数学分析1-期末考试试卷(A卷)
数学分析_I_试题(1)doc - 扬州大学
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 01）
（闭卷 120 分钟）
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．设 A，B 为非空数集， S = A ∪ B ，则 sup S = max{sup A,sup B}
F(x) = f (x) 在 (0, +∞) 递增.（5 分）
x
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上有最大最小值.（5 分）
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姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第 学期
5．若
f(x)无界，则存在 { xn }
⊂
D(
f
) ，使得
lim
n→+∞
f
(xn )
=
∞
1
6． lim (1+ x)x = e x→+∞
7．若
lim(
n→∞
xn
−
yn
)
=
0
，
则
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
8．若
f
′
+
(
x0
),
f−′(x0 )
均存在，则
f
′( x0 )
存在
9． f (x) = x −[x] 是周期为 1 的周期函数
大一上数学分析期末考试题及答案
大一上数学分析期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义是：如果对于任意的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，都有|a_n - A| < ε，则称序列{a_n}的极限为A。
A. 正确B. 错误答案：A2. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：B3. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 函数f(x)=x^2在区间[0, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A6. 函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A7. 函数f(x)=e^x在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A8. 函数f(x)=ln(x)在区间(0, +∞)上是单调递增的。
A. 正确B. 错误答案：A9. 函数f(x)=1/x在区间(0, +∞)上是单调递减的。
A. 正确B. 错误答案：B10. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, 0)上是单调递减的。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = ________。
答案：112. 极限lim(x→+∞) (1/x) = ________。
答案：013. 极限lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = ________。
答案：1/214. 函数f(x)=x^3在x=0处的导数为 ________。
答案：015. 函数f(x)=e^x在x=0处的导数为 ________。
答案：1三、计算题（每题10分，共40分）16. 计算极限lim(x→0) (tan(x) - sin(x))/x^3。
解：利用洛必达法则，对分子分母分别求导三次，得到极限为1/2。
华东师范大学数学分析 期末试卷
华东师范大学数分期末试卷（A 卷）2009-2010年第一学期一．（20分）判断下列结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）1．设()f x 在（a,b ）连续，()f x 在0(,)x a b ∈取极值，则0'()0f x =；2．设()f x 在点0x 可导，则存在0δ>，使得()f x 在00(,)x x δδ-+上连续；3．设数列{}n a ，{}n b 满足1(1,2,)n n a b n ≤≤=…，lim()0n n n b a →∞-=，则极限lim ,lim n n n n a b →∞→∞ 都存在；4．设()f x 是区间（-a,a ）上的可导偶函数，则()f x 在x=0取极值。
二．（16分）计算下列极限；1．20arctan limtan x x x x x→-； 2．20ln(1)sin lim x x x x →+-； 三．（16分）计算下列函数的导函数dy dx： 1．1,0,()1,0;x x e x y x e x -⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩ 2．()y y x =由极坐标方程2(1cos )(0)a a ρθ=+>所确定。
四．（14分）讨论2x y x e -=的单调性区间，凹凸性区间，极值与拐点。
五．（14分）证明不等式：1．2arctan (0,);12, x x x x π+<∈+∞+ 2．过研究ln ()x f x x =的单调性，证明：e e ππ>. 六．（8分）设()f x 在区间I 上连续但不一致连续，()g x 在(,)-∞+∞上可导且'()0g x k ≥>.证明：复合函数(())g f x 在I 上不一致连续。
七．（12分）设()f x ，()g x 在[,)a +∞上连续可微，且极限()lim ()x f f x →+∞+∞=，()lim ()x g g x →+∞+∞= 存在，证明：1． 若()()f a f =+∞，则：(,)a ξ∃∈+∞，使得'()0f ξ=；2． 若对[,),'()0,x a g x ∈+∞≠则：(,)a ξ∃∈+∞，使得'()()()'()()()f f f ag g g a ξξ+∞-=+∞- 八．（附加题10分）设()f x 在[,)a +∞上二阶可导且''()1f x ≤，又极限lim ()x f x A →+∞=存在。
2019-2020第一学期数学分析期末考试试题
2019-2020本科数学系期末考试试题数学分析（一）（A 卷）本试卷共4道大题，满分100分．一、选择题（本大题10分，每小题2分）1. 设数列{}n x 单调增，{}n y 单调减，且0lim =−∞→n n n x y ，则（ A ）（A ）{}n x 、{}n y 均收敛 （B ）{}n x 收敛，{}n y 发散 （C ）{}n x 发散，{}n y 收敛 （D ）{}n x 、{}n y 均发散2. 设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在1=x 处连续，则0)1(=ϕ是)(x f 在1=x 处可导的( A )（A ）充分必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3. 设0()0f x '=是)(x f 在0x 取得极值的（ D ）（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分条件也非必要条件.4. 设()353−=x y ，下述结论正确的是（ A ）（A ）()0,3是曲线)(x f y =的拐点； （B ）3=x 是)(x f 的极值点； （C ）因为)3(f ''不存在，所以()0,3不是曲线)(x f y =的拐点；（D ）当3<x 时，曲线)(x f y =为凹的，当3>x 时，曲线)(x f y =为凸的.5. 设xe e xf xx1arctan 11)(11+−=，则0=x 是)(x f 的（ C ）（A ）连续点 （B ）第一类（非可去）间断点 （C ）可去间断点 （D ）第二类间断点6. 设)(x f y =且21)(0='x f ，则当0>∆x 时，在0x 处dy 是（ B ） (A) 与x ∆等价的无穷 (B) 与x ∆同阶但不等价的无穷小； (C) 比x ∆高阶的无穷 (D) 比x ∆低阶的无穷小 二、填空题（本大题10分，每小题2分）1. 若)(0x f '存在，则=−−→000)()(limx x x f x x xf x x 000()()f x x f x '−．2. 曲线21xy xe =的渐近线方程是 0x =．3. 设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttcos 2sin ，则曲线上点(0,1)M 处的法线方程是12=+y x ．4. 设x x x f 2sin )(2=，则)2()20(πf = 19202π⋅ ．三、计算题（本大题35分，每小题5分）1.（5分）求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x −−→答案与评阅要点：由于 0→x 时，2~cos 12x x − ，22~sin x x ，x e x ~1−所以 21)(2lim sin )1()cos 1(lim 22020−=⋅−⋅=−−→→x x x x x e x x x x x2.（5分）求极限()tan 2lim sin xx x π→；答案与评阅要点： 令()tan sin xy x =,ln tan ln sin y x x =.22221cos ln sin sin lim ln lim lim cot csc x x x xx x y x x πππ→→→⋅==−2lim sin cos 0x x x π→=−⋅=，所以 原式=01e =. 3.（5分）求极限30sin (1)lim x x e x x x x→−+ 答案与评阅要点：2331()2!3!xx x e x o x =++++，33sin ()3!x x x o x =−+3333001()sin (1)16lim lim 6xx x x o x e x x x x x →→+−+== 4.（5分）计算不定积分33tan sec x xdx ⎰答案与评阅要点：⎰xdx x 33sec tan ⎰=x xd x sec sec tan 22⎰−=x xd x sec sec )1(sec 22.sec 31sec 5135C x x +−=5.（5分）计算不定积分⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos答案与评阅要点：⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos ⎰++=5cos sin )cos (sin x x x x d .)cos (sin 4554C x x ++=6.（5分）计算不定积分⎰−dxxx 224答案与评阅要点：设2sin ()22x t t ππ=−<<，则2cos .dx tdt =⎰−dx xx 224⎰=tdt t tcos 2cos 2sin 42dt t ⎰−=)2cos 1(2C t t +−=2sin 2 .4212arcsin22C x x x +−−=7.（5分）计算不定积分⎰xdx x ln 3答案与评阅要点：⎰xdxx ln 3⎰=)4(ln 4x xd ⎰−=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +−=四、证明题（本大题45分）1.(10分)设函数()f x 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ．证明存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ．答案与评阅要点：因为2()()()()()()2222a b a b f a bf f a f a a a ξ''+++'=+−+−1()2a b a ξ+<< 2()()()()()()2222a b a b f a bf f b f b b b ξ''+++'=+−+−2()2a b b ξ+<<（5分） 两式相减，因为0)()(='='b f a f ，得2211()()[()()]()08f b f a f f b a ξξ''''−+−−=，记12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=，则2222112111()()()()()(()())()()()884f b f a f f b a f f b a f b a ξξξξξ''''''''''−=−−≤+−≤−即)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ，证明完毕．（5分）2.(10分)证明数列{}n x 收敛，其中11x =，113()2n n nx x x +=+，1,2,n =，并求lim n n x →∞．答案与评阅要点：1131()22n n n x x x +=+≥=，21313()022n n n n n n nx x x x x x x +−−=+−=≤，故有1n n x x +≤（5分）故{}n x 单调减有下界，从而lim n n x →∞存在设lim n n x A →∞=，在113()2n n nx x x +=+两边取极限得13()2A A A =+，从而A =5分）3.（15分）设函数()f x 定义在区间(,)a b 上：（1）（5分）用εδ−方法叙述()f x 在(,)a b 上一致连续的概念； （2）（5分）设01a <<，证明1()sin f x x=在(,1)a 上一致连续； （3）（5分）证明1()sinf x x=在(0,1)上非一致连续． 答案与评阅要点：（1）对0ε∀>，0δ∃>，对12,(,)x x a b ∀∈，只要12x x δ−<，就有12()()f x f x ε−<（5分）（2）对0ε∀>，取2a δε=，12,(,1)x x a ∀∈，只要12x x δ−<，12121212111111()()sinsin 2cos sin 22x x x x f x f x x x +−−=−= 121222121211x x x x x x x x a a δε−−≤−=<<=故1()sinf x x=在(,1)a 上一致连续．（5分） （1）在(0,1)内取2n x n π=，2(1)n x n π'=+，取012ε=，对0δ∀>，只要n 充分大总有2(1)n n x x n n δπ'−=<+，而1201()()sin sin 122n n f x f x ππε+−=−=>，故1()sinf x x=在(0,1)非一致连续．（5分） 4.（10分）(1)（5分）叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim sin x x →+∞不存在． (2)（5分）叙述极限lim ()x f x →+∞存在的柯西收敛准则;并证明lim sin x x →+∞不存在.证明：(1)设()f x 在[,)a +∞有定义．lim ()x f x →+∞存在的充分必要条件是：对任意含于[,)a +∞,当lim n n x →∞=+∞时当lim n n x →∞=+∞时且趋于+∞的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞存在且相等．取2,2,2n n x n x n πππ'''==+则lim lim 2,n n n x n π→∞→∞'==+∞lim lim(2),2n n n x n ππ→∞→∞''=+=+∞但lim ()lim sin(2)0,n n n f x n π→∞→∞'==lim ()limsin(2)1,2n n n f x n ππ→∞→∞''=+=lim ()lim (),n n n n f x f x →∞→∞'''≠故lim ()x f x →+∞不存在．（5分）(2)设函数()f x 在[,)a +∞有定义,则极限lim ()x f x →+∞存在的充要条件是:对于任何0,ε>存在正数0(),M M a >>当12,x x M >时有12|()()|.f x f x ε−<对于012ε=及任意正整数M,取122,2,2x M x M πππ=+=则有1,x M >2,x M >且有1201|()()|sin 2sin 21,22f x f x M M πππε⎛⎫−=+−=>= ⎪⎝⎭所以lim sin x x →+∞不存在.（5分）试题来源：微信公众号 学术之星。
数学分析期末考试试题
数学分析期末考试试题数学分析期末考试试题数学分析是大学数学中的一门重要课程，它是数学学科的基础，也是后续数学学科的重要支撑。
期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，下面我们来看一下一份典型的数学分析期末考试试题。
1. 选择题(1) 设函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值。
A. 2B. 4C. 6D. 8(2) 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 1]上严格单调递增，且f(0) = 1，f(1) = 3，则a, b, c的取值范围是：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c < 02. 计算题(1) 求函数f(x) = x^3 - 3x的不定积分。
(2) 求函数f(x) = e^x * sinx的定积分，区间为[0, π]。
3. 证明题证明：对任意正整数n，有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
解析：这是一个常见的数学归纳法证明题。
首先验证n = 1时等式成立，即1 = 1(1+1)/2。
然后假设当n = k时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2。
接下来证明当n = k+1时等式也成立，即1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =(k+1)(k+1+1)/2。
通过将左边的等式化简，可以得到左右两边相等，从而证明了当n = k+1时等式成立。
根据数学归纳法原理，可以得出对任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
4. 应用题某公司的销售额在过去几年中呈指数增长，已知2017年的销售额为100万元，而2020年的销售额为400万元。
数学分析期末考试试题
数学分析期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,3]上的最大值是：A. 0B. 2C. 4D. 62. 以下哪个选项不是闭区间[a, b]上连续函数的性质？A. 有界性B. 保号性C. 介值性D. 可微性3. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1在x=-1处的泰勒展开式（展开到x^2项）是：A. -1+2x-x^2B. 1-2x+x^2C. -1+2x+x^2D. 1+2x-x^25. 以下哪个级数是发散的？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...6. 函数f(x)=x^2在x=1处的高阶导数f^(n)(x)（n≥2）是：A. 0B. 1C. 2D. 47. 函数f(x)=e^x的原函数是：A. e^x + CB. ln(x) + CC. sin(e^x) + CD. cos(e^x) + C8. 函数f(x)=x^2在[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/39. 函数f(x)=|x|在x=0处的导数是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在10. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=e^xC. f(x)=sin(x)D. f(x)=ln(x)二、填空题（每题2分，共10分）11. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处取得极小值，则f'(2)=_________。
12. 若函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在x=-1处取得最大值，则b=_________。
13. 函数f(x)=ln(x)的原函数是_________。
《数学分析1》期末考试试卷2
《数学分析1》期末考试试卷（闭卷 120分钟）一.判断题（每小题2分,共20分）1、max SupA A SupA A ∈⇔=2、设A B ，为非空数集， A B inf A inf B ⊂≤，则.3、若()f x 无下界，则存在{}()n x D f ⊂，使得lim ()n n f x →∞=-∞4、若0lim ()x x f x →存在的充要条件是当00()()0x x y x f x f y →→-→，时，5、若单调数列{}n x 有收敛子列，则{}n x 收敛6、若()()f x g x ，在0x x =均不连续，则()()f x g x ±在0x 也不连续7、()f x 在0x x =可导，()g x 在0x x =不可导，则()()f x g x ±在0x x =不可导 8、21lim sin0x x x →= 9、若0()0f x '=，则0x 一定是()f x 的极值点10、()f x 在[)a +∞，上一致连续，则2()f x 在[)a +∞，上也一致连续二.求极限（每题5分，共20分）1、lim xx nx→∞（1+）2、0(1)1lim(0)ln(1)x x x αα→+-≠+ 3、2lim (arctan )x x x π→+∞ 4、22011lim()sin x x x→-三．计算题（每题5分，共20分）1、用导数定义求'2、y dy =3、ln(cos dy y x dx=+，求 4、求()(ln(1))n x -四．证明题（每题5分，共20分）1、设0lim ()0x f x a →=≠.证明：011lim()x f x a→= 2、lim 0n n x →∞=，{}n y 有界，证明lim()0n n n x y →∞=.3、证明：()ln f x x =在[)1∞，+内一致收敛4、设()()x x f g ，是凸函数，求证: ()()x x f g +也是凸函数五．确定21()1x f x x +=+的单调区间.（5分）六．()f x 在[,]a b 上连续，且[][],,()0,()x a b f x f x ∀∈≠则在a,b 上不变号（5分） 七．设对,x x R '''∀∈，()()()f x x f x f x ''''''+=+且()f x 在0x =连续，证明：()f x 在R 内一致连续.（5分）八．求证:f在区间(,)a b 内可微，(0)(0)f a f b +=-，则(,)a b ξ∃∈.()0f ξ'=使得 .（5分）。
数学分析期末试题A答案doc
数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。
因此，答案为 D。
2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。
A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。
因此，答案为 B。
3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。
4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。
在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。
因此，答案为 C。
高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。
以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。
一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。
数学分析试卷2
《 数学分析 》期末试卷 《 数学分析 》试卷（一）一、10分 用定义证明：数列⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1n n 的极限是1，不是2。
二、10分 证明：若任意n ∈ N,有 | y n+1 - y n | ≤ cr n 其中c 是正常数，且0 < r < 1,则数列{ y n }收敛。
三、10分 证明不等式：当0 < a < b 时有不等式21b a b +- < arctg b - arctg a < 21aab +- 四、42分 求解下列各题：（每题6分） 1、210)sin (limx x xx +→； 2、()sin ,0,01,0b x x x f x a x b ax x ⎧>⎪⎪==⎨⎪+-<⎪⎩问：,?a b =()f x 连续； 3、设函数()y y x =由参数方程()2ln 1x t y arctgt t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 给出，求22d y dx ；4、设x y xyb a e=确定()y f x = 求y ''；5、42cos 2limx xex x --→；6、设xx x x f 42)(2++=求f(x)的稳定点和斜渐近线；7、数列1，,...,...3,23n n 中那一项最大？五、10分 证明：若函数g(x)在[a, b] 可导(0<a<b)，则存在),(b a ∈ξ使ab g a g b g ln)()()(/ξξ=-。
六、9分 证明：设g(x)在[c, d]上有定义，且每一点处函数的极限存在，则g(x)在[c, d]上有界。
七、9分 设函数g(x)在开区间（c, d ）上有连续的导函数，且)(/limx g c x +→与)(/limx g d x -→均存在且有限，试证：(1) g(x)在（c, d ）上一致连续。
(2))(lim x g c x +→ ，)(lim x g d x -→均存在。
最新数学分析1-期末考试试卷(A卷)
数学分析1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a 。
2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点是 。
3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。
4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10⎰+=，则=)(x f 。
5、xdx arctan 1⎰= 。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。
（A ）若n x 发散，则n y 必发散。
（B ）若n x 无界，则n y 必无界。
（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。
（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。
2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。
（A ） 1。
（B ）不存在。
（C ） 0。
（D ） -1。
3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ ）。
（A ）())(x f e f e x x ----。
华东师范大学大一数学分析期末考试题
xx0 g(x)
xx0 g (x)
xx0 g(x)
A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件
三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）
D、既非充分也非必要条件
14、 lim (1 a)(1 a2 )(1 a2n ),(| a | 1) n
15、求函数 y 2x 的单调区间 1 x2
16、 lim xln(1 x) ln x x
学院： 数学与计算机科学学院 适用班级：
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九
分数
总分
评卷人
一、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1、函数 f (x) ln 1 x 的定义域是 1 x
2、 lim sin 5x x0 3x
第
1
3、 lim
n
1n
4、若 f 可导，且 y f (2x), 则 dy =
17、已知 y ln(arccos 1 ) 求 y x
18、求 d
x 1
x2
四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）
19、已知数列xn ，它由递推公式
xn1
1 2
(xn
a xn
) 确定， a
0 ，且 x1 可取任意正实数，
证明：数列
x
n
收敛，并求
lim
n
xn
20、 ex 1 x ， (x 0)
五、综合题（15 分）
21、并作图
学号
班级
专业
C、 f (x) 在 x 0的左右极限存在但不相等 D、 f (x) 在 x 0的左右极限不存在
页
n n 1
5、设 f (x) 在 x0 点可导，且在 x0 点取极大值，则 f (x0 ) =
华南理工大学期末考试《工科数学分析》上-试卷(A)(附解答) (1)(word文档良心出品)
《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试 《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷（A ）卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。
《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷一、填空题（每小题3分，共15分） １. 函数()1212x xe ef x e e+=-的间断点及其类型为0x =是跳跃间断点，12x =是无穷间断点；２. 已知函数()y y x =由方程yxx y =所确定，则曲线()y y x =在点()1,1处的切《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷线方程为0x y -= ；３. 设xy xe =，则()n d y =()xnx n e dx + ；４. 220x t d e dt dx -⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰42x xe - ；５. 反常积分()22ln dx x x +∞=⎰1ln 2．二、计算下列各题（每小题8分，共16分） 1. 求极限()11limxx x ex→+-《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷解：()()()()()()()11ln 101ln 12001limlim1ln 1lim 41ln 1lim 6282x xxx x x x x x x eeexxx x x e x x x e x e +→→+→→+--=-++=⋅+-+==-分分分或()()()1ln 1110020011lim lim ln 1lim 4111lim 6282x x x x x x x e e x e x xx x e x x e x e +-→→→→⎡⎤-⎢⎥+-⎣⎦=+-=-+==-分分分2.计算定积分21dxx ⎰ 解：2321434tan,sec,cos4sin16sin t83x t dx tdttdttππππ===⎰⎰令则分＝－分分三、解答下列各题（每小题10分，共40分）1.设()1110,1,2,,nx x n+===试证明数列{}n x收敛，并求lim.nnx→∞证明：（1）()1110343,3,1,2,nx x x n=≥=≥≥=，用归纳法可证，即数列{}nx有下界；3分（2）1320,n n nx xx x x+-+-==<即，数列{}n x 单调减少。
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数学分析1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a 。
2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点是 。
3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。
4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10⎰+=，则=)(x f 。
5、xdx arctan 1⎰= 。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。
（A ）若n x 发散，则n y 必发散。
（B ）若n x 无界，则n y 必无界。
（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。
（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。
2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。
（A ） 1。
（B ）不存在。
（C ） 0。
（D ） -1。
3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ ）。
（A ）())(x f e f e x x ----。
（B ）())(x f e f e x x +---。
（C ） ())(x f e f e x x --- 。
（D ）())(x f e f e x x +--。
5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，则（ ）。
（A ）)3(,1πf a =是极小值。
（B ）)3(,1πf a =是极大值。
（C ）)3(,2πf a =是极小值。
（D ）)3(,2πf a =是极大值。
三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）1、求 )1ln(sin 1tan 1lim 30x xx x ++-+→2、设4lim 221=-++→xx b ax x x ，求 b a 、。
3、设)(x y y =由参数方程 ⎩⎨⎧+=+=tt y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx yd dx dy 、。
4、设)(x f 在0=x 处的导数连续，求dxx df x )(sin lim 20+→ 。
5、求不定积分 dx xxx ⎰3cos sin 。
6、求定积分dx x ⎰cos 40。
7、设⎩⎨⎧≥<=-0sin )(22x xex xx f x ， 求 ⎰-dx x f )2(31 。
四、证明下列不等式（本题10分）1、)2,0(,sin 2ππ∈<<x x x x； 2、2sin 12ππ<<⎰dx x x 。
五、（本题10分）设 00)()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-x x xe x g xf x，其中)(x g 具有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。
（1）求)(x f '； （2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。
六、（本题8分）设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-。
(8分)答案一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a ln 2 。
2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断0 ，第二类间断点是 2 。
3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy。
4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1⎰+=，则=)(x f1x - 。
5、xdx arctan 1⎰=4π-。
二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ D ）。
（A ）若n x 发散，则n y 必发散。
（B ）若n x 无界，则n y 必无界。
（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。
（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。
2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ C ）。
（A ） 1。
（B ）不存在。
（C ） 0。
（D ） -1。
3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ C ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ A ）。
（A ）())(x f e f e x x ----。
（B ）())(x f e f e x x +---。
（C ） ())(x f e f e x x --- 。
（D ）())(x f e f e x x +--。
5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，则（ D ）。
（A ）)3(,1πf a =是极小值。
（B ）)3(,1πf a =是极大值。
（C ）)3(,2πf a =是极小值。
（D ）)3(,2πf a =是极大值。
三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）1、求 )1ln(sin 1tan 1lim3x xx x ++-+→3300300limlim2ln(1)1tan sin 1lim 24x x x x x x x x x →→→→=+-===解：（分）（6分）2、设4lim 221=-++→xx b ax x x ，求 b a 、。
212211lim()010,(1)(22lim lim 242, 3.(621x x x x ax b a b b a x ax b x a a a b x x x →→→++=⇒++==-++++==+=⇒==---解：分）分）3、设)(x y y =由参数方程 ⎩⎨⎧+=+=tt y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx y d dx dy 、。
()()2222222223222(3112212(624dy t t tt t dx tt t d y d t dt dx dt t dx t ++==++-+⎛⎫+== ⎪⎝⎭解：分）分）4、设)(x f 在0=x 处的导数连续，求dxx df x )(sin lim 20+→ 。
22002(sinlim lim[(sin(4lim[(sin(0)(4 x xxdffdxf f+++→→→'=''=解：分）=分）5、求不定积分dxxxx⎰3cossin。
233222sin(cos)1(cos)(2 cos cos211[][tan](62cos cos2cosx x xd xdx xd xx xx dx xx Cx x x--===-=-+⎰⎰⎰⎰解：分）分）6、求定积分dxx⎰cos4。
422200,2,0,0;4, 2.22cos2[sin sin]2(2sin2cos21)t dx tdt x t x tt tdt t t tdt======∴==-=+-⎰⎰⎰（分）（6分）7、设⎩⎨⎧≥<=-0sin)(22xxexxxfx，求⎰-dxxf)2(31。
2223101021011111201002,,1,1;3, 1.21cos2(2)()sin21111()[sin2]2222121[sin2]4xx xx t dx dt x t x txf x dx f t dt xdx xe dx dxe d x x x ee--------====-==-∴-==+=--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：令（分）（4分）（6分）四、证明下列不等式（本题10分） 1、)2,0(,sin 2ππ∈<<x x x x； 2、2sin 12ππ<<⎰dx x x 。
证明：设sin (0,)()21xx f x xx π⎧∈⎪=⎨⎪=⎩则函数在0x =处连续，且 22cos sin cos ()(tan )0,(0,)32x x x x f x x x x x x π-'==-<∈（分）所以，当(0,)2x π∈时，()f x 单调减少，2sin ()(0)162x f f x f x ππ⎛⎫⇒<<∴<< ⎪⎝⎭（分）220022sin sin ,(0,).110222xx x x x dx dx x πππππππ∴<<∈⇒=<<=⎰⎰（分）五、（本题10分）设 00)()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-x x xe x g xf x，其中)(x g 具有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。
（1）求)(x f '； （2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。
200000()0()(0)()1(0)lim lim lim ()()(0)1lim lim 222xx x x x x x x x g x e f x f g x e x f x x x g x e g x e g x --→→→--→→----'==='''''+--===解：（）（3分）222(())(()()()(1)()()()(1)0()(6)(0)102x x xxx g x e g x e xg x g x x e f x x x xg x g x x e x x f x g x ----''+---++'=='⎧-++≠⎪⎪'∴=⎨''-⎪=⎪⎩）分（2）当0x ≠时,()f x '连续.当0x =时,200()()(1)1lim ()lim [(0)1](0)2x x x xg x g x x e f x g f x -→→'-++''''==-= 所以, )(x f '在),(+∞-∞上都连续. (10分)六、（本题8分）设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-。