数学分析傅里叶级数及系数
傅里叶级数收敛定理及其推论
傅里叶级数的形式为：$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$，其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数，取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式，通过分析振动信号的频率成分，可以推断物体的振动 性质。
热传导分析
在热传导分析中，傅里叶级数可以用于分析温度场的变化，通过分析温度信号的频率成分，可以 推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中，傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射，通过分析电磁波信号的频率成 分，可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分、进行图像滤波 和增强等操作。
03
在物理学中，该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微 分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数，傅里叶级数可能 以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数，傅里叶级 数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正 弦波和余弦波的组合，从而分析信号的频率成分 和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分 进行增强或抑制，实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩，通过对信号进行 频域变换，去除冗余信息，实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数， 且 $a, b$ 是常数，则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。
数学分析傅里叶级数及系数
性 质 1 a,b,c R n, , R,则 有 1） 交 换 律 ： a b b a；
2） 结 合 律 ： a b c a b c ；
3） 分 配 率 ：
a b a b ,
a a a, a a.
定 义 2在 R n 中 定 义 了 向 量 的 加 法 和 数 乘 运 算 ， 称 R n 为 n 维 向 量 空 间 .
a
b
2
a
b,a
b
a
,
a
2
a,
b
b,
b
2
a 2 a
b
b
2
a
b
2
，
因此结论得证。
定义5(向量内积运算)： 任意 a, b Rn不为零向量,
a (a1, a2 , , an ), b (b1, b2 , , bn )，
定义两个向量的夹角为
a b
cos(a, b)
ab
a1b1 a2b2 anbn a12 a22 an2 b12 b22
定 理 1 对 任 意 集 合 E R n ,E o 为 开 集 .
定理2(开集运算性质) 1)Rn , 为开集合;
2)设E
,
I为开集合族,则
I
E为开集;
n
3)设Ei ,i 1,2,
,
n为开集,则 i1
Ei为开集.
证明:X
I
E ,则E1
I
E , X E1 ,
因此存在r>0,使得
B
X;r
1)Ea,bc,d; 2)Ex, y xy0;
3)Ex,y xy0;4)Ex,y x,y均整;
5)Ex,
y
数学分析之傅里叶级数
的叠加
n
n
y y k A ksin (kx k).
k 1
k 1
(2 )
由于简谐振动 y k 的周期为T kT2π,k1,2, ,n,
所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠
加就得到函数项级数
A 0 A n sin (nxn ).
n 1
(3 )
若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
π
( 6 ) (7)
而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
不等于零, 即
π ππ π1 co 2d sx 2n x2 dx π ππsin2nxdxπ,
(8)
若两个函数 与 在 [ a , b ] 上可积, 且
ab(x)(x)dx0
则称 与 在 [ a , b ] 上是正交的, 或在 [ a , b ]上具有正
有函数具有共同的周期 2 π . 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [ , ]上的积分等于零,即
π
π
c o s n x d x s i n n x d x 0 ,
π
π
πππcsionsm mxxscionsnnxxddxx00((m mnn)),,
π π
cosmxsinnxdx0.
(9)式逐项积分得
π
f ( x)dx π a 2 0 π π d x n 1 (a n π π c o s n x d x b n π π s in n x d x ) .
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.
所以
ππf(x)dxa 202πa0π,
即
a0
1 π
交性. 由此三角函数系(4)在 [π, π] 上具有正交性.
数学分析傅立叶级数习题讲解
第十五章 傅里叶级数一．填空题1. 设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππx x x x f 0,2,0,0,0,2)(，则)(x f 的傅里叶系数=n a .2.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数()=++∑∞=1sin cos 2n n n nx b nx a a . 3. 设,0(),0,0x x f x x ππ≤≤⎧=⎨-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在π=x 处收敛于 .4. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<=<<--=ππx x x x x x f 0,,0,0,0,)(22，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .5. 设⎩⎨⎧<≤<≤-50,3,05,0)(x x x f ，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .6. )(x f 是以π2为周期的连续函数，且在],[ππ-上按段光滑，则()=++∑∞=1sin cos 2n n n nx b nx a a . 二．选择题1.下列说法正确的是（ ）.A 若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=ππnxdx x f b n sin )(， ,3,2,1=n.B 若)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=ll n dx lxn x f a πcos)(， ,3,2,1=n .C 若)(x f 是以π2为周期的偶函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可展开成余弦级数∑∞=1cos n n nx a ..D 若)(x f 是以π2为周期的奇函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可展开成正弦级数∑∞=1sin n n nx b .2.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππx x x x f 0,4,0,0,0,4)(，则下列说法错误的是（ ）.A )(x f 在),(ππ-上可以展开成傅里叶级数..B )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于4π. .C )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于0. .D )(x f 的傅里叶系数0=n a .3.设函数)(x f 满足)()(x f x f -=+π，则该函数的傅里叶级数具有性质（ ）.A 0=n a .B 0=n b .C 022==n n b a .D 01212==--n n b a4.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<<--=ππx x x f 0,4,0,4)(，则下列说法正确的是（ ）.A )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于4..B )(x f 的傅里叶展式在π-=x 处收敛于-4. .C )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于4. .D )(x f 的傅里叶展式在π±=x 处均收敛于0.5.将⎩⎨⎧<<-≤<-=42,3,20,1)(x x x x x f 在)4,0(上展开成余弦级数，则下面关说法错误的是（ ）.A )(x f 的傅里叶展式在2=x 处收敛于-1..B )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于1. .C )(x f 的傅里叶展式在4=x 处收敛于1. .D )(x f 的傅里叶展式在3=x 处收敛于1.6. 若将函数x x f =)(在)2,0(内展成正弦级数，则下列说法正确的是（ ）.A 40=a.B )(x f 的正弦级数展式在2=x 处收敛于2. .C 当)2,0(∈x 时，展成的正弦级数收敛于)(x f 本身. .D )(x f 在)2,0(内不能展成余弦级数 三．判断题1. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],[ππ-上的正交函数系. ( )2.若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数收敛于)(x f 本身. （ ）3.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可以展成傅里叶级数. （ ）4.函数)(x f 是在],[ππ-上的周期函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可以展成正弦级数. （ ）5.函数)(x f 的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值. ( )6.设函数,0(),0,0x x f x x ππ≤≤⎧=⎨-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在x π=-处收敛于0.( )7. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],0[π上的正交函数系. ( ) 8.x x f =)(在)2,0(上不能展成余弦级数. ( )9.2cos )(xx f =在],0[π上不能展成正弦级数. ( )10.若级数()∑∞=++10||||2||n n n b a a 收敛，则级数()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在整个数轴上一致收敛. ( ) 四．计算题1.（1）将2)(xx f -=π在]2,0[π上展开成傅里叶级数；（2）利用展开式证明： +-+-=71513114π2.将x x f =)(在)1,1(-上展开成傅里叶级数.3.（1）将x x f =)(在]1,0[上展开成余弦级数； （2）根据展开式求()211.21n n ∞=-∑4.将x e x f =)(在],0[π上展开成正弦级数.5.求⎩⎨⎧<≤<<-=T x x T C x f 0,0,0,)(（C 是常数）在),[T T -上的傅里叶展开式.五．证明题1.设)(x f 在],[ππ-上可积或绝对可积，若对],[ππ-∈∀x ，成立)()(x f x f =+π，证明：01212==--n n b a .2.设周期为π2的可积函数)(x f 在],[ππ-的傅里叶系数为n n b a ,，函数)(x g 的傅里叶系数为n n b a ~,~，且)()(x f x g -=，证明：n n n n b b a a ==~,~.3.根据2)1()(-=x x f 在)1,0(的余弦级数展开式证明631211222π=+++ .4.已知帕萨瓦尔等式为∑⎰∞=-++=122202)(2)]([1n n n b a a dx x f πππ，（n n b a ,为)(x f 的傅里叶系数），利用),(,cos )1(431222πππ-∈-+=∑∞=x nx n x n n 证明9031211444π=+++ . 5.已知),(,cos )1(431222πππ-∈-+=∑∞=x nx nx n n，利用逐项积分法证明3x 在),(ππ-的傅里叶级数为x n n n n sin )6()1(21322∑∞=--π第十六章——第十七章一、判断题1、设平面点集{}(,),D x y x y Z =∈，则(0,0)为其内点。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-傅里叶级数(圣才出品)
理 13．14（逐项求导）知
g（x），所以级数
的和函数 S（x）
有连续的导函数 g（x）．
§2 以 2l 为周期的函数的展开式
1．求下列周期函数的傅里叶级数展开式： （周期π）； （周期 1）；
解：（1）将 f（x）进行周期延拓，又因 f（x）在（0，2π）内按段光滑，故由收敛定 理，f（x）可展开为傅里叶级数，
所以在区间（0，2π）内，有
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（2）在[－π，π]上 所以
所以在区间（－π，π）内 在 x＝π或 x＝－π时，上式右端收敛于 所以在闭区间[－π，π]上
（3）
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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台所以，在（0，2π源自内所以，在（－π，π）内 故
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故 所以，在（－π，π）内
故 从而在区间（－π，π）内
及其周期延拓的图像如图 15-3 所示，
显见 因为
图 15-3 在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，
所以在（－π，π）内， （ii）函数 f（x）及其周期延拓的图像如图 15-4 所示，
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所以
时
当 x＝0 时，上式的右端收敛到 0．
（1）当
时，由于
，因此
（2）因为 所以
（3）
时，因
，故
所以
4．设函数 f（x）满足条件：f（x＋π）＝－f（x），问此函数在（－π，π）上的傅里叶 级数具有什么特性．
数学分析2部分习题解析(傅里叶级数部分)
数学分析2部分习题解析傅里叶级数部分第3节部分习题1、设f 以2π为周期且具有二阶连续的导数，证明f 的傅里叶级数在(),-∞+∞上一致收敛于f 。
证明由条件知，f 一定是以2π为周期的连续函数且在一个周期区间[],ππ-上按段光滑，所以由收敛定理得，在(),-∞+∞上有()011cos sin ()2n n n a a nx b nx f x ∞=++=∑，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。
由三角级数一致收敛的判别法，下证()0112n n n a a b ∞=++∑收敛即可。
事实上，记0a '，n a '，nb '为导函数()f x '的傅里叶系数，由()f x 与()f x '的傅里叶系数的关系得0a '=，n n a nb '=，n n b na '=-。
所以，()()22211112n n n n n n a b b a a b n n n ⎛⎫''''+=+≤++ ⎪⎝⎭。
又由傅里叶系数满足的贝塞尔不等式得，()()()221nn n a b ∞=''+∑收敛，再注意到211n n∞=∑收敛，所以()0112n n n a a b ∞=++∑收敛，故结论成立。
2、设f 为[],ππ-上的可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于f ，则成立帕塞瓦尔等式：()22220111()d 2n n n f x x a a b πππ∞-==++∑⎰，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。
证明由f 在[],ππ-上可积得，f 在[],ππ-上有界，从而由题设可得()2011()()cos ()sin ()2n n n a f x a f x nx b f x nx f x ∞=++=∑，在[],ππ-上一致成立。
《数学分析》第十五章 傅立叶级数
1 22
1 32
1 42
,
2
4
1
2
4
,
1
2
2 , 6
2
1 3
2 , 2432 1
2 . 12
例 3 设f ( x)是以2为周期的连续函数，且
f ( x) a0
2 试证明：1
n1
f
(an cos nx 2( x)dx
第十五章 傅立叶级数
15.1 傅立叶级数 15.2 正弦级数与余弦级数 15.3 以 为周期的函数的展开式 15.4 收敛定理的证明
15.1 傅立叶级数
一、问题的提出 二、三角级数 三角函数系的正交性
三、函数展开成傅里叶级数
一、问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
1,
当 t 0 当0 t
sin nx)
问题:
f
(x)
条件?
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x)是以2为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数收敛, 并且 (1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
f
( x)sin nxdx]
n1
f 2( x)dx
数学分析课件 傅里叶级数
03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函 数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅 里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增 强处理，如锐化、降噪等，提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题，如求解函数的零点、 极值等。
《傅里叶级数》课件
傅里叶系数： a_n和b_n，可 以通过积分计算 得到
傅里叶级数的收 敛性：对于满足 一定条件的函数， 傅里叶级数收敛 于该函数
傅里叶级数的计算步骤
傅里叶级数的计算实例
实例：计算正弦函数的傅里 叶级数
计算步骤：确定周期、确定 频率、确定振幅、确定相位
傅里叶级数的定义：将周期函 数分解为无穷多个正弦和余弦 函数的和
傅里叶级数未来的研究方向与挑战
傅里叶级数的快速算法研究 傅里叶级数的应用领域拓展 傅里叶级数的理论研究与证明 傅里叶级数的计算复杂性与优化
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实例：计算余弦函数的傅里 叶级数
实例：计算三角函数的傅里 叶级数
实例：计算复杂函数的傅里 叶级数
傅里叶级数的应 用实例
信号处理中的应用
滤波器设计：傅里叶级数可以用于设计各种滤波器，如低通滤波器、高通滤波器等。 信号分析：傅里叶级数可以用于分析信号的频率成分，如分析信号的频谱、功率谱 等。
信号处理：傅里叶级数可以用于处理信号，如信号的压缩、增强、去噪等。
傅里叶级数的周期性
傅里叶级数是一种周期函数 周期性是傅里叶级数的基本性质之一 周期性是指函数在一定区间内重复出现 周期性是傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域里叶级数的展开式
傅里叶级数的定 义：将周期函数 分解为无穷多个 正弦函数和余弦 函数的线性组合
傅里叶级数的展 开式：f(x) = a_0 + Σ[a_n * cos(nωx) + b_n * sin(nωx)]
数值分析中的应用
傅里叶级数在信号处理中的应用 傅里叶级数在图像处理中的应用 傅里叶级数在音频处理中的应用 傅里叶级数在金融数据分析中的应用
其他应用领域
傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛
傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛1. 傅里叶级数是一种非常重要的数学工具，对于描述周期性函数的性质和变化规律具有非常广泛的应用。
而傅里叶系数则是描述傅里叶级数的系数，关于傅里叶级数的收敛性和傅里叶系数的收敛性也是一个非常重要且有趣的数学问题。
2. 让我们来了解一下什么是傅里叶级数和傅里叶系数。
傅里叶级数是指一种表示周期函数为正弦和余弦函数之和的级数，而傅里叶系数则是指在傅里叶级数中正弦和余弦函数的系数。
这里需要特别注意的是，傅里叶级数和傅里叶系数是通过对原始函数进行周期延拓和展开得到的，因此傅里叶级数和傅里叶系数的性质与原始函数的性质密切相关。
3. 接下来，让我们来研究傅里叶级数的收敛性。
傅里叶级数的收敛性是指在什么条件下，傅里叶级数对原始函数进行逼近的效果好，即部分和能逼近原函数。
而傅里叶系数绝对收敛则是指傅里叶级数的系数在绝对值意义下收敛。
根据数学理论，对于绝对收敛的级数，其部分和序列是收敛的，且收敛于该级数的和。
4. 当傅里叶系数绝对收敛时，可以推导出傅里叶级数在每一点收敛于原函数的平均值。
这个结论对于信号处理、图像处理、物理学等领域有着重要的应用。
傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛的结论对于理解和应用傅里叶分析具有重要意义。
5. 个人观点和理解：傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛这一结论的证明涉及到一些复杂的分析和变换技巧，需要对傅里叶级数的性质进行详细的研究和推导。
然而，一旦理解了这个结论，就能够更深刻地理解傅里叶分析的精髓，并将其应用到实际问题中去。
6. 总结回顾：在本文中，我们对傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛这一重要结论进行了深入的讨论。
通过对傅里叶级数和傅里叶系数的定义和性质进行梳理和分析，我们得出了傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛的重要结论。
这一结论对于理解傅里叶分析的本质和应用具有重要的意义。
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数学分析15.1傅里叶级数
第十5章 傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |， 由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则 称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ； 又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。
傅里叶算法
傅里叶算法
傅里叶算法是一种数理分析方法，由18世纪法国物理学
家和数学家Joseph Fourier提出。
它可以用来解决一类Builder-order常微分方程，它们可以描述出物理系统中理想
持续运动。
傅里叶算法可以将振动的波形分解为极坐标的正弦和余
弦函数的混合，称为傅里叶级数。
系数和正弦余弦频率被称为傅里叶参数。
因此，傅里叶算法可以将波形表示为正弦和余弦的叠加，也就是描述为傅里叶级数的形式。
这就是傅里叶变换的基本概念。
傅里叶算法在科学研究和工程应用中有着广泛的应用，
它可以用于求解振动系统，预测分析天气现象，测量和改进声学性能，压缩图像和视频，分析网络信号，提高声音采样速率，识别故障，并用于生物医学成像和诊断。
傅里叶算法用于解决许多实际问题，但它仍然是一种抽
象的技术，以某种形式提供了一种处理数据的方法。
它以某种程度受到经典力学原理的影响，结合它们，可以对许多实际问题进行精确的定性和定量分析，并产生有意义的结果。
总之，傅里叶算法是一种非常有效的数学分析工具，它
变换从定性到定量，在实际中产生了多方面的应用。
它的应用已经极大地改变了许多行业，比如电子技术、声学等，使工作效率有了极大的提高，为世界科学发展做出了巨大的贡献。
傅里叶级数分解
傅里叶级数分解
傅里叶级数分解（Fourier Series Decomposition）是一种在数学分析中有重要应用的数学方法，用来对正弦和余弦函数进行级数展开。
简单来说，通过在无限的连续的正弦曲线及余弦曲线上做出不同的线性组合，可以得到任何一条实际运动曲线，其基本原理是将连续函数分解为无穷多次正弦和余弦函数之和。
傅里叶级数分解的方法也称为傅里叶分解，它将一个信号系统当中的连续信号分解成一组相互独立的正弦、余弦项，使得这一连续信号被视为由若干个谐波构成的正弦序列的叠加结果。
在傅里叶级数分解的理论中，每一个正弦周期由一定的“旋转”和“回旋”波数来表达，而这些波数处于某一范围内，都能够用正弦或余弦函数来表示。
它可以用来描述很多物理现象，比如光照变化、单一频率电流波形、声波的传播等。
傅里叶级数分解的应用很广泛，能够用来分析生物信号、影像信号以及其他的动态系统，还可以用来分析信号的频谱特性，用来研究系统的变化趋势，以及常见的音调识别等等。
傅里叶级数分解可以将某一连续函数进行级数展开，然后通过小的级数来拟合函数，从而了解函数的结构特征，探究函数的变化规律，用于函数的分析、估计、应用、预测等，并在此基础上得出关于函数的参数估计或形态确定结果，多用于模型参数估计和模型识别等。
数学分析15.2以2L为周期的函数的展开式
第十五章 傅里叶级数 2以2l 为周期的函数的展开式一、以2l 为周期的函数的傅里叶级数概念1：设f 是以2l 为周期的函数，通过变量置换lxπ=t 或x=πx l ，将f 变换成以2π为周期的t 的函数F(t)=f(πxl ). 若f 在[-l,l]上可积，则F 在[-π,π]上可积. 函数F 的傅里叶级数展开式为：F(t)~2a 0+∑∞=1n n n sinnt)b +cosnt (a ，其中a n =⎰ππ-F(t)cosnt π1dt, n=0,1,2,…； b n =⎰ππ-F(t)sinnt π1dt, n=1,2,…. 由t=lxπ得以2l 为周期的函数f 的傅里叶级数： f(x) ~2a 0+∑∞=1n n n ) xn πsinn b + x n πcos (a l l ， 及以2l 为周期的函数f 的傅里叶系数： a n =⎰l l l l - x n πf(x)cos 1dx, n=0,1,2,…； b n =⎰l l ll - xn πf(x)sin 1dx, n=1,2,…. 若f 在[-l,l]上按段光滑，则由收敛定理有：20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n ) xn πsinn b + x n πcos (a l l .例1：把函数f(x) 5x 0，30x 5-，0⎩⎨⎧<≤<≤=展开成傅里叶级数. 解：f 在(-5,5)上按段光滑，∴可展开成傅里叶级数.由收敛定理，有a 0=⎰55-f(x)51dx=⎰50dx 53=3. 当n ≥1时，a n =⎰55-5 x n πf(x)cos 51dx=⎰505 x n πcos 53dx=50|5x n πsin n π3=0； b n =⎰55-5 x n πf(x)sin 51dx=⎰505 x n πsin 53dx=-50|5x n πcos n π3=n π](-1)-3[1n .∴在(-5, 0)∪(0,5)上，f(x)=23+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1n 5 x 1)π-(2n sin 12n 1π6. 当x=0和±5时，该傅里叶级数收敛于23.一、偶函数与奇函数的傅里叶级数概念2：设f 为以2l 为周期的偶函数，或定义在[-l,l]上的偶函数，则在[-l,l]上的f(x)cosnx 为偶函数，f(x)sinx 为奇函数， f 的傅里叶系数有：a n =⎰l l l l - x n πf(x)cos 1dx=⎰l ll 0 xn πf(x)cos 2dx=, n=0,1,2,…； b n =⎰l l ll - x n πf(x)sin 1dx=0, n=1,2,…. 于是f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即：f(x) ~2a 0+∑∞=1n n x n πcos a l ，称为余弦级数. 同理，当f 为奇函数时，则在[-l,l]上的f(x)sinnx 为偶函数，f(x)cosx 为奇函数，f 的傅里叶系数有：a n =⎰l l ll - xn πf(x)cos 1dx=0, n=0,1,2,…；b n =⎰l l l l - x n πf(x)sin 1dx=⎰l ll 0 xn πf(x)sin 2dx, n=1,2,…. 于是f 的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即：f(x) ~∑∞=1n n xn πsinb l，称为正弦级数. 若l=π，则偶函数f 展开的余弦级数为：f(x) ~2a 0+∑∞=1n n cosnx a ，其中a n =⎰π0f(x)cosnx π2dx=0, n=0,1,2,…；奇函数f 的正弦级数展开式为：f(x) ~∑∞=1n n sinnx b ，其中b n =⎰π0f(x)sinnx π2dx, n=1,2,….注：定义在[0,l]上的函数可以直接展开成余弦级数或正弦级数. 因为它可以通过偶式延拓或奇式延拓到[-l,l]上.例2：设函数f(x)=|sinx|, -π≤x<π，求f 的傅里叶级数展开式. 解：f 在[-π,π)上按段光滑，∴可展开成傅里叶级数.又∵f 是[-π,π)上的偶函数，∴|sinx|=2a 0+∑∞=1n n cosnx a ，其中a 0=⎰π0sinx π2dx =π4；a 1=⎰π0sinxcosx π2dx =0；当n ≥2时， a n =⎰π0sinxcosnx π2dx =⎰+π0n)x sin(1π1dx+⎰π0n)x -sin(1π1dx=π)1-(n ]12[(-1)2n +-. ∴f(x)=|sinx|=π2-∑∞=1n 2cos2nx 1-4n 1π4；x ∈(-∞,+∞) .注：当x=0时，0=π2-∑∞=1n 21-4n 1π4；由此可得：21=311⋅+531⋅+…+1)-)(2m 1(2n 1+=∑∞=1n 21-4n 1.例3：把定义在[0, π]上的函数为f(x)=πx h 0 h x 21hx 0 1⎪⎩⎪⎨⎧≤<=<<，，，(0<h<π)展开成正弦级数.解：f 在[0, π]上按段光滑，∴可展开成正弦级数. b n =⎰π0f(x)sinnx π2dx=⎰h 0sinnx π2dx=h0|cosnx n π2-=n πcosnh)-2(1, n=1,2,… ∴在(0, π)上，f(x)=∑∞=-1n sinnx nnhcos 1π2.当x=0时，f(x)=0；当x=h 时，f(h)=20)-f(h 0)f(h ++=201+=21.注：若例3中h=π，则有f(x)=∑∞=--1n n sinnx n )1(1π2=∑∞=1n 1-2n 1)x -sin(2n π4, 0<x<π.例4：把f(x)=x 在(0,2)内展开成正弦级数和余弦级数.解：f 在[0, 2]上按段光滑，∴可展开成正弦级数和余弦级数(如图). 又a 0=⎰20x dx=2；当n ≥1时， a n =⎰22 x n πxcos dx=-⎰202 x n πsin n π2dx=2022|2 x n πcos πn 4=22n πn ]1-4[(-1)； b n =⎰22 x n πxsin dx=20|2x n πxcos n π2-=n π4(-1)1n +；∴在(0, 2)上，f 的余弦级数为：x=1-∑∞=1n 221)-(2n 1π8cos 2 x1)π-(2n ； 正弦级数为：x=∑∞=+-1n 1n n )1(π4sin 2xn π；当x=0,2时，正弦级数收敛于0.余弦级数正弦级数习题1、求下列周期函数的傅里叶级数展开式：(1)f(x)=|cosx|；(2)f(x)=x-[x]；(3)f(x)=sin 4x ；(4)f(x)=sgn(cosx). 解：(1)函数f 及其延拓后的函数按段光滑，可以展开成傅里叶级数. ∵f(x)=|cosx|在(2π-,2π)是偶函数，∴其展开式为余弦级数；又a 0=⎰2π0cosx π4dx=π4；当n ≥1时，a n =nx 2cos cosx π42π0⎰dx=⎰+2π0n)x 2cos(1π2dx+⎰-2π0n)x 2cos(1π2dx=2πn)2sin(12n)π(12+++2π2n)sin(1n)π2(12--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n 2112n 11π2(-1)n=)4n π(14(-1)2n - ∴f(x)=|cosx|=π2+∑∞=-1n 2n4n-1)1(π4cos2nx, x ∈(-∞,+∞). (2)函数f 以1为周期，在(0,1)上等价于f(x)=x ， 函数f 按段光滑，可以展开成傅里叶级数. 又a 0=⎰10x 2dx=1；当n ≥1时，a n = x n π2cos x 210⎰dx=1022| x cos2n ππ2n 1=0； b n = x sin2n πx 210⎰dx=-10| x xcos2n πn π1=-n π1；∴当x ≠0, ±1, ±2,…时，f(x)=x-[x]=21-∑∞=1n n1π1sin2n πx ；当x=0, ±1, ±2,…时，该傅里叶级数收敛于21. (3)函数f 按段光滑，可以展开成傅里叶级数，其周期为π，在(2π-,2π)是偶函数，∴其展开式为余弦级数； sin 4x=sin 2x(1-cos 2x)=8cos4x -12cos2x -1- =8cos4x2cos2x 83+-； 又a 0=⎰2π04x sin π4dx=43；a 1=x 2cos 83π42π0⎰dx-⎰2π0222x cos π4dx+x 2cos 8cos4x π42π0⎰dx=-⎰2π022x cos π1d2x=-21； a 2=x 4cos 83π42π0⎰dx-cos4x 2cos2x π42π0⎰dx+⎰2π0284x cos π4dx=⎰2π024x cos 8π1d4x=81； 当n ≥3时，a n =nx 2cos 83π42π0⎰dx-nx 2cos 2cos2x π42π0⎰dx+nx 2cos 8cos4x π42π0⎰dx=0. ∴f(x)=sin 4x=83-21cos2x+8cos4x, x ∈(-∞,+∞). (4)函数f(x)按段光滑，可展开成傅里叶级数，周期为2π，在(π-,π)上等价于f(x)= 2πx 2πx 12πx 02πx 2π1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-±=<<-或，，，是偶函数，∴其展开式为余弦级数. 又a 0=⎰2π0dx π2-⎰π2πdx π2=0；当n ≥1时，a n =⎰2π0nx cos π2dx-⎰π2πnx cos π2dx =⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=12k n 1)π(2k 4)1(2k n 0k，，, k=0,1,2,…； ∴当x ≠2π±时，f(x)=sgn(cosx)=∑∞=+-0n n 12n )1(π4cos(2n+1)x ；当x=2π±时，该余弦级数收敛于0，∴该余弦级数在(-∞,+∞)上成立.2、求函数f(x)= 3x 2x 32x 111x 0x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<≤≤，，，的傅里叶级数并讨论其收敛性. 解：函数f 在[0,3]按段光滑，可以展开成傅里叶级数； 将f 作偶式延拓，则在[-3,3]上，f 可以展开成余弦级数；又 a 0=⎰30f(x)32dx=⎰10x 32dx+⎰21dx 32+⎰32x)-(332dx=31+32+2-35=34；当n ≥1时， a n =⎰103 x n πxcos 32dx+⎰213 x n πcos 32dx +3x n πcos x)-(33232⎰dx ； 又⎰103 x n πxcos 32dx=⎰10x n π2d 3x n πsin =10|3 x n πxsin n π2-⎰103 x n πsin n π2dx=3n πsin n π2+1022|3 x n πcos πn 6=3n πsin n π2+3n πcos πn 622-22πn 6； ⎰213 x n πcos 32dx=21|3 x n πsin n π2=32n πsin n π2-3n πsin n π2； 3 x n πcos x)-(33232⎰dx =32|3 x n πx)sin -(3n π2+⎰323xn πsin n π2dx =-32n πsin n π2-3222|3 x n πcos πn 6=-32n πsin n π2-22n πn 6(-1)+32n πcos πn 622；∴a n =3n πcos πn 622+32n πcos πn 622-22n πn ])1(1[6-+=])1(16n πcos 2n πcos 2[πn 6n 22--- =⎪⎩⎪⎨⎧=--=2k n ]，13k πcos )1[(πk 31-2k n 0k 22，, k=1,2,…；b n =0. 又f(x)延拓后连续，∴f(x)=32+∑∞=--1n n22]13n πcos )1[(n1π3cos 3 x 2n π, x ∈(-∞,+∞). 又∑∞=--1n n2]13n πcos )1[(n 1cos 3 x 2n π=∑∞=-+-1n 2n 2]3n πcos n )1(n 1[cos 3 x 2n π=(-1-21)cos3 x 2π+(-221-21212⋅)cos 3 x 4π+(-231+231)cos2πx+(-241-21412⋅)cos 3 x 8π+(-251-21512⋅)cos 3 x 10π+(-261+261)cos4πx+… =-23cos 3 x 2π-22123⋅cos 3 x 4π+(-231-21312⋅+21312⋅+231)cos2πx -24123⋅cos 3 x 8π-25123⋅cos 3 x10π+(-261-21612⋅+21612⋅+261)cos4πx+…=-23cos 3 x 2π-22123⋅cos 3 x 4π-23123⋅cos 3 x 6π-…-2n 123⋅cos 3x 2n π +23123⋅cos2πx+22213123⋅⋅cos4πx+…+22n 13123⋅⋅cos2n πx=-∑∞=1n 23 x 2n πcos n 123+∑∞=1n 2n161cos2n πx. ∴f 的余弦展开式也可写为：f(x)=32- ∑∞=1n 22n12π9cos 3 x 2n π+∑∞=1n 22n12π1cos2n πx, x ∈(-∞,+∞).3、把函数f(x)=2π-x 在[0,π]上展开成余弦级数.解：对f 作偶式周期延拓，所得函数分段光滑且在(-∞,+∞)上连续.又a 0=⎰⎪⎭⎫⎝⎛π0x -2ππ2dx=0；当n ≥1时，a n =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛π0x -2ππ2cosnxdx=⎰π0nx sin n π2dx=π02|cosnx πn 2-=πn ](-1)-2[12n ；∴在[0,π]上，f(x)=2π-x=∑∞=1n 21)-(2n 1π4cos(2n-1)x.4、将函数f(x)=cos 2x在[0,π]上展开正弦级数. 解：对f 作奇式周期延拓，所得函数分段光滑.b n =⎰π0sinnx 2x cos π2dx=⎰+π0)x 21sin(n π1dx+⎰-π0)x 21sin(n π1dx=-π0|)x 21cos(n 1)π(2n 2++-π0|)x 21cos(n 1)π(2n 2--=1)π(2n 2++1)π(2n 2-=1)π(4n 8n 2-；∴在(0,π)上，f(x)= cos 2x =∑∞=1n 21-4n nπ8sinnx.当x=0, π时，该正弦级数收敛于0.5、把函数f(x)=⎩⎨⎧<<≤<-4x 23-x 2x 0x 1，，在(0,4)上展开成余弦级数.解：对f 作偶式周期延拓，则 a 0=⎰40f(x)21dx=⎰20x)-(121dx +⎰423)-(x 21dx =0；当n ≥1时， a n =4 x n πcos x)-(12120⎰dx +4xn πcos 3)-(x 2142⎰dx=⎰+20204 x n πsin n π2|4 x n πx)sin -(1n π2dx+⎰-42424 x n πsin n π2|4 x n π3)sin -(x n π2dx =-2222πn 82n πcos πn 82n πsin n π2+-+2n πcos πn 8n πcos πn 82n πsin n π22222-+ =])1(1[πn 8n 22-+-2n πcos πn 1622=⎪⎩⎪⎨⎧===2-4k n π)1-(2k 84k n 1-2k n 022，，或, k=0,1,2,…； ∴在(0,4)上，f(x)=2 x1)π-(2n cos 1)-(2n 1π81n 22∑∞=.6、把函数f(x)=(x-1)2在(0,1)上展开成余弦级数，并推出π2= 6∑∞=1n 2n 1. 解：对f 作偶式延拓，则a 0=2⎰1021)-(x dx=32；当n ≥1时， a n =2⎰1021)-(x cosn πxdx=-⎰101)-(x n π4sinn πxdx=22πn 4(x-1)cosn πx|10=22πn 4.∴在(0,1)上，f(x)=(x-1)2=31+∑∞=1n 22n1π4cosn πx. 又f 延拓后连续；∴f(0)=1=31+∑∞=1n 22n1π4；∴∑∞=1n 22n 1π2=31，即π2=6∑∞=1n 2n 1.7、求下列函数的傅里叶级数展开式： (1)f(x)=arcsin(sinx)；(2)f(x)=arcsin(cosx).解：(1)f 以2π为周期，且在[-π,π]上是奇函数，∴a n =0, n=0,1,2,…；b n =⎰⋅π0sinnx x)arcsin(sin π2dx=⎰2π0x sinnx π2dx+⎰π2πx )sinnx -(ππ2dx=-2π2|sinnx n 1xcosnx n 1π2⎪⎭⎫ ⎝⎛--π2π2|sinnx n 1x)cosnx -(πn 1π2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =-2n πcosn 1+2n πsin πn 22+2n πcos n 1+2n πsin πn 22 =2n πsin πn 42=⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=12k n π)1k 2(4)1(2k n 02k ，，, k=0,1,2,…； ∴在(-∞,+∞)上，f(x)=∑∞=+-0n 2n)12n ()1(π4sin(2n+1)x. (2)f 以2π为周期，且在[-π,π]上是偶函数，∴b n =0, n=1,2,…；又a 0=⎰π0x)arcsin(cos π2dx=⎰π0x))-2π(arcsin(sin π2dx=⎰π0x)-2π(π2dx=0；当n ≥1时，a n =⎰⋅π0nx cos x)arcsin(cos π2dx=⎰⋅π0nx cos x))-2π(arcsin(sin π2dx =⎰π0x)cosnx -2π(π2dx=π02|cosnx n 1-x )sinnx -2π(n 1π2⎪⎭⎫ ⎝⎛=](-1)-[1πn 2n2 =⎪⎩⎪⎨⎧==1-2k n π)1-(2k 42k n 02，，, k=0,1,2,…；∴在(-∞,+∞)上，f(x)=∑∞=1n 2)1-2n (1π4cos(2n-1)x.8、试问如何把定义在[0,2π]上的可积函数f 延拓到区间[-π,π]上，使它们的傅里叶级数如为如下的形式：(1)∑∞=1n 1-n 21)x -cos(2n a ；(2)∑∞=1n 1-n 21)x -sin(2n b .解：(1)为使f 的傅里叶级数为余弦级数的形式，需对其进行偶式延拓.又a 0=⎰π0)x (f π2dx=0，且f 在[0,π]的图象由f 从[0,2π]延拓而得， ∴延拓后函数的图象在[0,π]上关于(2π,0)对称.∴可先将f 由[0,2π]延拓到[0, π]，使图象在[0,π]上关于(2π,0)对称； 再将f 由[0, π]偶式延拓到[-π,π]上，即可得所求傅里叶级数.(2)为使f 的傅里叶级数为正弦级数的形式，需对其进行奇式延拓.又b 2n =⎰π0)x (f π2sin2nxdx=0，且sin2nx 在[0,π]上关于(2π,0)对称； ∴f 由[0,2π]延拓到[0, π]后，在[0, π]上关于x=2π对称.∴可通过将f 作奇式延拓使其周期为π，即可得所求傅里叶级数.。
高中数学(人教版)傅里叶级数课件
其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存 并且在这有限个点上导函数
在且连续, 极限存在,
f 的左、右
则称 f 在
[a , b]上按段光滑.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质: (i) f 在 (ii) 在
所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛, 则它的和一定是一
个以
为周期的函数. 2π
关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
定理15.1
若级数
| a0 | (| an | | bn, |) 收敛 2 n 1
(8)
( x ) ( x )dx 0,
a
b
则称 交性.
与 在 [a , b] 上是正交的,
由此三角函数系(5)在
或在
[a , b]上具有正
[ π, π] 上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
(10a ) (10b周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三
角函数系) 的傅里叶级数,
记作
a0 f ( x ) ~ (an cos nx bn sin nx ). 2 n1
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
π
(7)
§1 傅里叶级数
傅里叶级数a0
傅里叶级数a0傅里叶级数是数学中重要的概念之一，它有着广泛的应用和深远的影响。
傅里叶级数由法国数学家傅里叶提出，它是一种将周期函数表示为无穷级数的方法。
这个概念在理论物理、工程学以及信号处理等领域中扮演着重要的角色。
在傅里叶级数的理论中，一个周期函数可以表示为一系列正弦和余弦函数的叠加。
具体地说，傅里叶级数可以将一个周期函数分解成若干个不同频率的正弦和余弦函数的和。
其中，每个正弦和余弦函数都有一个振幅和相位。
这些振幅和相位的组合就是傅里叶级数的系数。
傅里叶级数有许多重要的性质。
其中一个重要性质是可逆性，即通过傅里叶级数可以得到原始函数。
这种可逆性使傅里叶级数在信号处理中非常有用。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号分解为不同频率的分量，并进行相应的处理。
这在音频和图像处理中起着重要的作用，例如音乐合成、过滤和压缩等。
傅里叶级数还有一个重要的应用领域是解决偏微分方程。
在理论物理中，许多物理过程可以通过偏微分方程来描述。
通过将周期边界条件下的偏微分方程求解转化为傅里叶级数问题，我们可以得到方程的解，并研究其特性。
这种方法在传热学、电磁学等领域中得到广泛应用。
在现代科学和工程中，傅里叶级数已经成为一种重要的理论工具。
它不仅提供了对周期函数的一种全面的描述，还为解决许多实际问题提供了有效的数学工具。
傅里叶级数的发展还催生了后续的傅里叶变换和傅里叶分析等重要的数学方法。
然而，傅里叶级数也存在一些局限性。
首先，它仅适用于周期函数。
对于非周期函数，我们通常需要使用傅里叶变换等其他方法。
其次，傅里叶级数的收敛性和系数的计算可能会涉及到一些复杂的数学分析。
这需要一定的数学背景和技巧才能理解和应用。
总之，傅里叶级数是数学中一项非常重要的成果，它为我们提供了一种将周期函数表示为正弦和余弦函数叠加的方法。
傅里叶级数在信号处理、偏微分方程求解等众多领域中应用广泛，为解决实际问题提供了强大的工具。
然而，傅里叶级数还有一些局限性，需要结合其他数学方法来应对。
高等数学第七节傅里叶级数
例3. 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x) = x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
an = 0 (n = 0 ,1, 2 , )
bn
=2
0
nx
d
x
=
1 xsin π n
nx
+
cos nx n2
0 −π
=
1− cos nπ n2 π
1− (−1)n
= n2 π
an
=
1
−
cos n n2 π
π
=
2 (2k −1)2 π
0,
,
n = 2k −1 n = 2k
( k = 1, 2 , )
bn
=
1 π
π
f (x)sin nx d x
傅里叶展开
上的傅里叶级数
例4. 将函数
解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数 F(x) , 则
展成傅里叶级数.
y
−π O π
x
a0
=
1 π
π
F(x)d x =
−π
1 π
π −π
f (x)d x
=π
an
=
1 π
π
−π
F (x)cos nx d
x
=
1 π
π
−π
f
(x)cos nx dx
=
2 π
n=1
cos
n
x
+ bn
sin
n
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2）对称性： a ,
b
b,
a,
3）线性性： a,
1b
2
c
1
a,
b
2
a,
c
4）分配率： a,
b
c
a,
b
a,
c
定义3： 在n维向量空间Rn定义内积运算， 称为欧几里得（Euclid）空间.
定义 4： ar Rn,ar (a1,a2,L ,an),定义向量的长度（或者范数）
Bo A;r X 0 X A r, X , A Rn .
定义1（集合有界）设集合E Rn,如果存在r 0,使得
E B O;r ，则称集合E有界.
定义2（开集合）设集合E Rn , E,如果存在r 0,使得
B O;r ，则称为集合E的内点.E的所有内点的集合记为
Eo，如果Eo =E，则称E为开集合.
U 2)如果Ei为闭集合，则 Ei为闭集. i=1
定义5(聚点) 设E Rn , A Rn ,如果对任意r 0,
Bo A;r 中总有E中得点，则称A为集合E的聚点.
定义6(导集和闭包) 设E Rn ,集合E所有聚点的集合 称为E的导集,记为E',集合E U E'为集合E的闭包,记为E.
例 设E x, y x2 y2 a ,则 E' E x, y x2 y2 a
E，
因此X为内点，结论得证。
注：结论3）只能有限个开集的交为开集合,例如：
I
B
i 1
O;
1 i
O
定义3（集合的补集）
E Rn ,定义 Ec Rn \ E为集合E的集.
y
例
Ec (x, y) x2 y2 a
集合E x, y x2 y2 a
补集为
Ec x, y x2 y2 a .
, an
bn ),
b (b1 , b2 ,L , bn ),
R,a,b Rn.
性质1
ar,
v b,
cr
R
n
,
,
R,
则有
1）交换律：ar
r b
r b
ar；
2）结合律：ar
r b
cr ar
r b
cr
；
3）分配率：
ar
r b
ar
r
b,
ar ar ar,
ar ar .
定理1 对任意集合E Rn , E o为开集.
定理2(开集运算性质) 1)Rn , 为开集合;
2)设E , I为开集合族,则 U E为开集; I
n
3)设Ei
,
i
1,
2,K
,
n为开集,则 i 1
Ei为开集.
证明 : X
U
I
E ,则E1
U
I
E ,
X
E1 ,
因此存在r>0,使得
B X;r
E1
U
I
1)E a,bc,d ; 2)E x, y xy 0;
3)E x, y xy 0;4)E x, y x, y均整;
5)E
x,
y
y
sin
1 x
,
x
0
定义两个向量的夹角为
cos(a, b)
a b
ab
a1b1 a2b2 L anbn
。
a12 a22 L an2 b12 b22 L bn2
12.2 Rn 中点集合的基本概念
引入几个记号：
B A;r X X A r, X , A Rn ；
B A;r X X A r, X , A Rn ；
anbn
a12 a22 K an2 b12 b22 K bn2 因此由内积运算性质
a
b
2
a
b,a
b
a,
a
2
a,
b
b,
b
2
a 2 a
b
b
2
a
b
2
，
因此结论得证。
定义5(向量内积运算)： 任意 a, b Rn不为零向量,
a (a1 , a2 ,K , an ), b (b1, b2 ,K , bn )，
Ec E
x2 y2 a2
O
x
定理 3 (De Morgan 定理) 设I为指标集合,则
I U
1)
c E
Ec ;
I I
U I
2)
c E
Ec
I I
定义4（闭集）E Rn ,定义 Ec为开集,则称E为闭集.
定理4 (闭集合的运算性质) 设I为指标集合,则
I 1)如果集合族E , I ,为闭集,则 E为闭集; I n
例 E x, y x2 y2 a, x 0 U x, y x2 y2 a, x 0
不是开集合,也不是闭集合.
定理5 E Rn为闭集的充分必要条件为E' E.
定义7 （集合的外点和边界） 设E Rn
Ec o 为集合E的外点，外点的全体称为集合E的外部；
既不是内点也不是外点的集合称为的E边界.
定义2 在Rn中定义了向量的加法和数乘运算， 称Rn为n维向量空间.
定义3
ar,
r b
Rn , ar
(a1, a2 ,L
r , an ), b
(b1, b2 ,L
, bn )，
定义内积运算：ar
r b
a1b1
a2b2
L
anbn
n
aibi .
i 1
通常记为
ar,
r b
性质（ 2 内积的运算性质） a , b, c Rn , 1，2 R，
第12章 多变量函数 极限与连续
12.1 n维 Euclid 空间
引进记号：
Rn {( x1, x2 ,L , xn ) : xi R, i 1, 2,L , n}
定义1 定义Rn中加法和数乘
这arar里brarr((aa(1a1, 1,aab212,,,LLa2
b2 ,L
, an ),
, an )，
ar (a,a) a12 a22 K an2
性质3(范数性质)：ar
,
r b
Rn
,
R,则1）ar来自 0；2）ar ar ；
3）ar
r b
ar
r b（三角不等式）
证明3）
设ar
(a1 ,
a2 ,K
,
an
),
r b
(b1, b2 ,K
,
bn ),则根据柯西不等式
a,
b
a1b1
a2b2
K
E y
(Ec )o
成立:
Eo
Rn Eo U
Ec
o
U E
O
x
定义6 (区域) 集合E中任意两点之间可以有一条完全含于 E的不间断曲线连接,则E是连通的. 进一步连通的开集称为 (开)区域. 区域的闭包称为闭区域. 区域包括开区域、闭区 域以及开区域和一部分边界点组成的区域.
例1 判断下面集合是开集\闭集\区域,并求导集和边界集合