最新正余弦定理讲义培训资料

培优教育一对一辅导讲义

科目：＿数＿＿年级：＿＿高一＿＿姓名：＿＿＿＿教师：＿＿＿＿时间：＿＿＿＿

sin B sin C

解：

例2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆ 解：

例3在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆

课后作业

1在△ABC 中，

k C

c

B b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A 2R B R

C 4R

D R 2

1

(R 为△ABC 外接圆半径)

2 在ABC ∆中，已知角3

3

4,2245=

==b c B ， ，则角A 的值是( ) A. 15 B. 75 C.

105 D.

75或

15 3、在△ABC 中,=︒=︒=c b a B A ::,60,30则若

4、在ABC ∆中，若14,6760===a b B ，

，则A= 。

5、在ABC ∆中，已知 45,2,3===

B b a ，解三角形。

探究一．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况

分析：先由sin sin b A

B a

=

可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ ，从而A

C

a c sin sin =

1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。 2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解； 3.如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解。

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？

三例题讲解

例1.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1) a ＝20，b ＝28，A ＝120°.无解 (2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°；一解 (3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°；一解 (4) b ＝11，a ＝20，B ＝30°；两解

[随堂练习1]

（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。 （2）在∆ABC 中，若1a =，1

2

c =

，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 （3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x <<）

例2.在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b c

A B C

==判断ABC ∆的形状．

[随堂练习2]

1.△ABC 中， C B A 2

2

2

sin sin sin += ，则△ABC 为（ A ） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形

2. 已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。 答案： ∆ABC 是等腰或直角三角形 1.根据下列条件，判断解三角形的情况

2.在ABC ∆中，a=15,b=10,A =60°，则cosB =

A －223

B 223

C －63

D 63

3.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C =2B,则sinC= .

。

，，求，，解这个三角形）（解这个三角形。和边，求角求边求边）（根据条件解三角形：

C A a B b c C c b B a b c C B A b a c a b B A b a C A c ,6031)6(,45,20,405,30,26,13)4(.,30,316,16)3(.

,,12,120,30)2(.,,30,45,1014︒︒︒︒︒︒︒︒==================

5.设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2bsinA ．(1)求B 的大小；(2)求cosA ＋sinC 的取值范围．

同步分层能力测试题（一）

一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．在△ABC 中， 若a=5,b=15,A=300

,则边c= 。

︒

︒︒︒============60,20,18)4(30,16,8)3(120,15,12)2(45,16,14)1(B c b A b a A c a A b a 、、、、

依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：

1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． 针对性练习： 已知△ABC 中，sin C ＝

sin A ＋sin B

cos A ＋cos B

，试判断△ABC 的形状．

考点三：三角形面积公式的应用

典型例题

已知△ABC 中，cos A ＝

6

3

，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边． 求tan2A ； (2)若sin(π2＋B )＝22

3，c ＝22，求△ABC 的面积．

知识概括、方法总结与易错点分析

1．三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求．

2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1

2ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和

正弦定理、余弦定理联系起来． 针对性练习：

在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求角B 的大小；

(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．