统运动稳定性分析 • 非线性系统运动稳定性分析 • 控制策略对系统运动稳定性影响研究 • 总结与展望
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
稳定性定义及意义
03
仿真与实验验证
通过大量的仿真和实验验证，证实了 所提方法和策略的有效性和实用性， 为实际应用提供了有力支持。
未来发展趋势预测和展望
深度学习在稳定性分析中 的应用
随着深度学习技术的不断发展 ，未来可以尝试将深度学习应 用于系统运动的稳定性分析中 ，以提高分析的准确性和效率 。
多智能体系统稳定性研究
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
非线性系统稳定性分析方法
相平面法
通过绘制相平面图分析系统运动 轨迹，判断系统稳定性，适用于 二阶非线性系统。
李雅普诺夫方法
构造李雅普诺夫函数并分析其导 数性质，判断系统稳定性，适用 于非线性定常系统。
描述函数法
将非线性环节近似为线性环节， 利用线性系统稳定性判据分析系 统稳定性，适用于弱非线性系统。
Poincare映射法
将连续的非线性系统转化为离散的映射，通过分 析映射的性质来研究系统的动力学行为。
第5章系统的稳定性
经典控制论中，系统稳定性判据
代数判据
Routh（劳斯）判据 Hurwitz（古尔维茨）判据 Nyquist判据 Bode判据
几何判据
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
Routh稳定判据
不求解特征方程的根,直接根据特征方程的系 数，判断系统的稳定性，回避了求解高次方程根 的困难。
【例】D(s) s 4 3s3 4s 2 12s 16
【解】：Routh表为： s4 s3 s2 s1 s0 1 3 4 16 12
12 48 48
0( ) 16 12 48 0
很小时，
12
0
16
【结论】：系统不稳定，并有两个正实部根。
【情况2】:
n n n an1 an2 an3 si， si s j， an an an i 1 i j i j k i 1, j 2
(1)
n
s
i 1
n
i
si s j sk，
i 1, j 2, k 3
n a0 n ， (1) si an i 1
系统稳定的必要条件：特征方程中所有项的系数均大 于0，只要有一项等于或小于0，则为不稳定系统。 充分必要条件：Routh表第一列元素均大于0。
必要条件证明
D(s) an s n an1s n1 an1 n1 得：s s an 再展开，得
n
a1s a0 0，两端同除以an，并分解因式， (s sn )
其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。 其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。
线性系统理论(第五章)
x0 − xe
≤ δ ( ε , t 0 ) 的任一初态 x 0 出发的受扰
S (ε )
S (δ )
运动都同时满足不等式： 运动都同时满足不等式：
φ (t ; x0 , t0 ) − xe ≤ µ
∀ t ≥ t0 + T ( µ ,δ , t0 )
运动的有界性。 运动的有界性。
x0 xe
φ (t ; x0 , t0 )
001
系统运动的稳定性
讨论内部稳定性。 讨论内部稳定性。 李亚普诺夫方法（А.М.Ляпунов) Ляпунов) 李亚普诺夫方法（ 线性系统 定常系统 非线性系统 ； 时变系统 ； 离散时间系统。 离散时间系统。
连续时间系统
002
系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 外部稳定性 考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入 u ( t ) ， 考虑一个线性因果系统， 即满足条件： 即满足条件：
G ( t ) 为其脉冲响应矩阵， ˆ ( s ) 为其传递函数矩阵，则系统 G 为其脉冲响应矩阵， 为其传递函数矩阵，
为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 k ， 稳定的充分必要条件是，
j = 1, 2 , L , p ) 均满足关系式： 均满足关系式：
G (t )
的每一个元
大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外， 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平 衡点。 衡点。 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定。 大范围渐近稳定。
006
第五章 系统的稳定性1
• 初始状态
– 无输入时的初态， xo (0 ), xo (0 )...xon1(0 ) n – 输入引起的初态 xo (0i ), xo (0i )...xo 1(0i ) – 上面两者之和
2.定常线性系统稳定性条件。
• 微分方程 • 单位脉冲响应
3.系统稳定的充要条件
• 系统的全部特征根都具有负实部；反之，若特征 根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统 必不稳定。 • 若系统传递函数G(s)的全部极点均位于平面的左 半平面，则系统稳定；反之，若有一个或一个以 上的极点位于[s]平面的右半平面，则系统不稳定； 若有部分极点位于虚轴上，而其余的极点均在[s] 平面的左半平面，则系统称为临界稳定，即xo(t) 或w(t)趋于等幅谐波振荡。
三、关于稳定性的一些提法
• 统一考虑了线性与非线性系统稳定性问题 • 2.“小偏差”稳定性又称“小偏差”或“局部稳定性”。由 于实际系统往往存在非线性，因此，系统的动力学往往是 建立在“小偏差”线性化的基础之上的。在偏差较大时， 线性化带来的误差太大。因此，用线性化方程来研究系统 的稳定性时，就只限于讨论初始偏差（初态）不超出某一 微小范围时的稳定性，称之为“小偏差”稳定性。初始偏 差大时，就不能用来讨论系统的稳定性。由于实际系统在 发生等幅振荡时的幅值一般并不大，亦即系统在振荡时偏 离平衡位置的偏差一般不大，因此，这种“小偏差”稳定 性仍有一定的实际意义。 • 如果系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称 为“在大范围内渐近稳定”。在工程控制中，一般是希望 系统在大范围内渐近稳定，如果系统不是这样，则需确定 系统渐近稳定的最大范围，并使扰动产生的初始偏差不超 出此范围。
• 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡 下的稳定性，也就是说，是讨论输入为零，系统 仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即讨论系 统自由振荡是收敛的还是发散的
5-系统的稳定性
如果 pi和i 均 为负 值, 当 t 时, x0(t)0。 稳定性与 零点无关.
X o ( s) b0 s m b1s m1 ... bm 1s bm B( s) X i ( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an A( s)
s4 s3 s2 s1 s0 1 3 7/3 2-(9/7)K K 3 2 K 0 0 K 0 0 0 0
牢 斯 判 据
K 0 14 0 K 9 9 2 K 0 7
19
5.2.2 Routh判据
例3 牢斯判据判定系统相对稳定性
已知系统特征方程： s3+7s2+14s+8=0 试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。 将s平面虚轴左移一个单位距离，即 构造一个z平面，则直线s=-1右侧的 极点即为z平面右侧的极点。
n an n (1) si a0 i 1
各根之积
10
5.1.3 系统稳定的必要条件
例 某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。
K0 ：被控对象水箱的传递函数 s km ：执行电动机的传递函数 s(Tm s 1)
K1 ：进水阀门的传递系数 Kp ：杠杆比 H0 ：希望水位 H ：实际水位
稳定性条件的分析方法——脉冲响应法： 假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号δ(t) 的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应，这相当 于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题， 显然，当t→∞时，若：
lim xo 0
t
则系统（渐近）稳定。
6
5.1.2 系统稳定的充要条件
脉冲响应法分析
s 2 (Tm s 1) K p km K1K0 0
X o ( s) b0 s m b1s m1 ... bm 1s bm B( s) X i ( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an A( s)
s4 s3 s2 s1 s0 1 3 7/3 2-(9/7)K K 3 2 K 0 0 K 0 0 0 0
牢 斯 判 据
K 0 14 0 K 9 9 2 K 0 7
19
5.2.2 Routh判据
例3 牢斯判据判定系统相对稳定性
已知系统特征方程： s3+7s2+14s+8=0 试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。 将s平面虚轴左移一个单位距离，即 构造一个z平面，则直线s=-1右侧的 极点即为z平面右侧的极点。
n an n (1) si a0 i 1
各根之积
10
5.1.3 系统稳定的必要条件
例 某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。
K0 ：被控对象水箱的传递函数 s km ：执行电动机的传递函数 s(Tm s 1)
K1 ：进水阀门的传递系数 Kp ：杠杆比 H0 ：希望水位 H ：实际水位
稳定性条件的分析方法——脉冲响应法： 假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号δ(t) 的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应，这相当 于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题， 显然，当t→∞时，若：
lim xo 0
t
则系统（渐近）稳定。
6
5.1.2 系统稳定的充要条件
脉冲响应法分析
s 2 (Tm s 1) K p km K1K0 0
第五章 系统稳定性(简)
§5-2 Routh稳定判据 稳定判据 基于特征根与特征方程系数的关系建立。 基于特征根与特征方程系数的关系建立。 特征根与特征方程系数的关系建立 分母=0 特征方程：闭环传递函数分母 特征方程：闭环传递函数分母 通过对系统特征方程的各项系数进行代数运算， 通过对系统特征方程的各项系数进行代数运算， 得出全部特征根具有负实部的条件，从而判断 得出全部特征根具有负实部的条件， 系统的稳定性。 系统的稳定性。
= 30,
s3 s2 s1 s0
1⋅ 30 − 1 ⋅ 0 = = 30, b2 1
d
2
=
c1b3 − b1 c3 c
1
= 0,
1⋅ 0 − 1⋅ 0 = = 0, b3 1
第一列中， 到 ，符号改变一次， 第一列中，从1到-30，符号改变一次，从-30到12， 到 ， 符号改变一次，所以系统不稳定， 符号改变一次，所以系统不稳定，有两个具有正 实部的特征根。 实部的特征根。
s3 s2 s1
1 3 8− K 3 1+ K
3 K +1 0
8 − K >0 系统稳定，要求： 3 ⇒ K <8 1 + K > 0
2)当v = 1，闭环传函的分母为： D ( s ) = ( s + 1) 3 ⋅ s + K = s 4 + 3 s3 + 3 s 2 + s + K，
c
1
=
b
1
⋅ 11 − 1 ⋅ b
2
b
= 12 ,
1
c
2
=b1来自⋅0 − 1⋅b3b= 0,
1
c
3
=
b
1
系统运动的稳定性
对角阵D=diag{d1,…, dn}正定的充要条件是所 有对角元素di > 0。这是因为
f (x) xT Dx d1x12 dn xn2 0
的充要条件是di > 0 。
21
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
A > 0的充要条件是
① 存在可逆实方阵C，使A=CTC。
② A的所有特征值全都大于0。
16
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
(t;
x0
,
t0
)
xe
||
0
则称此平衡状态xe是渐近稳定的。
经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定性对应。
若δ与t0无关，且上式的极限过程与t0无关，则称
平衡状态是一致渐近稳定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
二 李雅普诺夫第二法主要定理 1 大范围一致渐近稳定判别定理(时变)
结论5.10：对于时变系统 x f (x, t )，t t0 ，如果
存在一个对状态x和时间t具有连续一阶偏导数
标量函数V(x,t), V(0,t) = 0，且满足如下条件：
(1) V(x,t)正定且有界；
先利用经验和技巧来构 造李亚普诺夫函数，再利 用李雅普诺夫函数来判断 系统稳定性。直接法不需 解系统微分方程，获得广 泛应用。
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1
外部稳定性和内部稳定性
一 外部稳定性
对于一个因果系统，假定系统的初始条件 为零，如果对应于一个有界的p维输入u(t)， 所产生的q维输出y(t)也是有界的，则称此系 统是外部稳定的。也称为有界输入-有界输出 稳定(BIBO稳定)。
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t∈[t0,+∞）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在 一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉冲响应矩阵H(t,τ) 所有元均满足关系式
t
t0
hij (t , ) d i 1,2,q
j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
证明：考虑SISO情形
系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵 Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足：
lim (t , t 0 ) 0
t
结论5
Ax x(0) x0 t 0 对n维连续时间线性时不变自治系统 x
At 内部稳定的充分必要条件为 lim e 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6
对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反 之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定←→ BIBO稳定。
证 由系统的运动分析可知，其脉冲响应矩阵G(t)为： Gt Ce At B D t
0
hij (t ) dt i 1,2,q
j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
ˆ ij s 证: 此结论的第一部分可由结论1直接导出。对于结论的第二部分，当 g
为真的有理分式时，必可利用部分分式法将其展开为有限项之和，其中
每一项的形式为
ˆ ij s 的极点，βl和αl可为零或非零常数。考虑到(4.11)多对应的 这里λl为 g
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性 定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指
由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)
对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
lim X ou (t ) 0
t
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论4
A(t ) x x(t 0 ) x0 t [t 0 , ) 设n维连续时间线性时变自治系统 x
5.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
定义：称一个线性因果系统的外部稳定（BIBO）是指对任
t [t 0, ) 何一个有界输入u(t)，即：‖ u(t) ‖≤β1<∞ 的任意输入u(t) ，对应的输出y(t)均为有界，即
结论1
y(t ) 2 t [t 0 ,)
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统
拉式反变换为
l ，l 1,2,, m s l
l
（4.11）
hlr t l 1esl t，l 1,2,m
其中若αl=0则为δ函数。由此可知，由
有限个 当λl（l=1,2，…m）均具有负实部时， 对可积。从而，系统为BIBO稳定。
ˆ ij s取拉式反变换导出的 g
引言
本章的主要内容
系统 李亚普诺夫稳定性定理
第5章 系统运动的稳定性
5.1
外部稳定性和内部稳定性
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据
5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的 衰减性能估计 5.6 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
y(t1 ) g (t1 , )u( )d | g (t1 , ) | d
t0 t0 t1 t1
有
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系
统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性
5.2
李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
是
sl t hlr t l 1e之和，合式中也可能包含由 δ函数项。容易证明，当且仅
l 1 sl t t e 为绝对可积，也即 gij(t)为绝
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论3
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，
令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或 严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。
1 | g (t , ) | d 1 2
必要性 采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使
可以取 u(t ) sgn g (t1 , )
| g (t , ) | d
t0 1
t1
1 当g t1 , t 0 u t sgn g t1 , t 0 当g t1 , t 0 1 当g t , t 0 1
先证充分性：已知（4.3）成立，且任意输入u(t)满足 ut k ，那 么利用由脉冲响应函数 g(t,ζ)表示的输出y(t)的表达式，即可得到
y (t )
t t0
充分性
t
t0
g (t , )u ( )d | g (t , ) || u ( ) | d
t0
t
线性系统理论
マスタ タイトルの書式設定
第五章 系统运动的稳定性
重庆大学 自动化学院 柴毅 魏善碧
引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特
性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律
和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定性分析：决定系统行为的关键性质：能控性、能观 测性、稳定性
再知，当系统为渐近稳定时，有
lim e At 0
t
(4.17) (4.18)
于是，利用（4.17）和（4.18）即可导出，其G(t)的每一个 gij(t) （i=1,2，…，q； j=1,2，…，p ）均满足关系式 0 gij t dt k 其中k为有限常数。这表明，系统为BIBO稳定。证明完成
t
t0
hij (t , ) d i 1,2,q
j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
证明：考虑SISO情形
系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵 Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足：
lim (t , t 0 ) 0
t
结论5
Ax x(0) x0 t 0 对n维连续时间线性时不变自治系统 x
At 内部稳定的充分必要条件为 lim e 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6
对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反 之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定←→ BIBO稳定。
证 由系统的运动分析可知，其脉冲响应矩阵G(t)为： Gt Ce At B D t
0
hij (t ) dt i 1,2,q
j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
ˆ ij s 证: 此结论的第一部分可由结论1直接导出。对于结论的第二部分，当 g
为真的有理分式时，必可利用部分分式法将其展开为有限项之和，其中
每一项的形式为
ˆ ij s 的极点，βl和αl可为零或非零常数。考虑到(4.11)多对应的 这里λl为 g
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性 定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指
由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)
对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
lim X ou (t ) 0
t
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论4
A(t ) x x(t 0 ) x0 t [t 0 , ) 设n维连续时间线性时变自治系统 x
5.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
定义：称一个线性因果系统的外部稳定（BIBO）是指对任
t [t 0, ) 何一个有界输入u(t)，即：‖ u(t) ‖≤β1<∞ 的任意输入u(t) ，对应的输出y(t)均为有界，即
结论1
y(t ) 2 t [t 0 ,)
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统
拉式反变换为
l ，l 1,2,, m s l
l
（4.11）
hlr t l 1esl t，l 1,2,m
其中若αl=0则为δ函数。由此可知，由
有限个 当λl（l=1,2，…m）均具有负实部时， 对可积。从而，系统为BIBO稳定。
ˆ ij s取拉式反变换导出的 g
引言
本章的主要内容
系统 李亚普诺夫稳定性定理
第5章 系统运动的稳定性
5.1
外部稳定性和内部稳定性
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据
5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的 衰减性能估计 5.6 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
y(t1 ) g (t1 , )u( )d | g (t1 , ) | d
t0 t0 t1 t1
有
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系
统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性
5.2
李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
是
sl t hlr t l 1e之和，合式中也可能包含由 δ函数项。容易证明，当且仅
l 1 sl t t e 为绝对可积，也即 gij(t)为绝
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论3
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，
令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或 严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。
1 | g (t , ) | d 1 2
必要性 采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使
可以取 u(t ) sgn g (t1 , )
| g (t , ) | d
t0 1
t1
1 当g t1 , t 0 u t sgn g t1 , t 0 当g t1 , t 0 1 当g t , t 0 1
先证充分性：已知（4.3）成立，且任意输入u(t)满足 ut k ，那 么利用由脉冲响应函数 g(t,ζ)表示的输出y(t)的表达式，即可得到
y (t )
t t0
充分性
t
t0
g (t , )u ( )d | g (t , ) || u ( ) | d
t0
t
线性系统理论
マスタ タイトルの書式設定
第五章 系统运动的稳定性
重庆大学 自动化学院 柴毅 魏善碧
引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特
性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律
和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定性分析：决定系统行为的关键性质：能控性、能观 测性、稳定性
再知，当系统为渐近稳定时，有
lim e At 0
t
(4.17) (4.18)
于是，利用（4.17）和（4.18）即可导出，其G(t)的每一个 gij(t) （i=1,2，…，q； j=1,2，…，p ）均满足关系式 0 gij t dt k 其中k为有限常数。这表明，系统为BIBO稳定。证明完成