非周期信号的频域分析共49页文档
实验四非周期信号频域分析
实验四 非周期信号频域分析1 实验目的(1) 掌握傅里叶变换的分析方法及其物理意义。
(2) 掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质。
(3) 学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 的若干重要性质。
2 实验原理及方法2.1连续时间信号傅里叶变换——CTFT傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。
傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt e t x j X t j ωω)()( 4-1 ⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 4-2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。
X(j ω)通常为关于ω的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱， ∠X(j ω)称为x(t)的相位谱。
给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱是连续且非周期的。
对于连续时间周期信号，也可以用傅里叶变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换是由冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。
2.2 用MA TLAB 实现CTFT 及其逆变换2.2.1 用MATLAB 实现CTFT 的计算MA TLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算，本实验采用数值计算的方法。
严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号，也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。
非周期信号的频谱分析傅里叶变换.
X( )
1
a j
a2
a
2
j a2 2
Re( )
lim
a0
a2
a
2
0
( 0)
Re( )
lim
a0
a2
a
2
( = 0)
lim
a0
Re( )d lim
a0
d( / a) 1 ( / a)2
lim arctan
a0
a
14
Im( )
lim
a0
a2
2
1
Re() = δ()
X ( ) sgn(t )e j tdt
laim0
0 eat e j
tdt
eat e
0
j
t
dt
1
laim0 a j
a
1
j
2
j
X( ) 2
(
)
2
2
0 0
13
7、阶跃信号的频谱
u(t) 1
X()
0
t
0
不满足绝对可积的条件。看成单边指数脉冲a 0的极限。
()和X()是奇函数。
16
2、线性性质
若 F [ x1(t) ] = X1() F [ x2(t) ] = X2() 则 F [ ax1(t) + bx2(t) ] = aX1() + bX2()
（1）若信号增大a倍，则频谱亦增大a倍; （2）两个相加信号的频谱等于各个单独信号频谱的相加
3、对偶性
2
X (n1 ) 1
T1 / 2 x(t )e jn1t dt
T1 / 2
T1 ，对等式两边求极限（1 0，n1 ）
2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
离散非周期信号频域分析
离散⾮周期信号频域分析离散信号频域分析、快速傅⾥叶变换与采样定理⼀、离散信号频域分析（⼀）周期离散⽅波信号频域分析与周期模拟信号⼀样，周期离散信号同样可以展开成傅⾥叶级数形式，并得到离散傅⾥叶级数（DFS）上式可以看成周期离散信号x(n)的离散傅⾥叶级数展开。
上式是DFS的反变换，记作IDFS并且称错误！未找到引⽤源。
与错误！未找到引⽤源。
构成⼀对离散傅⾥叶级数变换对。
（以上两式中错误！未找到引⽤源。
）在MTALAB中，DFS通过建⽴周期延拓函数语句实现：function Xk=DFS(n,x,N)if N>length(x)n=0:N-1;x=[x zeros(1,N-length(x))];endk=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=x*WNnk;end建⽴⼀个离散⾮周期⽅波信号错误！未找到引⽤源。
通过周期延拓后所得的周期序列利⽤DFS计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:3;x=ones(1,4);X=fft(x,1024);Xk1=DFS(n,x,4);Xk2=DFS(n,x,8);figure(1);plot((-1023:2048)/2048*8,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;stem(-4:7,[abs(Xk1) abs(Xk1) abs(Xk1)],'LineWidth',2);grid;figure(2);plot((-1023:2048)/2048*16,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;stem(-8:15,[abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2)],'LineWidth',2);grid;set(gcf,'color','w');运⾏后得到的是分别以4和8为周期延拓后的错误！未找到引⽤源。
第二章2.3非周期信号的频域描述(1)
X ( f ) = Re X ( f ) + j Im X ( f )
X(f ) = X(f ) e
2
jϕ ( f )
幅值谱
X ( f ) = Re X ( f ) + Im X ( f )
（2.35） ） （2.36） ）
Im X ( f ) 相位谱 ϕ ( f ) = arctan Re X ( f )
X(f ) = ∫
∞
−∞
x(t )e − j 2π ft dt
（2.30） ） （2.31） ）
x(t ) = ∫
∞
−∞
X ( f )e j 2π ft df
相应的傅里叶变换对可以写成 FT
x(t )
IFT
X(f )
（2.32） ）
2.3.2 非周期信号的频谱
补充： 抽样函数） 补充：介绍一个函数 Sa(t )（抽样函数）
0 τ
τ
图（2.5）矩形窗幅值谱密度曲线 ）
非周期信号频谱的特点
1、非周期信号频谱是连续的 、 2、时域信号若是有限的，则对应的频谱则是无限的， 反之 、时域信号若是有限的，则对应的频谱则是无限的， 也成立。 也成立。 3、一般情况下，随着频率值的增大，对应的幅值逐渐下降。 、一般情况下，随着频率值的增大，对应的幅值逐渐下降。 对于这一点，有些情况下不成立，如单位脉冲信号的频谱。 对于这一点，有些情况下不成立，如单位脉冲信号的频谱。 虽然非周期信号频谱是连续的、无限的， 虽然非周期信号频谱是连续的、无限的，但实际工程中只取第一 个过零点的区间作为信号的频带宽度。 个过零点的区间作为信号的频带宽度。如上例中取 ( −
τ
τ
8π
τ τ
4π
非周期信号的频谱分析
非周期信号的频谱分析一、实验目的1)掌握用MATLAB 编程，分析门信号的频谱；2)掌握用MATLAB 编程，分析冲击信号的频谱；3)掌握用MATLAB 编程，分析直流信号的频谱；4)掌握用MATLAB 编程，分析阶跃信号的频谱；5)掌握用MATLAB 编程，分析单边信号的频谱；二、实验原理常见的非周期信号有：1、门信号门信号的傅里叶变换对为：12sin()22()()202t g t F j Sa t ττωτωτωττω⎧<⎪⎪⎛⎫=⇔==⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎪⎩它的幅度频谱和相位频谱分别为 ()2F j Sa ωτωτ⎛⎫= ⎪⎝⎭0sin()02()sin(02ωτϕωωτπ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩2、冲激信号冲激信号的傅里叶变换对为()1t δ⇔3、直流信号直流信号的傅里叶变换为12()πδω⇔4、阶跃信号阶跃信号的傅里叶变换为111()sgn()()22u t t j πδωω=+⇔+5、单边指数信号单边指数信号的傅里叶变换对为01()00ate tf t j t αω-⎧≥=⇔⎨+<⎩幅度频谱和相位频谱分别为()F j ω=()arctan(a ωϕω=-三、涉及的MATLAB函数1、fourier函数2、ifourier函数四、实验内容与方法1、验证性试验1)门信号的傅里叶变换MATLAB程序：Clear all;syms t wut=sym('heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5)');subplot(2,1,1);ezplot(ut)hold onaxis([-1 1 0 1.1]);plot([-0.5 -0.5],[0,1]);plot([0.5 0.5],[0,1]);Fw=fourier(ut,t,w);FFP=abs(Fw);subplot(2,1,2);ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);程序运行结果图2)冲激信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms t wut1=sym('heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5)');subplot(2,1,1);ezplot(ut1);title('脉宽为1的矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 1.1]);plot([-0.5 -0.5],[0 1]);plot([0.5 0.5],[0 1]);Fw=fourier(ut1,t,w);FFw=abs(Fw);subplot(2,1,2);ezplot(FFw,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1的矩形脉冲信号的幅度频谱')hold onpauseut2=10*sym('heaviside(t+0.05)-heaviside(t-0.05)'); subplot(2,1,1);ezplot(ut2);title('脉宽为1、0.1矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 11]);plot([-0.05 -0.05],[0 10]);plot([0.05 0.05],[0 10]);Fw2=fourier(ut2,t,w);FFw2=abs(Fw2);subplot(2,1,2);ezplot(FFw2,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1、0.1的矩形脉冲信号的幅度频谱')hold onpauseut3=100*sym('heaviside(t+0.005)-heaviside(t-0.005)'); subplot(2,1,1);ezplot(ut3);title('脉宽为1、0.1和0.01矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 110]);plot([-0.005 -0.005],[0 100]);plot([0.005 0.005],[0 100]);Fw3=fourier(ut3,t,w);FFw3=abs(Fw3);subplot(2,1,2);ezplot(FFw3,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1、0.1和0.01的矩形脉冲信号的幅度频谱') hold onpause程序运行结果图3)直流信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear all;display('Please input the value of a')a=input('a=');syms tf=exp(-a*abs(t));subplot(1,2,1)ezplot(f);axis([-2*pi 2*pi 0 1]);ylabel('时域波形');F=fourier(f);subplot(1,2,2)ezplot(abs(F));axis([-3 3 0 2/a])程序运行结果图a=0.1时：a=0.01时：a=0.001时：a=0.0001时：4)阶跃信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms w;xw=1/(j*w);ezplot(abs(imag(xw)));axis([-3 3 -1.5*pi 1.5*pi]);hold ony=0:0.01:pi;plot(0,y);hold ony=-pi:pi;plot(0,y);hold ontitle('阶跃信号频谱');xlabel('\omega');axis([-pi pi -6 6]);x=-pi:0.001:pi;plot(x,0)hold ony=-6:0.01:6;plot(0,y);hold on程序运行结果图5)单边指数信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-2*t)*sym('heaviside(t)'); Fw=fourier(f);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-1 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));xlabel('幅度频谱');im=imag(Fw);re=real(Fw);phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图2、程序设计实验确定下列信号的傅里叶变换的数学表达式1)的傅里叶变换2()()1t f t e U t -=+1()2()2F j j ωπδωω=++MATLAB 程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-2*t)*sym('heaviside(t)')+1;Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-1 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图2)的傅里叶变换2()(1)()t f t e U t G t -=-+12sin ()1j e F j j ωωωωω--=++MATLAB 程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-1*t)*sym('heaviside(t-1)')+heaviside(t+1)-heaviside(t-1);Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-2.5 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图3)的傅里叶变换()2()(4)f t U t t δ=+-41()2(())j j F j e e j ωωωπδωω--=++MATLAB 程序：clear all syms t v w phase im ref=2*sym('heaviside(t-1)')+dirac(t-4);Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f)axis([-1 6 0 1.5]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱')；程序运行结果图。
非周期信号的频谱
(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频 谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变
换表示式改写成三角函数的形式，即
.
6
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j)和相位
谱 ( )两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
F(j) 为负代表相位为 ，
0
.
F(为j正) 代表相位为 。
11
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F(j)为频谱密.度函数。
2
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式
f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ej ntd t可得
可知
'(t)ejtd tdejt j
dt t 0
即 ℱ 'tj
同理可得 ℱ [(n)(t). ](j)n
23
例3.4-6 求单位直流信号的频谱
f(t)1 - t
显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换
§3-(3-4 )非周期信号的频谱分析 典型非周期信号的傅里叶变换
0
脉冲趋于幅度无穷大、宽度无穷小的信号。强度其为
10
d
2
2
d( 1 (
)
arctg (
)
2
) |
也即，当α→0，前一项是强度为π的冲激。所以，单位阶 X ( j ) 跃信号的傅里叶变换
( )
ℱ u ( t ) ( )
jk 1 t
dt
取T→∞的极限
T 2
lim
T Ak
T
lim
T
T 2
x (t )e
jk 1 t
dt
x (t )e
j t
dt X ( j )
应该是一确定的函数。
2
对应的傅里叶级数展开式
x (t )
k
Ak e
jk 1 t
0
t
t
u ( t )]
0
于是
X ( j ) lim
0
( )
2
2 j
2 2
j
2
0
2 j
18
2
这个结果也可以通过符号函数的另一种表示得到。因
为 所以
x ( t ) sgn( t ) 2 u ( t ) 1
X ( j ) 2 [ ( )
e
jt
dt 2()
17
x (t )
七、符号函数信号
x ( t ) sgn( t )
4-4信号的频域分析-非周期信号频域分析
式中t0为任意实数
✓ 证明： F[ f (t t0 )] f (t t0 )ejt dt
令x = tt0，则dx = dt，代入上式可得
F[
f
(t
t0
)]
f (x)ej(t0 x)dx
F ( j) e jt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。 8
f
(t)
d
d
e jt
d
[(
jt)
f
(t )]e
jt
dt
将上式两边同乘以j得
j
dF( j) d
[t
f
(t)]
e jt
dt
23
例4 试求单位斜坡信号tu(t)的频谱。
解： 已知单位阶跃信号傅里叶变换为:
F[u(t)] π () 1 j
故利用频域微分特性可得:
F[tu(t)] j d [π () 1 ] π () 1
又因为
F
t
f1
(
)d
F[
f
(t)
f
()]
F(
j)
2f
() ()
整理即得结果.
22
9. 频域微分特性
若 f (t) F F ( j)
则t f (t) F j dF( j) d
t n f (t) F jn dF n ( j) d n
证明： F(j) f (t)ejt dt
dF( j) d
30
12. 非周期信号的能量谱密度
帕什瓦尔能量守恒定理：
f
2 (t)dt
1 2π
|
F( j) |2
d
定义单位角频率的信号能量为能量频谱密度
信号分析3.02 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换
如果f(t)是实函数
F ( jw)
f (t )e jwt dt F ( jw)
F ( jw) F ( jw) F ( jw) 是w偶函数
F j F () ~ : 幅度频谱
提问:所有信号都可以由时域变换到频域分析吗?
三．傅里叶变换存在的充分条件
注意：
f t d t （有限值或收敛） 即f t 绝对可积
绝对可积 F(jw)存在
1）满足绝对可积，傅里叶变换一定存在（充分条件） 2）不满足绝对可积，傅里叶变换仍可能存在（不是必 1 (t ) (t ) 要条件）
第二节 非周期信号的频谱分析 －傅里叶变换
• 傅里叶变换的提出
•傅里叶变换的物理意义
•傅里叶变换的存在条件
•常用非周期信号的频谱 •非周期信号的频谱的特点
一．傅里叶变换的提出
周期信号向非周期信号过渡 fT t f (t ) T1 时域过渡
2π T1 频域过渡: 谱线间隔 `1 d T1
3）所有能量信号均满足此条件。
四.常用非周期信号的频谱
矩形脉冲（门函数）
单边指数信号
直流信号
单位阶跃信号 单位冲激信号
1．矩形脉冲信号－门函数
f (t ) Eg (t )
E
F ( j ) f (t )e j t d t Ee j t d t
E e .
简写
记做：
f t F j
F f (t ) F ( j )
F
1
F ( j )
非周期信号的频谱
F(j)称为 f(t) 的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱；
f(t) 称为F(j) 的傅里叶反变换或原函数。
也可简记为： F ( j )
f (t)
f (t)
1 F ( j)
或者： f (t ) F ( j )
频谱密度函数
F ( j ) 一般为复函数，可写为
F ( j) F ( j) ej () F ( ) e j ()
0,
2
A e j tdt
2
A e j t 2
j
2A sin 2
A Sa( )
2
2
t
2
t
2
8.矩形脉冲信号的频谱
f (t ) A
2π
F( j)
A
t 2 0 2
0 2π 4π
Ag (t)
A
Sa( )
2
傅里叶变换对 F ( j ) f ( t ) e j t d t
T
Fn
2Fn 1
Fn f1
T
2 T
f ( t ) e j n 1t d t
2
其中， Fn 或 Fn 表示单位频带上的频谱值，即频谱密度。
1
f1
对上式取极限 T ，各变量将相应改为 T
虽然 记作
Fn 0
F ( j)
，但
T
F
n 趋于一有限函数
1
2
T
d
n 1 n
F ( j )
et t 0
f (t) e t t 0
为 0的实数
F ( j) 0 eate jtdt eate jtdt j
2
0
2 a2
F (j) 2 2 a2
非周期信号的频谱分析
X
4．傅里叶变换对
F(
j )
f
(t)ej t
dt
F
f
(t)
正变换
f
(t)
1
2
F
j
e j
t
d
F
1 F
j
反变换
简写
f t F j
记做：
F f (t) F( j) F 1 F( j) f (t)
二、傅里叶反变换的物理意义——信号分解
f (t) 1 F j e j t d F j d e j t
π
2
O
π2
O π 2
注意：只有α＞0时傅里叶变换才存在， α＜0时f(t)不
满足绝对可积条件
8．升余弦脉冲信号（自学）
f
t
E 2
1
cos
π
t
0 t
f t
E
E
2
F j f t ejt d t
O
2
E 2
1
cos π t
e jt
dt
t
2
E
ejt d t E
2
(t)
Sa 2
(
w 2
)
1 f2τ△ (t)
注意对比两 者不同
F j
－τ 0 τ
t
2π O 2π 4π
X
第
五.非周期信号频谱的特点
34 页
1.连续性
特例：直流和阶跃信号的频谱含冲激。
2.收敛性
第 13 页
4）与周期信号傅立叶级数展开的收敛条件比较
f (t) d t （有限值或收敛）
T
傅里叶变换存在的条件与傅立叶级数展开的收敛条 件一样。 信号绝对可积； 任何有限区间里，只有有限个最大值和最小值； 任何有限区间里，有有限个不连续点，且不连续点有值。
4_5 连续非周期信号的频域表示
连续非周期信号的频域分析◆连续非周期信号的频域表示◆典型连续非周期信号的频谱◆连续时间傅里叶变换的性质连续非周期信号的频域表示2τ2τ-A t0T )(~t x 0T -O 2τ2τ-A t ()x t O0T →∞)(~lim )(0t x t x T ∞→=周期信号非周期信号00000j 202lim lim ()e d T n t T n T T T C x t t ω-→∞→∞-=⎰(j )X ω=j ()e d t x t t ω∞--∞=⎰00j lim ()e d n t T x t t ω∞--∞→∞=⎰ 000j 2021 ()e d T n t T n C x t t T ω--=⎰ 000j j j 000===011() e e e 2πn t n t n t n n n n n n xt C T C T C T ωωωω∞∞∞-∞-∞-∞===∑∑∑ 000j 00=j 1()lim ()lim e 21(j )2πe d πn t n T T n t X x t x t T C ωωωωω∞→∞→∞-∞∞∞-===∑⎰j 1()(j )e d 2t x t X ωωω∞-∞=π⎰j (j )()e d t X x t t ωω∞--∞=⎰※连续非周期信号的傅里叶变换◆信号可以分解成为无数个虚指数信号的线性组合j e t ωj 1()(j )e d 2t x t X ωωω∞-∞=π⎰◆虚指数信号的振幅为|(j )|d 2X ωωπj e t ωj (j )()e d t X x t tωω∞--∞=⎰ X (j ω) 被称为非周期信号的频谱函数幅度频谱相位频谱j ()(j )|(j )|e X X ϕωωω=(1) 非周期信号在其定义区间上绝对可积(2) 在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值。
(3) 在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些间断点必须是有限值。
第五章 非周期信号频域分析
2
5.1 连续非周期信号的频谱
注意到
T0
lim fT0 (t ) f (t )
相应地，T (t ) 的Fourier级数将等于f(t)的Fourier级数。 f0
(a)
(b) 图5-1 非周期信号的周期化
3
5.1 连续非周期信号的频谱
为了避免 T0 时，式(5.2)中的Cn趋于零，将(5.1)和(5.2)等 价地定义为
1
2 2
相位频谱为 () arctan
(5 21)
20
5.2 常见连续信号的频域分析
5 单边指数信号 f (t ) e
t
u(t ), 0
单边指数信号的幅度频谱和相位频谱见图5-8。
图5-8 单边指数信号的幅度频谱和相位频谱
21
(5 13)
15
5.2 常见连续信号的频域分析
2 单位冲激信号 利用冲激信号的取样特性，可得
F[ (t )] f (t )e
jt
dt (t )e jt dt 1 (5 14)
单位冲激信号及其频谱函数见图5-5所示。
图5-5 单位冲激信号及其频谱函数
Dn jn0t fT0 (t ) e n=- T0 Dn
T0 / 2 T0 / 2
(5.3) (5.4)
fT0 (t )e jn0t dt
下面说明如何由周期矩形脉冲的频谱得出非周期矩形脉冲 信号的频谱。由4-1节知，周期为T0、宽度为 的周期矩形脉 冲的Fourier系数为
52常见连续信号的频域分析单位冲激信号利用冲激信号的取样特性可得图55单位冲激信号及其频谱函数171752常见连续信号的频域分析由单位冲激信号是偶函数得直流信号ft1利用单位冲激信号的频谱和fourier反变换公式可得图56直流信号及其频谱函数18因此单位阶跃信号的频谱函数为52常见连续信号的频域分析单位阶跃信号ut单位阶跃信号也不满足dirichlet条件但其fourier变换存在
第五章 非周期信号的频域分析新
2T1
周期T → ∞
F (ω) lim akT = 2T1Sa(ωT1 )
T →∞
F(ω)
2T1
−
π T1
π T1
−
kω0
4π T1
−
3π T1
−
π 2π − T1 T1
π T1
2π T1
3π T1
4π T1
ω
0 ω0
2ω0
0
由周期傅里叶级数：
∞ ⎧ f (t ) = ∑ Fn e jnΩ t ⎪ n = −∞ ⎪ ⇒ ⎨ T ⎪ F = 1 2 f (t )e − jnΩ t dt ⎪ n T ∫− T 2 ⎩ n = 0,±1,±2,...
0
∞
t
− 2 jω = 2 α +ω2
−e
αt
−1
− 2 jω F1( jω) = 2 2 α +ω
2 F( jω) = limF1( jω) = α→0 jω 2 F( jω) =
F( jω)
ω
ω
ϕ(ω) π
2
−
⎧ π − ⎪ 2 ⎪ ϕ(ω) = ⎨ ⎪π ⎪2 ⎩
ω >0 ω <0
π
2
ω
（2）单位冲激信号
F
a 其中 a1 、 2 为任意常数
● 两个信号加权求和的傅氏变换等于各个信号傅 氏变换的加权求和； ● 线性同样适用于多个信号加权求和的情况。
例5－1：已知信号 f (t ) = 2 + 3δ (t ) 根据线性，其傅氏变换为 F (ω ) = 4πδ (ω ) + 3 已知信号f(t)
jω a 的傅氏变换 F (ω ) = jω + a = 1 − jω + a
第五章非周期信号的频域分析
5.2常见连续时间信号的频谱
• 常见非周期信号的频谱(频谱密度)
• 单边指数信号 • 单位冲激信号δ(t) • 直流信号 • 符号函数信号 • 单位阶跃信号u(t)
• 常见周期信号的频谱密度
• • 虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
1. 常见非周期信号的频谱
• (1) 单边指数信号
f (t ) e
0
- t
]
F ( )
( ) /2
0
0
- / 2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
(5) 单位阶跃信号u(t)
u (t ) 1 2 { u ( t ) + u ( - t )} + 1 2 { u ( t ) - u ( - t )} 1 2 + 1 2 sgn( t )
• 12. 能量定理
1. 线性特性
若 f1 (t ) F1 ( j )；
F
f 2 (t ) F 2 ( j )，
F
则 af 1 ( t ) + bf 2 ( t ) aF 1 ( ) + bF 2 ( )
• 其中a和b均为常数。
2.共轭对称特性
若 f ( t ) F ( j )
2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得 3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。 5. 脉冲宽度t越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。
- j t
dt
令x= t-t0，则dx=dt，代入上式可得