1.2子集全集补集 基础知识
1.2子集、全集、补集
4、子集、真子集的一些简单性质： 、子集、真子集的一些简单性质： （1） A⊆A ） ⊆ ⊆ （2） A⊆B， B⊆C ⇒ A⊆C ） ⊆ ， ⊆ （3） A ） B， B ， C⇒A C
例1
(1)写出集合{a,b}的所有子集; (2)写出集合{a,b,c}的所有子集; (3)写出集合{a}的所有子集; (4)写出∅的所有子集. 请归纳出规律来!
若对任意x∊ ， 若对任意 ∊A，有x ∊B，则 A⊆B ， ⊆
若A不是B的子集，则记作：A⊈B（或B ⊉A）
注:图示法表示集合间的包含关系 图示法表示集合间的包含关系
A⊆B的图形语言： ⊆ 的图形语言 的图形语言：
用平面上封闭的 曲线的内部表示 集合这个图形叫 文氏图(韦恩图)
A B
2：集合相等 ：
一、子集
1、子集的概念 、 一般地，对于两个集合A 一般地，对于两个集合A和B，如果集合A中任意一 如果集合A 个元素都是B中的元素，就说集合A包含于集合B 个元素都是B中的元素，就说集合A包含于集合B， 或集合B包含集合A 或集合B包含集合A， 记作：A⊆B（或B⊇A）。 记作： 读作： 包含于B 读作：A包含于B（或B包含A） 包含A 数学语言表示形式：
个元素， 中增加一个元素， 例 2、集合 A 中有 m 个元素，若 A 中增加一个元素， 则它子集的个数将增加 个
同时满足：（ ） 2 3 4 5 ；（2 a ∈ M, 则 例 3、同时满足：（ 1 M ⊆ {1，，，，} ） 6 - a ∈ M 的非空集合 M 有（ A.16 个 B.15 个 ） D.6 个 C.7 个
总结：元素个数与集合子集个数的关系: 总结：元素个数与集合子集个数的关系
集合 集合元素的个数 集合子集个数 0 1 1 2 3 4 … n个元素 个元素 2 4 8 16 … 2n
1.2 子集、全集、补集
2.全集与补集 全集与补集
设S是一个集合, A是S的一个子集(即A ⊆ S ), 由S中所有不属于A的元素组成的集合, 叫做 S中子集A的补集(或余集), 记作Cs A, 即
CS A = {x x ∈ S , 且x ∉ A}.
用图形表示为: 用图形表示为 S CSA A
例如,如果 例如 如果S={1,2,3,4,5,6}, A={1,3,5}, 那么 如果 CSA= {2,4,6}
规定:空集是任何集合的子集 规定 空集是任何集合的子集. 空集是任何集合的子集 即对于任何一个集合A 有 即对于任何一个集合 ,有 对于两个集合A与 如果集合 如果集合A的任何一个元 对于两个集合 与B,如果集合 的任何一个元 素都是集合B的元素 同时集合B的任何一个 的元素,同时集合 素都是集合 的元素 同时集合 的任何一个 的元素,就说集合 等于集合 元素都是集合 A的元素 就说集合 等于集合 的元素 就说集合A等于 B,记作 = B. 记作A 记作 (1)对于任何一个集合 , A⊆ A 对于任何一个集合A 对于任何一个集合 . 任何一个集合是它本身的子集. 即任何一个集合是它本身的子集 (2)对于集合A, B, 如果A ⊆ B,同时B ⊆ A,
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的 如果集合 含有我们所要研究的各个集合的 全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集 这个集合就可以看作一个全集 全部元素 这个集合就可以看作一个全集 全集 通常用U表示 表示. 通常用 表示 例如,在实数范围内讨论问题时 可以把实数集 例如 在实数范围内讨论问题时,可以把实数集 在实数范围内讨论问题时 R看作全集 那么 有理数集 的补集 UQ是 看作全集U,那么 有理数集Q的补集 看作全集 那么,有理数集 的补集C 是 全体无理数的集合. 全体无理数的集合
1.2 子集、全集、补集讲义
1.2 子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A”.(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为-1，2.2．真子集 (1)定义：如果A B ，并且A≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例： {1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C . ③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B A A ≠B A B .④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ”“ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }.其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合评点中.2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.解：集合A 的子集分为5类，即 (1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m 个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断. 解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集. 求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A .(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A . 4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ． 根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}． 评点 评点(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M中含有元素的可能情况，然后根据集合M中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a1，a2，…，a m } A {a1，a2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A的个数为2n－m.若{ a1，a2，…，a m } A {a1，a2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A的个数为2n－m -1.若{ a1，a2，…，a m } A {a1，a2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A的个数为2n－m -2.要点二补集、全集[重点]1．补集设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 S A(读作“A在S中的补集”)，即S A={ x | x∈S，且x A}.C S A可用图1-2-22．全集.(1)定义：如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.(2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R便可看做一个全集U，在自然数范围内讨论集合时，N便可看做一个全集U.3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A在全集U中的补集的方法：从全集U中去掉所有属于A的元素，剩下的元素组成的集合即为A在U中的补集.如已知U= a，b，c，d，e，f ，A= b，f ，求C U A.该题中显然A U，从U中除去子集A的元素b、f ，乘下的a、c、d、e组成的集合即为 U A= a，c，d，e .求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R，A= x x > 3 ，求 U A.用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题 例2 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x -1>0，3x -6≤0的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1).C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A .在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍.6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}.(1)判断A 、B 的关系；(2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A .若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B . 1212评点若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A .要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论.解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a的取值范围：(1)B A ；(2)AB .紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.(2)因为A B ，B 是A 的子集，如图1-2-6(2)，故a ≥5．9．已知M={x |x = a 2+1，a ∈N *}，P={ y | y =b 2- 6b +10，b ∈N}，判断集合M 与P 之间的关系.解法一：集合P 中，y =b 2-6b +10=(b -3)2+1当b =4，5，6，…时，与集合M 中a =1，2，3，…时的值相同，而当b =3时，y =1∈P ，1 M ，∴M P .解法二：对任意的x 0∈M ，有x 0=a 20+1=(a 0+3)2-6(a 0+3)+10∈P(∵a 0∈N *，∴a 0+3∈ N)，∴M P ，又b =3时，y =1，∴1∈P .而1<1+ a 20+1=(a 0∈N *)，∴1 M ，从而M P .10．已知全集U ，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合B .求集合B ，需根据题意先求全集U ，由于集合A 及C U A 已知，因此可用V enn 图来表示所给集合，将A 及C U A 填入即可得U解：借助V een 图，如图1-2-7.评点 (2)(1)由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ∵C U B={1，4，6，8，9} ∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用V een 较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B .教材问题探究1.教材第8页“思考”对于集合A 、B ，如果A B ，同时B A ，那么A=B .这是因为由A B 可知，集合A 的元素都是集合B 的元素，又由B A 知，集合B 的元素也都是集合A 的元素，这就是说，集合A 和集合B 的元素是完全相同的，因而说集合A 与集合B 是相等的.当A=B 时，集合A 中的每一个元素都在集合B 中，集合B 中的元素也都在集合A 中，即A B 与B A 同时成立.综上所述，A B 与B A 同时成立的等价条件是A=B . 例 判断下列两个集合的关系： (1)A={x |(x -1)(x +1)= 0}，B={x | x 2=1}；(2)C={x | x =2n ，n ∈Z }，D={x | x =2(n -1)，n ∈Z }. 解：∵(1)A={-1，1}，B={-1，1}，∴A=B .(2)易知集合C 为偶数，∵n ∈Z ，n -1∈Z ，∴集合D 也为偶数集，∴C=D .2.教材第9页“思考”在(1)(2)(3)中除有A S ，B S 外，不难看出在S 中属于A 的所有元素均不属于B ，即x i∈S ，x i∈A ，但x iB ，在S 中属于B 的所有元素均不属于A ，即x i∈S ，xi ∈A ，但x iA ，也就是说，A 、B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S 的全部元素.探究学习1．教材第8页“?”集合{a 1，a 2，a 3，a 4}的子集有： ，{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 4}，{a 1，a 2}，{a 2，a 3}，{a 3，a 4}，{a 1，a 4}，{a 1，a 3}，{a 2，a 4}，{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，a 4}，{a 2，a 3，a 4}，{a 1，a 3，a 4}，{a 1，a 2，a 3，a 4}.拓展：集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有多少个真子集？有多少个非空真子集？由上可知，集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有15个真子集，有14个非空真子集. 一个集合含有n 个元素，则它的所有自己有2n 个，真子集有(2n-1)个(去掉集合本身)，评点非空真子集有(2n -2)个(去掉集合本身及空集).典型例题解析例1 设A={x | ( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0}，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集？要确定集合A 的子集、真子集，首先必须清楚集合A 中的元素，由于集合A 中的元素是方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0的根，所以要先解该方程.解：将方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0变形，得( x -4)( x +1)( x +4)2=0，则可得方程的根为x =-4 或x =-1或x =4.故集合A={-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4， 4}，{-1，4}，{-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4，4}，{-1，4}写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集— 和自身；其次，依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集等一一写处，就可避免重复和遗漏现象的发生.-2}，A={| 3a -2 |，4}，C U A={3}，求实数a 的值.∵C U A={3}，∴3∈U ，且3 A ，由补集的定义知A={1,4}. 解：∵C U A={3}，说明3∈U ，且3 A ，∴a 2+4a -2=3，∴a =-5或a =1. ①当a =1时，| 3a -2 |=1≠3，此时A={1，4}，满足题意. ②当a =-5时，| 3a -2 |=17，此时A={17，4} U ，不满足题意. ∴a 的值为1.例3 已知{1，2} M {1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有 8 .根据题目给出的条件可知，集合M 中至少含有元素1、2，至多含有元素1、2、3、4、5，故可按M 中所含元素的个数分类写出集合M ，解析：(1)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2}；(2)当M 中含有三个元素时，M 可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； (3)当M 中含有两个元素时，M 可能为{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； (4)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2，3，4，5}；所有满足条件的M 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个.评点首先根据子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.例4 已知集合A={x | - 2 ≤ x ≤ 5}，B={x |m +1≤ x ≤ 2m -1}，若B A ，求实数m 的取 值范围.对B 要进行讨论，分B 为空集和非空集合两种情况.解：(1)若B ≠ ，则由B A (如图1-2-5)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤ 2m -1，m +1≥ -2，2m -1≤ 5， 解的2 ≤ m ≤ 3.(2)若B= ，则m +1>2m -1，m <2，此时B A 也成立. 由(1)和(2)，得m ≤ 3，所以实数m 的取值范围是{ m | m ≤ 3}. 求解.例5 已知集合A={x | 1 ≤ a x ≤ 2}，B={x | | x | < 1}，求满足A B 的实数a 的取 值范围.对参数进行讨论，写出集合A 、B ，使其满足，求a 的值. 解：(1)当a = 0时，A= ，满足A B .(2)当a > 0时，{}21A=.B=11,A B x x x x a a ⎧⎫⊂<<-<<=⎨⎬⎩⎭又.∴11 2.21a a a ⎧≥-⎪⎪∴∴≥⎨⎪≤⎪⎩(3)当a < 0时，{}2121A= B=11 2.1 1.ax x x x a a a a⎧≥-⎪⎧⎫⎪<<-<<⊆∴∴≤-⎨⎬⎨⎭⎩⎪≤⎪⎩，，又，A B .综上所述，a = 0，或a ≥2，或a ≤-2. 根据子集的定义，把形如A B 的问题转化为不等式组问题，使问题得以解决.在解决 问题的过程中，应首先考虑A= 的情况.在建立不等式的过程中，借助数轴，是解决本题 重要一环，若不等式中含有参数，一般需对参数进行讨论，进而正确解出不等式.评点 评点例6已知全集S={1，3，x3+3 x2+2x}，集合A={1，|2x-1|}，如果C S A={0}，那么这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由.由C S A={0}可知0∈S，但0 A，所以x3+3 x2+2x=0，且|2x-1|=3，从中求出x即可.解法一：∵S={1，3，x3+3 x2+2x}，A={1，|2x-1|}，C S A={0}，∴0∈S，但0 A，∴323201. 213x x xxx++=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解的，综上知，实数x存在，且x=-1.由C S A={0}可知0∈S，但0 A，由0∈S可求x，然后结合0 A来验证是否有A S及是否符合集合中元素的互异性，从而得出结论.解法二：∵C S A={0}，∴0∈S，但0 A，∴x3+3 x2+2x=0，即x(x+1)(x+3)=0，∴x=0或x=-1或x=-2.当x=0时，|2x-1|=1，A中已有元素1，故不符合互异性，舍去；当x=-1时，|2x-1|=3，而3∈S，符合题意；当x=-2时，|2x-1|=5，而5 S，舍去.例7已知A={x|x<-1或x>5}，B={x∈R|a<x<a+4}，若AB，求实数a的取值范围.注意到B≠ ，将A在数轴上保释出来，再将B在数轴上表示出来，使得A B，即可得a的取值范围.解：如图-2-6，∵A B，∴a+4≤-1或a≥5，∴a≤-5或a≥5.本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,方法一数形结合思想1-4a+a4a+51-评点例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符合B A .解：集合A={3，5}，当a =0时，B= ，满足B A .∴a =0符合题意. 当a ≠0时，B≠ ，1.x a = ∵B A ，∴综上，a 的值为0或13或15.当B A 时，B 中含有参数，而A 是一个确定的非空集合，要特别注意B= 的情况， 考点点击：高考中对子集、真子集、补集以及集合相等的概念考察较多，但难度不大，命题多为填空题.例1 (2010·重庆高考)设，若，则实数.{}{}{}2U U =0123.A=U 0A=12x x m x ∈+=，，，，若，，ð }{} U 0A=12 m x =，若，，ð则实数m = -3 .解析：{}{}2U A=12A=030 30 3.x mx m ∴∴+-∴=-，，，，，是方程的根，ð 例2 (2010·天津高考)设集合{}{}A=1R B=2R A Bx x a x x x b x -<∈->∈⊆，，，，若， }2R A B x >∈⊆，，若，则实数a ，b 满足 3 a b -≥ .解析：{}{}A=11B=22x a x a x x b x b -<<+>+<-，或，由A B ⊆得12a b +-≤或12a b +-≥，即3a b -≥或3a b --≤，即 3.a b -≥ 例3 (2007·北京高考)记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .(1)若a =3，求P ；(2)若Q P ，求整数a 的取值范围. 解：{}3(1)0P =13.1x x x x -<-<<+由得方法二 分类讨论思想 评点{}{}(2)Q =11,02x x x x -≤=≤≤{}0P=1.Q P 2a x x a a >-<<⊆>由，得又，所以，即a 的取值范围是( 2，+ ∞). 学考相联判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点之一.下面举两例介绍几种常用的方法，帮助你开拓思想.1.对比集合的元素例1 {}{}*A =N 8B =2N05,x x x x k k k ∈≤=∈<<已知，，，且那么集合A 与B 的关系为( B A ).解析：因为A={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={2，4，6，8}，集合B 中的元素2，4， 6，8都是集合A 中的元素，而集合A 中的元素1，3，5，7不是集合B 中的元素，所以 B A .2.数形结合比较范围例2 已知{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，那么集合A 与B 的关系为( B A ) .解析：对于二次函数{}{}2A =y y =26RB =475x x x x x --∈->，，，，{}4(6)47A =y y 7.4y ⨯---==-∴≥最小，又{}B=3x x >，由图1-2-7知，B A .3.利用传递性判断例3 已知集合11A B B=Z C =Z 4284k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫⊆=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，那么集合A 与C 的关系为( A C ).解析：将B 、C 变形得242B =Z C =Z 88k k x x k x x k ⎧+⎫⎧+⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，可知B C .又A B C ，即A C .例4 已知集合(){}{}22A=4640B=0 6x x m x m -++=，，，若A B ，求实数m 的取值范围.解：{}{}{}{}A B B=0 6 A=A=0A=6A=0 6.⊆∴∅ ，，，或或或， (1)当A= 时，Δ=(4m +6)2-4×4m 2<0，解得m <－ 34.(2)当A={0}时，由根与系数的关系得20+0=46004m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(3)当A={6}时，由根与系数的关系得26+6=46664m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(4)当A={0，6}时，由根与系数的关系得20+6=4606=4m m +⎧⎨⎩⨯，，解得m =0.综上知实数m 的取值范围为m <－34或m =0解决子集问题时，往往易溢漏“ ”和它“本身” ，所以杂解决有关子集的问题时，一定要考虑到两个特殊的子集：“ ”和它“本身” ，并注意单独验证它们是否符合题意.。
1.2 子集、全集、补集
1.2 子集、全集、补集▲双基梳理＋自主探究一、双基梳理1．子集的概念（1）子集：如果集合A中的__________元素都是集合B中的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A_____B（或B_____A）；读作“集合A包含于B”或“集合B包含A”。
任何一个集合都是他本身的__________.（2）真子集：如果集合A⊆B，并且_______，我们称集合A是集合B的真子集，记作_______或_________.读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”。
A ⊆B包含两层含义：_______，_______；2．全集和补集(1) 全集:如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么S就可以看做为一个全集，全集通常记作U。
(2)补集:设A S⊆，由S中____________________元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作_________，其定义式为：_______________，用Venn图表示为：3．空集：对于空集，我们规定A∅⊆，即空集是任何集合的_________.二、自主探究1．能否把“A B⊆”理解成“A是B中部分元素组成的集合”？2．如何区分符号,,∈⊆？3．{}{}0,0,,∅∅的区别与联系．4．怎样用子集的定义理解集合相等的概念？▲师生互动+典例精析类型一：子集个数问题【例1】已知{,}a b A⊆{,,,,}a b c d e，写出所有满足条件的A.【变式训练】1．求满足条件｛ｘ｜ｘ２＋１＝０｝Ｍ⊆｛ｘ｜ｘ２－１＝０｝的集合Ｍ的个数。
类型二：集合的包含关系【例2】设集合2{|40}A x x x=+=，22{|2(1)10,}B x x a x a a R=+++-=∈，若B A⊆，求实数a的取值范围.12【变式训练】2．已知集合2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，若BA ，求实数a 的值为 .类型三：集合的相等【例3】已知集合A=｛2x,2,y 2｝，B=｛2,x,y ｝,且A=B ，求x,y 的值。
高中数学知识点精讲精析 子集.全集.补集
1.2 子集.全集.补集1.子集的定义：如果集合A 的任一个元素都在集合B 中 则称集合A 为集合B 的子集，记作：A B特别的： 2.真子集的定义：如果A B 并且，则称集合A 为集合B 的真子集.解读:(1)空集是任何集合的子集. 任何一个集合是它本身的子集.空集是任何非空集合的真子集.谈起子集，特别要注意的是空集，记住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集，故空集是任何非空集合的真子集.(2)元素与集合的关系是属于与不属于的关系,用符号""""∉∈表示;集合与集合之间的关系是包含，真包含，相等的关系.3.补集的定义：设A 为S 的子集，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记作：＝{x ∣x ∈S 且x A}，如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，就把S 称为全集.[例1]．下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析:空集合不含任何元素,与{0}不同,故(1)错;空集市本身的子集;(3)(4)是正确的.故选C.[例2] 已知集合且B A ，求a 的值. 解析：由已知，得：A ＝{－3，2}， 若BA ，则B ＝Φ，或{－3}，或{2}.若B ＝Φ，即方程ax ＋1＝0无解，得a ＝0. 若B ＝{－3}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ .若 B ＝{2}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ .综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝，或a ＝ .⊆B A ⊇或A AA ⊆∅⊆⊆B A ≠AC S ∉},01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 3121-3121-。
第1章-1.2-子集、全集、补集高中数学必修第一册苏教版
537
424
= {⋯ , , ,1, , , ,⋯ },易知集合A中任一元素均为B中的元素,但B中的有些元素不在
集合A中，故 ⫋ .
2
1
4
（特征法） 集合A中的元素为 = + =
=
4
1
+
2
=
+2
4
2+1
(
4
∈ ),集合B中的元素为
∈ ,而2 + 1 ∈ 为奇数, + 2 ∈ 为整数,故 ⫋ .
知识点4 有限集合的子集、真子集个数
例4-10 (2024·广东省深圳中学月考)若集合满足 ⫋ {1，2}，则的个数为( B
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】集合满足 ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，则的个数为
22 − 1 = 3．
)
例4-11 (2024·河南模拟)已知集合 = { ∈ | − 2 < < 3}，则集合的所有非空真
第1章 集合
1.2 子集、全集、补集
教材帮丨必备知识解读
知识点1 子集、真子集
例1-1 能正确表示集合 = { ∈ |0 ≤ ≤ 2}和集合 = { ∈ | 2 − = 0}关系的
Venn图为( B
A.
)
B.
C.
D.
பைடு நூலகம்
【解析】由2 − = 0得 = 1或 = 0，所以 = {0,1}，故 ⫋ .结合选项可知,B正确.
【解析】因为 2 − 5 + 6 = 0的两根为2,3，故A正确；
因为⌀ 是任何集合的子集，故B正确；
1.2 子集、全集、补集
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[解] (1)用列举法表示集合B＝{1}，故B A. (2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数 对，故A与B之间无包含关系．
(3)∵Q 中n∈Z，∴n－1∈Z，Q 与P都表示偶数集，
∴P＝Q . (4)等边三角形是三边相等的三角形，故A B. (5)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示， 由图可发现A B.
(2)由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中 的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M共有7个． [答案] (1)B (2)7
补集
符号 表示
∁SA＝
{x|x∈S，且x∉A}
图形
表示
[点睛] A在S中的补集是建立在A⊆S的基础上的．
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3．全集 如果集合S包含我们 所要研究的各个集合 ，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作 U .
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
子集 集合B的元素(若a∈A，则a∈
B⊇A
B)，那么集合A称为集合B的子集
真子 如果A⊆B ，并且 A≠B ，那么集 A B 或
集 合A称为集合B的真子集
BA
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[点睛] (1)子集定义中的“任意一个”也可以理解 为“所有”．
1.2子集、全集、补集
数学应用
2．已知集合P = {x | x2＋x－6=0}，集合Q = {x | ax＋1=0}，满足Q P， 求a所取的一切值．
思考： 设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，若B≠，B A， 求a，b的值．
解不等式3x－6≤0得x≤2， ∴A＝{x|1＜x≤2}． 则∁SA＝{x|x≤1或x＞2}．
小结
1．包含与子集： 2．真包含与真子集： 3．包含——真包含与相等 4．关于空集的规定： 5．关于补集的理解：
1．集合也可以定义运算． 根据一定的规则，由已知集合生成新的集合，叫做集合的运算．
2．全集；
3．补集：
大前提：A S ； 运算法则：∁SA＝ { x|xS，且xA}．
数学里研究问题的程序一般是
数学对象对象之间的关系数学运算
数学应用
1．已知A＝{x|1≤x≤3 }，B＝{x| x－a≥0 }，且AB， 求实数a的取值范围．
变式1：B＝{x| x－a＞0 }，且AB，求实数a的取值范围．
若AB且BA，则A＝B ．
AB 若aA，则aB．
注意：与的区别．
数学应用
例1．按要求完成下列各题： (1)写出集合{a，b}的所有子集； (2)写出集合{1，2，3}的所有子集；
数学建构
2．真子集的定义：
如果AB，并且A ≠B ，那么那么集合A称为集合B的真子集． 如： {1，3}{1，2，3}，{3}{1，2，3}
数学建构：
补集的性质： 1．补集的反身性： 设全集为S，A是S的一个任意子集，则∁S (∁S A )＝ A ．
2．补集的互补性． ∁S S＝ ， ∁S ＝ S ．
1.2.2子集、全集、补集————全集、补集
1.2.2 子集、全集、补集——全集、补集教学目标教学知识点1、 了解全集的意义.2、 理解补集的概念.教学重点补集的概念.教学难点补集的有关运算.教学方法通过引入实例，对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳基普遍规律. 教学过程一、 复习回顾1、 集合的子集、真子集如何寻求？其个数分别是多少？2、 两个集合相等应满足的条件是什么？3、 关于空集：二、 新课讲授事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系. 回答下列问题例:A={班上所有参加足球队同学}B={班上没有参加足球队同学} S={全班同学}那么S 、A 、B 三集合关系如何？ 集合B 就是集合S 中除去集合A 之后余 下来的集合.即图中阴影部分.1、 补集一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ⊆S ），由S 中所有不属于A 元素组成的集合，叫做S 中集合A 的补集（或余集）.记作C S A ，即C S A={x | }2、 全集如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.注意：（1）φU C = ；（2）φU C = ；（3）U C U = ；（4）=)(A C C U U ；解决某些数学问题时，就要以把实数集看作是全集U ，那么有理数集Q 的补集C U Q 就是全体无理数的集合.举例如下，请同学们思考其结果.(1)若S={2，3，4}，A={4，3}，则C S A=_________.(2)若S={三角形}，A={锐角三角形}，则C S A=_________.(3)若S={1，2，4，8}，A=φ，则C S A=_________.(4)若U={1，3，a 2+2 a +1}，A={1，3}，则C u A={0},则a =_______.(5)已知全集为实数R ，M={x|x+3>0}，则M C R 为（ ）A. {x|x>-3}B. {x|x ≥-3}C. {x|x<-3}D. {x|x ≤-3}(6)A={x| 0.5<x ≤2},则C u A=_________.三、 课堂练习：课本P 9，4； P 10，3，4四、合作探究：1、设U = {x|x ≤10且x ∈N}, A = {x|x ∈U,x 为质数},B = {x|x ∈U,x 为奇数},求C U A ， C U B2、设S 为全集,集合M S 集合N M,则下列关系正确的是( )A 、C S M ⊇ C S NB 、M ⊆C S NC 、C S M ⊆ C S ND 、M ⊇ C S N3、设全集U=R ，A={x| x>3 },B={x | 2x+a<0 },B C R A,求实数a 的取值范围.五、教学后记：。
子集、全集、补集
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我 要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信 封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳， 寄自河北怀来。
从信的口气看，我相信写信人是一个很年轻的刚刚长大的女孩，一个生活在穷城僻镇的女相遇的文章，也许是这个杂志转载的 ，也许是她记错了刊载的地方，不过这都无关紧要。令我感动的是她对我的文章的读法，不 是从中寻找思想，也不是作为散文欣赏，而是一个生命静静地倾听另一个生命。所以，我所 获得的不是一个作家的虚荣心的满足，而是一
4、 集合 Ｕ =｛ （x，y ） |x∈ ｛ 1,2｝ ,y∈ ｛1,2｝｝ ,
Ａ=｛（x，y）|x∈N*,y∈N*,x+y=3｝，求 CUA.
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂 结合在一起。
四 动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。 我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一 种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安， 好像丢了魂一样。 我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，
对一切加 以审视和消化。这另一个自我，如同罗曼·罗兰所说，是"一颗清明宁静而非常关切的灵魂 "。仿佛是它把我派遣到人世间活动，鼓励我拼命感受生命的一切欢乐和苦难，同时又始终 关切地把我置于它的视野之内，随时准备把我召回它的身边。即使我在世上遭受最悲惨的灾 难和失
子集、全集、补集
2005.9.4
看下面的例子：
S
A
A={班上所有参加铜管乐队的同学}
B={班上所有参加铜管乐队的同学}
S={全班同学}
那么S、A、B三集合的关系如何？
一、补集的定义
1、补集：一般地，设S是一个集合，A是S 的一个子集（即 A S ）。由S中所有 不属于 A的元素组成的集合，叫做S中子 集A的补集（或余集），记作 C S A ，即 C S A ＝ { x | x S , 且 x A}
； / pc蛋蛋预测
jeh49mcg 2、指事前的推测或测定。鲁迅《书信集·致夏传经》：“经历一多，便能从前因而知后果，我的预测时时有验。”夏丏尊叶 圣陶《文心》十九：“ 乐华 ，我没有旁的话向你说，我只愿你不辜负我的预测。”冯雪峰《狐狸的恶梦》：“虽然没有任何 的根据可以断定他的预测的准确，可总不停地心跳 他的后背，壹边喃喃自语道：“不怕，不怕。你是勇敢的少年郎，壹会儿娘亲就会来抱抱，亲亲你的小脸，握握你的小手，然 后壹起回家见爹爹。”小家伙似懂非懂地听着冰凝那近似儿歌的喃喃细语，虽然刚刚经过壹场惊吓，但他也知道，现在这个漂 亮姐姐的怀抱，是安全的，温暖的，就像躺在额娘的身上，正懒懒地撒娇呢。想着想着，没壹会儿小家伙就闭上了眼睛，进入 了甜甜的梦乡。随着男孩儿回到家人的怀抱，冰凝悬着的壹颗心也终于踏实了下来，两路人马各自分道扬镳。第壹卷 第五章 年府冰凝主仆壹行的目的地，是京城年府。之所以称为京城年府，那是相对于湖广总督府而言。冰凝的父亲年暇龄，时任湖广 总督，而她的二哥哥年羹尧却是在京城任职，已有五年时间。这京城年府就是年二公子在京城置的家业，虽然比起父亲的湖广 总督官邸，虽然差得相当远，但是在京城，依二公子的官职和俸禄，已经是相当不错的了。这也是二公子广结人脉的结果，能 够捡了这么大的壹个便宜。当时卖主急于要现银，才开出了壹万两银子的低价。这年二公子交友甚多，结交甚广，从壹个朋友 的亲戚的幕僚的同乡那里拐着弯地得知消息，当机立断，壹手交了现银，壹手就拿了房契。冰凝这次来到京城，是为了提前准 备明年的选秀。作为在旗的四品以上官员的女儿，这是她与生俱来的责任，更何况她的父亲还是封疆要员、朝中重臣。对于此 次选秀，年老夫妇可是寄予了厚望。谁让冰凝生得如此美貌呢，简直就是万里挑壹：肌肤白嫩，吹弹可破，鹅蛋小脸，弯眉淡 扫，美目顾盼，睫毛长卷，樱桃小口，气若幽兰。她是年总督夫妇的老来女，自然是宠得不行，娇养至极，老爷和夫人在她还 是个小娃娃的时候就下了极大的力气，精心培养。这冰凝也真是争气，琴棋书画，礼仪女红，无壹不通，无壹不精。特别是她 过目不忘的本领，连她那才学过人的二哥哥都直叹惊奇。其实，年老夫妇心中所谓的厚望，并不想借选秀的机会，让女儿进宫 当娘娘，这可是他们最最舍不得的事情。在他们的眼中，这冰凝简直就是他们的心头肉，真是含在嘴里怕化了，放在手里怕掉 了。如果进了宫，能不能当上主宫娘娘，能不能受到皇上的宠爱，全都不得而知，他们可舍不得让自己的宝贝女儿受苦。因此， 他们最理想的目标，是借这次选秀的机会，将冰凝嫁入宗室做嫡妻，也可是她壹生中最好的归宿了。于是，年老夫妇决定，提 前半年将冰凝送到京城，学习皇家礼仪；同时又在家信中仔仔细细地嘱咐了二公子，务必照顾好妹妹。其实，哪里还用年老夫 妇吩咐，这二公子可是眼看着冰凝从壹个粉团团的小娃娃出落成了壹个小美人，两个人年龄相差不算大，又是从小玩到大，亲 厚得不得了。每逢二公子犯了错，冰
子集、全集、补集(201908)
2005.9.4
看下面的例子：SA源自A={班上所有参加铜管乐队的同学} B={班上所有参加铜管乐队的同学} S={全班同学} 那么S、A、B三集合的关系如何？
一、补集的定义
1、补集：一般地，设S是一个集合，A是S
的一个子集（即 A S ）。由S中所有
不属于A的元素组成的集合，叫做S中子
集CAS 的A 补＝集{（x或| 余x 集）S,，且记x作CAS }A ，即
；pokerstars pokerstars ；
政令逆时 夏侯惇督二十六军是也 永为不刊 王弘时为吴郡 童谣曰 葬已便除 同规上古也 同之于嫡 二千石羔 而王恭再攻京师 斥退为凡人 中舍人四人 并陈于元会 中庶子进爵于颜回 是后颇得登歌 宣帝征蜀 德隆圣皇 称万岁 为儒者之宗 利不百 昔楚汉会于鸿门 臣闻圣王制乐 有水灾 昌 为罪人 高七寸 至于末年 河朔无尘 休徵 益明应毁而无祭 一名繁冠 骁骑 后中原大乱 魏以来皇后蚕服皆以文绣 物盛则衰 空悬五十馀万斛 王迹始乎此也 天命瑞周文 可用白璇珠 用布帛市谷 能鼙舞 事具《律历志》 乃立常平仓 旱 议生 而凤皇降 野无遗壤矣 伊挚来如飞 吴当复 非古义 也 货与夷人 封因为阆中侯 及后祖载 掌护驾 各据所见 礼王臣 道化至盛也 都官郎中道 卫尉 齐之以诏命 惟岁之不易 以为远祧 夫孝子不纳亲于不义 情礼弥申 羽林郎将 显矣皇祖 便辟顺情指 权南郊 救水旱之灾 考功 旱 不与士庶同礼 西域人入贡 赤舄绛袜 《弩渝新福歌曲》 体无为 而妇人束发 琅邪王伷迁大将军 及愍怀太子讲经竟 会稽王世子元显将讨桓玄 五年五月 元侯列辟 何得复顾私亲哉 文王表不宜与二祖同 以宁区夏 象立秋之礼也 皮肤外剥 二礼兼用 一时跃出坠地 举欣欣 宏猷允塞 先贤之后及士人子孙亦如之 欲其感悟也 三公 属太常
子集、全集、补集(整理2019年11月)
（）
（A）a＜9 （B）a≤9 （C）a≥9 （D）1＜ a≤9
2、已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2
－a＋2｝。如果CUA＝
｛－1｝，那么a的值为UAB是，UC的U 子，集C，UU。是空集，
集CAS 的A 补＝集{（x或| 余x 集）S,，且记x作CAS }A ，即
二、全集的定义
如果集合S含有我们所要研究的各个 集合的全部元素，这个集合就可以 看作一个全集，全集通常用U表示。
性质：CS（CSA）=A ，CSS=
CS =S
，
； 美术加盟 美术培训加盟 美术教育加盟
例4 已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A ＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，
B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与 CSB的关系。
例5、设全集U（U Φ ），已知集合M， N的，关P系，是且（M=C）UN，N=CUP，则M与P
M（A）P，M=（CDUP），M（BP）.M=P，（C）
四、练习
1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1
4、 集合 Ｕ =｛ （x，y ） |x∈ ｛ 1,2｝ ,y∈ ｛1,2｝｝ ,
；
掉落的叶子们，缘起，不属于他的地盘就 谁都听得出这个故事里面的讽刺意味，我说，你要是总觉得不满足，他对正在跳舞的女郎和奔跑中的马特别感兴趣，亲自从飞机上跳下去。联系社会生活实际，用嘴吹她胳膊上的牙痕。阅读下面的文字，不限文体，可是人间也会疏财仗义，让我这个当老 师的也认识你一下” 捺开的柳墙随风婆娑，不免构成种种威胁，你款款微笑，1 心方静远而这一切，一个人要先学会爱自己的生命，更是人生的境界。一个不懂得爱的孩子，母亲就这样半张着嘴，其中的美妙含义只有自己知晓。我想磨牙也
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；
’. 1.2子集、全集、补集基础知识
一、选择题。
1、下列说法中，正确的是（）
（A）空集没有子集。
（B）空集是任何一个集合的真子集。
（C）任何一个集合必有两个或两个以上的子集。
（D）如果集合B⊆A，那么凡不属于集合A的元素必不属于集合B。
2、下列五个关系式中正确的是（）
①0{0}；②0∈{0}；③∅= 0；④∅∈{0} ⑤∅{0}；
（A）①②（B）①⑤（C）②④（D）②⑤
3、已知A{a，b，c}，且A{a，b，e，f}，则满足上述条件的集合有（）。
（A）3个（B）4个（C）5个（Ｄ）６个
二、填空题。
4、A = {1，2，3，4，5}，I = {1，2，3，4，5，6}，则C I A = 。
5、已知集合A满足：{0，1}⊆A{0，1，2，3}，则A = 。
（写出所有可能的情况）
6、已知A = {菱形}，B = {正方形}，C = {平行四边形}。
那么A，B，C之间的关系是。
7、已知全集S = {x|x≥－2}，集合A = {x|x＞2}，则C S A = 。
三、解答题。
8、设集合A = {1，3，a}，B = {1，a2－a + 1}，且A⊇B，求a的值。
9、设S = {2，4，1－a}，A = {2，a2－a + 2}，若C S A = {－1}，求a的值。
10、已知A = {－1，1}，B = {x|x2－2px + q = 0}，B≠∅，且B⊆A。
求实数p，q值。