振动力学第二章23节讲课课件
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振动力学第二章课件
I 0 kn
其中 I 0 —— 圆盘对中心轴的转动惯量
k n —— 圆轴的抗扭弹簧常数
固有频率 则
pn kn I0
2 n
kn
I0
0 sin pnt
图2-4 扭振系统
p 0
0 cos pnt
pn
扭振系统的振动微分方程与单自由度弹簧质量振动系统的微 分方程的形式完全相同，它们的振动特性也完全相同。因此 归为单自由度弹簧质量振动系统进行讨论。
k k1 k2
5
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第二章 单自由度系统的振动
2、 串联弹簧
( st )1 ( st ) 2 st
F1 F2 mg
k1
F1 k1 ( st )1 F2 k2 ( st ) 2
( st )1 mg mg ( st ) 2
k1 k2
x0 x x0 cos pnt sin pnt 或x A sin( p t ) n pn
An p x arctg( n 0 ) x0 2 x0 x 2 pn
2 0
3
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第二章 单自由度系统的振动
二、 周期、频率和圆频率（只与系统本身有关）
太原科技大学应用科学学院
第二章 单自由度系统的振动
1 T I B 2 2 1 2 2 V kb 2
d (V T ) 0 dt
1 1 2 I B 2k b2 0 2 2
k b2 0 IB
pn
kb 2 IB
习题2-1 2-3 2-5 2-6
§2-4 有阻尼系统的衰减振动 干摩擦:与压力成正比 （库仑阻尼） 外阻尼
《振动力学基础》课件
非耦合振动
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
振动力学教程PPT课件
动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
第22页/共35页
第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
第23页/共35页
第24页/共35页
船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
第12页/共35页
2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
第9页/共35页
5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动
2023年新教材高中物理第2章机械振动2简谐运动的描述课件新人教版选择性必修第一册
内的位移等于零
描述简谐运动的物理量
例1 弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10
cm，由B→C运动时间为1 s，则
()
A．从B开始经过0.25 s，振子通过的路程是2.5 cm B．经过两次全振动，振子通过的路程为80 cm C．该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm D．振动周期为2 s，振幅为10 cm
3．当 t2－t1＝nT＋14T 或 t2－t1＝nT＋34T 时，若 t1 时刻物体在平衡位 置，则 t2 时刻物体到达最大位移处；若 t1 时刻物体在最大位移处，则 t2 时刻物体到达平衡位置．
例4 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则
()
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则
2．周期和频率
(1)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的_时__间___，用T
表示，单位为秒(s)． (2)频率：物体完成全振动的___次__数___与所用时间之比，用f表示，
单位为赫兹(Hz)．
1
(3)周期T与频率f的关系：f＝____T____.
(4)物理意义：周期和频率都是表示物体_____振__动__快__慢___的物理量，
变式 3 有一弹簧振子在水平方向上的 B、C 两点之间做简谐运动， 已知 B、C 间的距离为 20 cm，振子在 2 s 内完成了 10 次全振动．若从
某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过14周期振子有负向最大 位移．
(1)求振子的振幅和周期； (2)画出该振子的位移—时间图像； (3)写出振子的位移随时间变化的关系式． 【答案】(1)10 cm 0.2 s (2)图见解析 (3)x＝10sin(10πt＋π) cm
理论力学经典课件-振动
此即梁- 此即梁-物块的运动微分方程
y = Asin ωnt +θ) (
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度 1. 串 联
mg m g δst1 = δst2 = k1 k2 1 1 δst =δst1 +δst2 = mg( + ) k1 k2
k1 k1 k2
mg δst = keq
k2
mg
mg
1 1 1 = + keq k1 k2
利用初始条件
m
O
x(0) = 0,
求得
x(0) = v(0) = v
x
θ =0
A= v
ωn
= 0.0127m
x = 0.0127sin 19.63t
(2)钢丝绳承受的最大张力. 钢丝绳承受的最大张力. 取重物为研究对象
x = 0.0127sin 19.63t
W F = m = m ωn si ωnt x A 2 n T F =W +m ω si ωnt A n T
2 n
k
静平衡位置
m
FT x m
W
O
F m =W +m ω = m g + A ) A ( ω T ax
2 n 2 n
x
=88.2kN
例题2
均质等截面悬臂梁, 均质等截面悬臂梁,长度为 l, 弯曲刚度为EI. 弯曲刚度为EI.梁的自由端放置 一质量为m的物块. 一质量为m的物块.若不计梁的 质量.试写出梁- 质量.试写出梁-物块系统的运 动微分方程. 动微分方程. 考察梁和物块所组成的 系统. 系统.以物块铅垂方向的 q=y, 位移作为广义坐标 q=y,坐 标原点O 标原点O设在梁变形后的 平衡位置, 平衡位置,这一位置与变 形前的位置之间的距离, 形前的位置之间的距离, 即为物块静载作用下的挠 亦即静挠度, 度,亦即静挠度,用yst表 示.
y = Asin ωnt +θ) (
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度 1. 串 联
mg m g δst1 = δst2 = k1 k2 1 1 δst =δst1 +δst2 = mg( + ) k1 k2
k1 k1 k2
mg δst = keq
k2
mg
mg
1 1 1 = + keq k1 k2
利用初始条件
m
O
x(0) = 0,
求得
x(0) = v(0) = v
x
θ =0
A= v
ωn
= 0.0127m
x = 0.0127sin 19.63t
(2)钢丝绳承受的最大张力. 钢丝绳承受的最大张力. 取重物为研究对象
x = 0.0127sin 19.63t
W F = m = m ωn si ωnt x A 2 n T F =W +m ω si ωnt A n T
2 n
k
静平衡位置
m
FT x m
W
O
F m =W +m ω = m g + A ) A ( ω T ax
2 n 2 n
x
=88.2kN
例题2
均质等截面悬臂梁, 均质等截面悬臂梁,长度为 l, 弯曲刚度为EI. 弯曲刚度为EI.梁的自由端放置 一质量为m的物块. 一质量为m的物块.若不计梁的 质量.试写出梁- 质量.试写出梁-物块系统的运 动微分方程. 动微分方程. 考察梁和物块所组成的 系统. 系统.以物块铅垂方向的 q=y, 位移作为广义坐标 q=y,坐 标原点O 标原点O设在梁变形后的 平衡位置, 平衡位置,这一位置与变 形前的位置之间的距离, 形前的位置之间的距离, 即为物块静载作用下的挠 亦即静挠度, 度,亦即静挠度,用yst表 示.
振动力学课件
振动的基本理论
F(t)
f0
已知周期函数如图1-6所示 所示， 例1-1 已知周期函数如图 所示， 试对其作谐波分析 解： 0<t <π f
F (t ) = − f0
0
−2π
−π
π
2π
t
π < t < 2π
a0 =
an =
bn =
1
π
1
∫
0
2π
−f0
0
F (t ) dt = 0
图1-6 周期性矩形波 πbn
τ τ
2 2
试求图1-8所示的单个矩形脉冲的频谱图 例 1-2 试求图 所示的单个矩形脉冲的频谱图 τ 解： 0 − ∞ < t < −
− < t <
τ
2
2
E
τ
2
−
τ
2
t
< t < +∞
G (ω ) =
∫
τ
2
−τ 2
Ee − jω t dt =
+∞ −∞
2E
ω
sin
ωτ
2
jω t
图1-8 矩形脉冲示意图
An
ϕn
A1 A2
A3
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ω1 2ω 1 3ω 1
nω1
ω 1 2 ω 1 3ω 1
nω 1
相位频谱图 幅值频谱图 频谱分析：利用频谱说明组成函数的简谐成分,反映该周期函 频谱分析：利用频谱说明组成函数的简谐成分 反映该周期函 数的特性方法。 数的特性方法。
10 太原科技大学应用科学学院
第一章
t 0
∞ − st 0
振动的基本知识PPT课件
第7页/共58页
振动的时域参数计算
• 瞬时值 (Instant value) 振动的任一瞬时的数值。
x = x(t)
• 峰值 (Peak value)
xp
振动离平衡位置的最大偏离。
• 平均绝对值 (Aver. absolute
xav
1 T
T
x dt
0
value) • 均值 (Mean value)
• 有效值
xrms=0.707A
• 平均值
对非简谐振动，上述关系splacement (distance) – mils or micrometers, m
• Velocity (speed - rate of change of displacement) – in/sec or mm/sec
本章内容
• 简谐振动三要素 • 振动的时域描述 • 振动的频域描述 • 系统对激励的响应 • 单自由度系统 • 多自由度系统 • 自由振动，模态 • 强迫振动，共振 • 幅频响应和相频响应
•振动测量框图 •传感器及其选用 •旋转机械振动测量的 • 几个特殊问题 • 相位和基频的测量 • 波德图和极坐标图 • 三维频谱图 • 轴心轨迹和轴心位置图 • 摆振信号来源及其补偿
• 以参考脉冲后到第一个正峰值的转角定义振动相位，即a。
• 振动相位直接和转子的转动角度有关，在平衡和故障诊断中 有重要作用。
• 参考脉冲也用于测量转子的转速。
第43页/共58页
振动相位
• The relationship of the movement of part of a machine to a reference – for example the position of the shaft as it rotates
振动的时域参数计算
• 瞬时值 (Instant value) 振动的任一瞬时的数值。
x = x(t)
• 峰值 (Peak value)
xp
振动离平衡位置的最大偏离。
• 平均绝对值 (Aver. absolute
xav
1 T
T
x dt
0
value) • 均值 (Mean value)
• 有效值
xrms=0.707A
• 平均值
对非简谐振动，上述关系splacement (distance) – mils or micrometers, m
• Velocity (speed - rate of change of displacement) – in/sec or mm/sec
本章内容
• 简谐振动三要素 • 振动的时域描述 • 振动的频域描述 • 系统对激励的响应 • 单自由度系统 • 多自由度系统 • 自由振动，模态 • 强迫振动，共振 • 幅频响应和相频响应
•振动测量框图 •传感器及其选用 •旋转机械振动测量的 • 几个特殊问题 • 相位和基频的测量 • 波德图和极坐标图 • 三维频谱图 • 轴心轨迹和轴心位置图 • 摆振信号来源及其补偿
• 以参考脉冲后到第一个正峰值的转角定义振动相位，即a。
• 振动相位直接和转子的转动角度有关，在平衡和故障诊断中 有重要作用。
• 参考脉冲也用于测量转子的转速。
第43页/共58页
振动相位
• The relationship of the movement of part of a machine to a reference – for example the position of the shaft as it rotates
振动基础知识PPT课件
障诊断中有重要作用。
2021/3/7
CHENLI
43
旋转机械的振动图示 (定转速)
2021/3/7
波形图 (Wave)
时间域内的振动波形
频谱图 (Spectrum)
组成振动的各谐波成分
轴心轨迹 (Orbit)
转轴中心的振动轨迹，由水平和铅垂两 方向波形合成
CHENLI
44
波形图、频谱图及轴心轨迹
峰值，单位为米/秒2（m/s2）
2021/3/7
CHENLI
8
振动信号的频率分析
把振动信号中所包含的各种频率成分分别分解出来 的方法。 频率分析的数学基础是傅里叶变换和快速傅里叶算 法（FFT）。 频率分析可用频率分析仪来实现，也可在计算机上 用软件来完成。 频率分析的结果得到各种频谱图，这是故障诊断的 有力工具。
2021/3/7
CHENLI
12
单自由度振动系统
确定系统运动所需的独立坐标数称为系统的自由度
2021/3/7
CHENLI
13
多自由度振动系统
2
5
3
6
2
图中数字为系统的自由度数
2021/3/7
CHENLI
14
振动系统的模态
单自由度系统有一个 模态 模态参数为：
固有频率
（模态频率）
阻尼比
（模态阻尼）
测量非转动部件的绝对 振动的速度。 不适于测量瞬态振动和 很快的变速过程。 输出阻抗低，抗干扰力 强。 传感器质量较大，对小 型对象有影响。
CHENLI
29
典型的磁电速度传感器及其特性
2021/3/7
CHENLI
30
压电加速度传感器
大学物理上册振动课件
3、旋转矢量合成法（几何法）
振动
同方向同频率的两个简谐振动的合成
振动
A2
AA 1A2
20
A1
0
10
x1
x2
x
x
O
xAcots(0)
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s 0(1)0 tg0A A11csoin11s00 A A22scion220s0
A A3
3
x
A2
2
1 A1
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
振动
*二. 同方向不同频率简谐振动的合成
分振动 x1Aco1 st (0)
x2A co2 st (0)
合振动 xx1x2
x 2 A co22 s1 ()tco22 s1 (t0 )
AA1A2 两分振动相互减弱
如 A1=A2 , 则 A=0
振动
多个同方向同频率简谐运动的合成
x 1 A 1 co t s1 ) ( x 2 A 2 co t s2 ) (
x n A ncot sn ( )
x x 1 x 2 x n
xA co ts () o
合振动不是简谐振动
振动
x 2 A co 22 s 1 ()tco 22 s 1 (t 0)
当21时,21 21 则： xA(t)cost
式中 A(t)2Aco s2(1)t
2
c ostc o s2(1)t
2
随t 缓变 随t 快变
某一时刻
E =Ek+Ep
vA si n t (0)
xAcost(0)
Ek
振动
同方向同频率的两个简谐振动的合成
振动
A2
AA 1A2
20
A1
0
10
x1
x2
x
x
O
xAcots(0)
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s 0(1)0 tg0A A11csoin11s00 A A22scion220s0
A A3
3
x
A2
2
1 A1
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
振动
*二. 同方向不同频率简谐振动的合成
分振动 x1Aco1 st (0)
x2A co2 st (0)
合振动 xx1x2
x 2 A co22 s1 ()tco22 s1 (t0 )
AA1A2 两分振动相互减弱
如 A1=A2 , 则 A=0
振动
多个同方向同频率简谐运动的合成
x 1 A 1 co t s1 ) ( x 2 A 2 co t s2 ) (
x n A ncot sn ( )
x x 1 x 2 x n
xA co ts () o
合振动不是简谐振动
振动
x 2 A co 22 s 1 ()tco 22 s 1 (t 0)
当21时,21 21 则： xA(t)cost
式中 A(t)2Aco s2(1)t
2
c ostc o s2(1)t
2
随t 缓变 随t 快变
某一时刻
E =Ek+Ep
vA si n t (0)
xAcost(0)
Ek
2021年新教材高中物理第二章机械振动2简谐运动的描述课件新人教版选择性必修第一册ppt
(2)若t2-t1=nT+ T(n=0,1,2,…),则t1、t2两时刻,物体的x、v均
大小相等,方向相反.
(3)若t2-t1=nT+ T(n=0,1,2,…)或t2-t1=nT+ T(n=0,1,2,…),则
当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;
当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;
大小又是多少?
答案:弹簧振子的振幅A等于OM的长度.
4A
0
4.有同学认为小球离开平衡位置的最大位移就是振幅A,
这种说法正确吗?为什么?
答案:不正确.位移是矢量,振幅是一个标量,是振动物体离
开平衡位置的最大距离,不能说最大位移就是振幅.但小
球离开平衡位置的最大位移的大小等于振幅.
过程建构
简谐运动中的位移、振幅和路程
项目
位移
振幅
路程
概念
由平衡位置指向振
动物体所在位置的
有向线段
振动物体离开平衡
位置的最大距离
振动物体移动的
路径的长度
符号
单位
标矢性
矢量
变化
关系
随时间做周期性变
化
数值
关系
数值上,振幅与振动物体的最大位移大小
相等
x
A
m、cm等
标量
在同一振动中是确
定的
s
标量
随时间不断增大
—
【典例1】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简
谐运动,B、C相距20 cm,某时刻振动物体处于B点,经过0.5 s,
振动物体首次到达C点.求:
(1)振动物体的振幅;
演示文稿大学物理(振动学)
x) 0
kx
斜放
3
第三页，共23页。
2 简谐振动的微分方程
（动力学方程）
F
k
m
F kx ma
0
x
x
a k x
m
又
d2x a
令
2 k
dt 2
m
d 2 x 2 x 0 (a 2 x)
dt 2 4
第四页，共23页。
3 简谐振动的运动方程 （振动方程）
x Acos(t )
d 2 x 2 x 0 dt 2
0 条件
x0=A cos
0 A sin
确定的方法：
由 x0 ,的0 正负，根据 x0=Acos 或 0 A sin
确定 cos或sin的正、负， 从而确定所在的象限
第十二页，共23页。
x Acos(t )
A sin(t )
A
x02
2 0
2
x cos 0
A
sin 0 A
（2）证明一种振动是简谐振动的一般步骤
a）确定研究对象，找平衡位置 b）建立以平衡位置为原点的坐标系
c）进行受力分析
d）利用牛顿定律或转动定律写出物体在任一位置 的
动力学方程
e）根据判据判断该振动是否为简谐振动 7
第七页，共23页。
二 描述简谐振动的物理量
x Acos(t )
21、周振期幅：频表率示物圆体频离开率平衡位回置到的原来最的大运距动离状—态—Ar
T
8
弹
簧 振 子
k m
T 2 2 m
k
1 1 T 2
k m
求一个振动系统固有ω、T、 的方法
(1) 建立振动系统的微分方程
高二物理ppt课件 机械振动课件2
②回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就 是平衡位置(沿圆弧振动时，物体经平衡位置回复力为零，但 合力不为零)． (3)举例说明：如图①所示，水平方向的弹簧振子，弹力 充当回复力；如图②所示，竖直方向的弹簧振子弹力和重力的 合力充当回复力；如图③所示，m随M一起振动，m的回复力 由静摩擦力提供．
4．判断物体的振动是否为简谐运动的具体步骤 (1)找出振动的平衡位置． (2)让质点沿振动方向偏离平衡位置的位移为x. (3)对物体进行受力分析． (4)规定正方向，求出指向平衡位置的合力，判断是否符 合F＝－kx关系． 二、简谐运动中各物理量的变化规律
振子以O为平衡位置在AB之间做简谐运动，各物理量的 变化规律为：
弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，A和B在 光滑水平面上往复运动(不计空气阻力)，并保持相对静止．则 下列说法正确的是( )
A．A和B均做简谐运动 B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比 C．B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不 做功 D．B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦 力对B做负功
2．简谐运动的动力学特征：回复力F＝－kx (1)回复力F＝－kx中的k是比例系数，并非弹簧的劲度系 数，其值由振动系统决定．对水平弹簧振子，回复力仅由弹簧 弹力提供，k即为劲度系数，由弹簧决定，与振幅无关，其单 位是N/m.
(2)回复力的大小跟位移大小成正比，“－”号表示回复 力的方向与位移的方向相反． kx 3．简谐运动的运动学特征：a＝－ m (1)简谐运动是一种变加速的往复运动，“－”号表示加 速度a的方向与位移x的方向相反． (2)一个物体是否做简谐运动，就是看它是否满足简谐运 动的受力特点或运动特征，即回复力是否满足F＝－kx或加速 k 度是否满足a＝－mx.
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系统最大势能：
Vmax
1 2
kxm2 ax
xmax 0 xmax
0
k m mt
若忽略 m t ，则 0 增大
因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限.
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单自由度系统自由振动－瑞利法
•
s
k
ds
l
m
x
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单自由度系统自由振动－瑞利法
•
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单自由度系统自由振动－瑞利法
1 2
M e x2
V
1 2
Kex2
当 x、 x分别取最大值时： T Tmax
V Vmax
则可得出： 0 K e / M e
Ke：简化系统的等效刚度； Me：简化系统的等效质量。
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
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单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
动能 T 1 ml22
•
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单自由度系统自由振动－瑞利法
小结：
瑞利法的概念:
在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简 谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替 分布质量，计算其动能，即
T 1 mx2 2
从而计算系统固有频率。因此，瑞利法，基于能量法，用 于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。
方向上施加的力，叫做学习系交流统PPT在这个坐标上的等效刚度。
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单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：并联系统
在质量块上施加力 P
两弹簧变形量相等：
受力不等：P1 k1 P2 k2
k1
m
k2
k1
k2
P m
由力平衡： P P 1P 2(k 1 k2)
根据定义： Ke Pk1k2
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。
1 4
k1
m
x
k2
02
2k1 8k2 3M8m
K / M 学习交流PPT
0
e
e
15
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
方法2：定义法
等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度。
等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量 。
单自由度系统自由振动
第二章 单自由度系统自由振动
• 弹簧质量系统的固有振动和自由振动
• 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 有粘性阻尼的自由振动
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单自由度系统自由振动－瑞利法
• 瑞利法
概目念的：为考考虑虑系系统统中中弹弹性性元元件件的的质质量量所所具具有有的的动动能能，利用 动 方法：能利计用算动将能弹计性算元将件弹的性分元布件质的量分等布效质为量集等中效质为量集加中在质原量
•
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单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
小结
1）能量法
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
等效刚度：
Ke
k1
l32 l12
k2
0 Ke / M e
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单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
解法2：定义法
设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P
则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩： k2
PM 1le (mP11)m l11(m ll12222m2ll12)l2
设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P
2
Me ml2
零势能位置1
m
k/2
k/2
l a
势能 V1(ka2mg)l2
2
Ke ka2 mgl
0
ka2 mgl ml2
K / M 学习交流PPT
0
e
e
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单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
动能 T1(m3M)x2 28
Me
m 3 M 8
k1
R
势能 U12(k214k1)x2
M
Ke
k2
来加惯在性原元来件惯的性集元中件质的量集上中，质作量为上单，自作由为度单系自统由处度理系， 从而得到更精确的固有频率的近似值。
统处理。
0
x
k
m
0 k/m
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单自由度系统自由振动－瑞利法
例如：弹簧质量系统
设弹簧的动能:
Tt
1 2
mt
x2
mt
弹簧等效质量
系统最大动能：
0
x
k mt
m
Tma x 12mx m 2 ax 12mtx m 2 ax12(mmt )xm2 ax
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单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动 • 等效粘性阻尼
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单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
• 等效质量和等效刚度
方法1：能量法
选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成如下形式：
T
•
s
k
ds
l
m
x
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单自由度系统自由振动－瑞利法
•
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单自由度系统自由振动－瑞利法
例：图为一均质等直简支梁，中央处有一集中质量m,计算考虑
梁的质量时系统的固有频率和梁的等效质量。
m
x
l/2
l/2
x
dx
y
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单自由度系统自由振动－瑞利法
•
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单自由度系统自由振动－瑞利法
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标
方向上施加的力，叫做学习系交流统PPT在这个坐标上的等效刚度。
18
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：杠杆系统
杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：
l3
l1
l2
m1
x
k2
m2
k1
求： 系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
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单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：串联系统
在质量块m上重力与外力的合力为 P
k1
弹簧1变形： 1
P k1
弹簧2变形： 2
P k2
总变形：
12
(11)P k1 k2
根据定义：
Ke
P
k1k2 k1 k2
或
k2
m P
1 11
Ke k1 k2
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
解法1：能量法
动能： T12m1x 212m2(ll12 x )2
12(m1
l22 l12
m2)x2
k2
等效质量：
Me
m1
l22 l12
m2
l3 l2
m2
l1
m1
x
k1
势能：
V12k1x212k2(ll13
x)2
1 2(k1
l32 l12
k2)x2
固有频率：
则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：
PK1le (kP11)lk11(llk13222k2ll13)l3
k
2
l3 l1
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l3 l2
m2
l1
m1
x
k1
m
2
l2 l1
P
x1
m1 1
P x 1
k1 1
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单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
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单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度