一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现资料
一种忆阻器混沌电路实现
一种忆阻器混沌电路实现混沌电路是一类非线性电路，具有高度复杂的动态行为。
它可以产生看似随机的、无法预测的电信号，具有广泛的应用领域，如密码学、混沌通信等。
本文将介绍一种基于忆阻器的混沌电路实现方法。
忆阻器是一种特殊的电阻器，它的电阻值取决于过去的电流或电压历史。
与传统的电阻器不同，忆阻器可以记忆之前的状态，这使得它在电路中具有特殊的功能。
在混沌电路中，忆阻器的引入可以增加电路的非线性，从而产生复杂的动态行为。
忆阻器混沌电路的实现主要包括三个部分：忆阻器、放大器和反馈回路。
我们需要选择一个合适的忆阻器。
忆阻器的工作原理是基于磁性材料的磁滞回线特性。
当电流通过忆阻器时，会在磁性材料中产生磁场，导致磁滞回线的形成。
这种磁滞回线的形状会影响忆阻器的电阻值。
因此，通过调节电流或电压的大小和方向，可以改变忆阻器的电阻值。
接下来，我们需要将忆阻器与放大器连接起来。
放大器的作用是放大忆阻器的输出信号，以使其能够驱动其他电子元件。
选择合适的放大器对于实现稳定的混沌电路非常重要。
常用的放大器包括运算放大器和差分放大器。
通过调节放大倍数和偏置电压，我们可以获得理想的放大效果。
我们需要将放大器的输出信号通过反馈回路送回忆阻器。
反馈回路的作用是将电路的输出信号反馈到输入端，形成正反馈。
这种正反馈会增强电路的非线性特性，从而产生混沌行为。
在反馈回路中，我们可以通过调节反馈增益和相位来控制电路的动态行为。
通过以上三个步骤，我们可以成功实现一种基于忆阻器的混沌电路。
这种电路具有复杂的动态行为和随机性质，可以用于产生高质量的随机信号。
此外，该电路还可以应用于密码学领域，用于生成加密密钥或进行加密传输。
同时，它还可以应用于混沌通信领域，用于提高通信系统的抗干扰能力。
忆阻器混沌电路是一种基于忆阻器的非线性电路，具有复杂的动态行为和随机性质。
通过合理选择忆阻器、放大器和反馈回路，我们可以成功实现这种电路。
该电路在密码学和混沌通信等领域具有广泛的应用前景。
一个新四维自治超混沌系统及其电路实现[1]
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一个新四维自治超混沌系统及其电路实现唐良瑞 李 静 樊 冰(华北电力大学电气与电子工程学院,北京 102206)(2008年8月5日收到;2008年11月11日收到修改稿) 提出了一个新的四维超混沌系统,并对该系统的基本动力学特性进行了深入研究,得到该系统的LE ,LE 维数,给出了P oincare 映射图、LE 谱、分岔图以及时域图和相图.利用Mutisim 软件设计了该新混沌系统的振荡电路并进行了仿真实验.经过数值仿真和电路系统仿真证实该系统与以往发现的混沌吸引子并不拓扑等价,属于新的混沌系统.关键词:超混沌系统,Lyapunov 指数,P oincare 截面图,电路实现PACC :0545E 2mail :tangliangrui @11引言自Lorenz 于1963年在数值实验中偶然发现第一个混沌吸引子以来,Lorenz 系统作为第一个混沌的物理和数学模型,成为后人研究混沌理论的出发点和基石[1,2].近年来,国内外许多学者对混沌的特性进行了深入地分析和研究,发现了许多新的混沌系统,较为知名的系统如Chen 系统[3]、L ü系统[4,5]、Liu 系统[6]和Qi 系统[7].现在混沌动力学正由数学和物理的基础理论研究逐步过渡到实际的工程应用领域,并得到了很大发展.例如混沌理论可用在保密通信、图像加密等数字信息领域[8—10],因而混沌动力学具有广泛的应用前景.三维混沌系统都有个共同点就是结构较为简单,在物理上实现容易.但是这样的混沌系统用于数字信息加密工程领域的效果不是很好,这主要是由于三维混沌系统的带宽相对较窄,容易导致混沌序列被数字滤波器给滤掉,失去加密的意义.而对于一个超混沌系统或者高频混沌系统而言,其产生的混沌序列信号有比较宽的带宽,不容易被数字滤波器过滤,这对于数字加密领域有非常重要的研究意义.因此,超混沌系统是非线性动力学一个重要的研究方向.本文提出了一个新的四维混沌系统.该系统含有8个参数,其中三个方程中各含有一个非线性乘积项.通过理论分析、数值仿真、LE (Lyapunov 指数)、LE 维数、P oincare 映射图、LE 谱以及分岔图研究了该系统的基本动力学特性,设计了该混沌系统的硬件电路,并进行了仿真实现,证实了该系统的可实现性.21新超混沌系统的基本分析2111新超混沌系统模型 本文提出的新超混沌系统的数学模型为x ・=-ax +by ;y ・=cx -xz -dy -u ;z ・=xy -ez -f x +gu ;u ・=h (yz -u ).(1)式中,a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h 是实常数.当参数a =2015,b =6818,c =42,d =016,e =4,f =415,g =5,h =018时,系统存在一个典型的混沌吸引子.2121理论分析212111耗散性和吸引子的存在性由于ΔV =9x ・9x +9y ・9z +9z ・9z +9u ・9u=-a -d -e -h ,(2)当a +d +e +h >0时,则系统(1)是耗散的,且以指第58卷第3期2009年3月100023290Π2009Π58(03)Π1446210物 理 学 报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.58,N o.3,March ,2009ν2009Chin.Phys.S oc.数形式收敛:d Vd t=e-(a+d+e+h),(3)即体积元V0在时刻t时收缩为体积元V0e-(a+d+e+h)t,这意味着,当t→∞时,包含系统轨迹的每个体积元以指数率-(a+d+e+h)收缩到零.因此,所有系统轨迹线最终会被限制在一个体积为零的集合上,且它渐进运动固定在一个吸引子上. 212121平衡点及稳定性系统(1)存在三个非线性项,状态变量分别为x,y,z,u.为了求解系统(1)的平衡点,令参数为a =2015,b=6818,c=42,d=016,e=4,f=415,g= 5,h=018,并且方程组为-ax+by=0;cx-xz-dy-u=0;xy-ez-fx+gu=0;h(yz-u)=0.(4)求解(4)式可得到系统三个平衡点为s0(0,0,0,0);s1(219,0186,32122,27188);s2(-148190,-44137,32122,-1429158). 在平衡点s(0,0,0,0),对系统(1)进行线性化得其Jacobian矩阵为J0=-a b00 c-z d-x-1 y-f x-e g 0hz hy-h=-201568180042-0160-1-4150-45 000-018. 为了求平衡点s(0,0,0,0)相应的特征根,令det(J0-λI)=0,得到相应的特征根λ1=-410,λ2=4411181,λ3= -6512181,λ4=-018.这里四个特征根都是实根,但是不全为负实根.根据R outh2Hurwitz条件[11],可得平衡点s0是不稳定的鞍点.在平衡点s1(219,0186,32122,27188),采用同样的方法可求得相应的特征根λ1=-3815266,λ2= 1711337,λ3=-212535+311427i,λ4=-212535-311427i.其中λ1为负实根,λ2为正实根,λ3与λ4是负实部的共轭复根.因此,平衡点s1是一个不稳定的鞍点.通过同样的计算方法可得在平衡点s2(-148190,-44137,32122,-1429158)相应的特征根为λ′1=15814476,λ′2=-13914219,λ′3=4410970,λ′4= -018287.这里四个特征根都为实根,但是不全为负实根,所以根据R outh2Hurwitz条件知,平衡点s2是不稳定的鞍点.从上述分析可知,系统(1)的三个平衡点都是不稳定的鞍点.从理论上证明了该系统有存在超混沌特性的可能性.2131混沌吸引子 系统(1)参数为a=2015,b=6818,c=42,d= 016,e=4,f=415,g=5,h=018时,存在一个典型的混沌吸引子.本文采用了四阶龙格2库塔离散化算法,得到混沌吸引子相图如图1所示.相图中其轨线在特定的吸引域内具有遍历性.这个混沌的奇怪吸引子与Lorenz系统形状完全不同,并且与Qi系统[12] (该系统有九个平衡点)吸引子不同.本文提出的这个新系统仅存在三个平衡点,因此其拓扑结构与其他系统的拓扑结构完全不同.系统(1)的时域波形具有非周期性,解的流对初始值极为敏感,它的时域波形如图2所示.而它的频谱都是连续谱,其频谱图如图3所示.计算的频谱均被单位标准化,大于单位谱的1Π10频谱范围作为该信号的频谱带宽,这是由于幅值相对较低的频谱的信号对加密意义很小,可以通过滤波等简单方法提取信息.从图3可以看出,Lorenz系统x变量的频谱带宽大约在0—3H z,本文提出的新系统x变量的频谱带宽大约在0—32H z,是Lorenz系统信号带宽的11倍左右.所以新混沌系统的混沌吸引子具有非常宽的频谱,对保密通信、流体混合等基于混沌的实际应用具有重要价值.2141Lyapunov指数和Lyapunov维数 混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出彼此排斥的趋势,并以指数速率相互分离,而Lyapunov指数(LE)是定量描述轨线彼此排斥和吸引的量.特别是系统的最大LE,是判断混沌系统的重要特征.计算最大LE的方法很多,如最小数据量法,W olf法, Jacobian法等.本文利用奇异值分解[13]的方法计算出系统(1)的四个LE为LE1=418444,LE2=112642, LE3=-111176,LE4=-2212627,其最大LE比Qi系统的最大LE要大(LE1=313152)[12],说明系统(1)比74413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图1 新混沌系统的奇怪吸引子图 (a )x 2y 2z 平面奇怪吸引子;(b )x 2y 平面奇怪吸引子;(c )x 2z 平面奇怪吸引子;(d )y 2u 平面奇怪吸引子图2 新系统的四个序列时域波形图8441物 理 学 报58卷图3 新系统的功率谱图 (a)x序列的功率谱图;(b)y序列的功率谱图Qi系统运动轨迹更加复杂.并且该系统具有两个正的LE,具有超混沌的特征,系统的动态行为更加难以预测.新混沌系统的LE维数为D L=j+1|LE j+1|6ji=1LE i=3+(LE1+LE2+LE3)|LE4|=3+(418444+112642-111176)|-2212627|=312242.(5) 由此可见,这个新系统的LE维数是分数维数,从而验证了该系统为混沌系统.2151Poincare截面图 为了利于观察系统的动力学行为,P oincare截面的选取要恰当,此截面不能包含系统的轨线,也不能与轨线相切.在给定的某组参数下,本文选取了相空间中穿过某一个平衡点的平面作为P oincare截面,然后观察P oincare截面上截点的情况,由此判断这组固定参数下系统的运动是否为混沌[14].在固定参数a=2015,b=6818,c=42,d=016, e=4,f=415,g=5,h=018时,系统存在两个大于零的LE指数,可知系统处于超混沌状态,图4是此时系统在几个截面上的P oincare映像图.由图4可以看出,P oincare截面上有一些成片的具有分形结构的密集点,吸引子的叶片清晰可见,进一步说明了此时系统的运动是混沌的.2161系统参数的影响 随着系统参数的改变,系统平衡点的稳定性将会发生变化,从而系统也将处于不同的状态.从系统的LE谱和分岔图可很直观的分析出各个参数变化时,系统的变化情况.利用LE谱分析时,对于平衡点系统有LE4< LE3<LE2<LE1<0;对于周期轨有LE1=0,LE4<LE3 <LE2<0;对于拟周期轨有LE1=LE2=0,LE4<LE3 <0;对于混沌状态有LE1>0,LE2≤0,LE4<LE3<0, LE1+LE3+LE4<0;对于超混沌状态则有LE1>LE2 >0,LE3≤0,LE4<0,LE1+LE2+LE3+LE4<0.1)固定参数b=6818,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变a,a∈[0,22].当a∈[0,22]变化时,系统的LE谱以及关于x 的分岔图如图5所示.由图5(a)可见,随着a的变化,系统的LE在变化,系统状态也在发生改变.当a ∈[0,2]时,系统的LE都小于0,系统中都是平衡点,当a∈[2,12],系统只有一个正的LE,表明随着a的增加系统由平衡态演化到混沌状态;当a∈[12,22]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态,表明系统随着a的变化由混沌状态演化到超混沌状态.2)固定参数a=2015,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变b,b∈[30,70].当b∈[30,70]时,系统的LE谱以及关于x的分岔图如图6所示.从图6(a)中可知,当b∈[30, 48]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态;当b∈[48,50]时,系统仅存在一个正的LE,系统由超混沌状态演化为混沌状态;当b∈[50,70],系统存在两个正的LE,系统又由混沌状态演变为超混沌状态.由此可见当b∈[30,70]时,系统的状态在混沌状态与超混沌状态之间相互转变.3)固定参数a=2015,b=6818,d=016,e=4,f94413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现=415,g =5,h =8,改变c ,c ∈[0,45].当c ∈[0,45]时,系统的LE 谱以及关于x 的分岔图如图7所示.从图7(a )中可知,当c ∈[0,3],系统的所有的LE 都小于0,所以此时系统中都是平衡点;当c ∈[3,12]和c ∈[15,25]时,系统仅有一个正的LE ,系统处于混沌状态;当c ∈[12,15]和c ∈[25,45]时,系统存在两个正的LE ,系统由混沌态演化为超混沌状态.由于本系统参数比较多,鉴于篇幅有限在文中只详细分析其中的三个参数变化时,系统状态的变化情况,其他参数只给出结论,如表1所示.图4 新系统的P oincare 映射图 (a )x =0;(b )y =0;(c )z =80;(d )u =图5 a 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图 (a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图0541物 理 学 报58卷图6 b 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图 (a )LE 谱图;(b )关于x的分岔图图7 c 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图 (a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图表1 新系统的状态变化情况参数变化范围平衡点周期态拟周期态混沌状态超混沌状态d [0,1]无无无无[0,1]e [0,5]无无无[0,113](113,5]f [0,5]无无无f =017,f ∈[1127,113][0,017)(017,1127)(113,5]g [0,6]无无无[0,213](213,6]h[0,1]无无无无[0,1]31新系统的振荡电路设计与实现 混沌系统的最直接最简单的物理实现是通过电路来完成的,许多混沌系统的动力学行为都是通过电路得到了验证[15].同样这个四维混沌系统也可以通过电路来实现.由于直接根据系统微分方程设计的电路很难正常运行,为此有必要对原方程作一些适当地变换,这样做的目的有两方面:一是通过线性缩放,使得状态变量的变化范围在集成电路允许的工作的电压范围内;二是简化电路设计,尽量减少元件和集成电路.本文采用线性电阻、线性电容、运算放大器(LM741)、模拟乘法器(AD633)来设计实现系统(1)的电路.利用Multisim 软件设计的电路如图8所示,其中运算放大器是用来进行电路的加减运算,模拟乘法器则用来实现系统中的非线性项.为了有效的进行电路实验,把混沌信号的输出电平调小为原来15413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现的1Π200,设m =200x ,v =200y ,w =200z ,n =200u .(6) 又由于系统变量的变换,不影响系统的状态及性能,从而在令x =m ,y =v ,z =w ,u =n ,(7)则(1)式可变为x ・=-ax +by ;y ・=cx -200xz -dy -u ;z ・=200xy -ez -f x -gu ;u ・=h (200yz -u ).(8)图8 电路原理图根据电路理论以及各个元件的特性,得其电路方程为x ・=-R 2R 21R 1C 1x +R 2R 3R 2C 1y ;y ・=R 7R 22R 6C 2x -R 7R 8R 6C 2200xz-R 7R 23R 6C 2y -R 7R 24R 6C 2u ;z ・=R 12R 13R 11C 3200xy -R 12R 26R 11C 3z-R 12R 25R 11C 3x -R 12R 27R 11C 3u ;u ・=R 17R 18R 16C 4200yz -R 17R 28R 16C 4u .(9)2541物 理 学 报58卷(11)式与(12)式相比较,可得a =R 2R 21R 1C 1;b =R 2R 3R 1C 1;c =R 7R 22R 6C 2;d =R 7R 23R 6C 2;e =R 12R 26R 11C 3;f =R 12R 25R 11C 3;g =R 12R 27R 11C 3;h =R 12R 18R 16C 4=R 12R 28R 16C 4. 当电路中的各元器件值如图8中所示时,利用示波器得到系统(1)各序列的时域图,如图9.利用示波器也可以看到混沌吸引子的相图,如图10所示.与数值仿真图基本相同,但有一定的区别,这是因为电路实验所的相图是从时间t =0开始绘制的,而数值仿真是截取了混沌序列后14000个数据绘制而成,取消了最开始的1000个数据.所以该混沌系统的仿真实验和实际电路实验应该是基本符合的.从而说明该混沌系统可以通过电路产生,具有很大的实用性.通过上述理论分析和仿真实验证实,本文提出的非线性系统是一个新的混沌系统,它具有一切混沌系统的共有特征:确定性、有界性、对初值的极端敏感性、长期不可预测性、正的最大Lyapunov 指数、一定频率范围内的连续谱和遍历性等.图9 系统(1)部分序列的时序图;(a )x 时序图;(b )y 时序图35413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图10 系统(1)的电路实验相图 (a)x2y平面;(b)x2z平面;(c)y2z平面;(d)x2u平面4541物 理 学 报58卷41结论通过以上理论分析和计算机仿真,可以得出以下结论:11本文提出的超混沌系统的数学模型拓扑结构简单,仅具有三个平衡点.21这个新的混沌系统存在着复杂的混沌动力学行为,它具有一切混沌系统的共有特征.31这个新的超混沌系统可以用电子振荡电路来实现.它在电子测量、保密通信、数字图像加密等领域中具有潜在的应用价值.如何控制这个系统以及深入研究系统的动力学行为是作者今后将要进行的工作.[1]Lorenz E N 1963J .Atmos .Sci .20130[2]Lorenz E N 1993The E ssence o f Chaos (W ashington :University of W ashington Press )[3]Celikovsky S ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 121789[4]Lu J H ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 12659[5]Chen G R ,Lu J H 2003Dynamics o f the Lorenz System Family :Analysis ,Control ,and Synchronization (Beijing :Science Press )(inChinese )[陈关荣、吕金虎2003Lorenz 系统族的动力学分、控制与同步(北京:科学出版社)][6]Liu C X ,Liu L ,Liu K 2004Chaos Solitons Frac .221031[7]Qi G Y,Du S ,Chen G R ,Chen Z ,Y uan Z 2005Chaos SolitonsFrac .231671[8]Li W ,Hao J H ,Qi B 2008Acta .Phys .Sin .571398(in Chinese )[李 伟、郝建红、祁 兵2008物理学报571398][9]X ie K,Lei M ,Feng Zh J 2005Acta Phys .Sin .541267(in Chinese )[谢 鲲、雷 敏、冯正进2005物理学报541267][10]Hua C C ,G uan X P 2004Chin .Phys .131441[11]Liu Z H 2006Fundamentals and Applications o f Chaotic Dynamics (Beijing :High Education Press )p18(in Chinese )[刘宗华2006混沌动力学基础及其应用(北京:高等教育出版社)第18页][12]Zhang Y H ,Qi G Y,Liu W L ,Y an Y 2006Acta Phys .Sin .553307(in Chinese )[张宇辉、齐国元、刘文良、阎 彦2006物理学报553307][13]Zhang X D ,Li Z P ,Zhang L L 2005Beijing Technology Univer sitySinica 27371(in Chinese )[张效丹、李志萍、张丽丽2005北京科技大学学报27371][14]Lu J H ,Lu J A ,Chen S H 2002Analysis and Application o f ChaoticTime Sequences (Wu Han :Wu Han University Press )p51(inChiense )[吕金虎、陆君安、陈士华2002混沌时间序列分析及其应用(武汉:武汉大学出版社)第51页][15]W ang F Q ,Liu C X 2006Acta Phys .Sin .553295(in Chinese )[王发强、刘崇新2006物理学报553295]A new four 2dimensional hyperchaotic system andits circuit simulationT ang Liang 2Rui Li Jing Fan Bing(School o f Electric and Electronic Engineering ,North China Electric Power Univer sity ,Beijing 102206,China )(Received 5August 2008;revised manuscript received 11N ovember 2008)AbstractA new four 2dimensional chaotic system is reported in this paper.Basic dynam ic properties of the new system are investigated via theoretical analysis ,numerical simulation ,Lyapunov exponent ,Lyapunov dimension and P oincare diagrams.Finally the chaotic circuit is designed and realized by the Multisim software.It con firms that the chaotic system is different from the exisiting chaotic systems and is a new hyperchaotic system.K eyw ords :hyperchaotic system ,Lyapunov exponent ,P oincare diagrams ,circuit realization PACC :0545E 2mail :tangliangrui @55413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现。
基于忆阻器的混沌系统原理及应用
（3）
状态方程中
中 vC 和 iL 分别为经过电容
的电压和经过电感的电流。其中参数选择 k=1，c=0.5，L=1，
C=1，初始条件为（0，0.1，0），利亚诺普指数存在一个或多
个大于 0，且利亚诺普指数之和小于 0，维数也为分数维度，
那么说明系统进入的混沌。那么给出如下的归一化方程。
- 135 -
中国新技术新产品 2018 NO.8（下）
新技术开发
图 2 混沌图
[3] 许碧荣 . 一种最简的并行忆阻器混沌系统 [J]. 物理学报，
2013，62（19）：91-98.
（4） [4] 胡柏林，王丽丹，黄艺文，等 . 忆阻器 Simulink 建模和图 形用户界面设计 [J]. 西南大学学报（自然科学版），2011，33
新技术开发
2018 NO.8（下） 中国新技术新产品
基于忆阻器的混沌系统原理及应用
申可迪 （浙江省杭州第二中学，浙江 杭州 310000）
摘 要 ：本文在蝴蝶效应理论中引出的混沌系统的基础上，提出了一种串行忆阻器的混沌系统，通过建立混沌系
统的电路图，给出电路的关系式，再通过仿真器去模拟基于此电路的混沌系统。在密码学的发展过程中，密码变
[6] 方清 . 基于忆阻器的混沌电路设计 [D]. 湖南 ：湘潭大学， 2013. [7] 闵富红，王珠林，王恩荣，等 . 新型忆阻器混沌电路及其 在图像加密中的应用 [J]. 电子与信息学报，2016，38（10）： 2681-2688. [8]Chua L O.Memristor-The missing circuit element[J].IEEE Trans Circuit Theory，1971，18（5）：507-519. [9]Chua L O，Kang S M.Memristive devices and systems[J].Proc IEEE，1976，64（2）：209-223.
忆阻Sprott-R混沌系统的复杂动态分析与电路实现
忆阻Sprott-R混沌系统的复杂动态分析与电路实现
曾繁鹏;赖强;赖聪
【期刊名称】《量子电子学报》
【年(卷),期】2024(41)1
【摘要】基于Sprott-R三维混沌系统,提出了一个具有多稳态和调幅特性的简单四维忆阻混沌系统。
首先分析了系统的稳定性,发现该系统具有无穷多个不稳定平衡点。
进而利用Lyapunov指数谱、分岔图及相平面图,研究了该忆阻混沌系统的复杂动力学行为特性。
研究结果表明,当系统参数发生变化时,系统会经反倍周期分岔由混沌态进入周期态;在不同初始条件下,系统能产生三种共存吸引子,分别为双混沌吸引子共存、周期极限环与混沌吸引子共存、双周期极限环共存;当初始条件变化时,系统输出四维混沌信号的幅度均发生变化。
最后,对该系统进行了电路设计与仿真,验证了该忆阻混沌系统的存在性。
【总页数】14页(P170-183)
【作者】曾繁鹏;赖强;赖聪
【作者单位】华东交通大学电气与自动化工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统及其电路实现∗
2.一种新型双忆阻混沌系统动力学及其电路实现研究
3.基于忆阻器的Sprott-B超混沌系统的动力学分析与电
路实现4.五维洛伦兹型忆阻混沌系统及其电路实现5.基于广义忆阻器的超混沌系统的研究与电路实现
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基于忆阻器的超混沌系统混沌控制及应用研究
基于忆阻器的超混沌系统混沌控制及应用研究基于忆阻器的超混沌系统混沌控制及应用研究摘要：本文主要研究了基于忆阻器的超混沌系统的混沌控制及其应用。
首先，介绍了超混沌系统和忆阻器的基本概念，分析了超混沌系统的混沌特性。
接着，设计了一种基于自适应控制算法的混沌控制方法，并将其应用在超混沌系统中。
实验结果表明，该控制方法能够有效控制超混沌系统的混沌运动，并实现多状态的轨迹追踪。
最后，讨论了超混沌系统混沌控制在通信加密、混沌加密和混沌同步等领域的应用前景。
关键词：超混沌系统；忆阻器；混沌控制；应用1. 引言混沌是一种随机非周期的动力学现象，具有高度的敏感性和复杂性。
近年来，混沌系统及其控制在各个领域得到了广泛的研究和应用。
超混沌系统是一类比混沌系统更加复杂的非线性动力学系统，具有更大的参数空间和更丰富的动力学行为。
忆阻器是一种新型的电子元件，具有非线性的电压-电流特性。
它能够将电流的历史信息储存，具有时滞效应。
近年来，忆阻器在混沌系统中的应用也引起了研究者们的兴趣。
本文将超混沌系统和忆阻器两者结合起来，研究了基于忆阻器的超混沌系统的混沌控制及其应用。
2. 超混沌系统的混沌特性分析超混沌系统与普通混沌系统相比，具有更多的分支、更高的维数和更丰富的复杂性。
在本文中，我们以一种常用的三维超混沌系统为例，分析其混沌特性。
该超混沌系统的动力学方程如下：dx/dt = -σx + σy + zdy/dt = -x + aydz/dt = b(x - cz)其中，x、y、z为系统的状态变量，σ、a、b、c为系统的参数。
通过数值计算和分析，我们可以得到该超混沌系统在不同参数值下的混沌运动轨迹。
实验结果表明，该系统在一定的参数范围内具有混沌吸引子，其轨迹呈现出复杂的分形结构和奇特的运动方式。
3. 基于自适应控制算法的混沌控制方法为了控制超混沌系统的混沌运动，本文设计了一种基于自适应控制算法的混沌控制方法。
首先，将超混沌系统表示为控制系统的形式，引入辅助变量和控制误差。
基于忆阻器混沌系统的动力学分析及电路设计
基于忆阻器混沌系统的动力学分析及电路设计基于忆阻器混沌系统的动力学分析及电路设计摘要：本文对基于忆阻器混沌系统的动力学特性进行了深入分析，并针对该系统设计了一个简单的电路模型。
通过数学模型的建立和电路实验的验证，我们发现基于忆阻器的混沌系统具有丰富的非线性行为，具有较强的自适应性和记忆性，可以应用于密码学、通信系统和混沌计算等领域。
1. 引言混沌系统作为一种复杂的非线性动力学系统，具有高度不确定性和随机性，具有广泛的应用前景。
忆阻器是一种新型的电学元件，其内部的电阻值可以随电流的方向和大小发生变化。
在过去的几十年中，科学家们发现了忆阻器具有混沌行为的特性，并且可以用于构建混沌系统。
本文旨在对基于忆阻器的混沌系统的动力学特性进行深入研究，并设计一个简单的电路模型来验证实验结果。
2. 基于忆阻器的混沌系统的动力学分析2.1 模型建立基于忆阻器的混沌系统可以通过建立适当的数学模型来描述。
假设忆阻器的电阻值为R，电流为I，忆阻器的状态方程可以表示为：dR/dt = -αR + βI其中α和β为常数。
该模型考虑了忆阻器的自适应性和记忆性，可以模拟忆阻器的非线性动力学行为。
2.2 动力学特性分析通过数值计算和图形展示，我们可以观察到基于忆阻器的混沌系统的动力学特性。
在特定的参数范围内，系统表现出周期运动、混沌运动和稳定运动等不同的行为。
通过调节参数α和β的大小，我们可以控制系统的动力学特性，从而实现所需的混沌行为。
3. 基于忆阻器的混沌系统的电路设计基于上述数学模型，我们设计了一个简单的电路模型来实现基于忆阻器的混沌系统。
电路的主要组成部分包括忆阻器、电源、电容和电阻等。
通过调节电压源的大小、电容和电阻的数值，我们可以控制电路的动力学特性。
4. 电路实验与结果分析通过实验验证，我们发现设计的电路模型能够很好地模拟基于忆阻器的混沌系统的动力学特性。
实验结果表明，调节电路参数，我们可以观察到不同的混沌行为，如周期运动、倍周期运动和混沌运动等。
一种忆阻器离散混沌映射的设计及FPGA实现
一种忆阻器离散混沌映射的设计及FPGA实现白丹丹;王光义【摘要】Memristors are two-terminal passive circuit elements , and expected to have a great potential in non-linear electric circuits .It is a good candidate for using in chaos , because of its distinguish voltage-current characteristic .The paper provided a novel memristor chaos according to changing the equation of Cubic .Its behavior of chaotic dynamics are studied and analyzed . The one-dimensional discrete chaotic mapping designed in DSP Buider and implemented by FPGA .%忆阻器是一个无源二端口电子器件，在非线性应用领域具有巨大潜力。
忆阻器具有的非线性电压电流特性，可以应用在混沌领域。
Cubic映射是一个比较简单的混沌映射，该文使用忆阻器的非线性特性对Cubic映射进行修改，得到一个新的忆阻器混沌映射，使用DSP Builder 对其进行图形化设计，并研究该混沌映射的基本性能，用FPGA实现该混沌映射。
【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2013(000)006【总页数】4页(P9-12)【关键词】忆阻器;忆阻器混沌;现场可编程门阵列【作者】白丹丹;王光义【作者单位】杭州电子科技大学电子信息学院，浙江杭州310018;杭州电子科技大学电子信息学院，浙江杭州310018【正文语种】中文【中图分类】TN4010 引言记忆电阻简称忆阻器，是具有记忆性的第4种基本电路元件［1］。
基于忆阻器的ML神经元系统的混沌同步及应用
实验结果分析与讨论
混沌同步实验
在优化后的测试环境下进行混沌同步实验，观察和分析 ML神经元系统的响应特性和同步性能。
性能评估指标
采用适当的性能评估指标，如均方误差(MSE)、峰值信噪 比(PSNR)等，对ML神经元系统的同步性能进行定量评估 。
结果对比分析
将基于忆阻器的ML神经元系统的同步结果与其他传统神 经网络或混沌同步方法的性能进行对比分析，探讨其优劣 性。
基于忆阻器的基本单元，包括忆阻器、电容和电阻等元件，实现神经元的基本功能。
神经元模型
将忆阻器基本单元组合成神经元模型，包括输入、输出和内部处理等部分，实现神经元的信号传输、 处理和记忆功能。
模型参数的优化与调整
参数优化
通过对模型参数的优化，提高模型的性 能和稳定性。
基于忆阻器的ml神经元系统的混 沌同步及应用
2023-11-11
• 引言 • 基于忆阻器的ML神经元模型 • 混沌同步的基本原理与方法 • 基于忆阻器的ML神经元系统的混
沌同步实验验证 • 基于忆阻器的ML神经元系统的混
沌同步在图像加密中的应用
• 基于忆阻器的ML神经元系统的混 沌同步在其他领域的应用前景展 望
• 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
忆阻器作为一种新型的电子器件，具有非线性、可变电阻和记忆功能等特点，在神 经网络、混沌控制等领域具有广泛的应用前景。
ML神经元模型作为一种经典的神经元模型，具有广泛的应用价值，如模式识别、图 像处理等。
混沌同步作为一种控制方法，在信息安全、雷达等领域具有广泛的应用前景。
基于忆阻器的ML神经元系统的混沌同步在图像加密中的
实验结果与分析
要点一
要点二
一个磁控忆阻器混沌电路及其FPGA实现
电路与系统学报
第 16 卷
初值。为了减少电路的复杂性，只选择改变 φ 和 v1 这两个初值。 本文通过两个正弦信号发生器产生 φ 和 v1 端的随机初值，具体实现如图 8 所示， “ IncCount1”模 块是阶梯信号发生器，产生一个按时钟线性递增的地址信号，送往“ SinLUT”和“ SinLUT1”两个正 弦函数值的查找表模块，由递增的地址获得正弦波的量化值输出。因为“ SinLUT”和“ SinLUT1”两 个模块的正弦函数具有不同的步进弧度和幅度，从而预防了 φ、 v1 端产生初值的同步性，一定程度上 满足了随机性的要求。
图5 瞬态混沌解决方案示意图
4
忆阻器混沌的 FPGA 实现
通过 FPGA 来实现图 1 所示的蔡氏振荡电路，首先要将其状态方程（ 1）离散化。在此采用一阶
离散化公式：
第6期
王光义等：一个磁控忆阻器混沌电路及其 FPGA 实现
117
x[ k 1] x[k ] t 7 为了达到较高的精度，取采样时间 t 5 10 ，得到系统（ 1）的离散化方程： [k 1] [k ] t 1000 v1[k ] v1[k 1] v1[k ] t ( 1 ( v2 [ k ] v1[k ] ( 3 2 ) v1[k ])) C1 R 1 v1[k ] v2 [k ] iL [k ])) v2 [k 1] v2 [k ] t ( C ( R 2 v2 [ k ] ) iL [k 1] iL [ k ] t ( L x
图看出迭代次数大于
(a) 迭代 10000 次的分岔图 (b) 迭代 150000 次的分岔图
10000 以后分叉图发生了
图4
一种基于忆阻器反馈的超混沌系统的电路模型[实用新型专利]
![一种基于忆阻器反馈的超混沌系统的电路模型[实用新型专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/068c4e56f121dd36a22d8297.png)
专利名称：一种基于忆阻器反馈的超混沌系统的电路模型专利类型：实用新型专利
发明人：王晓媛,闵晓涛,张雪,张海鹏
申请号：CN201821972122.7
申请日：20181127
公开号：CN208985163U
公开日：
20190614
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本实用新型公开了一种基于忆阻器反馈的超混沌系统的电路模型。
本实用新型包括忆导项G(w)产生电路，x及‑x项产生电路，y及‑y项产生电路，z项产生电路，w项产生电路。
本实用新型利用集成运算放大器和模拟乘法器电路实现超混沌系统方程中的相应运算，其中，集成运算放大器主要用于实现比例运算、反相运算和积分运算，模拟乘法器用于实现方程中各项的乘积运算。
本实用新型结构简单，可用于超混沌系统电路设计、实验以及应用，对超混沌电路在伪随机序列的产生、密码学、保密通信等诸多领域中的应用研究具有重要的实际意义。
申请人：杭州电子科技大学
地址：310018 浙江省杭州市下沙高教园区2号大街
国籍：CN
代理机构：杭州奥创知识产权代理有限公司
代理人：王佳健
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基于忆阻器的切换混沌系统及其反馈控制电路[发明专利]
![基于忆阻器的切换混沌系统及其反馈控制电路[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/79c57c313186bceb19e8bbed.png)
专利名称：基于忆阻器的切换混沌系统及其反馈控制电路专利类型：发明专利
发明人：时帅帅,王力,李方义,张仕学,张继燕
申请号：CN202011077732.2
申请日：20201010
公开号：CN112187247A
公开日：
20210105
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明属于忆阻器混沌系统与一般混沌系统的切换电路实现，并对该切换系统电路进行反馈控制。
本发明以三维Rossler混沌系统为基础，通过引入忆阻器构造出四维忆阻器混沌系统，忆阻器的忆导函数项和系统之间通过单刀双掷开关连接，开关连接不同会产生不同的混沌系统，搭建了一个忆阻器混沌系统和普通混沌系统的切换电路，并对该切换混沌系统设计了反馈控制电路，切换系统中各子系统在同一反馈控制器作用下都能达到很好的控制效果，为忆阻器切换混沌系统的应用奠定基础，丰富了混沌切换系统的类型。
申请人：贵州工程应用技术学院
地址：551700 贵州省毕节市七星关区学院路
国籍：CN
代理机构：北京东方盛凡知识产权代理事务所(普通合伙)
代理人：张换君
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一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现
第３７卷第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀西南大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０１５年１月V o l ３７㊀N o １J o u r n a l o f S o u t h w e s tU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)J a n ㊀２０１５D O I:１０ １３７１８/j c n k i x d z k ２０１５ ０１ ０２４一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现①尹玮宏,㊀王丽丹,㊀段书凯西南大学电子信息工程学院,重庆４００７１５摘要:首先推导了两个基于磁控忆阻器模型的串联忆阻器的特性及磁通电荷关系,然后通过使用这个忆阻系统获得一个新颖的四维超混沌系统,它有两个正的李雅普诺夫指数．通过观察各种混沌吸引子㊁功率谱和分岔图可看到丰富的动力学现象．最后,建立了模拟该系统的S P I C E电路．S P I C E仿真结果与数值分析一致,这进一步显示了该超混沌系统的混沌产生能力．关㊀键㊀词:忆阻器;超混沌系统;混沌吸引子;电路实现中图分类号:T N９５７ ５２㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:１６７３９８６８(２０１５)０１０１６３１０忆阻器(M e m r i s t o r)是一种非线性无源元件,具有非线性和非易失性．近年来的研究工作取得了可喜的进展,各种基于忆阻器的应用成为了研究的热点．２００８年,惠普实验室的科学家在«N a t u r e»上发表论文宣称他们成功制成了第一个物理实现的忆阻器[１],证实了３７年前加州大学蔡少棠教授的推测[２]．此后,忆阻器受到了广泛的关注和研究．忆阻器的体积小㊁功耗低,因此忆阻器是混沌中非线性电路部分的理想选择[３],各种基于忆阻器的混沌系统得到了研究人员的密切关注[４－７]．基于忆阻器的混沌系统具有以下４个方面的优势:①忆阻器有着纳米级的尺寸,其作为混沌系统的非线性部分,系统的物理尺寸可以大大减小;②忆阻器的阻值能随着磁通或电荷的变化而变化,其伏安特性曲线能够通过零点,可以得到各种丰富的非线性曲线,提高混沌系统的复杂度和信号的随机性;③大多数忆阻材料与C MO S工艺兼容,可以将忆阻器和传统电路紧密结合,通过简单封装就可提供丰富的随机信号,能量的消耗必然会减小;④忆阻器是模拟电路元器件,其混沌系统可以产生真正的混沌模拟信号,从而用于混沌保密系统的设计和应用中．混沌系统被普遍认为在信息加密领域具有广阔的应用前景．在军事科技领域,混沌不仅可以用于保密通信还可以用于雷达波型的设计等[８]．近些年,研究人员对各种混沌做出了研究[９－１４]．超混沌概念由R O S S L E R提出,并给出了超混沌R o s s l e r系统[１５]．超混沌系统有两个或两个以上正的L y a p u n o v指数,其吸引子具有难以识别的拓扑结构,动力学行为要比一般的混沌系统更加复杂且难以预测,其在通信加密及信息安全领域具有更高的实用价值．高维混沌系统具有更复杂的动力学行为以及更好的随机性,一般低维①收稿日期:２０１４０３１６基金项目:新世纪优秀人才支持计划(教技函[２０１３]４７号);国家自然科学基金(６１３７２１３９,６１１０１２３３,６０９７２１５５);教育部 春晖计划 科研项目(z２０１１１４８);留学人员科技活动项目择优资助经费(国家级,优秀类,渝人社办 ２０１２ １８６号);重庆市高等学校优秀人才支持计划(渝教人 ２０１１ ６５号);重庆市高等学校青年骨干教师资助计划(渝教人 ２０１１ ６５号);中央高校基本科研业务费专项资金(X D J K２０１４A００９;X D J K２０１３B０１１)．作者简介:尹玮宏(１９８７),男,湖南邵阳人,硕士研究生,主要从事非线性电路与系统的研究．通信作者:王丽丹,教授,硕士研究生导师．的破译方法,如相空间重构㊁回归映像和非线性预测等很难破译超混沌加密的信息．不同于有源磁控忆阻混沌电路[１６],本文基于有着真实的物理模型的H P 忆阻器[１７],在L ü系统基础上,构建了一个全新的超混沌系统．此混沌系统依赖于忆阻器的初始状态,有着复杂的特殊的动力学现象,如状态转移等非线性物理现象．本文先分析了忆阻器的基本模型,然后构建新的混沌系统,对该系统进行了数值分析．建立了磁控忆阻器的S P I C E 模型,通过S P I C E 软件设计混沌电路,对前面数值进行分析验证．图１㊀H P 实验室的忆阻器物理模型１㊀H P 忆阻器基本模型H P 忆阻器是由两层二氧化钛薄膜夹在两个铂片电极之间构成的:一层是绝缘的二氧化钛层(T i O ２),钛氧元素比是１ʒ２;另一层是有导电能力的缺失了部分氧原子的二氧化钛层(T i O ２－X )(图１)．当有外加偏压时,缺氧原子的那层会在电场的作用下发生离子漂移,引起绝缘层和导电层中厚度的变换,从而改变了忆阻器的有效阻值．H P 忆阻器的数学模型有电荷控制模型和磁通控制模型[１４](图２),其中电荷控制模型可表示为M (t )＝R O F F q (t )＜a １M (０)＋k q (t )a １ɤq (t )＜a ２R ON q (t )ȡa ２ìîíïïïï(１)其中:q (t )表示的是电荷的值;a １,a ２,a ３,a ４和K 的表达式为a １＝－[R O F F －M (０)]２２k ㊀㊀㊀㊀㊀㊀a ２＝－[R ON －M (０)]２２ka ３＝k ２C １２＋[M (０)－R O F F ]㊀㊀㊀a ４＝k ２C ２２＋[M (０)－R ON ]a ５＝R ２O F F－M ２(０)２k ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀a ６＝R ２ON －M ２(０)２kk ＝(R ON －R O F F )u V R ON D ２(２)此外,磁通控制的忆阻器模型可以表示为M (t )＝R O F F φ(t )＜a ５２k φ(t )＋M ２(０)a ５ɤφ(t )＜a ６R ON φ(t )ȡa ６ìîíïïïï(３)其中:φ(t )表示磁通的值;电荷和磁通的关系为q (t )＝φ(t )－a ３R O F F φ(t )＜a ５２k φ(t )＋M ２(０)－M (０)k a ５ɤφ(t )＜a ６φ(t )－a ４R ONφ(t )ȡa ６ìîíïïïïïïïï(４)(１)－(４)式中:M (t )表示忆阻器的值,R O N 和R O F F 分别表示忆阻器的极限值,M (０)表示初始值,W (t )是依时间而变化的T i O ２－X 厚度,而D 是薄膜的厚度,R O N 是当W (t )等于０时候的值,R O F F 是当W (t )等于D 时候的值,U v 表示氧空缺的平均移动量．２西南大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀h t t p ://x b b jb s w uc n ㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷图２㊀两个串联忆阻器电路模型２㊀基于忆阻器的超混沌系统L ü系统[１８]的状态方程为x＝a (y －x )y＝b y －x z z ＝x y －cz ìîíïïïï(５)式中:a ＝３６,b ＝２０,c ＝３,系统有一个正的L y a p u n o v 指数．在L ü系统的状态方程上做些变换,并加入忆阻器的磁通变量,得到一个新的四维超混沌系统．基于忆阻器的超混沌系统的状态方程为x＝a (y －x ＋０ ５w )y＝b x －x z ＋y z ＝x y －c z w ＝y ＋q (－|x |)ìîíïïïïïï(６)㊀㊀该系统由于忆阻器的加入,加剧了各个变量间的相互影响,平衡点要受到初始条件的影响,而且有着较大的混沌范围,动力学特性变得更复杂．其中,x ,y ,z 和w 是系统的状态变量;a ,b ,c 是参数．x 表示的是输入忆阻器的磁通,从文献[１４]可知忆阻器的电荷和磁通的关系为q (x )＝x －a ３R O F F x ＜a ５２k x ＋M ２(０)－M (０)k a ５ɤx ＜a ６x －a ４R ONx ȡa ６ìîíïïïïïïïï(７)其中a ５＝R ２O F F －M ２(０)２k a ６＝R ２ON －M ２(０)２k㊀㊀忆阻器阻值随电荷变化的关系曲线见图３．当a ＝１５,b ＝５,c ＝０ ９,忆阻器的初始状态为R O F F ＝２０k Ω,R O N ＝１００Ω,M ＝１６k Ω,D ＝１０n m ,u v ＝１０－１４m ２/(s V ),并选择初始状态(x ,y ,z ,w )＝(０,１,０,０),得到的混沌吸引子见图４．２ １㊀L y a pu n o v 指数及时域波形L y a pu n o v 指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率．对于系统是否存在动力学行为,可以从最大L y a p u n o v 指数是否大于零,非常直观的判断出来,指数越大,混沌特性越明显,混沌程度越高．该系统的L y a pu n o v 指数谱见图５．３第１期㊀㊀㊀㊀图３㊀忆阻器阻值随电荷变化的关系曲线(a )㊁(b )㊁(c )分别表示x －y ,x －z 和x －w 在相平面上的投影;(d )表示状态变量x －y －w 在相空间的投影．图４㊀得到的混沌吸引子４西南大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀h t t p ://x b b jb s w uc n ㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷图５㊀系统L y a pu n o v 指数在(６)式的混沌系统中,利用J a c o b i 方法计算出L y a pu n o v 指数．这种方法的基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解,然后对系统的J a c o b i 矩阵进行Q R 分解,计算J a c o b i 矩阵特征值的乘积,最后计算出L y a p u n o v 指数和分数维．取t ＝２０００,得L １＝２ ０２２３,L ２＝０ ４４０４,L ３＝－２ ６７４７,L ４＝－１４ ６８４８,L y a p u n o v 维数D L ＝２ ９８５６．其中有两个正的L y a pu n o v 指数,从相轨迹图㊁实域波形㊁以及L y a pu n o v 指数和维数可以看出该系统是超混沌系统．４个状态变量的时域波形见图６,它们都是非周期性的,而且有状态转移行为．这种跳变行为增加了混沌的复杂度,状态转移行为也是超混沌系统一种特有的现象．图６㊀各状态变量在时域的波形２ ２㊀功率谱功率谱分析也是一个重要的观察分叉和混沌的方法．一个混沌系统是非周期的,它的功率谱是连续的,还带有一系列的峰值．图７显示了该忆阻混沌系统的功率谱．２ ３㊀分岔图分岔图表示非线性系统一个差数变化时的系统动力学特性,系统的状态随着参数状态的变化而变化,例如双周期混沌变化．让参数b ＝０ ５,c ＝５,d ＝１不变,改变参数a ．对应参数a 变化的状态变量x 见图８,从图８中可以看出系统的混沌行为随着参数a 的变化而变化．５第１期㊀㊀㊀㊀图７㊀混沌系统(６)的功率谱图８㊀系统(６)的分岔图３㊀混沌系统的电路设计与实现为了验证系统(６)的混沌行为,本部分设计了各状态变量的混沌电路(图９－１３)．该电路由四路模拟运算电路所组成,分别实现系统(６)中的状态x ,y ,z ,w 的运算．用到的元器件有L M ３４８运放㊁忆阻器㊁二极管㊁乘法器㊁电容㊁电阻等．加入电路中的电源V C C ＝＋３０V ,V E E ＝－３０V．图９㊀实现状态变量x 的第１通道电路由电路中U １和U ２可以得到V x ＝－１R ５C １ʏR ４R ７R ３R ６V x －R ４R ２V y －R ４R １V w æèçöø÷dt (８)从而得到V x ＝－R ４R ７R ３R ５R ６C １V x ＋R ４R ２R ５C １V y ＋R ４R １R ５C １V w(９)比较系统(６),取R １＝２０k Ω,R ４＝１５k Ω,R ２＝R ３＝R ５＝R ６＝R ７＝１０k Ω和C １＝１０μF ,可以满足Vx ＝１５(V y －V x ＋０ ５V w )(１０)图１０㊀实现状态变量y 的第２通道电路６西南大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀h t t p ://x b b jb s w uc n ㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷㊀㊀通过U ４和U ５列电路方程可以得到V y ＝－１R １１C ２ʏ－R １０R ８V x ＋R ７R １０R ６R ９R １０C ２V x V z ＋R １０R １１R １２C ２V y d t (１１)求导变换得V y ＝R １０R ８R １１C ２x －R ７R １０R ６R ９R １１C ２x z ＋R １０R １１R １２C ２y(１２)在(１２)式中,取R ８＝R １０＝R １１＝２０k Ω,R ９＝R １２＝１００k Ω,C ２＝１０μF ,可以得到Vy ＝５V x －V x V z ＋V y(１３)图１１㊀实现状态变量z 的第３通道电路㊀㊀由U ６和U ７得V z ＝－１R １５C ３ʏ－R １４R １３V x V y ＋R １４R １７R １５R １６R １８C ３V z d t (１４)所以V z ＝R １４R １３R １５C ３V x V y －R １４R １７R １５R １６R １８C ３V z(１５)图１２㊀实现绝对值的电路㊀㊀为了得到Vy ＝V x V y －V z ,可以取R １４＝R １５＝R １６＝２０k Ω,R １３＝R １８＝１００k Ω和C ３＝１０μF ．运放U ９和U １０可以实现绝对值电路,二极管使用的是D １０D ２,电路可以得到U １０的输出为V U １０＝R １９R ２１R ２４R ２６－R ２１R ２０æèçöø÷V x V x ȡ０－R ２１R ２０V x V x ＜０ìîíïïïïï当R １９＝R ２０＝R ２１＝R ２４＝２０k Ω,R ２６＝１０k Ω时,可得V U １０＝|V x |．另外R ２５＝R １９//R ２４＝１０k Ω,R ２７＝７第１期㊀㊀㊀㊀R ２０//R ２１//R ２６＝５k Ω．运放U １１的电压输出V U １１＝－R ２３R ２２|V x |,取R ２２＝R ２３＝１k Ω,得V U １１＝－|V x |．运放U １１的输出作为磁控忆阻器F L U X 端的输入,忆阻器C H A R G E 端作为运放U １２的输入．忆阻器满足(７)式电荷磁通光系,还有着斜 ８字形的伏安特性曲线,比一般非线性电路更易产生混沌信号．这样省去了构建非线性电路的麻烦,混沌系统电路结构更加简单．设忆阻器初始值R O F F ＝２０k Ω,R O N ＝１００Ω,M ＝１６k Ω,D ＝１０n m 和u v ＝１０－１４m ２/(s v )．由运放U １２和U １３得V w ＝－１R ３０C ４ʏ－R ２９R ３１V y －R ２９R ２８q (x )æèçöø÷d t (１６)从而V w ＝R ２９R ３０R ３１C ４V y ＋R ２９R ２８R ３０C ４q (－|x |)(１７)㊀㊀比较系统(６)最后取R ２９＝R ３０＝２０k Ω,R ２８＝R ３１＝１００k Ω和C ４＝１０μF ,可以得到Vw ＝V y ＋q (－|x |)(１８)图１３㊀实现状态变量w 的第４通道电路㊀㊀在S P I C E 仿真中,设置仿真的时间从０~２０００s 和仿真的最大步长０ ００１s ．得到的四阶混沌系统的部分变量的相图见图１４,并且和数值仿真的结果相似,表明基于忆阻器的混沌系统可以在模拟电路中实现,再次说明了该系统的正确性．图１５为状态变量y 在时域中的波形,由于忆阻器的加入,该系统时域信号出现了状态转移行为．产生的这些时域混沌信号可以作为保密通信的混沌信号源,也可以运用在图像加密或者随机比特发生器．图１４㊀S P I C E 仿真中部分状态变量在平面的相图８西南大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀h t t p ://x b b jb s w uc n ㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷图１５㊀状态变量y 在时域中的波形４㊀结㊀论本文先对忆阻器的基本模型进行了分析,然后在L ü系统的基础上加入忆阻器,构建一个新的四维超混沌系统,该混沌系统呈现着复杂的动力学行为．此外,通过S P I C E 电路实现了该混沌系统．论文前面对该系统进行了数值分析,后面用S P I C E 设计电路进行了验证,前后的结果一致,实验表明该系统是超混沌的．忆阻器是个最新的元器件,体积小,功耗低,更有着一般元件没有的特性,在混沌电路中有着很高的应用价值．参考文献:[１]S T R U K O V DB ,S N I D E R GS ,S T E WA R TDR ,e t a l ．T h eM i s s i n g M e m r i s t o rF o u n d [J ]．N a t u r e ,２００８,４５３(７１９１):８０－８３．[２]㊀C HU AL O．M e m r i s t o r Ｇt h eM i s s i n g C i r c u i tE l e m e n t [J ]．I E E ET r a n sC i r c u i tT h e o r y,１９７１,１８(５):５０７－５１９．[３]㊀I T OH M ,C HU A L O．M e m r i s t o r O s c i l l a t o r s [J ]．I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo fB i f u r c a t i o na n d C h a o s ,２００８,１８(１１):３１８３－３２０６．[４]㊀MU T HU S WAMY B ,K O K A T E PP ．M e m r i s t o r ＧB a s e dC h a o t i cC i r c u i t s [J ]．I E T E T e c h n i c a lR e v i e w ,２００９,２６(６):４１７－４２５．[５]㊀B A OBC ,X UJP ,L I UZ ．I n i t i a l S t a t eD e p e n d e n tD y n a m i c a l B e h a v i o r s i naM e m r i s t o rB a s e dC h a o t i cC i r c u i t [J ]．C h i Ｇn e s eP h ys i c sL e t t e r s ,２０１０,２７(７):５１－５３．[６]㊀MU T HU S WAMYB ．I m p l e m e n t i n g M e m r i s t o rB a s e dC h a o t i cC i r c u i t s [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fB i f u r c a t i o na n dC h a Ｇo s ,２０１０,２０(０５):１３３５－１３５０．[７]㊀B A OBC ,L I UZ ,X UJ P ．S t e a d y P e r i o d i cM e m r i s t o rO s c i l l a t o rw i t hT r a n s i e n t C h a o t i cB e h a v i o u r s [J ]．E l e c t r o n i c sL e t Ｇt e r s ,２０１０,４６(３):２２８－２３０．[８]㊀李春来．禹思敏．一个新的超混沌系统及其自适应追踪控制[J ]．物理学报,２０１２,６１(４):４０４－５０４．[９]㊀Z HO N GGQ ,MA N KF ,C H E NG．AS y s t e m a t i cA p p r o a c h t oG e n e r a t i n g n ＧS c r o l lA t t r a c t o r s [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fB i f u r c a t i o na n dC h a o s ,２００２,１２(１２):２９０７－２９１５．[１０]D U A NS ,L I A OX．A nE l e c t r o n i c I m p l e m e n t a t i o n f o r L i a o sC h a o t i cD e l a y e dN e u r o nM o d e l w i t hN o n ＧM o n o t o n o u sA c t i Ｇv a t i o nF u n c t i o n [J ]．P h ys i c sL e t t e r sA ,２００７,３６９(１):３７－４３．[１１]L ÜJ ,C H E NG．G e n e r a t i n g M u l t i s c r o l l C h a o t i cA t t r a c t o r s :T h e o r i e s ,M e t h o d s a n dA p p l i c a t i o n s [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r Ｇn a l o fB i f u r c a t i o na n dC h a o s ,２００６,１６(０４):７７５－８５８．[１２]WA N G L ,Y A N G X．G e n e r a t i o no f M u l t i ＧS c r o l lD e l a ye dC h a o t i c O s c i l l a t o r [J ]．E l e c t r o n i c sL e t t e r s ,２００６,４２(２５):１４３９－１４４１．９第１期㊀㊀㊀㊀０１西南大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀h t t p://x b b j b s w u c n㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷[１３]WA N G L,D U A N S．A C h a o t i cA t t r a c t o r i nD e l a y e d M e m r i s t i v eS y s t e m[J]．A b s t r a c t a n d A p p l i e d A n a l y s i s,２０１２,７(２６):９２７－９３５．[１４]WA N GL,D A K A K I SE,D U A NS,e t a l．M e m r i s t o rM o d e l a n d I t sA p p l i c a t i o n f o rC h a o sG e n e r a t i o n[J]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fB i f u r c a t i o na n dC h a o s,２０１２,２２(０８):１２５０２０５－１２５０２０１９．[１５]R O S S L E R O E．A nE q u a t i o n f o rH y p e r c h a o s[J]．P h y s i c sL e t t e r sA,１９７９,７１(２):１５５－１５７．[１６]B A OBC,S H IGD,X UJ P,e t a l．D y n a m i c sA n a l y s i s o f C h a o t i cC i r c u i tw i t hT w oM e m r i s t o r s[J]．S c i e n c eC h i n aT e c hＧn o l o g i c a l S c i e n c e s,２０１１,５４(８):２１８０－２１８７．[１７]HU X,D U A NS,WA N GL．A N o v e l C h a o t i cN e u r a lN e t w o r kU s i n g M e m r i s t i v e S y n a p s ew i t hA p p l i c a t i o n s i nA s s o c i aＧt i v eM e m o r y[J]．A b s t r a c t a n dA p p l i e dA n a l y s i s,２０１２,４(０５):５７３－５９２．[１８]LÜJH,C H E NGR．A N e wC h a o t i cA t t a c t o r C o i n t o r[J]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f B i f u r c a t i o n a n dC h a o s,２００２,１２(３):６５９－６６１．AN e w M e m r i s t o rＧB a s e dH y p e r c h a o t i cO s c i l l a t o r a n d I t sC i r c u i t I m p l e m e n t a t i o nY I N W e iＧh o n g,㊀WA N GL iＧd a n,㊀D U A NS h uＧk a iS c h o o l o f E l e c t r o n i ca n d I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y,C h o n g q i n g４００７１５,C h i n aA b s t r a c t:T h e n a n o m e t e rm e m r i s t o r i s c o n s i d e r e d a s t h e f o u r t hb a s i c c i r c u i t e l e m e n t．N o t o n l y i s i t a c o mＧp e t i t i v e c a n d i d a t e f o r n e x tＧg e n e r a t i o nn o n v o l a t i l em e m o r y,i t a l s oh a s t h e p o t e n t i a l o f g e n e r a t i n g c o m p l e x d y n a m i c s i nan o n l i n e a r c i r c u i t,d u o t o i t s s u p e r i o r p r o p e r t i e s o v e r o t h e r e l e m e n t s．T h e i m p l e m e n t a t i o no f an e w m e m r i s t o rＧb a s e d c h a o s g e n e r a t o r h a s b e c o m e a r i s i n gp a r a d i g mi nn o n l i n e a r c i r c u i t d e s i g n．T h i s p aＧp e r f i r s t l y d e r i v e s t h ec h a r a c t e r i s t i c so f t w o m e m r i s t o r s i ns e r i e sb a s e do nt h e t h e o r e t i c a l f l u xＧc o n t r o l l e d m e m r i s t o rm o d e l a n d t h e c o n s t r u c t i v e f l u xＧc h a r g e r e l a t i o n．T h e n,b y u s i n g t h i sm e m r i s t i v e s y s t e m,an oＧv e l f o u rＧd i m e n s i o n a l h y p e r c h a o t i cs y s t e mi so b t a i n e d,w h i c hh a s t w o p o s i t i v eL y a p u n o ve x p o n 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一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现尹玮宏1 ,王丽丹1,*, 段书凯11西南大学物理科学与技术学院电子信息工程学院重庆中国400715摘要忆阻器被认为是第四个基本电路元件，它除了是下一代非易失性存储中有竞争力的候选器件外，由于拥有超越其它元件的超级性能，还能构建具有复杂动力学的非线性电路。
特别地，新的基于忆阻器的混沌振荡器的实现已成为非线性电路设计的范例。
本文首先推导两个基于磁控忆阻器模型的串联忆阻器的特性及磁通电荷关系。
然后通过使用这个忆阻系统获得一个新颖的四维超混沌系统，它有两个正的李雅普诺夫指数。
通过观察各种混沌吸引子、功率谱和分岔图可看到丰富的动力学现象。
最后，建立了模拟该系统的SPICE电路。
SPICE 仿真结果与数值分析一致，这进一步显示了该超混沌系统的混沌产生能力。
关键词:忆阻器,超混沌系统,混沌吸引子,电路实现1 引言忆阻器（Memristor）是一种非线性无源元件，具有非线性和非易失性。
几年来的研究工作取得了可喜的进展，各种基于忆阻器的应用成为了研究的热点。
2008 年，惠普实验室的科学家在《Nature》上发表论文宣称，成功制成了第一个物理实现的忆阻器[1]，证实了37 年前加州大学蔡少棠（Leon O. Chua）教授的推测[2]。
此后，忆阻器受到了广泛的关注和研究。
忆阻器的体积小，功耗低，因此忆阻器是混沌中非线性电路部分的理想选择[3]，各种基于忆阻器的混沌系统得到了研究人员的密切关注[4-7]。
基于忆阻器的混沌系统应当具有以本项目受到新世纪优秀人才支持计划（教技函［2013］47号）, 国家自然科学基金(61372139, 61101233, 60972155)，教育部“春晖计划”科研项目（z2011148）,留学人员科技活动项目择优资助经费（国家级, 优秀类, 渝人社办〔2012〕186号）, 重庆市高等学校优秀人才支持计划（渝教人〔2011〕65号）,重庆市高等学校青年骨干教师资助计划（渝教人〔2011〕65号）,中央高校基本科研业务费专项资金(XDJK2014A009, XDJK2013B011）的资助。
作者简介：尹玮宏（1987-），男，湖南邵阳人，研究生，主要从事非线性电路与系统的研究。
*通信作者: 王丽丹，教授，硕士生导师，现任电子信息工程学院副院长，重庆市高等学校青年骨干教师资助计划获得者。
主要从事智能信息处理、智能控制器、非线性电路与系统、忆阻器件及忆阻系统等领域研究，先后主持主研国家自然科学基金、中国博士后基金特别资助项目等项目20余项，发表SCI/EI检索论文40余篇，联系邮箱：ldwang@。
下四个方面的优势:（1）忆阻器有着纳米级的尺寸,其作为混沌系统的非线性部分，系统的物理尺寸可以大大减小；（2）忆阻器的阻值能随着磁通或电荷的变化而变化，其伏安特性曲线能够通过零点，可以得到各种丰富的非线性曲线,提高混沌系统的复杂度和信号的随机性；（3）大多忆阻材料与CMOS工艺兼容，可以将忆阻器和传统电路紧密结合，通过简单封装就可提供丰富的随机信号，能量的消耗必然会减小；（4）忆阻器是模拟电路元器件，其混沌系统可以产生真正的混沌模拟信号，从而用于混沌保密系统的设计和应用中。
混沌系统被普遍认为在信息加密领域具有广阔的应用前景。
在军事科技领域，混沌不仅可以用于保密通信还可以用于雷达波型的设计等[8]。
近些年，研究人员对各种混沌做出了研究[9-14]。
超混沌概念由Rossler提出，并给出了超混沌Rossler系统[15]。
超混沌系统有两个或两个以上正的Lyapunov指数，其吸引子具有难以识别的拓扑结构，动力学行为要比一般的混沌系统更加复杂难以预测，其在通信加密及信息安全领域具有更高的实用价值。
高维混沌系统具有更复杂的动力学行为以及更好的随机性，一般低维的破译方法，如相空间重构、回归映像和非线性预测等很难破译超混沌加密的信息。
不同于有源磁控忆阻混沌电路[16]，本文基于有着真实的物理模型的HP忆阻器[17]，在Lü系统基础上，构建了一个全新的超混沌系统。
此混沌系统依赖于忆阻器的初始状态，有着复杂的特殊的动力学现象，如状态转移等非线性物理现象。
本文先分析了忆阻器的基本模型，然后构建新的混沌系统，对该系统进行了数值分析。
建立了磁控忆阻器的SPICE模型，通过SPICE软件设计混沌电路，对前面数值进行分析验证。
2 HP忆阻器基本模型HP忆阻器是由两层二氧化钛薄膜夹在两个铂片（Pt）电极之间构成的：一层是绝缘的二氧化钛层（TiO2），钛氧元素比是1:2。
另一层是有导电能力的缺失了部分氧原子的二氧化钛层（TiO2-X）。
当有外加偏压时,缺氧原子的那层会在电场的作用下发生离子漂移，从而引起绝缘层和导电层中厚度的变换，也从而改变了忆阻器的有效阻值。
图1 HP实验室的忆阻器物理模型HP忆阻器的数学模型有电荷控制模型和磁通控制模型[14]，其中电荷控制模型可表示为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=2211)(,)(),()0()(,)(a t q R a t q a t kq M a t q R t M ONOFF(1)其中,q (t )表示的是电荷的值，a 1,a 2,a 3,a 4和K 的表达式如下：(2) 此外，磁通控制的忆阻器模型可以表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=66525)(,)(,)0()(2)(,)(a t R a t a M t k a t R t M ONOFF ϕϕϕϕ (3)其中， φ(t )表示磁通的值，电荷和磁通的关系如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤-+<-=6465253)(,)()(,)0()0()(2)(,)()(a t R a t a t a k M M t k a t Ra t t q ON OFFϕϕϕϕϕϕ (4)从（1）到（4），其中M (t )表示忆阻器的值，R ON 和R OFF 分别表示忆阻器的极限值，M (0)表示初始值，W (t )是依时间而变化的TiO 2-X 厚度，而D 是薄膜的厚度。
R ON 是当W (t )等于0时候的值，R OFF 是当W (t )等于D 时候的值，U v 表示氧空缺的平均移动量。
M2M1M2(a) (b)图2 两个串联忆阻器电路模型x 10-44q,CM 1, O h mx 10-44q,CM 2, O h m(a) (b)x 10-44q,CM 1+M 2, O h mx 10-44q,CM 1-M 2, O h m(c) (d)图3忆阻器阻值随电荷变化的关系曲线3基于忆阻器的超混沌系统Lü系统[18]的状态方程为x (),,,a y x y by xz z xy cz =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩(5) 式中a =36, b =20, c =3,系统有一个正的Lyapunov 指数。
在Lü系统的状态方程上做些变换，并加入忆阻器的磁通变量，得到一个新的四维超混沌系统。
基于忆阻器的超混沌系统的状态方程为(0.5),,,(||),x a y x w y bx xz y z xy cz w y q x =-+⎧⎪=-+⎪⎨=-⎪⎪=+-⎩ (6) 该系统由于忆阻器的加入，加剧了各个变量间的相互影响，平衡点要受到初始条件的影响，而且有着较大的混沌范围，动力学特性变得更复杂。
其中，x ， y ， z 和 w 是系统的状态变量， a ，b , c 是参数。
ｘ表示的是输入忆阻器的磁通， 从文献[14]可知忆阻器的电荷和磁通有（7）式所示关系。
355646()OFFONx a x a R q x a a x a a R -⎧<⎪=≤<⎪-⎪≥⎪⎪⎩x x (7) 其中,222256(0)(0)22OFF ON R M R M a a k k--==，。
当a =15, b =5,c =0.9，忆阻器的初始状态为R OFF =20K Ω， R ON =100Ω，M = 16KΩ，D =10nm ，u v =10-14m 2s -1v -1，并选择初始状态（x , y , z , w ）=(0,1,0,0)，得到的混沌吸引子如图4所示，图中表示各状态变量之间在平面上的投影，呈现出两个涡卷混沌吸引子。
-15-10-5051015xyxz(a) x-yxwx yw(c) x-w (d) x-y-w图4图(a)、(b)、(c)分别表示x-y ，x-z 和x-w 在相平面上的投影，图(d)表示状态变量x-y-w 在相空间的投影。
对混沌系统进行动力学分析是研究混沌的重要方法，该部分分析了系统的Lyapunov 指数，功率谱和分岔图。
A ．Lyapunov 指数及时域波形Lyapunov 指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。
对于系统是否存在动力学行为，可以从最大Lyapunov 指数是否大于零，非常直观的判断出来，指数越大，混沌特性越明显，混沌程度越高。
该系统的Lyapunov 指数谱如图5所示。
L y a p u n o v e x p o n e n t st图5 混沌系统Lyapunov 指数在（6）式的混沌系统中,利用Jacobi 方法计算出Lyapunov 指数。
这种方法的基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解，然后对系统的Jacobi 矩阵进行QR 分解，计算Jacobi 矩阵特征值的乘积，最后计算出Lyapunov 指数和分数维。
取t =2000，得L 1= 2.0223，L 2= 0.4404，L 3= -2.6747， L 4= -14.6848，Lyapunov 维数D L =2.9856。
其中有两个正的Lyapunov 指数，从相轨迹图、实域波形、以及Lyapunov 指数和维数可以看出该系统是超混沌系统。
100200300400500-20020x100200300400500-20020y 0100200300400500-20020z-50050w t/s图6各状态变量在时域的波形得四个状态变量的时域波形如图6所示，它们都是非周期性的，而且有状态转移行为。
这种跳变行为增加了混沌的复杂度，状态转移行为也是超混沌系统一种特有的现象。
B ．功率谱功率谱分析也是一个重要的观察分叉和混沌的方法。
一个混沌系统是非周期的，它的功率谱是连续的，还带有一系列的峰值。
图7显示了该忆阻混沌系统的功率谱。
010002000300040005000P o w e r S p e c t r u m d BFrequency Hz图7混沌系统（6）的功率谱C ．分岔图分岔图表示非线性系统一个差数变化时的系统动力学特性，系统的状态随着参数状态的变化而变化，例如双周期混沌变化。