高考数学讲义集合的概念及其关系

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新高考数学 A版讲义：第1节集合的概念及表示

第1节集合的概念及表示要点一：集合及其相关概念知识点一元素与集合的概念生活中很多东西都是由一堆元素组成的整体，如《哈利波特七部曲》、考试后密封袋里的试卷，我们班的同学，一条直线等等，都可以看做一个个集合。

一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的，与顺序无关。

思考我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？答案不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．知识点二元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.知识点三常见的数集及表示符号一、对集合的理解例1(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家．A．③④B．②③④C．②③D．②④解析①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.(2)下列说法中，正确的有______．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．解析①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．反思感悟判断一组对象是否为集合的三依据(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．二、元素与集合的关系例2下列关系中正确的个数为()①2∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z.A．1 B．2 C．3 D．4解析①∵2是无理数，∴2∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确．反思感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练1给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3解析实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．三、元素特性的应用例3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．解∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；综上所述，a＝0或a＝－1.延伸探究若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值．解∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2,1，符合题意．故所求a的值为1.反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练2已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.解析若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.要点二：集合的表示知识点一列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．知识点二描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．思考不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？答案元素的共同特征为x∈R，且x<5.一、列举法表示集合例1 用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；(4)由所有正整数构成的集合．解 (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．反思感悟用列举法表示集合应注意的两点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ；(2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ；(3)一次函数y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋5的图象的交点组成的集合D .解 (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A ＝{2,3,4,5}．(2)方程x 2－9＝0的实数根为－3,3，所以B ＝{－3,3}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以一次函数y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋5的交点为(1,3)，所以D ＝{(1,3)}．二、描述法表示集合例2 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．反思感悟利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．跟踪训练2下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解(1)不相同．(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y ＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的．三、集合表示法的综合应用例3集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．解(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．延伸探究1．本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．解由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．2．本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．解由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k ≠0.综合①②可知，实数k 的取值范围为{k |k ≤1}．反思感悟 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A 中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．集合及其相关概念1．以下各组对象不能组成集合的是( )A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程x 2－7＝0的实数解D ．周长为10 cm 的三角形答案 B 解析因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．2．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5 C.37D.7 答案 D 解析由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.3．有下列说法：①集合N 中最小的数为1；②若－a ∈N ，则a ∈N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A 解析 N 中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N ，而－2∉N 可知②错；若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错。

高考数学必备集合知识点

高考数学必备集合知识点高考数学必备集合学问点一.学问归纳：1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素留意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必需符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N_.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B);2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且 )3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5)补集：CUA={x| x A但x∈U}留意：①? A，若A≠?，则? A ;②若，，则 ;③若且，则A=B(等集)3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，把握有关的术语和符号，特殊要留意以下的符号：(1) 与、?的区分;(2) 与的区分;(3) 与的区分。

4.有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

5.交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n1个非空子集，2n2个非空真子集。

二.例题讲解：【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满意关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从推断元素的共性与区分入手。

高考数学专题知识突破：考点1 集合的概念与运算

考点一集合的概念与运算知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、V enn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R(5)集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B3.全集与补集(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；(2) 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．4.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 5.集合关系与运算的常用结论(1)子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n －1个，真子集有2n－1个．(2) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．(3)(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B) ．典例剖析题型一集合的基本概念例1已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是答案 5解析列表根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．变式训练已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有________个元素．答案 6解析因为x－y∈A，∴x≥y．当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．解题要点研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元素是数x，则是数集，如果代表元素是数对(x，y)，则是点集．在列举集合的元素时可借助表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏．例2 设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案 2解析因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，且由a 在分母的位置可知a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.变式训练已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．答案－32解析因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意，所以m ＝－32.解题要点对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值．需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性．题型二集合间的基本关系例3 集合A ={－1，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有个答案 4解析根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四个.变式训练设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有个答案 6解析集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅和{2}，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)．解题要点解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件．在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合．例4 设，若，则a 的取值范围是．答案解析根据题意作图：由图可知，，则只要即可，即a 的取值范围是．变式训练已知集合()2{|540},,,A x x x B a A B =-+≤=-∞⊆，则a 的取值范围是．答案 (4,)+∞解析 []2{|540}1,4A x x x =-+≤=，∵，根据题意作图：由图可知，只要即可，即a 的取值范围(4,)+∞.解题要点对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到. 题型三集合的基本运算例5 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________．答案 5解析 A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素.变式训练已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于________．答案 {－1,0,1,2}解析 A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，B 为整数集，A ∩B ＝{－1,0,1,2}.解题要点求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个．例6 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B ) ＝________．答案 {x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图．∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．变式训练已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－＜x ＜}，则A ∪B ＝________．答案 R解析 ∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2. ∴集合A 与B 可用数轴表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ．解题要点集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法．当堂练习1. 已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()UA B =________．2．若集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∩N 等于________． 3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四边形}，则之间的关系为_______4．已知集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y <2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________． 5．设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝．课后作业1．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}，则A ∩B 等于________． 2．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝________． 3．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >4}，则M ∪N 等于________． 4．若集合A ={x ∈R |ax 2+ax +1=0}中只有一个元素,则a =________． 5．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则UA B ()= ________．6．已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =________．7．满足条件{0,2}∪M ＝{0,1,2}的所有集合M 的个数为________． 8．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 9．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁U B )等于________．10．已知A ＝{3,5,6,8}且集合B 满足A ∩B ＝{5,8}，A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}，则这样的集合B 有________个．11．若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B 等于．12．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为 13．已知A ＝{x |2a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围是________．当堂练习答案1. 答案 {4}解析因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以U (A ∪B )＝{4}．2．答案 {0，1}解析由集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，得到M ∩N ={0，1}． 3．答案4．答案 {(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y <2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}． 5．答案 {1，2}解析由x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)≤0，解得1≤x ≤2，故N ＝{x |1≤x ≤2}，∴M ∩N ＝{1,2}．课后作业答案1．答案 (2,3)解析 ∵A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2,3)． 2．答案 {－2,0,2}解析先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}，故M ∪N ＝{－2,0,2}． 3．答案 {x |x <－5或x >－3}解析在数轴上表示集合M 和N ，如图所示，则数轴上方所有“线”下面的部分就是M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}． 4．答案 4解析 a ＝0时，ax 2+ax +1=0无解，此时，A =∅，不合题意；a ≠0时，由题意得方程ax 2＋ax ＋1＝0有两个相等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＝0a ≠0，解得a ＝4.5．答案 {0,2,4}解析 ∵UA ＝{0,4}，U AB ()＝{0, 2,4}.6．答案 {1,4}解析 ∵x ＝n 2，n ∈A ，∴x ＝1,4,9,16. ∴B ＝{1,4,9,16}．∴A ∩B ＝{1,4}． 7．答案 4解析由题可知集合M 中必有1，满足条件的M 可以为{1}，{0,1}，{2,1}，{0,1,2}共4个． 8．答案 0或3解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∵A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，∴m ∈A ，故m ＝m 或m ＝3，解得m ＝0或m ＝3或m ＝1，又根据集合元素的互异性m ≠1，所以m ＝0或m ＝3. 9．答案 {1}解析 ∵∁U B ＝{1,5,6}，∴A ∩(∁U B )＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}. 10．答案 4解析 ∵A ∩B ＝{5,8}，∴5,8∈B ，又∵A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}而A ＝{3,5,6,8}， ∴2,4,7∈B ，∴3,6可以属于B ，也可不属于B ． ∴这样的B 有22＝4(个)． 11．答案 {x |－3<x <2}解析由题意，得A ∩B ＝{x |－5<x <2}∩{x |－3<x <3}＝{x |－3<x <2}． 12．答案 2解析 A ＝{…，5,8,11,14,17…}，B ＝{6,8,10,12,14}，集合A ∩B 中有两个元素． 13．答案－3≤a <－12解析 ∵B ＝{x |x <－1或x >5}，A ∪B ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a <－1，a ＋8≥5，解得－3≤a <－12.。

高考关于集合的知识点总结

高考关于集合的知识点总结在高考数学考试中，集合是一个重要的数学概念，也是考试中常常出现的题型。

本文将从一些基本概念和运算法则入手，总结高考中关于集合的知识点。

一、基本概念集合是由一些确定的对象组成的整体。

在集合中，对象称为元素，记作x∈A，表示x是集合A的一个元素。

如果集合A中的某个元素x没有特定的性质，只要它属于集合A，都可以被接受。

集合的表示方法有两种：列举法和描述法。

列举法是把集合中的元素一一列出来，用大括号括起来表示，如A={1, 2, 3}。

描述法是通过一定的条件描述集合中的元素，用大括号括起来表示，如A={x|x>0}，表示集合A中的元素x满足x大于0。

二、集合的关系1. 相等关系：当两个集合A和B中的元素完全相同，记作A=B。

2. 包含关系：当集合A中的所有元素都是集合B的元素时，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。

3. 真包含关系：当集合A是集合B的子集，并且集合B中还有集合A没有的元素时，称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。

4. 并集：将两个集合A和B中所有的元素都放在一起构成的集合，记作A∪B。

5. 交集：集合A和集合B中都有的公共元素构成的集合，记作A∩B。

6. 差集：集合A中去掉与集合B相同的元素所剩下的元素构成的集合，记作A-B。

三、集合的运算法则1. 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A2. 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)4. 吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A5. 互补律：A∪A' = U（全集），A∩A' = φ（空集）6. De Morgan定律：(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'四、应用题解析在高考中，常常出现一些应用题考查集合的知识点。

高考文科数学集合专题讲解与高考真题精选(含答案)

集合、简易逻辑（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N 或N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M 的关系是a M ，或者a M ，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x| x 具有的性质} ，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集( ).【1.1.2 】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图A B(1)A A子集B （或A)A中的任一元素都属于B(2) A(3)若A B且B C ，则A C(4)若A B且B A，则A BA(B)B A或真子集A B（或B A ） A B，且 B 中至少有一元素不属于 AA（1） A（为非空子集）(2)若A B且B C ，则A CB A集合相等A BA中的任一元素都属于B，B 中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B AA(B)n（7）已知集合A有n(n 1) 个元素，则它有2个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子集，它有2n 2非空真子集.集合的基本运算1. 集合运算：交、并、补.交：A I B { x | x A,且x B}并：A U B{ x | x A或x B}补：C 且A { x U , x A} U2. 主要性质和运算律（1）包含关系：A A, A,A U , C A U ,UA B,BC A C; A I B A, A I B B; A U B A, A U B B.（2）等价关系： A B A I B A A U B B C U A U B U（3）集合的运算律：交换律： A B B A; A B B A.结合律: ( A B) C A (B C); (A B) C A (B C)分配律:. A (B C) (A B) ( A C); A (B C) ( A B) (A C)0-1 律：I A , U A A,U I A A,U U A U等幂律： A A A, A A A.求补律：A∩C U A=φ A ∪C U A=U C U U=φC Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A)∪( C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩( C U B)简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

高考数学集合知识点归纳

高考数学集合知识点归纳数学作为高考的一门重要科目，其中的知识点繁多且涉及广泛。

在数学的各个领域中，集合论是一个基础且重要的概念。

集合是高考数学中常见的考点之一，掌握好集合的相关知识，对于解题和理解其他数学概念具有重要意义。

一、什么是集合集合是指将具有某种特性的对象放在一起，形成一个整体。

集合包括元素和空集。

元素是指集合中的个体，是集合的组成部分。

空集是指不含任何元素的集合。

集合的常见表示方式有两种：列举法和描述法。

列举法是将集合中的元素一一列举出来，用花括号“{}”包围起来。

描述法则是通过一定的条件描述来定义集合，使用“|”表示“满足条件的”或者“属于”的意思。

二、集合的关系集合之间有着一系列的关系，常见的有包含关系、相等关系、并集、交集、差集、补集等。

包含关系指的是一个集合是否包含另一个集合的所有元素。

如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则前者是后者的子集，后者是前者的包集。

相等关系指的是两个集合中的元素完全相同，即集合A与集合B对应的包含关系和相等关系同时成立。

并集是指把两个集合中的所有元素放在一起形成一个新的集合。

记作A∪B，表示集合A与集合B的并集。

交集是指两个集合中共有的元素组成的新集合。

记作A∩B，表示集合A与集合B的交集。

差集是指一个集合中减去另一个集合中相同元素之后的剩余部分。

记作A-B，表示集合A与集合B的差集。

补集是指某个全集中除了集合本身的元素之外的所有元素组成的集合。

记作A的补集，表示全集中所有不属于A的元素。

三、集合的运算性质集合的运算有一些基本的性质，这些性质在解题过程中经常被应用。

1. 交换律：即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

交集和并集的运算结果与顺序无关。

2. 结合律：即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

对于交集和并集的运算，结果与括号的位置无关。

3. 分配律：即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题1

D．(1,2)
3、已知全集 = ， = { | > 1}， = { | > 1}，那么(∁ ) ∩ 等于（）
A．{ | − 1 < ≤ 1} B．{ | − 1 < < 1} C．{ | < −1} D．{ | ≤ −1}
4、已知全集 = ， = { | > 1}，则 =（）
A．{ | ≤ 1}
（4）Venn 图法
5、常见数集的记法
集合自然数集
符号
N
6、集合的分类
正整数集
*
N (或 N＋)
整数集有理数集实数集复数集
Z
Q
R
C
（1）有限集：含有有限个元素的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合.（3）空集：不含任何元素
的集合
7、若一个集合含有 n 个元素，则子集个数为 2n 个，真子集个数为 2n 1
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
考向一点集
【例 1】（1）已知集合 A 0,1, 4, B {y | y x2, x A} ，则 A B A．0,1,16 B．0,1 C．1,16 D．0,1, 4,16 （2）设全集U 1,3,5, 6,9 ， A 3, 6,9 ，则图中阴影部分表示的集合是
（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述.
（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上.
（3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法.
它的一般格式为 {x | P(x)} ，“|”前是集合元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性.
A.(1,2)
B.[0,2]

01集合的概念及运算

1) 并集性质
(1)AAA ;(2)A A ;
(3)ABBA ;
( 4 ) A A B ; A B B ;
( 5 ) A B A B A .
2) 交集性质
(1)AAA ;(2)A ; (3)ABBA ;
( 4 ) A B A ,A B B ;
( 5 ) A B A A B .
要点梳理
故 T 不是封闭集，④错误
(2)当 a=0 时，显然 B ⊆A；
当则又当∵ 当a则则又则又<a－ 4aaa∵<0≤∵<>1a0－4a－0时 0a4a－－时4aa≤，时<≤1a≥>1a<， 0≤1a2，－20∴ ，，2－>，若－12>2∴－若若12212∴， B－12BB⊆ ，<－⊆⊆∴ 12a，，<∴AA1<2a∴，，<0<∴－－ .a0－－如如如 <.00128<<1208≤ <－－图图图 <≤aa. a≤ ≤a128a，，a<，<<≤<22<0000aa.<<0.0.
题型二集合间的基本关系
【例 2】已知集合 A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合 B＝x|－12<x≤2. (1)若 A⊆B，求实数 a 的取值范围； (2)若 B⊆A，求实数 a 的取值范围； (3)A、B 能否相等？若能，求出 a 的值；若不能，试说明理由.
解: A 中不等式的解集应分三种情况讨论：
Q={b|b=(1A,1)+n(-1,1), n ∈R}是两个向量集合,则 P∩QA=. {((1, 1))} B. {(-1, 1)} C. {(1, 0)} D. {(0, 1)}

高考数学集合总知识点

高考数学集合总知识点数学作为高考的一门重要科目，对于考生来说是一项必考的科目。

而在数学中，集合论是我们需要掌握的重要知识点之一。

下面将总结高考数学集合的知识点，帮助考生对集合有更深入的理解和掌握。

一、集合的基本概念集合是指有着共同性质的对象的总体。

由一个或多个元素组成。

元素是指集合中的个体，用小写字母表示。

用大写字母A、B、C等表示集合。

集合的表示方式有罗马字母和描述法两种。

二、集合的运算1. 交集：若元素x同时属于集合A和集合B，则称x是集合A与集合B的交集元素，记作A∩B。

2. 并集：若元素x属于集合A或属于集合B，则称x是集合A与集合B的并集元素，记作A∪B。

3. 差集：若元素x属于集合A，但不属于集合B，则称x是集合A与集合B的差集元素，记作A-B。

4. 对称差：若元素x属于集合A或属于集合B，但不同时属于二者，则称x是集合A与集合B的对称差元素，记作A△B。

三、集合的基本性质1. 互补律：若A和B是集合，则(A∩B)'=A'∪B'，(A∪B)'=A'∩B'。

2. 结合律：若A、B和C是集合，则(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

3. 分配律：若A、B和C是集合，则A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

4. 同一性：对于任意集合A，A∩A=A，A∪A=A。

5. 对偶性：若A和B是集合，则(A∩B)'=A'∪B'，(A∪B)'=A'∩B'。

四、集合的运算定律1. 交换律：若A和B是集合，则A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。

2. 结合律：若A、B和C是集合，则(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

3. 分配律：若A、B和C是集合，则A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

高考数学集合知识点

高考数学集合知识点集合是高中数学中的一个重要概念，也是高考中必考内容之一。

掌握集合的相关知识点对于提高数学成绩至关重要。

本文将介绍高考数学中与集合相关的知识点，帮助考生系统地理解和掌握。

一、集合的基本概念集合是指由各种对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。

集合内的元素可以是数、图形、对象等各种各样的事物。

二、集合的表示方法1. 列举法：直接列举出集合中的元素，用花括号{}括起来。

例如，集合A={1, 2, 3}表示A是包含1、2和3三个元素的集合。

2. 描述法：通过一定的条件来描述集合中的元素。

例如，集合B={x|x是正整数，且x<10}表示B是由小于10的正整数组成的集合。

三、集合的运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集记作A∩B，表示同时属于A和B的元素组成的集合。

2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集记作A∪B，表示属于A或B中的元素组成的集合。

3. 差集：给定两个集合A和B，A减去B的差集记作A-B，表示属于A但不属于B的元素组成的集合。

4. 补集：给定一个全集U以及一个集合A，称全集U中属于A'而不属于A的元素组成的集合为集合A的补集，记作A'。

四、集合的性质1. 互斥：两个集合A和B没有相同的元素，即A∩B=∅。

2. 包含与被包含：集合A包含于集合B，即A⊆B，表示A中的任意元素也属于B；集合A被集合B包含，即B⊇A。

3. 子集与真子集：若集合A包含于集合B，且A≠B，则称A 为B的子集，记作A⊂B；若A⊂B且存在x∈B，但x∉A，则称A 为B的真子集，记作A⊊B。

4. 幂集：给定一个集合A，A的所有子集所构成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。

例如，若A={1, 2}，则P(A)={{},{1},{2},{1,2}}。

五、常用定理与应用1. 德摩根定律：对于任意的集合A和B，有以下关系成立：（1）(A∪B)'=A'∩B'（2）(A∩B)'=A'∪B'2. 分配律：对于任意的集合A、B和C，有以下关系成立：（1）A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（2）A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)六、集合在高考中的应用1. 题型一：集合的基本运算高考中常会出现对两个或三个集合进行并、交、差等运算的求解题目。

高考数学集合全部知识点

高考数学集合全部知识点数学是高考中非常重要的一门科目，而集合论又是数学中的一块基础知识。

掌握好集合的概念和相关知识点对于高中学生来说非常关键。

本文将系统地介绍高考数学中集合相关的全部知识点，希望能够对正在备战高考的同学有所帮助。

一、集合的概念与表示法集合是由一些确定的对象组成的整体。

常用的表示方法有列举法和描述法。

例如，集合A={1,2,3,4,5}可以用列举法表示；而集合B={x | x是正整数, 0<x<6}可以用描述法表示。

二、集合间的关系及运算1.子集与超集如果一个集合A的元素全都是集合B的元素，则称A是B 的子集。

记作A⊆B。

若A中恰有n个元素，则称A是n个元素的集合。

2.交集和并集两个集合A和B的交集是指由A和B的共同元素组成的集合，记作A∩B；而A和B的并集是指由A和B中所有元素组成的集合，记作A∪B。

3.补集和差集对于给定的全集U，集合A在U的补集是指A中不在U 中的元素组成的集合，记作A'；而A和B的差集是指由属于A但不属于B的元素组成的集合，记作A-B。

4.集合的运算规律（1）交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A（2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(A∪B)∪C=A∪(B∪C)（3）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)（4）De Morgan定律：(A∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'三、集合的应用1.集合的分类集合可以根据其中的元素进行分类。

例如，我们可以将正整数集合分为偶数集合和奇数集合。

2.集合的运算应用集合的运算可以应用于实际问题的解决中。

例如，在调查一个班级的学生的兴趣爱好时，我们可以用集合的并集运算将各个学生的兴趣爱好整合到一起，用交集运算找出两个学生间共同喜欢的活动。

3.集合的概率应用研究集合的概率可帮助我们计算各项概率和事件的关系。

2023届高考数学一轮复习讲义：第1讲集合的概念与运算

第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中集合相等集合A ，B 中元素相同A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A ∪B ＝A ∩B ＝∁U A ＝➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（）A ．()(),12,-∞+∞ B ．[)1,2 C ．()1,2D ．[]1,22．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－23．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．24．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)[举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．62．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1]5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,95．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （）A ．∅B ．SC ．TD ．Z6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（） A ．5B ．6C ．10D ．152.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75 D ．最多人数是80[举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．302．[2021·四川成都联考]已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1，B 2，B 3，…，B k ，k ∈N *.记b i 为集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中的最大元素，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝( )A ．45B ．105C ．150D ．2103．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M ，N 都是非空集合U 的子集，令集合S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}，下列说法正确的是( )A ．若S ＝N ，则M ＝∅B ．若S ＝∅，则M ＝NC ．若S ⊆M ，则M ⊆ND ．∃M ，N ，使得S ＝(∁U M )∪(∁U N )4．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．235．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .求集合A .第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合相等集合A ，B 中元素相同 A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A ∪B ＝ {x |x ∈A 或x∈B }A ∩B ＝ {x |x ∈A 且x ∈B }∁U A ＝ {x |x ∈U 且 x ∉A }➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[解析] (1)将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.(2)因为4∈A ，即4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4.若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1.故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,3}，所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6. 综上所述，a 的取值集合为{4}． [答案] (1)A (2){4} [举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（）A ．()(),12,-∞+∞B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,2【答案】D【解析】因为2A ∉，所以()()2220a a --≥，解得12a ≤≤．故选：D ．2．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．2解析：选BD.因为集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，－2n ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－4m ＝0，n ＝－－22m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝12或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，所以m ＋n ＝12或m ＋n ＝2.故选BD.4．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】当2x =±时，y ＝1；当1x =±时，y ＝0；当x ＝3时，2log 3y =．故集合B 共有3个元素．故选：B.5．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)因为M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，所以N ＝∁R M ，所以M ∪(∁R N )＝M .故选B.(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1. 【答案】 (1)B (2)C [举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题可知{}1,0,1A =-，所有{}0,1A B =，所有其子集分别是{}{}{},1,0,0,1∅，所有共有4个子集，故选：C2．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 求解一元二次方程，得A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，易知B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}．因为A ⊆C ⊆B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.3．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=【答案】A 【解析】UN 表示集合N 的补集，因为()U M N ⊆，所以M N ⋂=∅．故选：A4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，故A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}．因为A ∩B 只有4个子集，所以A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1,2}，所以0<a ≤1，故选D.5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝±1. 答案：0或1或－1➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)【解析】 (1)方法一：由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B ，所以2∈A ∪B ，所以2∉∁U (A ∪B )，故排除B ，D ；又0∈A ，所以0∈A ∪B ，所以0∉∁U (A ∪B )，故排除C ，故选A.(2)由x 2－2x －8≤0，得－2≤x ≤4，所以N ＝{x |－2≤x ≤4}，则M ∪N ＝{x |－3≤x ≤4}，A 错误；M ∩N ＝{x |－2≤x <4}，B 正确；由于∁U M ＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C 正确；由于∁U N ＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M ∩(∁U N )＝[－3，－2)，D 错误．故选BC.【答案】 (1)A (2)BC2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D [举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--【答案】D 【解析】因为30311x x x +<⇒-<<-，所以{}2,1,0B =--，而{3,2,1,0,1}A =---，所以A B ={2,1,0}--，故选：D2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]解析：选C 因为A ∩B ≠∅，所以结合数轴可知实数a 的取值范围是a <3，故选C. 3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C.4．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,9【答案】B【解析】由图可知，图中阴影部分表示()R A B ⋂，由214480x x -+≤，得68x ≤≤，所以{}68B x x =≤≤，所以{R 6B x x =<或}8x >，因为{}1,3,5,6,7,8,9A =，所以(){}R1,3,5,9AB =，故选：B5．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T =.故选：C.6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知，若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B. 7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A 【解析】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈，同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =，故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==，又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈，则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（） A ．5 B ．6C ．10D ．15【答案】A 【解析】解：由题意，集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆有{}{}125,1,2,3,4,6A A ==；{}{}121,4,2,3,5,6A A ==；{}{}123,4,1,2,5,6A A ==；{}{}124,5,1,2,3,6A A ==；{}{}124,6,1,2,3,5A A ==，共5种，故选：A.2.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．[解析] (1)答案不唯一，合理即可．示例：对于解析式y ＝x ＋1，因为A 0＝{x |0<x <1}，所以A 1＝{x |1<x <2}， A 2＝{x |2<x <3}，…，显然符合A n ∩A n －1＝∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y ＝x ＋1. (2)对于①，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |x >1}，A 2＝{x |0<x <1}，…，依次循环下去，符合A n ∩A n －1＝∅.对于②，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |1<x <2}，A 2＝{x |2<x <5}，A 3＝{x |5<x <26}，…，根据函数y ＝x 2＋1的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合A n ∩A n －1＝∅.对于③，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |2<x <3}，A 2＝{x |1<x <2}，A 3＝{x |1<x <2}，不符合A n ∩A n －1＝∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②. [答案] (1)y ＝x ＋1 (2)①②3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75D ．最多人数是80解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B .设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则0≤x ≤20.设以上两种药都带的人数为y .由图可知，x ＋card(A )＋card(B )－y ＝100.∴x ＋75＋80－y ＝100，∴y ＝55＋x .∵0≤x ≤20，∴55≤y ≤75，故最少人数是55. [举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，中元素的个数为则A BA．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．2．[2021·四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，B k，k∈N*.记b i为集合B i(i＝1,2,3，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋b k＝()A．45 B．105C．150 D．210[答案]B[解析]本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有C36＝20个，所以k＝20.在集合B i(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的集合有C22＝1个；最大元素为4的集合有C23＝3个；最大元素为5的集合有C24＝6个；最大元素为6的集合有C25＝10个，所以b1＋b2＋b3＋…＋b k＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.3．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁U M)∪(∁U N)[答案] ABD [解析]本题考查Venn 图．用Venn 图表示，集合S 为如图1中的阴影部分，对于A 选项，若S ＝N ，利用S 的Venn 图观察，则有M ∩N ＝∅，M ＝∅，故A 选项正确；对于B 选项，若S ＝∅，则M ＝N ，故B 选项正确；对于C 选项，反例：如图集合S 为如图2中的阴影部分，N ⊆M ，故C 选项错误；对于D 选项，例如U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{4}，S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}＝{1,2,3,4}＝U ，而(∁U M )∪(∁U N )＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S ，故D 选项正确，故选ABD.图1 图24．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．23解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A ，B ，C 三个集合，故选D.5．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4.若③正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4.若④正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2.所以符合条件的数组共6个．答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 66．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．。

重难点01 集合的概念与运算—2023年高考数学(原卷版)

重难点01 集合概念与运算1．集合的有关概念(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A。

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。

(4)五个特定的集合：集合非负整数集(或自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R 2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA⊂B或B⊃A 相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅⊂B且B≠∅3.集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合的交集 A ∩ BA ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }集合的补集若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合基本运算的性质 (1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅。

(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A 。

(3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A 。

(4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅。

2023年高考中仍将与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、指数、对数不等式解法结合重点考查集合的交集运算，也可能考查集合的并集、补集运算，依然放在前2题位置，难度为基础题.（建议用时：20分钟）一、单选题1.设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（）（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}2.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A =（）A. {}1,6B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,73.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合UAB =A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8 4.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A A ． [0,2] B ．(1,3) C ． [1,3) D ． (1,4)5.设集合{|(1)(2)0}A=x x x +-<,集合{|13}B x x =<<,则A BA ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<6.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A C B =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,4 7.设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x B ，则B A = A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2 D.3(,3)28.已知集合A ={1,2,3,4,5}，B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x y -∈A }，则B 中所含元素的个数为A .3B .6C .8D .109.已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}UA B =,{1,2}B =,则UAB =A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅10.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 11.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（）A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<12.已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ． {}|024x x x ≤<>或D ．{}|024x x x <≤≥或13.集合{}R 25A x x =∈-≤中的最小整数为_______.14.已知集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B ＝________，A ∩C ＝________。

高考数学专项：集合的概念(讲义)-解析版

1.1集合的概念1.定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集）2.集合与元素的表示集合通常用大写字母A，B，C，表示，元素用小写字母a，b，c，表示3.元素与集合的关系元素与集合的关系记法读法a是集合A的元素Aa a属于集合Aa不是集合A的元素Aa a不属于集合A4.常用数集及其记法数集记法非负整数集（自然数集）NN或*N正整数集整数集Z有理数集Q实数集R例1．下列各组对象不能构成集合的是（）y x=上的所有点A．所有直角三角形B．抛物线2C．某中学高一年级开设的所有课程D【答案】D【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.【详解】A ，B ，C 中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D 中的对象不具备确定性．故选：D ．变式1-1．下列元素的全体不能组成集合的是（）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程210x -=的实数解D ．周长为10的三角形【答案】B【分析】根据集合中的元素的三要素即可判断各个选项的正误.【详解】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A 正确；地球上的小河流不满足集合元素的确定性，即没有标准说多小的河流算小河流，故B 错误；方程210x -=的实数解是1x ，可以构成一个集合，故C 正确；周长为10的所有三角形可以构成一个集合，故D 正确；故选：B.变式1-2．下列叙述能够组成集合的是（）A ．我校所有体质好的同学B ．我校所有800米达标的女生C ．全国所有优秀的运动员D ．全国所有环境优美的城市【答案】B【分析】根据集合元素的确定性，逐一分析可得答案．【详解】A 中，我校所有体质好的同学不具有确定性，不能组成集合；B 中，我校所有800米达标的女生具有确定性，能组成集合；C 中，全国所有优秀的运动员不具有确定性，不能组成集合；D 中，全国所有环境优美的城市不具有确定性，不能组成集合，故选：B ．变式1-3．下列各组对象不能构成集合的是（）A ．上课迟到的学生B ．2022年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于x 的正整数【答案】B【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要是确定的.【详解】对于B 中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.其它选项的对象都可以构成集合.故选：B例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1 NB ．*0N C QD ．2R5【答案】B【分析】根据常用数集的范围判断即可.【详解】N 表示自然数集，-1不是自然数，故A 错；N 表示正整数集，0不是正整数，故B 正确；Q C 错；R 表示实数集，25是实数，故D 错.故选：B.变式2-1．（多选）下列关系中，正确的是（）．A ．14R B QC ．3 ND Z【答案】AB【分析】根据各数集的概念直接判断即可.【详解】14R ，故A 正确；Q ，故B 正确；N 为自然数集，所以3 N ，故C 错误；Z ，故D 错误；故选：AB ．变式2-2．用符号“ ”或“ ”填空：0______Z ，π______Q ．【答案】【详解】 =3,2,1,0,1,2,30 Z Z∵ Q ∵为有理数集合，π Q故答案为：,变式2-3．用符号“ ”或“ ”N N ．【答案】【分析】根据元素和集合的关系求解即可.【详解】因为集合N 代表自然数集（非负整数集），N 4N ，故答案为：， 5.集合中元素的性质（1）确定性给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。

高三数学集合知识点归纳总结

高三数学集合知识点归纳总结数学是一门总结归纳的学科，集合论就是数学中重要的一个分支。

在高三数学学习中，集合知识点是必不可少的一部分。

为了帮助同学们更好地掌握集合知识，下面对高三数学集合知识点进行归纳总结。

一、集合的概念与表示方法集合是由确定的、具有某种特定性质的对象组成的整体。

表示方法主要有朴素方法、列举法和描述法。

在表示集合时，需要注意元素的顺序不重要、元素的个数可以是有限个或无限个、元素不重复等特点。

二、集合间的关系与运算1. 集合间的关系包含关系、相等关系、互斥关系等是集合之间的基本关系。

例如，若集合A包含于集合B，则称A为B的子集，记作A⊆B。

2. 集合的运算交集、并集、差集和补集是集合运算的基本操作。

交集表示同时属于两个集合的元素组成的集合，记作$A \cap B$；并集表示两个集合的所有元素组成的集合，记作$A \cup B$；差集表示属于一个集合而不属于另一个集合的元素组成的集合，记作$A - B$；补集表示在全集中不属于某个集合的元素组成的集合，记作$\bar{A}$。

三、集合的性质1. 互补律对于任何集合A，有$A \cup \bar{A} = U$，$A \cap \bar{A} =\emptyset$。

2. 幂集与子集关系集合A的幂集是指A的所有子集组成的集合。

对于元素个数为n的集合A，A的幂集共有$2^n$个元素。

3. 数集与集合数集是由数组成的集合，包括自然数集、整数集、有理数集和实数集等。

数集是集合的一个特殊实例。

四、集合的应用1. Venn图Venn图是以圆或矩形等几何图形来表示集合之间的关系，方便同学们直观地理解和比较集合的运算和关系。

2. 集合的应用问题集合论在实际问题中有着广泛的应用，例如在调查统计中进行数据分析、在概率论中确定事件的集合等等。

五、题目解析与示例1. 题目解析通过解析一些典型题目，帮助同学们更好地理解和掌握集合知识点。

2. 示例（1）已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求$A \cup B$和$A \cap B$。

高考数学集合的知识点

高考数学集合的知识点数学作为高考的一门科目，对很多学生来说可能是一座难以逾越的高山。

而在数学中，集合论是一个重要的知识点，它不仅在高考中占有一定的比重，而且在数学的学习中也具有很大的实用性。

本文将深入探讨高考数学集合的知识点，从基本概念到高级应用，逐一进行讲解。

一、集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念，它是由确定的元素所构成的整体。

在集合的描述中，我们常用大写字母表示集合，小写字母表示集合中的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}表示一个包含元素1、2和3的集合。

另外，我们还可以用不同的方式描述集合，比如列举法、描述法和图示法等。

在集合的概念中，还有一些常用的术语需要掌握。

比如空集是不包含任何元素的集合，用符号"∅"表示；全集是指讨论问题所涉及的所有元素构成的集合；子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，用符号"⊆"表示。

这些基本概念是理解集合论的基础，也是高考中常见的考点。

二、集合的运算操作在集合论中，除了集合的基本概念外，还涉及到集合的运算操作。

常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集等。

并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并为一个集合。

用符号"∪"表示。

例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

交集是指两个或多个集合中共有的元素构成的集合。

用符号"∩"表示。

例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

差集是指一个集合中减去另一个集合中共有的元素所剩下的元素构成的集合。

用符号"-"表示。

例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。

补集是指全集中减去一个集合的操作，得到的结果称为该集合的补集。

用符号"'"表示。

例如，设全集为U，集合A={1, 2, 3}，则A'={4, 5, 6, ...}。

高考数学总复习第1讲集合的概念与运算

D．{1,2,3,4,6}
解：因为 A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．
ห้องสมุดไป่ตู้
答案：B
4．(2017·北京卷)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x＜
－2 或 x＞2}，则∁UA＝(
)
A．(－2,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
点评：(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验．
(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
【变式探究】
1．(1)若集合 A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，
则 a 等于( )
A．4
B．2
C．0
D．0 或 2
(2)已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值
为
.
解：(1)当 a＝0 时，方程化为 1＝0，无解，集合 A 为空集，不符合题意；当 a≠0 时，由 Δ＝a2－4a＝0，解得 a＝4.
解：(2)因为 3∈A，所以 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3，若 m＋2＝3，解得 m＝1，此时 A＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以 m＝1，不符合题意；若 2m2＋m＝3，解得 m＝1(舍去)或 m＝－23. 检验知 m＝－32满足题意．故所求 m 的值为－32.
3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合
非空时，要考虑空集的可能性，如 A⊆B，则有 A＝∅或 A≠∅
两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．