FIR滤波器

优点 （1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号 产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号 处理、数据传输等系统中非常重要； （2）永远稳定，如果它的有限长单位脉冲响应是非因 果的，总能够通过适当的移位得到因果的，所以不存在 是否可实现的问题；
FIR滤波器与IIR滤波器的设计方法大不相同， 对IIR数字滤波器，设计结果是系统函数H(Z)，而 FIR数字滤波器的设计结果是其单位脉冲响应h(k)。
[ e j(k )d
2
2
e
1
j (k
)d]
sin[2 (k )] sin[1(k )] (k )
可见，带通滤波器(w1,w2)=低通(w2)-低通(w1)
习题1：根据下列技术指标，设计一个FIR数字带 通滤波器：wpl=0.4 π, wph=0.6 π, wsl=0.2π, wsh=0.8π, Apl=1dB, Aph=1dB, Asl=60dB , Ash=60dB 。选择一个合适的窗函数，确定单位冲 激响应. (ex4_bandpass.m)
3、线性相位FIR带阻滤波器的设计 理想带阻的频率响应为：
e j
H
d
(e
j
)
0
0 | | 1,2 | | 其他,,(其中 N-1)
2
其单位抽样响应为：
hd
(k)Biblioteka 122[ e j(k )d
1
e j (k )d
1
e j(k )d]
2
sin[ (k )] sin[1(k )] sin[2 (k )] (k )
从(a)→(d)，旁瓣的衰减逐步增加，主瓣相应加宽。
（N=51， =0.8π）
图4.8可见，用矩形窗设计的滤波器过渡带最 窄，但阻带最小衰减也最小，仅-21dB；布莱克 曼窗设计的阻带最小衰减最大，达-74dB，但过 渡带最宽，约为矩形窗的三倍。
3、用窗函数法设计FIR滤波器步骤
1) 根据技术要求确定待求滤波器的单位脉冲响应hd(n); 2) 根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，
其中RN(n)为矩形序列，也称为窗函数。见下图。
图五：理想低通的单位脉冲响应及矩形窗
所以，实际可实现的滤波器为：
N 1
H (Z ) h(n)zn n0
我们用一个有限长序列h(n)来代替hd(n)，肯定会引起 误差。对实际得到的h(n)取频率响应得其幅频图如下：
图六：实际滤波器的幅频特性曲线图
如何减少吉布斯效应？
➢ 加大N，只能使过渡带变窄； ➢ 要减少带内波动以及加大阻带衰减，就需要选
择合适的窗函数。
为了改善滤波器的特性，必须改变窗函数的形 状，窗函数要满足以下两点要求：
① 窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ② 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集 中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带 衰减和通带平稳性。
k 0
N 1)]
2
N为奇数 N为偶数
图三：线性相位FIR滤波器幅度特性
1、h(n)偶对称，N为奇数 w=0,π,2π偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。
2、h(n)偶对称，N为偶数
w= π,H(w)=0，不能用这种情况设计高通、带阻滤 波器。
3 、h(n)奇对称，N为奇数 w=0,π,2π时H(w)=0，不能用作低通、高通或带
阻，只能设计带通。
4、h(n)奇对称，N为偶数
w=0,2π时H(w)=0，不能设计低通和带阻，可设计 高通和带通。
表4.1 四种线性相位FIR滤波器特性
➢ 第一种情况，偶对称、奇数点，四种滤波器都可设 计；
➢ 第二种情况，偶对称、偶数点，可设计低、带通滤 波器不能设计高通和带阻；
➢ 第三种情况，奇对称、奇数点，只能设计带通滤波 器，其它滤波器都不能设计；
2
2
综上，线性相位的条件：
即如果单位脉冲响应h(k)为实数，且具有偶对称 或奇对称性，则FIR数字滤波器具有严格的线性相 位特性。
4、线性相位FIR滤波器的幅度特性
偶对称的幅度函数：
H
g1
()
N 1 k 0
h(k
)
cos[(
N 1 2
k
)]
奇对称的幅度函数：
H g2 ()
N 1
h(k) sin[(k
3、FIR滤波器满足第二类线性相位的条件
条件：h(k)是实数序列且对N/2点奇对称，即 h(k)=-h(N-1-k)。
其频率
响应为：
H (e j
)
e
j ( N 1 ) 22
N 1
h(k) sin[(k
k 0
N 1)]
2
幅度函数
Hg
()
N 1
h(k)
k 0
sin[(k
N 1)]
2
相位函数 () N 1
d ( ) d
t0
（常数）
线性相 位类别：
第一类线性相位： ()
第二类线性相位： () 0
2、FIR滤波器满足第一类线性相位的条件
条件：h(k)是实数序列且对N/2点偶对称，即 h(k)=h(N-1-k)。
计算其频率响应得（计算过程见板书）：
H
(e
j
)
e
j
N 1 2
N 1
h(k )
cos[(
FIR滤波器的一般设计过程总是先给定一理想频率
响应为
，然后设计一FIR滤波器用它的频率响
应
去逼近
。
在这种逼近中有两种直接的方法，一是从时域入 手，这就是本节要讲的时间窗口设计法，另一种从频 域入手，即下节讲的频率采样法。
时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着
手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。 我们知道hd(n)可以从理想频响通过付氏反变换获 得。
N
1
k ) ]
k 0
2
因为：h(k)是实函数，正弦函数也是实函数
H
(e
j
)
Hg
()e
j
N 1 2
幅度函数 相位函数
H
g
()
N 1
h(k )
k 0
cos[(
N 1 2
k ) ]
() N 1 即 N-1
2
2
所以，只要h(k)是实序列，且h(k)为N/2点偶对 称，则该滤波器就一定具有第一类线性相位。
但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣 宽度来换取对旁瓣的抑制。
2、几种典型的窗函数
1）矩形窗
N 1
窗函数为： W (n) 1 RN (n) k 0
2）汉宁窗（升余弦窗）
窗函数为：
W
(n)
(0.5
0.5 cos
2 n
N
) 1
RN
(n)
3）哈明窗（改进的升余弦窗）
窗函数为：
W
(n)
Hd(w) 1
-wc
wc w
图七：理想的幅频特性曲线
从实际滤波器的幅频图和理想的滤波器幅频曲线比 较，可见加窗对理想频响的影响：
1、在w=wc附近形成过渡带，其宽度取决于窗函数 的主瓣宽度。
2、通带内增加了波动，阻带内产生了余震并减少 了阻带的衰减。这是由窗函数旁瓣的作用引起的。
这种误差表现在频域上，称为吉布斯效应。
由上图可见，得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往 都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有 限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限 长的hd(n)。
最直接简单的办法是直接截取其一段得到可实现的 有限长因果序列。
为了构造线性相位滤波器，应使截取的一段对N/2 对称，如： h(n)= hd(n)RN(n)
5）凯塞窗
以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来 降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减, 如图。
窗函数为：
I0[
W (n)
1 ( 2n 1)2 ] N 1
I0[ ]
其中
I0 (x)
1
(x / 2) j [
j1 j !
2
]
四种窗函数的比较
四种窗函数的时域波形如图4.6，幅度谱如图4.7，用四 种窗函数所设计的滤波器的频响特性如图4.8。
(k
)]
汉明窗函数为
W
(n)
(0.5
0.5
cos
2 n
N
) 1
RN
(n)
所以，h(n)=hd(n)w(n) 注意与上次课例子做比较
2、线性相位FIR带通滤波器的设计 理想带通的频率响应为：
Hd
(e
j
)
e 0
j
0 1 | | 2 其他
其中 N-1
2
其单位抽样响应为：
hd
(k)
1
2
1
第四章 FIR滤波器的设计方法
➢ 线性相位FIR数字滤波器的特性 ➢ 窗口设计法 ➢ IIR与FIR数字滤器的比较
学习要求：掌握线性相位的条件；熟练 掌握FIR线性相位滤波器的幅频特性；会 用窗口法设计FIR滤波器。
1、FIR数字滤波器
FIR数字滤波器的差分方程描述
对应的系统函数为：
FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)：
优点：1. 无稳定性问题； 2. 容易做到线性相位； 3. 可以设计各种特殊类型的滤波器； 4. 方法特别简单。
缺点：1. 不易控制边缘频率； 2. 幅频性能不理想；
3. h(n) 较长；
改进：1. 使用其它类型的窗函数； 2. 改进设计方法。
❖ 窗口法设计FIR高通带通带阻滤波器
1、线性相位FIR高通滤波器的设计 (第一类线性相位)理想高通的频率响应为：
1、FIR低通滤波器的设计