大学物理简谐振动

(2) 机械波产生的条件：① 波源； ② 弹性介质.
6.1.2 横波与纵波 (1) 横波：质点振动方向与波的传播方向相互垂直的波.
特征：具有交替出现的波峰和波谷.
(2) 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. 特征：具有交替出现的密部和疏部.
6.1.3 波的几何描述
1. 波线：沿波的传播方向画的一些带箭头的线. 2. 波面：在波传播过程中，介质中振动相位相同的点
波速的大小取决于介质的性质和环境温度，见P142表6-1.
2. 波长
沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 2π 的
振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.
Ay
u
O
x
A
3. 周期 T
波前进一个波长的距离所需要的时间. T
4. 频率
u
周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波
的数目.
1
T
由于波源作一次完全振动，波就前进一个波长的距离，
P点： yP,t
滞后
yO,tx u Acos[(t
x u
)
0
]
x P点
u
O点：
yP,t
超前
yO,tx u Acos[(t
x u
)
0
]
单选题 50分
一平面简谐纵波沿着弹簧线圈传播，设波沿x轴正向传 播,弹簧中某圈的最大位移为3.0cm，振动频率为25Hz， 弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm. 当t=0时，在x=0
yO,t x
u
A c os [ (t
x u
)
0
]
2. 波以速度u沿x轴从P点向O点传播：
x P点 u O点：
yu
A
P
x
已知 yO,t A cos(t 0 ) O x
A
P点比O点超前：
yP,t
yO,tx u
Acos[(t
x u
)
0
]
两点讨 论
1. 已知O点的振动方程 yO,t A cos(t 0 ) , 求波函数
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
x) u
0 ]
O点
u
x
P点
1. 波以速度u沿x轴从O点向P点传播：
x O点 u P点：已知 yO,t A cos(t 0 )
P点比O点落后：yP,t
所以:
波的周期和频率就等于波源振动的周期和频率，与
介质无关；波在不同介质中传播，周期和频率不变.
6.2 平面简谐波的波函数
简谐波：介质传播的是简谐振动，且波所到之处，介质中各质点 做同频率的简谐振动.
平面简谐波：波面为平面的简谐波.
6.2.1 平面简谐波的波函数（波方程） 介质中任一质点（坐标为 x）相对其 平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的
相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
xx
o o
A1
A2
t
A
A A1 A2 合振幅最大； 2 1 2kπ
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
2. 两个分振动的相位相反（反相）
相位差 2 1 (2k 1)π (k 0,1,)
x
x
A1
2
x0 u
)
0 ]
O
x x0
t
2. 对于给定时刻(t = t0)，波函数表示该时刻波线上各
质点的分布情况，即该时刻的波形方程： y
y(x,t0 )
A cos[ (t0
x) u
0 ]
O
tt
x
0
振动曲线与波形图的对比：y
y
A c os [ (t
x0 u
)
0 ]
A
* O
x=x0处的
t 振动曲线
A
T
A
解：设波函数为
y
A c os [ (t
x u
)
0
]
A 0.03m
25Hz 2 50
cos0 x0 x0 0
A
sin 0
v0
A
0
0.24 m u 6m/s 0 2
0 2
x=0处质元的振动方程为：y0
0.03 co s (50
t
2
) (m)
该波的波函数为：y 0.03cos[50 (t x ) ](m)
t =0
y
A
u
a、b、c 各点振动 的初相位. ( π ~ π)
b Oa
O
A A
A O
y o π
O
t=T/4
c x
a
y
a
π 2
b
O
A y
b 0
c
O
y
c
π 2
A
6.2.2 波函数的物理意义
1. 对于给定的位置坐标(x = x0)，波函数表示该处质
点的振动方程：
y
y(x0 ,t)
A cos[ (t
62
单选题 20分
如图，实线为一平面余弦横波在t=0时刻的波形图，
此波形以u=0.08m/s的速度沿X轴正向传播. 则a、b两点
的振动方向为(
).
A a向上，b向上
B a向上，b向下
C a向下，b向上
D a向下，b向下
提交
例题2. 如图，实线为一平面余弦横波在t=0时刻的波形图，此波
形以u=0.08m/s的速度沿X轴正向传播，试求：(1)a、b两点的振
x) u
0
(t
t
x
x) u
0
x ut
波形以速度u向前传播.
6.2.3 波函数的求解
1. 先求出某点O的振动方程: yO Acos(t )
由初始条件求振幅和初相位：
振幅：A 来自百度文库
x02
v02
2
cos
初相位：
x0
A
sin v0 A
2. 判断待求点P和已知点O的滞后或超前关系, 写出波函数
x O点 u
构成的曲面，也称波阵面或同相面. 3. 波前：波面有许多个，最前面的那个波面称为波前.
球面波
平面波
波面
波线
波线
波前
波面 波前
在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直.
6.1.4 描述波动的物理量----波速、波长、周期（频率）
1. 波速 u 机械振动在介质中的传播速度，即沿波线方向， 振动状态（振动相位）在单位时间内所传播的距离.
合振动x仍是简谐运动.
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1) tan A1 sin 1 A2 sin 2
A1 cos1 A2 cos2
用旋转矢量法处理简谐运动的合成
x x1 x2 Acos( t )
余弦定理：
A2 A12 A22 2 A1A2 cos
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
A
x1 0.05cos10t 3 4 x2 0.06cos10t 4
A1
A2
根据题意，画出旋转矢量图：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)=0
o4x
A12 A22 0.052 0.062 0.078(m)
tan A1 5 39.80 0.22
A2 6
解动方：向；(2)O点的振动方程；(3)该波Y的(m波)函数.u
A 0.2 m
0.4 m
0.2 a
b
u 0.08m/s T / u 5s O 0.2
0.4
(1) t 时刻的波形-蓝色虚线 0.2
X (m)
(2) O点的振动方程：y Acos(t )
T 5s 2 T 0.4
cos x0 A
2
M
反 向 最
t
A
正 向 最
大 位
Ox
大 位
X
移 x = A cos( t + ) 移
cos x0
A sin v0
A
3. 简谐振动的能量
E Ek Ep kA2 2
平衡位置
5.5 简谐运动的合成
5.5.1 同方向、同频率的两个简谐运动的合成
两个分振动:
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2)
1. 简谐振动的振动方程
x
x = A cos( t + )
上次课内容小结
v = -A sin( t + ) o 1 2 3 4 5
t
a = -A2 cos( t + )
弹簧振子： k m 2 T 2 初始条件：t 0时：
2. 简谐振动的旋转矢量表示法
x x0
v v0
A
x02
v02
yu *
O
y
A c os [ (t0
x) u
0 ]
x t=t0时刻
的波形图
A
3. 若x和t 都是变量，波函数表示波线上不同质点、不同
时刻的位移，即波形的传播.
y
A c os [ (t
x) u
0
]
A:
(t
x u
)
0
B:
(t
t
x
x) u
0
y t 时刻波形 u
AB
O
x
x x t+t 时刻波形
两点相位相同，(t
变化关系，即 y( x, t ) ，称为波函数.
y y(x, t)
各质点相对于 平衡位置的位移
波线上各质点 的平衡位置
yu
A
设波源O的振动方程为
P
x
yO A cos( t 0 )
Ox
A
t 时刻点O的振动状态
t x
yO,t A cos( t 0 )
u
传播
点P
t ux时刻点O 的振动状态
yu
yu
A
A
P
x
P
x
O
x
A
O
滞后 A x
yP,t
yO,t x
u
A c os [ (t
x u
)
0
]
yP,t
yO,tx u
A
c
os
[
(t
x u
)
0
]
u
A y超前
u
y
A
P
x
P
x
O
x A
O
x A
yP,t
yO,tx u
A
c
os
[
(t
x u
)
0
]
yP,t
yO,t x
u
A c os [ (t
x u
)
0
]
2. 如 图 简 谐 波 以 余 弦函数表示，求 O、
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
处质元的位移为零并向轴正向运动.则x=0处的振动方程为
(
).
A
B
C
D
提交
例题1.一平面简谐纵波沿着弹簧线圈传播，设波沿x轴正向传播,
弹簧中某圈的最大位移为3.0cm，振动频率为25Hz，弹簧中相邻
两疏部中心的距离为24cm. 当t=0时，在x=0处质元的位移为零并
向轴正向运动. 试写出该波的波函数.
x0 0
2
sin
v0
A
0
2
y0 0.2 cos(0.4t 2)(m)
(3)该波的波函数为：y 0.2cos[0.4 (t x 0.08) 2](m)
本次课作业： P138: 5-25 P172: 6-5、6-10
下次课内容：
§*6-3 波的能量 §6-4 惠更斯原理 §6-5 波的干涉 §6-6 驻波
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4 x3 0.07 cos10t 30
(1) 求振动x1和x2合成振动的振幅和初相位;
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30 为何值时, x2+x3的振幅为最小.
解：
(1) 求振动x1和x2合成振动的振幅和初相位
和角公式
合振动：（代数和） cos( ) cos cos sin sin
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2)
(A1 cos1 A2 cos2)cos t (A1 sin1 A2 sin2)sin t
Acos
Asin
x Acos cost Asin sin t Acos( t )
o
o
t
A
A2
A A1 A2 合振幅最小； 2
单选题 25分
两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表达式为：
x1 0.05cos10t 3 4 x3 0.07 cos10t 30
30为何值时, x1+x3 的振幅为最大？
A
B
C
D
提交
例题1.有三个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动 表达式为：