2019年河南省新乡市封丘县城关镇初级中学中考数学二模试卷(解析版)

2019年河南省新乡市封丘县城关镇初级中学中考数学二模试卷一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是（）A．0B．C．πD．﹣12．下面是同学们利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（）A．x2﹣3x2＝﹣2x4B．（﹣3x2）2＝6x2C．x2y•2x3＝2x6y D．6x3y2÷（3x）＝2x2y25．利用数轴求不等式组的解集表示正确的是（）A．B．C．D．6．某车间20名工人每天加工零件数如表所示：这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（ ）A ．5，5B ．5，6C ．6，6D ．6，57．已知点A （1，y 1）、B （2，y 2）、C （﹣3，y 3）都在反比例函数y ＝的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 28．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点C 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N，作直线MN交AB于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．若∠B ＝34°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．68°B ．112°C ．124°D ．146°10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2018次得到正方形OA 2018B 2018C 2018，如果点A 的坐标为（1，0），那么点B 2018的坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（0，）C ．（）D ．（﹣1，1）二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．计算：（﹣5）0+2＝ ．12．如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝16cm 2，S △BQC ＝25cm 2，则图中阴影部分的面积为 cm 2．13．如图所示，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴相交于点A ，B ，若其对称轴为直线x ＝2，则OB ﹣OA 的值为 ．14．如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，若的长为π，则图中阴影部分的面积为 ．15．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE ＝3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处．若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 ．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）先化简再求值：，其中x是方程x2＝2x的根．17．（9分）2018年平昌冬奥会在2月9日到25日在韩国平昌郡举行．为了调查中学生对冬奥会比赛项目的了解程度，某中学在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A、非常了解B、比较了解C、基本了解D、不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．（1）本次调查的样本容量是，n＝；（2）请补全条形统计图；（3）学校准备开展冬奥会的知识竞赛，该校共有4000名学生，请你估计这所学校本次竞赛“非常了解”和“比较了解”的学生总数．18．（9分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O 于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC＝∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．19．（9分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）20．（9分）如图，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），OABC为矩形，反比例函数的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF＝12，CF＝13．（1）求反比例函数和直线OE的函数解析式；（2）求四边形OAFC的面积？21．（10分）某学校计划购买排球、篮球，已知购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；3个排球与2个篮球的总费用为420元．（1）求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元？（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共60个，并且篮球的数量不超过排球数量的2倍．求至少需要购买多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值？22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．23．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A，C （A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．（1）求直线BC的函数表达式；（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD 的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值；（3）如图2，若点G与点B关于抛物线对称轴对称，直线BG与y轴交于点M，点N是线段BG上的一动点，连接NF，MF，当∠NFO＝3∠BNF时，连接CN，将直线BO绕点O旋转，记旋转中的直线BO为B′O，直线B′O与直线CN交于点Q，当△OCQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．2019年河南省新乡市封丘县城关镇初级中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜＜π，故给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是﹣1．故选：D．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【解答】解：A、既是轴对称图形又是对称图形，故选项正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可．【解答】解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．故选：A．【点评】此题主要考查了三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．4．【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式的乘除法逐一计算可得．【解答】解：A、x2﹣3x2＝﹣2x2，此选项错误；B、（﹣3x2）2＝9x4，此选项错误；C、x2y•2x3＝2x5y，此选项错误；D、6x3y2÷（3x）＝2x2y2，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式的乘除法法则．5．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：，由①得：x≤1，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，表示在数轴上，如图所示：，故选：D．【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6．【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．【解答】解：由表知数据5出现次数最多，所以众数为5；因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为＝6，故选：B．【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．7．【分析】分别把各点代入反比例函数的解析式，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．【解答】解：∵点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，∴，，，∵﹣2＜3＜6，∴y3＜y2＜y1，故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8，所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率为＝，故选：B．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．9．【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，∴∠A＝56°，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝56°，∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°，∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，故选：B．【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．10．【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【解答】解：∵四边形OABC 是正方形，且OA ＝1，∴B （1，1），连接OB ，由勾股定理得：OB ＝，由旋转得：OB ＝OB 1＝OB 2＝OB 3＝…＝， ∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，依次得到∠AOB ＝∠BOB 1＝∠B 1OB 2＝…＝45°，∴B 1（0，），B 2（﹣1，1），B 3（﹣，0），…，发现是8次一循环，所以2018÷8＝252 (2)∴点B 2018的坐标为（﹣1，1）故选：D ．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．【分析】根据非0实数的0次幂等于1进行计算．【解答】解：（﹣5）0+2＝3．【点评】本题综合考查实数的基础运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是非0数的0次幂都是1这一知识点．12．【分析】连接E 、F 两点，由三角形的面积公式我们可以推出S △EFC ＝S △BCQ ，S △EFD ＝S △ADF ，所以S △EFG ＝S △BCQ ，S △EFP ＝S △ADP ，因此可以推出阴影部分的面积就是S △APD +S △BQC ．【解答】解：连接E 、F 两点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等，∴S △EFC ＝S △BCF ，∴S △EFQ ＝S △BCQ ，同理：S △EFD ＝S △ADF ，∴S △EFP ＝S △ADP ，∵S △APD ＝16cm 2，S △BQC ＝25cm 2，∴S 四边形EPFQ ＝41cm 2，故答案为：41．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，题目综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．13．【分析】先A （x 1，0），B （x 2，0），可知x 1、x 2是方程ax 2+bx +c ＝0的两个根，根据对称轴得：b ＝﹣4a ，由根与系数的关系可计算OB ﹣OA 的值．【解答】解：设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx +c ＝0的两个根，∵抛物线的对称轴是：x ＝2，∴﹣＝2，∴b ＝﹣4a ，由图可知：x 1＜0，x 2＞0，∴OB ﹣OA ＝x 2﹣（﹣x 1）＝x 2+x 1＝﹣＝﹣＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数图象对称轴、一元二次方程根与系数的关系，属于基础题，关键是结合图象进行解题．14．【分析】连结AC ，如图，设半径为r ，先根据切线的性质得∠ACD ＝90°，再根据平行四边形的性质得AB ∥CD ，AD ∥BC ，则∠CAF ＝90°，∠1＝∠B ，∠2＝∠3，利用∠B ＝∠3易得∠1＝∠2＝45°，则根据弧长公式可得＝π，解得r ＝4，然后根据扇形面积公式，利用S 阴影部分＝S △ACD ﹣S 扇形CAE 进行计算即可．【解答】解：连结AC ，如图，设半径为r ，∵AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，∴AC ⊥CD ，∴∠ACD ＝90°，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠CAF ＝90°，∠1＝∠B ，∠2＝∠3，而AB ＝AC ，∴∠B ＝∠3，∴∠1＝∠2＝45°，∵的长为π，∴＝π，解得r ＝4，在Rt △ACD 中，∵∠2＝45°，∴AC ＝CD ＝4，∴S 阴影部分＝S △ACD ﹣S 扇形CAE ＝×4×4﹣＝8﹣2π，故答案为：8﹣2π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质和扇形的面积公式．15．【分析】根据翻折的性质，可得B ′E 的长，根据勾股定理，可得CE 的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．【解答】解：（i ）当B ′D ＝B ′C 时，过B ′点作GH ∥AD ，则∠B ′GE ＝90°，当B′C＝B′D时，AG＝DH＝DC＝8，由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，∴B′G＝＝＝12，∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，∴DB′＝＝＝4（ii）当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．（iii）当CB′＝CD时，则CB＝CB′，由翻折的性质，得EB＝EB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠，得EF也是线段BB′的垂直平分线，∴点F与点C 重合，这与已知“点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点”不符，故此种情况不存在，应舍去．综上所述，DB′的长为16或4．故答案为：16或4．【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定．三．解答题（共8小题，满分75分）16．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝•＝（﹣x﹣2）•（x﹣1），∵解方程x2＝2x得x1＝0，x2＝2（舍去），∴当x＝0时，原式＝（﹣0﹣2）•（0﹣1）＝2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比，计算即可求出样本容量，用1减去A、B、C所占的百分比求出n%；（2）求出D的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用总人数乘以样本中A、B等级所占百分比的和，所得的积即为所求．【解答】解：（1）样本容量为：40÷10%＝400，n%＝1﹣10%﹣15%﹣35%＝40%，n＝40．故答案为400，40；（2）D等级人数为：400﹣40﹣60﹣140＝160，补全条形统计图如图所示：（3）4000×（10%+15%）＝1000（名）．答：估计这所学校本次竞赛“非常了解”和“比较了解”的学生总数为1000名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．18．【分析】（1）利用角平分线的性质得出∠CBD＝∠DBA，进而得出∠DAC＝∠DBA；（2）利用圆周角定理得出∠ADB＝90°，进而求出∠PDF＝∠PFD，则PD＝PF，求出PA＝PF，即可得出答案；（3）利用勾股定理得出AB的长，再利用三角形面积求出DE即可．【解答】（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠3＝∠5+∠3＝90°，∴∠1＝∠5＝∠2，∴PD＝PA，∵∠4+∠2＝∠1+∠3＝90°，且∠ADB＝90°，∴∠3＝∠4，∴PD＝PF，∴PA＝PF，即P是线段AF的中点；（3）解：连接CD，∵∠CBD＝∠DBA，∴CD＝AD，∵CD＝3，∴AD＝3，∵∠ADB＝90°，∴AB＝5，故⊙O的半径为2.5，∵DE×AB＝AD×BD，∴5DE＝3×4，∴DE＝2.4．即DE的长为2.4．【点评】此题主要考查了圆的综合以及圆周角定理和勾股定理以及三角形面积等知识，熟练利用圆周角定理得出各等量关系是解题关键．19．【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE＝BF＝CH＝10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE的长，根据BC＝BE﹣CE即可得出结论．【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m．在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m．答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．【分析】（1）易得点B 的坐标为（3，4），点D 的坐标为（3，2），把D （3，2）代入，得k ＝6，确定反比例函数的解析式；设点E 的坐标为（m ，4），将其代入，得m ＝，确定点E 的坐标为（，4），然后利用待定系数法可求出直线OE 的解析式；（2）连接AC ，在Rt △OAC 中，OA ＝3，OC ＝4，利用勾股数易得AC ＝5，则有AC 2+AF 2＝52+122＝132＝CF 2，根据勾股定理的逆定理得到∠CAF ＝90°，于是四边形OAFC 的面积可化为两个直角三角形的面积进行计算．【解答】解：（1）依题意，得点B 的坐标为（3，4），点D 的坐标为（3，2），将D （3，2）代入，得k ＝6．∴反比例函数的解析式为；设点E 的坐标为（m ，4），将其代入，得m ＝，∴点E 的坐标为（，4），设直线OE 的解析式为y ＝k 1x ，将（，4）代入得k 1＝，∴直线OE 的解析式为y ＝x ；（2）连接AC ，如图，在Rt △OAC 中，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5，而AF ＝12，CF ＝13．∴AC 2+AF 2＝52+122＝132＝CF 2，∴∠CAF ＝90°，∴S 四边形OAFC ＝S △OAC +S △CAF＝×3×4+×5×12＝6+30＝36．【点评】本题考查了反比例函数的性质：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了待定系数法和勾股定理及其逆定理以及不规则图形面积的计算方法．21．【分析】（1）根据购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；3个排球与2个篮球的总费用为420元列出方程组，解方程组即可；（2）根据购买排球和篮球共60个，篮球的数量不超过排球数量的2倍列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设每个排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，根据题意得：，解得：，所以每个排球的价格是60元，每个篮球的价格是120元；（2）设购买排球m个，则购买篮球（60﹣m）个．根据题意得：60﹣m≤2m，解得m≥20，又∵排球的单价小于蓝球的单价，∴m＝20时，购买排球、篮球的总费用最大，购买排球、篮球总费用的最大值＝20×60+40×120＝6000元．【点评】本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式是解题的关键．22．【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大＝AM +AN ，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，△PMN 的面积最大，而BD 最大是AB +AD ＝14，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点P ，N 是BC ，CD 的中点，∴PN ∥BD ，PN ＝BD ，∵点P ，M 是CD ，DE 的中点，∴PM ∥CE ，PM ＝CE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BD ＝CE ，∴PM ＝PN ，∵PN ∥BD ，∴∠DPN ＝∠ADC ，∵PM ∥CE ，∴∠DPM ＝∠DCA ，∵∠BAC ＝90°，∴∠ADC +∠ACD ＝90°，∴∠MPN ＝∠DPM +∠DPN ＝∠DCA +∠ADC ＝90°，∴PM ⊥PN ，故答案为：PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE ，利用三角形的中位线得，PN ＝BD ，PM ＝CE ，∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，同（1）的方法得，PM ∥CE ，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN＝2+5＝7，最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．∴S△PMN最大方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，＝PM2＝×72＝．∴S△PMN最大【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM＝CE，PN＝BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．23．【分析】（1）令抛物线y＝0，求出点C的坐标，再令x＝1，求出点B坐标，待定系数法求出直线BC的解析式．（2）三角形面积最值转换成求DH的最大值，然后利用二次函数的求最值问题解决点D的坐标，|FE﹣DE|的最大值，可将点D和点F转换到x轴的同一侧，再利用共线时差值最大求出线段长度即可．（3）找等腰三角形问题，要分类讨论，以OC为腰，或以OC为底都可以，利用∠OCN的正切值求出边之间的比例关系，求出点Q的坐标．【解答】解：（1）令y＝0，解得x1＝，x2＝∴A（，0），B（，0）当x＝1时，y＝2∴B（1，2）设直线BC的解析式为y＝kx+b代入点B和C解得∴直线BC的解析式为y＝﹣x+（2）设点D（m，）过点D作x轴的平行线，交BC于点H，则点H（m，﹣m+）HD＝﹣m+﹣（）＝﹣（m﹣）2+∴当m＝时，HD取最大值，此时S的面积取最大值．△BCDD（，﹣）作D关于x轴的对称点D′则D′（，）连接D′H交x轴于一点E，此时D′E﹣FE最大，即为D′F的长度∵F为OB的中点∴F（，）∴D′F＝∴|FE﹣DE|的最大值为．（3）由题意可知M（0，2）∵∠NFO＝3∠BNF∴∠FBN＝2∠BNF作∠FBN的角平分线交x轴于点E则∠OBE＝∠EBG＝∠OEB＝∠BNF过点B作x轴的垂线，垂足为点J则J（1，0）∵OB＝＝3∴OE＝3∴EJ＝2∵BJ＝2∴tan∠BEJ＝∴tan∠BNF＝过点F作MN的垂线，垂足为D则FD＝∴ND＝1∴N（，2）连接NC∵tan∠NCO＝①当OQ1等于CQ1时，过点Q1作OC的垂线，垂足为I∵OC＝∴CI＝∴Q1I＝∴Q1（，）②当OC＝CQ3时，过点Q3作OC的垂线，垂足为K∵OC＝，∴CQ3＝CK＝，Q3K＝∴Q3（﹣，）③当OQ2＝OC时，过点Q2作OC的垂线，垂足为P∵OC＝3，∴OQ2＝3设PC＝a，则Q2P＝a，OP＝﹣a根据勾股定理解得a＝∴Q2（，）④当Q4在NC的延长线上时，CQ4＝OC同理可得，Q4（+，﹣）综上所述：点Q的坐标为Q1（，），Q2（，），Q3（﹣，），Q4（+，﹣）．【点评】此题考查了待定系数法，倍角之间的转换，线段的和差最值，等腰三角形的分类，（1）较为基础，（2）（3）计算量比较大．。