概率论中数学期望的概念

毕业论文（设计）

题目：概率论中数学期望的概念

姓名：

学号：0411*******

教学院：数学与计算机科学学院

专业班级：数学与应用数学专业2008级1班

指导教师：

完成时间：2012年04月10日

毕节学院教务处制

概率论中数学期望概念

摘要：数学期望是现代概率论中最重要的基本概念之一，无论在理论上还是在应用中都具有重要的地位和作用。但是，数学期望这一概念对许多学者来说却又是一个难点，特别是对概念的理解和对这一数学工具的使用上都很难掌握。本文从离散型随机变量的来源、定义、分布及其理解上详细阐述概率论中的数学期望的概念及其性质，并介绍说明这一数学工具在实际生活中的应用。目的是希望能给更多的学者提供一些参考及帮助。

关键词：离散型；随机变量；分布；函数；期望

Mathematical expection concept

in theory of probability

Candidate:Xiong Xiao-ping Major:Mathematics and applied

mathematics

Student No:0411******* Advisor:Xue Chao-kui(Lecturer)

Abstract:Mathematical expectation is the modern theory of probability in the most important one of the basic concept, whether in theory or in the applications has an important position and role. But, mathematical expectation is a difficult concept for many scholars, especially for the understanding of concepts and the mathematical tools to the use of all difficult to master. This article from source of discrete random variable, definition, distribution and understand the detail on the mathematics of the concept of probability theory and its properties expectations, and introduces the mathematical tools that in the actual life application. The main purpose is to give more scholars can provide some reference and help.

Keywords:discrete; Random variable, Distribution; Functions; expect

目录

引言 (1)

1 预备知识 (2)

1.1 随机变量的定义 (2)

1.2 离散型随机变量的定义 (2)

2 离散型随机变量的几种分布 (5)

2.1 0—1分布（两点分布） (5)

2.2 二项分布 (6)

2.3 泊松分布 (6)

3 随机变量的分布函数及期望 (7)

3.1 一维随机变量的分布函数 (7)

3.2 二维随机变量及其概率分布 (9)

3.3 多维随机变量分布及其数学期望 (10)

结束语 (13)

参考文献 (14)

致谢 (15)

附录 (16)

引言

数学期望的概念起源于赌博，早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机会相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可获得100法郎的奖励。等比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因终止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平呢？用概率论的知识不难得出，甲获胜的概率为

11132224+⨯=，或者分析乙获胜的概率为111

224

⨯=，因此由此引出了甲的期望所得值为3

100754

⨯=法郎，乙的期望所得值为25法郎。

概率论是1718，世纪欧洲思想和文化的产物，其每一概念和方法的提出和进展几乎都受到当时盛行的价值观，社会思潮和所拥有的社会资源的影响。在这方面，概率论中期望思想的发展历史是一个典型的案例。对它在17和18世纪的历史作一些研究，就会发现这个议题涉及当时人们在所有领域中对清晰性和确定性的态度和希望。在这个过程中，他们遇到的一些困难以及他们对这些困难的回应，为审视数学期望的发展和社会化之间的关系提供了一种具有启发性的视角。

尽管由帕斯卡和惠更斯等人所启动的概率论这门学科被称作概率演算，但早期概率论学者研究的一个中心问题是期望而不是概率。早期概率论中对数学期望的强调是由于这个概念承载了当时常用的“期望“术语的两种不同的定性含义，一是人们对法律中公平公正的期望，另一种是源于经济学中的公平获利的思考。这两重含义使得它成为将数学概率与社会科学连接起来的桥梁。

因此，早期的概率期望承袭了当时常用术语“期望”的两种不同的定性含义，这两种关于期望的视角——法律的和经济的，一个与公平有关，而另一个与利益有关，两者铸造了尚未成熟的概率期望的早期数学理论。从1654年概率论最早形成直到1812年拉普拉斯《分析概率论》的出版，法律的平等和经济的谨慎在不同的方向上推动了数学概率中的概率期望的发展，使得期望成为这个学科中早期发展中的一个中心概念。

为了便于研究，下面只探讨概率论中离散型随机变量的数学期望，将从随机变量的定义，分布进行分析引入。

自然界的现象，可以分成必然现象和随机现象两大类。在一组给定条件下，某一事情必然发生。例如，在一个大气压下水的温度降到零度以下就会结冰；偶