状态反馈和状态观测器

1（)
2
)L（
n
)
n
n1
n1
L
1
0
(4)由 f ( ) f *( ) 确定反馈矩阵K： K [ k1 k2 kn ]
[例1] 考虑线性定常系统 x& Ax Bu, y Cx
0
1
0
0
其中： A 0
0
1
,
B 0 ,
C 1
0
0
1 5 6
1
试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。
Bv Dv
k11 k12 k1n
反馈增益矩阵： K k21
k22
k2
n
kr
1
kr 2
krn
K维数是r n
一般D=0，可化简为：
x y
(A Cx
BK
)x
Bv
状态反馈闭环系统表示： k ( A BK , B,C )
状态反馈闭环传递函数矩阵为： Gk (s) C[sI ( A BK )]1 B 状态反馈系统的特征方程为： I (A BK) 0
1
0 0
f () | I A BK | 0
0
0
0
1
0
[k1
k2
k3 ]
0
0
1 5 6 1
1 0
0 1
3 (6 k3) 2 (5 k2 ) 1 k1
1 k1 5 k2 6 k3
（3）计算期望的特征多项式
f *( ) ( 2 4 j)( 2 4 j)( 10) 3 142 60 200
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二、输出到参考输入的反馈（又称为输出反馈）
将系统输出量乘以相应的反馈系数馈送到参考输人，其和作为 受控系统的控制输入。（同古典控制，不作过多说明）
v
x
u B
x
C
ym1
A
H rm
原受控系统
0
(
A,
B,
C
)：
x y
Ax Cx
Bu Du
输出反馈控制规律：u v Hy
输出反馈系统状态空间描述为：
三、输出到状态微分的反馈
将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。 这种反馈在状态观测器中应用广泛，结构和观测器很相似。
u
x
B
x
C
ym1
A
H nm
原受控系统
0
(
A,
B,
C
)：
x y
Ax Cx
Bu
输出反馈系统状态空间描述为：
x y
(A Cx
HC)
x
Bu
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四、状态反馈极点配置条件和算法
x y
(A Cx
BHC ) x
Bv
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h11 h12
输出反馈增益矩阵： H h21 h22
hr1 hr 2
h1m
h2
m
hrm
闭环传递函数矩阵为： GH (s) C[sI ( A BHC )]1 B
结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。
即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈，
2、求出在第二能控标准型的状态 x 下的状态反馈矩阵 K
3、求出在原系统的状态 x 下的状态反馈矩阵 K KPc21
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（4）确定K阵
由 f *( ) f ( ) 得 6 k3 14, 5 k2 60, 1 k1 200 求得： k1 199, k2 55, k3 8
所以状态反馈矩阵K为： K [199 55 8]
[例2] 对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响
极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的
闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。
定理：(极点配置定理) 对线性定常系统 0 ( A, B,C ) 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意 配置的充要条件是：0 ( A, B,C ) 状态完全能控。
注意：矩阵 A BK 的特征值就是所期望的闭环极点。对 不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。
第五章 状态反馈和状态观测器
1. 状态反馈及极点配置 2. 系统的镇定问题 3. 状态观测器 4. 带有观测器的状态反馈系统
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第一节 状态反馈及极点配置
1. 状态反馈与输出反馈 2. 状态反馈极点配置条件和算法 3. 状态反馈闭环系统的能控性和能观测性
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反馈的两种基本形式：状态反馈（1种）、输出反馈（2种） 一、状态反馈
将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入 端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
D
v
x
x
ym1
u
B
C
A
K rn
原受控系统
0
(
A,
B,C )：
x
y
Ax Bu Cx Du
线性反馈规律：u v Kx
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状态反馈闭环系统：
x y
(A (C
BK )x DK ) x
从中可以看出，对于－1的极点，状态反馈不起作用，状态
反馈只能通过k2去影响2这个极点。即状态反馈对不能控 部分状态，不能任意配置其极点。
2）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n>3） 求 f () | I (A BK) |将相等繁琐，所以引入第二能控标准型法。
1、首先将原系统 (A, B,C) 化为第二能控标准型 (A, B,C )
即K＝HC。故输出反馈不改变系统的能控性。
结论2：对于状态反馈，从K＝HC中，给定K值，不一定能够解 出H。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一 定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。
结论3：由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可
观测性。
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x&
1
0
0 2
x
0 1
u
[解]： （1）先判断该系统的能控性
由对角线标准型判据可知，特征值为－1的状态不能控。
(2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：
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1 0
f ( ) det[I ( A BK )]
k1
2 k2 ( 1)( 2 k2 )
1、极点配置算法
1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3） (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
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(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：f () det[I ( A BK )]
(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
f
* (
ห้องสมุดไป่ตู้
)
（
[解]： （1）先判断该系统的能控性
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0 rank[Qc ] rank[ B AB A2B ] rank0
1
0 1
1
6 3
6 31
该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。
（2）计算闭环系统的特征多项式
设状态反馈增益矩阵为：K [k1 k2 k3 ]
0
0 0