线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new概述

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hij (t ) dt i 1,2,q
j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
ˆ ij s 证: 此结论的第一部分可由结论1直接导出。对于结论的第二部分，当 g
为真的有理分式时，必可利用部分分式法将其展开为有限项之和，其中
每一项的形式为
ˆ ij s 的极点，βl和αl可为零或非零常数。考虑到(4.11)多对应的 这里λl为 g
5.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
定义：称一个线性因果系统的外部稳定（BIBO）是指对任
t [t 0, ) 何一个有界输入u(t)，即：‖ u(t) ‖≤β1<∞ 的任意输入u(t) ，对应的输出y(t)均为有界，即
结论1
y(t ) 2 t [t 0 ,)
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6
对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反 之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定←→ BIBO稳定。
证 由系统的运动分析可知，其脉冲响应矩阵G(t)为： Gt Ce At B D t
引言
本章的主要内容
系统运动的外部稳定性
系统运动的内部稳定性 李亚普诺夫稳定性定理
第5章 系统运动的稳定性
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5.1
外部稳定性和内部稳定性
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据
5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的 衰减性能估计 5.6 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
1 | g (t , ) | d 1 2
必要性 采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使
可以取 u(t ) sgn g (t1 , )
| g (t , ) | d
t0 1
t1
1 当g t1 , t 0 u t sgn g t1 , t 0 当g t1 , t 0 1 当g t , t 0 1
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性
5.2
李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
拉式反变换为
l ，l 1,2,, m s l
l
（4.11）
hlr t l 1esl t，l 1,2,m
其中若αl=0则为δ函数。由此可知，由
有限个 当λl（l=1,2，…m）均具有负实部时， 对可积。从而，系统为BIBO稳定。
ˆ ij s取拉式反变换导出的 g
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性 定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指
由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)
对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
lim X ou (t ) 0
t
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论4
A(t ) x x(t 0 ) x0 t [t 0 , ) 设n维连续时间线性时变自治系统 x
系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵 Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足：
lim (t , t 0 ) 0
t
结论5
Ax x(0) x0 t 0 对n维连续时间线性时不变自治系统 x
At 内部稳定的充分必要条件为 lim e 0 t
是
sl t hlr t l 1e之和，合式中也可能包含由 δ函数项。容易证明，当且仅
l 1 sl t t e 为绝对可积，也即 gij(t)为绝
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论3
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，
令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或 严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。
线性系统理论
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第五章 系统运动的稳定性
重庆大学 自动化学院 柴毅 魏善碧
引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特
性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律
和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定性分析：决定系统行为的关键性质：能控性、能观 测性、稳定性
y(t1 ) g (t1 , )u( )d | g (t1 , ) | d
t0 t0 t1 t1
有
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系
统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
再知，当系统为渐近稳定时，有
lim e At 0
t
(4.17) (4.18)
于是，利用（4.17）和（4.18）即可导出，其G(t)的每一个 gij(t) （i=1,2，…，q； j=1,2，…，p ）均满足关系式 0 gij t dt k 其中k为有限常数。这表明，系统为BIBO稳定。证明完成
t∈[t0,+∞）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在 一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉冲响应矩阵H(t,τ) 所有元均满足关系式

t
t0
hij (t , ) d i 1,2,q
j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
证明：考虑SISO情形
先证充分性：已知（4.3）成立，且任意输入u(t)满足 ut k ，那 么利用由脉冲响应函数 g(t,ζ)表示的输出y(t)的表达式，即可得到
y (t )
t t0
充分性

t
t0
g (t , )u ( )d | g (t , ) || u ( ) | d
t0
t