高考数学讲义集合的概念及其关系

一、 集合的概念

1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合．

集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2． 集合的性质：

确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}L

2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．

例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z

方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元

素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．

3． 常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作*N 或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ．

三、 集合之间的关系

1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B

（或B A ⊂）；

2． 简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；

3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作

A B Ü（或B A Ý）

4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =

集合的概念及其关系

知识讲解

5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系

①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈

②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅Ü）

③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅Ü ④显然，0∉∅，0{}∉∅ 6． 子集个数问题

设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n -

题型一、元素与集合之间的关系 【例1】 用符号”∈“或”∉“填空

（1）0______N 5______N 16N （2）1

______,π_______,2

-Q Q

（32323-+{}

|6,,x x a b a b =∈∈Q Q

【练一练】用适当的符号填空

（1{}3|2x x ≤ （2）()(){}21____,|1x y y x =+，

（3）{}

32|_______52+≤+x x ，

【例2】 已知{|2,}N P x x k x =<<∈，若集合P 中恰有3个元素，求k ．

题型二、集合的性质

【例3】 在“①难解的题目；②方程210x +=在实数集内的的解；③直角坐标平面上第四象限内的所

有点；④很多多项式”中，能组成集合的是（ ） A ．②③

B ．①③

C ．②④

D ．①②④

【练一练】分析下列各组对象能否构成集合：

（1）比2008大的几个数；

（2）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象上的若干个点； （3）正比例函数y x =与反比例函数1

y x

=-的图象的交点； （4）面积比较小的三角形．

【例4】 已知集合{}S a b c =，，

中的三个元素可构成ABC ∆的三条边长，那么ABC ∆一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形

【练一练】已知集合()(){}

2

10M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a 的值为

题型三、集合相等

【例5】 设R a b ∈，

，集合{1}{0}b

a b a b a

+=，，，，，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-

题型四、集合的表示

【例6】 方程组22

1

9x y x y +=⎧⎨-=⎩

的解集是（ ） A ．()54，

B ．()54-，

C ．(){}54-，

D ．(){}54-，． 【例7】 已知集合8|

6N N A x x ⎧⎫

=∈∈⎨⎬-⎭⎩

，试用列举法表示集合A ．

【练一练】用列举法表示集合：10,1M m

m m ⎧⎫

=∈∈=⎨⎬+⎩⎭

Z Z 题型五、集合之间的关系 【例8】 用适当的符号填空

（1）{1}___2{|320}x x x -+= （2）{1,2}___2{|320}x x x -+=

（3）{|2,}x x k k =∈N ___{|4,}N x x k k =∈ （4）∅___2{|20}R x x ∈+=