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第21讲-正弦定理和余弦定理(讲义版)

第21讲-正弦定理和余弦定理一、考情分析1.掌握正弦定理、余弦定理.2.能解决一些简单的三角形度量问题.二、知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .三、经典例题考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6B.π3C.5π6D.2π3(3)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6 【解析】 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6×323＝22，结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4.规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 【解析】(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0，得tan A ＝－3，又0<A <π，所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3. 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 【解析】由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.规律方法 1.对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. [方法技巧]1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，可知角C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形.4.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.5.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.四、课时作业1．（2020·安徽省舒城中学高一月考（文））在ABC 中，a =c =60A =︒，则C =（）. A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==，则a =（）A ．2BC ．D3．（2020·浙江省高一期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，222c a b =+，则C =（） A ．60B ．30C ．60或120D ．1204．（2020·金华市江南中学高一期中）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A ．5B C ．2D ．15．（2020·全国高三（文））在锐角ABC ∆中，若2C B =，则cb的范围（）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)26．（2020·全国高三（文））在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-7．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为sin sin A Ba b++等于( )A ．14B ．13C D 8．（2020·四川省高三二模（文））ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin B A =，3C π=，则ca的值为（）A B C ．2 D ．129．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高二月考（理））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知sin cos 2A a B b c -=-，则A = A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 10．（2020·金华市江南中学高一期中）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若a =60A ︒=,45B ︒=,则b 的长为( )A ．2B ．1CD ．211．（2020·浙江省高二学业考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三条边为a ，b ，c ，若::1:1:4A B C =，则::a b c =（）A ．1:1:4B ．1:1:2C ．1:1:3D ．1:1:12．（2020·威远中学校高一月考（文））在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( ) A ．B ．C ．D ．113．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足22265b c a bc +=+，则sin 2B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．22B ．5 C ．25D ．2514．（2020·山东省高三其他）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 3°的近似值为（）(π取近似值3.14)A ．0.012B ．0.052C ．0.125D ．0.23515．（2020·全国高三（文））在ABC ∆中，若cos cos a cA C b++=，则ABC ∆的形状是（） A ．C 为直角的直角三角形 B ．C 为钝角的钝角三角形 C ．B 为直角的直角三角形D ．A 为锐角的三角形16．（2020·四川省成都外国语学校高一期中（文））在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（） A ．(2,23B ．(22,23C ．()22,4D ．()23,417．（2020·四川省高一月考（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若,23C c π==，当ABC 面积最大时，此时的ABC 为（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能对形状进行判断18．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（文））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC 的最大边长为（） A ．3B ．4C ．5D ．619．（2020·辽宁省高三月考（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足6a =，c =2sin tan tan cos CA B A+=，则ABCS =（）A ．B ．C ．D ．20．（2020·威远中学校高一月考（文））在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且221,41a S b c ==+-，则ABC ∆外接圆的面积为（）A ．2π B ．2πCD 21．（2020·山东省高三其他）已知ABC △同时满足下列四个条件中的三个： ①π3A =；②2cos 3B =-；③ 7a =；④ 3b =．（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求ABC △的面积．22．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在ABC ∆中，已知a =_______，)22cos1cos 2A CB +=，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为60A =︒，那么缺失的条件是什么呢？问题：（1）如何根据题目条件求出,B C 的大小？（2）由求得的,B C 的值和正弦定理如何求出,b c 的值？（3）破损处的条件应该用b 边的长度还是用c 边的长度，还是二者均可？为什么？23．（2020·肥城市教学研究中心高三其他）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且22()b a a c c -=-.（1）求角B .（2）若 b =2a c +的最大值.24．（2020·山东省高三其他）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边试从下列①②条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+；②2cos cos cos c C a B b A =+.(1)求角C (2)若5c =,11a b +=,求ABC ∆的面积.25．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，120BCD ︒∠=，2AC =.（1）若15ABC ︒∠=，求DC ；（2）记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.。

正弦定理、余弦定理讲义

此为三角函数最为基础的知识，在以后的多学科学习中都能用到，需要学生熟练掌握，并灵活运用。

解三角形【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理； 2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题．【基础知识】在C B A c b a ABC ∠∠∠∆、、分别是、、中，所对的边，ABC R ∆为的外接圆半径,则有，1.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin =∠=∠=∠； 2.余弦定理：bca cb A 2cos 222-+=A bc c b a cos 2222-+=⇔ ac b c aB 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=⇔ abc b a C 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔ 3.常用公式：（1）π=++C B A ；（2）B ac A bc C ab S sin 21cos 21sin 21===知识点一：解直角三角形【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．【变式训练】 1.在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.知识点二：正、余弦定理的运用【典例精析】例1、（2010辽宁文数）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.例2、（2010重庆文数）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a =42bc . (Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.例3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-ca b +2.（1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin22BA+-cos2C=27.(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积.【变式训练】1.（2010天津文数）在∆ABC中，coscosAC B AB C=。

初中一对一精品辅导讲义：正弦定理与余弦定理.docx

教学目标重点、难点考点及考试要求1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索2、掌握正弦定理的内容及其证明方法；3、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

1、正弦定理的探索和证明及其基本应用。

2、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

1、正弦定理2、余弦定理3、正弦定理、余弦定理的应用教学内容第一课时正弦定理与余弦定理知识点梳理课前检测1、ABC 中，A45 , B 60 , a 10,则b等于（）A 52B10 2C106D5632、在△ ABC中，已知a 8，B=600， C=750，则b等于A. 46B.45C.43D.22 33、已知ABC 中， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C 的对边，a2, b3, B 60 ，则A =A. 135B.45C.135 或 45D.904、在△ ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边 ,A75 , C45, b = 2, 则此三角形的最小边长为（）A．6B． 2 2C．2 6D．2 43345、在ABC3045，，则最短边长为（）中， B=，C=c=1A．6B．2C．1D．33222知识梳理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b c sin A sin B sin C（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 a k sin A ， b k sin B ， c k sin C ；a b ca bcbac（ 2） sin A sin B sin C等价于sin Asin B，sin Csin B，sin Asin C从而知正弦定理的基本作用为：b sin A ；①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如asin B②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin A asin B 。

b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

(完整版)DSE正余弦定理复习讲义

解三角形【考点及要求】1. 掌握正弦定理、余弦定理；2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题．【基础知识】1．正弦定理：．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）；（2）．2．余弦定理：第一形式：2b =B ac c a cos 222-+，第二形式：cos B =acb c a 2222-+ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）；（2）．3．三角形的面积公式 . 4．△ABC 中，::sin :sin :sin ;a b c A B C = .A B C π++=【基本训练】1．在△ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______．3．在△ABC 中，4,7,AB AC ==M 为BC 的中点，且35AM =⋅，则BC = .4．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = 【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．1. 变式: 在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos =B ，则ABC △的面积S =________________ 例2在ΔABC 中，若2cos sin sin B A C =，则ΔABC 的形状为 .变式1: ABC C b a B A b a ABC ∆-=-+∆则中若sin )()sin()(2222是（）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形。

例3在△ABC 中 A=45°，B ：C = 4：5最大边长为10，求角B 、C 、外接圆半径及面积S变式:在△ABC 中以知A=30°a 、b 分别为角A 、B 对边，且a=4=33b 解此三角形例4．△ABC 的周长为12，且sinA ·cosB －sinB=sinC －sinA ·cosC ，则其面积最大值为。

正余弦定理复习课(第1课时)

sin C 2 3 sin B ，则A=（
A、300 B、600
，
）
D、1500
C、1200
①规范做题格式；
②知 “ 两边及其中一边对角 ” 三角形的解是不唯一（难点）。
a、函数值的有界性通常根据 b、大边对大角定理进行判断
变式2：判断下列命题的真假：
（1）△ABC中，a=6，b=9，A=450 ，有两解。
× 无解
（2）△ABC中，a=7，b=14，A=300 ，有两解。 × 有一解
（1）△ABC中，a=30，b=25，A=1500 ，有一解。 √
（1）△ABC中，a
3,b 2, B 450
，有一解。 × 有两解
判定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边。
例3、设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 b cos C c cos B a sin A, 则ABC的形状为（） A、直角三角形 C、钝角三角形
余弦定理： ①已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. ②已知三边，求各角；
例1、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 a 2b sin A
（1）求B的大小；
（2）若 a 3 3, c 5, 求b.
① 变形公式a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝2RsinC 的正确使用；
①a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC ；变形形式 ②sin A＝，sin B＝，sin C＝源自； cos B＝ cos C＝
③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC ；
2、正弦定理、余弦定理的应用
正弦定理： ①知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.（解不唯一）

第7节余弦定理、正弦定理应用举例--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第七节余弦定理、正弦定理应用举例测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线01上方的叫做仰角，目标视线在水平视线02下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i ＝hl＝tan θ解三角形应用问题的步骤：1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东南方向与南偏东45°方向相同．()(2)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2.()(5)在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2．小题热身(1)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为()A．502m B．503m C．252m D．2522m 答案A解析在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，所以AB＝AC sin∠ACBsin∠CBA＝50×2212＝502(m)．故选A.(2)(人教A必修第二册6.4.3例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(303＋30)m B．(153＋30)m C．(303＋15)m D．(153＋15)m 答案A解析在△ABP中，∠APB＝45°－30°，所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB＝AB sin30°sin∠APB＝60×126－24＝30(6＋2)，所以该树的高度为30(6＋2)sin45°＝303＋30(m)．故选A.(3)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.答案507解析连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，解得OC ＝507.则该扇形的半径为507m.考点探究——提素养考点一测量距离问题例1(2024·重庆模拟)一个骑行爱好者从A 地出发，向西骑行了2km 到达B 地，然后再由B地向北偏西60°骑行了23km 到达C 地，再从C 地向南偏西30°骑行了5km 到达D 地，则A 地到D 地的直线距离是()A ．8kmB ．37kmC ．33kmD ．5km答案B解析如图，在△ABC 中，∠ABC ＝150°，AB ＝2，BC ＝23，依题意，∠BCD ＝90°，在△ABC中，由余弦定理得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝4＋12＋83×32＝27，由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB sin ∠ABC AC＝714，在△ACD 中，cos ∠ACD ＝cos(90°＋∠ACB )＝－sin ∠ACB ＝－714，由余弦定理得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD ＝28＋25＋2×27×5×714＝37.所以A 地到D 地的直线距离是37km.故选B.【通性通法】距离问题的类型及解法(1)类型：①两点间既不可达也不可视；②两点间可视但不可达；③两点都不可达．(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．【巩固迁移】1．已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．(1)计算渔政船C与渔港O的距离；(2)若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？(参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，sin63.43°≈0.89，tan63.43°≈2.00，11≈3.32，13≈3.61)解(1)∵AO⊥OB，∠OBA＝68.20°，OB＝160，∴AO＝OB tan∠OBA≈160×2.50＝400，∵AO⊥OC，∠OCA＝63.43°，∴OC＝OAtan63.43°≈4002.00＝200.即渔政船C与渔港O的距离为200海里．(2)由题意知∠OBC＝60°＋60°＝120°，在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2＋BC2－2OB·BC cos∠OBC，即40000＝25600＋BC2＋160BC，解得BC＝－80－4013(舍去)或BC＝－80＋4013，即BC≈－80＋40×3.61＝64.4，∵64.425＝2.576<3，∴渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能在3小时内赶到出事地点．考点二测量高度问题例2(1)(2024·江苏南通调研)湖北宜昌三峡大瀑布是国家4A 级景区，也是神农架探秘的必经之地，为了测量湖北宜昌三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32，沿山道继续走20m ，抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为π3，则该瀑布的高度约为()A ．60mB ．90mC ．108mD ．120m答案A解析根据题意作出示意图，其中tan α＝32，β＝θ＝π3，AB ＝20，在Rt △AOH 中，tan α＝OHOA，所以OA ＝23OH .在Rt △BOH 中，tan β＝OH OB ，所以OB ＝33OH .在△AOB 中，由余弦定理，得OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB cos θ，即13OH 2＝49OH 2＋202－2×23OH ×20×12，解得OH ＝60.所以该瀑布的高度约为60m ．故选A.(2)(2023·辽宁协作校联考)山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北．整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB ，选取了与楼底B 在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，现测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝95°，CD ＝116m ，在点D 处测得黄河楼顶A 的仰角为45°，求黄河楼的实际高度．(结果精确到0.1m ，取sin55°＝0.82)解由题知，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝55°，在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，则BD ＝CD sin ∠BCD sin ∠CBD＝116×sin30°sin55°＝580.82≈70.7m ，在△ABD 中，AB ⊥BD ，∠ADB ＝45°，所以AB ＝BD tan ∠ADB ＝BD ≈70.7m.故黄河楼的实际高度约为70.7m.【通性通法】(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．(4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．【巩固迁移】2．(2023·安徽蚌埠模拟)圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角(即∠ABC )约为33.65°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC )约为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD 的长)为7米，则表高(即AC 的长)约为()A ．cos80.51°7tan46.86°B ．7tan46.86°sin33.65°C ．7sin33.65°sin80.51°sin46.86°D ．sin33.65°7sin80.51°答案C解析由图可知∠BAD ＝∠ADC －∠ABC ＝80.51°－33.65°＝46.86°.在△ABD 中，BDsin ∠BAD＝AD sin ∠ABC ，得AD ＝7sin33.65°sin46.86°.在△ACD 中，AC ＝AD sin ∠ADC ＝7sin33.65°sin80.51°sin46.86°.故选C.考点三测量角度问题例3已知在岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛A 北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5sin38°≈5314，解如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，则BC ＝0.5x ，AC ＝5，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC sin ∠BAC BC ＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD .故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．【通性通法】(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．【巩固迁移】3.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝()A ．33B ．6－2C ．3－1D ．2－1答案C解析由题意知，∠CAD ＝15°，∠CBD ＝45°，所以∠ACB ＝30°，∠ABC ＝135°.在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin30°＝ACsin135°，又AB ＝100m ，所以AC ＝1002m ．在△ADC 中，∠ADC ＝90°＋θ，CD ＝50m ，由正弦定理，得AC sin （θ＋90°）＝CDsin15°，所以cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC sin15°CD＝3－1.故选C.课时作业一、单项选择题1.如图，两座相距60m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20m ，50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案B解析由已知，得AD ＝2010m ，AC ＝305m ，又CD ＝50m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°＜∠CAD ＜180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.故选B.2.如图，设A ，B 两点在河的两岸，在A 所在河岸边选一定点C ，测量AC 的距离为50m ，∠ACB ＝30°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点间的距离是()A ．252mB ．502mC ．253mD ．503m答案A解析在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，得AB ＝AC sin ∠ACB sin ∠ABC ＝50sin30°sin45°＝50×1222＝252(m)．故选A.3．(2023·山东济南模拟)如图，一架飞机从A 地飞往B 地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A 点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB 成12°角的方向飞行，飞行到中途C 点，再沿与原来的飞行方向AB 成18°角的方向继续飞行到终点B 点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km 大约多飞了(sin12°≈0.21，sin18°≈0.31)()A ．10kmB ．20kmC ．30kmD ．40km 答案B 解析在△ABC 中，由A ＝12°，B ＝18°，得C ＝150°，由正弦定理，得500sin150°＝BC sin12°＝AC sin18°，所以50012≈BC 0.21≈AC 0.31，所以AC ≈310km ，BC ≈210km ，所以AC ＋BC －AB ≈20(km)．故选B.4.(2023·安徽六安一中校考模拟预测)《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A ，B 处分别作切线相交于点C ，测得AC ＝100cm ，BC ＝100cm ，AB ＝180cm ，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为()A ．0.62B ．0.56C ．－0.56D ．－0.62答案A 解析如图所示，设弧AB 对应的圆心是O ，根据题意可知，OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，则∠AOB＋∠ACB ＝π，因为AC ＝100，BC ＝100，AB ＝180，则在△ACB 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝1002＋1002－18022×100×100＝－0.62，所以cos ∠AOB ＝cos(π－∠ACB )＝－cos ∠ACB ＝0.62.故选A.5．(2023·山西太原模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度BC 为60m ，则此时气球的高度为()A ．15(3－1)mB ．15(3＋1)mC ．30(3－1)mD ．30(3＋1)m 答案B 解析在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝75°－30°＝45°，BC ＝60m ，则∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°.又sin105°＝sin(60°＋45°)＝32×22＋12×22＝6＋24，BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，所以AC ＝60×6＋2422＝30(3＋1)m ，所以气球的高度为AC sin ∠ACB ＝30(3＋1)×12＝15(3＋1)m ．故选B.6.(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P ，对地面B ，C 两受灾点的视角为∠BPC ，且tan ∠BPC ＝13.已知地面上三处受灾点B ，C ，D 共线，且∠ADB ＝90°，BC ＝CD ＝DA ＝1km ，则无人机P 到地面受灾点D 处的遥测距离PD 的长度是()A ．2kmB ．2kmC ．3kmD ．4km 答案B 解析解法一：由题意得BD ⊥平面PAD ，∴BD ⊥PD .设PD ＝x ，∠PBD ＝α，∠PCD ＝β，则tanα＝x2，tanβ＝x，∴tan∠BPC＝tan(β－α)＝x－x21＋x·x2＝xx2＋2＝13，解得x＝1或x＝2，又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.故选B.解法二：由题意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PA＝x，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝13，可得cos∠BPC＝31010，在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2x2＋5·x2＋2·31010，解得x2＝3，进而PD＝x2＋1＝2.故选B.7.大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望．吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度)．他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进72米后到达D处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据：tan71.565°≈3)()A．19米B．20米C．21米D．22米答案C解析在△ACD中，∠CAD＝135°，∠ACD＝30°，CD＝72，由正弦定理得ADsin∠ACD＝CDsin∠CAD，所以AD＝CD sin∠ACDsin∠CAD＝7(米)，在Rt△ABD中，∠BDA＝71.565°，所以AB＝AD tan71.565°≈7×3＝21(米)．故选C.8．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m答案B解析如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，则BC＝2100012×sin15°＝10500(6－2)(m)，因为CD⊥AB，所以CD＝BC sin45°＝10500(6－2)×22＝10500(3－1)≈7350(m)，所以山顶的海拔高度大约为10000－7350＝2650(m)．故选B.二、多项选择题9．某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好3km，那么x的值是()A．3B．23C．3D．6答案AB解析如图，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°.由余弦定理，得3＝x2＋9－2×3×x×cos30°，解得x＝23或x＝ 3.故选AB.10．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是()A．A处与D处之间的距离是24n mileB ．灯塔C 与D 处之间的距离是83n mileC ．灯塔C 在D 处的南偏西30°D ．D 处在灯塔B 的北偏西30°答案ABC 解析在△ABD 中，由已知，得∠ADB ＝60°，∠DAB ＝75°，则∠B ＝45°.由正弦定理，得AD＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24，所以A 处与D 处之间的距离为24n mile ，故A 正确；在△ADC中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos30°，又AC ＝83，所以CD ＝8 3.所以灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile ，故B 正确；因为AC ＝CD ＝83，所以∠CDA ＝∠CAD ＝30°，所以灯塔C 在D 处的南偏西30°，故C正确；因为灯塔B 在D 处的南偏东60°，所以D 处在灯塔B 的北偏西60°，故D 错误．故选ABC.三、填空题11．神舟载人飞船返回舱成功着陆，标志着返回任务取得圆满成功．假设返回舱D 垂直下落于点C ，某时刻地面上A ，B 两个观测点，观测到点D 的仰角分别为45°，75°，若点A ，B间的距离为10千米(其中向量CA →与CB →同向)，估算该时刻返回舱距离地面的距离CD 约为________千米．(结果保留整数，参考数据：3≈1.732)答案14解析在△ABD 中，A ＝45°，∠ABD ＝180°－75°＝105°，∠ADB ＝30°，由正弦定理得AB sin30°＝AD sin105°，AD ＝20sin105°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)，所以CD ＝AD sin A ＝5(6＋2)×22＝53＋5≈14(千米)．12.魏晋南北朝时期，数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高谷深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步．关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高和远的问题，故将《重差》更名为《海岛算经》．受此启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度(示意图如图所示)，测得以下数据(单位：米)：前表却行DG ＝1，表高CD ＝EF ＝2，后表却行FH ＝3，表间DF ＝85.则塔高AB ＝________米．答案87解析由题意可知，△EFH ∽△ABH ，△CDG ∽△ABG ，所以EF AB ＝FH BH ，CD AB ＝DG BG，又EF ＝CD ＝2，DG ＝1，FH ＝3，DF ＝85，所以2AB ＝3BD ＋88，2AB ＝1BD ＋1，则3BD ＋88＝1BD ＋1，解得BD ＝852，所以AB ＝2BD ＋2＝87.13．海面上有相距10n mile 的A ，B 两个小岛，从A 岛望C 岛，和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛，和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离为________n mile.答案56解析由题意，知C ＝45°，A ＝60°，AB ＝10.由BC sin A ＝AB sin C，得BC ＝56n mile.14．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A 与其附近一建筑物楼顶B 之间的距离，无人机在点C 测得点A 和点B 的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D ，此时测得点A 和点B 的俯角分别为45°，60°(A ，B ，C ，D 在同一铅垂面内)，则A ，B 两点之间的距离为________米．答案10015解析由题意，∠DCB ＝30°，∠CDB ＝60°，所以∠CBD ＝90°，所以在Rt △CBD 中，BD ＝12CD ＝300，BC ＝32CD ＝3003，又∠DCA ＝75°，∠CDA ＝45°，所以∠CAD ＝60°，在△ACD 中，由正弦定理，得AC sin45°＝CD sin60°，所以AC ＝60032×22＝2006，在△ABC 中，∠ACB ＝∠ACD －∠BCD ＝75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(2006)2＋(3003)2－2×2006×3003×22＝150000，所以AB ＝10015.四、解答题15．某市广场有一块不规则的绿地，如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用更低(请说明理由)?解(1)在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用更低．理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD ＞AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD ＞S △ABC .故选择△ABC 的形状建造环境标志费用更低．16．一颗人造地球卫星在地球上空1600km 处沿着圆形的轨道运行，每2h 沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站点A 的正上空，地球半径约为6400km.(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离；(2)如果此时卫星跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？(参考数据：cos9°≈0.988，sin9°≈0.156)解(1)如图所示，设人造卫星在12：03时位于点C ，其中∠AOC ＝β，则β＝360°×3120＝9°，在△ACO 中，OA ＝6400km ，OC ＝6400＋1600＝8000(km)，β＝9°，由余弦定理得AC 2＝64002＋80002－2×6400×8000cos9°≈3.79×106，解得AC ≈1.95×103，因此在12：03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约1950km.(2)如图所示，设此时天线瞄准的方向与水平线的夹角为γ，则∠CAO ＝γ＋90°，由正弦定理得1950sin9°＝8000sin （γ＋90°），故sin(γ＋90°)＝80001950·sin9°≈0.64，即cos γ≈0.64，因此，天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值约为0.64.17．近年来临夏州深入实施生态环境保护和流域综合治理，城区面貌焕然一新．某片水域，如图，OA ，OB 为直线型岸线，OA ＝200米，OB ＝400米，∠AOB ＝π3，该水域的水面边界是某圆的一段弧AB ︵，过弧AB ︵上一点P 按线段PA 和PB 修建垃圾过滤网，已知∠APB ＝3π4(1)求岸线上点A 与点B 之间的距离；(2)如果线段PA 上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约50元的经济效益，线段PB 上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约402元的经济效益，则这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益最高约为多少元？(参考数据：102≈10.1，170≈13.04)解(1)由题意，OA ＝200米，OB ＝400米，∠AOB ＝π3，故AB ＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos ∠AOB＝2002＋4002－2×200×400×12＝2003(米)．(2)设∠PAB ＝θ，θ则在△PAB 中，ABsin ∠APB ＝PA ＝PB sin θ，即2003sin 3π4＝PA ＝PB sin θ，故PA ＝2006sin PB ＝2006sin θ，设这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益为y 元，则y ＝50PA ＋402PB ＝100006160003sin θ＝100006θ－22sin 160003sin θ＝60003sin θ＋100003cos θ＝20003(3sin θ＋5cos θ)＝2000102sin(θ＋φ)，其中φ为辅助角，不妨取其为锐角，tan φ＝53<3，则φ当θ＋φ＝π2，即θ＝π2－φ时，y 取到最大值2000102，故经济总效益的最大值为2000102≈2000×10.1＝20200(元)，即这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益最高约为20200元．18.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 处沿直线步行到C 处，另一种是先从A 处沿索道乘缆车到B 处，然后从B 处沿直线步行到C 处．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 处乘缆车到B 处，在B 处停留1min 后，再从B 处匀速步行到C 处．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 的长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？解(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理得AB ＝AC sin B ·sin C ＝12606365×45＝1040(m)，所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客的距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)＝＋6251369.因为0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，所以当t ＝3537时，甲、乙两游客距离最短，即乙出发3537min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．。

正余弦定理讲义

正余弦定理讲义
正余弦定理是高中数学中的重要知识点，也是解决三角形相关问题的基础。

本讲义将详细介绍正余弦定理的定义、公式及其应用。

一、正余弦定理的定义
正余弦定理是指在任意三角形ABC中，设三角形三边分别为
a、b、c，对应的内角分别为A、B、C，那么：
① 余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bccos A$；
② 正弦定理：$dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin
B}=dfrac{c}{sin C}$。

二、正余弦定理的公式
1. 余弦定理的公式：
$a^2=b^2+c^2-2bccos A$；
$b^2=a^2+c^2-2accos B$；
$c^2=a^2+b^2-2abcos C$。

2. 正弦定理的公式：
$dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}$。

三、正余弦定理的应用
1. 判断三角形是否存在
若已知三角形的三边长，应用正余弦定理可以求出三个角的正余弦值，从而判断这个三角形是否存在。

2. 求角度
已知三角形的三边长，应用余弦定理可以求出对应角的余弦值，进而求出对应角的角度大小。

3. 求边长
已知三角形的某两边和夹角，应用余弦定理可以求出第三边的长度。

4. 判断三角形的形状
通过正余弦定理可以判断三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形。

5. 解决实际问题
应用正余弦定理可以解决很多实际问题，如测量高楼建筑物的高度、计算船舶航行距离等。

以上就是正余弦定理的讲义内容，希望对大家学习有所帮助。

4.1正弦定理、余弦定理—讲义

第四章解三角形4.1正弦定理、余弦定理一．【课标要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二．【命题走向】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。

今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。

题型一般为填空题，也可能是中、难度的解答题。

三.【知识回顾】（1）12ABC S ∆=⋅⋅底高（2）ABC S ∆= = = ；3.三角形中常用结论（1）三个内角和为180，即A B C π++=（2）sin()A B += ，cos()A B += ， tan()A B += ，（3）sin2A B += ，cos 2A B+= ；（4）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅（5）在三角形中，大角对大边，大边对大角，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即：sin sin A B a b A B >⇔>⇔> （6）在锐角三角形中，sin cos 2A B A B π>⇔+>4.在ABC ∆中，已知,a b 和A 时，解的情况如下：【方法与规律】1. 解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角形面积公式，解题时角度的选取是关键，并注意角的取值范围，2. 解决三角形中的问题，要学会“统一”，或统一成角的关系，或统一成边的关系，视情况灵活掌握.四．【典例解析】考点一、利用正余弦定理求多边形的边或角例1.如下图所示，在四边形ABCD 中，已知,10,14,60AD CD AD AB BDA ⊥==∠=，135BCD ∠= ，求BD BC 及的长.考点二、有关三角形解的个数及形状的判定问题例2.在ABC ∆中已知22sin()()sin()A B a b A B -=-+,则ABC ∆的形状是 . 例3.钝角三角形三边长分别为,1,2a a a ++，其中最大角不超过120，则a 的取值范围是 .例4.在ABC ∆中,若22tan tan A a B b =,则判断该三角形的形状是 . 例5.在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =,则ABC ∆的形状是 .考点三、三角形中的三角函数问题例6.(08年高考全国卷)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且3cos cos 5a Bb A C -=.(1)求sin cos cos sin A BA B的值；（2）求tan()A B -的最大值.例7. ABC ∆的三个内角为,,A B C ，当A 为何值时，cos cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值.考点四、正、余弦定理及三角形面积公式的综合应用例8.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知2,3c C π==（1）若ABC ∆,a b 的值.（2）若sin sin()2sin 2C B C A +-=,求ABC ∆的面积.例9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，且cos cos 2B bC a c=-+. （1）求角B 的大小；（2）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积.例10．（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c 且满足cos 32A AB AC =⋅=.（1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值．题型五、三角形中的三角恒等变换问题例11．（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，求b .例12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且，求A 的大小及sin b B c的值.例13．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ++的值。

正弦定理和余弦定理PPT讲稿

=
10 sin 105 sin 30
19
变式训练：
（1）在△ABC中，已知b= 3，A=45 ，B=60 ，求a。
解：∵
ab sin A sin B
∴
a
b sin A sin B
=
3 sin 45 = sin 60
2
（2）在△ABC中，已知c= 3，A=75 ，B=60 ，求b。
解：∵ C 1800 ( A B)= 180 (75 60) 45
正
abc
弦的比相等，即 sin A sin B sin C
能否用向量法来证明正弦定理？
c A
→
B 我们选择单位向量 j → 并让 j 与AC 垂直.
a
→
j
与 AB
AC
CB 的夹角分别为
90 A 90 90 C
b
C 即:
→
→
j · AB = j ·(AC+ CB)
ABcos(90 A ) AC cos90 CB cos(90 C)
即 abc
sin A sin B sin C
（四）定理的应用已知两角和任意边，
求其他两边和一角
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 b (保留两位有效数字）。
解： ∵ b c
sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
∴
b
=
c sin B sin C
（1）A为锐角
C
C
b
a
ba a
A
B
a=bsin A(一解） C
b
A bBs2inA<a B1 <b(两解）

正弦定理和余弦定理讲义

1.1 正弦定理和余弦定理一、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角．．．．．．．的正弦的比相等，即：A a sin ＝B b sin ＝Ccsin 注意：（1）正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应；（2）正弦定理中的比值是一个定值，具有一定几何意义，即为三角形外接圆的直径：A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ＝2R [ R 指的是三角形外接圆半径 ]；（3）正弦定理主要实现三角形中的边角互化．．．．．．．．．．．．．．．．．；（4）S ＝C ab sin 21＝A bc sin 21＝B ac sin 21；（5）常用的公式： ①A ＋B ＋C ＝π，sin(A ．．．．．＋．B)．．＝．sinC ．．．．，． cos(A ．．．．．＋．B)．．＝－．．cosC ．．．．，．tan(A ．．．．．＋．B)．．＝－．．tanC ．．．．，．sin 2B A +＝cos 2C ，cos 2B A +＝sin 2C；②a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；③A ＞B ⇔a ＞b 【大角对大边】；④a ＋b ＞c ，a －b ＜c ；⑤a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ；⑥a sinB ＝bsinA ，bsinC ＝csinB ，a sinC ＝csinA 。

例1：下列有关正弦定理的叙述：（1）正弦定理只适用于锐角三角形；（2）正弦定理不适用于直角三角形；（3）在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；（4）在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝ a ：b ：c 。

其中正确的个数有（） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个【解析】：B变式练习1：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝2 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（）A ：4 ：1 ：1B ：2 ：1 ：1C ：2 ：1 ：1D ：3 ：1 ：1 【解析】：C变式练习2：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝4 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（）A ：4 ：1 ：1B ：2 ：1 ：1C ：2 ：1 ：1D ：3 ：1 ：1 【解析】：D例2：在△ABC 中，a ＝2，b ＝1，∠A ＝450，∠B ＝___________。

正弦余弦定理 ---讲义

正弦余弦定理讲义一、基本知识点正弦定理：R C cB bA a2sin sin sin ===正弦定理的基本作用：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；（一解）2．两边和其中一边对角，求其它的两角和一边（一解或者两解）（详见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA)( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a b a b a b a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA A C B A C B1A BAC B2C H H H⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc a c b A 2cos 222-+=余弦定理的基本作用：1．已知三边，求三角；（一解）2．已知两边和夹角，求一边和两角（一解）公式一：a b c 111S ah bh ch 222===公式二：111S absinC acsinB bcsin A 222===公式三：S p(p a)(p b)(p c)=--- 其中1p (a b c)2=++称为三角形的半周长。

推导：将公式二中的角的关系变为边的关系，根据22sin C cos C 1+=，2sin C 1cos C =-，及余弦定理ab c b a C 2cos 222-+=的变形2222abcosC a b c =+-，则 2111S absinC ab 1cos C ab (1cosC)(1cosC)222==-=-+ 22114a b (1cosC)(1cosC)(2ab 2abcosC)(2ab 2abcosC)44=-+=-+ 222222222211(2ab a b c )(2ab a b c )[c (a b)][(a b)c ]44=--+++-=--+- 11111(c a b)(c a b)(a b c)(a b c)(c a b)(c a b)(a b c)(a b c)42222=+--++++-=+--++++-设1p (a b c)2=++，则S p(p a)(p b)(p c)=---。

数学配套：第4篇第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A,B，C所对的边分别是a，b,c,则正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos Ab2＝a2＋c2－2ac cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C常见变形（1）a＝2R sinA，b＝2R sin B,c＝2R sin C；（2)sin A＝错误!，sin B＝错误!，sinC＝错误!；(3)a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin Ccos A＝错误!；cos B＝错误!；cos C＝a2＋b2－c22ab解决（1)已知两角和(1)已知三边，求三个角;的问题任一边，求其他两边和一角；(2）已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角（2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b解的个数一解两解一解一解3（1）S＝错误!ah（h表示边a上的高）．(2）S＝错误!bc sin A＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B.（3）S＝错误!r（a＋b＋c）（r为△ABC内切圆半径)．辨析感悟1．三角形中关系的判断(1）在△ABC中,sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B。

(×) (2）(教材练习改编)在△ABC中,a＝错误!，b＝错误!,B＝45°，则A＝60°或120°。

(√）2．解三角形（3)(2013·北京卷改编)在△ABC中，a＝3，b＝5,sin A＝错误!，则sin B＝错误!.(√)(4）（教材习题改编)在△ABC中,a＝5，c＝4，cos A＝916,则b＝6.（√) 3．三角形形状的判断（5）在△ABC中,若sin A sin B＜cos A cos B,则此三角形是钝角三角形．(√）（6)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．（×)［感悟·提升]一条规律在三角形中，大角对大边,大边对大角；大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B，如(1)．判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦（余弦)定理实施边、角转换.考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】（1)(2013·湖南卷改编)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝错误!b，则角A等于______．(2）(2014·杭州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b，c，若a＝1,c＝42,B＝45°，则sin C＝________.解析(1）在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝错误!sin B，∵B为△ABC的内角,∴sin B≠0.∴sin A＝错误!。

正余弦定理讲义1

正余弦定理(一）一、知识要点1、三角形中的重要结论（1）三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性（2）任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余（3）锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔最大的内角为锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方. 2、正弦定理：2sin sin sin ab c R AB C===(R 为三角形外接圆的半径) ①正弦定理的一些变式：()1sin sin sin a b c A B C ::=::；()2sin ,sin ,sin 222a b c A B C RRR===；()32sin ,2sin ,2sin a R A b R B b R C ===②应用范围：（1）已知两角和任意一边（2）已知两边和一对角③已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解3、余弦定理：2222222cos ,cos 2b c aa b c bc A A bc+-=+-=①余弦定理给出的是三边和一角之间的关系②应用范围：（1）已知三边（2）已知两边一夹角（3）已知两边一对角③已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用余弦定理，可以保证解的唯一性。

4、面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）①求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：A B C π+=- ②常用的诱导公式：sin()sin ,sincos22A B C A B C ++==③求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化二、例题精解：例1、在ABC ∆中：（1）︒=︒==45,75,10C A c ，b = （2）︒===30,28,20A b a ，B sin =（3）︒===120,1,1C b a ，c = （4）37,4,3===c b a ，最大角为例2、（1）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝1，∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．（两边一对角）（2）在6,45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．（两边一对角）（3）在△ABC 中，已知3a =，2b =，45B = ，求,A C 和c （两边一对角）例3、已知下列三角形中两边及其一边的对角，先判别三角形是否有解？有解的作出解答。

正弦定理与余弦定理-讲义(学生版)

正弦定理与余弦定理一、课堂目标1．理解正弦定理与余弦定理并熟记公式，能够利用其公式解决三角形边角问题． 2．熟练掌握利用正余弦定理判断三角形解的个数问题． 3．能够利用边角关系判断三角形的形状．4．熟记三角形面积公式，并能解决相关的面积问题．二、知识讲解1. 三角形中的常用关系式知识精讲（1）角的关系 ①π=++C B A②C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+= ③)sin sin cos (cos )cos(cos C B C B C B A --=+-= ④CB CB C B A tan tan 1tan tan )tan(tan -+-=+-=（2）边的关系 ①两边之和大于第三边 ②两边之差小于第三边（3）边角的关系大边对大角，大角对大边2. 正弦定理知识精讲（1）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为三角形外接圆半径）（2）正弦定理变形式： ①C B A c b a sin :sin :sin ::=②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== ③RcC R b B R a A 2sin ;2sin ;2sin ===④R CB A cb a 2sin sin sin =++++（3）正弦定理的应用：①已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的角和边. 经典例题1. 在ABC △中，内角C B A ，，所对的边长分别为b A Bc C B a c b a 21cos sin cos sin ,,,=+且,b a >则=∠B （）．A.6πB.3πC. 32πD.65π 巩固练习2. 在ABC △中，角C B A ，，所对的边长分别为c b a ，，，b A b B A a 2cos sin sin 2=+则ab等于（）． A.32B.22C.3D.2经典例题3. 在ABC △中，已知134==∠=∠AB B A ，，ππ则BC 为（）A.13-B.13+C.36D.2巩固练习4. 在ABC △中，已知︒=︒==75608C B a ，，则b 等于（）．A.64B.5C. 34D.322 5. 在ABC △中，已知41sin ,31)sin(,2==+=A B A a 则=c （）． A.4B.3C. 38D.34经典例题6. 在ABC △中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，若B A 3=，则ba的取值范围是（）．A.）（3,0B.）（3,1C. ）（1,0D.）（2,1巩固练习7. 锐角ABC △中，c b a ，，分别是内角C B A ，，的对边，设A B 2=，则ba的取值范围是（）．A.）（22,33B.）（2,2C. ）（3,2D.）（2,0 8. 在ABC △中，c b a ，，分别为内角C B A ，，所对的边，若3,3π==A a ，则c b +的最大值为（）．A.4B.33C. 32D.23. 余弦定理知识精讲（1）余弦定理：①A bc c b a cos 2222-+= ②B ac a c b cos 2222-+= ③C ab b a c cos 2222-+= （2）余弦定理变形式：①bc a c b A 2cos 222-+=②ac b c a B 2cos 222-+=③abc b a C 2cos 222-+=（3）余弦定理的应用： ①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三条边和其它的两个角； ③已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边．经典例题9. 已知ABC △的内角C B A ，，所对的边分别是c b a ，，，且满足ab c b a c b a =++-+))((，则=∠C巩固练习10. 在ABC △中，若)())((c b b c a c a +=-+，则=∠A （）．A.︒90B.︒60C. ︒120D.︒150经典例题11. 在ABC △中，3,4,32cos ===BC AC C 则=B tan （）． A.5B.52C. 54D.58巩固练习12. 在ABC △中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，,且B C A 2=+，若31==b a ，则c 的值为．经典例题13. 在ABC △中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且6:5:4::=c b a ，则下列结论正确的是（） A.6:5:4sin :sin :sin =C B A B.ABC △是钝角三角形C.ABC △的最大内角是最小内角的2倍D.若6=c ，则ABC △外接圆半径为778 巩固练习14. 在ABC △中，若4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则C cos 的值为． 15已知ABC △的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，．若3,1,2===b a A B ，则=c （）．A.32B.2C.2D.14. 三角形解的个数的判断知识精讲在ABC △中，已知b a ,和A ，以点C 为圆心，边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数．知识点睛经典例题16. 在ABC △中，根据下列条件，分别判断三角形的解的个数．（1）︒=︒==70,45,10C A b （2）︒===60,48,60B c a （3）︒===80,5,7A b a （4）︒===45,16,14A b a 巩固练习17. 在ABC △中，︒===45,100,80A b a 则此三角形解的情况是（）．A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解18. 在ABC △中，22,334,45==︒=c b B 则=A （）． A.︒15B.︒75C. ︒︒10575或D.︒︒7515或5. 三角形形状的判断知识精讲要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已知条件中的边角关系判断时，主要有以下两种途径：①化角为边：利用正、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；②化边为角：利用正、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用“ABC △中，π=++C B A ”这个结论经典例题 19. 若cCb B a A sin sin sin ==，则ABC △的形状是（）． A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形巩固练习20. 在ABC △中，角C B A ，，的对边分别是c b a ，，．若B b A a cos cos =，则ABC △的形状是（）．A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形经典例题21.设ABC △的内角C B A ，，所对的边长分别为c b a ，，，若222)cos cos (2c b a B ac A bc ++=+，则ABC △一定是（）．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形巩固练习22. 在ABC △中，若A b B a cos cos =，判断此三角形的形状．经典例题23. 在ABC △中，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则ABC △的形状（）．A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形巩固练习24. 若ABC △的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则ABC △（）．A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6. 三角形面积的计算知识精讲设ABC △的三边为c b a ，，，三边所对的三个角分别为C B A ，，，其面积为S .①);,,,,(212121上的高分别表示△c b a h h h ch bh ah S c b a c b a ===②B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===△③)(sin sin sin 22的外接圆半径为△ABC R C B A R S = ④)(4sin 21外接圆半径为△△ABC R Rabc C ab S ==⑤))(21())()((c b a p c p b p a p p S ++=---=⑥已知三角形的三边及内切圆半径，)(21c b a r S ++=△（r 为三角形内切圆半径）．知识点睛三角形面积问题有三类：类型1：求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，沟通角与边；类型2：已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系；类型3：已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形经典例题25. 已知ABC △内角C B A ，，的对边分别是c b a ，，,若A C bB sin 2sin ,3,41cos ===，则ABC △的面积为．巩固练习26.ABC △的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，．若3,2,6π===B c a b ，则ABC△的面积为．经典例题27. 在ABC △中，角C B A ，，的对边分别是c b a ，，，且ABC b A △,3,32==π的面积为4315．（1）求边a 的边长；（2）求B 2cos 的值．巩固练习28. 已知ABC △中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且满足23)sin cos 3(sin =+A A A ．（1）求角A ；（2）若c b S a ABC ，求，△,3222==的值．经典例题29. 在ABC △中，内角C B A ，，的对边长分别为c b a ，，，且C a A c b cos cos )2(=-．（1）求角A 的大小（2）若，，c b a 23==求ABC △的面积．巩固练习30. 已知在ABC △中，内角C B A ，，的对边长分别为c b a ，，，且0cos sin =-A b B a ．（1）求角A 的大小（2）若，，252==b a 求ABC △的面积．。