概率论中数学期望的概念
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。
具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。
数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。
具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = ∫x*f(x)dx数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。
例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。
2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。
通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。
3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。
例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。
4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。
游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。
5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。
通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。
6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。
通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。
总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。
概率论第三章
一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、应用实例
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§3.1
数学期望
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望
因而其数学期望E(X)不存在.
§3.2 数学期望的性质 一、性质
性质3.1 设C是常数, 则有ECC. 证
E X E C 1 C C . E CX CE X .
性质3.2 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 证 E CX Cxk pk C xk pk CE X .
数学期望, 记为EX, 即
E X
xp x dx .
4. 数学期望不存在的实例
例3
设随机变量X的分布律为 1 PX n , n 1,2,, nn 1
求证: 随机变量X没有数学期望.
证 由定义, 数学期望应为
1 E X npn . n1 n 1 n 1
求EX, EY, E (Y / X ), E[( X Y )2 ]. 思考： X2的分布律？
例7 设随机变量X ~ N0,1, Y ~U0,1, Z~B5,0.5, 且X, Y, Z相互独立, 求随机变量W 2X+3Y4Z1
的数学期望.
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
概率的分布与期望
概率的分布与期望概率是一种描述事件发生可能性的数学工具，而概率的分布与期望则是概率论中重要的概念之一。
本文将介绍概率分布和期望的概念及其与实际问题的应用。
一、概率分布概率分布是描述一个随机变量所有可能取值及其对应概率的函数。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
1.离散概率分布离散概率分布用于描述随机变量取有限或可数多个值的概率情况。
其中最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是一种重要的离散概率分布，用于描述n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
在二项分布中，每次试验有两种可能的结果，成功或失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
其概率质量函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中X为成功次数，k为取值范围内的一个值，C(n,k)表示组合数。
泊松分布用于描述在一定时间或空间内，事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=(λ^k * e^-λ)/k!，其中X为事件发生次数，k为取值范围内的一个值，λ为事件发生的平均次数。
2.连续概率分布连续概率分布用于描述随机变量在一定区间内取值的概率情况。
其中最常见的是均匀分布、正态分布和指数分布。
均匀分布是一种简单的连续概率分布，它的概率密度函数在取值范围内是常数。
均匀分布的概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中a为最小值，b为最大值。
正态分布（高斯分布）是一种常见的连续概率分布，广泛应用于自然和社会科学领域。
正态分布的概率密度函数为f(x)=(1/√(2πσ^2))*e^((x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
指数分布用于描述事件发生的时间间隔的概率分布，如等待时间、生命周期等。
指数分布的概率密度函数为f(x)=λ*e^(-λx)，其中λ为每单位时间发生事件的平均次数。
二、期望期望是一个概率分布的数学期望，用于描述随机变量的平均值。
期望可以看作是随机变量在大量重复实验中出现的平均值。
概率论——数学期望
概率论——数学期望
数学期望是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的平均值。
在数学上，数学期望可以定义为随机变量的每个可能取值乘以其对应的概率，并将这些乘积相加。
设随机变量X的取值有n个，分别记为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn。
则X的数学期望E(X)可以表示为：
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + … + xn*pn
数学期望可以理解为随机变量所取得值的加权平均。
每个取值乘以其概率，再将所有乘积相加，就得到了数学期望。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，例如在赌博中，可以用数学期望来计算每次下注的预期收益；在保险业中，可以用数学期望来评估保险责任的大小；在金融学中，可以用数学期望来衡量金融产品的风险与回报等。
需要注意的是，数学期望不一定是随机变量取值的实际可能值，而是其平均值。
因此，即使随机变量的可能值与数学期望相差较大，在大量重复实验中，随机变量的平均取值仍然趋近于数学期望。
这正是数学期望的统计意义所在。
数学期望是概率论中用于描述随机变量的平均值的概念。
它可以通过将随机变量的可能取值与对应的概率相乘，再将所有乘积相加得到。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，可以用于预测和评估各种概率事件的平均效果。
数学期望
《概率论与数理统计》第四章随机变量的数字特征数学期望：1.随机变量数学期望的定义—连续型E(ξ)=⎰-∞+∞xp(x)dx E(g(ξ))=⎰-∞+∞g(x)p(x)dx 2.二维随机变量(X,Y)的数学期望：连续型E(X)=⎰-∞+∞xf X (x)dx=⎰-∞+∞⎰-∞+∞xf(x,y)dxdy E(Y)=⎰-∞+∞yf Y (y)dy=⎰-∞+∞⎰-∞+∞yf(x,y)dxdy 3.二维随机变量X 的函数Y=g(X)的数学期望：E[g(X,Y)]=⎰-∞+∞⎰-∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy 4.数学期望的性质E(c)=c ,E(a ξ)=a ξ,E(ξ±η)=E ξ±E η若ξ与η相互独立，则E(ξη)=E ξE η方差：1.随机变量方差的定义−−-D(X)=E[X-E(X)]2=EX 2–(EX)2D(X)=⎰-∞+∞[x-E(X)]2f(x)dx 2.方差性质：D(c)=0,D(a ξ)=a 2ξ,D(a ξ+b)=a 2D ξ,D(ξ±η)=D ξ+D η±2cov(ξ,η)若ξ与η相互独立，则D(ξ±η)=D ξ+D η协方差：1.ξ与η的协方差cov(ξ,η)=E[(ξ-E ξ)(η-E η)](或为σξη)2.协方差的性质：cov(ξ,ξ)=D ξcov(ξ,η)=cov(η,ξ),cov(ξ,c)=0cov(a ξ,b η)=ab cov(ξ,η),cov(ξ,η±ζ)=cov(ξ,η)±cov(ξ,ζ)3.协方差矩阵：设n 维随机变量X 1,X 2,…,X n ,记c ij =cov(X i ,X j )，则称阶矩阵C=(c ij )n ⨯n 为X 1,X 2,…,X n 的协方差矩阵例1：设ξ的密度函数p(x)=2x ∈[1，3]其它求：E ξ[解]∵1=⎰-∞+∞p(x)dx ∴c=3/2;E ξ=⎰-∞+∞xp(x)dx=⎰13x 32x 2dx=32lnx=32ln3.例2设x 1，x 2是随机变量ξ的两个任意取值，证明：E[(ξ-x 1+x 22)2]≥D ξ。
概率论数学期望
x
k 1
k
pk 不绝对收敛，则称 E ( X ) 不存在
概率统计
例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时 从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑 五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、 100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、 黄、蓝、白、黑的比例分别为： 0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的 奖金额X的数学期望.
n 1
(n 1) t t p q
n1 t t (n 1) t np ( p q ) np C k p q 1
n 1
np[ p (1 p)] np
概率统计
k 0
n1
即: E ( X ) np
(3) 泊松分布
若随机变量X 的所有可能取值为： 0,1, 2, 而它的分布律(它所取值的各个概率)为：
e
( x )2 2 2
dx
y2 2
令:y
x
ye
y 2
2
2
概率统计
dy 2
2
1
( y )e
dy
e
y2 2
dy
2 0 2 即: E ( X )
结论：正态分布中密度函数的参数 恰好就是 随机变量X的数学期望.
P( X k )
k e
k!
k 0,1, 2, 即: X～P ( )
概率与统计中的期望值计算
概率与统计中的期望值计算期望值是概率与统计中的一个重要概念，用于衡量随机变量的平均值。
在概率论和统计学中，期望值是一种对随机变量取值的加权平均，通过对随机变量的每个可能取值乘以其对应的概率，然后将所有结果相加得到。
本文将介绍概率与统计中的期望值计算方法及其应用。
一、期望值的定义在概率与统计中，期望值表示随机变量的平均值，用E(X)表示。
对于一个离散型随机变量X，其期望值的计算公式如下：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x代表随机变量X的每一个可能取值，P(X=x)代表该取值发生的概率。
对于一个连续型随机变量X，其期望值的计算公式如下：E(X) = ∫x f(x)dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
二、期望值的计算方法1. 离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，可以通过列出所有可能取值及其对应的概率，然后将每个取值乘以其概率，最后将所有结果相加来计算期望值。
例如，假设有一个掷骰子的实验，随机变量X表示掷骰子的结果，其可能取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6。
则可以计算如下：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5因此，掷骰子的期望值为3.5。
2. 连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量X，其期望值的计算需要使用积分。
首先需要确定随机变量X的概率密度函数f(x)，然后将x乘以f(x)，再对整个乘积进行积分。
例如，假设有一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。
则可以计算如下：E(X) = ∫x f(x)dx = ∫x [(1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))]dx这个积分可以通过数值计算或使用数学软件进行求解。
浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解
浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解作者：曹小玲来源：《教育教学论坛》2014年第45期摘要：在概率论与数理统计的学习中，“数学期望”是一个比较抽象的概念，本文阐述了“数学期望”概念讲解中比较重要的三个内容，即：如何“定义”，如何“引申”到连续型随机变量的定义，以及如何“过渡”到方差。
关键词：数学期望；概率论与数理统计；教学中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）45-0199-03在我们进行概率论与数理统计的教学中，教材的编排往往是在进行了随机变量及其分布函数的学习之后，立刻进入随机变量数字特征的学习，而最先面对的数字特征就是数学期望。
“数学期望”这个概念的起源源于下面这个经典典故。
早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做布莱士·帕斯卡，一个叫做费马。
帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。
他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。
赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。
那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。
正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3/4，赢了3局的拿这个钱的1/4。
这是为什么呢？假定他们俩再赌一局，A有1/2的可能赢得他的第5局，B有1/2的可能赢得他的第4局。
若是A赢满了5局，钱应该全归他；若B赢得他的第4局，则下一局中A、B赢得他们各自的第5局的可能性都是1/2。
所以，如果必须赢满5局的话，A赢得所有钱的可能为1/2+1/2×1/2=3/4，当然，B就应该得1/4了。
数学期望由此而来。
通过这几年的教学体会和教学经验，笔者发现“数学期望”这一概念尽管来源于生活，而且跟现实生活结合得非常紧密，但因为它非常抽象，一般同学学到这个地方就会感觉到难于理解和接受。
数学期望公式3篇
数学期望公式第一篇：基础概念与定义数学期望是概率论中的一个重要概念，它可以用于描述随机变量的平均值，也可以用于评价随机事件的平均结果。
在现代数学、统计学以及应用科学等领域，数学期望被广泛应用。
本文将介绍数学期望的基础概念与定义。
数学期望，又称为期望值或期望数，是指对于一组数据，分别乘以它们出现的概率后再相加得到的结果。
从数学上来说，对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的公式来表示：E(X) = Σ(x*p(x))其中，x为X的可能取值，p(x)为X取值为x的概率，Σ表示对所有可能取值x的求和操作。
同样的，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)可以用下面的积分形式来表示：E(X) = ∫x*f(x)dx其中，f(x)为X的概率密度函数。
在实际应用中，数学期望可以用来解决很多问题。
例如，对于平均身高为175cm的人群，如果我们想知道某一个个体身高与平均身高的差距有多大，我们可以计算出这个人的身高与平均身高的差值，并将其除以人群总数。
这样，得到的结果就是所有个体身高与平均身高之差的平均值，即身高的数学期望。
通过比较这个差值与标准差，我们可以了解这个人的身材是否比较健康和匀称。
另外，数学期望还可以用于描述随机事件的效果。
例如，当我们掷骰子时，我们可以计算出每个点数和其对应的概率，然后将它们相乘再相加，得到的结果就是掷骰子的数学期望。
如果我们掷了十次骰子，我们可以将每次掷骰子得到的点数的平均值与掷骰子的数学期望相比较，了解我们掷骰子的效果如何。
总之，数学期望是衡量随机变量的均值的一种方法，它可以用于处理多种实际问题。
在实际应用中，要根据实际情况选择相应的数学期望公式进行计算和分析。
在下一篇文章中，我们将继续介绍数学期望的一些重要性质和应用。
第二篇：数学期望的性质和应用数学期望作为概率论中的一个重要概念，其具有多种性质和应用。
通过了解这些性质和应用，我们可以更深入地了解数学期望的本质。
数学期望在经济决策中的作用
数学期望在经济决策中的作用什么是数学期望数学期望是概率论中的一个重要概念，也常常出现在统计学中。
它是对随机变量取值的平均值的度量，因此也被称为随机变量的均值。
在离散随机变量的情况下，数学期望的公式如下：$$ E(X) = \\sum_{i=1}^n x_i p_i $$其中，X是随机变量，x i是X取值为x i的概率，p i是X取值为x i的概率。
在连续随机变量的情况下，数学期望的公式变为：$$ E(X) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} xf(x)dx $$其中，f(x)是X的概率密度函数。
数学期望在经济决策中的作用数学期望在经济决策中有着广泛的应用。
它能够对不确定的经济事件做出量化的预测，从而帮助决策者做出更准确的决策。
具体来说，数学期望在经济决策中有以下作用：风险评估在经济活动中，往往涉及到某些不确定的风险。
例如，投资股票可能会面临价格波动带来的风险，选择生产某种产品可能会面临市场需求波动带来的风险。
为了衡量这些风险的大小，可以使用数学期望来计算预期收益或损失。
如果一个投资方案的预期收益高于预期损失，那么这个投资方案就被认为是可行的。
决策评估在做出具体决策的时候，数学期望也可以为决策者提供一些决策依据。
例如，某公司要选择一个新的产品研发方向。
如果已知每个研发方向的收益和概率，就可以使用数学期望来计算每个方向的预期收益，从而为决策者提供了参考。
风险控制不管是在个人投资还是企业经营中，风险控制都是非常重要的一环。
数学期望可以帮助投资者或企业主掌握自己的风险承受能力。
例如，在股票投资中，投资者可以使用数学期望来计算出不同风险投资组合的预期收益和风险度量，从而选择最合适的投资组合来达到收益最大化或风险最小化的目标。
数学期望的局限性尽管数学期望在经济决策中有着重要的作用，但是它也存在一些局限性。
其中最主要的一点是，数学期望无法考虑到异质性。
在实际情况下，同一个人面对同样的选择，可能会根据自己的性格、偏好或经验做出不同的决策。
数学期望的计算方法探讨
数学期望的计算方法探讨数学期望是统计学中的重要概念，用于表示一个随机变量的平均值。
它的计算方法可以通过多种途径进行探讨。
本文将通过概率论和统计学的角度，详细探讨数学期望的计算方法。
首先，我们来看数学期望的定义。
对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)定义为：E(X)=ΣxP(X=x)，其中x是随机变量X可能取到的值，P(X=x)是X取值为x的概率。
计算数学期望可以通过以下几种方法进行探讨：1.直接计算法：对于简单的随机变量，可以通过直接计算每个可能取值的概率乘以对应取值的数值，然后将所有结果相加，得到数学期望。
这种方法适用于取值较少且规律明显的离散型随机变量。
2.均值法：对于服从正态分布的随机变量，可以使用均值法计算数学期望。
根据正态分布的性质，期望值等于均值。
因此，可以直接使用样本均值作为数学期望的估计值。
3.条件概率法：对于复杂的随机变量，可以使用条件概率法进行计算。
该方法通过条件概率的性质，将复杂的问题转化为多个简单问题的求解。
具体步骤是先计算条件概率，然后使用条件概率的定义计算数学期望。
4.矩法：矩法是一种常用的数学期望计算方法，尤其适用于连续型随机变量计算。
它通过计算随机变量的各阶矩，然后利用矩序列的性质求解数学期望。
具体步骤是先计算均值和方差，然后使用矩的性质计算数学期望。
5.生成函数法：生成函数法是一种高级的数学期望计算方法，适用于较为复杂的离散型随机变量。
它通过构建生成函数，将数学期望的计算问题转化为生成函数的求导和求值问题。
具体步骤是先构建生成函数，然后对生成函数求导和求值，得到数学期望。
以上是数学期望计算的几种常用方法，它们在不同情况下具有不同的适用性。
在实际问题中，根据具体的随机变量以及问题的性质，可以选择最合适的方法进行计算。
在选择方法时需要考虑计算的复杂性、精确性以及可行性。
总结起来，数学期望的计算方法可以通过直接计算法、均值法、条件概率法、矩法和生成函数法等途径进行探讨。
概率论与数理统计第四章数学期望
如果 | xk | pk 有限,定义X的数学期望
k 1
P(X=xk)=pk , k=1,2,…
E ( X ) xk pk
k 1
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个 绝对收敛的级数的和.
分赌本问题 A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利 润为
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手射中的环数分别为 X 1 , X 2 . 甲射手
击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环),
200
即为 X 的可能值与其概率之积的累加.
引例2 射击问题 设某射击手在同样的条件下, 瞄准靶子相继射击90次,(命中的 环数是一个随机变量).射中次数 记录如下 命中环数 k 0 1 2 3
命中次数 nk
2 13 15
4 20
5
10
30
2 13 15 nk 10 20 30 频率 90 90 90 n 90 90 90 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
1 3 200 0 4 4
50(元).
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局 B 胜1局 的前提下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
0 3 1 其概率分别为: 4 4 因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 3 1 200 0 150(元). 等于 4 4
数学期望与方差的公式
数学期望与方差的公式数学中，期望和方差是两个重要的概念。
它们是统计学和概率论中的核心概念，用于描述和衡量概率分布的特性和不确定性。
在本文中，我们将详细介绍数学中期望和方差的定义和计算公式，并对其性质和应用进行详细讨论。
首先，让我们从期望开始。
期望是概率分布的平均值，表示对概率分布的中心位置的度量。
对于一个离散随机变量X，其期望E(X)可以用以下公式来计算：E(X)=Σ(x*P(X=x))其中，x是随机变量X可能取的值，P(X=x)是X取值为x的概率。
对于一个连续随机变量X，其期望E(X)可以用以下公式来计算：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)是X的概率密度函数。
期望有很多重要的性质。
首先，期望是线性的，即对于常数a和b，E(aX+b)=aE(X)+b。
这意味着我们可以将常数系数从一个随机变量中提取出来。
此外，期望还满足E(c)=c，其中c是一个常数。
这意味着一个常数的期望就是它本身。
接下来，让我们来讨论方差。
方差衡量了随机变量偏离其期望值的程度。
对于一个离散随机变量X，其方差Var(X)可以用以下公式来计算：Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(X = x))同样，对于一个连续随机变量X，其方差Var(X)可以用以下公式来计算：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx方差也有一些重要的性质。
首先，方差可以用来度量概率分布的离散程度。
方差越大，随机变量的取值就越分散。
其次，方差是非负的，即Var(X) ≥ 0，且只有当X是常数时，方差才为0。
最后，方差具有一个重要的线性性质，即对于常数a和b，Var(aX + b) = a^2 * Var(X)。
这意味着我们可以通过常数系数的平方来调整随机变量的方差。
除了期望和方差，还有一些其他的重要的概念与它们相关。
例如，协方差是用来度量两个随机变量之间线性关系的程度。
Cov(X,Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))协方差的符号可以表明随机变量之间的关系是正相关还是负相关。
概率论第一节 数学期望
i 1 i 1 n n
请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
E[ X i ] E ( X i ) （诸Xi相互独立时）
i 1 i 1
n
n
三、数学期望的性质
计算t的值使得EY 达到最大 t ( EY ) 7 0 t 3500 t 500 即组织货源3500吨为宜.
二、连续型随机变量的数学期望
综上：
xi pi , X 离散型 i 1 EX xf ( x )dx , X 连续型
发散，则称X的数学
二、连续型随机变量的数学期望
关于定义的两点说明 (1)连续型随机变量X的数学期望为实数域R上 对取值与密度值乘积的广义积分. (2)注意区分： xf ( x)dx E ( X )
f ( x)dx 1
二、连续型随机变量的数学期望
x2 0 x1 f ( x ) 2 x 1 x 2，求EX . 0 其它
15 40 30 10 5 18 19 20 21 22 100 100 100 100 100
18 15% 19 40% 20 30% 2110% 22 5%
—各年龄出现的频率 将此种方法下计算的平均年龄称为依频率的加权平均。
例如：评价地区粮食水平，只需了解粮食的平 均产量；评价棉花质量，既要注意纤维的平均长度， 又要注意个体真实长度与平均长度的总体偏差程度， 一般认为，平均长度越长，整体偏差越小，质量就 越好。 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字 特征是重要的 . 常用的数字特征：数学期望，方差.
概率的分布与期望总结
概率的分布与期望总结概率论是数学中的一个重要分支，研究事件发生的可能性以及各个事件之间的关系。
在概率论中，概率的分布与期望是两个核心概念，它们分别描述了随机变量的取值情况和平均值。
本文将对概率的分布与期望进行总结，并探讨其在实际生活中的应用。
一、概率的分布概率的分布是指随机变量各个取值出现的可能性。
常见的概率分布有离散型和连续型两种。
离散型概率分布指的是在一定范围内随机变量取某个值的概率。
例如，抛一枚均匀硬币，正面向上的概率为0.5，反面向上的概率也为0.5。
又如，掷一个六面骰子，每个面出现的概率均为1/6。
离散型概率分布的特点是各个取值之间是互斥的。
连续型概率分布则是在一定范围内随机变量取某个区间值的概率。
例如，身高在160cm到170cm之间的人数占总人数的20%。
连续型概率分布的特点是各个取值之间是连续的。
二、期望期望是概率论中用于度量随机变量取值的平均值。
在离散型概率分布中，期望的计算方法是将随机变量所有可能取值乘以其对应的概率，再将结果相加。
在连续型概率分布中，期望的计算方法是将随机变量的取值范围按照概率密度函数进行加权平均。
期望是一个重要的指标，它能够帮助我们预测某个随机变量的平均取值。
例如，抛一枚均匀硬币10次，正面向上的次数的期望值为5。
期望还可以用于分析风险和收益的平衡关系，在金融领域具有广泛的应用。
三、应用案例概率的分布与期望在各个领域都有广泛的应用，下面以几个案例进行说明。
1. 购买彩票：购买彩票是一个涉及概率的行为。
在计算购买彩票的期望时，我们可以将每个奖项中奖金额与中奖概率相乘，再将结果相加，从而得到购买彩票的期望回报。
如果期望回报为负值，则说明购买彩票是一种不划算的行为。
2. 保险业务：概率论在保险业务中有着广泛的应用。
保险公司可以通过分析概率的分布和期望来确定保费的定价。
同时，保险公司还可以通过概率的分布来评估风险，为客户提供合理的保险策略。
3. 投资决策：在金融投资中，概率的分布和期望可以帮助投资者进行决策。
概率公式期望的线性性质
概率公式期望的线性性质概率论中，期望是一种描述随机变量平均值的概念。
期望具有许多重要的性质，其中之一是线性性质。
线性性质指出，对于两个随机变量的加权和，其期望等于两个随机变量分别的加权期望之和。
本文将探讨概率公式期望的线性性质，并通过数学证明加以说明。
1. 期望的定义在介绍线性性质之前，我们先回顾一下期望的定义。
对于一个离散型随机变量X，其期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∑(xi * P(xi))其中，xi代表X可能取到的值，P(xi)代表X等于xi的概率。
2. 线性性质的表述线性性质可以表述为：对于两个随机变量X和Y以及两个实数a和b，有：E(aX + bY) = a * E(X) + b * E(Y)3. 证明线性性质为了证明线性性质，我们对E(aX + bY)进行计算。
根据期望的定义，我们可以展开计算公式：E(aX + bY) = ∑[(axi + byi) * P(xi, yi)]= ∑(axi * P(xi, yi)) + ∑(byi * P(xi, yi))= a * ∑(xi * P(xi, yi)) + b * ∑(yi * P(xi, yi))= a * E(X) + b * E(Y)根据以上证明，我们得到了线性性质的结论。
4. 应用线性性质的实例线性性质在实际应用中具有广泛的用途。
例如，假设一个随机变量X代表一次抛硬币的结果，取值为正面或反面，概率分别为p和q。
我们希望计算2X + 3的期望。
根据线性性质，我们可以将2X + 3展开为2 * X + 3 * 1，即a = 2，b = 3，X代表抛硬币结果的随机变量，为一个离散型随机变量。
根据期望的定义，我们可以计算出E(X) = p * 1 + q * 0 = p。
将以上数值代入线性性质的公式中，我们可以计算出：E(2X + 3) = 2 * E(X) + 3 * E(1)= 2p + 3这个结果表明，当抛硬币结果的随机变量X取值为正面时，2X + 3的期望为2p + 3。
数学期望存在的充要条件
数学期望存在的充要条件
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。
离散型随机变量的一切可能的取值与对应的概率乘积之
和称为该离散型随机变量的数学期望(若该求和绝对收敛），记为。
它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。
数学期望存在的充要条件:
取值为
，为X对应取值的概率，可理解为数据出现的频率，则：。
数学期望和平均值
数学期望和平均值
期望和平均值是统计学中的重要概念。
它们都是用来估计分布参
数的重要指标，而且二者也有明显的联系。
期望是数学期望，数学期望是一个连续随机变量可能取到的值的
平均数，它表示一组随机变量平均被选择的数字。
它可以用多元随机
变量取到的概率权重来度量，在理论概率论中期望又称预期值，是指
某一确定的状况M发生的数学期望。
平均值是度量分布的另一种方法，它是描述数据的一种总体概念，是一组数据的“中心”，反映一个样本集各数据项相对于其他数据项
的位置，是一组数据的变化趋势的反映，它也是一个量度变量常用的
方法之一。
期望又称数学期望，它表示一组随机变量被选择的平均数。
这是
一个统计数据分析中常用的概念。
它是根据一定条件计算出来的结果，它揭示了研究物体在某一状态下发生某一事件发生的概率以及它发生
时可能获得的结果。
所以说，期望是一种赌博类游戏中常用词，用来
描述某一事件最可能发生时的结果。
平均值又称为平均数，它是一组数据的“中心”，又称为中心趋势，它反映了一组数据的变化趋势。
它在分析一组数据特性时非常有用，因为它能够提供快速有效的结果。
总的来说，期望是对随机变量可能取到的值的平均数的评估，而
平均值则是一组数据的“中心”，它反映了数据的变化趋势。
它们是
统计学中重要的指标，在分析数据及做出决策时用来支持和证明分析
结果的重要依据。
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毕业论文（设计）题目：概率论中数学期望的概念姓名：学号：0411*******教学院：数学与计算机科学学院专业班级：数学与应用数学专业2008级1班指导教师：完成时间：2012年04月10日毕节学院教务处制概率论中数学期望概念摘要：数学期望是现代概率论中最重要的基本概念之一，无论在理论上还是在应用中都具有重要的地位和作用。
但是，数学期望这一概念对许多学者来说却又是一个难点，特别是对概念的理解和对这一数学工具的使用上都很难掌握。
本文从离散型随机变量的来源、定义、分布及其理解上详细阐述概率论中的数学期望的概念及其性质，并介绍说明这一数学工具在实际生活中的应用。
目的是希望能给更多的学者提供一些参考及帮助。
关键词：离散型；随机变量；分布；函数；期望Mathematical expection conceptin theory of probabilityCandidate:Xiong Xiao-ping Major:Mathematics and appliedmathematicsStudent No:0411******* Advisor:Xue Chao-kui(Lecturer)Abstract:Mathematical expectation is the modern theory of probability in the most important one of the basic concept, whether in theory or in the applications has an important position and role. But, mathematical expectation is a difficult concept for many scholars, especially for the understanding of concepts and the mathematical tools to the use of all difficult to master. This article from source of discrete random variable, definition, distribution and understand the detail on the mathematics of the concept of probability theory and its properties expectations, and introduces the mathematical tools that in the actual life application. The main purpose is to give more scholars can provide some reference and help.Keywords:discrete; Random variable, Distribution; Functions; expect目录引言 (1)1 预备知识 (2)1.1 随机变量的定义 (2)1.2 离散型随机变量的定义 (2)2 离散型随机变量的几种分布 (5)2.1 0—1分布（两点分布） (5)2.2 二项分布 (6)2.3 泊松分布 (6)3 随机变量的分布函数及期望 (7)3.1 一维随机变量的分布函数 (7)3.2 二维随机变量及其概率分布 (9)3.3 多维随机变量分布及其数学期望 (10)结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)附录 (16)引言数学期望的概念起源于赌博，早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机会相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可获得100法郎的奖励。
等比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因终止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平呢？用概率论的知识不难得出，甲获胜的概率为11132224+⨯=，或者分析乙获胜的概率为111224⨯=，因此由此引出了甲的期望所得值为3100754⨯=法郎，乙的期望所得值为25法郎。
概率论是1718，世纪欧洲思想和文化的产物，其每一概念和方法的提出和进展几乎都受到当时盛行的价值观，社会思潮和所拥有的社会资源的影响。
在这方面，概率论中期望思想的发展历史是一个典型的案例。
对它在17和18世纪的历史作一些研究，就会发现这个议题涉及当时人们在所有领域中对清晰性和确定性的态度和希望。
在这个过程中，他们遇到的一些困难以及他们对这些困难的回应，为审视数学期望的发展和社会化之间的关系提供了一种具有启发性的视角。
尽管由帕斯卡和惠更斯等人所启动的概率论这门学科被称作概率演算，但早期概率论学者研究的一个中心问题是期望而不是概率。
早期概率论中对数学期望的强调是由于这个概念承载了当时常用的“期望“术语的两种不同的定性含义，一是人们对法律中公平公正的期望，另一种是源于经济学中的公平获利的思考。
这两重含义使得它成为将数学概率与社会科学连接起来的桥梁。
因此，早期的概率期望承袭了当时常用术语“期望”的两种不同的定性含义，这两种关于期望的视角——法律的和经济的，一个与公平有关，而另一个与利益有关，两者铸造了尚未成熟的概率期望的早期数学理论。
从1654年概率论最早形成直到1812年拉普拉斯《分析概率论》的出版，法律的平等和经济的谨慎在不同的方向上推动了数学概率中的概率期望的发展，使得期望成为这个学科中早期发展中的一个中心概念。
为了便于研究，下面只探讨概率论中离散型随机变量的数学期望，将从随机变量的定义，分布进行分析引入。
自然界的现象，可以分成必然现象和随机现象两大类。
在一组给定条件下，某一事情必然发生。
例如，在一个大气压下水的温度降到零度以下就会结冰；偶数与偶数的和仍是偶数…，这些称为必然现象。
但另外有些现象就不是这样。
比如，明年七月十日下雨。
这个判断只有等到明年七月十日以后才能给出正确的答案。
它有可能下，也有可能不下。
又如掷骰子，每掷一次出现1,2,3,4,5,6各点的可能性是相同的，无法判断到底出现几点。
这就是随机现象。
如何用数学方法来描述一个随机现象呢？注意到随机现象有四个特征。
首先是它具有几种可能的状态，对此每个状态可用一个实数来表示。
这样就得到了一个定义在基本概念空间Ω上的函数：()X ω 其次是对于一些最简单的复合事件如： {:()}X a ωω≤它应该属于事件σ—域，因而也可以确定它的概率。
这时()X ω就的确可以代表一个随机变量了。
这样的()X ω被称为随机变量，用测度论的术语来说，随机变量就是关于σ—域γ可测的可测函数。
1 预备知识1.1 随机变量的定义随机变量：设随机实验的样本空间为{},()S e X X e ==是定义在S 上实（单值）函数，称()X X e =为随机变量。
随机变量的取值随实验的结果而定，在实验前不能预知它取什么值，且它的取值有一定的概率。
这是随机变量与普通函数的本质差异。
1.2 离散型随机变量的定义离散型随机变量：可取的不相同的值为有限个或可列无限多个的随机变量，称为离散型随机变量，并称,{}1,2,...k k P X x P k ===为离散型随机变量X 的分布律。
它具有如下性质：(1)非负性 0,1,2,...k P k ≥= (2)完备性 11k k P ∞==∑为了引入离散型随机变量的数学期望，先来观察，讨论数学期望的直观模型， 例1，设某班有学生F 人，其中年龄为i x 的有i f 人，1,2,...i n =。
试求这个班学生的平均年龄。
解：记这个班学生的平均年龄为x ，于是有112212......n nnx f x f x f x f f f +++=+++1212111...nnnnnjjjj j j f f f x x x fff====+++∑∑∑ni i ix ω=∑(其中1iii njj f f F fω===∑是年龄i x 的频率)，显然11ni i ω==∑,可见：平均年龄x 是以频率为加权的加权平均。
如果近似地把i x 看成一随机变量，那么它发生的概率i ii x f P F F==，即年龄i x 的频率近似地等于i x 发生的概率。
例2,设进行N 次独立实验，得到随机变量ξ的统计分布如下：ξ 1x 2x ...n x 总计频数 1m2m... n mN频率1()x ω 2()x ω ...()n x ω1计算随机变量ξ的样本平均值：解：11221...1nn n iii x m x m x m x x m N N=+++==∑或者写成下面的形式：1212...n n m m mx x x x N N N=+++ 1122()()...()n n x x x x x x ωωω=+++ 1()ni i i x x ω==∑由此可见，随机变量ξ的统计分布的样本平均值x 与理论分布的数学期望()E ξ的计算法是完全类似的，这里只是用试验中的频率代替了概率。
当实验次数很大时，事件i x ξ=的频率()i x ω在对应的概率()i P x 的附近摆动，所以当实验次数很大时，随机变量ξ的样本平均值x 将在随机变量的数学期望()E ξ的附近摆动，近似地看成数学期望。
例3,求2,3,2,4,2,3,4,5,3,2这10个数的平均值。
解：将这10个数的平均值记为()E x ,则2324234532()310E x +++++++++==把分子数据重新归并，得到另一种平均值的形式： 4321()2345310101010E x =⨯+⨯+⨯+⨯= 上式表明，可以按频率的加权平均来求这10个数的平均值。
如果将这10个数分类整理成下表：i x 2 3 4 5 k f410310210110则有：41()k k k E x x f ==∑其中k f 是k x 出现的频率。
如果随机地从这10个数中抽一个数，并用X 表示抽得的结果，则X 是一个随机变量。
若记()k k P X x P ==，则上式中的频率k f 就等于概率k P ，因此有41()k k k E X x p ==∑上式表明，离散型随机变量的取值与对应的概率值相乘再求和，描述了该随机变量的平均水平。
数学期望：设离散型随机变量的X 的概率分布为()(1,2,...)k k P X x p k ===如果级数1122 (1)...kk k k k xp x p x p x p ∞+==+++∑绝对收敛，则称该级数为随机变量X 的数学期望（或均值），简称期望，记为1()k k k E X x p ∞==∑当X 取有限个（比如n 个）值时，有1()nk k k E X x p ==∑例4,某推销人与工厂约定，用船把一箱货物按期无损的运到目的地可获得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若又不按期又有损坏的扣16元。