学案23山西大学附中 向量应用举例学案23
编号77山西大学附中高三年级空间向量及其运算
山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号77空间向量及其运算【学习目标】复习空间向量的概念，熟练空间向量的坐标运算，会用空间向量解决立体几何问题. 【学习重点】空间向量的坐标运算及其应用.【学习难点】向量法的应用.【学习过程】（一）基础梳理1．空间直角坐标系及有关概念2、空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。
加减运算遵循_________________法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算__________；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。
3、空间向量的有关定理（1）共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b _______，a ∥b 的充要条件是_________________________（2）共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是_______________________________________________________注：若a 与b 确定平面为α，则表示c 的有向线段与α的关系是可能与α平行，也可能在α内。
（3）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c _________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得_______________。
其中，_____________叫做空间的一个基底。
4．空间向量的坐标表示(1)空间向量运算的坐标表示 设a ＝321,,(a a a )，b ＝),,(321b b b ，则a ＋b ＝_______________， a －b ＝____________________，λa ＝_________________， a •b ＝______________________.(2)重要结论a ∥b ⇔___________⇔_________________________________；a ⊥b ⇔___________⇔_________________________； a ＝____________________________________________；><b a ,cos ＝____________________________.(3)空间两点间的距离 在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则B A ,两点间的距离B A ＝____________________（二）巩固练习： 1．已知)1,3,2(--=a r ，)4,0,2(=b r ，)2,6,4(--=c r，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对2．ABC ∆的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于 ( )A ．5 B.41 C ．4 D ．523．在正方体1111D C B A ABCD -中，给出以下向量表达式：①(11A D －1A A )－AB ； ②(1BC BB +)－11D C ；③(AD AB -)－21DD ； ④(11B D ＋1A A )＋1DD .其中能够化简为向量1BD 的是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．在以下命题中，不正确的命题个数为( ) (1)已知D C B 、、、A 是空间任意四点，则A D D C C B B A +++＝0. (2)若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ， c ＋a }构成空间的另一个基底． (3)|( a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. (4)对空间任意一点O 和不共线的三点C B 、、A ，若C zO B yO A xO P O ++= (其中x 、y 、R z ∈)，则C B 、、、A P 四点共面．( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．在四面体ABC O -中，OA ＝a ，OB ＝b ，C O ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则E O 可表示为(用a ，b 、c 表示)． ( )A.c b a 414121++B.c b a 213121-+C.c b a 414131++D. c b a 414131+-6．已知正方体1111D C B A ABCD -中，点E 为上底面11C A 的中心，若1AE AA =＋AB xy AD +，则x 、y 的值分别为 ( )A ．1=x ，1=yB ．1=x ，21=yC ．21=x ，21=yD ．21=x ，1=y7．正方体1111D C B A ABCD -中，EF 是异面直线AC 与D A 1的公垂线，则EF 与1BD 所成的角是 ( )A ．︒90B ．︒60C ．︒30D ．︒08．已知)3,2,1(A ，)2,1,2(B ，)2,1,1(P ，点Q 在直线OP 上运动．当B Q A Q•取最小值时，点Q 的坐标为______．9.三菱柱111C B A ABC -中，底面边长和侧棱长都相等， ︒=∠=∠6011CAA BAA ,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为____________.10．已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是︒60，则对角线1AC 的长是________．11．在空间四边形ABCD 中，AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅＝________.12．如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是11B A 和1BB 的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．13．已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AA AB ，4=AD ，E 为侧面1AB 的中心，F 为11D A 的中点．试计算：(1)1BC ED ⋅；(2) 1EF FC ⋅.14．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，︒=∠90ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成︒60角(见下图)．求B 、D 间的距离．。
学案20 山西大学附中平面向量的坐标表示)20
山西大学附中高中数学（必修4）学案 编号20平面向量的坐标运算【学习目标】1．学会平面向量的坐标表示及坐标运算．2．学会向量平行的坐标表示方法，三点共线的证明．【学习重点】1．平面向量的坐标表示及坐标运算．2．平行的坐标表示及应用．【学习难点】坐标的运算和共线向量坐标的运算【学习过程】导学1．在直角坐标平面内一点M 是如何表示的？思考1．以原点O 为起点，M 为终点，能不能也用坐标来表示OM 呢？例：)4,3(M 导练1．如图，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，34||=，︒=∠60xOA ，求向量的坐标思考2．我们一般对一个向量怎样分解？为什么？导学2．平面向量的坐标运算． 已知),(11y x a = 、),(22y x b = 、实数λ，那么=+b a ；=-b a ；=a λ ；若),(),,(2211y x B y x A ，则AB = ．导练2．已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，2||=，︒=∠150xOA ，求向量OA 的坐标．导练3．如图，已知)3,1(-A ，)3,1(-B ，)1,4(C ，)4,3(D ，求向量，，，的坐标．Ax y导学4．)4,1(-=a 与)8,2(-=b 是否平行？_____；此时向量a 与b 的坐标满足________．思考4．如果两个向量平行，它们的坐标应该满足什么条件？反之，成立吗？导练4．已知)0,1(=a 与)1,2(=b ，当实数k 为何值时，向量b a k -与b a 3+平行？并确定此时它们是同向还是反向．导练5．已知)7,5(=a 与),3(y b = ，且b a //，求实数y 的值．导练6．已知)3,1(-A 和)1,8(-B ，如果点)2,12(+-a a C 在直线AB 上，求 a 的值． 导练7．与向量)5,12(=a 平行的单位向量为（ ）A 、)135,1312(B 、)135,1312(--C 、)135,1312(或)135,1312(--D 、)135,1312(±± 导练8．已知O 是坐标原点，)1,2(-A ，)8,4(-B ，且03=+，求的坐标。
山西山西大学附属中学校平面向量及其应用单元测试题百度文库
一、多选题1．下列说法中正确的是（ ）A ．对于向量,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则0λμ+=2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 4．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是5．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+6．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+7．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=- B ．0OE OC +=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为768．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）A ．B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b =，30A =︒，则B =（ ）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒10．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+-11．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =-D ．3BG GD =12．在下列结论中，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等13．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2πD ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形14．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==二、平面向量及其应用选择题16．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ）A B ．3C 11D ．1917．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭18．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心19．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（ ）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定D ．若||b →确定，则θ唯一确定20．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin a b cA B B===ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．4CD ．21．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-22．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形23．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．123B ．63C ．12D ．18324．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶225．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）A ．500米B ．1500米C ．1200米D ．1000米26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形27．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．2328．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1)B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D．(8，－1)29．设(),1A a，()2,1B-，()4,5C为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a=（）A．12-B．12C．-2 D．230．在矩形ABCD中，3,3,2AB BC BE EC===，点F在边CD上，若AB AF3→→=，则AE BF→→的值为（）A．0 B．833C．-4 D．431．若两个非零向量a，b 满足2a b a b b+=-=，则向量a b+与a的夹角为( )A．3πB．23πC．56πD ．6π32．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(),DE AB AD Rλμλμ=+∈，则λμ⋅等于（）A．316-B．316C．12D．12-33．在ABC∆中，下列命题正确的个数是（）①AB AC BC-=；②0AB BC CA++=；③点O为ABC∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA-⋅+-=，则ABC∆为等腰三角形；④0AC AB⋅>，则ABC∆为锐角三角形．A．1B．2C．3D．434．在ABC中，AB AC BA BC CA CB→→→→→→⋅=⋅=⋅，则ABC的形状为（）．A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不确定35．在ABC中，CB a=，CA b=，且sin sina bOP OC ma Bb A⎛⎫⎪=++⎪⎝⎭，m R∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．BCD 【分析】．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．， 解析：BCD 【分析】A ．向量数量积不满足结合律进行判断B ．判断两个向量是否共线即可C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，B ．1257-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，D ．由23CD CB =得2233CD AB AC =-， 则23λ=，23μ=-，则22033λμ+=-=，故D 正确故正确的是BCD ， 故选：BCD ． 【点睛】 本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．2．D 【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查解析：D 【分析】 在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题.【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a ba b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.4．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得3R =，所以ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()23B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．5．ABD 【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心解析：AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E 为AB 中点，则，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，解析：BCD【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123(0,),3),(1,),(,33O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以3133y y -=-，解得：3y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确； 32OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误； 123(3ED =，(1,3)BC =， ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确.【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.8．ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.9c B b c ===<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；对于C ，因为B 为锐角且 sin 43c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题. 9．BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.【详解】解：根据正弦定理得： ，由于，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项.【详解】 解：根据正弦定理sin sin a b A B =得：1sin 2sin 12b A B a ===，由于1b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题. 10．BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项： ，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：解析：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题. 11．AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有∴，即C 错误同理，解析：AB【分析】 由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确 连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系12．BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：BCD【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.13．BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误解析：BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B π+--∴-=-===cos 0cos cos C A B=->，cos cos cos 0A B C ∴<， 对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 14．AD【解析】【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是所在平面内一点，且，∴，即，∴，两边平方并化简得，∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故解析：AD【解析】【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，即||||CB AC AB =+，∴||||AB AC AC AB -=+，两边平方并化简得0AC AB ⋅=，∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.15．AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B,由平面向量基本解析：AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时,这样的λ有无数个，所以不正确.故选:AD .【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．A【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解.【详解】 因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒，所以2224424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=.故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．C【解析】【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤， 所以223ππθ<<，【点睛】本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.18．B【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心.【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，则点P 为三角形ABC 的垂心.故选：B.【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．B【分析】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈， 所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=， 所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.【分析】首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b c r A B C === 已知22sin cos sin a b c A B B===，所以sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形， 由条件可知ABC 外接圆的半径是2，即等腰直角三角形的斜边长为22， 所以122222ABC S =⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 21．D【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．【详解】解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =，M 为BC 中点，∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．4224OM HM HM MO =+=-故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状． 【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形． 故选：D ． 【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 23．A 【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值 【详解】由题意，可得如下示意图令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33b CM CB == ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab abb =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立∴有48ab ≤∴113sin 4812322ABC S ab C ∆=≤⨯=故选：A 【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
山西大学附属中学高考平面向量及其应用专题及答案doc
一、多选题1．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°2．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)3．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为24．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<5．在ABC 中，若30B =︒，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+- 7．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 8．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ）A ．a b ⊥B ．2a b +=C ．2a b -=D ．,60a b =︒9．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5-B ．23C ．23-D ．5 10．在下列结论中，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等11．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-12．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形13．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 14．下列说法中错误的是( )A ．向量AB 与CD 是共线向量,则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若lg lg lg sin a c B -==-，且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形18．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．1620．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形21．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心22．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 23．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．4324．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶225．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦26．题目文件丢失！27．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4B ．72C ．258D ．25928．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A ．7B ．3C ．11D ．1929．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（ ） A ．0B ．83C ．-4D ．430．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形31．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +> C ．612abc ≤≤D ．1224abc ≤≤32．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ） A ．54B ．2C ．174D ．433．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD -C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 34．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC 的面积为32，那么b 等于（ ）A ．12B ．1C ．22+ D ．235．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.2．ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B.9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确.选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.3．CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(解析：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.4．AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ． 【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．5．BC 【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC 【分析】由题意结合正弦定理可得sin C =()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===，又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒， 所以60C =︒或120C =︒. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6．BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项： 选项正确. 故选：解析：BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.7．ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即., 或. 即或解析：ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,22A B =或22A B π+=. 即A B =或2A B π+=,△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°8．AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】解析：AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A正确；()22222a ba b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误; 故选：AC 【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.9．AD 【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos 3B ==±. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.10．BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.11．AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12．BD 【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，对于A ，若，则或， 当A ＝解析：BD 【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ∆中，对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2A B π+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B=，即sin sin A B >成立．故B 正确；对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确；综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．13．BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，， 设，若，所以解析：BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．14．AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B解析：AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确； 若,a b b c ==，则a c =，故C 正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.15．无二、平面向量及其应用选择题16．D 【分析】首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒ 所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D ． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 17．C 【分析】化简条件可得sin 2a B c ==，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】lg lg lg sin a c B -==-，sin 2a B c ∴==.0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 4B π∴=.由正弦定理，得sin sin 2a A c C ==，3sin cos sin 422C A C C C π⎫⎛⎫∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，化简得cos 0C =.()0,C π∈， 2C π∴=， 则4A B C ππ=--=，∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 18．A 【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），0A π<< 90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 19．C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 20．D 【分析】先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【详解】解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， AB AC ∴=，1cos ||||2AB AC A AB AC ==，3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 21．B 【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅， 则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.【分析】根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小. 【详解】 解：∵2cosA 3cosB 5cosCa b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B CA B C ==，即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A CB AC A C +=-+=-，∴273101k k k =-，解得3k =，∴tan 3B k ==B ＝3π．故选：D . 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键23．A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ． 【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ．本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 24．B 【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
编号23 山西大学附中高三年级导数的概念及运算2
山西大学附高中数学(高三)导学设计 编号23导数的概念及运算（二）1. 已知2)3(,2)3(='=f f ，3)(32lim 3--→x x f x x =（ ） A ．－4 B ．8 C ．0 D ．不存在2.若Q P ,是函数)11()(2≤≤--=x x x x f 图像上任意不同的两点，那么直线PQ 的斜率的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,1)C ．(0,3)D ．(－4,2)3.设P 为曲线1:2+-=x x y C 上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是],3,1[- 则点P 纵坐标的取值范围是( ). A. ]2,0[ B. ]3,43[ C. ]3,1[ D. ]4,0[4. 设R a ∈，函数()e e x x f x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数.若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( ) A.22ln - B.2ln - C. 22ln D. 2ln 5.在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A.3B.2C.1D.06.设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为],4,0[π则点P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为( ) A.]1,0[a B.]21,0[a C.|]2|,0[ab D.|]21|,0[a b - 7．设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '=（ ）A.kB.k -C.k 1D.k1- 8.设曲线)(*1N n x y n ∈=+在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x 则n x x x ⋅⋅21等于( ) A. n1 B. 11+n C. 1+n n D ．1 9.函数)0(2>=x x y 的图像在点),(2k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为,1+k a 其中5311,16,a a a a k ++=N ∈*则的值是__________________.10.已知点P ()2,2在曲线3y ax bx =+上，如果该曲线在点P 处切线的斜率为9，那么ab =____________；函数()3f x ax bx =+，3[,3]2x ∈-的值域为____________. 11.抛物线)0(2>=a ax y 与直线1=x 围成的封闭图形的面积为,34若直线l 与抛物线相切，且平行于直线,062=+-y x 则直线l 的方程为_______________________.12.求函数42y x x =+- 图象上的点到直线4y x =-的距离的最小值及相应点的坐标.13.设l 为曲线xx y C ln :=在点（1，0）处的切线. （I ）求l 的方程；（II ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方.14.已知函数b ax x x f ++=2)(，()g x ＝)(d cx e x +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点)20(，P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y .（Ⅰ）求d c b a ,,,的值；（Ⅱ）若2-≥x 时，)()(x kg x f ≤，求k 的取值范围.。
导学设计 41山西大学附中高二年级用向量方法求空间角
山西大学附中高二年级（上）数学导学设计 编号41用向量方法求空间角【学习目标】会用向量方法求空间角【学习重点】会用向量方法求空间角【学习难点】会用向量方法求空间角【学习过程】一． 导读空间中的角的向量求法：设直线m l ,的方向向量分别为,，平面βα,的法向量分别为,，则（1）两直线的夹角为θ(20πθ≤<),则=θcos ________；（2）直线与平面的夹角为θ(20πθ≤≤)，=θsin _________ （3）二面角βα--l 的大小为θ(πθ≤≤0)，=θcos ________ 二．导练 1.如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，111,,BB B A N M 分别是的中点，则CN AM 和所成角的余弦值为2.正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a a 2,侧棱长为，求111A ABB AC 与侧面所成的角.3.如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在的平面相互垂直，.2,3,90,//==︒=∠=∠EF AD CEF BCF CF BE(1)求证：DCF AE 平面//；(2)当AB 的长为何值时，二面角C EF A --的大小为︒60？4．如图，在三棱锥ABC P -中，,90,60,,︒=∠︒=∠=⊥BCA ABC AB PA ABC PA 面点E D ,分别在棱PC PB ,上，且.//BC DE（1）求证：;PAC BC 面⊥（2）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成角的大小；（3）是否存在点E 使得二面角P DE A --为直二面角？并说明理由.三．目标检测1.已知平面α经过点)0,0,0(O ，且e ＝(1,1,1)是α的法向量，),,(z y x M 是平面α内任意一点，则z y x ,,满足的关系式是______________2.如图所示，已知点P 在正方体''''D C B A ABCD -的对角线D B '上，︒=∠60PDA .(1)求C C DP '与所成角的大小；(2)求A D AD DP ''与平面所成角的大小．3.正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，F E ,分别是BC AC ,边的中点，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角B DC A --.(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角C DF E --的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥？证明你的结论．。
导学设计 42山西大学附中高二年级用向量方法求空间距离
山西大学附中高二年级（上）数学导学设计 编号42用向量方法求空间距离【学习目标】会用向量方法求空间距离【学习重点】会用向量方法求空间距离【学习难点】会用向量方法求空间距离【学习过程】一． 导读空间中距离的向量求法：（1）两点),,(),,,(222111z y x B z y x A 间的距离==||AB d（2）已知点P 和直线l 上任一点A ，向量为直线l 的法向量，则点P 到直线l 的距离可表示为（3）已知点P 和平面α上任一点A ，向量n 为平面α的法向量，则点P 到平面α的距离可表示为二．导练1.如图，正方形ABEF ABCD ，的边长都是1，而且平面ABEF ABCD ，相互垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若)20(<<==a a BN CM .（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小？2.已知正方形ABCD 的边长为4，AD AB F E ,分别是，的中点，2=⊥GC ABCD GC ，且平面，求点B 到平面EFG 的距离.3.如图，已知斜三棱柱2,90,-111==︒=∠BC AC BCA C B A ABC ，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知.11AC BA ⊥(1)求证：BC A AC 11平面⊥；(2)求1CC 到平面AB A 1的距离.三．目标检测1.如图，已知在︒60的二面角中，βα-l -D l BD C l AC B A 于于⊥⊥∈∈,,,βα，并且====CD AB BD AC 则,5,2,12.在直三棱柱G F D EB CC BC ABC C B A ABC ,,,1,4,2,90,-11111===︒=∠分别为11111,,C A C B CC 的中点，D B EF 1与相交于点H .（1）求证：ABD BD 平面⊥1；（2）求证：ABD EGF 平面平面//；（3）求ABD EGF 与平面平面的距离.。
山西省太原市山西大学附属中学2021年高考数学平面向量多选题之知识梳理与训练附答案
山西省太原市山西大学附属中学2021年高考数学平面向量多选题之知识梳理与训练附答案一、平面向量多选题1．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ）A ．27+ B ．37+ C ．37+ D ．47+ 【答案】ABC 【分析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出1377OM OA OB =+，设OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出13177x y λμ+=+=，然后将λμ+与1377λμ+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=， 12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=， 由基本不等式可得()1313134247777μλμλλμλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭437+=. 当且仅当3μλ=时，等号成立.所以，λμ+423+ABC 选项均不满足423λμ++≥. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ+=；（2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.2．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）A ．若1233AD AB AC =+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111333MG MA MB MC =++C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，由已知12322233AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则32BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即111333MG MA MB MC =++，故B 正确；对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即()00MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；对于D ，111()()222PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=+-=+- ()21122PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=+-，又()2222222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1PQ ∴==，故D 错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．3．已知向量(22cos m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是 （ ）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的周期为πC ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数 【答案】ABD 【分析】运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】解：()22cos 2cos221f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当6x k ππ=+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；()f x 的周期22T ππ==,选项B 描述准确； 当512x π=时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确；当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.4．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1ab += B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+3222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．5．下列命题中真命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC 【分析】对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确.对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.6．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ） A ．()a b a +⊥B ．|2|5a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影是2D ．向量a 的单位向量是⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】(2,1),(3,1)a b ==-对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；对于B:222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；对于C: 向量a 在向量b 上的投影是2||(3)a b b ⋅==--，故C 错误；对于D: 向量a 的单位向量是55⎛ ⎝⎭，故D 正确．故选：ABD ． 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．7．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）A ．0OE OC +=B ．1AB CE ⋅=-C ．3OA OB OC ++=D ．13DE =【答案】AC 【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确； B ．因为E 为AB 中点，所以ABCE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；C ．因为()()(30,,1,0,1,0,32O A B C ⎛- ⎝⎭，所以33331,1,0,OA OB OC ⎛⎛⎛⎛++=+-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3OA OB OC ++=D ．因为()123,0,03DE ⎛ ⎝⎭，所以123,3DE ⎛=- ⎝⎭，所以13DE =，故错误， 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.8．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 【答案】AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ． 【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22- 【答案】AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =， 对于32:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确．对于:22B OB OH OA OE+==-，故正确．对于:||||C AH BC=，||||HO BO=，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于:D AH在AB向量上的投影32||cos||4AH AHπ=-，||1AH≠，故错误．故选：AB．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．。
导学设计 39山西大学附中高二年级空间向量运算的坐标表示
山西大学附中高二年级（上）数学导学设计 编号393.1.5空间向量运算的坐标表示【学习目标】掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算解决简单的立体几何问题.【学习重点】会空间向量的坐标运算【学习难点】会空间向量的坐标运算【学习过程】一． 导读1.空间向量的坐标运算 若),,(),,,(321321b b b a a a ==，则 (1) =+b a (2) =-b a (3) =a λ (4) =⋅b a (5) ||= (6) =⊥(7) ==a || (8) =>=<,cos b a 2.空间中向量的坐标及两点间距离公式若),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则 (1) =(2) =B A d ,二． 导练1.已知O 为坐标原点，C B A ,,三点的坐标分别是(2,-1,2)、(4,5,-1)、(-2,2,3).求点P 的坐标使得(1) )(21);(21-===.2.设)5,3,2(),1,5,1(-=-=.（1）若)(k +||)3(-，求k ；（2）若)(k +)3(-⊥，求k .3.在ABC Rt ∆中，.90,1︒=∠==BCA BC AC 现将ABC ∆沿着平面ABC 的法向量平移到111C B A ∆的位置，已知21=AA ，分别取A A B A 111,的中点Q P ,.（1）求得长；（2）求><><111,cos ,,cos CB BA CB BQ ，并比较><><111,,,CB BA CB BQ 的大小；（3）求证P C AB 11⊥.三．目标检测1. 已知=⊥-=-=x x ，则且),2,4(),3,1,2( .2. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（）A. D. 3. x x x ,),2,3(),0,2,(2且-== 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（） A. 4x <- B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x >4. 已知 )2//()2()2,1,(),,2,1(x y -+=-=且，则（ ） A. 1,13x y == B. 1,42x y ==- C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-5.已知23 1.x y z ++=求222x y z ++的最小值。
山西山西大学附属中学校平面向量多选题试题含答案
山西山西大学附属中学校平面向量多选题试题含答案一、平面向量多选题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确 故选：BCD 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 【答案】ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.3．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题5．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b +=B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()cos ,2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4π.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||)2?(a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a bcos a b ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值.6．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．113C ．32+ D ．32【答案】BCD 【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得k =综合可得，k 的值可能为211,33-故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.7．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.8．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=22(1)(2)10m n -+-(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．二、立体几何多选题9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 21530+【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-；选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.【详解】对于A:2211 ||5AE AA A E=+=，即221|25A E+=，所以1||1A E=，即点E为在面1111DCBA内，以1A为圆心、半径为1 的圆上；故A正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D-中，AC⊥BD，又AC DF⊥，且BD∩DF=D，所以AC DBF⊥，所以点F在11B D 上，即F的轨迹为线段11B D，故B错误；对于C:在平面1111DCBA内，1A到直线11B D的距离为2,d=当点E，F落在11A C上时，min||21EF=-；故C正确；对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E为在面1111DCBA内，以1A为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos,sin,2Eθθ所以()()()1cos,sin,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BDθθ==-=-设平面1A BD的法向量(),,n x y z=，则有1·220·220n BD x yn A B x z⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：|2sin 2|||4sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时，sin α有最大值222153015++=， 故D 正确 故选：CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．10．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】对于选项A ，若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC 平面PAB AB =，∴//MN AB ，∴//AB RQ ，故A 正确；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明：在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ， ∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中， 23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上， ∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立，故C 错误；对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ，记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数，则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQR S PQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQR V PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅，又13sin 234PSR S PS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin23PSQ S PS PQ PS PQ π=⋅=⋅， 13sin 234PQR S PQ PR PQ PR π=⋅=⋅，()S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅，∴()3sin 12PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQ PR PS α++=为常数，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.。
《平面向量应用举例》导学案
7.5《平面向量应用举例》导学案班级姓名主备人：贾鹏云【学习目标】1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.【学法指导】预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
【知识链接】阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。
另外，思考：利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格疑惑点疑惑内容利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1）建立平面几何与向量的联系，（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
探究：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事？例1．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？(结合习题第5题)例2如图，一条河的河水从西向东流，一艘船从A处出发向西北方向行驶，已知船的速度|v1|=4km/h，水流的速度|v2|=2km/h，求船的实际航行的方向和航速【拓展提升】一、选择题1.给出下面四个结论：=+；①若线段AC=AB+BC，则向量AC AB BC=+，则线段AC=AB+BC；②若向量AC AB BC③若向量AB 与BC 共线，则线段AC=AB+BC; ④ 若向量AB 与BC 反向共线，则BC AB BC AB +=+. 其中正确的结论有 （ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个2.河水的流速为2s m ，一艘小船想以垂直于河岸方向10sm 的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为 （ ） A.10s m B.262s m C.64s m D.12sm 3.在ABC ∆中，若)()(CB CA CB CA -•+=0，则ABC ∆为 ( ）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定二、填空题4.已知ABC ∆两边的向量21,e AC e AB ==，则BC 边上的中线向量AM 用1e 、2e 表示为5.已知1321321=++=++OP OP OP ，OP OP OP ，则1OP 、2OP 、3OP 两两夹角是。
导学设计40山西大学附中高二年级用空间向量解决平行垂直问题
山西大学附中高二年级（上）数学导学设计 编号40用空间向量解决平行垂直问题【学习目标】知道直线方向向量与平面法向量的概念；会用向量确定点线面之间位置关系.【学习重点】会求已知平面的法向量；会用直线的方向向量与平面的法向量确定平行和垂直的关系.【学习难点】会求已知平面的法向量；会用直线的方向向量与平面的法向量确定平行和垂直的关系.【学习过程】一． 导读1. 直线的方向向量与平面的法向量（1）空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点以及一个向量确定，这个 叫做直线的方向向量.（2）直线l 垂直于平面α，取直线l 的方向向量，则向量α⊥，向量叫做平面α的2. 空间中平行关系的向量表示设直线m l ,的方向向量分别为,，平面βα,的法向量分别为,，则（1）线线平行：⇔m l //（2）线面平行：⇔α//l（3）面面平行：⇔βα// ⇔3. 空间中垂直关系的向量表示设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为,，则（1）线线垂直： ⇔ ⇔（2）线面垂直： ⇔ ⇔（3）面面垂直： ⇔ ⇔二．导练1．（1）已知平面α的法向量为)2,2,1(-=u ，平面β的法向量为),4,2(x v --=，若βα//，求x .（2）已知21,l l 的方向向量分别为)2,2,1(-=a ，21),,3,2(l l z ⊥-=，求z .（3）已知l 的方向向量为),1,2(m =，平面α的法向量为)2,21,1(=，且α⊥l ，求m .2.四边形ABCD 是直角梯形，︒=∠90ABC ，2,===⊥BC AB SA ABCD SA 平面， ,1=AD 求平面SCD 与平面SAB 的法向量.3.如图，四棱锥ABCD P -中，PB ABCD PA ,⊥与底面所成角为︒45，底面ABCD 为直角梯形，121,90===︒=∠=∠AD BC PA BAD ABC .问：在棱PD 上是否存在一点E ，使得PAB CE 平面//？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由.4.已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱1CC 上的点，且141CC CN =，求证：MN AB ⊥1.5.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点，求证：1D F ⊥平面ADE ．6.在正棱锥ABC P -中，三条侧棱两两互相垂直，G 是PAB ∆的重心，E 、F 分别为PB BC ,上的点，且2:1::==FB PF EC BE .(1)求证：平面PBC GEF 平面⊥；(2)求证：EG 是PG 与BC 的公垂线段.。
学案23 山西大学附中高一年级对数函数第二课时
山西大学附中高中数学（必修1）学案 编号23
对数函数及其性质（第二课时）
【学习目标】
(1)进一步应用对数函数的图象和单调性求与对数有关的复合函数的单调性．
(2)会求与对数有关的复合函数的值域或最值.
【学习重点】
(1)与对数有关的复合函数的单调性的研究方法．
(2) 求与对数有关的复合函数的值域的方法.
【学习难点】学会复合函数求单调区间的方法
【学习过程】
导练：
1.利用所学复合函数的知识求下列函数的单调区间．
（1）()0.3log 2y x =- （2）()23log 4y x =-+
（3）3log 2log 323+-=x x y （4）)(log x
a a a y -=
2.函数()2log 2y ax =-在[]0,1上是x 的减函数,则实数a 的取值范围是 .
3.求函数()222log 2log 5y x x =-+在区间[]2,4上的值域.
4.设0,0≥≥y x 且212=
+y x ，求)148(log 22
1++y xy 的最值.
课堂自测： 1. 函数)2(log 22.0x x y +-=的单增区间为 ，单减区间为 .
2. 函数)2329(log 2+⋅-=x
x y 的单增区间为 ， 单减区间为 . 3. 函数1
12log 2
-+=x x y 的值域为 ． 4. 已知函数3421lg )(x
x a x f ⋅++=在]1,(-∞上有意义，求实数a 的取值范围．
思考讨论： 已知函数()()
2lg 21f x ax x =++， 若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；
若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围.。
学案21 山西大学附中向量的数量积1学案21
山西大学附中高中数学（必修4）学案 编号21向量的的数量积（1）【学习目标】1．知道平面向量数量积的概念及其几何意义．2．会其性质的简单应用．3．会求两向量间的夹角．【学习重点】平面向量数量积性质的应用【学习难点】平面向量数量积的概念的理解【学习过程】思考1：问题：一个物体在力F 的作用下发生了位移s ，那么该力对此物体所做的功为多少？分析 如果力F 与物体位移s 方向的夹角为θ（如图），那么F 所做的功W 应为 cos W θ=F s（注意：若把功W 看成是两个向量F 与s 的某种运算结果，那么这个结果是一个数量，他不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关，显然，这是一种新的运算．） 导学1．完成下列填空（1）两个非零向量，夹角θ的范围为 ．（2）当，同向时，θ= ，此时·= ． （3）当a ，b 反向时，θ= ，此时a ·b = ． （4）当a ⊥b 时，θ= ，此时a ·b = ． 特别的：a ·a = = = ． 导学2．设向量a ，b ，c 和实数λ，则（1）（λ）·=·（ ）=λ（ ）=λ·（2）·= ； （3）（+）·= ． 导学3．判断下列各题正确与否，并说明理由。
（1）若=a 0，则对任意向量b ，有a ·b =0； ______________________________ （2）若≠a 0，则对任意向量b ，有a ·b ≠0； ______________________________ （3）若≠a 0，a ·b =0，则b =0； ______________________________ （4）若·=0，则，中至少有一个为零； ______________________________ （5）若≠a ，·=·，则=； ______________________________ （6）对任意向量，有=22||；______________________________（7）对任意向量a，，c，有（·）·c=·（·c）；___________________ （8）非零向量a，b，若|a+b|=|a－b|，则a⊥b；___________________________ （9）|a·b|≤|a||b| ______________________________导练1．已知向量与向量的夹角为θ, ||=2 , ||=3 , 分别在下列条件下求·．（1）θ=135°（2）//（3）⊥导练2．a与b的夹角θ为60°，|a|=10 ，则a在b上的投影是多少.若θ为120°时，a在b上的投影是多少．导练3．已知向量与向量的夹角为θ, ||=2 , ||=3 ，-，求θ．（1）若·=3（2）若θ=120°，求（4+）（3－2）和|+|的值．（3）若（4a+．．．．．．b）（3b－2a）=－5，求θ．=，求θ．（4）若|+|19课堂小结：这节课你学到了什么？。
山西省原平市第一中学高一数学 向量在物理中的应用举例导学案
山西省原平市第一中学2012-2013学年高一数学 向量在物理中的应用举例导学案(2) 发展学生的运算能力和解决问题的能力。
一、 文本研读问题一：请阅读P111例3，回答下列问题。
1. 12F ,F 的夹角θ为何值时，1F最小，最小值是多少？2. 1F 能等于G 吗？为什么？问题二：请阅读P112例4，回答下列问题。
1. 时，行驶航程最短时，所用时间是多少分？2.当12, v v 的夹角为120︒时，船行驶的时间是多少？问题三：请阅读下面的内容，回答后面的问题。
当a,b 的夹角为0︒时，a b a b 0⋅=⋅> ；当a ,b 的夹角为锐角时，也有a b 0⋅> ，因此a,b 的夹角为锐角的充要条件是a b 0⋅> 且a,b 不平行1. a,b 的夹角为钝角的充要条件是2. a =(λ,1),b =(-2,-1)且a,b 的夹角为钝角，求λ的取值范围。
二、 合作探究一条河的两岸平行，河的宽度d=0.5 km, 一艘船从A 处出发到河对岸。
已知船的静水速度1 v =10 km/h, 水流速度2 v =2 km/h, 记12, v v 的夹角为θ，船航行的距离为S, (1) 用合速度 v 和θ表示S; (2)当θ为何值时，船行驶的时间最短？三、 交流、点评四、 实战演练1. 若向量a,b,c 两两所成的角相等，且a b 1,c 3=== ，则a b c ++ 等于(A) 2 (B) 5 (C) 2或5(D)2. 若O 为A 平面内一定点， A 、B 、C 是平面内不共线的三点，动点P 满足[)AB AC OP OA ,0AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，.则点P 的轨迹一定经过∆ABC 的 (A) 外心 (B) 内心 (C) 重心 (D) 垂心 提示：AB 1AB AB AB= 的方向与AB 相同，长度为11AB AB 1AB AB ⋅=⋅=3. 平面上三个力123F,F ,F 作用于一点且处于平衡状态，1F=1N, 2F = 且12F ,F 的夹角为45︒(1) 求3F 的大小； (2) 求3F 与1F 夹角的大小。
学案16 山西大学附中向量的概念学案16
山西大学附中高中数学（必修4）学案 编号16平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1.明确平面向量的概念和学会向量的几何表示；记住向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量等概念；并能区分平行向量、相等向量和共线向量.2.认识现实生活中的向量和数量的本质区别.【学习重点】准确记忆相关概念，会准确表示向量，注意规范书写.【学习难点】准确记忆相关概念，会准确表示向量，注意规范书写.【学习过程】问题1.在物理上位移和路程两个量有什么不同？问题2.在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，________________________ _______________是数量,_________________________________________是向量. 思考1.你认为向量的概念中的两要素是什么？___________________________________ 问题3.写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为1）问题4.判断正误： （1）零向量没有方向. （2）所有的单位向量都相等.（3）平行向量方向一定相同. （4）不相等的向量一定不平行.（5）长度相等的向量一定是相等向量. （6）不平行的向量一定不相等.（7）若线段CD AB ,在同一直线上，则向量CD AB ,一定平行.（8）若向量,是共线向量，则CD AB ,一定在同一直线上.思考2.向量的模长、 零向量、单位向量、平行向量有什么特点？问题5.如图，已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，在图中所标出的向量中：（1）试找出与共线的向量；（2）确定与相等的向量；（3）与相等吗？（4）指出的相反向量. 思考3.怎样判定两个是不是相等向量？相反向量和原向量有什么关系？ B A D A E C O F E D特别规定：零向量的相反向量是 导练1.如图，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形. （1）用有向线段表示与向量AB 相等的向量；（2）用有向线段表示与向量AB 共线的向量.2.在下列结论中，正确的是______________________________ （1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则b a ；（4）两个相等向量的模相等.3.下列命题正确的是（ ）A. a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行4. 设O 是正△ABC 的中心，则向量，，是（ ）A.相等向量B.模相等的向量C.共线向量D.共起点的向量课堂小结：这节课你学到了什么？ A D B E。
编号62山西大学附中高三年级 平面向量的应用1
山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号62平面向量的应用（一）三角形心的向量表示【学习目标】 掌握三角形四“心 ”向量形式.【学习重难点】正确解决有关三角形的心的向量问题.【学习过程】（一）基础梳理1.三角形四“心 ”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，求证：（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==.（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.(C B A ∠∠∠,,所对的边长分别为c b a ,,)2.设P 是ABC ∆内任意一点，则有=++∆∆∆S S S PBC PAC PAB .（二）巩固练习：1. 已知O 是平面上一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）． A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心2. 已知O 是平面上一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足)sin ||sin ||(C AC B AB ++=λ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）． A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3. O 是ABC ∆所在平面上一点，222222||||||||||||+=+=+，O 是ABC ∆___.A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4. 已知O 是平面上一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足)cos ||cos ||(C AC AC B AB AB OA OP ++=λ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）． A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心4.已知O 是平面上一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）． A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5. 已知O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）．A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．设P 是ABC ∆内任意一点，S △ABC 表示ABC ∆的面积,ABc PBC S S ∆∆=1λ， ABC PCA S S ∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ，定义),,()(321λλλ=p f ，若G 是ABC ∆的重心，)61,31,21()(=Q f ，则（ ）.A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合7．设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ）.A. 2B. 32C. 3D. 538.在ABC ∆中，已知向量21||||0)||||(=⋅=⋅+AC AB BC AC AB AC AB 且满足与，则ABC ∆为（ ）.A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形9.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且 PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（ ）.A ．重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心10．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.。
编号23山西大学附中高二年级排列
山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号23排列【学习目标】1.理解排列的意义，能用分步计数原理推出简单的排列2.会利用排列分析和解决一些简单的应用问题【学习重点】正确理解排列的概念，会利用排列分析和解决一些简单的应用问题【学习难点】利用排列分析和解决一些简单的应用问题阅读教材14页～16页，回答排列的定义：一般地，从n 个 元素中取出m （ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.排列数的定义：从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示.思考：（1）排列定义中的两个基本内容是什么？（2）排列完成的“一件事情”是什么？（3）两个相同的排列有特点？（4）排列和排列数有什么不同？（5）“从1,2,3中每次取出两个数相乘，有多少个不同的乘积？”与“从1,2,3中每次取出两个数相除，有多少个不同的商？”，这两个问题哪个是排列问题？对于一个具体问题，如何判断其是否为排列问题？阅读教材16页～18页，回答排列数公式全排列：从n 个不同元素中 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=n n A全排列数 ， 0！=导练1计算：（1）316A = （2）66A = （3）46A = （4）22A =思考：由（2）（3）（4）可得出 推广可得=m n A =导练2计算下列各式：⑴215A = ⑵ 66A = ⑶ 28382AA -= ⑷ 6688A A = 导练3（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．（2）若55<∈n N n 且，则(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 ．（3）解方程：3322126x x x A A A +=+．导练4化简：11!22!33!!n n ⨯+⨯+⨯++⨯导练5求证 （1）11--=m n m n nA A （2）7766778878A A A A =+- (3)(2)!135(21)2!n n n n =⋅⋅-⋅当堂检测1．计算：=+243545A A ;2．计算：=+++44342414A A A A ；3．某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；4. 5人站成一排照相，共有 种不同的站法；5． 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数6．解不等式：2996x x A A ->．7．化简：⑴12312!3!4!!n n -++++；拔高题1.有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？2.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？3．某公路段原有n 个车站，现增加m 个车站，车票增加了62种，请问原有多少个车站？。
导学设计 36山西大学附中高二年级空间向量的数乘运算
山西大学附中高二年级（上）数学导学设计 编号363.1.1空间向量的加减法运算3.1.2空间向量的数乘运算【学习目标】 1.知道空间向量的概念，并会其表示方法；2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3.理解共线向量定理和共面向量定理； 4.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【学习重点】空间向量的运算及基本定理【学习难点】空间向量的基本定理的运用【学习过程】一．导读1.空间向量的基本概念空间向量零向量、单位向量、相同向量、相反向量2.空间向量的加减法及数乘运算(1)空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB = ， AB = ，(2)运算律加法交换律：加法结合律：数乘结合律：数乘分配律：问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？3.空间向量的共线(1)定义：(2)定理：(3)空间直线的向量表示问题：空间任意两个向量不共线的两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？4.空间向量的共面(1)定义：(2)定理：(3)空间平面的向量表示二．导练1.已知平行六面体''''ABCD A B C D -，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵；1'2AB AD CC ++⑶ 1(')2AB AD AA ++⑷． 2.如图所示，已知四边形ABEF ABCD 、都是平行四边形且不共面，N M 、分别是BF AC 、的中点，判断CE 与MN 是否共线. 3.如图，已知平行四边形ABCD ,过平面AC 外一点O 作射线OD OC OB OA 、、、,在四条射线上分别取点H G F E 、、、,并且使OE OF OG OH k OA OB OC OD==== 求证：(1) H G F E 、、、四点共面；（2）平面AC //平面EG ．三．目标检测1.下列说法中正确的是（ ）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.2.空间四边形OABC 中，N M 、分别是BC OA 、的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，设OC z OB y OA x OG ++=，则（ ）A. 31,31,31===z y xB. 61,31,31===z y x C. 31,61,61===z y x D. 31,31,61===z y x 3.下列等式中，使C B A M ,,,四点共面的个数是（ ）① ;OM OA OB OC =-- ②111;532OM OA OB OC =++ ③0;MA MB MC ++= ④0OM OA OB OC +++=.A. 1B. 2C. 3D. 44.若G 为ABC ∆内一点，且满足0=++GC GB GA ，则G 为ABC ∆的 心.5.已知空间四边形ABCD 的四个顶点D C B A 、、、不共面，H G F E 、、、分别是AD CD BC AB 、、、的中点，求证：H G F E 、、、四点共面.O A B C D H F G E A BC D FE G H。
编号65山西大学附中高三年级 平面向量的应用4
山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号65平面向量的应用(四)平面向量之与解析几何的交汇1. 已知(,)P x y 是椭圆1422=+y x 上一点，12,F F 是椭圆的两焦点，若12F PF ∠为钝角， 则x 的取值范围为 .2.设21,F F 分别为椭圆1322=+y x 的左、右焦点，点B A ,在椭圆上，若B F A F 215=;则点A 的坐标是 ．3．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若=，12=⋅，则p 的值为________．4．设过点),(y x P 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于B A ,两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=且1=⋅，则点P 的轨迹方程是（ ）.A ．)0,0(123322>>=+y x y xB ．)0,0(123322>>=-y x y x C ．)0,0(132322>>=-y x y x D ．)0,0(132322>>=+y x y x 5.已知两点)0,3(),0,3(N M -，点P 为坐标平面内一动点，且||||0,MN MP MN NP ⋅+⋅=则动点),(y x P 到点)0,3(-M 的距离d 的最小值为( ).A ．2B ．3C ．4D ．66.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上的一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF = ( ) . A.72 B.52C.3D.2 7.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是 .8.已知平面上一定点(2,0)C 和直线:=8l x ，P 为该平面上一动点，作PQ l ⊥，垂足为Q ，且11(+)(-)=022PC PQ PC PQ ⋅. （I ）求动点P 的轨迹方程；（II ）若EF 为圆22:+(y-1)=1N x 的任一条直径，求PE PF ⋅的最值．9.设,x y R ∈，向量=(x+3,y)a ，=(x-3,y)b ，且+=4a b .（I ）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（II ）过点(0,2)P 作直线l 交曲线C 于,A B 两点，又O 为坐标原点，若125OA OB ⋅=，求直线l 的倾斜角．10.在平面直角坐标系xoy 中， 已知点(0,1)A -，点B 在直线3-=y 上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA ⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点， l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．。
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山西大学附中高中数学（必修4）学案 编号23
平面向量应用举例
【学习目标】用向量的方法解决简单的平面几何问题、物理问题，体会向量这种工具的作用．
【学习重点】用向量的方法解决简单的平面几何问题、力学问题，体会向量在几何、物理中的应用．
【学习难点】实际问题向量化
【学习过程】
探究：向量在几何中的应用
（一）推断线段长度关系 问题1：如图，在平行四边形ABCD 中，已2
12===BD AD AB ，，那么AC 的长是多少？
思考1：根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？
思考2：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
总结：用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤）
（１） 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几
何问题转化为向量．
（２） 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．
（３） 把运算结果＂翻译＂成几何关系．
（二）推断直线位置关系
问题2：设ABC ∆的两条高AD 与BE 相交于点P ，要说明AB 边上的高CF 经过点P ，你有哪些办法？
（三）计算夹角的大小
问题3：在等腰ABC ∆中，D 、E 分别是两条腰AB 、AC 的中点，若BE CD ⊥，你认为A ∠的大小是否为定值？
探究：在物理中的应用
问题4如图，一条河的两岸平行，河的宽度错误!未找到引用源。
m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度h km v /101=，水流的速度h km v /52=，问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
课堂自测
1．已知D 、E 为ABC ∆的边AB 、AC 的中点，延长CD 至M ，使CD DM =，延长BE 至N ,使BE NE =，求证M 、A 、N 三点共线．
2．在四边形ABCD 中，+=，·= 0，试证明：四边形ABCD 为菱形．
3．已知向量OA ，OB ，OC 满足条件OA +OB +OC =0，且|OA |=|OB |=|OC |=1， 求证：ABC ∆为正三角形．
4．某人在静水中游泳速度为3m/s ，河水自西向东流速为1m/s ，若此人朝正南方向游去，则他的实际前进的方向___________，速度大小__________．。